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9.3: Cálculo e Equações Paramétricas - Matemática


A seção anterior definiu curvas com base em equações paramétricas. Nesta seção, vamos empregar as técnicas de cálculo para estudar essas curvas. Ainda estamos interessados ​​em retas tangentes a pontos em uma curva. Eles descrevem como os valores de (y ) - estão mudando em relação aos valores de (x ) -, são úteis para fazer aproximações e indicam a direção instantânea da viagem.

A inclinação da reta tangente ainda é ( frac {dy} {dx} ), e a Regra da Cadeia nos permite calcular isso no contexto de equações paramétricas. Se (x = f (t) ) e (y = g (t) ), a Regra da Cadeia afirma que

[ frac {dy} {dt} = frac {dy} {dx} cdot frac {dx} {dt}. ]

Resolvendo para ( frac {dy} {dx} ), nós temos

[ frac {dy} {dx} = frac {dy} {dt} Bigg / frac {dx} {dt} = frac {g ^ prime (t)} {f ^ prime (t) }, ]

desde que (f ^ prime (t) neq 0 ). Isso é importante, por isso a rotulamos como uma ideia-chave.

ideia-chave 37 Encontrando ( frac {dy} {dx} ) com Equações Paramétricas.

Seja (x = f (t) ) e (y = g (t) ), onde (f ) e (g ) são diferenciáveis ​​em algum intervalo aberto (I ) e (f ^ prime (t) neq 0 ) em (I ). Então

[ frac {dy} {dx} = frac {g ^ prime (t)} {f ^ prime (t)}. ]

Usamos isso para definir a linha tangente.

Definição 47 Linhas Tangentes e Normais

Deixe uma curva (C ) ser parametrizada por (x = f (t) ) e (y = g (t) ), onde (f ) e (g ) são funções diferenciáveis ​​em alguns intervalo (I ) contendo (t = t_0 ). O linha tangente para (C ) em (t = t_0 ) é a reta através de ( big (f (t_0), g (t_0) big) ) com inclinação (m = g ^ prime (t_0) / f ^ prime (t_0) ), fornecido (f ^ prime (t_0) neq 0 ).

O linha normal para (C ) em (t = t_0 ) é a reta através de ( big (f (t_0), g (t_0) big) ) com inclinação (m = -f ^ prime (t_0 ) / g ^ prime (t_0) ), fornecido (g ^ prime (t_0) neq 0 ).

A definição deixa dois casos especiais a serem considerados. Quando a linha tangente é horizontal, a linha normal é indefinida pela definição acima como (g ^ prime (t_0) = 0 ). Da mesma forma, quando a linha normal é horizontal, a linha tangente é indefinida. Parece razoável que essas linhas sejam definidas (pode-se desenhar uma linha tangente ao "lado direito" de um círculo, por exemplo), então adicionamos o seguinte à definição acima.

  1. Se a linha tangente em (t = t_0 ) tem uma inclinação de 0, a linha normal para (C ) em (t = t_0 ) é a linha (x = f (t_0) ).
  2. Se a linha normal em (t = t_0 ) tem uma inclinação de 0, a linha tangente a (C ) em (t = t_0 ) é a linha (x = f (t_0) ).

Exemplo ( PageIndex {1} ): Linhas tangentes e normais para curvas

Seja (x = 5t ^ 2-6t + 4 ) e (y = t ^ 2 + 6t-1 ), e seja (C ) a curva definida por essas equações.

  1. Encontre as equações das linhas tangentes e normais para (C ) em (t = 3 ).
  2. Encontre onde (C ) tem linhas tangentes verticais e horizontais.

Solução

  1. Começamos calculando (f ^ prime (t) = 10t-6 ) e (g ^ prime (t) = 2t + 6 ). Assim, [ frac {dy} {dx} = frac {2t + 6} {10t-6}. ]
    Anote algo que pode parecer incomum: ( frac {dy} {dx} ) é uma função de (t ), não (x ). Assim como os pontos na curva são encontrados em termos de (t ), o mesmo ocorre com as inclinações das retas tangentes.

    O ponto em (C ) em (t = 3 ) é ((31,26) ). A inclinação da linha tangente é (m = 1/2 ) e a inclinação da linha normal é (m = -2 ). Desse modo,

    ( bullet ) a equação da linha tangente é (y = frac12 (x-31) +26 ), e
    ( bullet ) a equação da linha normal é (y = -2 (x-31) +26 ).

    Isso é ilustrado na Figura 9.29.

  2. Para descobrir onde (C ) tem uma linha tangente horizontal, definimos ( frac {dy} {dx} = 0 ) e resolvemos para (t ). Neste caso, isso equivale a definir (g ^ prime (t) = 0 ) e resolver para (t ) (e certificar-se de que (f ^ prime (t) neq 0 )).
    [g ^ prime (t) = 0 quad Rightarrow quad 2t + 6 = 0 quad Rightarrow quad t = -3. ]
    O ponto em (C ) correspondente a (t = -3 ) é ((67, -10) ); a linha tangente nesse ponto é horizontal (portanto, com a equação (y = -10 )).

    Para descobrir onde (C ) tem uma linha tangente vertical, encontramos onde ele tem uma linha normal horizontal e definimos (- frac {f ^ prime (t)} {g ^ prime (t)} = 0 ). Isso equivale a definir (f ^ prime (t) = 0 ) e resolver para (t ) (e certificar-se de que (g ^ prime (t) neq 0 )).
    [f ^ prime (t) = 0 quad Rightarrow quad 10t-6 = 0 quad Rightarrow quad t = 0,6. ]

    O ponto em (C ) correspondente a (t = 0,6 ) é ((2.2,2.96) ). A linha tangente nesse ponto é (x = 2,2 ).

    Os pontos onde as retas tangentes são verticais e horizontais são indicados no gráfico da Figura 9.29.

Exemplo ( PageIndex {2} ): Linhas tangentes e normais para um círculo

  1. Encontre onde o círculo unitário, definido por (x = cos t ) e (y = sin t ) em ([0,2 pi] ), tem linhas tangentes verticais e horizontais.
  2. Encontre a equação da linha normal em (t = t_0 ).

Solução

  1. Calculamos a derivada seguindo a ideia-chave 37:
    [ frac {dy} {dx} = frac {g ^ prime (t)} {f ^ prime (t)} = - frac { cos t} { sin t}. ]
    A derivada é (0 ) quando ( cos t = 0 ); ou seja, quando (t = pi / 2, 3 pi / 2 ). Estes são os pontos ((0,1) ) e ((0, -1) ) no círculo.

    A linha normal é horizontal (e, portanto, a linha tangente é vertical) quando ( sin t = 0 ); ou seja, quando (t = 0, pi, 2 pi ), correspondendo aos pontos ((- 1,0) ) e ((0,1) ) no círculo. Esses resultados devem fazer sentido intuitivamente.

  2. A inclinação da linha normal em (t = t_0 ) é (m = frac { sin t_0} { cos t_0} = tan t_0 ). Esta linha normal passa pelo ponto (( cos t_0, sin t_0) ), dando a linha [ begin {align *} y & = frac { sin t_0} { cos t_0} (x- cos t_0) + sin t_0 & = ( tan t_0) x, end {alinhar *} ]
    contanto que ( cos t_0 neq 0 ). É um fato importante reconhecer que as linhas normais de um círculo passam por seu centro, conforme ilustrado na Figura 9.30. Dito de outra forma, qualquer linha que passa pelo centro de um círculo cruza o círculo em ângulos retos.

Exemplo ( PageIndex {3} ): Linhas tangentes quando ( frac {dy} {dx} ) não está definido

Encontre a equação da linha tangente ao astroide (x = cos ^ 3 t ), (y = sin ^ 3t ) em (t = 0 ), mostrado na Figura 9.31.

Solução
Começamos encontrando (x ^ prime (t) ) e (y ^ prime (t) ):
[x ^ prime (t) = -3 sin t cos ^ 2t, qquad y ^ prime (t) = 3 cos t sin ^ 2t. ]
Observe que ambos são 0 em (t = 0 ); a curva não é suave em (t = 0 ) formando uma cúspide no gráfico. Avaliar ( frac {dy} {dx} ) neste ponto retorna a forma indeterminada de "0/0 ''.

Podemos, entretanto, examinar as inclinações das retas tangentes próximas a (t = 0 ) e tomar o limite como (t a 0 ).
[ begin {align *}
lim limits_ {t to0} frac {y ^ prime (t)} {x ^ prime (t)} & = lim limits_ {t to0} frac {3 cos t sin ^ 2t} {- 3 sin t cos ^ 2t} quad text {(Podemos cancelar como (t neq 0 ).)}
& = lim limits_ {t to0} - frac { sin t} { cos t}
&= 0.
end {align *} ]
Conseguimos algo significativo. Quando a derivada ( frac {dy} {dx} ) retorna uma forma indeterminada em (t = t_0 ), podemos definir seu valor configurando-o como ( lim limits_ {t to t_0} frac {dy} {dx} ), se esse limite existir. Isso nos permite encontrar inclinações de linhas tangentes nas cúspides, o que pode ser muito benéfico.



Figura 9.31: Um gráfico de um astroide.

Descobrimos que a inclinação da reta tangente em (t = 0 ) é 0; portanto, a linha tangente é (y = 0 ), o eixo (x ).

Concavidade

Continuamos a analisar curvas no plano considerando sua concavidade; isto é, estamos interessados ​​em ( frac {d ^ 2y} {dx ^ 2} ), "a segunda derivada de (y ) com respeito a (x ). '' Para encontrar isso, nós precisa encontrar a derivada de ( frac {dy} {dx} ) em relação a (x ); isto é, [ frac {d ^ 2y} {dx ^ 2} = frac {d} {dx} left [ frac {dy} {dx} right], ] mas lembre-se que ( frac {dy} {dx} ) é uma função de (t ), não (x ), tornando este cálculo não simples.

Para tornar a próxima notação um pouco mais simples, deixe (h (t) = frac {dy} {dx} ). Queremos ( frac {d} {dx} [h (t)] ); isto é, queremos ( frac {dh} {dx} ). Novamente apelamos para a Regra da Corrente. Observação:
[ frac {dh} {dt} = frac {dh} {dx} cdot frac {dx} {dt} quad Rightarrow quad frac {dh} {dx} = frac {dh} { dt} Bigg / frac {dx} {dt}. ]

Em palavras, para encontrar ( frac {d ^ 2y} {dx ^ 2} ), primeiro tomamos a derivada de ( frac {dy} {dx} ) em relação a (t ), então divida por (x ^ prime (t) ). Nós reafirmamos isso como uma ideia-chave.

ideia-chave 38 Encontrando ( frac {d ^ 2y} {dx ^ 2} ) com Equações Paramétricas

Sejam (x = f (t) ) e (y = g (t) ) funções duas vezes diferenciáveis ​​em um intervalo aberto (I ), onde (f ^ prime (t) neq 0 ) em (I ). Então
[ frac {d ^ 2y} {dx ^ 2} quad = quad frac {d} {dt} left [ frac {dy} {dx} right] Bigg / frac {dx} { dt} quad = quad frac {d} {dt} left [ frac {dy} {dx} right] Bigg / f ^ prime (t). ]

Os exemplos nos ajudarão a entender essa ideia-chave.

Exemplo ( PageIndex {4} ): Concavidade de curvas planas

Seja (x = 5t ^ 2-6t + 4 ) e (y = t ^ 2 + 6t-1 ) como no Exemplo 9.3.1. Determine os intervalos (t ) - nos quais o gráfico é côncavo para cima / para baixo.

Solução
A concavidade é determinada pela segunda derivada de (y ) em relação a (x ), ( frac {d ^ 2y} {dx ^ 2} ), então calculamos isso aqui seguindo a Ideia-Chave 38.

No Exemplo 9.3.1, encontramos ( frac {dy} {dx} = frac {2t + 6} {10t-6} ) e (f ^ prime (t) = 10t-6 ). Então:
[ begin {align *}
frac {d ^ 2y} {dx ^ 2} & = frac {d} {dt} left [ frac {2t + 6} {10t-6} right] Bigg / (10t-6)
& = - frac {72} {(10t-6) ^ 2} Bigg / (10t-6)
& = - frac {72} {(10t-6) ^ 3} & = - frac {9} {(5t-3) ^ 3}
end {align *} ]

O gráfico das funções paramétricas é côncavo para cima quando ( frac {d ^ 2y} {dx ^ 2}> 0 ) e côncavo para baixo quando ( frac {d ^ 2y} {dx ^ 2} <0 ) . Determinamos os intervalos quando a segunda derivada é maior / menor que 0, primeiro encontrando quando ela é 0 ou indefinida.

Como o numerador de (- frac {9} {(5t-3) ^ 3} ) nunca é 0, ( frac {d ^ 2y} {dx ^ 2} neq 0 ) para todos ( t ). É indefinido quando (5t-3 = 0 ); ou seja, quando (t = 3/5 ). Seguindo o trabalho estabelecido na Seção 3.4, observamos os valores de (t ) maior / menor que (3/5 ) em uma linha numérica:

Revendo o Exemplo 9.3.1, vemos que quando (t = 3/5 = 0,6 ), o gráfico das equações paramétricas tem uma linha tangente vertical. Esse ponto também é um ponto de inflexão para o gráfico, ilustrado na Figura 9.32.

Exemplo ( PageIndex {5} ): Concavidade de curvas planas

Encontre os pontos de inflexão do gráfico das equações paramétricas (x = sqrt {t} ), (y = sin t ), para (0 leq t leq 16 ).

Solução
Precisamos calcular ( frac {dy} {dx} ) e ( frac {d ^ 2y} {dx ^ 2} ).

[ frac {dy} {dx} = frac {y ^ prime (t)} {x ^ prime (t)} = frac { cos t} {1 / (2 sqrt {t}) } = 2 sqrt {t} cos t. ]

[ frac {d ^ 2y} {dx ^ 2} = frac { frac {d} {dt} left [ frac {dy} {dx} right]} {x ^ prime (t)} = frac { cos t / sqrt {t} -2 sqrt {t} sin t} {1 / (2 sqrt {t})} = 2 cos t-4t sin t. ]

Os pontos de inflexão são encontrados definindo ( frac {d ^ 2y} {dx ^ 2} = 0 ). Isso não é trivial, pois equações que misturam polinômios e funções trigonométricas geralmente não têm soluções "legais".

Na Figura 9.33 (a), vemos um gráfico da segunda derivada. Mostra que tem zeros em aproximadamente (t = 0,5, 3,5, 6,5, 9,5, 12,5 ) e (16 ). Essas aproximações não são muito boas, feitas apenas olhando para o gráfico. O Método de Newton fornece aproximações mais precisas. Com precisão de 2 casas decimais, temos:
[t = 0,65, 3,29, 6,36, 9,48, 12,61 texto {e} 15,74. ]
Os pontos correspondentes foram plotados no gráfico das equações paramétricas na Figura 9.33 (b). Observe como a maioria ocorre perto do eixo (x ), mas não exatamente no eixo.

Comprimento do arco

Continuamos nosso estudo das características dos gráficos de equações paramétricas calculando seu comprimento de arco. Lembre-se na Seção 7.4, descobrimos que o comprimento do arco do gráfico de uma função, de (x = a ) a (x = b ), é

[L = int_a ^ b sqrt {1+ left ( frac {dy} {dx} right) ^ 2} dx. ]

Podemos usar esta equação e convertê-la para o contexto de equação paramétrica. Fazendo (x = f (t) ) e (y = g (t) ), sabemos que ( frac {dy} {dx} = g ^ prime (t) / f ^ prime ( t) ). Também será útil calcular o diferencial de (x ):

[dx = f ^ prime (t) dt qquad Rightarrow qquad dt = frac {1} {f ^ prime (t)} cdot dx. ]

Começando com a fórmula do comprimento do arco acima, considere:

[ begin {align *}
L & = int_a ^ b sqrt {1+ left ( frac {dy} {dx} right) ^ 2} dx
& = int_a ^ b sqrt {1+ frac {g ^ prime (t) ^ 2} {f ^ prime (t) ^ 2}} dx.
text {Fatore (f ^ prime (t) ^ 2 ):} &
& = int_a ^ b sqrt {f ^ prime (t) ^ 2 + g ^ prime (t) ^ 2} cdot underbrace { frac1 {f ^ prime (t)} dx} _ { = dt}
& = int_ {t_1} ^ {t_2} sqrt {f ^ prime (t) ^ 2 + g ^ prime (t) ^ 2} dt.
end {align *} ]

Observe os novos limites (não mais limites " (x )", mas limites " (t )"). Eles são encontrados encontrando (t_1 ) e (t_2 ) tais que (a = f (t_1) ) e (b = f (t_2) ). Esta fórmula é importante, então a reformulamos como um teorema.

teorema 82 comprimento do arco de curvas paramétricas

Sejam (x = f (t) ) e (y = g (t) ) equações paramétricas com (f ^ primo ) e (g ^ primo ) contínuas em algum intervalo aberto ( I ) contendo (t_1 ) e (t_2 ) nos quais o gráfico se traça apenas uma vez. O comprimento do arco do gráfico, de (t = t_1 ) a (t = t_2 ), é
[L = int_ {t_1} ^ {t_2} sqrt {f ^ prime (t) ^ 2 + g ^ prime (t) ^ 2} dt. ]

Como antes, essas integrais geralmente não são fáceis de calcular. Começamos com um exemplo simples, depois damos outro em que aproximamos a solução.

Exemplo ( PageIndex {6} ): Comprimento do arco de um círculo

Encontre o comprimento do arco do círculo parametrizado por (x = 3 cos t ), (y = 3 sin t ) em ([0,3 pi / 2] ).

Solução
Pela aplicação direta do Teorema 82, temos

[ begin {align *}
L & = int_0 ^ {3 pi / 2} sqrt {(- 3 sin t) ^ 2 + (3 cos t) ^ 2} dt.
text {Aplique o Teorema de Pitágoras.} &
& = int_0 ^ {3 pi / 2} 3 dt
& = 3t Big | _0 ^ {3 pi / 2} = 9 pi / 2.
end {align *} ]

Isso deve fazer sentido; sabemos pela geometria que a circunferência de um círculo com raio 3 é (6 pi ); uma vez que estamos encontrando o comprimento do arco de (3/4 ) de um círculo, o comprimento do arco é (3/4 cdot 6 pi = 9 pi / 2 ).

Exemplo ( PageIndex {7} ): Comprimento do arco de uma curva paramétrica

O gráfico das equações paramétricas (x = t (t ^ 2-1) ), (y = t ^ 2-1 ) cruza-se como mostrado na Figura 9.34, formando uma "lágrima. '' Encontre o arco comprimento da lágrima.

Solução
Podemos ver pelas parametrizações de (x ) e (y ) que quando (t = pm 1 ), (x = 0 ) e (y = 0 ). Isso significa que iremos integrar de (t = -1 ) a (t = 1 ). Aplicando o Teorema 82, temos
[ begin {align *}
L & = int _ {- 1} ^ 1 sqrt {(3t ^ 2-1) ^ 2 + (2t) ^ 2} dt
& = int _ {- 1} ^ 1 sqrt {9t ^ 4-2t ^ 2 + 1} dt.
end {align *} ]
Infelizmente, o integrando não tem uma antiderivada expressável por funções elementares. Voltamo-nos para a integração numérica para aproximar seu valor. Usando 4 subintervalos, a Regra de Simpson aproxima o valor da integral como (2.65051 ). Usando um computador, mais subintervalos são fáceis de empregar e (n = 20 ) fornece um valor de (2,71559 ). Aumentar (n ) mostra que este valor é estável e uma boa aproximação do valor real.

Área de superfície de um sólido de revolução

Relacionada à fórmula para encontrar o comprimento do arco está a fórmula para encontrar a área da superfície. Podemos adaptar a fórmula encontrada na Idéia-chave 28 da Seção 7.4 de maneira semelhante à feita para produzir a fórmula para o comprimento do arco feita anteriormente.

ideia-chave 39 Área de superfície de um sólido de revolução

Considere o gráfico das equações paramétricas (x = f (t) ) e (y = g (t) ), onde (f ^ primo ) e (g ^ primo ) são contínuos em um intervalo aberto (I ) contendo (t_1 ) e (t_2 ) no qual o gráfico não se cruza.

  1. A área de superfície do sólido formado pela rotação do gráfico em torno do eixo (x ) é (onde (g (t) geq ~ 0 ) em ([t_1, t_2] )):
    [ text {Área da superfície} = 2 pi int_ {t_1} ^ {t_2} g (t) sqrt {f ^ prime (t) ^ 2 + g ^ prime (t) ^ 2} dt . ]
  2. A área de superfície do sólido formado pela rotação do gráfico em torno do eixo (y ) é (onde (f (t) geq ~ 0 ) em ([t_1, t_2] )):
    [ text {Área da superfície} = 2 pi int_ {t_1} ^ {t_2} f (t) sqrt {f ^ prime (t) ^ 2 + g ^ prime (t) ^ 2} dt . ]

Exemplo ( PageIndex {8} ): Área de superfície de um sólido de revolução

Considere a forma de lágrima formada pelas equações paramétricas (x = t (t ^ 2-1) ), (y = t ^ 2-1 ) como visto no Exemplo 9.3.7. Encontre a área da superfície se esta forma for girada em torno do eixo (x ), conforme mostrado na Figura 9.3.8.

Solução

A forma de lágrima é formada entre (t = -1 ) e (t = 1 ). Usando a ideia-chave 39, vemos que precisamos de (g (t) geq 0 ) em ([- 1,1] ), e este não é o caso. Para corrigir isso, simplificamos substituir (g (t) ) por (- g (t) ), que inverte todo o gráfico sobre o eixo (x ) - (e não altera a área de superfície do sólido resultante). A área da superfície é:

[ begin {align *}
text {Area} S & = 2 pi int _ {- 1} ^ 1 (1-t ^ 2) sqrt {(3t ^ 2-1) ^ 2 + (2t) ^ 2} dt
& = 2 pi int _ {- 1} ^ 1 (1-t ^ 2) sqrt {9t ^ 4-2t ^ 2 + 1} dt.
end {align *} ]

Mais uma vez, chegamos a uma integral que não podemos calcular em termos de funções elementares. Usando a regra de Simpson com (n = 20 ), descobrimos que a área é (S = 9,44 ). O uso de valores maiores de (n ) mostra que isso é preciso até 2 casas após o decimal.

Depois de definir uma nova maneira de criar curvas no plano, nesta seção aplicamos técnicas de cálculo à equação paramétrica que define essas curvas para estudar suas propriedades. Na próxima seção, definiremos outra forma de formar curvas no plano. Para fazer isso, criamos um novo sistema de coordenadas, chamado coordenadas polares, que identifica pontos no plano de uma maneira diferente da medida de distâncias dos eixos (y ) - e (x ) -.


Introdução às Equações Paramétricas

Em geral, encontrar as equações paramétricas que descrevem uma curva não é trivial. Para os casos em que a curva é uma forma familiar (como uma curva linear por partes ou uma seção cônica), não é tão complicado encontrar tais equações, devido ao nosso conhecimento de sua geometria.

Como exemplo de curva que é difícil encontrar a parametrização, basta fechar os olhos e desenhar qualquer curva em um pedaço de papel. É provável que a curva tenha uma descrição complicada e, mesmo que você encontre as equações que a descrevem, provavelmente será difícil trabalhar com elas.
Para problemas que apresentam esse tipo de dificuldade, é interessante usar métodos numéricos (como aproximações lineares por partes).

Um exemplo que não é composto de combinações de segmentos de linha ou seções cônicas:

O ciclóide é uma curva com muitas propriedades interessantes. Encontrar as equações paramétricas que o descrevem é muito útil.

Um ciclóide é a curva gerada pela rotação de um círculo (de, digamos, raio # a #) sobre o eixo # x # enquanto traça o caminho do ponto inicialmente na origem.
O parâmetro adotado será o ângulo descrito pelo ponto inicialmente na origem, o centro do círculo e o ponto de contato entre o círculo e o eixo # x #.

A geometria básica * nos dará as equações:

* A coordenada # x # é dada pela diferença entre o arco #a theta #, que é a distância entre a origem e a projeção sobre o eixo # x # do centro do círculo, e a projeção sobre o eixo # x # do raio do círculo associado ao ponto de rastreamento, igual a #a sin (theta) #. A coordenada # y # é dada pela diferença entre a altura do centro do círculo, igual ao raio # a #, e a projeção sobre o eixo # y # do raio do círculo associado ao ponto de rastreamento, igual a #a cos (theta) #.

Os segmentos de linha entre # (x_0, y_0) # e # (x_1, y_1) # podem ser expressos como:
#x (t) = (1-t) x_0 + tx_1 #
#y (t) = (1-t) y_0 + ty_1 #,
onde # 0 leq t leq 1 #.

O vetor de direção de # (x_0, y_0) # a # (x_1, y_1) # é
#vec= (x_1, y_1) - (x_0, y_0) = (x_1-x_0, y_1-y_0) #.
Podemos encontrar qualquer ponto # (x, y) # no segmento de linha adicionando um múltiplo escalar de #vec# para o ponto # (x_0, y_0) #. Então nós temos
# (x, y) = (x_0, y_0) + t (x_1-x_0, y_1-y_0) #,
que simplifica para:
# (x, y) = ((1-t) x_0 + tx_1, (1-t) y_0 + ty_1) #,
onde # 0 leq t leq 1 #.


9.3: Cálculo e Equações Paramétricas - Matemática

Nesta seção, encontraremos uma fórmula para determinar a área sob uma curva paramétrica dada pelas equações paramétricas,

[x = f left (t right) hspace <0.25in> hspace <0.25in> y = g left (t right) ]

Também precisaremos adicionar mais a suposição de que a curva é traçada exatamente uma vez à medida que (t ) aumenta de ( alpha ) para ( beta ).

Faremos isso da mesma maneira que encontramos a primeira derivada na seção anterior. Vamos primeiro lembrar como encontrar a área sob (y = F left (x right) ) em (a le x le b ).

Agora pensaremos na equação paramétrica (x = f left (t right) ) como uma substituição na integral. Também assumiremos que (a = f left ( alpha right) ) e (b = f left ( beta right) ) para os fins desta fórmula. Na verdade, não há razão para supor que esse sempre será o caso e, portanto, daremos uma fórmula correspondente mais tarde se for o caso oposto ( (b = f left ( alpha right) ) e (a = f left ( beta right) )).

Então, se isso vai ser uma substituição, vamos precisar,

Conectar isso à fórmula de área acima e certificar-se de alterar os limites de seus valores (t ) correspondentes nos dá,

Como não sabemos o que é (F left (x right) ), usaremos o fato de que

[y = F left (x right) = F left ( direita) = g esquerda (t direita) ]

e chegamos à fórmula que desejamos.

Área sob a curva paramétrica, Fórmula I

Agora, se acontecer de termos (b = f left ( alpha right) ) e (a = f left ( beta right) ) a fórmula seria,

Área sob a curva paramétrica, Fórmula II

Primeiro, observe que mudamos o parâmetro para ( theta ) para este problema. Isso é para garantir que não fiquemos muito presos a sempre ter (t ) como parâmetro.

Agora, poderíamos fazer um gráfico para verificar se a curva é traçada exatamente uma vez para o intervalo dado, se quiséssemos. Veremos esta curva com mais detalhes após este exemplo, portanto, não esboçaremos seu gráfico aqui.

Realmente não há muito neste exemplo além de conectar as equações paramétricas na fórmula. Precisamos primeiro da derivada da equação paramétrica para (x ) no entanto.

A curva paramétrica (sem os limites) que usamos no exemplo anterior é chamada de ciclóide. Em sua forma geral, o ciclóide é,

O ciclóide representa a seguinte situação. Considere uma roda de raio (r ). Seja o ponto onde a roda toca o solo inicialmente denominado (P ). Em seguida, comece a girar a roda para a direita. Conforme a roda gira para a direita, trace o caminho do ponto (P ). O caminho que o ponto (P ) traça é chamado de ciclóide e é dado pelas equações acima. Nessas equações, podemos pensar em ( theta ) como o ângulo através do qual o ponto (P ) girou.

Aqui está um ciclóide esboçado com a roda mostrada em vários lugares. O ponto azul é o ponto (P ) na roda que estamos usando para traçar a curva.

A partir deste esboço, podemos ver que um arco do ciclóide é traçado no intervalo (0 le theta le 2 pi ). Isso faz sentido quando você considera que o ponto (P ) estará de volta ao solo depois de girar em um ângulo de (2 pi ).


Equações paramétricas - velocidade e aceleração

O velocidade de uma partícula cujo movimento é descrito por uma equação paramétrica é dado em termos das derivadas de tempo da coordenada x x x, x ˙, ponto, x ˙, ey y y -coordenada, y ˙: ponto: y ˙:

O magnitude da aceleração de uma partícula cujo movimento é descrito por uma função paramétrica é dado em termos das derivadas do segundo tempo da coordenada x x x, x ¨, ddot, x ¨, ey y y -coordenar, y ¨: ddot: y ¨:

Ambas as relações caem fora das definições de cinemática unidimensional e adição de vetor, e podem ser usadas para calcular essas quantidades para qualquer partícula cuja posição seja conhecida.

O movimento desse pêndulo é matematicamente complexo, mas o vetor de aceleração é sempre a taxa de variação do vetor de velocidade. [1]

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Math 2210 | Cálculo III

Esses vídeos de aula são organizados em uma ordem que corresponde ao livro atual que estamos usando para nossos cursos Math2210, Calculus 3 (Cálculo, com Equações Diferenciais, de Varberg, Purcell e Rigdon, 9ª edição publicada por Pearson) Numeramos os vídeos para referência rápida, então é razoavelmente óbvio que cada vídeo subsequente pressupõe conhecimento do material dos vídeos anteriores. Juntamente com o vídeo-aula para cada tópico, incluímos as "pré-notas" e "pós-notas" que são as notas da aula antes de resolvermos os problemas e depois de resolvermos tudo durante a aula, respectivamente. Você pode baixar as notas para usar como referência enquanto assiste ao vídeo da aula ou para referência posterior.

Se você encontrar um erro na palestra ou um problema com o vídeo, ou se você gostaria de nos enviar um feedback sobre essas palestras, envie um e-mail para [email protected] para fazer isso.


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    Equações paramétricas: eliminando parâmetros

    Para esboçar o gráfico de equações paramétricas, devem ser obtidas as coordenadas xey. Isso pode ser feito selecionando valores para o parâmetro e calculando os valores xey um de cada vez. Esse processo, chamado de plotagem de pontos, funciona bem quando é fornecido um pequeno intervalo finito para o parâmetro.

    x = 4t, y = 8t 2, quando 0 & # x2264 t & # x2264 4


    Quando o intervalo não é pequeno e finito, a plotagem de pontos torna-se tediosa e nem sempre revela o comportamento geral do gráfico. O esboço de curva pode ser menos tedioso, convertendo as duas equações paramétricas em uma equação retangular. Este método é conhecido como eliminando o parâmetro .

    Para eliminar o parâmetro, resolva uma das equações paramétricas para o parâmetro. Em seguida, substitua este resultado pelo parâmetro na outra equação paramétrica e simplifique.

    DIRETRIZES PARA ELIMINAR O PARÂMETRO:

    1. Resolva uma equação paramétrica em termos do parâmetro.

    2. Substitua a expressão resultante para o parâmetro na outra equação paramétrica.

    Vamos usar este método no par de equações paramétricas acima. Resolva uma das equações paramétricas para o parâmetro, digamos x = 4t.


    Substitua a expressão resultante para o parâmetro na outra equação paramétrica e simplifique.

    y = 8 t 2 & # x2192 y = 8 (x 4) 2 & # x2192 y = 8 x 2 16 & # x2192 y = x 2 2


    A equação retangular resultante, 1 2 x 2, representa uma parábola que se abre, tem um eixo de simetria em x = 0 e um vértice de (0, 0).


    Veja como esta equação retangular oferece uma melhor compreensão da curva como um todo.

    Entenda que eliminar o parâmetro é apenas uma maneira de entender o comportamento geral da curva. As equações paramétricas ainda são necessárias para descrever o parâmetro e a orientação da curva.

    Um cuidado ao eliminar o parâmetro, o domínio da equação retangular resultante pode precisar ser ajustado para concordar com o domínio do parâmetro conforme dado nas equações paramétricas.

    No exemplo acima, o domínio do parâmetro t em ambas as equações paramétricas é o conjunto de todos os números reais, x = 4t ey = 8t 2. O domínio da equação retangular, y = 1 2 x 2, também é o conjunto de números reais. Como o domínio é o mesmo para o parâmetro e a equação retangular, nenhum ajuste de domínio é necessário.

    Observe o seguinte conjunto de equações paramétricas:


    Resolva a primeira equação paramétrica para o parâmetro.

    x = t + 3 & # x2192 x & # x2212 3 = t & # x2192 (x & # x2212 3) 2 = t


    Substitua a expressão resultante para o parâmetro na outra equação paramétrica e simplifique.

    Com base na equação retangular resultante, y = x 2 - 6x + 40, o domínio é composto de todos os números reais. No entanto, a equação paramétrica, x = t + 3, limita o domínio de t para números onde t> 0. Portanto, o domínio da equação retangular, y = x 2 - 6x + 40, deve ser restrito a todos os números onde x> 0

    Vamos tentar alguns exemplos.

    Etapa 1: Resolva uma das equações paramétricas para o parâmetro

    Etapa 2: substitua a expressão resultante para o parâmetro na outra equação paramétrica e simplifique.

    y = 3 t 2 + 5 Outra equação

    y = 3 (& # x00B1 x + 4) 2 + 5 Substituir por t

    y = 3 x + 12 + 5 Multiplicar / Distribuir

    Etapa 3: Determine o domínio da equação retangular.

    O domínio para t em ambas as equações paramétricas são todos números reais e o domínio para x na equação retangular são todos números reais. Assim, nenhum ajuste é necessário para o domínio da equação retangular.

    Etapa 4: esboce a curva.

    Etapa 1: Resolva uma das equações paramétricas para o parâmetro

    Etapa 2: substitua a expressão resultante para o parâmetro na outra equação paramétrica e simplifique.

    y = 1 t 2 + 10 Outra equação

    y = 1 (1 x & # x2212 1 2) 2 + 10 Substituir por t

    y = 1 1 x 2 − 1 x + 1 4 + 10 Square denom.

    y = x 2 − x + 4 + 10 x by reciprocal

    Step 3: Determine the domain of the rectangular equation.

    The domain for t in the first parametric equation, x = 1 t − 1 2 , is t > 1 2 . The domain for t in the second parametric equation, y = 1 t 2 + 10 is t > 0 . To meet both constraints, the domain of t must be t > 1 2 . Therefore the domain of the rectangular equation, x 2 − x + 14 , is x > 1 2

    Step 4: Sketch the curve.

    To link to this Parametric Equations: Eliminating Parameters page, copy the following code to your site:


    Here are some special cases:

    A curve is parametrically represented as

    Find the length of tangent to the curve at the point where its x x x -coordinate is equal to its y y y -coordinate.

    The length of tangent is defined as the distance between the point of contact with the curve and the point where the tangent meets the x x x -axis.

    Given the parametric equations above, compute lim ⁡ t → 0 d y d x > frac t → 0 lim ​ d x d y ​ .


    Given the endpoints of a line segment, we’ll build the vector equation first, then pull the parametric equations from the vector equation


    Projectile Motion Applications

    Again, parametric equations are very useful for projectile motion applications.

    With parametric equations and projectile motion, think of (x) as the distance along the ground from the starting point, (y) as the distance from the ground up to the sky, and (t) as the time for a certain (x) value and (y) value. This is called the trajectory, or caminho of the object.

    If we remember from the Quadratic Applications section here (Quadratic Projectile Problem), we can define a parabolic curve of an object going up into the sky and back down as (hleft( t ight)=-16<^<2>>+<_<0>>t+<_<0>>), where, in simplistic terms, the (-16) is the gravidade (in feet per seconds per seconds), the (<_<0>>) is the initial velocity (in feet per seconds) and the (<_<0>>) is the initial height (in feet).

    (With a quadratic equation, we could also model the height of an object, given a certain distância from where it started don’t confuse these two types of models.)

    Now we can model both distance and time of this object using parametric equations to get the trajectory of an object. Note that we’re using trigonometry again:

    (Note that the (y) equation includes an initial height (<_<0>>) also note that we assume the object starts at (x=0) if not, we have to add an initial value (<_<0>>) to the (x) equation).

    These equations make sense since the horizontal and vertical distances use the “famous” equation ( ext= ext imes ext

    To solve these problems, we’ll typically want to use one equation first to get the Tempo (t), depending on what we know about either the distance from the starting point ((x)) or how high up the object is ((y)). We then want to see either how far away the object is from the starting point ((x)), or how high up it is ((y)).

    When the problems ask how long the object is in the air, we typically want to set the (y) equation to 0 , since this is when the ball is on the ground. Then we can solve for (t), or time.

    When the problem asks how far the object travels, we typically want to find when the ball hits the ground (from the (y) equation) and then plug that (t) into the (x) equation to see how far it traveled. The (x) part of the equation is typically linear.

    When the problem asks the maximum height of the object, and when it hits that height, we typically want to find the vertex of the (y) equation, since this is the height curve (parabola) for the object. Remember that we can use (displaystyle left( <-frac<<2a>>,,,fleft( <-frac<<2a>>> ight)> ight)) to find the vertex of the quadratic (a<^<2>>+bx+c).

    (Notice that (<_<0>>=0), since the ball starts from the ground).

    (a) When will the ball hit the ground? How far does the ball travel?

    The ball hits the ground after 4 seconds. To get how far the ball travels, we plug this value into the (x) equation, which is distance: (xleft( 4 ight)=120left( 4 ight)=480). Therefore, the ball travels 480 feet before it hits the ground again.

    (b) The maximum height of the ball occurs at the vertex of the height curve of the ball ((y)). Using the standard equation (y=a<^<2>>+bx+c), we can use (displaystyle -frac<<2a>>) to find the (t) part of the equation (when the maximum height occurs), and then use this value to get the (y) (the actual maximum height):

    (a) Find when and where the ball will hit the ground.

    (b) Find the maximum height of the ball. When does this occur?

    First, let’s set up the parametric equations that models the distance ((x)) and height ((y)) at a time (t):

    (a) The ball hits the ground when the height of the ball is 0 this is when the (y) equation equals 0 . Notice that it is also at the ground at 0 seconds (this makes sense).

    The ball hits the ground in 1.792 seconds. To get how far the ball travels, we plug this value into the (x) equation, which is distance: (xleft( <1.792> ight)=left( <50cos 35> ight)left( <1.792> ight)approx 73.396). The ball travels about 73.4 feet.

    (b) The maximum height of the ball occurs at the vertex of the height curve of the ball ((y)). We can use (displaystyle -frac<<2a>>) to find the (t) part of the equation (when the maximum height occurs), and then use this value to get the (y) (the actual maximum height):

    (displaystyle yleft( <.896> ight)=50sin 35left( <.896> ight)-16 < ight)>^<2>>approx 12.851)

    Here are some projectile motion problems with wind we’ll have to add ou subtract vectors. Remember that the wind against the object will have to subtracted from the (x) equation, and the wind in the same direction of the object will have to be added.

    (a) Write a set of parametric equations to model this situation.

    (b) How long does the ball stay in the air (hang time)?

    (If the wind were blowing in the same direction as the ball, we would add to both).

    (b) To find out how long the ball stays in the air, we have to set the (y) equation to 0 and solve for (t). (This is because when the (y) equation hits 0 , the ball hits the ground again.) To solve, either use quadratic formula, or put in graphing calculator (degree mode):

    She hits the ball towards a 40- foot fence that is 120 feet from the plate if it clears this fence, the ball is a home run.

    (a) Will the hit be a home run?

    (b) If so, how much does it clear the fence if not, how much does it miss the fence?

    Note we had to add a wind expressions, and use (cos left( 0 ight)) and (sin left( 0 ight)), since the wind is blowing in the direction of the ball, and it’s a straight-line wind. Also note that (cos left( 0 ight)=1) and (sin left( 0 ight)=0) (so we’re not adding any wind to the vertical equation, which makes sense). Note also that we had to add the initial height of 3 . (If the wind were blowing in against the ball, we would subtract it).

    (a) We need to find the height of the ball when it is 120 feet from the plate if this height is over 40 feet, then the ball will be home run. Let’s plug in 120 for the (x) and solve back for (t):

    . ( displaystyle begin120&=left( <100cos 35> ight)t+14t120&approx 95.92t &approx 1.25end)

    At (t=1.25) seconds, the ball reaches the fence horizontally. Now let’s see how tall the ball is at this time (height) we’ll use the (yleft( <1.25> ight)=3+left( <100sin 35> ight)left( <1.25> ight)-16 < ight)>^<2>>approx 49.7). At 120 feet from the home plate, the ball has a height of about 49.7 feet.

    (b) Since the ball has a height of 49.7 feet when it is 120 feet from the home plate, it will clear the 40- f oot fence by 9.7 feet Jade will make a home run!

    Learn these rules, and practice, practice, practice!

    For Practice: Use the Mathway widget below to try an Eliminate the Parameter problem. Click on Submit (the blue arrow to the right of the problem), and then click on Eliminate the Parameter to see the answer.

    You can also type in your own problem, or click on the three dots in the upper right hand corner and click on “Examples” to drill down by topic.

    If you click on “Tap to view steps”, or Click Here, you can register at Mathway for a free trial, and then upgrade to a paid subscription at any time (to get any type of math problem solved!).

    On to Sequences and Series – you are ready!


    Assista o vídeo: Rachunek różniczkowy - wprowadzenie (Outubro 2021).