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1: Equações Lineares


objetivos de aprendizado

Neste capítulo, você aprenderá a:

  1. Represente graficamente uma equação linear.
  2. Encontre a inclinação de uma linha.
  3. Determine uma equação de uma linha.
  4. Resolva sistemas lineares.
  5. Faça problemas de aplicação usando equações lineares.

Miniatura: As linhas vermelha e azul neste gráfico têm a mesma inclinação (gradiente); as linhas vermelha e verde têm a mesma interceptação y (cruzam o eixo y no mesmo lugar). (CC BY-SA 1.0; ElectroKid via Wikipedia)


Analisando Equações Lineares

Saber escrever equações lineares é um passo importante no caminho para se tornar um mestre em matemática! Neste tutorial, você praticará o uso de uma inclinação e um ponto para escrever a equação da reta no formato padrão.

Como você encontra a inclinação de uma reta em um gráfico?

Tentando encontrar a inclinação de uma linha representada no gráfico? Primeiro, identifique dois pontos na linha. Então, você pode usar esses pontos para descobrir a inclinação. Neste tutorial, você verá como usar dois pontos na linha para encontrar a mudança em 'y' e a mudança em 'x'. Então, você verá como pegar esses valores e calcular a inclinação. Confira!

Como você encontra as interceptações X e Y de uma linha na forma de interceptação em declive?

Para encontrar a interceptação x de uma dada equação linear, insira 0 para 'y' e resolva para 'x'. Para encontrar a interceptação y, conecte 0 para 'x' e resolva para 'y'. Neste tutorial, você verá como encontrar a interceptação xe a interceptação y para uma dada equação linear. Confira!

Como você escreve a equação de uma linha na forma de declive-interceptação se você tiver dois pontos?

Tentando escrever uma equação na forma de declive-interceptação? Tem dois pontos na sua linha? Você precisará encontrar sua inclinação e interceptação em y. Assista a este tutorial e veja o que precisa ser feito para escrever uma equação na forma de declive-interceptação!

Como você escreve a equação de uma linha na forma de declive-interceptação a partir de um problema de palavra?

Problemas com palavras são uma ótima maneira de ver a matemática no mundo real! Neste tutorial, você verá como escrever uma equação na forma de declive-interceptação que representa as informações fornecidas na palavra problema. Para ver como isso é feito, confira este tutorial!

Como você escreve a equação de uma linha na forma de declive-interceptação se você tiver um ponto e uma linha paralela?

Quer encontrar a forma de interceptação da inclinação de uma linha quando você recebe um ponto dessa linha e outra linha paralela a essa linha? Lembre-se de que as linhas paralelas têm a mesma inclinação. Se você conseguir encontrar a inclinação dessa linha paralela, terá a inclinação da sua linha! Neste tutorial, você verá como encontrar a inclinação de sua linha e usar essa inclinação, junto com o ponto dado, para escrever uma equação para a linha na forma de inclinação-interceptação. Dê uma olhada!

Como você escreve a equação de uma linha na forma de inclinação-interceptação se você tiver um ponto e uma linha perpendicular?

Quer encontrar a forma de interceptação da inclinação de uma linha quando você recebe um ponto dessa linha e outra linha perpendicular a essa linha? Lembre-se de que as linhas perpendiculares têm inclinações opostas entre si. Neste tutorial, você verá como encontrar a inclinação usando a inclinação da reta perpendicular. Em seguida, use esta inclinação e o ponto dado para escrever uma equação para a reta na forma de inclinação-interceptação. Confira!

Como colocar uma equação na forma padrão na forma de declive-interceptação ou na forma de ponto-declive?

Procurando alguma prática para converter a equação de uma linha em diferentes formas? Então este tutorial foi feito para você! Acompanhe como este tutorial mostra como pegar uma equação linear da forma padrão e convertê-la em forma de declive-interceptação e forma de ponto-declive.

Como colocar uma equação na forma de inclinação-interceptação na forma padrão ou na forma de ponto-inclinação?

Procurando alguma prática para converter a equação de uma linha em diferentes formas? Então este tutorial foi feito para você! Acompanhe enquanto este tutorial mostra como pegar uma equação linear da forma de declive-interceptação e convertê-la na forma padrão e na forma de ponto-declive.

Como colocar uma equação na forma de inclinação de ponto na forma padrão ou na forma de interceptação de inclinação?

Procurando alguma prática para converter a equação de uma linha em diferentes formas? Então este tutorial foi feito para você! Acompanhe este tutorial mostra como pegar uma equação linear da forma ponto-declive e convertê-la na forma padrão e na forma declive-interceptação.

Como você encontra a inclinação de uma linha a partir de dois pontos?

Calculando a inclinação de uma linha a partir de dois pontos dados? Use a fórmula de inclinação! Esse tutorial vai te mostrar como!

Como você encontra a interceptação em Y de uma linha se você tiver outro ponto e a inclinação?

Quer praticar para encontrar a interceptação y de uma linha? Neste tutorial, você tem a inclinação de uma linha e um ponto nessa linha e é solicitado a encontrar a interceptação y. Assista a este tutorial e veja como a equação para a forma de declive-interceptação de uma linha é usada para descobrir a resposta!

Como você encontra a constante de variação de uma equação de variação direta?

A constante de variação é o número que relaciona duas variáveis ​​que são diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais uma à outra. Assista a este tutorial para ver como encontrar a constante de variação para uma equação de variação direta. Dê uma olhada!

Como você escreve uma equação para variação direta dado um ponto?

Procurando alguma prática com variação direta? Assista a este tutorial e pratique! Este tutorial mostra como pegar informações fornecidas e transformá-las em uma equação de variação direta. Então, veja como usar essa equação para encontrar o valor de uma das variáveis.

Como você escreve uma equação para variação direta de uma tabela?

Procurando alguma prática com variação direta? Assista a este tutorial e pratique! Este tutorial mostra como pegar uma tabela de valores e descrever a relação usando uma equação de variação direta.

Como você encontra a coordenada X de um ponto em uma linha se você tiver outro ponto e a inclinação?

Como você encontra a coordenada x de um ponto em uma linha se você tiver outro ponto e a inclinação? Você precisará usar a fórmula de inclinação. Assista a este tutorial e veja como encontrar esta coordenada que falta!

Como você usa um gráfico de dispersão para encontrar uma correlação positiva?

Tem um monte de dados? Tentando descobrir se há uma correlação positiva, negativa ou nenhuma correlação? Desenhe um gráfico de dispersão! Este tutorial o conduz pelas etapas de criação de um gráfico de dispersão, desenho de uma linha de ajuste e determinação da correlação, se houver. Dê uma olhada!

Como você usa um gráfico de dispersão para encontrar uma linha de ajuste?

Uma linha de ajuste é uma linha que resume a tendência em um conjunto de dados. Neste tutorial, você verá como representar graficamente dados em um plano de coordenadas e desenhar uma linha de ajuste para esses dados. Confira!

Como você usa um gráfico de dispersão para encontrar uma correlação negativa?

Tem um monte de dados? Tentando descobrir se há uma correlação positiva, negativa ou nenhuma correlação? Desenhe um gráfico de dispersão! Este tutorial o conduz pelas etapas de criação de um gráfico de dispersão, desenho de uma linha de ajuste e determinação da correlação, se houver. Dê uma olhada!

Como usar um gráfico de dispersão para não encontrar correlação?

Tem um monte de dados? Tentando descobrir se há uma correlação positiva, negativa ou nenhuma correlação? Desenhe um gráfico de dispersão! Este tutorial o conduz pelas etapas de criação de um gráfico de dispersão, desenho de uma linha de ajuste e determinação da correlação, se houver. Dê uma olhada!

Como você escreve uma equação para uma linha vertical?

Tentando encontrar a equação de uma linha vertical que passa por um determinado ponto? Lembre-se de que as linhas verticais têm apenas um valor 'x' e nenhum valor 'y'. Siga este tutorial para ver como usar as informações fornecidas para escrever a equação de uma linha vertical.

Como você escreve uma equação para uma linha horizontal?

Tentando encontrar a equação de uma linha horizontal que passa por um determinado ponto? Lembre-se de que as linhas verticais têm apenas um valor 'y' e nenhum valor 'x'. Siga este tutorial para ver como usar as informações fornecidas para escrever a equação de uma linha horizontal.

Como você representa o gráfico de uma linha vertical?

Para representar graficamente uma linha vertical que passa por um determinado ponto, primeiro plote esse ponto. Em seguida, desenhe uma linha reta para cima e para baixo que atravessa o ponto e pronto! Para ver esse processo em ação, assista a este tutorial!

Como você representa graficamente uma linha horizontal?

Para representar graficamente uma linha horizontal que passa por um determinado ponto, primeiro plote esse ponto. Em seguida, desenhe uma linha reta à esquerda e à direita que atravessa o ponto e pronto! Para ver esse processo em ação, assista a este tutorial!

Como você encontra a inclinação de uma linha se você tiver uma linha perpendicular?

As linhas perpendiculares têm inclinações opostas entre si. Para encontrar a inclinação de uma linha perpendicular a uma determinada equação, encontre o recíproco oposto dessa inclinação. Confira este tutorial para saber como!

Como encontrar a inclinação de uma rampa se conhecer a subida e a corrida?

Problemas com palavras são uma ótima maneira de ver a matemática em ação! Este tutorial mostra como resolver um problema de palavras envolvendo subida e corrida usando a fórmula de inclinação.

Como usar as interceptações X e Y para representar graficamente uma linha no formato padrão?

Para encontrar a interceptação x de uma dada equação linear, simplesmente remova o 'y' e resolva para 'x'. Para encontrar a interceptação y, remova o 'x' e resolva para 'y'. Neste tutorial, você verá como encontrar a interceptação xe a interceptação y para uma dada equação linear. Confira!

Como você representa o gráfico de uma linha se você receber a inclinação e a interceptação?

Tentando representar graficamente uma linha a partir de uma determinada inclinação e interceptação y? Acha que precisa encontrar uma equação primeiro? Pense de novo! Neste tutorial, veja como usar a inclinação e a interceptação y fornecidas para representar graficamente a linha.

Como você representa graficamente uma linha se tiver a inclinação e um único ponto?

Tentando representar graficamente uma linha de uma determinada inclinação e um ponto? Acha que precisa encontrar uma equação primeiro? Pense de novo! Neste tutorial, veja como usar aquela inclinação dada e apontar para representar graficamente a linha.

Como escrever uma equação de uma reta na forma de inclinação de ponto se você tiver a inclinação e um ponto?

Tentando escrever uma equação na forma de inclinação de ponto? Tem um ponto na linha e na inclinação? Insira esses valores corretamente na forma de inclinação de ponto de uma linha e você terá sua resposta! Assista a este tutorial para obter todos os detalhes!

Como você escreve a equação de uma linha na forma de inclinação de ponto se você tiver dois pontos?

Tentando escrever uma equação na forma de inclinação de ponto? Tem dois pontos, mas não tem inclinação? Você precisará usar esses pontos para encontrar uma inclinação primeiro. Assista a este tutorial e veja o que precisa ser feito para escrever uma equação na forma de ponto-inclinação!

Como escrever uma equação de uma linha na forma de inclinação de ponto e na forma padrão se você tiver dois pontos?

Obtenha alguma prática com a forma de inclinação de ponto e a forma padrão de uma equação! Este tutorial mostra como usar dois pontos dados para escrever uma equação em ambas as formas. Dê uma olhada!

Como você escreve a equação de uma linha na forma de inclinação-interceptação se você tem a inclinação e a interceptação em Y?

Quer escrever uma equação na forma de declive-interceptação? Já tem a inclinação e a interceptação em y? Perfeito! Basta inserir corretamente esses valores em sua equação e pronto! Aprenda como neste tutorial.

Qual é a fórmula para inclinação?

Quando você está lidando com equações lineares, pode ser solicitado que você encontre a inclinação de uma linha. É aí que conhecer a fórmula de inclinação é realmente útil! Aprenda a fórmula para encontrar a inclinação de uma linha assistindo a este tutorial.

Qual é o X-Intercept?

Quando você tem uma equação linear, a interceptação x é o ponto onde o gráfico da linha cruza o eixo x. Neste tutorial, aprenda sobre a interceptação x. Confira!

Como você sabe se duas linhas são paralelas?

Linhas paralelas são linhas que continuarão indefinidamente, sem nunca se cruzar. Isso ocorre porque eles têm a mesma inclinação! Se você tiver duas equações lineares com a mesma inclinação, mas diferentes interceptações y, então essas linhas são paralelas uma à outra!

Como você sabe se duas linhas são perpendiculares?

As linhas perpendiculares se cruzam em ângulos retos entre si. Para descobrir se duas equações são perpendiculares, observe suas inclinações. As inclinações das linhas perpendiculares são recíprocas opostas entre si. O produto deles é -1! Assista a este tutorial e veja como determinar se duas equações são perpendiculares.

O que significa a inclinação de uma linha?

Você não pode aprender sobre equações lineares sem aprender sobre inclinação. A inclinação de uma linha é a inclinação da linha. Existem muitas maneiras de pensar sobre a inclinação. Inclinação é a subida ao longo do percurso, a mudança em 'y' sobre a mudança em 'x' ou o gradiente de uma linha. Confira este tutorial para aprender sobre inclinação!

Qual é a constante de variação?

A constante de variação é o número que relaciona duas variáveis ​​que são diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais uma à outra. Mas por que é chamada de constante de variação? Este tutorial responde a essa pergunta, então dê uma olhada!

Qual é a aparência da variação direta em um gráfico?

Quer saber como uma variação direta se parece graficamente? Basicamente, é uma linha reta que passa pela origem. Para obter uma imagem melhor, confira este tutorial!

O que é um gráfico de dispersão?

Os gráficos de dispersão são realmente úteis para mostrar graficamente um monte de dados. Ao ver os dados graficamente, você pode ver padrões ou tendências nos dados. Esses padrões ajudam os pesquisadores a entender como uma coisa afeta a outra. Isso pode levar a todos os tipos de avanços! Este tutorial fornece uma visão geral do gráfico de dispersão. Confira!

O que é correlação positiva?

Olhando para uma linha de ajuste em um gráfico de dispersão? Essa linha tem uma inclinação positiva? Em caso afirmativo, seus dados mostram uma correlação positiva! Aprenda sobre correlação positiva assistindo a este tutorial.

O que é correlação negativa?

Olhando para uma linha de ajuste em um gráfico de dispersão? Essa linha tem uma inclinação negativa? Em caso afirmativo, seus dados mostram uma correlação negativa! Aprenda sobre a correlação negativa assistindo a este tutorial.

O que significa não ter correlação?

Os gráficos de dispersão são muito úteis para mostrar graficamente o padrão em um conjunto de dados. Mas às vezes esses dados não mostram correlação. Aprenda sobre nenhuma correlação e veja como saber se os dados não mostram nenhuma correlação assistindo a este tutorial!

O que significa inclinação negativa?

O que significa uma inclinação negativa? Qual é a aparência do gráfico de uma inclinação negativa? Encontre as respostas para essas perguntas assistindo a este tutorial!

O que são linhas verticais?

Você pode ser capaz de adivinhar que as linhas verticais são linhas que vão direto para cima e para baixo, mas você sabia que todas as linhas verticais têm a mesma inclinação? Neste tutorial, aprenda tudo sobre linhas verticais, incluindo sua inclinação e como é a equação de uma linha vertical!

O que são linhas horizontais?

Já olhou para o horizonte quando o sol está nascendo ou se pondo? Sabe por que é chamado de horizonte? É uma linha horizontal! E, assim como o horizonte, as linhas horizontais vão direto para a esquerda e para a direita. Neste tutorial, você aprenderá tudo sobre linhas horizontais, incluindo sua inclinação e como é a equação de uma linha horizontal.

O que significa inclinação positiva?

O que significa uma inclinação positiva? Qual é a aparência do gráfico de uma inclinação positiva? Encontre as respostas para essas perguntas assistindo a este tutorial!

O que significa inclinação 0?

Uma inclinação zero é apenas a inclinação de uma linha horizontal! A coordenada y nunca muda, não importa qual seja a coordenada x! Neste tutorial, aprenda sobre o significado de inclinação zero.

O que significa declive indefinido?

Uma inclinação indefinida (ou uma inclinação infinitamente grande) é a inclinação de uma linha vertical! A coordenada x nunca muda, não importa qual seja a coordenada y! Não há corrida! Neste tutorial, aprenda sobre o significado de declive indefinido.

O que é a forma de inclinação de ponto de uma equação linear?

Quando você está aprendendo sobre equações lineares, está fadado a cair na forma de ponto-inclinação de uma linha. Esta forma é bastante útil na criação de uma equação de uma linha se você tiver a inclinação e um ponto na linha. Assista a este tutorial e aprenda sobre a forma de inclinação de ponto de uma linha!

O que é a forma de inclinação-interceptação de uma equação linear?

Quando você está aprendendo sobre equações lineares, está fadado a cair na forma de ponto-inclinação de uma linha. Esta forma é bastante útil na criação de uma equação de uma linha se você tiver a inclinação e um ponto na linha. Assista a este tutorial e aprenda sobre a forma de inclinação de ponto de uma linha!

Qual é a interceptação em Y?

Quando você tem uma equação linear, a interceptação y é o ponto onde o gráfico da linha cruza o eixo y. Neste tutorial, aprenda sobre a interceptação y. Confira!

Como você resolve um problema com palavras usando a fórmula de variação direta?

Problemas com palavras permitem que você veja a matemática em ação! Dê uma olhada neste problema de palavras envolvendo o peso de um objeto na Terra em comparação com seu peso na Lua. Veja como a fórmula para variação direta desempenha um papel importante na descoberta da solução. Então use essa fórmula para ver quanto você pesaria na Lua!

O que é a variação direta ou fórmula de proporcionalidade direta?

Já ouviu falar que duas coisas são diretamente proporcionais? Bem, um bom exemplo é a velocidade e a distância. Quanto maior sua velocidade, mais longe você irá em um determinado período de tempo. Assim, à medida que uma variável aumenta, a outra também aumenta, e essa é a ideia de proporcionalidade direta. Mas você pode expressar proporcionalidade direta usando equações, e isso é uma coisa importante a se fazer em álgebra. Veja como fazer isso no tutorial!

Como você usa a fórmula para variação direta?

Se duas coisas são diretamente proporcionais, você pode apostar que precisará usar a fórmula da variação direta para resolver! Neste tutorial, você verá como usar a fórmula para variação direta para encontrar a constante de variação e, em seguida, resolver para sua resposta.

Como você encontra as interceptações X e Y de uma linha se você tiver um gráfico?

Quando você está lidando com gráficos, geralmente é importante identificar a interceptação xe a interceptação y. Neste tutorial, você verá como encontrar a interceptação xey de uma linha. Dê uma olhada!

Como você encontra a taxa de variação entre dois pontos em um gráfico?

A taxa de variação é uma taxa que descreve como uma quantidade muda em relação a outra quantidade. Neste tutorial, pratique encontrar a taxa de alteração usando um gráfico. Confira!

Como você encontra a taxa de variação entre dois pontos em uma tabela?

A taxa de variação é uma taxa que descreve como uma quantidade muda em relação a outra quantidade. Este tutorial mostra como usar as informações fornecidas em uma tabela para encontrar a taxa de variação entre os valores da tabela. Dê uma olhada!

Como você escreve a equação de uma linha na forma de declive-interceptação se você tiver um gráfico?

Trabalhando com o gráfico de uma linha? Tentando encontrar a equação desse gráfico? Basta escolher dois pontos na linha e usá-los para encontrar a equação. Este tutorial mostra como pegar dois pontos no gráfico de uma linha e usá-los para encontrar a forma de inclinação-interceptação da linha!

Como você escreve a equação de uma linha na forma de declive-interceptação se você tiver uma tabela?

Olhando para uma tabela de valores que representa uma equação linear? Quer encontrar essa equação? Então confira este tutorial! Você verá como usar os valores de uma tabela para encontrar a forma de interceptação da inclinação da linha descrita na tabela.

Como você usa o formulário Point-Slope para escrever uma equação a partir de uma tabela?

Olhando para uma tabela de valores que representa uma equação linear? Quer encontrar essa equação? Então confira este tutorial! Você verá como usar os valores de uma tabela e a forma ponto-inclinação de uma linha para encontrar a forma inclinação-interceptação da linha descrita na tabela.

Como você encontra a inclinação de uma linha se você tiver uma linha paralela?

Olhando para um gráfico de linhas paralelas? Tem a equação de uma das linhas? Quer encontrar a inclinação da outra linha? Sem problemas! Lembre-se de que as linhas paralelas têm a mesma inclinação! Use a equação dada para encontrar a inclinação da primeira linha e, como as linhas são paralelas, essa é a inclinação da segunda linha! Para ver um exemplo, verifique este tutorial.

Como você faz um gráfico de dispersão?

Os gráficos de dispersão são uma forma muito útil de ajudá-lo a ver os dados visualmente. Neste tutorial, você verá como obter dados de uma tabela e plotá-los para criar um gráfico de dispersão. Dê uma olhada!

Como você escreve e usa uma equação de previsão?

Os gráficos de dispersão são uma ótima maneira de ver os dados visualmente. Eles também podem ajudá-lo a prever valores! Acompanhe enquanto este tutorial mostra como desenhar uma linha de ajuste em um gráfico de dispersão e encontrar a equação dessa linha para fazer uma previsão com base nos dados já fornecidos!

O que é taxa de mudança?

Tentando descrever como algo muda em relação a outra coisa? Use a taxa de mudança! Neste tutorial, aprenda sobre a taxa de mudança e veja a diferença entre as taxas de mudança positivas e negativas!


Aula 1: A Geometria das Equações Lineares

A primeira palestra começa com Gilbert Strang afirmando o problema fundamental de álgebra linear, que é resolver sistemas de equações lineares. Ele prossegue com um exemplo.

O exemplo é um sistema de duas equações em duas incógnitas:

Existem três maneiras de ver este sistema. O primeiro é olhar para uma linha de cada vez, o segundo é para olhar uma coluna de cada vez e o terceiro é usar a forma de matriz.

Se olharmos para esta equação uma linha de cada vez, teremos duas equações independentes 2x - y = 0 e -x + 2y = 3. Essas são as duas equações de linha. Se os representarmos, obteremos a imagem da linha:

A imagem da linha mostra as duas linhas se encontrando em um único ponto (x = 1, y = 2). Essa é a solução do sistema de equações. Se as linhas não se cruzassem, não haveria solução.

Agora vamos dar uma olhada nas colunas. A coluna em x é (2, -1), a coluna em y é (-1, 2) e a coluna à direita é (0, 3). Podemos escrever da seguinte forma:

Esta é uma combinação linear de colunas. O que isso nos diz é que temos que combinar a quantidade certa de vetor (2, -1) e vetor (-1, 2) para produzir o vetor (0, 3). Podemos traçar os vetores na imagem da coluna:

Se pegarmos um vetor x verde e dois vetores y azuis (em cinza), obtemos o vetor vermelho. Portanto, a solução é novamente (x = 1, y = 2).

A terceira maneira de olhar para este sistema inteiramente por meio de matrizes e usar a forma matricial das equações. A forma da matriz em geral é a seguinte: Ax = b onde A é a matriz de coeficiente, x é o vetor desconhecido e b é o vetor do lado direito.

Como resolver as equações escritas em forma de matriz será discutido nas próximas aulas. Mas posso dizer de antemão que o método é chamado de eliminação de Gauss com substituição de volta.

Para essas duas equações, sistema de duas incógnitas, a equação matricial Ax = b se parece com isto:

O próximo exemplo na aula é um sistema de três equações em três incógnitas:

Não podemos mais representá-lo em duas dimensões porque existem três incógnitas. Este será um enredo 3D. Como as equações são lineares nas incógnitas x, y, z, obteremos três planos que se cruzam em um único ponto (se houver uma solução).

Aqui está a imagem da linha de 3 equações em 3 incógnitas:

O vermelho é o plano 2x - y = 0. O verde é o plano -x + 2y - z = -1, e o azul é o plano -3y + 4z = 4.

Observe como é difícil localizar o ponto de intersecção? Quase impossível! E tudo isso para ir uma dimensão mais alto. Imagine o que acontece se formos para 4 dimensões ou superiores. (A interseção está em (x = 0, y = 0, z = 1) e eu marquei com um pequeno ponto branco.)

A imagem da coluna é quase tão difícil de entender quanto a imagem da linha. Aqui está para este sistema de 3 equações em 3 incógnitas:

A primeira coluna (2, -1, 0) é vermelha, a segunda coluna (-1, 2, -3) é verde, a quarta coluna (0, -1, 4) é azul e o resultado (0, - 1, 4) é cinza.

Novamente, é muito difícil visualizar como manipular esses vetores para produzir o vetor solução (0, -1, 4). Mas temos sorte neste exemplo particular. Observe que se não pegarmos nenhum vetor vermelho, nenhum vetor verde e nenhum vetor azul, obteremos o vetor cinza! Ou seja, nem precisávamos dos vetores vermelho e verde!

Tudo isso ainda é complicado e fica muito mais complicado se formos para mais equações com mais incógnitas. Portanto, precisamos de métodos melhores para resolver sistemas de equações do que desenhar imagens de planos ou colunas.

A palestra termina com várias perguntas:

  • Pode Ax = b ser resolvido para qualquer b?
  • Quando a combinação linear de colunas preenche todo o espaço ?,
  • Qual é o método para resolver 9 equações com 9 incógnitas?

Os exemplos que analisei aqui também são cuidadosamente explicados na palestra, fique à vontade para assisti-los:

Tópicos abordados na aula um:

  • [00:20] Informações sobre o livro didático e o site do curso.
  • [01:05] Problema fundamental de álgebra linear: resolver sistemas de equações lineares.
  • [01:15] Belo caso: n equações, n incógnitas.
  • [02:20] Resolvendo 2 equações com 2 incógnitas
  • [02:54] Matriz de coeficientes.
  • [03:35] Forma matricial das equações. Ax = b.
  • [04:20] Imagem de linha das equações - linhas.
  • [08:05] Solução (x = 1, y = 2) da imagem da linha.
  • [08:40] Imagem da coluna das equações - vetores bidimensionais.
  • [09:50] Combinação linear de colunas.
  • [12:00] Solução da imagem da coluna x = 1, y = 2.
  • [12:05] Traçando as colunas para produzir o vetor solução.
  • [15:40] Resolvendo 3 equações com 3 incógnitas
  • [16:46] Forma de matriz para esta equação 3x3.
  • [17:30] Imagem em linha - aviões.
  • [22:00] Imagem da coluna - 3 vetores dim.
  • [24:00] Solução (x = 0, y = 0, z = 1) da imagem da coluna, observando que o vetor z é igual ao vetor b.
  • [28:10] Ax = b pode ser resolvido para cada b?
  • [28:50] As combinações lineares de colunas preenchem o espaço 3d?
  • [32:30] E se houver 9 equações e 9 incógnitas?
  • [36:00] Como multiplicar uma matriz por um vetor? Dois caminhos.
  • [36:40] Ax é uma combinação linear de colunas de A.

Aqui estão minhas notas da aula um. Desculpe pela caligrafia. Parece que eu não tinha escrito muito naquela época e a caligrafia tinha ficado muito ruim. Mas fica melhor a cada nova palestra. Nas aulas 5 e 6 será o melhor que puder.

A próxima postagem será sobre uma maneira sistemática de encontrar uma solução para um sistema de equações chamado eliminação.


3.2 Equações literais

Muitas vezes temos que resolver uma equação para uma das variáveis ​​em termos da outra
variáveis. O que estamos fazendo nesses casos é essencialmente adiar a substituição de
os valores das variáveis ​​até o fim. Considere o seguinte problema, por exemplo.

Exemplo 1: Um homem quer comprar um carro novo ao preço de $ 18.000, financiando-o a 5,75%
por ano e amortizando o empréstimo em prestações mensais durante 5 anos.
Qual é o pagamento mensal?

Poderíamos ter substituído os valores na fórmula de compra a prazo

e obteve a equação

Podemos resolver esta equação da seguinte maneira:

Portanto, o pagamento mensal é de $ 345,90.

Ou podemos substituir os valores na fórmula de pagamento mensal

que é exatamente igual ao valor obtido acima.

Vamos revisar como obtivemos a fórmula de pagamento mensal da parcela
fórmula de compra.

Temos que resolver esta equação para M. Adicionando para ambos os lados da equação, obtemos

Multiplicando ambos os lados da equação por C e, em seguida, dividindo os dois lados da equação
por B, obtemos


Método 2: use a inclinação e a interceptação em y

Uma equação linear escrita na forma (y = mx + b ) é considerada em forma de declive-interceptação. Esta forma mostra a inclinação (m ) e a interceptação y (b ) do gráfico. Conhecer esses dois valores permitirá que você desenhe rapidamente o gráfico da equação linear, como você pode ver no exemplo abaixo.

Exemplo

Represente graficamente a equação linear:
(y = dfrac <2> <3> x + 4 )

Solução

Uma vez que esta equação está na forma (y = mx + b ), você sabe que:

Vejamos primeiro a interceptação y.

A interceptação y é o ponto onde o gráfico cruza o eixo y (o eixo vertical). Então, você pode traçar este ponto como:

Agora considere a inclinação. A inclinação pode ser vista como uma taxa de mudança: ela representa a mudança em (y ) sobre a mudança em (x ). Às vezes, isso é chamado de & # 8220rise over run & # 8221.

Isso pode ser traduzido para:

Portanto, para encontrar outro ponto na linha, comece com a interceptação y e vá 3 unidades para a direita e 2 unidades para cima. Faça isso de novo e você encontrará outro ponto. Na verdade, você pode continuar fazendo isso para encontrar quantos pontos achar que precisará para esboçar um bom gráfico.

Conecte os pontos e você terá o gráfico de sua função linear!

Este método para representar graficamente equações lineares pode ser aplicado mesmo quando a inclinação é negativa ou quando a inclinação não é uma fração, mesmo que não pareça assim. O próximo exemplo mostrará como isso funciona!

Exemplo

Represente graficamente a equação linear:
(y = -2x + 1 )

Solução

A interceptação y aqui é 1, então trace este ponto primeiro.

A inclinação é -2. Embora não seja uma fração, pode ser visto como um se você deixar o denominador igual a 1.

Agora, isso pode ser aplicado para encontrar pontos no gráfico.

Finalmente, conecte os pontos para esboçar o gráfico da equação linear.

DICA: Se a inclinação estiver na forma decimal, veja se você pode convertê-la em uma fração para aplicar este método. Caso contrário, o método 1 pode ser o melhor.


Resolvendo Sistemas de Equações Lineares Usando Substituição

UMA sistema de equações lineares é apenas um conjunto de duas ou mais equações lineares.

Em duas variáveis ​​(x & thinsp & thinsp e & thinsp & thinsp y), o gráfico de um sistema de duas equações é um par de retas no plano.

Existem três possibilidades:

  • As linhas se cruzam em pontos zero. (As linhas são paralelas.)
  • As linhas se cruzam em exatamente um ponto. (Na maioria dos casos.)
  • As linhas se cruzam em muitos pontos infinitos. (As duas equações representam a mesma linha.)

Como resolver um sistema usando O Método de Substituição

  • Passo 1 : Primeiro, resolva uma equação linear para y em termos de x.
  • Passo 2 : Em seguida, substitua essa expressão por y na outra equação linear. Você obterá uma equação em x.
  • Etapa 3 : Resolva isso e você terá a coordenada x da interseção.
  • Passo 4 : Em seguida, insira x em qualquer das equações para encontrar a coordenada y correspondente.

Nota 1 : Se for mais fácil, você pode começar resolvendo uma equação para x em termos de y, também & ndash mesma diferença!

Resolva a segunda equação para y.

Substitua 19 & menos 7 x por y na primeira equação e resolva por x.

3 x + 2 (19 e menos 7 x) = 16 3 x + 38 e menos 14 x = 16 e menos 11 x = & menos 22 x = 2

Substitua 2 por x em y = 19 & menos 7 x e resolva para y.

Nota 2 : Se as linhas forem paralelas, seus termos x serão cancelados na etapa 2 e você obterá uma equação impossível, algo como 0 = 3.

Nota 3 : Se as duas equações representam a mesma linha, tudo será cancelado na etapa 2 e você obterá uma equação redundante, 0 = 0.

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Formas de equações lineares

As equações lineares podem assumir várias formas, incluindo forma de declive-interceptação, forma de ponto-declive, forma padrão e muito mais.

Forma de declive-interceptação

A forma de declive-interceptação é provavelmente a forma mais comumente usada de uma equação linear. Normalmente é expresso como

onde m é a inclinação eb é a interceptação y.

A equação de uma reta pode ser escrita na forma de declive-interceptação quando a inclinação e a interceptação y da linha são conhecidas. Ou, dada uma equação na forma de inclinação-interceptação, é fácil identificar rapidamente a inclinação e a interceptação y da linha. Graphing the equation of a line is also relatively simple when given an equation in slope-intercept form.

Point-slope form

Point-slope form is similar to slope-intercept form except that it is based on some point on the line, rather than the y-intercept specifically. It is typically expressed as

where (x1, y1) represent a point on the line, and m is the slope. Like slope-intercept form, it is also useful for graphing, and has the benefit of being usable using any point on the line rather than just the y-intercept specifically, as is the case with slope-intercept form.

Standard form

The standard form for the equation of a line is typically expressed as

Where A, B, and C are integers, and A and B are not equal to 0. One of the key benefits of standard form over slope-intercept or point-slope form is that it can be used to quickly find the x-intercept. It can also be used to find the y-intercept of a line, but this is something that is also relatively easy using either of the other forms. Once the x-intercept and y-intercept are known, standard form can also be used to graph the line, though it is slightly more tedious than using either of the other two mentioned forms.

Standard form is also the form of a linear equation that is typically used when solving systems of linear equations. Using either slope-intercept or point-slope form would make solving linear equations more difficult.

Linear equations are also expressed in other forms, but the above are some of the most common.


Budgeting

A party planner has a limited budget for an upcoming event. She'll need to figure out how much it will cost her client to rent a space and pay per person for meals. If the cost of the rental space is $780 and the price per person for food is $9.75, a linear equation can be constructed to show the total cost, expressed as y, for any number of people in attendance, or x. The linear equation would be written as y = 9.75x + 780. With this equation, the party planner can substitute any number of party guests and give her client the actual cost of the event with the food and rental costs included.


Graphical representation of Linear Equation

We can put the values of ‘x’ and ‘y’ into the equation in order to graph a linear equation. We can use the “intercept” points. Few below mentioned points must be follow:

  • Put x = 0 into the equation and solve for y and plot the point (0,y) on the y-axis
  • Put y = 0 into the equation and solve for x and plot the point (x,0) on the x-axis
  • Finally, draw a straight line between the two points

Check your skills to find the solutions of these linear equations:


Assista o vídeo: SISTEMAS - CONCEITOS BÁSICOS EQUAÇÃO LINEAR (Outubro 2021).