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1.2: Nós - Matemática


Os dados da rede são definidos por atores e por relações (ou "nós" e "arestas"). Outras abordagens empíricas nas ciências sociais também pensam em termos de casos ou assuntos ou elementos de amostra e semelhantes. Há uma diferença com a maioria dos dados de rede, no entanto, que faz uma grande diferença em como esses dados são geralmente coletados - e os tipos de amostras e populações que são estudadas.

A análise de rede enfoca as relações entre os atores, e não os atores individuais e seus atributos. Isso significa que os atores geralmente não são amostrados de forma independente, como em muitos outros tipos de estudos (mais tipicamente, pesquisas). Suponha que estejamos estudando laços de amizade, por exemplo. John foi selecionado para fazer parte de nossa amostra. Quando perguntamos a ele, John identifica sete amigos. Precisamos rastrear cada um desses sete amigos e perguntar a eles sobre seus laços de amizade também. Os sete amigos estão em nossa amostra porque John está (e vice-versa), então os "elementos da amostra" não são mais "independentes".

Os nós ou atores incluídos em estudos não relacionados à rede tendem a ser o resultado de uma amostragem probabilística independente. É muito mais provável que os estudos de rede incluam todos os atores que ocorrem dentro de algum limite (geralmente de ocorrência natural). Freqüentemente, os estudos de rede não usam "amostras" de forma alguma, pelo menos no sentido convencional. Em vez disso, eles tendem a incluir todos os atores em alguma população ou populações. Obviamente, as populações incluídas em um estudo de rede podem ser uma amostra de um conjunto maior de populações. Por exemplo, quando estudamos padrões de interação entre os alunos em uma sala de aula, incluímos todas as crianças em uma sala de aula (ou seja, estudamos toda a população da sala de aula). A própria sala de aula, entretanto, pode ter sido selecionada por métodos de probabilidade de uma população de salas de aula (digamos, todas as de uma escola).

O uso de populações inteiras como forma de selecionar observações em (muitos) estudos de rede torna importante para o analista ser claro sobre os limites de cada população a ser estudada e como as unidades individuais de observação devem ser selecionadas dentro dessa população. Conjuntos de dados de rede também frequentemente envolvem vários níveis de análise, com atores embutidos no nível mais baixo (ou seja, projetos de rede podem ser descritos usando a linguagem de projetos "aninhados").

Populações, amostras e limites

Os analistas de redes sociais raramente extraem amostras em seu trabalho. Mais comumente, os analistas de rede irão identificar alguma população e conduzir um censo (ou seja, incluir todos os elementos da população como unidades de observação). Um analista de rede pode examinar todos os substantivos e objetos que ocorrem em um texto, todas as pessoas em uma festa de aniversário, todos os membros de um grupo de parentesco, de uma organização, bairro ou classe social (por exemplo, proprietários de terras em uma região ou realeza )

Os métodos de pesquisa de levantamento geralmente usam uma abordagem bastante diferente para decidir quais nós estudar. Uma lista é feita de todos os nós (às vezes estratificados ou agrupados) e os elementos individuais são selecionados por métodos de probabilidade. A lógica do método trata cada indivíduo como uma "replicação" separada que é, de certo modo, intercambiável com qualquer outra.

Como os métodos de rede se concentram nas relações entre os atores, os atores não podem ser amostrados de forma independente para serem incluídos como observações. Se um ator for selecionado, então devemos incluir também todos os outros atores com os quais nosso ego tem (ou poderia ter) ligações. Como resultado, as abordagens de rede tendem a estudar populações inteiras por meio de censo, em vez de por amostra (discutiremos uma série de exceções a isso em breve, no tópico de laços de amostragem).

As populações estudadas pelos analistas de rede são notavelmente diversas. Em um extremo, eles podem consistir em símbolos em textos ou sons em verbalizações; no outro extremo, as nações do sistema mundial de estados podem constituir a população de nós. Talvez o mais comum, é claro, sejam as populações de pessoas individuais. Em cada caso, entretanto, os elementos da população a ser estudada são definidos ao se enquadrarem em algum limite.

As fronteiras das populações estudadas por analistas de rede são de dois tipos principais. Provavelmente, mais comumente, os limites são aqueles impostos ou criados pelos próprios atores. Todos os membros de uma classe, organização, clube, bairro ou comunidade podem constituir uma população. Esses são clusters ou redes que ocorrem naturalmente. Então, em certo sentido, os estudos de redes sociais muitas vezes traçam os limites em torno de uma população que é conhecida, a priori, para ser uma rede. Alternativamente, um analista de rede pode adotar uma abordagem mais "demográfica" ou "ecológica" para definir os limites populacionais. Podemos fazer observações entrando em contato com todas as pessoas que são encontradas em uma área espacial delimitada ou que atendem a algum critério (tendo renda familiar bruta acima de $ 1.000.000 por ano). Aqui, podemos ter motivos para suspeitar da existência de redes, mas a entidade em estudo é uma agregação abstrata imposta pelo investigador - ao invés de um padrão de ação social institucionalizada que foi identificada e rotulada por seus participantes.

Os analistas de rede podem expandir os limites de seus estudos replicando populações. Em vez de estudar um bairro, podemos estudar vários. Este tipo de desenho (que poderia usar métodos de amostragem para selecionar populações) permite a replicação e o teste de hipóteses por comparação de populações. Uma segunda maneira, igualmente importante, de os estudos de rede expandirem seu escopo é pela inclusão de vários níveis de análise, ou modalidades.

Modalidade e níveis de análise

O analista de rede tende a ver indivíduos aninhados em redes de relações face a face com outras pessoas. Freqüentemente, essas redes de relações interpessoais tornam-se "fatos sociais" e ganham vida própria. Uma família, por exemplo, é uma rede de relações íntimas entre um conjunto de pessoas. Mas essa rede particular foi institucionalizada e recebeu um nome e uma realidade além de seus nós componentes. Os indivíduos em suas relações de trabalho podem ser vistos como aninhados nas organizações; em suas relações de lazer, podem ser aninhados em associações voluntárias. Bairros, comunidades e até sociedades são, em vários graus, entidades sociais em si mesmas. E, como entidades sociais, eles podem formar laços com os indivíduos aninhados neles e com outras entidades sociais.

Freqüentemente, os conjuntos de dados de rede descrevem os nós e as relações entre os nós para uma única população limitada. Se eu estudar os padrões de amizade entre os alunos em uma sala de aula, estarei fazendo um estudo desse tipo. Mas uma sala de aula existe dentro de uma escola - que pode ser pensada como uma rede que relaciona classes e outros atores (diretores, administradores, bibliotecários, etc.). E a maioria das escolas existe dentro de distritos escolares, que podem ser pensados ​​como redes de escolas e outros atores (conselhos escolares, alas de pesquisa, departamentos de compras e pessoal etc.). Pode até haver padrões de vínculos entre distritos escolares (digamos, por intercâmbio de alunos, professores, materiais curriculares, etc.).

A maioria dos analistas de redes sociais pensa nas pessoas como indivíduos inseridos em redes inseridas em redes inseridas em redes. Os analistas de rede descrevem essas estruturas como "multimodais". Em nosso exemplo de escola, alunos e professores individuais formam um modo, salas de aula um segundo, escolas um terceiro e assim por diante. Um conjunto de dados que contém informações sobre dois tipos de entidades sociais (digamos, pessoas e organizações) é uma rede de dois modos.

É claro que esse tipo de visão da natureza das estruturas sociais não é exclusivo dos analistas de redes sociais. Os analistas estatísticos lidam com os mesmos problemas dos designs "hierárquicos" ou "aninhados". Os teóricos falam dos níveis macro-meso-micro de análise ou desenvolvem esquemas para identificar os níveis de análise (indivíduo, grupo, organização, comunidade, instituição, sociedade, ordem global sendo talvez o sistema mais comumente usado na sociologia). Uma vantagem do pensamento e método de rede é que naturalmente predispõe o analista a se concentrar em vários níveis de análise simultaneamente. Ou seja, o analista de rede está sempre interessado em como o indivíduo está inserido em uma estrutura e como a estrutura emerge das micro-relações entre as partes individuais. A capacidade dos métodos de rede de mapear tais relações multimodais é, pelo menos potencialmente, um passo adiante no rigor.

Tendo afirmado que os métodos de redes sociais são particularmente adequados para lidar com vários níveis de análise e estruturas de dados multimodais, deve-se admitir imediatamente que a análise de redes sociais raramente leva vantagem. A maioria das análises de rede nos leva além do simples micro ou macro reducionismo - e isso é bom. Poucos, se houver, conjuntos de dados e análises, no entanto, tentaram trabalhar em mais de dois modos simultaneamente. E, mesmo ao trabalhar com dois modos, a estratégia mais comum é examiná-los mais ou menos separadamente (uma exceção a isso é a análise conjunta de redes de dois modos). No capítulo 17, daremos uma olhada em alguns métodos para redes multimodo.


E mais uma solução, combinatória: o problema equivale ao número de pares de nós possíveis no gráfico, ou seja:

você tem n - nós, cada um tem n -1 conexões (cada um está conectado a todos os nós, exceto a si mesmo), então obtemos n * (n-1). No entanto, como a conexão (x, y) e (y, x) é a mesma (para todas as conexões), terminamos com n * (n-1) / 2.

Desculpe pela má nomenclatura, sou um físico, não um cara de CS / Matemática.

Cada nó (dos quais existem n) deve ser conectado a todos os outros. Existem (n-1) "todos os outros".

Portanto, cada n nós tem n-1 conexões saindo deles. n (n-1)

Mas como cada conexão é "bidirecional" (a para b = b para a), você acaba com um fator de 1/2

Prova por indução. Caso base - para 2 nós, há 1 conexão e 2 * 1/2 == 1. Agora, supondo que para N nós, temos N * (N-1) / 2 conexões. Adicionar mais um nó deve estabelecer N conexões adicionais e:

Esta última linha é exatamente N * (N - 1) / 2 com N substituído por N + 1, então a prova é boa.

O grau de cada vértice é n-1 (porque tem n-1 vizinhos).
Lema do aperto de mão, diz: Sigma (deg (v)) (para cada nó) = 2 | E | . Desse modo:

para 2 nós: conexões n-1 (já é o primeiro nó conectado)

para 3 nós: n-2 conexões .. para n nós: n- (n-1) conexões

Portanto, conexões totais = n + n-1 + n-2 +. 1

A resposta mais apropriada para determinar o número máximo de links possíveis de N nós da rede é.

O número total de combinações / conexões possíveis em que um link requer 2 nós, portanto:

onde N & gt1, pois são necessários 2 nós para ter um Link.

Tarde e não uma prova, mas você poderia "visualizar" os nós como coordenadas e relacionamentos como células em uma matriz. Não sei como desenhar algo aqui.

Uma coluna por nó, uma linha por nó, a célula na cruz é a relação.

Você tem xx células possíveis. Mas você precisa remover as células diagonais topleft-bottomright (um nó pode ser vinculado a si mesmo). Assim, você remove células x e tem apenas (xx-x) = x * (x-1) células restantes. Então, a célula (x, y) é o mesmo link que a célula (y, x), portanto, você pode remover metade das células restantes: x * (x-1) / 2


também é feito com os operadores subscrito e sobrescrito:

No entanto, se você tentar fazer isso usando o modelo anterior, você obterá algo um pouco diferente com a aparência. Para lidar com este problema, vamos continuar falando sobre exibir modo matemático, que é um recurso que você usará com muita frequência de qualquer maneira.

Como você já deve ter notado, a maneira como os nós do curso são dispostos, às vezes colocamos LaTeX matemático no meio de um parágrafo como este, mas às vezes criamos um parágrafo separado e centralizado que fica sozinho assim:

O primeiro tipo de composição é chamado na linha e o segundo tipo é chamado mostrar composição. Como regra geral, a composição em linha é usada para causar o mínimo de perturbação no fluxo do texto, enquanto a exibição é usada para enfatizar e distinguir explicitamente um trecho de texto de seus arredores. (Não se limita à matemática, por exemplo, essas notas também usam vários estilos de código-fonte.)

Enquanto o LaTeX usa $ cifrões simples $ para conter matemática embutida, ele usa $ cifrões duplos $ para conter a matemática de exibição. Aqui está um exemplo que mostra os dois tipos de monitores: o código-fonte

  1. Sequência numérica: definir uma sequência numérica com base em três entradas: início, montante e Passo. Esta sequência representa o & apost & apos na equação paramétrica, então queremos usar uma lista que é grande o suficiente para definir uma espiral.

A etapa acima criou uma lista de números para definir o domínio paramétrico. A espiral dourada é definida como a equação: = e =. O grupo de nós abaixo representa esta equação na forma de programação visual.

  1. Número deslizante: Adicione dois controles deslizantes de número à tela. Esses controles deslizantes representarão o uma e a b variáveis ​​da equação paramétrica. Eles representam uma constante que é flexível ou parâmetros que podemos ajustar para um resultado desejado.
  2. * : O Nó de multiplicação é representado por um asterisco. Vamos usar isso repetidamente para conectar variáveis ​​de multiplicação
  3. Math.RadiansToDegrees: The & apostOs valores & apos precisam ser traduzidos em graus para sua avaliação nas funções trigonométricas. Lembre-se de que o padrão do Dínamo é em graus para avaliar essas funções.
  4. Math.Pow: como uma função do & apost& apos e o número & apose& apos isso cria a sequência de Fibonacci.
  5. Math.Cos e Math.Sin: Essas duas funções trigonométricas irão diferenciar a coordenada xea coordenada y, respectivamente, de cada ponto paramétrico.
  6. Assistir: Agora vemos que nossa saída são duas listas, estas serão as x e y coordenadas dos pontos usados ​​para gerar a espiral.

Da fórmula à geometria

Agora, a maior parte dos nós da etapa anterior funcionará bem, mas é muito trabalhoso. Para criar um fluxo de trabalho mais eficiente, dê uma olhada em Blocos de Código (seção 3.3.2.3) para definir uma sequência de expressões Dynamo em um nó. Nesta próxima série de etapas, veremos como usar a equação paramétrica para desenhar a espiral de Fibonacci.

  1. Point.ByCoordinates: Conecte o nó de multiplicação superior no & aposxentrada & apos e o inferior para & aposy& apos entrada. Agora vemos uma espiral paramétrica de pontos na tela.

  1. Polycurve.ByPoints: Connect Point.ByCoordinates da etapa anterior para pontos. Podemos sair connectLastToFirst sem uma entrada porque não estamos fazendo uma curva fechada. Isso cria uma espiral que passa por cada ponto definido na etapa anterior.

Nós agora completamos a Espiral de Fibonacci! Vamos levar isso adiante em dois exercícios separados a partir daqui, que chamaremos de Nautilus e Girassol. Essas são abstrações de sistemas naturais, mas as duas aplicações diferentes da espiral de Fibonacci serão bem representadas.

Da espiral ao Nautilus

  1. Como ponto de partida, vamos começar com a mesma etapa do exercício anterior: criar uma matriz em espiral de pontos com o Point.ByCoordinates Nó.

  1. Polycurve.ByPoints: Novamente, este é o Nodo do exercício anterior, que usaremos como referência.
  2. Circle.ByCenterPointRadius: Usaremos um nó circular aqui com as mesmas entradas da etapa anterior. O valor do raio é padronizado para 1.0, então vemos uma saída imediata de círculos. Torna-se imediatamente legível como os pontos divergem ainda mais da origem.

  1. Circle.ByCenterPointRadius: Para criar uma matriz mais dinâmica de círculos, conectamos a sequência de números original (o & apost& apos) no valor do raio.
  2. Sequência numérica: Este é o array original de & apost& apos. Ao inserir isso no valor do raio, os centros do círculo ainda divergem mais da origem, mas o raio dos círculos está aumentando, criando um gráfico de círculo Fibonacci estranho. Pontos de bônus se você torná-lo 3D!

Do Nautilus ao Padrão de Filotaxia

Agora que fizemos uma concha Nautilus circular, vamos pular para grades paramétricas. Vamos usar uma rotação básica na espiral de Fibonacci para criar uma grade de Fibonacci, e o resultado é modelado a partir do crescimento de sementes de girassol.

  1. Mais uma vez, como ponto de partida, vamos começar com a mesma etapa do exercício anterior: criar uma matriz em espiral de pontos com o Point.ByCoordinates Nó.

  1. Geometria.Rotação: Existem várias opções de geometria.Rotação, certifique-se de ter escolhido o nó com geometria,basePlane, e graus como suas entradas. Conectar Point.ByCoordinates na entrada de geometria.
  2. Plane.XY: Conecte-se ao basePlane entrada. Vamos girar em torno da origem, que é o mesmo local da base da espiral.
  3. Intervalo de números: Para nossa entrada de grau, queremos criar várias rotações. Podemos fazer isso rapidamente com um componente Number Range. Conecte isso ao graus entrada.
  4. Número: E para definir o intervalo de números, adicione três nós de número à tela em ordem vertical. De cima para baixo, atribua valores de 0.0,360.0, e 120.0 respectivamente. Eles estão impulsionando a rotação da espiral. Observe os resultados de saída do Faixa de Números nó depois de conectar os três nós de número ao nó.

Nossa produção está começando a se assemelhar a um redemoinho. Vamos ajustar algumas das Faixa de Números parâmetros e veja como os resultados mudam:


1.2: Nós - Matemática

Um analisador de expressões matemáticas. Queremos dizer por matemática que, por exemplo, operações aritméticas são consideradas, por exemplo, se você passar 1 + 2, o resultado será um nó com operador de tipo e nome + com dois nós filhos do tipo número em sua propriedade args. Basta brincar com as expressões, registrar o resultado e ver as diferentes situações.

npm install @ scicave / math-parser

Operador Precedência Associatividade
! 6 N / D
^ 5 da esquerda para direita
* 4 da esquerda para direita
/ 4 da esquerda para direita
+ 3 da esquerda para direita
- 3 da esquerda para direita
!= 2 da esquerda para direita
& gt = 2 da esquerda para direita
& lt = 2 da esquerda para direita
& gt 2 da esquerda para direita
& lt 2 da esquerda para direita
= 1 da esquerda para direita

A função de análise retorna um Node, que pode ter uma matriz de outros Node s em seus argumentos.

Se o Node for id ou function, ele pode ser embutido.

Este método pode verificar todas as propriedades, exceto args, ele será ignorado.

Você pode verificar o tipo diretamente aqui, mas por que não node.type === "the_type"? Como "the_type" não é um tipo válido, .checkType será lançado se você passar um tipo inválido.

Este método pode verificar qualquer um dos argumentos com props de propriedades. Ele não verifica se há args, ele será ignorado.

O mesmo que hasChild, mas recursivamente.

Valores disponíveis para Node.prototype.type.

Matriz de strings literais: Node.types.values.

Todos os operadores válidos: Node.types.operators.

Quando opções inválidas são passadas, mathParser.OptionsError é lançado.

Tipo = booleano, padrão: verdadeiro.

Para realizar a multiplicação nestes casos:

Aviso: sinxcosx quando singleCharName for false será um nome de variável

Tipo = booleano, padrão: verdadeiro.

Matemática funciona convencionalmente com variáveis ​​e constantes com um único caractere, mas em linguagens de programação você tem liberdade. A convenção em programação é usar um identificador nomeado com vários caracteres. Veja: options.builtinIDs.

Quando uma expressão de membro é encontrada, as propriedades e métodos podem ter vários caracteres, apesar de options.singleCharName, consulte: options.extra.memberExpressions.

Você pode usar a1, a2, etc. como nomes de um único caractere.

Todos os recursos extras estão ativados.

  • memberExpressions, por exemplo:
    • p.x
    • point.x
    • f (x) .someProperty.fn (y) .result: sintaxe válida em ambos os casos de singleCharName.
    • . etc, e assim por diante.
    • [1,2]
    • (-.5, infinito)
    • (-pi, 1]
    • [2,5)

    Você pode usar reticências como fator válido, por exemplo, 1 + 2 +. + 10

    Esta expressão lançará um erro de sintaxe, 1 + 2 + (.) + 10

    extra.ellipsis é mais personalizável:

    Intervalos, devem ter 2 termos como expressão matemática:

    • (. a]: lançar erro de sintaxe
    • (. a): é uma tupla, analisada se extra.ellipsis for true
    • [. a]: é uma matriz, analisada se extra.matrices for verdadeira

    Type = Array & ltstring & gt, default = []

    Quando autoMult for verdadeiro, alguma expressão como f (x) será considerada como multiplicação f * (x), a fim de analisá-la como uma função com nome = "f", você pode passar options.functions = ['f'] .

    Quando singleCharName == true, você deve passar funções single-char.

    Ao analisar a.method (.), Independentemente de singleCharName, os nomes dos métodos serão sempre nomes com vários caracteres.

    Type = Array & ltstring & gt, default = ["infinito", "pi", "phi"]

    Se você deseja expandir os padrões, coloque "." Como o primeiro item da matriz, no índice 0, por exemplo:

    Para usar nomes com vários caracteres ao definir singleCharName como true, por exemplo:

    Expressão Matemática Equivalente a singleCharName
    1 + pix 1 + p * i * x verdadeiro
    1 + xpi 1 + x * p * i verdadeiro
    1 + x pi 1 + x * pi verdadeiro
    1 + pi 1 + pi verdadeiro
    1 + pi x 1 + pi * x falso
    1 + pix 1 + pix falso

    • primário: pode ser usado como sinx e logx.
    • secundário: deve ser usado com parênteses, exp (pi) e arcoth (1,2 ^ 2). As funções internas secundárias podem ser passadas para options.functions, mas deixe-as estar aqui para evitar colocá-las redundantemente em options.functions.

    Se você deseja expandir os padrões, coloque "." Como o primeiro item da matriz, no índice 0.

    Observe, quando singleCharName == true, todos os primários e secundários devem ser usados ​​com parênteses "(.)", Sinx é considerado um nó com tipo "id" e nome "sinx".

    Tipo = booleano, padrão = falso.

    Se você quiser agrupar nós de parênteses no resultado AST, .

    Nesses casos confusos, você pode manipular a expressão analisada para transformar o que deseja.

    5 ^ 2x! Para ser 5 ^ (2x!) Ou (5 ^ 2) (x!) Ou (5 ^ 2x)! ,. O resultado atual AST é equivalente a 5 ^ (2 (x!)).

    x! y Não tenho certeza se analisar como (x!) (y) ou lançar um SyntaxError. Agora ele é analisado sem erros.


    Arclets explicados

    O problema Arclets estabelecido em setembro de 2002 produziu alguns trabalhos muito interessantes e inspiradores do Madras College. Este breve artigo mostra como Sheila, Shona, Alison Colvin, Sarah, Kathryn e Gordan resolveram o problema.

    Cada uma das formas a seguir é feita de arcos de um círculo de raio r.

    Qual é o perímetro de uma forma com $ 3 $, $ 4 $, $ 5 $ e $ n $ "nós".

    O que acontece quando $ n $ é muito grande?

    Explique a relação entre suas respostas e o perímetro do círculo original

    Aqui estão os arclets com $ 3 $, $ 4 $ e $ 5 $ nodes:

    Solução de 3 nós

    Os ângulos no centro do círculo interno são $ 60 ^ < circ> $

    Portanto, os ângulos no centro dos círculos externos são $ 120 ^ < circ> $ e $ 240 ^ < circ> $ ($ 120 ^ < circ> +240 ^ < circ> = 360 ^ < circ> $.

    Podemos, portanto, dividir cada círculo em $ 1/3 $ ($ 120 ^ < circ> $ de $ 360 ^ < circ> $) parte e $ 2/3 $ ($ 240 ^ < circ> $ de $ 360 ^ < circ> $) parte.

    O perímetro do arco é composto de 3 arcos "internos" de $ 1/3 $ da circunferência e 3 arcos "externos" de $ 2/3 $ da circunferência.

    Solução de 4 nós

    Para os arcletos de 4 nós, os ângulos no centro são $ 90 ^ < circ> $

    Os arcos internos são $ 1/4 $ da circunferência ($ 90 ^ < circ> $ - há 4 arcos internos.

    Os arcos externos são $ 1/2 $ da circunferência (4 lotes de $ 45 ^ < circ> $ - há 4 arcos externos.

    Solução de 5 nós

    Como o círculo interno é cercado por cinco círculos externos, há 5 ângulos - todos de $ 72 ^ < circ> $ no centro.

    Usando as propriedades dos triângulos isossel, os arcos externos são $ 2/5 $ da circunferência e os arcos internos são $ 1/5 $ da circunferência.

    Uma imagem de parte do trabalho que Sarah, Kathryn e Gordon fizeram para encontrar o perímetro do arcleto de 5 nós é mostrada abaixo

    Solução de 6 nós

    Diagramas digitalizados que mostram o trabalho de Sheila, Shona e Alison para encontrar o perímetro de um arcleto de 6 nós:

    Encontrando o perímetro do arcleto de N nós

    Sabemos que estas são as equações para o perímetro de arcletos de 3, 4, 5 e 6 nós:

    Se substituirmos $ N $ pelo número do nó, obtemos (em todos os casos):

    Isso se baseia no fato de que os ângulos nos centros dos círculos serão $ 1 / N $ de uma volta completa.

    Se $ N $ for muito grande, a forma do nó começa a se parecer com um círculo:

    Em outras palavras. Não importa quantos nós, o perímetro sempre terá 3 circunferências.


    Exemplos

    Caminho mais curto entre nós especificados

    Crie e plote um gráfico direcionado.

    Calcule o caminho mais curto entre os nós 7 e 8.

    Caminho mais curto no gráfico ponderado

    Crie e plote um gráfico com arestas ponderadas.

    Encontre o caminho mais curto entre os nós 3 e 8 e especifique duas saídas para retornar também o comprimento do caminho.

    Como as arestas no centro do gráfico têm grandes pesos, o caminho mais curto entre os nós 3 e 8 contorna o limite do gráfico, onde os pesos das arestas são os menores. Este caminho tem um comprimento total de 4.

    Caminho mais curto, ignorando pesos de aresta

    Crie e plote um gráfico com arestas ponderadas, usando coordenadas de nós personalizadas.

    Encontre o caminho mais curto entre os nós 6 e 8 com base nos pesos das arestas do gráfico. Destaque este caminho em verde.

    Especifique o Método como não ponderado para ignorar os pesos das arestas, em vez de tratar todas as arestas como se tivessem um peso de 1. Este método produz um caminho diferente entre os nós, que anteriormente tinha um comprimento de caminho muito grande para ser o caminho mais curto. Destaque este caminho em vermelho.

    Caminho mais curto no multigrafo

    Trace o caminho mais curto entre dois nós em um multigrafo e destaque as arestas específicas que são percorridas.

    Crie um multigrafo ponderado com cinco nós. Vários pares de nós têm mais de uma aresta entre eles. Trace o gráfico para referência.

    Encontre o caminho mais curto entre o nó 1 e o nó 5. Como vários pares de nós têm mais de uma aresta entre eles, especifique três saídas para o caminho mais curto para retornar as arestas específicas que o caminho mais curto atravessa.

    Os resultados indicam que o caminho mais curto tem um comprimento total de 11 e segue as arestas fornecidas por G.Edges (edgepath, :).

    Destaque este caminho de borda usando a função de destaque com o par nome-valor 'Bordas' para especificar os índices das bordas percorridas.

    Caminho mais curto das coordenadas do nó

    Encontre o caminho mais curto entre os nós em um gráfico usando a distância entre os nós como os pesos das arestas.

    Crie um gráfico com 10 nós.

    Crio x- e y- coordenadas para os nós do gráfico. Em seguida, plote o gráfico usando as coordenadas do nó, especificando os pares nome-valor 'XData' e 'YData'.

    Adicione pesos de aresta ao gráfico calculando as distâncias euclidianas entre os nós do gráfico. A distância é calculada a partir das coordenadas do nó (x i, y i) como:

    d = | Δ x | 2 + | Δ y | 2 = | x s - x t | 2 + | y s - y t | 2

    Para calcular Δ x e Δ y, primeiro use findedges para obter os vetores sn e tn que descrevem os nós de origem e destino de cada aresta no gráfico. Em seguida, use sn e tn para indexar no x - e y - coordene os vetores e calcule Δ x = x s - x t e Δ y = y s - y t. A função hipoteca calcula a raiz quadrada da soma dos quadrados, portanto, especifique Δ x e Δ y como os argumentos de entrada para calcular o comprimento de cada aresta.

    Adicione as distâncias ao gráfico como os pesos das arestas e replaneje o gráfico com as arestas rotuladas.

    Calcule o caminho mais curto entre o nó 1 e o nó 10 e especifique duas saídas para retornar também o comprimento do caminho. Para gráficos ponderados, o shortestpath usa automaticamente o método 'positivo' que considera os pesos das arestas.


    1.2: Nós - Matemática

    Abreviação: OMLat

    Definição

    Um emph é uma ortolática $ mathbf= langle L, vee, 0, wedge, 1, & # 039 rangle $ tal que

    a lei ortomodular é válida: $ x le y implica x vee (x & # 039 wedge y) = y $.

    Esta lei é equivalente a satisfazer a identidade $ x vee (x & # 039 wedge (x vee y)) = x vee y $.

    Morfismos

    Vamos $ mathbf$ e $ mathbf$ ser redes ortomodulares. Um morfismo de $ mathbf$ a $ mathbf$ é uma função $ h: L rightarrow M $ que é um homomorfismo:

    Exemplos

    Exemplo 1: Os subespaços fechados do Espaço de Hilbert (dimensionalmente contável) formam uma rede ortomodular que não é modular (para espaços vetoriais de dimensão finita todos os subespaços são fechados, portanto, a rede de subespaços fechados é modular).

    Exemplo 2: A menor rede ortomodular não modular tem 10 elementos e é isomórfica a uma soma paralela de uma álgebra booleana de 4 elementos e uma álgebra booleana de 8 elementos. Uma falha da lei modular $ x vee (y wedge (x vee z)) = (x vee y) wedge (x vee z) $ ocorre quando $ x $, $ z $ são átomos do Álgebra de 8 elementos e $ y $ é um átomo da álgebra de 4 elementos.


    Fórmula de interpolação de Lagrange


    Uma fórmula para obter um polinômio de grau $ n $ (o polinômio de interpolação de Lagrange) que interpola uma determinada função $ f (x) $ nos nós $ x _ <0> dots x _ $:

    Quando o $ x _ $ são equidistantes, ou seja, $ x _ <1> - x _ <0> = dots = x _ - x _ 1 = h $, usando a notação $ (x - x _ <0>) / h = t $ um pode reduzir (1) à forma

    $ tag <2> L _ (x) = L _ (x _ <0> + th) = (- 1) ^ frac dots (t- n)> times $

    $ times sum _ 0 ^ (- 1) ^ left ( begin n i end right) frac ) > eu . $

    Na expressão (2), chamada de fórmula de interpolação de Lagrange para nós equidistantes, os coeficientes

    do $ f (x _ ) $ são chamados de coeficientes de Lagrange.

    Se $ f $ tem uma derivada de ordem $ n + 1 $ no intervalo $ [a, b] $, se todos os nós de interpolação estão neste intervalo e se para qualquer ponto $ x in [a, b] $ um define

    $ alpha _ = min pontos x _ , x >, beta _ = max dots x _ , x >, $

    em seguida, um ponto $ xi em [ alpha _ , beta _ ] $ existe de forma que

    $ f (x) - L _ (x) = frac ( xi) omega _ (x)> <(n + 1)! >, $

    $ omega _ (x) = prod _ 0 ^ (x - x _ ) . $

    Se o valor absoluto da derivada $ f ^ <(n + 1)> $ é limitado em $ [a, b] $ por uma constante $ M $ e se os nós de interpolação são escolhidos de forma que as raízes do polinômio de grau de Chebyshev $ n + 1 $ são mapeados nestes pontos sob um mapeamento linear de $ [- 1, 1] $ em $ [a, b] $, então para qualquer $ x em [a, b] $ um tem

    Se os nós de interpolação forem números complexos $ z _ <0> dots z _ $ e estão em algum domínio $ G $ delimitado por um contorno suave por partes $ gamma $, e se $ f $ é uma função analítica de valor único definida no fechamento de $ G $, então a fórmula de interpolação de Lagrange tem a forma

    A fórmula de interpolação de Lagrange para interpolação por meio de polinômios trigonométricos é:

    que é um polinômio trigonométrico de ordem $ n $ tendo valores prescritos $ y _ <0> dots y _ $ nos nós fornecidos $ x _ <0> dots x _ $.


    Argumentos de entrada

    G & # 8212 Gráfico de entrada objeto gráfico

    Gráfico de entrada, especificado como um objeto de gráfico. Use o gráfico para criar um objeto gráfico não direcionado.

    Exemplo: G = gráfico (1,2)

    NodeIDs e # 8212 identificadores de nó índices de nós | nomes de nós

    Identificadores de nó, especificados como um ou mais índices de nó ou nomes de nó.

    Esta tabela mostra as diferentes maneiras de se referir a um ou mais nós por seus índices numéricos de nós ou por seus nomes de nós.

    Exemplo: [1 2 3]

    Matriz de células de vetores de caracteres

    Exemplo: ["A" "B" "C"]

    Exemplo: D = grau (G, [3 4])

    Exemplo: D = grau (G, <'LAX', 'ALB'>)


    Assista o vídeo: Jan Pluta o matematyce (Outubro 2021).