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2: Triângulos congruentes - Matemática


Miniatura: Diagrama de dois triângulos congruentes. ( triangle ABC cong triangle DEF ) (CC BY-SA; Merovíngio via Wikipedia)


O que mostra dois triângulos congruentes com ASA? 2 triângulos retângulos são conectados em um lado. Os triângulos têm 2 lados congruentes e um ângulo congruente. 2 triângulos são conectados em um lado. Os triângulos também têm 2 ângulos congruentes. O primeiro triângulo pode ser girado para formar o segundo triângulo. 2 triângulos têm 3 ângulos congruentes. O segundo triângulo está à direita do primeiro triângulo. 2 triângulos têm 2 lados congruentes e 1 ângulo congruente. O primeiro triângulo é refletido em uma linha e, em seguida, girado para formar o segundo triângulo.

O postulado AAS (Angle-Angle-Side) afirma que se dois ângulos e o lado não incluído um triângulo forem iguais aos dois ângulos e o lado não incluído do outro triângulo, então os dois triângulos são considerados congruentes.

Na figura A temos dois ângulos e o lado não incluído um triângulo são iguais aos dois ângulos e o lado não incluído do próximo triângulo anexado a ele, portanto, pelo postulado AAS, eles são congruentes.

O resto das outras figuras não têm dois ângulos iguais em ambos os triângulos.

Assim, apenas A mostra dois triângulos congruentes por AAS.

Os triângulos podem ser semelhantes ou congruentes. Triângulos semelhantes terão ângulos congruentes, mas lados de comprimentos diferentes. Os triângulos congruentes terão ângulos e lados totalmente correspondentes. Seus ângulos e lados internos serão congruentes. O teste para ver se os triângulos são congruentes envolve três postulados, abreviados SAS, ASA e SSS.

(A) mostra dois triângulos que são congruentes por AAS. O postulado AAS (Angle-Angle-Side) afirma que se dois ângulos e o lado não incluído um triângulo forem iguais aos dois ângulos e o lado não incluído do outro triângulo, então os dois triângulos são considerados congruentes.

é o último pessoal ,, acabei de fazer o teste :)))

A resposta é A. Espero ter ajudado!

AAS significa "ângulo-ângulo-lado". Ele afirma que se dois ângulos e um lado não incluído de um triângulo são congruentes com os dois ângulos correspondentes e o lado não incluído de outro triângulo, então os triângulos são congruentes.

O único triângulo nesta lista marcado como tendo dois ângulos congruentes e um lado que não é congruente entre eles é a última figura.

O último caso mostra que os dois triângulos são congruentes pelo teorema de congruência SSS

Os triângulos A B C e A D C compartilham o lado comum A C. Os comprimentos de A B e A D são congruentes. Os comprimentos de B C e D C são congruentes.

Com este caso. Você tem lados AB = AD, BC = DC, e então pode concluir que AC = AC por propriedade reflexiva porque AC é o lado comum.

então triângulo ABC = triângulo ADC por congruência SSS

CASO 1.) Os triângulos A B C e D E C são conectados no ponto C. Os ângulos A B C e C E D são ângulos retos. Os comprimentos dos lados A B e E D são congruentes. Você saberia apenas um par de lados e um par de ângulos que são congruentes.

CASO 2.) Os triângulos A B C e D E C são conectados no ponto C. Os comprimentos dos lados A B e D E são congruentes. Os comprimentos dos lados B C e C D são congruentes. Você saberia apenas 2 pares de lados congruentes.

CASO 3.) Os triângulos A B C e D E C são conectados no ponto C. Os comprimentos dos lados A C e C E são congruentes. Os ângulos B A C e C E D são congruentes. Você saberia apenas um par de ângulos e um par de lados. Não é o suficiente para congruência.

CASO 4.) Os triângulos A B C e A D C compartilham o lado comum A C. Os comprimentos de A B e A D são congruentes. Os comprimentos de B C e D C são congruentes.

O último, conforme figura ao lado.

Explicação adicional O postulado AAS (Angle-Angle-Side) para os triângulos congruentes: dois pares de ângulos correspondentes e um par de lados opostos são iguais em ambos os triângulos. O postulado ASA (Angle-Side-Angle) para os triângulos congruentes: dois ângulos e o lado incluído de um triângulo são congruentes a dois ângulos e o lado incluído de outro triângulo o lado incluído representa adequadamente o lado entre os vértices dos dois ângulos . O postulado SAS (Side-Angle-Side) para os triângulos congruentes: dois lados e o ângulo incluído de um triângulo são congruentes a dois lados e o ângulo incluído de outro triângulo o ângulo incluído representa adequadamente o ângulo formado por dois lados. (Lado-Lado-Lado) postulado para os triângulos congruentes: todos os três lados em um triângulo são congruentes com os lados correspondentes dentro do outro.

O postulado do lado do ângulo para os triângulos congruentes não existe porque um ângulo e dois lados não garantem que dois triângulos sejam congruentes. Se dois triângulos têm dois lados congruentes e um ângulo não incluído congruente, então os triângulos não parecem ser necessariamente congruentes. Pode ser por isso que não há ângulo lateral-lateral (SSA) e não há postulado lado-lado-ângulo. O postulado AAA (ângulo-ângulo-ângulo) para triângulos congruentes não funciona porque ter três ângulos correspondentes de tamanho igual não é o suficiente para provar congruência. Esse princípio geralmente é usado para a semelhança de dois triângulos. Saiba mais O que mostra dois triângulos congruentes com ASA? Sobre ângulos verticais e suplementares Calcule as medidas dos dois ângulos em um triângulo retângulo

O segundo, conforme figura em anexo.

Explicação adicional O postulado ASA (Angle-Side-Angle) para os triângulos congruentes: dois ângulos e o lado incluído de um triângulo são congruentes com dois ângulos e o lado incluído de outro triângulo o lado incluído representa adequadamente o lado entre os vértices dos dois ângulos. O postulado SAS (Side-Angle-Side) para os triângulos congruentes: dois lados e o ângulo incluído de um triângulo são congruentes a dois lados e o ângulo incluído de outro triângulo o ângulo incluído representa adequadamente o ângulo formado por dois lados. (Lado-Lado-Lado) postulado para os triângulos congruentes: todos os três lados em um triângulo são congruentes com os lados correspondentes dentro do outro. O postulado AAS (Ângulo-Ângulo-Lado) para os triângulos congruentes: dois pares de ângulos correspondentes e um par de lados opostos são iguais em ambos os triângulos.

O postulado do lado do ângulo para os triângulos congruentes não existe porque um ângulo e dois lados não garantem que dois triângulos sejam congruentes. Se dois triângulos têm dois lados congruentes e um ângulo não incluído congruente, então os triângulos não parecem ser necessariamente congruentes. Pode ser por isso que não há ângulo lateral-lateral (SSA) e não há postulado lado-lado-ângulo. O postulado AAA (ângulo-ângulo-ângulo) para triângulos congruentes não funciona porque ter três ângulos correspondentes de tamanho igual não é o suficiente para provar congruência. Este princípio é geralmente usado para a semelhança de dois triângulos. Saiba mais Sobre os comprimentos das pernas do triângulo Sobre os ângulos verticais e suplementares Calcule as medidas dos dois ângulos em um triângulo retângulo


Geometria: Triângulos congruentes

Triângulos congruentes são triângulos que têm o mesmo Tamanho e forma. Isso significa que os lados correspondentes são iguais e os ângulos correspondentes são iguais.

Nos diagramas acima, os lados correspondentes são uma e d b e e c e f .

Os ângulos correspondentes são x e s y e t z e você .

Podemos dizer se dois triângulos são congruentes sem testar todos os lados e todos os ângulos dos dois triângulos. Existem quatro regras para verificar triângulos congruentes. Eles são chamados de regra SSS, regra SAS, regra ASA e regra AAS. Também existe outra regra para triângulos retângulos, chamada regra da perna da hipotenusa. Desde que uma das regras seja verdadeira, é suficiente provar que os dois triângulos são congruentes.

Regra 1: SSS Postulado

Se os lados de um triângulo são congruentes com os lados de um segundo triângulo, então os triângulos são congruentes.

Regra 2: SAS Postulado

Se dois lados e o ângulo incluído (Side-Angle-Side, SAS) de um triângulo são iguais a dois lados e o ângulo incluído de outro triângulo, então os triângulos são congruentes. Um ângulo incluído é o ângulo formado pelos dois lados dados.

Regra 3: ASA Postulado

Se dois ângulos e o lado incluído de um triângulo (Ângulo-Lado-Ângulo, ASA) são iguais a dois ângulos e o lado incluído de outro triângulo, então os triângulos são congruentes. Um lado incluído é o lado entre os dois ângulos dados.

Regra 4: Regra AAS

Se dois ângulos e um lado não incluído de um triângulo (Angle-Angle-Side, AAS) forem iguais a dois ângulos e um lado não incluído de outro triângulo, então os triângulos são congruentes. (Esta regra às vezes pode ser chamada de SAA).

Para a regra ASA, o lado dado deve ser incluído e para a regra AAS o lado dado não deve ser incluído. O truque é que devemos usar a mesma regra para os dois triângulos que estamos comparando.

Postulado 1: Postulado Side-Side-Side (SSS) Se três lados de um triângulo são congruentes

a três lados de outro triângulo, então os triângulos são congruentes.

Postulado 2: Postulado do lado do ângulo lateral (SAS) Se dois lados e o ângulo incluído de um triângulo são congruentes com dois lados e o ângulo incluído de outro triângulo, então os triângulos são congruentes.

Postulado 3 : Postulado do ângulo lateral do ângulo Se dois ângulos e o lado incluído de um triângulo são congruentes com dois ângulos e o lado incluído de outro triângulo, então os triângulos são congruentes.

Teorema Angle-Angle-Side (AAS) Se dois ângulos e um lado não incluído de um triângulo são congruentes com as partes correspondentes de outro triângulo, então os triângulos são congruentes.

Quando essa corredora coloca as mãos nos quadris, ela forma dois triângulos com a parte superior do corpo e os braços. Suponha que seu braço tenha comprimento de 9 polegadas e mede 11 polegadas. Suponha também que você recebeu essa informação. Justifique sua resposta.

Uma vez que recebemos informações sobre todos os três lados e eles são congruentes, poderíamos usar SSS provar

Você pode se perguntar por que não podemos usar AAA para provar a congruência de triângulos. Embora triângulos congruentes compartilhem três ângulos congruentes, AAA não é uma ferramenta possível para provar a congruência porque dois triângulos com três ângulos congruentes correspondentes podem ser semelhantemas não congruente(o que significa que seus segmentos podem não ser congruentes).

Congruência em triângulos retos

Teorema 4.6 Congruência perna-perna (LL)

Se as pernas de um triângulo retângulo são congruentes com as pernas correspondentes de outro triângulo retângulo, então os triângulos são congruentes.

Teorema 4.7 Congruência do ângulo hipotenusa (HA)

Se a hipotenusa e o ângulo agudo de um triângulo retângulo são congruentes com a hipotenusa e o ângulo agudo correspondente de outro triângulo retângulo, então os dois triângulos são congruentes.

Teorema 4.8 Congruência do ângulo da perna (LA)

Se uma perna e um ângulo agudo de um triângulo retângulo são congruentes com a perna correspondente e o ângulo agudo de outro triângulo retângulo, então os triângulos são congruentes.

Postulado 4.4 Congruência da perna com hipotenusa (HL)

Se a hipotenusa e uma perna de um triângulo retângulo são congruentes com a hipotenusa e a perna correspondente de outro triângulo retângulo, então os triângulos são congruentes.

Teorema HL Se a hipotenusa e uma perna de um triângulo retângulo são congruentes com as partes correspondentes de outro triângulo retângulo, então os triângulos são congruentes.

Se as pernas de um triângulo retângulo são congruentes com as pernas correspondentes de outro triângulo retângulo, então os triângulos são congruentes.,

Teorema 5-6 HA (Hipotenusa - Ângulo)

Se a hipotenusa e o ângulo agudo de um triângulo retângulo forem congruentes com a hipotenusa e o ângulo agudo correspondente de outro triângulo retângulo, os dois triângulos serão congruentes.,

Se a perna e um ângulo agudo de um triângulo retângulo são congruentes com a perna correspondente e o ângulo agudo de outro triângulo retângulo, então os triângulos são congruentes.,

Postulado 5-1 HL (Hypotenuse -Leg)

Se a hipotenusa e uma perna de um triângulo retângulo são congruentes com a hipotenusa e a perna correspondente de outro triângulo retângulo, então os triângulos são congruentes

Resumo das maneiras de provar a congruência de dois triângulos

Todos os triângulos: SSS SAS ASA AAS

Triângulos retângulos : HL

As partes dos dois triângulos que têm as mesmas medidas (congruentes) são referidas como partes correspondentes. Isso significa que As partes correspondentes dos triângulos congruentes são congruentes (CPCTC). Os triângulos congruentes são nomeados listando seus vértices em ordens correspondentes. Na Figura 1, Δ BASTÃO ≅ Δ GELO .

Exemplo 1: Se Δ PQR ≅ Δ STU quais partes devem ter medidas iguais?

Essas partes são iguais porque as partes correspondentes de triângulos congruentes são congruentes.

Resumo de conceitos: métodos para provar a congruência do triângulo

Definição de triângulos congruentes

Todas as partes correspondentes de um triângulo são congruentes com as partes correspondentes do outro triângulo.

Os três lados de um triângulo devem ser congruentes com os três lados do outro triângulo.

Dois lados e o ângulo incluído de um triângulo devem ser congruentes com os dois lados e o ângulo incluído do outro triângulo.

Dois ângulos e o lado incluído de um triângulo devem ser congruentes com dois ângulos e o lado incluído do outro triângulo.

Dois ângulos e um lado não incluído de um triângulo devem ser congruentes com dois ângulos e lado do outro triângulo.

PRÁTICA GUIADA: exemplos 1-4 páginas 181-182 livro didático

PRÁTICA INDEPENDENTE: # 2-12,16-28 p 182-183 Textbbbok

1) Qual escolha mostra um triângulo que é congruente aplicando apenas o Teorema de Congruência AAS?

2) Qual teorema pode ser usado para mostrar que os dois triângulos abaixo são congruentes?

UMA - Discussão do Grupo de Liderança

B- Registre as respostas e explicações.

C- Compartilhar a resposta com a classe

1. Responda às perguntas essenciais desde o início da lição.

2. Explique como você poderia usar os postulados de congruência ASA ou AAS para provar


Triângulos congruentes

Existem quatro maneiras básicas de saber se os triângulos são congruentes.

    • Lado Lado Lado: Se as medidas dos três lados de um triângulo são iguais às de outro, então os triângulos são congruentes.
    • Ângulo-Lado-Ângulo: Se dois ângulos e o lado entre eles forem iguais aos de outro triângulo, então os triângulos são congruentes.
    • Lado-Ângulo-Lado: Se dois lados e o ângulo entre eles forem iguais aos de outro triângulo, então os triângulos são congruentes.
    • Ângulo-Ângulo-Lado: Se dois ângulos e o lado oposto de um deles forem iguais aos de outro triângulo, então os triângulos são congruentes.


    Iremos provar cada uma das afirmações acima usando a Lei de Sines e a Lei dos Cossenos. Para uma discussão aprofundada sobre a resolução de triângulos, consulte: Resolvendo Triângulos.


    Em todas as imagens a seguir:

    • Preto indicará lados e ângulos de valor conhecido.
    • Verde indicará ângulos de medida desconhecida.
    • Vermelho indicará lados de comprimento desconhecido.

    Lado-Lado-Lado

    Se as medidas dos três lados de um triângulo são iguais às de outro, os triângulos são congruentes.

    A imagem 2 mostra o caso em que os comprimentos dos três lados de um triângulo são conhecidos, enquanto as medidas dos três ângulos não são. Ângulos desconhecidos são mostrados em verde. Observe que há apenas uma possibilidade de medição de cada um dos três ângulos que permitirá que os lados do triângulo se conectem.

    Usando a Lei dos Cossenos, podem ser encontradas as medidas de um dos ângulos. Uma vez que a medida de um dos ângulos é determinada, a Lei dos Senos mais simples pode ser usada para encontrar os dois restantes. Subseqüentemente, as medidas de todos os três lados e ângulos do triângulo serão conhecidas, e dois triângulos podem ser conclusivamente comprovados como congruentes.


    Acabamos de provar que é suficiente saber que as medidas dos três lados de um triângulo são iguais às de outro para saber que os dois triângulos são congruentes.

    Angle-Side-Angle

    Se dois ângulos e o lado entre eles forem iguais aos de outro triângulo, os triângulos serão congruentes.

    A imagem 3 ilustra que, se dadas as medidas de dois ângulos e o lado entre eles, há apenas um comprimento possível para cada um dos dois lados restantes de modo que eles se conectem e formem um triângulo. Lados desconhecidos são mostrados em vermelho e ângulos desconhecidos são mostrados em verde. Além disso, dado que os ângulos de um triângulo sempre somam 180 e # 176, há apenas uma possibilidade para a medição do ângulo restante entre esses dois lados.

    O ângulo desconhecido pode ser encontrado subtraindo as medidas dos ângulos conhecidos de 180 e # 176, produzindo a medição necessária para que os três ângulos somam os 180 & # 176 necessários.

    Em seguida, a Lei dos Senos pode ser usada para encontrar os comprimentos dos lados restantes do triângulo. uma vez que os comprimentos dos dois lados desconhecidos forem encontrados, todos os elementos do triângulo serão conhecidos, e dois triângulos podem ser conclusivamente congruentes.


    Acabamos de provar que é suficiente saber que dois ângulos e o lado entre eles são iguais aos de outro triângulo para saber que os dois triângulos são congruentes.

    Side-Angle-Side

    Se dois lados e o ângulo entre eles forem iguais aos de outro triângulo, os triângulos serão congruentes.

    Como na Imagem 4, observe que, se dado o comprimento de um lado, um ângulo adjacente e o outro lado adjacente, há apenas um comprimento possível para o lado restante do triângulo.

    O comprimento do lado restante pode ser encontrado usando a Lei dos Cossenos, após o qual as medidas dos ângulos desconhecidos podem ser determinadas com a Lei dos Senos. Uma vez encontrados, as medidas de todos os lados e ângulos serão conhecidos, e dois triângulos podem ser conclusivamente comprovados congruentes.


    Acabamos de provar que é suficiente saber que dois lados e o ângulo entre eles são iguais aos de outro triângulo para saber que os dois triângulos são congruentes.

    Angle-Angle-Side

    Se dois ângulos e o lado oposto de um deles forem iguais aos de outro triângulo, então os triângulos são congruentes.

    A imagem 5 mostra o caso em que são conhecidas as medidas de dois ângulos e do lado oposto de um deles. Semelhante ao Angle-Side-Angle, podemos usar nosso conhecimento de que as medidas dos ângulos de um triângulo sempre somam 180 & # 176 para encontrar o ângulo desconhecido. Subtraindo as medidas dos lados conhecidos de 180 e # 176, encontramos a medida que o ângulo restante deve ser para que os três somam 180 e # 176.

    Uma vez que as medidas de todos os ângulos são conhecidas, o problema é reduzido a um caso Angle-Side-Angle. A Lei de Sines pode ser usada para encontrar os comprimentos dos dois lados desconhecidos. Posteriormente, as medidas de todos os lados e ângulos serão conhecidas, e dois triângulos podem ser conclusivamente comprovados congruentes.


    Acabamos de provar que é suficiente saber que dois ângulos e o lado oposto de um deles são iguais aos de outro triângulo para saber que os dois triângulos são congruentes.

    Casos em que a congruência não pode ser determinada

    Existem dois casos em que a congruência de dois triângulos não pode ser determinada.

      • Ângulo-Ângulo-Ângulo: Se as medidas dos três ângulos de um triângulo são iguais às de outro, então os triângulos não podem ser determinados congruentes. Os dois triângulos podem, no entanto, ser provados como '' 'semelhantes' ''.
      • Ângulo Lado-Lado-Lado: Se dois lados e o ângulo oposto a um deles forem iguais aos de outro triângulo, então os triângulos não podem ser determinados como congruentes. Isso é conhecido como Caso Ambíguo.

      Ângulo-Ângulo-Ângulo


      A imagem 6 mostra o caso em que as medidas de todos os três ângulos de um triângulo são conhecidas, enquanto os comprimentos dos três lados não são. Pela Lei de Sines, sabemos que:


      Queremos mostrar que a proporção do comprimento de um1 para um2 é o mesmo de b1 para B2, que é o mesmo de c1 para c2. Escrito algebricamente:


      Começamos com as duas primeiras partes da Lei de Sines para nossos dois triângulos:

      Então nós dividimos os dois lados por b1 e multiplique ambos os lados por sin & # 9521: Então nós dividimos os dois lados por b2 e multiplique ambos os lados por sin & # 9521:


      Porque temos duas expressões que são iguais a , eles podem ser definidos iguais um ao outro, produzindo:


      Em seguida, multiplicamos ambos os lados da equação por b1, produzindo:


      Acabamos de provar que a proporção do comprimento de um1 para um2 é o mesmo de b1 para B2. Isso significa que as proporções do lado a1 em relação a um2 são iguais a b1 para B2. A prova acima também pode ser realizada com o par & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 e & # 160 & # 160 Quando esse resultado é combinado com o que acabamos de chegar, encontramos o seguinte:



      Assim, os comprimentos de todos os três lados de um triângulo são proporcionais aos comprimentos dos lados correspondentes do outro, e foi comprovado que os triângulos são semelhantes.

      Acabamos de provar que é suficiente saber que as medidas dos três ângulos de um triângulo são iguais às de outro para saber que os dois são semelhantes.

      No entanto, só pudemos provar que os comprimentos dos lados são proporcionais, não que eles eram iguais. Consequentemente, não podemos concluir definitivamente que os lados têm o mesmo comprimento, o que significa que não podemos ter certeza de que os triângulos são congruentes. Esse ponto é mais bem ilustrado pela Imagem 6, na qual os dois triângulos têm ângulos correspondentes iguais, mas os lados que conectam os ângulos no triângulo superior são maiores do que os lados que conectam esses mesmos ângulos no triângulo inferior.


      A solução do @Matrial parece muito promissora, mas resolver $ FC = BF $ está me matando. Será que haveria soluções, digamos, mais euclidianas?

      fazemos isso usando o sistema de coordenadas como na imagem.

      Suponha: $ A = (0,0), D = (a, 0), B = (b, 0) $, porque $ AD = AE $, então $ E = (a cos ( theta), a sin ( theta)) $. $ E $ é um ponto na linha $ AC $, então podemos propor um coeficiente $ lambda $ que satisfaça $ AC = lambda cdot AE $ e & lt lambda & lt1 $, então $ C = ( lambda a cos ( theta), lambda a sin ( theta)) $.

      Agora podemos obter a função das duas linhas $ CD $ e $ BE $, o resultado é $ CD: y = frac < lambda sin ( theta)> < lambda cos ( theta) -1> (xa) $ $ BE: y = frac(x-b) $ Agora calculamos a interseção dessas duas linhas e obtemos $ F: x_F = frac y_F = frac$ Agora usamos a condição $ FC = BF $, e temos a equação sobre o coeficiente $ lambda $ $ (b-x_F) ^ 2 + y_F ^ 2 = ( lambda a cos ( theta) -x_F) ^ 2 + ( lambda a sin ( theta) -y_F) ^ 2 $ Resolva e elimine a solução não real e a solução $ lambda & gt1 $, temos a solução única $ lambda = frac$ Agora podemos dizer que $ AC = AB $ e sua igualdade está comprovada.

      $ mathbf$ (para refletir a preocupação do OP)

      E todos os anteriores / anteriores $ mathbf$ com muito gosto, depois de reconhecer que qualquer prova geométrica disso provavelmente será circular, de modo que nos levará a círculos sem fim. (provavelmente por causa da simetria da congruência particular).

      Eu acho, mas não tenho certeza, que isso pode ser resolvido de outra maneira. Se pudermos provar que o quadrilátero $ DFEA $ pode ser inscrito, então pode-se tentar usar as proporções correspondentes que se obtém da potência dos pontos $ B $ e $ C $ em relação ao círculo circunscrito desse quadrilátero. Talvez as suposições sejam suficientes para igualar esses poderes, daí todas as vantagens nelas contidas.

      E, de fato, se parece com Desargues 'com as premissas adicionais $ AD = AE $ e $ BF = FC $, que devem ser imediatas.

      Esboço da prova para o caso geral:

      1. Construir circunferência $ c $ de isósceles $ ADE $.
      2. Selecione o ponto $ B $ na extensão de $ AD $.
      3. Conduza $ BE $. Ele cruzará o círculo circunflexo $ c $ em $ F $.
      4. Conduza $ DF $. Ele cruzará $ AE $ em $ C $ (consulte [*]).
      5. Agora aplique Desargues (poderes dos pontos $ B $ e $ C $ em relação ao circunscrito $ c $), usando as premissas adicionais $ AD = AE $ e $ BD = FC $.
      6. Sob as duas suposições, 5) implica que $ F $ está na bissetriz de $ A $, e todo o resto segue.

      [*] O caso degenerado da construção acima, é quando $ DE $ tem um diâmetro de $ c $. Neste caso, o quadrilátero inscrito será um quadrado, com ambos os diâmetros diagonais, mas neste caso as suposições $ BF = FC $ não fazem sentido, portanto, este caso é rejeitado. Se você omitir este caso, o ponto $ C $ existe.

      Precisa de muito trabalho para enxergar completamente. Se você não vê, tentarei adicionar mais a isso.


      Lição 4

      Em uma lição anterior, os alunos justificaram que, se todos os pares de lados e ângulos correspondentes são congruentes, então os dois triângulos devem ser congruentes. Esta lição convida à pergunta: “Quanta informação é necessária para garantir que dois triângulos sejam congruentes?” Os alunos começam a responder a essa pergunta em uma lacuna de informações. Quando os alunos solicitam informações sobre lados e ângulos, os alunos devem atentar para a precisão (MP6). Nas atividades subsequentes, os alunos estudam os diálogos dos personagens do Info Gap para destacar a ambigüidade de solicitar dois lados e um ou três ângulos.

      Ao longo desta lição, os alunos estão desenvolvendo e testando conjecturas sobre quanta informação eles precisam para provar que os triângulos são congruentes (MP8). Eles então escreverão essas provas nas próximas lições. O processo de experimentar, conjecturar, testar e ajustar ou provar é a essência de fazer matemática.

      A tecnologia não é necessária para esta lição, mas há oportunidades para os alunos escolherem usar a tecnologia apropriada para resolver problemas. Recomendamos disponibilizar tecnologia.


      Lição 2

      Cada par de figuras é congruente. Decida se cada afirmação de congruência é verdadeira ou falsa.

      ( triângulo ABC cong triângulo FED )

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      ( triângulo ABC cong triângulo FED )

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      Triângulo (ABC ) é congruente ao triângulo (FED ).

      Quadrilátero (PZJM ) é congruente com quadrilátero (LYXB ).

      ( triangle JKL cong triangle QRS )

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      ( triangle JKL cong triangle QRS )

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      O triângulo (JKL ) é congruente com o triângulo (QRS ).

      Pentágono (ABCDE ) é congruente ao pentágono (PQRST ).

      2.2: Quais triângulos são congruentes?

      1. Triângulo (PQR ) é congruente com qual triângulo? Explique seu raciocínio.
      2. Mostre uma sequência de transformações rígidas que leva (PQR ) a esse triângulo. Desenhe cada etapa da transformação.
      3. Explique por que não pode haver uma transformação rígida no outro triângulo.

      2.3: Essas peças são congruentes?

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      Triângulo (ABD ) é uma rotação do triângulo (CDB ) em torno do ponto (E ) por (180 ^ < circ> ). O ângulo (ADB ) é congruente com o ângulo (CDB )? Em caso afirmativo, explique seu raciocínio. Se não, qual ângulo é (ADB ) congruente com?

      Polígono (HIJKL ) é uma reflexão e tradução do polígono (GFONM ). O segmento (KJ ) é congruente com o segmento (NM )? Em caso afirmativo, explique seu raciocínio. Se não, qual segmento é (NM ) congruente com?

      Quadrilateral (PQRS ) é uma rotação do polígono (VZYW ). O ângulo (QRS ) é congruente com o ângulo (ZYW )? Em caso afirmativo, explique seu raciocínio. Se não, qual ângulo é (QRS ) congruente com?

      Suponha que o quadrilátero (PQRS ) fosse uma rotação do quadrilátero (VZYW ) e também um reflexo do quadrilátero (YZVW ). O que podemos concluir sobre a forma de nossos quadriláteros? Explique por quê.

      Resumo

      Nomear figuras congruentes para que fique claro a partir do nome quais partes correspondem torna mais fácil verificar se 2 figuras são congruentes e usar as partes correspondentes. Nesta imagem, o segmento (AB ) parece ser congruente com o segmento (DE ). Além disso, o segmento (EF ) parece ser congruente ao segmento (BC ). Portanto, faz mais sentido conjeturar que o triângulo (ABC ) é congruente com o triângulo (DEF ) do que conjeturar que o triângulo (ABC ) é congruente com o triângulo (FDE ).

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      Se nos for dito que quadrilátero (MATH ) é congruente com quadrilátero (AMOR ), mesmo sem olhar para as figuras que conhecemos:

      • O ângulo (M ) é congruente com o ângulo (L ).
      • Ângulo (A ) é congruente ao ângulo (O ).
      • O ângulo (T ) é congruente com o ângulo (V ).
      • O ângulo (H ) é congruente com o ângulo (E ).
      • Os segmentos (MA ) e (LO ) são congruentes.
      • Os segmentos (AT ) e (OV ) são congruentes.
      • Os segmentos (TH ) e (VE ) são congruentes.
      • Os segmentos (HM ) e (EL ) são congruentes.

      Quadriláteros (MATH ) e (LOVE ) podem ser nomeados de muitas maneiras diferentes para que ainda correspondam, como (ATHM ) é congruente com (OVEL ) ou (THMA ) é congruente com (VELO ). Mas (ATMH ) é congruente com (AMOR ) significa que existem diferentes partes correspondentes. Observe que quadrilátero (MATH ) se refere a uma maneira diferente de conectar os pontos do quadrilátero (ATMH ).

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      Entradas do glossário

      Para uma transformação rígida que leva uma figura a outra, uma parte da primeira figura e sua imagem na segunda figura são chamadas de partes correspondentes. Também falamos sobre partes correspondentes quando estamos tentando provar que duas figuras são congruentes e estabelecer uma correspondência entre as partes para ver se as partes são congruentes.

      Na figura, o segmento (AB ) corresponde ao segmento (DE ) e o ângulo (BCA ) corresponde ao ângulo (EFD ).

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      Partes correspondentes

      Quando dois triângulos são congruentes, todos os seus ângulos e lados correspondentes (chamados de partes correspondentes) são congruentes.

      Uma vez que pode ser mostrado que dois triângulos são congruentes usando um dos métodos de congruência acima, também sabemos que todas as partes correspondentes dos triângulos congruentes são congruentes (abreviado CPCTC).

      Declare a congruência para os dois triângulos, bem como todas as partes correspondentes congruentes.

      Uma vez que dois ângulos de & # 9651ABC são congruentes a dois ângulos de & # 9651PQR, o terceiro par de ângulos também deve ser congruente, então & angC & cong & angR e & # 9651ABC & cong & # 9651PQR por ASA.

      Os lados congruentes correspondentes são: AB e cong PQ, BC e cong QR, AC e cong PR.


      Assista o vídeo: Uzasadnij, że trójkąty BCL i BKL są przystające. (Outubro 2021).