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3.4: Usando Casos em Provas - Matemática


VISUALIZAR ATIVIDADE ( PageIndex {1} ): Usando uma Equivalência Lógica

  1. Complete uma tabela verdade para mostrar que ((P vee Q) to R ) é equivalente lógico a (P to R) wedge (Q to r) ).
  2. Suponha que você esteja tentando provar uma afirmação escrita na forma ((P vee Q) to R ). Explique porque você pode completar esta prova escrevendo provas separadas e independentes de (P para R ) e (Q para R ).
  3. Agora considere a seguinte proposição:

    Proposição. Para todos os inteiros (x ) e (y ), se (xy ) for ímpar, então (x ) será ímpar e (y ) será ímpar.
    Escreva a contraposição dessa proposição.

  4. Agora prove que se (x ) é um inteiro par, então (xy ) é um inteiro par. Além disso, prove que se (y ) é um inteiro par, então (xy ) é um inteiro par.
  5. Use os resultados provados na parte (4) e a explicação na parte (2) para explicar porque provamos a contraposição da proposição na parte (3).

Atividade de visualização ( PageIndex {1} ): Usando casos em uma prova

O trabalho em Preview Activity ( PageIndex {1} ) foi feito para introduzir a ideia de usar casos em uma prova. O método de usar casos é freqüentemente usado quando a hipótese da proposição é uma disjunção. Isso é justificado pela equivalência lógica

[[(P vee Q) para R] equiv [(P para R) cunha (Q para R)] ]

Consulte o Teorema 2.8 na página 48 e o Exercício (6) na página 50.

Em algumas outras situações, quando estamos tentando provar uma proposição ou um teorema sobre um elemento (x ) em algum conjunto (U ), muitas vezes nos deparamos com o problema de que não parece haver informações suficientes sobre x para Continuar. Por exemplo, considere a seguinte proposição:

Proposição 1. Se (n ) for um inteiro, então (n ^ 2 + n ) é um inteiro par.

Se estivéssemos tentando escrever uma prova direta dessa proposição, a única coisa que poderíamos supor é que (n ) é um inteiro. Isso não ajuda muito. Em uma situação como essa, às vezes usaremos casos para fornecer suposições adicionais para o processo de encaminhamento da prova. Os casos são geralmente baseados em algumas propriedades comuns que o elemento (x ) pode ou não possuir. Os casos devem ser escolhidos de forma que esgotem todas as possibilidades para o objeto (x ) na hipótese da proposição original. Para a proposição 1, sabemos que um inteiro deve ser par ou ímpar. Podemos, portanto, usar os dois casos a seguir para o inteiro (n ):

  • O inteiro (n ) é um inteiro par;
  • O inteiro (n ) é um inteiro ímpar.
  1. Complete a prova para a seguinte proposição:

    Proposição 2: Se (n ) for um inteiro par, então (n ^ 2 + n ) é um inteiro par.
    Prova. Seja (n ) um número inteiro par. Então existe um inteiro (m ) tal que (n = 2m ). Substituir isso na expressão (n ^ 2 + n ) resulta ...

  2. Construa uma prova para a seguinte proposição:

    Proposição 3: Se (n ) for um número inteiro ímpar, então (n ^ 2 + n ) é um número inteiro par.

  3. Explique por que as provas da proposição 2 e da proposição 3 podem ser usadas para construir uma prova da proposição 1.

Algumas situações comuns para casos de uso

Ao usar casos em uma prova, a regra principal é que os casos devem ser escolhidos de forma que esgotem todas as possibilidades para um objeto x na hipótese da proposição original. A seguir estão alguns usos comuns de casos em provas.

Quando a hipótese é, " (n ) é um número inteiro."Caso 1: (n ) é um número inteiro par.
Caso 2: (n ) é um número inteiro ímpar.
Quando a hipótese é, " (m ) e (n ) são inteiros."Caso 1: (m ) e (n ) são pares.
Caso 2: (m ) é par e (n ) é ímpar.
Caso 3: (m ) é ímpar e (n ) é par.
Caso 4: (m ) e (n ) são ambos ímpares.
Quando a hipótese é, " (x ) é um número real."Caso 1: (x ) é racional.
Caso 2: (x ) é irracional.
Quando a hipótese é, " (x ) é um número real."

Caso 1: (x = 0 ) OU Caso 1: (x> 0 )
Caso 2: (x ne 0 ) Caso 2: (x = 0 )
Caso 3: (x <0 )

Quando a hipótese é, " (a ) e (b ) são números reais."Caso 1: (a = b ) OU Caso 1: (a> b )
Caso 2: (a ne b ) Caso 2: (a = b )
Caso 3: (a

Diretrizes de redação para casos de uso de prova

Ao escrever uma prova que usa casos, usamos todas as outras diretrizes de escrita. Além disso, garantimos que fica claro onde cada caso começa. Isso pode ser feito usando um novo parágrafo com um rótulo como “Caso 1,” ou pode ser feito iniciando um parágrafo com uma frase como “No caso onde. . ”

Verificação de progresso 3.21: Casos de uso: (n ) é par ou (n ) é ímpar

Complete a prova da seguinte proposição:

Proposição. Para cada inteiro (n ), (n ^ 2 - 5n + 7 ) é um inteiro ímpar.

Prova. Seja (n ) um número inteiro. Provaremos que (n ^ 2 - 5n + 7 ) é um número inteiro ímpar examinando o caso em que (n ) é par e o caso em que (n ) é ímpar.

Caso 1. O inteiro (n ) é par. Neste caso, existe um inteiro (m ) tal que (n = 2m ). Portanto, ....

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Como outro exemplo de uso de casos, considere uma situação onde sabemos que (a ) e (b ) são números reais e (ab = 0 ). Se quisermos chegar a uma conclusão sobre (b ), a tentação pode ser dividir os dois lados da equação por (a ). No entanto, só podemos fazer isso se (a ne 0 ). Portanto, consideramos dois casos: um quando (a = 0 ) e outro quando (a ne 0 ).

proposição 3.22

Para todos os números reais (a ) e (b ), se (ab = 0 ), então (a = 0 ) ou (b = 0 ).

Prova

Sejam (a ) e (b ) números reais e assumimos que (ab = 0 ). Provaremos que (a = 0 ) ou (b = 0 ) considerando dois casos: (1) (a = 0 ) e (2) (a ne 0 ).

No caso em que (a = 0 ), a conclusão da proposição é verdadeira e, portanto, não há nada a provar.

No caso em que (a ne 0 ), podemos multiplicar ambos os lados da equação (ab = 0 ) por (dfrac {1} {a} ) e obter

( dfrac {1} {a} cdot ab = dfrac {1} {a} cdot 0 )

(b = 0 )

Então, em ambos os casos, (a = 0 ) ou (b = 0 ), e isso prova que para todos os números reais (a ) e (b ), se (ab = 0 ), então (a = 0 ) ou (b = 0 ).

Valor absoluto

A maioria dos alunos já estudou o conceito do valor absoluto de um número real. Usamos a notação (| x | ) para representar o valor absoluto do número real (x ). Uma maneira de pensar no valor absoluto de (x ) é como a “distância” entre (x ) e 0 na reta numérica. Por exemplo,

| -5 | = 5 e | -7 | = 7

Embora essa noção de valor absoluto seja conveniente para determinar o valor absoluto de um número específico, se quisermos provar propriedades sobre o valor absoluto, precisamos de uma definição mais cuidadosa e precisa.

Definição: valor absoluto

Para (x in mathbb {R} ), definimos (| x | ), chamado de valor absoluto de (x ), de

(| x | = begin {cases} x & text {if (x ) ( ge ) 0;} -x & text {if (x ) <0.} fim {casos} )

Vamos primeiro ver se esta definição é consistente com nossa noção intuitiva de valor absoluto, olhando para dois exemplos específicos.

  • Como 5> 0, vemos que | 5 | = 5, o que não deve ser surpresa.
  • Como -7 <0, vemos que | -7 | = - (- 7) = 7.

Observe que a definição do valor absoluto de (x ) é dada em duas partes, uma para quando (x ge 0 ) e outra para quando (x <0 ). Isso significa que, ao tentar provar algo sobre o valor absoluto, geralmente usamos casos. Isso será ilustrado no Teorema 3.23.

Teorema 3.23

Seja (a ) um número real positivo. Para cada número real (x ),

  1. (| x | = a ) se e somente se (x = a ) ou (x = -a ).
  2. (| -x | = | x | ).
Prova

A prova da Parte (2) faz parte do Exercício (10). Vamos provar a Parte (1).

Deixamos a ser um número real positivo e (x in mathbb {R} ). Provaremos primeiro que se (| x | = a ), então (x = a ) ou (x = -a ). Portanto, assumimos que (| x | = a ). No caso em que (x ge 0 ), vemos que (| x | = x ), e como (| x | = a ), podemos concluir que (x = -a ) .

No caso em que (x <0 ), vemos que (| x | = -x ). Como (| x | = a ), podemos concluir que (- x = a ) e, portanto, (x = -a ). Esses dois casos provam que se (| x | = a ), então (x = a ) ou (x = -a ).

Vamos agora provar que se (x = a ) ou (x = -a ), então (| x | = a ). Começamos assumindo que (x = a ) ou (x = -a ). Como a hipótese dessa declaração condicional é uma disjunção, usamos dois casos. Quando (x = a ), vemos que

(| x | = | a | = a ) desde (a> 0 ).

Quando (x = -a ), concluímos que

(| x | = | -a | = - (- a) ) desde (- a <0 ).

e, portanto, (| x | = a ). Isso prova que se (x = a ) ou (x = -a ), então (| x | = a ). Como provamos ambas as declarações condicionais, provamos que (| x | = a ) se e somente se (x = a ) ou (x = -a ).

Verificação de progresso 3.24: Equações envolvendo valores absolutos

  1. O que é | 4,3 | e o que é | - ( pi ) |?
  2. Use as propriedades de valor absoluto na Proposição 3.23 para ajudar a resolver as seguintes equações para (t ), onde (t ) é um número real.

    (a) (| t | = 12 ).
    (b) (| t + 3 | = 5 )
    (c) (| t - 4 | = dfrac {1} {5} ).
    (d) (| 3t - 4 | = 8 ).

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Embora resolver equações envolvendo valores absolutos possa não parecer ter nada a ver com a escrita de provas, o objetivo da Verificação de Progresso 3.24 é enfatizar a importância de usar casos ao lidar com valores absolutos. O teorema a seguir fornece algumas propriedades importantes de valor absoluto.

Teorema 3.25

Seja (a ) um número real positivo. Para todos os números reais (x ) e (y ),

  1. (| x |
  2. (| xy | = | x | | y | ).
  3. (| x + y | le | x | + | y ​​| ). Isso é conhecido como Triangle Inequality.
Prova

Vamos provar a Parte (1). A prova da Parte (2) está incluída no Exercício (10) e a prova da Parte (3) é o Exercício (14). Para a Parte (1), provaremos a proposição bicondicional provando as duas proposições condicionais associadas.

Portanto, vamos deixar a ser um número real positivo e ser (x in mathbb {R} ) e primeiro assumir que (| x |

Portanto, em ambos os casos, provamos que (- a

Esses dois casos provam que se (- a

Exercícios para a seção 3.4

  1. Na Atividade de visualização ( PageIndex {2} ), provamos que se (n ) é um inteiro, então (n ^ 2 + n ) é um inteiro par. Definimos dois inteiros como sendo inteiros consecutivos se um dos inteiros for um a mais que o outro inteiro. Isso significa que podemos representar inteiros consecutivos como (m ) e (m + 1 ), onde (m ) é algum número inteiro.
    Explique por que o resultado provado em Atividade de visualização ( PageIndex {2} ) pode ser usado para provar que o produto de quaisquer dois inteiros consecutivos é divisível por 2.
  2. Prove que se (u ) é um inteiro ímpar, então a equação (x ^ 2 + x - u = 0 ) não tem solução que seja um inteiro.
  3. Prove que se (n ) é um inteiro ímpar, então (n = 4k + 1 ) para algum inteiro (k ) ou (n = 4k + 3 ) para algum inteiro (k ).
  4. Prove a seguinte proposição:

    Para cada inteiro (a ), se (a ^ 2 = a ), então (a = 0 ) ou (a = 1 ).

  5. (a) Prove a seguinte proposição:
    Para todos os inteiros (a ), (b ) e (d ) com (d ne 0 ), se (d ) divide (a ) ou (d ) divide (b ), então (d ) divide o produto (ab ).
    Dica: Observe que a hipótese é uma disjunção. Portanto, use dois casos.
    (b) Escreva a contrapositiva da proposição do Exercício (5a).
    (c) Escreva o inverso da proposição do Exercício (5a). O inverso é verdadeiro ou falso? Justifique sua conclusão.
  6. As seguintes proposições são verdadeiras ou falsas? Justifique todas as suas conclusões. Se uma declaração bicondicional for considerada falsa, você deve determinar claramente se uma das declarações condicionais dentro dela é verdadeira. Nesse caso, você deve declarar um teorema apropriado para esta declaração condicional e prová-lo. (A) Para todos os inteiros (m ) e (n ), (m ) e (n ) são inteiros consecutivos se e somente se 4 divide ((m ^ 2 + n ^ 2 - 1 ).
    (b) Para todos os inteiros (m ) e (n ), 4 divide ((m ^ 2 - n ^ 2) ) se e somente se (m ) e (n ) são ambos par ou (m ) e (n ) são ambos ímpares.
  7. A seguinte proposição é verdadeira ou falsa? Justifique sua conclusão com um contra-exemplo ou uma prova.

    Para cada número inteiro (n ), se (n ) for ímpar, então (8 | (n ^ 2 - 1) ).

  8. Prove que não existem números naturais (a ) e (n ) com (n ge 2 ) e (a ^ 2 + 1 = 2 ^ n ).
  9. As seguintes proposições são verdadeiras ou falsas? Justifique cada conclusão com um contra-exemplo ou uma prova.

    (a) Para todos os inteiros (a ) e (b ) com (a ne 0 ), a equação (ax + b = 0 ) tem uma solução numérica racional.
    (b) Para todos os inteiros (a ), (b ) e (c ), se (a ), (b ) e (c ) forem ímpares, então a equação (ax ^ 2 + bx + c = 0 ) não tem solução que seja um número racional.
    Dica: Não use a fórmula quadrática. Use uma prova por contradição e lembre-se de que qualquer número racional pode ser escrito na forma ( dfrac {p} {q} ), onde (p ) e (q ) são inteiros, (q> 0 ), e (p ) e (q ) não têm fator comum maior que 1.
    (c) Para todos os inteiros (a ), (b ), (c ) e (d ), se (a ), (b ), (c ), e (d ) são ímpares, então a equação (ax ^ 3 + bx ^ 2 + cx + d = 0 ) não tem solução que seja um número racional.

  10. (a) Prove a Parte (2) da Proposição 3.23.
    Para cada (x in mathbb {R} ), (| -x | = | x | ).
    (b) Prove a Parte (2) da Proposição 3.25.
    Para todos os números reais (x ) e (y ), (| xy | = | x | | y | ).
  11. Seja (a ) um número real positivo. Na Parte (1) do Teorema 3.25, provamos que para cada número real (x ), (| x | (a) Complete a seguinte declaração: Para cada número real (x ), (| x | ge a ) se e somente se ....
    (b) Prove que para cada número real (x ), (| x | le a ) se e somente se (- a le x le a )
    (c) Complete a seguinte declaração: Para cada número real (x ), (| x |> a ) se e somente se ....

  12. Prove cada um dos seguintes:

    (a) Para cada número real diferente de zero (x ), (| x ^ {- 1} | = dfrac {1} {| x |} ).
    (b) Para todos os números reais (x ) e (y ), (| x - y | ge | x | - | y | ).
    Dica: Uma ideia frequentemente usada por matemáticos é adicionar 0 a uma expressão “inteligentemente”. Nesse caso, sabemos que ((- y) + y = 0 ). Comece adicionando esta “versão” de 0 dentro do sinal de valor absoluto de (| x | ).
    (c) Para todos os números reais (x ) e (y ), (|| x | - | y || le | x - y | ).

  13. Avaliação de provas
    Veja as instruções do Exercício (19) na página 100 da Seção 3.1.

    Teorema ( PageIndex {1} )

    As probabilidades atribuídas a eventos por uma função de distribuição em um espaço amostral são fornecidas por.

    Prova

    Adicione a prova aqui e ela será ocultada automaticamente se você tiver um modelo "AutoNum" ativo na página.

    Teorema ( PageIndex {1} )

    As probabilidades atribuídas a eventos por uma função de distribuição em um espaço amostral são fornecidas por.

    Prova

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    Explorações e Atividades

  14. Prova da Desigualdade do Triângulo.

    (a) Verifique se a desigualdade do triângulo é verdadeira para vários números reais diferentes (x ) e (y ). Certifique-se de ter alguns exemplos onde os números reais são negativos.
    (b) Explique por que a seguinte proposição é verdadeira: Para cada número real (r ), (- | r | le r le | r | ).
    (c) Agora, sejam (x ) e (y ) números reais. Aplique o resultado da Parte (14b) a (x ) e (y ). Em seguida, adicione as partes correspondentes das duas desigualdades para obter outra desigualdade. Use isso para provar que (| x + y | le | x | + | y ​​| ).

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