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10.5: Linhas - Matemática


Para encontrar a equação de uma reta no plano (x ) - (y ), precisamos de duas informações: um ponto e a inclinação. A encosta transmite direção em formação. Como as linhas verticais têm uma inclinação indefinida, a seguinte afirmação é mais precisa:

Para definir uma linha, é necessário um ponto na linha e a direção da linha.

Isso é válido para linhas no espaço.

Seja (P ) um ponto no espaço, seja ( vec p ) o vetor com ponto inicial na origem e ponto terminal em (P ) (ou seja, ( vec p ) "pontos '' para (P )), e seja ( vec d ) um vetor. Considere os pontos na reta que passa por (P ) na direção de ( vec d ).

Claramente, um ponto na linha é (P ); podemos dizer que o vetor ( vec p ) encontra-se neste ponto da linha. Para encontrar outro ponto na linha, podemos começar em ( vec p ) e nos mover em uma direção paralela a ( vec d ). Por exemplo, começando em ( vec p ) e percorrendo um comprimento de ( vec d ) coloca um em outro ponto da linha. Considere a Figura 10.47, onde certos pontos ao longo da linha são indicados.

A figura ilustra como cada ponto da linha pode ser obtido começando com ( vec p ) e movendo uma certa distância na direção de ( vec d ). Ou seja, podemos definir a linha como uma função de (t ):
[ vec ell (t) = vec p + t vec d. label {eq: linhas1} ]

De muitas maneiras, isso é não um novo conceito. Compare a Equação ref {eq: linhas1} com a equação familiar " (y = mx + b )" de uma linha:

As equações exibem a mesma estrutura: fornecem um ponto de partida, definem uma direção e indicam a distância percorrida nessa direção.

A equação ref {eq: linhas1} é um exemplo de um função com valor vetorial; a entrada da função é um número real e a saída é um vetor. Abordaremos funções com valor vetorial extensivamente no próximo capítulo.

Existem outras maneiras de representar uma linha. Seja ( vec p = langle x_0, y_0, z_0 rangle ) e deixe ( vec d = langle a, b, c rangle ). Então, a equação da linha através de ( vec p ) na direção de ( vec d ) é:
[ begin {align *}
vec ell (t) & = vec p + t vec d
& = langle x_0, y_0, z_0 rangle + t langle a, b, c rangle
& = langle x_0 + at, y_0 + bt, z_0 + ct rangle.
end {align *} ]

A última linha afirma que os valores (x ) da linha são dados por (x = x_0 + em ), os valores (y ) são dados por (y = y_0 + bt ), e o Os valores (z ) são dados por (z = z_0 + ct ). Essas três equações, tomadas em conjunto, são o equações paramétricas da linha através de ( vec p ) na direção de ( vec d ).

Finalmente, cada uma das equações para (x ), (y ) e (z ) acima contém a variável (t ). Podemos resolver para (t ) em cada equação:

[ begin {align *}
x = x_0 + em quad & Rightarrow quad t = frac {x-x_0} {a},
y = y_0 + bt quad & Rightarrow quad t = frac {y-y_0} {b},
z = z_0 + ct quad & Rightarrow quad t = frac {z-z_0} {c},
end {align *} ]

assumindo (a, b, c neq 0 ).

Uma vez que (t ) é igual a cada expressão à direita, podemos defini-los iguais entre si, formando o equações simétricas da linha através de ( vec p ) na direção de ( vec d ):

[ frac {x-x_0} {a} = frac {y-y_0} {b} = frac {z-z_0} {c}. ]

Cada representação tem suas próprias vantagens, dependendo do contexto. Resumimos essas três formas na definição a seguir e, a seguir, damos exemplos de seu uso.

Definição 62 Equações de Linhas no Espaço

Considere a linha no espaço que passa por ( vec p = langle x_0, y_0, z_0 rangle ) na direção de ( vec d = langle a, b, c rangle. )

  1. O equação vetorial da linha é [ vec ell (t) = vec p + t vec d. ]
  2. O equações paramétricas da linha são
    [x = x_0 + at, quad y = y_0 + bt, quad z = z_0 + ct. ]
  3. O equações simétricas da linha são
    [ frac {x-x_0} {a} = frac {y-y_0} {b} = frac {z-z_0} {c}. ]

Exemplo ( PageIndex {1} ): Encontrando a equação de uma linha

Dê todas as três equações, conforme dadas na Definição 62, da reta que passa por (P = (2,3,1) ) na direção de ( vec d = langle -1,1,2 rangle ) . O ponto (Q = (- 1,6,6) ) está nesta linha?

Solução
Identificamos o ponto (P = (2,3,1) ) com o vetor ( vec p = langle 2,3,1 rangle ). Seguindo a definição, temos

  1. a equação vetorial da linha é ( vec ell (t) = langle 2,3,1 rangle + t langle -1,1,2 rangle );
  2. as equações paramétricas da linha são
    [x = 2-t, quad y = 3 + t, quad z = 1 + 2t; text {e} ]
  3. as equações simétricas da linha são
    [ frac {x-2} {- 1} = frac {y-3} {1} = frac {z-1} {2}. ]

As duas primeiras equações da linha são úteis quando um valor (t ) é fornecido: pode-se encontrar imediatamente o ponto correspondente na linha. Esses formulários são bons para cálculos com um computador; a maioria dos programas de software lida facilmente com equações nesses formatos. (Por exemplo, para fazer a Figura 10.48, um determinado programa gráfico recebeu a entrada ( texttt {(2-x, 3 + x, 1 + 2 * x)} ). Este programa em particular requer que a variável seja sempre " (x ) "em vez de" (t ) ").

O ponto (Q = (-1,6,6) ) está na linha? O gráfico da Figura 10.48 deixa claro que não. Podemos responder a essa pergunta sem o gráfico, usando qualquer uma das três formas de equação. Das três, as equações simétricas são provavelmente as mais adequadas para essa tarefa. Basta inserir os valores de (x ), (y ) e (z ) e ver se a igualdade é mantida:
[ frac {-1-2} {- 1} stackrel {?} {=} frac {6-3} {1} stackrel {?} {=} frac {6-1} {2} quad Rightarrow quad 3 = 3 neq2.5. ]
Vemos que (Q ) não se encontra na reta, pois não satisfaz as equações simétricas.

Exemplo ( PageIndex {2} ): Encontrando a equação de uma linha por meio de dois pontos

Encontre as equações paramétricas da reta que passa pelos pontos (P = (2, -1,2) ) e (Q = (1,3, -1) ).

Solução
Lembre-se da afirmação feita no início desta seção: para encontrar a equação de uma reta, precisamos de um ponto e uma direção. Nós temos dois pontos; qualquer um será suficiente. A direção da linha pode ser encontrada pelo vetor com ponto inicial (P ) e ponto terminal (Q ): ( vec {PQ} = langle -1,4, -3 rangle ).

As equações paramétricas da linha ( ell ) a (P ) na direção de ( vec {PQ} ) são:
[ ell: quad x = 2-t quad y = -1 + 4t quad z = 2-3t. ]

Um gráfico dos pontos e da linha é dado na Figura 10.49. Observe como na parametrização dada da linha, (t = 0 ) corresponde ao ponto (P ) e (t = 1 ) corresponde ao ponto (Q ). Isso se relaciona com a compreensão da equação vetorial de uma linha descrita na Figura 10.46. As equações paramétricas "começam '' no ponto (P ), e (t ) determina o quão longe na direção de ( vec {PQ} ) viajar. Quando (t = 0 ), viajamos 0 comprimentos de ( vec {PQ} ); quando (t = 1 ), viajamos um comprimento de ( vec {PQ} ), resultando no ponto (Q ).

Linhas paralelas, que se cruzam e enviesam

No avião, dois distinto as linhas podem ser paralelas ou se cruzarão exatamente em um ponto. No espaço, dadas as equações de duas linhas, às vezes pode ser difícil dizer se as linhas são distintas ou não (ou seja, a mesma linha pode ser representada de maneiras diferentes). Dadas as linhas ( vec ell_1 (t) = vec p_1 + t vec d_1 ) e ( vec ell_2 (t) = vec p_2 + t vec d_2 ), temos quatro possibilidades: ( vec ell_1 ) e ( vec ell_2 ) são


Os próximos dois exemplos investigam essas possibilidades.

Exemplo ( PageIndex {3} ): Comparando linhas

Considere as linhas ( ell_1 ) e ( ell_2 ), fornecidas na forma de equação paramétrica:
[ ell_1: begin {array} {ccc} x & = & 1 + 3t y & = & 2-t z & = & t end {array} qquad qquad ell_2: begin {array} {ccc} x & = & - 2 + 4s y & = & 3 + s z & = & 5 + 2s. end {array} ]
Determine se ( ell_1 ) e ( ell_2 ) são a mesma linha, se cruzam, são paralelos ou enviesados.

Solução

Começamos observando as direções de cada linha. A linha ( ell_1 ) tem a direção dada por ( vec d_1 = langle 3, -1,1 rangle ) e a linha ( ell_2 ) tem a direção dada por ( vec d_2 = langle 4,1,2 rangle ). Deve ficar claro que ( vec d_1 ) e ( vec d_2 ) não são paralelos, portanto ( ell_1 ) e ( ell_2 ) não são a mesma linha, nem são paralelos. A Figura 10.50 verifica esse fato (onde são identificados os pontos e direções indicados pelas equações de cada reta).

Em seguida, verificamos se eles se cruzam (se não, são linhas tortas). Para descobrir se eles se cruzam, procuramos os valores (t ) e (s ) de forma que os respectivos valores (x ), (y ) e (z ) sejam iguais. Ou seja, queremos (s ) e (t ) de modo que:

[ begin {array} {ccc}
1 + 3t & = & - 2 + 4s
2-t & = & 3 + s
t & = & 5 + 2s. end {array} ]

Este é um sistema relativamente simples de equações lineares. Uma vez que a última equação já foi resolvida para (t ), substitua esse valor de (t ) na equação acima dela:

[2- (5 + 2s) = 3 + s quad Rightarrow quad s = -2, t = 1. ]

Uma chave para lembrar é que temos três equações; precisamos verificar se (s = -2, t = 1 ) satisfaz a primeira equação também:

[1 + 3 (1) neq -2 + 4 (-2). ]

Isso não. Portanto, concluímos que as linhas ( ell_1 ) e ( ell_2 ) estão enviesadas.

Exemplo ( PageIndex {4} ): Comparando linhas

Considere as linhas ( ell_1 ) e ( ell_2 ), fornecidas na forma de equação paramétrica:

[ ell_1: begin {array} {ccc} x & = & - 0.7 + 1.6t y & = & 4.2 + 2.72t z & = & 2.3-3.36t end {array} qquad qquad ell_2: begin {array} {ccc} x & = & 2.8-2.9s y & = & 10.15-4.93s z & = & - 5.05 + 6.09s. end {array} ]

Determine se ( ell_1 ) e ( ell_2 ) são a mesma linha, se cruzam, são paralelos ou enviesados.

Solução
Obviamente, é muito difícil simplesmente olhar para essas equações e discernir alguma coisa. Isso é feito intencionalmente. No "mundo real '', a maioria das equações usadas não tem coeficientes inteiros bonitos. Em vez disso, existem muitos dígitos após o decimal e as equações podem parecer" confusas ''.

Novamente começamos decidindo se cada linha tem ou não a mesma direção. A direção de ( ell_1 ) é dada por ( vec d_1 = langle 1.6,2.72, -3,36 rangle ) e a direção de ( ell_2 ) é dada por ( vec d_2 = langle -2,9, -4,93,6,09 rangle ). Quando não fica claro por meio da observação se dois vetores são paralelos ou não, a maneira padrão de determinar isso é comparando seus respectivos vetores unitários. Usando uma calculadora, encontramos:

[ begin {align *}
vec u_1 & = frac { vec d_1} { norm { vec d_1}} = langle 0.3471,0.5901, -0.7289 rangle
vec u_2 & = frac { vec d_2} { norm { vec d_2}} = langle -0,3471, -0,5901,0.7289 rangle.
end {align *} ]

Os dois vetores parecem ser paralelos (pelo menos, seus componentes são iguais a 4 casas decimais). Na maioria das situações, seria suficiente concluir que as linhas são pelo menos paralelas, senão iguais. Uma maneira de ter certeza é reescrever ( vec d_1 ) e ( vec d_2 ) em termos de frações, não decimais. Nós temos

[ vec d_1 = langle frac {16} {10}, frac {272} {100}, - frac {336} {100} rangle qquad vec d_2 = langle - frac {29 } {10}, - frac {493} {100}, frac {609} {100} rangle. ]

Pode-se então encontrar as magnitudes de cada vetor em termos de frações e, em seguida, calcular os vetores unitários da mesma forma. Depois de muita aritmética manual (ou depois de usar brevemente um sistema de álgebra computacional), descobre-se que

[ vec u_1 = langle sqrt { frac {10} {83}}, frac {17} { sqrt {830}}, - frac {21} { sqrt {830}} rangle qquad vec u_2 = langle - sqrt { frac {10} {83}}, - frac {17} { sqrt {830}}, frac {21} { sqrt {830}} rangle. ]

Podemos agora dizer sem equívocos que essas linhas são paralelas.

Eles são da mesma linha? As equações paramétricas para uma linha descrevem um ponto que está na linha, então sabemos que o ponto (P_1 = (-0.7,4.2,2.3) ) está em ( ell_1 ). Para determinar se este ponto também está em ( ell_2 ), insira os valores (x ), (y ) e (z ) de (P_1 ) nas equações simétricas para ( ell_2 ):
[ frac {(- 0,7) -2,8} {- 2,9} stackrel {?} {=} frac {(4.2) -10,15} {- 4,93} stackrel {?} {=} frac {(2.3 ) - (- 5,05)} {6,09} quad Rightarrow quad 1,2069 = 1,2069 = 1,2069. ]

O ponto (P_1 ) está em ambas as linhas, então concluímos que elas são a mesma linha, apenas parametrizadas de forma diferente. A Figura 10.51 representa graficamente essa linha junto com os pontos e vetores descritos pelas equações paramétricas. Observe como ( vec d_1 ) e ( vec d_2 ) são paralelos, embora apontem em direções opostas (conforme indicado por seus vetores unitários acima).

Distâncias

Dado um ponto (Q ) e uma linha ( vec ell (t) = vec p + t vec d ) no espaço, geralmente é útil saber a distância do ponto à linha. (Aqui usamos a definição padrão de "distância '', ou seja, o comprimento do segmento de linha mais curto do ponto à linha.) Identificando ( vec p ) com o ponto (P ), a Figura 10.52 irá ajudar a estabelecer um método geral de calcular esta distância (h ).

Pela trigonometria, sabemos (h = norm { vec {PQ}} sin theta ). Temos uma identidade semelhante envolvendo o produto vetorial: ( norm { vec {PQ} times vec d} = norm { vec {PQ}} , norm {d} sin theta. ) Divida ambos os lados desta última equação por ( norm {d} ) para obter (h ):

[h = frac { norm { vec {PQ} times vec d}} { norm {d}}. label {eq: linhas2} ]

Também é útil determinar a distância entre as linhas, que definimos como o comprimento do segmento de linha mais curto que conecta as duas linhas (um argumento da geometria mostra que os segmentos de linha são perpendiculares a ambas as linhas). Sejam as linhas ( vec ell_1 (t) = vec p_1 + t vec d_1 ) e ( vec ell_2 (t) = vec p_2 + t vec d_2 ), como mostrado na Figura 10,53. Para encontrar a direção ortogonal a ( vec d_1 ) e ( vec d_2 ), tomamos o produto vetorial: ( vec c = vec d_1 times vec d_2 ). A magnitude da projeção ortogonal de ( vec {P_1P_2} ) em ( vec c ) é a distância (h ) que buscamos:

[ begin {align *}
h & = norm { text {proj} , _ { vec c} , vec {P_1P_2}}
& = norm { frac { vec {P_1P_2} cdot vec c} { vec c cdot vec c} vec c}
& = frac {| vec {P_1P_2} cdot vec c |} { norm c ^ 2} norm c
& = frac {| vec {P_1P_2} cdot vec c |} { norm c}.
end {align *} ]

Um problema na seção Exercício é mostrar que essa distância é 0 quando as linhas se cruzam. Observe o uso do produto escalar triplo: ( vec {P_1P_2} cdot c = vec {P_1P_2} cdot ( vec d_1 times vec d_2). )

A seguinte ideia-chave reafirma essas duas fórmulas de distância.

IDÉIA CHAVE A 50 DISTÂNCIA DAS LINHAS

  1. Seja (P ) um ponto em uma linha ( ell ) que é paralelo a ( vec d ). A distância (h ) de um ponto (Q ) à linha ( ell ) é:
    [h = frac { norm { vec {PQ} times vec d}} { norm {d}}. ]
  2. Seja (P_1 ) um ponto na linha ( ell_1 ) que é paralelo a ( vec d_1 ), e seja (P_2 ) um ponto na linha ( ell_2 ) paralelo a ( vec d_2 ), e deixe ( vec c = vec d_1 times vec d_2 ), onde as linhas ( ell_1 ) e ( ell_2 ) não são paralelas. A distância (h ) entre as duas linhas é:
    [h = frac {| vec {P_1P_2} cdot vec c |} { norm c}. ]

Exemplo ( PageIndex {5} ): Encontrando a distância de um ponto a uma linha

Encontre a distância do ponto (Q = (1,1,3) ) à linha ( vec ell (t) = langle 1, -1,1 rangle + t langle 2,3, 1 rangle. )

Solução
A equação da reta nos dá o ponto (P = (1, -1,1) ) que está na reta, portanto ( vec {PQ} = langle 0,2,2 rangle ). A equação também fornece ( vec d = langle 2,3,1 rangle ). Seguindo a ideia-chave 50, temos a distância como
[ begin {align *}
h & = frac { norm { vec {PQ} times vec d}} { norm {d}}
& = frac { norm { langle -4,4, -4 rangle}} { sqrt {14}}
& = frac {4 sqrt {3}} { sqrt {14}} approx 1.852.
end {align *} ]
O ponto (Q ) é aproximadamente (1.852 ) unidades da linha ( vec ell (t) ).

Exemplo ( PageIndex {6} ): Encontrando a distância entre as linhas

Encontre a distância entre as linhas [ ell_1: begin {array} {ccc} x & = & 1 + 3t y & = & 2-t z & = & t end {array} qquad qquad ell_2: begin {array} {ccc} x & = & - 2 + 4s y & = & 3 + s z & = & 5 + 2s. end {array} ]

Solução
Essas são as mesmas linhas fornecidas no Exemplo 10.5.3, onde mostramos que estão distorcidas. As equações nos permitem identificar os seguintes pontos e vetores:

[P_1 = (1,2,0) quad P_2 = (-2,3,5) quad Rightarrow quad vec {P_1P_2} = langle -3,1,5 rangle. ]

[ vec d_1 = langle 3, -1,1 rangle quad vec d_2 = langle 4,1,2 rangle quad Rightarrow quad vec c = vec d_1 times vec d_2 = langle -3, -2,7 rangle. ]

Da ideia-chave 50, temos que a distância (h ) entre as duas linhas é

[ begin {align *}
h & = frac {| vec {P_1P_2} cdot vec c |} { norm c}
& = frac {42} { sqrt {62}} aproximadamente 5,334.
end {align *} ]

As linhas estão separadas por aproximadamente 5.334 unidades.

Um dos pontos-chave a entender nesta seção é o seguinte: para descrever uma linha, precisamos de um ponto e uma direção. Sempre que um problema é colocado em relação a uma linha, é necessário pegar todas as informações oferecidas e coletar informações de ponto e direção. Muitas perguntas podem ser feitas (e está questionado na seção Exercício), cuja resposta segue imediatamente a partir desse entendimento.

As linhas são um dos dois objetos fundamentais de estudo no espaço. O outro objeto fundamental é o avião, que estudaremos em detalhes na próxima seção. Muitos objetos tridimensionais complexos são estudados aproximando suas superfícies com linhas e planos.


Segmentos de linha

Meça cada lado deste quadrilátero. Escreva as medidas em cada lado.

Cada lado de um quadrilátero é um segmento de linha.

UMA segmento de linha tem um ponto de partida e um ponto final definidos. Podemos desenhar e medir segmentos de linha.

Desenhe um segmento de linha com 12 cm de comprimento.

Linhas e raios

Podemos pensar em linhas sem fim, embora não possamos traçá-las completamente. Desenhamos segmentos de linha para representar linhas. Quando desenhamos um segmento de linha para representar uma linha, podemos colocar setas em ambas as extremidades para mostrar que continua indefinidamente em ambos os lados.

A palavra linha é usado para indicar uma linha que segue em ambas as direções. Só podemos ver e desenhar parte de uma linha. Uma linha não pode ser medida.

Você desenhou toda a linha AB? Explique.

Também podemos pensar em uma linha que tem um ponto de partida definido, mas continua indefinidamente na outra extremidade. Isso é chamado de meia-linha ou um raio.

Podemos desenhar o ponto de partida e parte de um raio, usando uma seta para indicar que continua em uma extremidade.

Ray PQ segue para a direita:

Ray DC segue para a esquerda:

Você desenhou todo o raio EF? Explique.

Os segmentos de linha XY e GH se encontram em algum lugar?

As linhas KL e NP se encontram em algum lugar?

Os raios AB e CD se encontram em algum lugar?

Os raios FT e MW se encontram em algum lugar?

Os raios JK e RS se encontram em algum lugar?


3 respostas 3

"Uma quantidade que tem magnitude e direção" pode ser uma descrição coloquial aceitável de um vetor, mas não pode servir como uma definição.

"Um segmento dirigido", também conhecido como "um par ordenado de pontos", já é melhor, mas ainda não chegamos lá. UMA vetor em termos de geometria elementar $ 3 $ D é um classe de equivalência de tais pares, em que dois pares $ (A, B) $ e $ (C, D) $ são considerados equivalente, se houver uma tradução $ T $ do espaço tal que $ T (A) = C $, $ & gtT (B) = D $.

Agora, essas classes de equivalência podem ser adicionadas por meio da conhecida construção de paralelogramo. É preciso provar que a soma $ vec a + vec b $ de dois vetores está bem definida, e então que possui as propriedades (geométricas) que tornam o conjunto de classes de equivalência em um espaço vetorial real.

Eu concordo, em geral, adicionar segmentos direcionados não é significativo. Considerando um segmento direcionado como um vetor com um ponto de partida, podemos adicionar os vetores, mas não saberíamos que ponto de partida atribui ao resultado. Para expandir o comentário de @ pranavB23, pode-se encontrar um sentido para isso quando o ponto inicial do segundo segmento é o ponto final do primeiro, onde é bastante natural afirmar que o ponto inicial do segmento resultante é apenas $ A $, e este é o $ overrightarrow + overrightarrow = overrightarrow$ caso que você mostrou.

Na verdade, esse vício de segmentos direcionados é, em minha experiência, usado para dar aos alunos uma forma gráfica de compreensão / cálculo euclidiano vetor soma quando eles se aproximam dele pela primeira vez, pois afinal, quando desenho um vetor, estou na verdade desenhando um segmento direcionado. O que seu livro / anotações provavelmente queria dizer é algo como:

Para somar os vetores $ vec v $ e $ vec u $, podemos escolher um segmento direcionado começando em qualquer ponto $ A $ que quisermos (geralmente a origem) com o mesmo comprimento e direção de $ vec v $, chamar isso $ overrightarrow$, e outro segmento começando em $ B $ com o mesmo comprimento e direção de $ vec u $, $ overrightarrow$. Então o $ vec v + vec u $ resultante tem o mesmo comprimento e direção que $ overrightarrow$.

Também se pode pensar sobre o assunto nestes termos: chamando $ vec P $ o vetor que dá a posição de um ponto $ P $ no espaço com respeito a qualquer origem fixa $ O $, então o vetor representado por $ overrightarrow$ é $ vec v = vec B - vec A $, então claramente $ vec v + vec u = ( vec B - vec A) + ( vec C - vec B) = vec C - vec A $.


Teorema de Secantes de Interseção

Algumas propriedades interessantes existem quando duas linhas secantes se cruzam fora de um círculo.

Para duas linhas secantes que se cruzam fora de um círculo, o produto das medidas de um segmento de linha secante e seu segmento externo é igual ao produto do outro segmento de linha secante e seu segmento externo:

Na figura acima, AB e AC são secantes para o círculo O que se cruzam em A. AD e AE são segmentos externos. O Teorema de Secantes de Intersecção afirma AB & middot AD = AC & middot AE.

Além disso, há uma relação entre o ângulo criado pelos segmentos de linha secante e os dois arcos, mostrados em vermelho e azul abaixo, que subtendem o ângulo.

Secantes AB e AC formam & angBAC que cruza o círculo O, criando arcos BC (em vermelho) e DE (em azul). A relação entre o ângulo e os arcos é .


Como Aprender Matemática

Este artigo foi coautor de Daron Cam. Daron Cam é um tutor acadêmico e fundador da Bay Area Tutors, Inc., um serviço de tutoria baseado na área da baía de São Francisco que oferece tutoria em matemática, ciências e construção de confiança acadêmica em geral. Daron tem mais de oito anos de ensino de matemática em sala de aula e mais de nove anos de experiência de tutoria individual. Ele ensina todos os níveis de matemática, incluindo cálculo, pré-álgebra, álgebra I, geometria e preparação para matemática SAT / ACT. Daron possui um BA da University of California, Berkeley e uma credencial de ensino de matemática do St. Mary's College.

São 9 referências citadas neste artigo, que podem ser encontradas no final da página.

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Você pode aprender matemática dentro e fora da sala de aula, e não precisa ser estressante ou opressor! Depois de ter uma boa compreensão do básico, aprender as coisas mais complexas parecerá muito mais fácil. Este artigo vai te ensinar esses princípios (adição, subtração, multiplicação e divisão) e também dar a você estratégias que você pode usar dentro e fora da sala de aula para ajudá-lo a aprender melhor a matemática.


Exemplos

Na linha numérica acima, as marcas são igualmente espaçadas. Qual das opções a seguir representa o comprimento de um segmento?

(A) 1 1 1

(B) 1 5 frac <1> <5> 5 1

(C) b - a 5 frac <5> 5 b - a

(D) b - a b-a b - a

(E) 5 5 5

Resposta correta: C

Solução:

Como as marcas são espaçadas igualmente, os comprimentos dos segmentos são os mesmos. No diagrama, vemos que a distância entre a a a e b b b é dividida em 5 5 5 segmentos. Portanto,

comprimento de um segmento = b - a 5 text = frac <5> comprimento de um segmento = 5 b - a

Escolhas incorretas:

(UMA)
Dica: apenas suponha que as marcas de escala estejam igualmente espaçadas, nada mais.
É comum ver uma linha numérica que representa números inteiros. As marcas de escala em tal linha de número são geralmente espaçadas 1 1 1 unidade porque inteiros consecutivos diferem por 1 1 1. Se você presumir que a distância entre cada marca de escala é 1 1 1, você estará errado. Aqui está um contra-exemplo: Se a = 10 a = 10 a = 1 0 eb = 20 b = 20 b = 2 0, então o comprimento de cada segmento seria 20 - 10 5 = 10 5 = 2 frac < 20-10> <5> = frac <10> <5> = 2 5 2 0 - 1 0 = 5 1 0 = 2, não 1 1 1.

(B)
Dica: procure um contra-exemplo.
Se você presumir que a distância entre a a a e b b b é 1 1 1, obterá esta resposta errada. Aqui está um contra-exemplo: Se a = 10 a = 10 a = 1 0 eb = 20 b = 20 b = 2 0, então o comprimento de cada segmento seria 20 - 10 5 = 10 5 = 2 frac < 20-10> <5> = frac <10> <5> = 2 5 2 0 - 1 0 = 5 1 0 = 2, não 1 5 frac <1> <5> 5 1.

(D)
Dica: Leia toda a questão com atenção.
Se você resolver a distância entre a a a e b b b, obterá esta resposta errada.

(E)
Dica: Leia toda a questão com atenção.
Dica: procure um contra-exemplo.
Se você resolver o número de segmentos entre a a a e b b b, obterá a resposta errada. Aqui está um contra-exemplo: Se a = 10 a = 10 a = 1 0 eb = 20 b = 20 b = 2 0, então o comprimento de cada segmento seria 20 - 10 5 = 10 5 = 2 frac < 20-10> <5> = frac <10> <5> = 2 5 2 0 - 1 0 = 5 1 0 = 2, não 5 5 5.

Qual desigualdade é representada pela reta numérica acima?

Na linha numérica acima, as marcas de escala são igualmente espaçadas. Qual é a coordenada do ponto A A A?

(A) 0,7727 0,7727 0. 7 7 2 7
(B) 0,7729 0,7729 0. 7 7 2 9
(C) 0,7733 0,7733 0. 7 7 3 3
(D) 0,7737 0,7737 0. 7 7 3 7
(E) 0,7744 0,7744 0. 7 7 4 4

Resposta correta: C

Solução:

Dica: apenas suponha que as marcas de escala estejam igualmente espaçadas, nada mais.
A distância entre 0,7745 0,7745 0. 7 7 4 5 e 0,7725 0,7725 0. 7 7 2 5 é dividido em cinco segmentos iguais. Portanto,

comprimento de um segmento = = 0,7745 - 0,7725 5 = 0,0020 5 = 0,0004 texto== frac <0,7745-0,7725> <5> = frac <0,0020> <5> = 0,0004 comprimento de um segmento = = 5 0. 7 7 4 5 - 0. 7 7 2 5 = 5 0. 0 0 2 0 = 0. 0 0 0 4.

Portanto, a distância entre as marcas de escala adjacentes é 0,0004 0,0004 0. 0 0 0 4. O ponto A A A está localizado duas marcas de escala à direita de 0,7725 0,7725 0. 7 7 2 5. Então,

A = 0,7725 + 2 ⋅ 0,0004 = 0,7725 + 0,0008 = 0,7733 A = 0,7725 + 2 cdot 0,0004 = 0,7725 + 0,0008 = 0,7733 A = 0. 7 7 2 5 + 2 ⋅ 0. 0 0 0 4 = 0. 7 7 2 5 + 0. 0 0 0 8 = 0. 7 7 3 3

Escolhas incorretas:

(UMA)
Dica: Leia os diagramas com atenção.
Se você assumir que a distância entre as marcas de escala adjacentes é 0,0001 0,0001 0. 0 0 0 1, você obterá esta resposta errada. Se as marcas de escala fossem 0,0001 0,0001 0. 0 0 0 1 à parte, então se começarmos em 0,7725 0,7725 0. 7 7 2 5 e mover cinco marcas de escala para a direita, terminaríamos em 0,7730 0,7730 0. 7 7 3 0, não em 0,7745 0,7745 0. 7 7 4 5.

(B)
Dica: Leia os diagramas com atenção.
Se você assumir que a distância entre as marcas de escala adjacentes é 0,0002 0,0002 0. 0 0 0 2, você obterá esta resposta errada. Se as marcas de escala fossem 0,0002 0,0002 0. 0 0 0 2 à parte, então se começarmos em 0,7725 0,7725 0. 7 7 2 5 e mover cinco marcas de escala para a direita, terminaríamos em 0,7735 0,7735 0. 7 7 3 5, não em 0,7745 0,7745 0. 7 7 4 5.

(D)
A A A está localizado duas marcas de escala à direita de 0,7725 0,7725 0. 7 7 2 5, não duas marcas de escala à esquerda de 0,7745 0,7745 0. 7 7 4 5. Se você fizer isso 0,7745 - 2 × 0,004 = 0,7737 0,7745 - 2 vezes 0,004 = 0,7737 0. 7 7 4 5 - 2 × 0. 0 0 4 = 0. 7 7 3 7, você obterá a resposta errada.

(E)
Dica: Elimine respostas obviamente erradas.
Dica: estimativa.
Confie em um diagrama desenhado em escala. A A A está mais próximo de 0,7725 0,7725 0. 7 7 2 5 do que para 0,7745 0,7745 0. 7 7 4 5. Se A A A estivesse localizado em 0,7744 0,7744 0. 7 7 4 4, você esperaria que fosse muito mais próximo de 0,7745 0,7745 0. 7 7 4 5 do que para 0,7725 0,7725 0. 7 7 2 5. Você pode eliminar razoavelmente essa escolha.

Na reta numérica acima, a proporção de A E AE A E para A G AG A G é igual à proporção de D F DF D F para qual dos seguintes?

(A) A B AB A B
(B) A C AC A C
(C) A G AG A G
(D) B E BE B E
(E) E F EF E F

Resposta correta: D

Solução 1:

Dica: conecte e verifique.
O comprimento de A E AE A E é 4 4 4. O comprimento de A G AG A G é 6 6 6. Encontramos a proporção de A E AE A E para A G AG A G:

A E A G = 4 6 = 2 3 frac= frac <4> <6> = frac <2> <3> A G A E = 6 4 = 3 2.

O comprimento de D F DF D F é 2 2 2. Encontramos a proporção de D F DF D F para cada uma das opções de resposta e selecionamos a opção que resulta em 2 3 frac <2> <3> 3 2.

(A) A B AB A B tem comprimento 1 1 1. D F A B = 2 1 = 2 ≠ 2 3 frac= frac <2> <1> = 2 neq frac <2> <3> A B D F = 1 2 = 2  = 3 2. Elimine (A).
(B) A C AC A C tem comprimento 2 2 2. D F A C = 2 2 = 1 ≠ 2 3 frac= frac <2> <2> = 1 neq frac <2> <3> A C D F = 2 2 = 1  = 3 2. Elimine (B).
(C) A G AG A G tem comprimento 6 6 6. D F A G = 2 6 = 1 3 ≠ 2 3 frac= frac <2> <6> = frac <1> <3> neq frac <2> <3> A G D F = 6 2 = 3 1  = 3 2. Elimine (B).
(D) B E BE B E tem comprimento 3 3 3. D F B E = 2 3 = 2 3 frac= frac <2> <3> = frac <2> <3> B E D F = 3 2 = 3 2. Esta escolha está correta.
(E) E F EF E F tem comprimento 1 1 1. D F E F = 2 1 = 2 ≠ 2 3 frac= frac <2> <1> = 2 neq frac <2> <3> E F D F = 1 2 = 2  = 3 2. Elimine (E).

Solução 2:

O comprimento de A E AE A E é 4 4 4. O comprimento de A G AG A G é 6 6 6. Portanto, a proporção de A E AE A E para A G AG A G é de 4 4 ​​4 a 6 6 6.

O comprimento de D F DF D F é 2 2 2. Sabemos que a razão de A E AE A E para A G AG A G é igual à razão de D F DF D F e outro segmento de comprimento desconhecido. Vamos chamar esse comprimento de x x x.

Estabelecemos uma proporção e resolvemos para x x x:

AEAG = DF x configurar uma proporção (1) 4 6 = 2 x AE = 4, AG = 6, DF = 2 (2) x ⋅ 4 = 2 ⋅ 6 multiplicação cruzada (3) 4 x = 12 2 ⋅ 6 = 12 (4) x = 3 dividir ambos os lados por 4 (5) começar frac & amp = & amp frac & amp quad text & amp (1) frac <4> <6> & amp = & amp frac <2> & amp quad AE = 4, AG = 6, DF = 2 & amp (2) x cdot 4 & amp = & amp 2 cdot 6 & amp quad text & amp (3) 4x & amp = & amp 12 & amp quad 2 cdot 6 = 12 & amp (4) x & amp = & amp 3 & amp quad text 4 e amp (5) end AGAE 6 4 x ⋅ 4 4 xx = = = = = x DF x 2 2 ⋅ 6 1 2 3 definir uma proporção AE = 4, AG = 6, DF = 2 multiplicação cruzada 2 ⋅ 6 = 1 2 dividir ambos os lados por 4 (1) (2) (3) (4) (5)

O comprimento do segmento desconhecido deve ser 3 3 3. Das opções, apenas B E = 3 BE = 3 B E = 3.

Escolhas incorretas:

(UMA), (B), (C), e (E)
Consulte a Solução 1 para ver como eliminar essas escolhas.


Círculo: Exercício 10.5 (Matemática NCERT Classe 9)

Sol.

Como são ABC, torna-se = 60º + 30º = 90º no centro do círculo e em um ponto na parte restante do círculo.
Portanto

Q. 2 Uma corda de um círculo é igual ao raio do círculo. Encontre o ângulo subtendido pelo acorde em um ponto do arco menor e também em um ponto da área maior.
Sol.

Seja PQ o acorde. Junte-se a OP e OQ.
É dado que PQ = OP = OQ (uma vez que Chord = raio)
Portanto, OPQ é equilátero.
= 60º Uma vez que são PBQ torna o reflexo POQ = 360º - 60º = 300º no centro do círculo e em um ponto no arco menor do círculo.
Portanto

Da mesma forma, (60º) = 30º
Portanto, os ângulos subtendidos pelo acorde no menor são 150º e no acorde maior = 30º.

Q.3 Na figura = 100º, P, Q e R são pontos em um círculo com centro O. Encontre.
Sol.

Uma vez que o ângulo subtendido por um arco de círculo em seu centro é duas vezes o ângulo subtendido pelos mesmos estão em um ponto da circunferência.
Portanto Reflex
Reflexo
= 360º - 200º = 160º
Em OPR, OP = OR [Raios do mesmo círculo]

[Angles opp. para lados iguais são iguais]
e 160º. (1) [Provado acima]
Em ,
[Propriedade da soma do ângulo]



Q.4 Na figura 69º, 31º, Encontre

No ABC,




Uma vez que os ângulos no mesmo segmento são iguais
Portanto

Q.5 Na figura A, B, C e D são quatro pontos em um círculo. AC e BD se cruzam em um ponto E tal que = 130º e = 20º. Encontrar .
Sol.

= 180º [par linear]
130º = 180º
180º - 130º
= 50º
No ECD, = 180º
50º + 20º = 180º
180º - 50º - 20º
= 110º
= 110º
Uma vez que os ângulos no mesmo segmento são iguais
Portanto 110º.

Q.6 ABCD é um quadrilátero cíclico cujas diagonais se cruzam em um ponto E. Se 70º, é 30º, encontre. Além disso, se AB = BC, encontre
Sol.

[Ângulos no mesmo segmento]
30º [Desde 30º (dado]

Em BCD, temos
= 180º [Soma de a]
30º + 70º + = 180º [Visto que = 70º, = 30º]
= 180º - 30º - 70º = 80º
Se AB = BC, então = 30º [Ângulos opp. os lados iguais em a são iguais]
Agora ,
= 80º - 30º = 50º
[Desde 80º (encontrado acima) e 30º]
Portanto, 80º e 50º

Q.7 If diagonals of a cyclic quadrilateral are diameters of the circle through the vertices of the quadrilateral, prove that it is a rectangle.
Sol.

Diagonals AC and BD of a cyclic quadrilateral are diameters of the circle through the vertices A, B, C and D of the quad. ABCD.
To prove : Quadrilateral ABCD is a rectangle.

Solution : - Since all the radii of the same circle are equal
Therefore OA = OB = OC = OD

e
AC = BD
Therefore the diagonals of the quadrilateral ABCD are equal and bisect each other.
Quadrilateral ABCD is a rectangle.

Q.8 If the non- parallel sides of a trapezium are equal prove that it is cyclic.
Sol.

Given : Non - parallel sides AD and BC of a trapezium are equal.
To prove : ABCD is a cyclic trapezium.
Construction : Draw DE AB and CF AB.

Proof : In order to prove that ABCD is a cyclic trapezium it is sufficient to prove that = 180º.
In s DEA and CFB, we have
AD = BC [Given]
[Each = 90º]
and DE = CF [Distance between two|| lines is always equal]
Therefore by RHS criterion of congruence, we have


(Corresponding parts of congruent triangles are equal)
Agora,
90º + 90º +

[Since 90º and 90º]


Thus ,
Therefore , 360º
[Since sum of the angles of a quad. is 360º]
360º
= 180º
Hence, ABCD is a cyclic trapezium.

Q.9 Two circles intersect at two points B and C. Through B, two line segments ABD and PBQ are drawn to intersect the circles at A, D and P, Q respectively (see figure). Prove that

Since angles in the same segment are equal.
Therefore . (1)
and . (2)
Also . (3) [Vertically opp. angles]
Therefore From (1), (2) and (3) , we have

Q.10 If circles are drawn taking two sides of a triangle as diameters, prove that the point of intersection of these circles lie on the third side.
Sol.

Given : Two circles are drawn with sides AB and AC of ABC as diameters. The circle intersect at D.

To prove : D lies on BC.
Construction : Join A and D.
Proof : Since AB and AC are the diameters of the two circles. [Given]
Therefore 90º [Angles in a semi- circle]
and, 90º [Angles in a semi-circle]
Adding we get = 90º + 90º = 180º
BDC is a straight line.
Hence, D lies on BC.

Q.11 ABC and ADC are two right triangles with common hypotenuse AC. Prove that .
Sol.

ABC and ADC are right with common hypotenuse AC. Draw a circle with AC as diameter passing through B and D. Join BD.
Clearly, [Since Angles in the same segment are equal]

Q.12 Prove that a cyclic parallelogram is a rectangle.
Sol.

Given : ABCD is a parallelogram inscribed in circle.
To prove : ABCD is a rectangle.
Proof : Since ABCD is a cyclic parallelogram.
Therefore = 180º . (1)
But . (2)
From (1) and (2), we have
= 90º
Similarly, = 90º
Therefore Each angle of ABCD is of 90º
Hence, ABCD is a rectangle.


Equation of a Horizontal Line

Horizontal lines 'go' perfectly sideways like the red lines pictured below .

Horizontal Line Picture Vertical Line Picture

Propriedades of Horizontal Lines

Equation of Horizontal Line always takes the form of y = k where k is the y-intercept of the line. For instance in the graph below, the horizontal line has the equation y = 1 As you can see in the picture below, the line goes perfectly sideways at y = 1.

Several Examples

Below are several examples of the equation and graph of different Horizontal lines


Inclination of a line

The diagram shows that a straight line makes an angle ( heta) with the positive (x)-axis. This is called the angle of inclination of a straight line.

We notice that if the gradient changes, then the value of ( heta) also changes, therefore the angle of inclination of a line is related to its gradient. We know that gradient is the ratio of a change in the (y)-direction to a change in the (x)-direction:

From trigonometry we know that the tangent function is defined as the ratio:

And from the diagram we see that

egin an heta &= dfrac herefore m &= an heta qquad ext < for > ext<0> ext <°>leq heta < ext<180> ext <°>end

Therefore the gradient of a straight line is equal to the tangent of the angle formed between the line and the positive direction of the (x)-axis.

Vertical lines

  • ( heta = ext<90> ext<°>)
  • Gradient is undefined since there is no change in the (x)-values ((Delta x = 0)).
  • Therefore ( an heta) is also undefined (the graph of ( an heta) has an asymptote at ( heta = ext<90> ext<°>)).

Horizontal lines

  • ( heta = ext<0> ext<°>)
  • Gradient is equal to ( ext<0>) since there is no change in the (y)-values ((Delta y = 0)).
  • Therefore ( an heta) is also equal to ( ext<0>) (the graph of ( an heta) passes through the origin (( ext<0> ext<°>0))).

Lines with negative gradients

If a straight line has a negative gradient ((m < 0), ( an heta < 0)), then the angle formed between the line and the positive direction of the (x)-axis is obtuse.

From the CAST diagram in trigonometry, we know that the tangent function is negative in the second and fourth quadrant. If we are calculating the angle of inclination for a line with a negative gradient, we must add ( ext<180> ext<°>) to change the negative angle in the fourth quadrant to an obtuse angle in the second quadrant:

If we are given a straight line with gradient (m = - ext<0,7>), then we can determine the angle of inclination using a calculator:

This negative angle lies in the fourth quadrant. We must add ( ext<180>)( ext<°>) to get an obtuse angle in the second quadrant:

And we can always use our calculator to check that the obtuse angle ( heta = ext<145> ext<°>) gives a gradient of (m = - ext<0,7>).


Assista o vídeo: História da Matemática - Aula 05 - Euclides (Outubro 2021).