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7: Polígonos e círculos regulares


Um polígono é tradicionalmente uma figura plana que é limitada por uma cadeia finita de segmentos de linha reta fechando em um loop para formar uma cadeia fechada. Esses segmentos são chamados de arestas ou lados, e os pontos onde duas arestas se encontram são os vértices ou cantos do polígono.

  • 7.1: Polígonos regulares
    Um polígono regular é um polígono em que todos os lados são iguais e todos os ângulos são iguais. Exemplos de um polígono regular são o triângulo equilátero (3 lados), o quadrado (4 lados), o pentágono regular (5 lados) e o regular hexágono (6 lados).
  • 7.2: Círculos
    O círculo é uma das figuras geométricas mais freqüentemente encontradas. Rodas, anéis, discos fonográficos, relógios, moedas são apenas alguns exemplos de objetos comuns com forma circular. O círculo tem muitas aplicações na construção de máquinas e no design arquitetônico e ornamental.
  • 7.3: Tangentes ao Círculo
    Uma tangente a um círculo é uma linha que cruza o círculo em exatamente um ponto.
  • 7.4: Graus em um Arco
    O número de graus em um arco é definido como o número de graus no ângulo central que intercepta o arco.
  • 7.5: Circunferência de um Círculo
    A circunferência de um círculo é o perímetro do círculo, o comprimento da linha obtida cortando o círculo e "endireitando as curvas".
  • 7.6: Área de um Círculo

Miniatura: hexágono regular com anotação. (CC0; László Németh via Wikipedia)


Área de um polígono regular 17 Exemplos passo a passo!

Quer saber como encontrar a área de um polígono regular?

Jenn, fundadora da Calcworkshop & reg, 15+ anos de experiência (licenciada e professora certificada nº 038)

O apótema detém a chave.

A maneira como encontramos a área de qualquer polígono regular é colocando-o dentro de um círculo.

Porque quando colocamos um polígono regular dentro de um círculo, podemos encontrar o centro do polígono, o que nos permitirá dividir o polígono em triângulos retângulos menores.

Centro de um polígono regular

Lembre-se, um polígono regular é aquele que é equilátero e equiangular, e o centro de um polígono regular é o centro dos círculos circunscritos e inscritos.

O que é tão legal é que agora podemos criar triângulos menores desenhando um raio do centro do círculo até cada vértice do nosso polígono. Esses raios são congruentes e ajudam a formar o ângulo central.

Além disso, se soltarmos um segmento perpendicular do centro para o lado do polígono, agora criamos triângulos retângulos menores. O que é importante notar, é que este segmento perpendicular, chamado de apótema, corta o ângulo central e o lado do polígono ao meio, criando o ponto médio do lado.

Área de um polígono regular

Área de uma fórmula poligonal regular

No entanto, de onde vem essa fórmula?

Bem, como quebramos um polígono regular em triângulos menores, notamos que o lado do polígono é a base do triângulo e o apótema é a altura do triângulo. E como a área de um triângulo retângulo é metade da base vezes a altura, a área de um triângulo é metade do comprimento do lado vezes o apótema, como Math is Fun afirma com precisão.

Isso significa que a área do polígono regular nada mais é do que a soma da área de cada um desses triângulos retângulos menores!

Antes de entrarmos no vídeo, vamos examinar alguns exemplos.


Essas propriedades se aplicam a todos os polígonos regulares, sejam convexos ou em estrela.

Um regular npolígono de lados diferentes tem simetria rotacional de ordem n.

Todos os vértices de um polígono regular estão em um círculo comum (o círculo circunscrito), ou seja, eles são pontos concíclicos. Ou seja, um polígono regular é um polígono cíclico.

Juntamente com a propriedade de lados de comprimento igual, isso implica que todo polígono regular também tem um círculo inscrito ou incircle que é tangente a todos os lados no ponto médio. Assim, um polígono regular é um polígono tangencial.

Um regular nO polígono pode ser construído com bússola e régua se e somente se os fatores primos ímpares de n são primos de Fermat distintos. Veja polígono construtível.

Edição de Simetria

O grupo de simetria de um npolígono regular com lados é um grupo diédrico Dn (da ordem 2n): D2, D3, D4,. Consiste nas rotações em Cn, junto com simetria de reflexão em n eixos que passam pelo centro. Se n é mesmo então, metade desses eixos passa por dois vértices opostos, e a outra metade pelo ponto médio de lados opostos. Se n é estranho, então todos os eixos passam por um vértice e o ponto médio do lado oposto.

Todos os polígonos simples regulares (um polígono simples é aquele que não se cruza em nenhum lugar) são convexos. Aqueles que têm o mesmo número de lados também são semelhantes.

Um npolígono regular convexo com lados é denotado por seu símbolo Schläfli <n>. Para n & lt 3, temos dois casos degenerados:

Monogon <1> degenera no espaço comum. (A maioria das autoridades não considera o monogon como um polígono verdadeiro, em parte por causa disso, e também porque as fórmulas abaixo não funcionam e sua estrutura não é a de nenhum polígono abstrato.) Digon <2> um "segmento de linha dupla" Degenere no espaço comum. (Algumas autoridades não consideram o digon como um polígono verdadeiro por causa disso.)

Em certos contextos, todos os polígonos considerados serão regulares. Em tais circunstâncias, é comum eliminar o prefixo regular. Por exemplo, todas as faces de poliedros uniformes devem ser regulares e as faces serão descritas simplesmente como triângulo, quadrado, pentágono, etc.

Editar ângulos

Para um convexo regular n-gon, cada ângulo interno tem uma medida de:

Como n se aproxima do infinito, o ângulo interno se aproxima de 180 graus. Para um polígono regular com 10.000 lados (um miríade), o ângulo interno é 179,964 °. À medida que o número de lados aumenta, o ângulo interno pode chegar muito perto de 180 ° e a forma do polígono se aproxima de um círculo. No entanto, o polígono nunca pode se tornar um círculo. O valor do ângulo interno nunca pode se tornar exatamente igual a 180 °, pois a circunferência se tornaria efetivamente uma linha reta. Por esse motivo, um círculo não é um polígono com um número infinito de lados.

Edição de Diagonais

Para um regular n-gon inscrito em um círculo de raio unitário, o produto das distâncias de um determinado vértice para todos os outros vértices (incluindo vértices adjacentes e vértices conectados por uma diagonal) é igual n.

Pontos no plano Editar

Para um simples regular n-gon com circumradius R e distâncias deu de um ponto arbitrário no plano aos vértices, temos [1]

Editar pontos internos

Para um regular n-gon, a soma das distâncias perpendiculares de qualquer ponto interno ao n lados é n vezes o apótema [3]: p. 72 (o apótema é a distância do centro para qualquer lado). Esta é uma generalização do teorema de Viviani para o n= 3 caso. [4] [5]

Circumradius Edit

O circumradius R do centro de um polígono regular a um dos vértices está relacionado ao comprimento lateral s ou para o apótema uma de

A soma das perpendiculares de uma regular n- os vértices do gon para qualquer linha tangente ao circuncírculo são iguais n vezes o circumradius. [3]: pág. 73

A soma das distâncias quadradas dos vértices de um n-gon para qualquer ponto em seu circunferência é igual a 2nR 2 onde R é o circumradius. [3]: p.73

A soma das distâncias quadradas dos pontos médios dos lados de um n-gon para qualquer ponto do circunferência é 2nR 2 − ns 2/4, onde s é o comprimento lateral e R é o circumradius. [3]: pág. 73

Edição de dissecações

Coxeter afirma que cada zonogon (a 2m-gon cujos lados opostos são paralelos e de comprimento igual) podem ser dissecados em (n 2) < displaystyle < tbinom <2> >> ou m(m-1) / 2 paralelogramos. Essas camadas são contidas como subconjuntos de vértices, arestas e faces em projeções ortogonais m-cubos. [6] Em particular, isso é verdadeiro para polígonos regulares com muitos lados uniformemente, caso em que os paralelogramos são todos losangos. A lista OEIS: A006245 fornece o número de soluções para polígonos menores.

Exemplo de dissecações para selecionar polígonos regulares de lados iguais
2m 6 8 10 12 14 16 18 20 24 30 40 50
Imagem
Rhombs 3 6 10 15 21 28 36 45 66 105 190 300

Edição de Área

A área UMA de um regular convexo n- polígono de lados tendo lado s, circunradius R, apothem uma, e perímetro p é dado por [7] [8]

Para polígonos regulares com lado s = 1, circunradius R = 1, ou apótema uma = 1, isso produz a seguinte tabela: [9] (Observe que, como cot ⁡ x → 1 / x < displaystyle cot x rightarrow 1 / x> as x → 0 < displaystyle x rightarrow 0>, [10 ] a área quando s = 1 < displaystyle s = 1> tende a n 2/4 π < displaystyle n ^ <2> / 4 pi> conforme n < displaystyle n> fica grande.)

Número
dos lados
Área quando lado s = 1 Área quando circunradius R = 1 Área quando apotem uma = 1
Exato Aproximação Exato Aproximação Como um (aproximado)
fração de
área circuncircular
Exato Aproximação Como um (aproximado)
múltiplo de
área circular
n n 4 cot ⁡ (π n) < displaystyle < tfrac <4>>cot left(< frac > right)> n 2 sin ⁡ (2 π n) < displaystyle < tfrac <2>>sin left(< frac <2pi >> right)> n 2 π sin ⁡ (2 π n) < displaystyle < tfrac <2pi >>sin left(< frac <2pi >> right)> n tan ⁡ (π n) < displaystyle n tan left (< tfrac < pi>> right)> n π tan ⁡ (π n) < displaystyle < tfrac > an left(< frac > right)>
3 3 4 < displaystyle < tfrac < sqrt <3>> <4> >> 0.433012702 3 3 4 < displaystyle < tfrac <3 < sqrt <3>>> <4> >> 1.299038105 0.4134966714 3 3 < displaystyle 3 < sqrt <3> >> 5.196152424 1.653986686
4 1 1.000000000 2 2.000000000 0.6366197722 4 4.000000000 1.273239544
5 1 4 25 + 10 5 < displaystyle < tfrac <1> <4>> < sqrt <25 + 10 < sqrt <5> >>>> 1.720477401 5 4 1 2 (5 + 5) < displaystyle < tfrac <5> <4>> < sqrt << tfrac <1> <2>> left (5 + < sqrt <5>> right ) >>> 2.377641291 0.7568267288 5 5 - 2 5 < displaystyle 5 < sqrt <5-2 < sqrt <5> >>>> 3.632712640 1.156328347
6 3 3 2 < displaystyle < tfrac <3 < sqrt <3>>> <2> >> 2.598076211 3 3 2 < displaystyle < tfrac <3 < sqrt <3>>> <2> >> 2.598076211 0.8269933428 2 3 < displaystyle 2 < sqrt <3> >> 3.464101616 1.102657791
7 3.633912444 2.736410189 0.8710264157 3.371022333 1.073029735
8 2 + 2 2 < displaystyle 2 + 2 < sqrt <2> >> 4.828427125 2 2 < displaystyle 2 < sqrt <2> >> 2.828427125 0.9003163160 8 (2 - 1) < displaystyle 8 left (< sqrt <2>> -1 right)> 3.313708500 1.054786175
9 6.181824194 2.892544244 0.9207254290 3.275732109 1.042697914
10 5 2 5 + 2 5 < displaystyle < tfrac <5> <2>> < sqrt <5 + 2 < sqrt <5> >>>> 7.694208843 5 2 1 2 (5 - 5) < displaystyle < tfrac <5> <2>> < sqrt << tfrac <1> <2>> left (5 - < sqrt <5>> right ) >>> 2.938926262 0.9354892840 2 25 - 10 5 < displaystyle 2 < sqrt <25-10 < sqrt <5> >>>> 3.249196963 1.034251515
11 9.365639907 2.973524496 0.9465022440 3.229891423 1.028106371
12 6 + 3 3 < displaystyle 6 + 3 < sqrt <3> >> 11.19615242 3 3.000000000 0.9549296586 12 (2 - 3) < displaystyle 12 left (2 - < sqrt <3>> right)> 3.215390309 1.023490523
13 13.18576833 3.020700617 0.9615188694 3.204212220 1.019932427
14 15.33450194 3.037186175 0.9667663859 3.195408642 1.017130161
15 [11] 17.64236291 [12] 3.050524822 0.9710122088 [13] 3.188348426 1.014882824
16 [14] 20.10935797 4 2 - 2 < displaystyle 4 < sqrt <2 - < sqrt <2> >>>> 3.061467460 0.9744953584 [15] 3.182597878 1.013052368
17 22.73549190 3.070554163 0.9773877456 3.177850752 1.011541311
18 25.52076819 3.078181290 0.9798155361 3.173885653 1.010279181
19 28.46518943 3.084644958 0.9818729854 3.170539238 1.009213984
20 [16] 31.56875757 [17] 3.090169944 0.9836316430 [18] 3.167688806 1.008306663
100 795.5128988 3.139525977 0.9993421565 3.142626605 1.000329117
1000 79577.20975 3.141571983 0.9999934200 3.141602989 1.000003290
10,000 7957746.893 3.141592448 0.9999999345 3.141592757 1.000000033
1,000,000 79577471545 3.141592654 1.000000000 3.141592654 1.000000000

De tudo n-gonos com um determinado perímetro, aquele com a maior área é regular. [19]

Alguns polígonos regulares são fáceis de construir com bússola e régua, outros polígonos regulares não são construtíveis de forma alguma. Os antigos matemáticos gregos sabiam como construir um polígono regular com 3, 4 ou 5 lados, [20]: p. xi e eles sabiam como construir um polígono regular com o dobro do número de lados de um dado polígono regular. [20]: pp. 49-50 Isso levou à questão que se colocava: é possível construir tudo regular n-gons com bússola e régua? Se não, qual n-gons são construtíveis e quais não são?

Carl Friedrich Gauss provou a construtibilidade do 17-gon regular em 1796. Cinco anos depois, ele desenvolveu a teoria dos períodos gaussianos em seu Disquisitiones Arithmeticae. Esta teoria permitiu-lhe formular uma condição suficiente para a construtibilidade de polígonos regulares:

Um regular n-gon pode ser construído com bússola e régua se n é o produto de uma potência de 2 e qualquer número de primos de Fermat distintos (incluindo nenhum).

(Um primo de Fermat é um número primo na forma 2 (2 n) + 1. < displaystyle 2 ^ <(2 ^)> + 1.>) Gauss afirmou sem prova que esta condição também era necessária, mas nunca publicou sua prova. Uma prova completa da necessidade foi dada por Pierre Wantzel em 1837. O resultado é conhecido como o Teorema de Gauss-Wantzel.

Equivalentemente, um regular n-gon é construtível se e somente se o cosseno de seu ângulo comum é um número construtível - isto é, pode ser escrito em termos das quatro operações aritméticas básicas e da extração de raízes quadradas.


O cubo contém um hexágono inclinado regular, visto como 6 bordas vermelhas em zigue-zague entre dois planos perpendiculares ao eixo diagonal do cubo.

As bordas laterais em zigue-zague de um n-antiprismo representa uma inclinação regular 2n-gon, como mostrado neste antiprisma de 17 gonal.

UMA polígono de inclinação regular no espaço 3 podem ser vistos como caminhos não planos ziguezagueando entre dois planos paralelos, definidos como as bordas laterais de um antiprisma uniforme. Todas as arestas e ângulos internos são iguais.


Os sólidos platônicos (o tetraedro, cubo, octaedro, dodecaedro e icosaedro) têm polígonos de Petrie, vistos em vermelho aqui, com lados 4, 6, 6, 10 e 10, respectivamente.

De forma geral polígonos de inclinação regular pode ser definido em n-espaço. Os exemplos incluem os polígonos de Petrie, caminhos poligonais de arestas que dividem um politopo regular em duas metades e vistos como um polígono regular em projeção ortogonal.

No limite infinito polígonos de inclinação regular tornam-se apeirogônios enviesados.

Um polígono regular não convexo é um polígono estrela regular. O exemplo mais comum é o pentagrama, que possui os mesmos vértices de um pentágono, mas conecta vértices alternados.

Para um nestrela de dois lados, o símbolo Schläfli é modificado para indicar o densidade ou "estrelato" m do polígono, como <n/m>. Se m é 2, por exemplo, então cada segundo ponto é unido. Se m é 3, então cada terceiro ponto é unido. O limite do polígono circunda o centro m vezes.

As estrelas regulares (não degeneradas) de até 12 lados são:

m e n deve ser coprime, ou a figura irá degenerar.

As estrelas regulares degeneradas de até 12 lados são:

  • Tetrágono - <4/2>
  • Hexágonos - <6/2>, <6/3>
  • Octógonos - <8/2>, <8/4>
  • Eneagono - <9/3>
  • Decágonos - <10/2>, <10/4> e <10/5>
  • Dodecágonos - <12/2>, <12/3>, <12/4> e <12/6>

Dependendo da derivação precisa do símbolo Schläfli, as opiniões divergem quanto à natureza da figura degenerada. Por exemplo, <6/2> pode ser tratado de duas maneiras:

    Durante grande parte do século 20 (ver por exemplo Coxeter (1948)), geralmente tomamos o / 2 para indicar a união de cada vértice de um convexo <6> com seus vizinhos próximos dois passos de distância, para obter a composição regular de dois triângulos , ou hexagrama.

Todos os polígonos regulares são autoduais para congruência e para ímpar n eles são autoduais em relação à identidade.

Além disso, as figuras regulares de estrelas (compostos), sendo compostas de polígonos regulares, também são autoduais.

Um poliedro uniforme tem polígonos regulares como faces, de modo que para cada dois vértices há um mapeamento de isometria um no outro (assim como há para um polígono regular).

Um poliedro quase regular é um poliedro uniforme que possui apenas dois tipos de faces alternando em torno de cada vértice.

Um poliedro regular é um poliedro uniforme que possui apenas um tipo de face.

Os poliedros convexos restantes (não uniformes) com faces regulares são conhecidos como sólidos de Johnson.

Um poliedro com triângulos regulares como faces é denominado deltaedro.

  1. ^ Park, Poo-Sung. "Regular polytope distances", Forum Geometricorum 16, 2016, 227-232. http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201627.pdf
  2. ^ umabc Meskhishvili, Mamuka (2020). "Médias cíclicas de polígonos regulares e sólidos platônicos". Comunicações em Matemática e Aplicações. 11: 335–355.
  3. ^ umabcd Johnson, Roger A., Geometria Euclidiana Avançada, Dover Publ., 2007 (orig. 1929).
  4. ^ Pickover, Clifford A, O livro de matemática, Sterling, 2009: p. 150
  5. ^ Chen, Zhibo e Liang, Tian. "O inverso do teorema de Viviani", The College Mathematics Journal 37 (5), 2006, pp. 390–391.
  6. ^Coxeter, Mathematical recreations and Essays, décima terceira edição, p.141
  7. ^
  8. "Referência de matemática aberta". Retirado em 4 de fevereiro de 2014.
  9. ^
  10. "Palavras matemáticas".
  11. ^ Resultados para R = 1 e uma = 1 obtido com Maple, usando definição de função:

As expressões para n= 16 são obtidos aplicando duas vezes a fórmula do meio-ângulo tangente a tan (π / 4)


Lição 7

Aquecimento

Este é o primeiro Qual deles não pertence rotina do curso. Nessa rotina, os alunos são apresentados a quatro figuras, diagramas, gráficos ou expressões com o prompt “Qual deles não pertence?”. Normalmente, cada uma das quatro opções "não pertence" por um motivo diferente, e as semelhanças e diferenças são matematicamente significativas. Os alunos são solicitados a explicar seu raciocínio para decidir que uma opção não pertence e têm oportunidades de tornar seu raciocínio mais preciso.

Este aquecimento faz com que os alunos comparem quatro polígonos. Dá aos alunos uma razão para usar a linguagem com precisão (MP6). Dá ao professor a oportunidade de ouvir como os alunos usam a terminologia e falar sobre as características dos itens em comparação uns com os outros.

Lançar

Organize os alunos em grupos de 2–4. Exiba os polígonos para que todos possam ver. Dê aos alunos 1 minuto de tempo para pensar em silêncio e, em seguida, tempo para compartilhar suas idéias com seu pequeno grupo. Em seus pequenos grupos, peça a cada aluno que compartilhe seu raciocínio por que um determinado item não pertence e, juntos, encontrem pelo menos um motivo pelo qual cada item não pertence.


Nomes de polígonos regulares

Imagine que você está desempacotando uma remessa de polígonos. Você deve colocar todos os polígonos irregulares na prateleira de descontos e todos os polígonos regulares na prateleira de preço total. Usando seu conhecimento das propriedades de identificação de polígonos regulares, você pode ver facilmente que apenas alguns polígonos típicos são regulares:

Polígono regular Número de Lados Ângulos interiores Ângulos Externos
Triângulo Equilátero 3 lados 3 ângulos internos de 60 ° 3 ângulos externos de 120 °
Quadrado 4 lados 4 ângulos internos de 90 ° 4 ângulos externos de 90 °
Pentágono regular 5 lados 5 ângulos internos de 108 ° 5 ângulos externos de 72 °
Hexágono regular 6 lados 6 ângulos internos de 120 ° 6 ângulos externos de 60 °
Heptágono regular 7 lados 7 ângulos internos & # x2245 128,57 ° 7 ângulos externos & # x2245 51,43 °
Octógono regular 8 lados 8 ângulos internos de 135 ° 8 ângulos externos de 45 °

Quantos lados um polígono regular tem?

Você pode criar polígonos regulares de qualquer número de lados e ângulos internos, mas normalmente você não os nomeará com nada além do número de seus lados ou ângulos internos e então -gon:

Polígono regular Número de Lados Ângulos interiores Ângulos Externos
Eneagono regular ou 9-gon 9 lados 9 ângulos internos de 140 ° 9 ângulos externos de 40 °
Decágono regular ou 10-gon 10 lados 10 ângulos internos de 144 ° 10 ângulos externos de 36 °
Hectogônio regular ou 100 gon 100 lados 100 ângulos internos de 176,4 ° 100 ângulos externos de 3,6 °

Qualquer polígono que não tenha lados de comprimento igual junto com ângulos internos e externos iguais é um polígono irregular que vai para a prateleira de descontos!


Propriedades de hexágonos regulares

O ângulo externo de um hexágono regular é 36 0 ∘ 6 = 6 0 ∘ frac <360 ^ circ> 6 = 60 ^ circ 6 3 6 0 ∘ = 6 0 ∘.

O ângulo interno de um hexágono regular é 18 0 ∘ - (ângulo externo) = 12 0 ∘ 180 ^ circ - ( text) = 120 ^ circ 1 8 0 ∘ - (ângulo externo) = 1 2 0 ∘.

Consiste em 6 triângulos equiláteros de comprimento lateral R R R, onde R R R é o perímetro do hexágono regular.

A área do hexágono regular é a soma das áreas desses 6 triângulos equiláteros: 6 × 1 2 R 2 ⋅ sen ⁡ 6 0 ∘ = 3 3 2 R 2. 6 times frac12 R ^ 2 cdot sin 60 ^ circ = frac <3 sqrt3> 2 R ^ 2. 6 × 2 1 R 2 ⋅ sen 6 0 ∘ = 2 3 3

Aqui estão exemplos e problemas relacionados especificamente ao hexágono regular.


Os polígonos regulares têm todos os lados iguais e todos os ângulos iguais. Abaixo está um exemplo de um polígono regular de 5 lados também chamado de pentágono.

onde x é o lado do pentágono, r é o raio do círculo inscrito e R é o raio do círculo circunscrito.

Vamos desenvolver fórmulas para encontrar a área de polígonos regulares com n lados em função de x, r e R. Seguiremos a seguinte rota: Encontre a área de um triângulo, como o triângulo BOC, e multiplique-a por n, o número de lados do polígono, para encontrar a área total do polígono.

Relação entre x, r e R.
Seja t o ângulo BOC.
t = 360 o / n
Da trigonometria de triângulos retângulos, temos
tan (t / 2) = (x / 2) / re sin (t / 2) = (x / 2) / R
que dá r e R em termos de x como segue

r = (x / 2) berço (180 o / n)
e
R = (x / 2) csc (180 o / n)

Fórmula 1

Fórmula 2

Fórmula 3

Fórmula 4

nomes de polígonos de acordo com o número de lados

número de lados nome
3 Triângulo Equilátero
4 quadrado
5 Pentágono
6 hexágono
7 heptágono
8 octógono
9 nonagon
10 decágono
11 undecágono
12 dodecágono


1 - Pressione o botão “desenhar” para iniciar.
2 - Neste applet, o raio do círculo circunscrito é constante. O número n dos lados do polígono regular pode ser alterado usando o controle deslizante ou digitando um número inteiro positivo maior que 3.
4 - Quando n aumenta, o que acontece com as três áreas: a do círculo circunscrito, o polígono e o círculo inscrito? Veja o problema 4 em problemas de polígonos.


Solução

Em qualquer polígono regular com comprimento lateral , considere o triângulo isósceles formado pelo centro do polígono e dois vértices consecutivos e . Nós recebemos isso . Obviamente , Onde é o raio da circunferência. Deixar ser o ponto médio de . Então , e , Onde é o raio do incircle.

Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo , nós entendemos isso .

Em seguida, a área entre o circuncírculo e o incirculo pode ser calculada como.

Por isso , , e portanto .


7: Polígonos e círculos regulares

Arquimedes de Siracusa, na Sicília, (287-212 aC) foi um dos maiores matemáticos, às vezes comparado a Carl Gauss e Isaac Newton. Além disso, Arquimedes escreveu matemática em um estilo que permanece surpreendentemente legível até hoje. Uma de suas conquistas mais importantes foi o método de aproximar a área do círculo unitário usando polígonos inscritos e circunscritos, agora conhecido como o clássico método de exaustão.

Arquimedes percebeu que a área de um polígono regular de n lados inscrito em um círculo unitário é menor do que a área do círculo, que por sua vez é menor do que a área de um polígono regular de n lados circunscrito ao círculo. Conforme n se aproxima do infinito, as duas áreas poligonais devem se aproximar da área do círculo unitário. Nas subseções a seguir, derivaremos o método de Arquimedes.

1.1. Polígono regular inscrito

Primeiro determinamos n pontos (P 1, P 2,. P n & menos 1, P n ) igualmente espaçados na circunferência do círculo unitário. Esses pontos determinam um polígono regular inscrito no círculo unitário, conforme mostrado na Figura 1a.

Figura 1a. O polígono inscrito

A área desse polígono é n vezes a área do triângulo, pois n triângulos formam esse polígono. Portanto, a fórmula para a área do polígono inscrito regular é simplesmente

Usando o fato de que, um dos limites mais famosos do cálculo, é fácil demonstrar isso. Se os alunos ainda não aprenderam o limite básico, podemos pedir ao Maple a resposta:

1.2 Polígono regular circunscrito

Em seguida, determinamos n pontos (P 1, P 2,. P n & menos 1, P n ) nos cantos de um polígono regular, cada lado do qual é tangente ao círculo unitário, conforme mostrado na Figura 1b.

Figura 1b. O polígono circunscrito

Como antes, então .. Devemos calcular a área A (P n O P 1) do triângulo mostrado na Figura 1c.

Figura 1c. Um triângulo formado pelo polígono circunscrito

Da trigonometria básica,. Usando a lei dos senos novamente, temos,

Como os triângulos são congruentes, a área do polígono é n vezes a área do triângulo P n O P 1 triângulo. Assim, a fórmula para a área do polígono circunscrito regular é simplesmente

Podemos usar limites básicos para mostrar. Novamente, podemos pedir ao Maple para verificar a resposta:

Assim, & pi é o limite das áreas dos polígonos regulares inscritos e dos polígonos regulares circunscritos à medida que o número do lado n tende ao infinito.

1.3. O Maplet

O Polygon Method Maplet ilustra a área do círculo unitário como o limite das áreas dos polígonos regulares inscritos e circunscritos. O programa foi escrito em Maple 9 e publicado no Application Center no site da Maplesoft. Um instantâneo do Maplet é fornecido abaixo na Figura 1d.

Instruções Maplet

Primeiro, clique no botão "Iniciar". Um triângulo inscrito e um triângulo circunscrito aparecem nas regiões do gráfico, e as áreas dos triângulos são fornecidas nas caixas de texto. Clicando no Aumente-n botão aumenta n (o número de lados) em 1 e clicando no Diminuir-n diminui n por 1. Novamente, os polígonos regulares inscritos e circunscritos são mostrados nas regiões do gráfico, e as áreas correspondentes são fornecidas nas caixas de texto.

Figura 1d. The Polygon Method Maplet

Selecionando Tabela na barra de menu dá uma tabela das áreas dos polígonos regulares inscritos e circunscritos, para todos os valores de n de 3 a 1000.

Figura 1e. A tabela de aproximações


7: Polígonos e círculos regulares

Agora podemos começar a falar sobre a mais especial e elite de todas as formas da geometria, os polígonos regulares. Para começar, precisamos discutir essa palavra muito engraçada, regular. Na vida cotidiana, regular significa comum, comum, não excepcional de forma alguma. Em geometria, a palavra regular significa exatamente o oposto disso e é isso que é tão confuso.

Esta é uma palavra em que o uso da matemática, o uso da geometria, é o oposto absoluto de seu uso coloquial no dia a dia. Em geometria, o regular significa especial e elite. Em particular, quando a palavra regular descreve um polígono, significa que o polígono deve ter duas propriedades. Deve ser equilátero, tendo todos os lados iguais e também equiangular, tendo todos os ângulos iguais.

Em qualquer categoria de polígono, o polígono regular dessa categoria é o exemplo mais simétrico e bem equilibrado dessa categoria. É o membro mais elite da categoria. O triângulo regular é um triângulo equilátero. O quadrilátero regular é o quadrado. Lados iguais, ângulos iguais.

Este é o pentágono regular. Observe que a soma dos ângulos em qualquer pentágono é 540 graus, então podemos encontrar a medida dos ângulos individuais. Cada ângulo individual, dividiríamos apenas 540 por cinco e isso seria 108. Portanto, 108 graus é o ângulo em qualquer pentágono regular. O hexágono regular.

A soma dos ângulos aqui é 720. Bem, para encontrar os ângulos individuais, vamos dividir 720 por 6. Temos 120. Agora, esse é um número interessante porque 120. É o suplemento de um ângulo de 60 graus. É bom saber.

Que um ângulo de 60 graus, digamos, um pequeno triângulo equilátero se encaixaria perfeitamente em qualquer um desses ângulos externos. Agora uma forma de sete lados, nós realmente não falamos sobre isso. Tecnicamente, uma forma de sete lados é chamada de heptágono regular. O motivo pelo qual não falamos sobre isso é que essa forma tem ângulos que são graus não inteiros.

Então, a matemática envolvendo essa forma é meio feia. E, por acaso, por causa disso, o teste simplesmente nunca pergunta sobre isso. Então, é por isso que você não precisa se preocupar com os heptágonos. Eles nunca aparecem no teste. O octógono regular.

A soma dos ângulos é 6 vezes 180. Então, isso é 1080. E cada um dos ângulos internos são iguais, então cada um deve ser igual a 1080 dividido por 80. 1080 dividido por 8. Então, divida, cancele o fator de 2.

Isso & # 39s 540 dividido por 4. Cancele outro fator 2, que & # 39s 270 dividido por 2. 270 dividido por 2 é 135 graus. Esse é um ângulo interessante porque é o complemento de um ângulo de 45 graus e, portanto, é um fato que pode ser muito útil. Que o suplemento de um ângulo de 45 graus é exatamente o que cada ângulo do octógono regular é igual.

De maneira semelhante, podemos encontrar os ângulos individuais em qualquer polígono regular superior. Como conhecemos todos os anjos, também podemos encontrar ângulos formados pelas diagonais. Portanto, este é um problema relativamente difícil. Pause o vídeo e pense um pouco sobre isso e então falaremos sobre isso. OK.

Então o que temos é um octógono regular com duas diagonais desenhadas e queremos encontrar o ângulo formado, ângulo x. O ângulo de duas dessas diagonais. Bem, temos que pensar sobre isso passo a passo. Em primeiro lugar, porque é um octógono regular, sabemos que todo ângulo interno é de 135 graus.

Claramente AE, diagonal AE, divide o octógono simetricamente pela metade. É uma linha espelhada de todo o octógono. Porque isso significa que ele deve dividir o ângulo em A. Então, HAM, esse ângulo literal deve ser dividido ao meio em 135 graus. Bem, 135 graus dividido por 2 são 67,5 graus.

Então esse é o ângulo. PRESUNTO. Este ângulo bem aqui. Então, encontramos esse ângulo. Agora, coloque isso de lado. Agora, olhe para o quadrilátero ABCH. Notamos que a soma dos ângulos em qualquer quadrilátero é 360.

Sabemos que dois dos ângulos. O ângulo em A e o ângulo em B são 135 graus. Bem, se você olhar para essa forma, perceberemos que é um trapézio e, como é igual a BC, é um trapézio simétrico. E, de fato, por ser um trapézio, sabemos que o ângulo em H será apenas o suplemento do ângulo em A.

Bem, o ângulo em A é de 135 graus, então o ângulo em H é o suplemento disso, que é de 45 graus. E então encontramos esse ângulo bem aqui, MHA, esse ângulo é de 45 graus. Bem, agora estamos em boa forma. Porque olhe para aquele triângulo, HAM. Conhecemos dois dos ângulos disso.

Temos esse ângulo e temos esse ângulo. Então, sabemos que a soma dos três ângulos nesse triângulo é 180 graus. Nós adicionamos coisas. Subtraímos 180 menos 112,5. E nós temos 67,5, então acontece que na verdade é um pequeno triângulo isósceles, acredite ou não, porque dois dos ângulos são iguais.

Mas agora que encontramos bem o ângulo AMH, o ângulo no qual estamos interessados ​​é o ângulo vertical disso, então ele deve ser igual. Isso significa que x é igual a 67,5 graus. Portanto, este é um exemplo de um problema muito, muito difícil. Um problema como esse pode aparecer entre os problemas mais difíceis na seção de quant. Em resumo, os polígonos regulares têm todos os lados e ângulos iguais.

Podemos encontrar a soma dos ângulos de costume, usando a fórmula n menos 2 vezes 180, e dividir por n para encontrar a medida dos ângulos individuais.


Assista o vídeo: Obszar regularnych wielokątów sześciokąty, pięciokąty i trójkąty równoboczne z wpisanymi okręgami (Outubro 2021).