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9: Mais Probabilidade - Matemática


objetivos de aprendizado

Neste capítulo, você aprenderá a:

  1. Encontre a probabilidade de um experimento binomial.
  2. Encontre probabilidades usando a fórmula de Bayes.
  3. Encontre o valor esperado ou recompensa em um jogo de azar.
  4. Encontre probabilidades usando diagramas de árvore.

Está faltando um fator de $ 6 $ no segundo caso, já que você pode escolher dois slots para os dois números iguais de $ binom42 $ maneiras. Então você obtém $ frac <936> <1000> $, como José escreveu. Como o livro diz $ frac <963> <1000> $, aparentemente eles também estão contando o caso de dois pares, e "mais de $ 2 $ são iguais" significa que há pelo menos um triplo. Isso adiciona outro $ frac < binom42 binom <10> 2> <10 ^ 4> = frac <27> <1000> $, então o total é $ frac <963> <1000> $.

Você pode resolvê-lo por subtração: a complementaridade do evento em seu problema consiste em ter um quarteto de números iguais ou um terceto e um número diferente.

A probabilidade de obter quatro números iguais é $ frac <10> <10000>, $ porque existem dez números disponíveis para serem todos iguais.

A probabilidade de ter um trio é $ frac <4 times10 times 9> <10000> $ porque existem quatro posições onde colocar o "único", 10 números que o trio pode assumir e nove que o único pode ter .

Somando essas duas probabilidades, você obtém $ frac <370> <10000> $ que é exatamente $ 1- frac <963> <1000>. $


Significado e definição de Probabilidade

Como afirma o dicionário Oxford, Probabilidade significa & # 8216A extensão em que algo é provável a probabilidade de algo acontecer ou ser o caso & # 8217.

Também em matemática, probabilidade indica o mesmo & # 8211 a probabilidade de ocorrência de um evento.

Exemplos de eventos podem ser:

  • Jogando uma moeda com a cabeça para cima
  • Desenhando uma caneta vermelha de um pacote de canetas de cores diferentes
  • Tirar uma carta de um baralho de 52 cartas, etc.

Um evento ocorrerá com certeza ou nem ocorrerá. Ou há possibilidades em diferentes graus de o evento ocorrer.

Um evento que ocorre com certeza é chamado de determinado evento e sua probabilidade é 1.

Um evento que não ocorre é chamado de evento impossível e sua probabilidade é 0.

Isso significa que todas as outras possibilidades de ocorrência de um evento estão entre 0 e 1.

Isso é descrito da seguinte maneira:

onde A é um evento e P (A) é a probabilidade de ocorrência do evento.

Isso também significa que um valor de probabilidade nunca pode ser negativo.

Cada evento terá um conjunto de resultados possíveis. É chamado de & # 8216espaço de amostra & # 8217.

Considere o exemplo de jogar uma moeda.

Quando uma moeda é lançada, os resultados possíveis são Cabeça e Cauda. Portanto, o espaço amostral é representado como .

Da mesma forma, quando duas moedas são lançadas, o espaço amostral é <(H, H), (H, T), (T, H), (T, T)>.

A probabilidade de cara cada vez que você joga a moeda é 1/2. E também a probabilidade de cauda.

Fórmula básica de probabilidade

Como você deve saber pela lista de fórmulas matemáticas do GMAT, a probabilidade de ocorrência de um evento A é definida como:

P (A) = (Nº de maneiras pelas quais A pode ocorrer) / (Nº total de resultados possíveis)

Outro exemplo é o lançamento de dados. Quando um único dado é lançado, o espaço da amostra é <1,2,3,4,5,6>.

Qual é a probabilidade de rolar um 5 quando um dado é lançado?

Número de maneiras pelas quais isso pode ocorrer = 1

Nº total de resultados possíveis = 6

Portanto, a probabilidade de rolar um determinado número quando um dado é lançado = 1/6.


Podemos calcular as chances de dois ou mais independente eventos por multiplicando as chances.

Exemplo: Probabilidade de 3 caras em uma fileira

Para cada lançamento de uma moeda, uma cara tem uma probabilidade de 0,5:

E então a chance de obter 3 caras em uma linha é 0.125

Portanto, cada lance de moeda tem & frac12 chance de ser cara, mas muitas cabeças em uma fileira é improvável.

Exemplo: por que é improvável obter, digamos, 7 caras consecutivas, quando cada jogar uma moeda tem & frac12 chance de ser cara?

Porque estamos fazendo duas perguntas diferentes:

Questão 1: Qual é a probabilidade de 7 caras consecutivas?

Questão 2: quando acabamos de obter 6 cabeças em uma fileira, qual é a probabilidade de que o próximo lance também é uma cabeça?

Você pode brincar com o Quincunx para ver como muitos efeitos independentes ainda podem ter um padrão.


O que é uma probabilidade teórica?

Vamos revisitar o cenário acima. Existem dez garrafas e iremos chamá-las de B1 e # 8211 B10. Teoricamente, se você selecionasse uma garrafa ao acaso, deveria obter B1 em 1 de 10 chances. No entanto, na realidade, você nunca poderá obter B1. Nesse caso, isso significaria que você selecionou algumas garrafas mais de uma vez. O que esperávamos é possivelmente diferente do que recebemos. Essa expectativa é considerada a probabilidade teórica do evento.

A probabilidade teórica é definida como o resultado esperado de um experimento.

Essa expectativa depende do que sabemos. Sabemos que existem 10 garrafas. Portanto, temos 10 resultados possíveis. Sabemos que existe um B1 no conjunto. Assim, o número de resultados favoráveis ​​ao evento de escolher B1 é 1. Isso significa que a probabilidade teórica de escolher B1 é $ frac <1> <10> $.

Essa probabilidade teórica pode ser estendida a um número maior de tentativas. Por exemplo, se você agora tem 100 tentativas, esperaríamos que em 10 dessas tentativas você obtenha B1. Isso ocorre porque esperamos 1 em cada conjunto de 10 tentativas.

Assim, de 100 testes, esperamos obter B1:

$ frac <1> <10> × 100 = 10 text $


Exercícios Diversos

Exercício 1

Uma caixa contém `100` itens, dos quais` 4` estão com defeito. Dois itens são escolhidos aleatoriamente na caixa. Qual é a probabilidade de selecionar

(a) defeituosos `2` se o primeiro item não for substituído

(b) defeituosos `2` se o primeiro item for colocado de volta antes de escolher o segundo item

(c) `1` com defeito e 1 sem defeito se o primeiro item não for substituído?

(a) No primeiro sorteio, há `4` defeituosos na caixa de um total de` 100` itens.

Se já tivermos escolhido um dos defeituosos no primeiro sorteio, então no segundo sorteio, haverá `3` defeituosos deixados de fora dos itens` 99` na caixa. A probabilidade necessária é:

`4/100 vezes 3/99 = 1/825 = 1,2121 vezes 10 ^ -3`

(b) Tanto o primeiro quanto o segundo sorteio têm a mesma probabilidade de obter um defeito, ou seja, `4` em` 100`. A probabilidade necessária é:

`4/100 vezes 4/100 = 1/625 = 0,0016`

  1. Obtenha um defeito no primeiro sorteio (chances de `4` em` 100`) e um não defeituoso no segundo (`96` não defeituoso em` 99` deixado na caixa) OU
  2. Obtenha primeiro um não defeituoso (chances de `96` em` 100`) e depois um defeituoso (`4` no` 99` restante).

que também pode ser escrito como:

`" Prob "= 4/100 vezes 96/99 vezes 2`

Observação: Provavelmente, a palavra & quotOR & quot na pergunta geralmente significa que precisamos adicionar as probabilidades.

Exercício 2

Cinco pequenos rádios são embalados em caixas lacradas individuais idênticas e não marcadas. Três caixas estão na mesa X e contêm 2 rádios feitos pela empresa A e um pela empresa B. Duas caixas estão na mesa Y e contêm um rádio feito pela empresa A e um pela empresa B. Se alguém mover uma caixa da mesa X para a mesa Y e você seleciona aleatoriamente uma caixa da tabela Y, qual é a probabilidade de você selecionar um rádio da empresa B?

P(UMAX) = probabilidade de selecionar `A` de` X`

P(BX) = probabilidade de selecionar `B` de` X`

P(BY) = probabilidade de selecionar `B` de` Y`

`P (B_Y) = P (A_X) vezes P (B_Y | A_X) +` `P (B_X) vezes P (B_Y | B_X)`

Exercício 3

Se as probabilidades independentes de que três pessoas A, B e C estarão vivas em `30` anos são` 0,4, 0,3, 0,2` respectivamente, calcule a probabilidade de que em `30` anos,

(d) pelo menos um estará vivo

(b) Usamos a notação `P (barA)` para significar & quotar a probabilidade de que UMA vai não ocorrer & quot. Então:

`= [P (A) vezes P (barB) vezes P (barC)]` `+ [P (barA) vezes P (B) vezes P (barC)]` `+ [P (barA) vezes P (barB) vezes P (C)] `


Compreendendo os padrões de loteria

De acordo com um relatório publicado no The Guardian, cerca de 10.000 pessoas jogam 1,2,3,4,5,6 todas as semanas. Se alguma vez essa combinação for sorteada na loteria, eles trarão para casa aproximadamente £ 400 cada, já que a maioria dos jackpots está em torno da marca de £ 4 milhões. Essas pessoas não virão ao banco rindo, com certeza.

Claro, existe uma maneira infalível de ganhar na loteria. Compre todas as combinações de números possíveis. Certo?

Em 2014, o matemático brasileiro Renato Gianella explicou que nem todas as combinações têm chances iguais de serem sorteadas.

Portanto, neste artigo usarei seu estudo, A geometria do acaso, para explicar lucidamente por que 1,2,3,4,5,6 nunca será sorteado em nenhuma das loterias do mundo. Eventualmente, isso também explicará por que nem todas as combinações de números têm chances iguais de serem escolhidas em um sorteio.

No estudo de Gianella & # 8217s, os números são agrupados em diferentes padrões de probabilidade ou modelo, como Gianella os chama.

Quando você extrair todos os padrões para um jogo de loteria 6/45, seremos capazes de criar 210 modelos de combinação diferentes.

Não seremos capazes de cobrir todos os padrões aqui. Felizmente, você pode ver a lista completa ao se inscrever como membro da Lottometrix. É grátis se tornar um membro.

Agora, aqui está o mais importante a lembrar: cada padrão tem uma probabilidade diferente de ser desenhado, dependendo do número de combinações possíveis.

Como no exemplo da bola de gude, quando um padrão é ultrapassado em número por outros padrões, seria difícil para aquele padrão ser escolhido em um sorteio.

Vamos pegar alguns exemplos de padrões de um jogo com formato 6/45 e mostrar suas probabilidades teóricas correspondentes e ocorrências estimadas.

Na tabela acima, teoricamente, você pode ver que os padrões 162, 203 e 205 quase nunca ocorrem em um empate.

No termo do leigo, as combinações pertencentes ao padrão 205 ocorrem apenas uma vez em cada 100.000 sorteios. Isso leva à noção de que jogar com essa combinação é uma total perda de tempo e dinheiro.

Infelizmente, muitos jogadores de loteria cegamente escolhem os números com base neste padrão. Você provavelmente é um deles.

E, na verdade, isso nunca aconteceu na história, desde o início da loteria.

Novamente, todas essas são análises teóricas. Certo?

Vejamos como nossos cálculos teóricos se saem com os sorteios reais da loteria.

Análise de probabilidade teórica versus resultados reais da loteria

Loteria australiana
De 2 de junho de 1990 a 21 de maio de 2016
2.158 empates

Padrão de Combinação Probabilidade Ocorrência Estimada Freqüência esperada em 2.158 sorteios Freqüência observada em 2.158 sorteios
Padrão 1 0.0298340344 3x em 100 sorteios 64 62
Padrão 31 0.0089502103 9x em 1000 sorteios 19 19
Padrão 48 0.0074585086 7x em 1000 sorteios 16 16
Padrão 83 0.0039778712 4x em 1000 sorteios 9 10
Padrão 162 0.0008839714 9x em 10.000 sorteios 2 2
Padrão 203 0.0000257825 2x em 100.000 sorteios 0 0
Padrão 205 0.0000103130 Uma vez em 100.000 sorteios 0 0

Conclusão da tabela:

Para perder e desperdiçar dinheiro pelo resto da vida, escolha os padrões 162, 203, 205.

O problema é que você não sabe se seus números são baseados em padrões ruins, a menos que você seja um membro da equipe da Lottometrix. Consequentemente, os padrões 203 e 205 não ocorreram uma vez em um único sorteio dos 2.158 sorteios da loteria australiana.

Os resultados são mais uma vez claros sobre o comportamento da loteria que está sendo previsto até certo ponto. Evidentemente, todos esses trabalhos de probabilidade teórica que estamos fazendo nos guiam sobre como prever a loteria matematicamente.

Devido à extensa lista de padrões, não seria sensato colocar todos eles aqui.

No entanto, a lista completa de padrões para as loterias mais populares do mundo, juntamente com sua comparação com os resultados reais da loteria, podem ser acessados ​​gratuitamente dentro da área exclusiva para membros da Lottometrix.

Old Irish Lottery
De 4 de novembro de 2006 a 2 de setembro de 2015
922 empates

Padrão de Combinação Probabilidade Ocorrência Estimada Freqüência esperada em 922 sorteios Frequência observada em 922 sorteios
Padrão 1 0.0298340343 3x em 100 sorteios 28 34
Padrão 31 0.0089502103 9x em 1000 sorteios 8 9
Padrão 48 0.0074585086 7x em 1000 sorteios 7 7
Padrão 83 0.0039778712 4x em 1000 sorteios 4 3
Padrão 162 0.0008839714 9x em 10.000 sorteios 1 1
Padrão 203 0.0000257825 2x em 100.000 sorteios 0 0
Padrão 205 0.0000103130 Uma vez em 100.000 sorteios 0 0

Conclusão da tabela:

Na tabela acima, os resultados e sorteios usados ​​foram retirados de 922 sorteios anteriores da loteria irlandesa antes de alterar sua matriz para 6/47. Isso é para que possamos ser consistentes com nossa análise, já que derivamos nossos padrões do antigo formato da loteria irlandesa 6/45.

Novamente, a probabilidade coincide com a realidade, pois as frequências esperadas se aproximam das frequências observadas.

Se você quiser ganhar, jogue o padrão 1.

Caso contrário, jogue os padrões 162, 203 ou 205 e desperdice dinheiro para sempre.

Powerball 5/59 antigo
De 7 de janeiro de 2009 a 3 de outubro de 2015
704 empates

Padrão de Combinação Probabilidade Ocorrência Estimada Freqüência esperada em 704 sorteios Frequência observada em 704 sorteios
Padrão 1 0.0199744886 2x em 100 sorteios 14 15
Padrão 12 0.0089885199 9x em 1000 sorteios 6 6
Padrão 63 0.0071908159 7x em 1000 sorteios 5 5
Padrão 92 0.0040448339 4x em 1000 sorteios 3 4
Padrão 126 0.0032358672 3x em 1000 sorteios 2 1
Padrão 181 0.0016778570 2x em 1000 sorteios 1 1
Padrão 247 0.0000503357 5x em 10.000 sorteios 0 0
Padrão 252 0.0000251679 2x em 10.000 sorteios 0 0

Conclusão da tabela:

Os padrões 247 e 252 provaram sua inadequação para ajudá-lo a vencer. Nenhum resultado nas colunas Freqüência Esperada e Freqüência Observada, tiradas de 704 sorteios da antiga Powerball 5/59 dos EUA.

Na nova Powerball dos EUA, apenas 6 padrões são os melhores. E existem 456 padrões a serem evitados.

A questão é como você sabe que seus números se baseiam nos melhores padrões. Felizmente, muitas pessoas caem nos padrões ruins quando escolhem seus números.

Se você é um membro da Lottometrix, você pode ver esses padrões ao fazer login na área de membros.

Felizmente, é grátis se tornar membro da Lottometrix.

Euro Milhões
De 16 de abril de 2004 a 27 de maio de 2016
893 empates

Padrão de Combinação Probabilidade Ocorrência Estimada Freqüência esperada em 893 sorteios Frequência observada em 893 sorteios
Padrão 1 0.0424776756 4x em 100 sorteios 37 37
Padrão 43 0.0076459816 8x em 1000 sorteios 7 5
Padrão 61 0.0056636901 5x em 1000 sorteios 5 5
Padrão 109 0.0021238838 2x em 1000 sorteios 2 2
Padrão 189 0.0001189375 1x em 10.000 sorteios 0 0
Padrão 196 0.0000594687 5x em 100.000 sorteios 0 0

Conclusão da tabela:

Agora deve estar claro para você que na loteria, o padrão é rei.

Se você quiser ganhar o Euro Millions, deve escolher o padrão 1.

Mas se você quer perder e desperdiçar seu dinheiro pelo resto da vida, vá em frente e escolha os padrões 189 ou 196.

Euro Jackpot
De 23 de março de 2012 a 27 de maio de 2016
217 empates

Padrão de Combinação Probabilidade Ocorrência Estimada Freqüência esperada em 217 sorteios Frequência observada em 217 sorteios
Padrão 1 0.0424776756 4x em 100 sorteios 9 10
Padrão 43 0.0086017293 9x em 1000 sorteios 2 3
Padrão 61 0.0042477676 4x em 1000 sorteios 1 1
Padrão 109 0.0039645831 4x em 1000 sorteios 1 1
Padrão 189 0.0001189375 1x em 10.000 sorteios 0 0
Padrão 196 0.0000594687 5x em 100.000 sorteios 0 0

Conclusão da tabela:

Para desperdiçar dinheiro: Escolha o resto dos padrões.


Matemática do jogo

Os processos técnicos de um jogo significam experimentos que geram eventos aleatórios. Aqui estão alguns exemplos:

  • O lançamento de dados no craps é um experimento que gera eventos como ocorrências de certos números nos dados, obtendo uma certa soma dos números mostrados e obtendo números com certas propriedades (menor que um número específico, maior que um número específico, até , desigual e assim por diante). O espaço amostral de tal experimento é <1, 2, 3, 4, 5, 6> para lançar um dado ou <(1, 1), (1, 2),. (1, 6), (2, 1), (2, 2),. (2, 6),. (6, 1), (6, 2),. (6, 6)> para lançar dois dados. O último é um conjunto de pares ordenados e conta 6 x 6 = 36 elementos. Os eventos podem ser identificados com conjuntos, nomeadamente partes do espaço amostral. Por exemplo, o evento ocorrência de um número par é representado pelo seguinte conjunto na experiência de lançar um dado: <2, 4, 6>.
  • Girar a roleta é um experimento cujos eventos gerados podem ser a ocorrência de um certo número, de uma certa cor ou de uma certa propriedade dos números (baixo, alto, par, ímpar, de uma certa linha ou coluna, e assim por diante) . O espaço amostral do experimento envolvendo girar a roda da roleta é o conjunto de números que a roleta possui: <1, 2, 3,. 36, 0, 00> para a roleta americana ou <1, 2, 3,. 36, 0> para o europeu. O evento ocorrência de um número vermelho é representado pelo conjunto <1, 3, 5, 7, 9, 12, 14, 16, 18, 19, 21, 23, 25, 27, 30, 32, 34, 36>. Estes são os números inscritos em vermelho na roda e na mesa da roleta.
  • Distribuir cartas no blackjack é um experimento que gera eventos como a ocorrência de uma determinada carta ou valor como a primeira carta distribuída, obtendo um certo total de pontos nas duas primeiras cartas distribuídas, ultrapassando 21 pontos nas três primeiras cartas distribuídas, e em breve. Nos jogos de cartas, encontramos muitos tipos de experimentos e categorias de eventos. Cada tipo de experimento possui seu próprio espaço amostral. Por exemplo, a experiência de distribuir a primeira carta ao primeiro jogador tem como espaço de amostra o conjunto de todas as 52 cartas (ou 104, se jogadas com dois baralhos). A experiência de distribuir a segunda carta ao primeiro jogador tem como espaço de amostra o conjunto de todas as 52 cartas (ou 104), menos a primeira carta distribuída. A experiência de distribuir as duas primeiras cartas para o primeiro jogador tem como seu espaço de amostra um conjunto de pares ordenados, ou seja, todos os arranjos de 2 tamanhos de cartas de 52 (ou 104). Em um jogo com um jogador, o evento o jogador recebe uma carta de 10 pontos como a primeira carta distribuída é representado pelo conjunto de cartas <10 ♠, 10 ♣, 10 ♥, 10 ♦, J ♠, J ♣, J ♥, J ♦, Q ♠, Q ♣, Q ♥, Q ♦, K ♠, K ♣, K ♥, K ♦>. O evento o jogador recebe um total de cinco pontos das duas primeiras cartas distribuídas é representado pelo conjunto de combinações de 2 tamanhos de valores de cartas <(A, 4), (2, 3)>, que na verdade conta 4 x 4 + 4 x 4 = 32 combinações de cartas (como valor e símbolo).
  • Na loteria 6/49, o experimento de tirar seis números dos 49 gera eventos como o sorteio de seis números específicos, o sorteio de cinco números de seis números específicos, o sorteio de quatro números de seis números específicos, o sorteio de pelo menos um número de um determinado grupo de números, etc. O espaço de amostra aqui é o conjunto de todas as combinações de 6 tamanhos de números dos 49.
  • No pôquer empatado, a experiência de distribuir as mãos iniciais de cinco cartas gera eventos como distribuir pelo menos uma certa carta para um jogador específico, distribuir um par para pelo menos dois jogadores, distribuir quatro símbolos idênticos para pelo menos um jogador, e assim por diante . O espaço de amostra, neste caso, é o conjunto de todas as combinações de 5 cartas de 52 (ou o baralho usado).
  • Distribuir duas cartas para um jogador que descartou duas cartas é outro experimento cujo espaço de amostra é agora o conjunto de todas as combinações de 2 cartas das 52, menos as cartas vistas pelo observador que resolve o problema de probabilidade. Por exemplo, se você está em jogo na situação acima e quer descobrir algumas probabilidades em relação à sua mão, o espaço de amostra que você deve considerar é o conjunto de todas as combinações de 2 cartas de 52, menos as três cartas que você tem e menos as duas cartas que você descartou. Este espaço de amostra conta as combinações de 2 tamanhos de 47.

Um modelo de probabilidade começa a partir de um experimento e de uma estrutura matemática associada a esse experimento, ou seja, o espaço (campo) de eventos. O evento é a principal unidade sobre a qual a teoria da probabilidade da unidade trabalha. No jogo, existem muitas categorias de eventos, todos os quais podem ser predefinidos textualmente. Nos exemplos anteriores de experimentos de jogos de azar, vimos alguns dos eventos gerados pelos experimentos. Eles são uma parte minúscula de todos os eventos possíveis, que na verdade são o conjunto de todas as partes do espaço amostral.

Para um jogo específico, os vários tipos de eventos podem ser:

  • Eventos relacionados ao seu próprio jogo ou ao jogo do oponente
  • Eventos relacionados com o jogo de uma pessoa ou com o jogo de várias pessoas
  • Eventos imediatos ou eventos improváveis.

Cada categoria pode ser dividida em várias outras subcategorias, dependendo do jogo em questão. Esses eventos podem ser definidos literalmente, mas isso deve ser feito com muito cuidado ao definir um problema de probabilidade. Do ponto de vista matemático, os eventos nada mais são do que subconjuntos e o espaço de eventos é uma álgebra booleana. Entre esses eventos, encontramos eventos elementares e compostos, eventos exclusivos e não exclusivos e eventos independentes e não independentes.

No experimento de rolar um dado:

  • Evento <3, 5> (cuja definição literal é ocorrência de 3 ou 5) é composto porque <3, 5> = <3> U <5>
  • Eventos <1>, <2>, <3>, <4>, <5>, <6> são elementares
  • Os eventos <3, 5> e <4> são incompatíveis ou exclusivos porque sua interseção está vazia, ou seja, não podem ocorrer simultaneamente
  • Eventos <1, 2, 5> e <2, 5> são não exclusivos, porque sua interseção não está vazia
  • Na experiência de lançar dois dados um após o outro, os eventos obtendo 3 no primeiro dado e obtendo 5 no segundo dado são independentes porque a ocorrência do segundo evento não é influenciada pela ocorrência do primeiro e vice-versa.

Na experiência de distribuir as cartas pocket no Texas Hold’em Poker:

  • O evento de distribuição (3 ♣, 3 ♦) para um jogador é um evento elementar
  • O evento de distribuir dois 3's para um jogador é composto porque é a união dos eventos (3 ♣, 3 ♠), (3 ♣, 3 ♥), (3 ♣, 3 ♦), (3 ♠, 3 ♥), ( 3 ♠, 3 ♦) e (3 ♥, 3 ♦)
  • Os eventos o jogador 1 recebe um par de reis e o jogador 2 recebe um par de reis não são exclusivos (ambos podem ocorrer)
  • Os eventos o jogador 1 recebe dois conectores de copas maiores que J e o jogador 2 recebe dois conectores de copas maiores que J são exclusivos (apenas um pode ocorrer)
  • Os eventos o jogador 1 recebe (7, K) e o jogador 2 recebe (4, Q) são não independentes (a ocorrência do segundo depende da ocorrência do primeiro, enquanto o mesmo deck está em uso).

Estes são alguns exemplos de eventos de jogo, cujas propriedades de composição, exclusividade e independência são facilmente observáveis. Essas propriedades são muito importantes no cálculo prático de probabilidade.

O modelo matemático completo é dado pelo campo de probabilidade anexado ao experimento, que é o triplo espaço amostral - campo de eventos - função de probabilidade. Para qualquer jogo de azar, o modelo de probabilidade é do tipo mais simples - o espaço amostral é finito, o espaço de eventos é o conjunto de partes do espaço amostral, implicitamente finito, também, e a função de probabilidade é dada pela definição de probabilidade em um espaço finito de eventos:

Os jogos de azar também são bons exemplos de combinações, permutações e arranjos, que são encontrados em cada etapa: combinações de cartas na mão de um jogador, na mesa ou esperadas em qualquer jogo de cartas combinações de números ao lançar vários dados uma vez que combinações de números em combinações de símbolos de loteria e bingo em permutações de slots e arranjos em uma corrida a ser apostada e semelhantes. O cálculo combinatório é uma parte importante das aplicações de probabilidade de jogo. Em jogos de azar, a maior parte do cálculo de probabilidade de jogo em que usamos a definição clássica de probabilidade reverte para contar combinações. Os eventos de jogo podem ser identificados com conjuntos, que geralmente são conjuntos de combinações. Assim, podemos identificar um evento com uma combinação.

Por exemplo, em um jogo de pôquer de cinco empates, o evento pelo menos um jogador tem uma formação four of a kind pode ser identificado com o conjunto de todas as combinações do tipo (xxxxy), onde x e y são valores distintos de cartas. Este conjunto tem 13C (4,4) (52-4) = 624 combinações. As combinações possíveis são (3 ♠ 3 ♣ 3 ♥ 3 ♦ J ♣) ou (7 ♠ 7 ♣ 7 ♥ 7 ♦ 2 ♣). Eles podem ser identificados com eventos elementares em que consiste o evento a ser medido.

Os jogos de azar não são meramente aplicações puras de cálculo de probabilidade e as situações de jogo não são apenas eventos isolados cuja probabilidade numérica está bem estabelecida por métodos matemáticos; são também jogos cujo progresso é influenciado pela ação humana. No jogo, o elemento humano tem um caráter marcante. O jogador não está apenas interessado na probabilidade matemática dos vários eventos do jogo, mas ele ou ela tem expectativas dos jogos enquanto existe uma interação importante. Para obter resultados favoráveis ​​dessa interação, os jogadores levam em consideração todas as informações possíveis, incluindo estatísticas, para construir estratégias de jogo. O sistema de apostas mais antigo e comum é o martingale, ou dobrar, sistema em apostas de dinheiro igual, em que as apostas são dobradas progressivamente após cada derrota até que ocorra uma vitória. Este sistema provavelmente remonta à invenção da roda da roleta. Dois outros sistemas bem conhecidos, também baseados em apostas de dinheiro igual, são o sistema d'Alembert (baseado em teoremas do matemático francês Jean Le Rond d'Alembert), em que o jogador aumenta suas apostas em uma unidade após cada derrota mas diminui em uma unidade após cada vitória, e o sistema Labouchere (idealizado pelo político britânico Henry Du Pré Labouchere, embora a base para isso tenha sido inventado pelo filósofo francês do século 18 Marie-Jean-Antoine-Nicolas de Caritat, marquês de Condorcet), em que o jogador aumenta ou diminui suas apostas de acordo com uma certa combinação de números escolhidos previamente. [1] [2] O ganho ou perda médio previsto é denominado expectativa ou valor esperado e é a soma da probabilidade de cada resultado possível do experimento multiplicado por seu retorno (valor). Assim, representa o valor médio que se espera ganhar por aposta se as apostas com probabilidades idênticas forem repetidas muitas vezes. Um jogo ou situação em que o valor esperado para o jogador é zero (sem ganho ou perda líquida) é chamado de jogo Justo. O atributo feira refere-se não ao processo técnico do jogo, mas à casa de equilíbrio de chance (banco) - jogador.

Mesmo que a aleatoriedade inerente aos jogos de azar pareça garantir sua justiça (pelo menos no que diz respeito aos jogadores em torno de uma mesa - embaralhar um baralho ou girar a roda não favorece nenhum jogador, exceto se eles forem fraudulentos), os jogadores sempre procuram e espere por irregularidades nessa aleatoriedade que lhes permitirá vencer. Está matematicamente provado que, em condições ideais de aleatoriedade, e com expectativa negativa, nenhuma vitória regular de longo prazo é possível para jogadores de jogos de azar. A maioria dos jogadores aceita essa premissa, mas ainda trabalha em estratégias para fazê-los ganhar a curto ou longo prazo.

Os jogos de cassino fornecem uma vantagem previsível de longo prazo para o cassino, ou "casa", ao mesmo tempo que oferecem ao jogador a possibilidade de um grande pagamento de curto prazo. Alguns jogos de cassino têm um elemento de habilidade, em que o jogador toma decisões, tais jogos são chamados de "aleatórios com um elemento tático". Embora seja possível, por meio de um jogo habilidoso, minimizar a vantagem da casa, é extremamente raro que um jogador tenha habilidade suficiente para eliminar completamente sua desvantagem de longo prazo inerente (o borda da casa ou casa vigorosa) em um jogo de cassino. A crença comum é que tal conjunto de habilidades envolveria anos de treinamento, memória extraordinária e numeramento, e / ou observação visual aguda ou mesmo auditiva, como no caso do relógio da roda na Roleta. Para mais exemplos, veja o jogo Advantage.

A desvantagem do jogador é o resultado de o casino não pagar as apostas vencedoras de acordo com as "probabilidades reais" do jogo, que são os pagamentos que seriam esperados considerando as probabilidades de uma aposta ganhar ou perder. Por exemplo, se um jogo é jogado apostando no número que resultaria do lançamento de um dado, a probabilidade real seria 5 vezes a quantia apostada, pois há uma probabilidade de 1/6 de qualquer número aparecer. No entanto, o casino pode pagar apenas 4 vezes o valor apostado para uma aposta vencedora.

A vantagem da casa (HE) ou vigor é definida como o lucro do cassino expresso como uma porcentagem da aposta original do jogador. Em jogos como Blackjack ou Spanish 21, a aposta final pode ser várias vezes a aposta original, se o jogador dobrar ou dividir.

Exemplo: Na Roleta Americana, existem dois zeros e 36 números diferentes de zero (18 vermelhos e 18 pretos). Se um jogador aposta $ 1 no vermelho, sua chance de ganhar $ 1 é 18/38 e sua chance de perder $ 1 (ou ganhar - $ 1) é de 20/38.

O valor esperado do jogador, EV = (18/38 x 1) + (20/38 x -1) = 18/38 - 20/38 = -2/38 = -5,26%. Portanto, a vantagem da casa é de 5,26%. Após 10 rodadas, jogue $ 1 por rodada, o lucro médio da casa será de 10 x $ 1 x 5,26% = 0,53. Obviamente, não é possível para o cassino ganhar exatamente 53 centavos, este valor é o lucro médio do cassino de cada jogador se ele tivesse milhões de jogadores cada apostando 10 rodadas a $ 1 por rodada.

A vantagem da casa dos jogos de casino varia muito com o jogo. O Keno pode ter bordas da casa de até 25% e as máquinas caça-níqueis podem ter até 15%, enquanto a maioria dos jogos Pontoon australianos têm bordas da casa entre 0,3% e 0,4%.

O cálculo da margem da casa da Roleta foi um exercício trivial para outros jogos, este não é normalmente o caso. A análise combinatória e / ou simulação em computador é necessária para completar a tarefa.

Em jogos que possuem um elemento de habilidade, como Blackjack ou Espanhol 21, a vantagem da casa é definida como a vantagem da casa no jogo ideal (sem o uso de técnicas avançadas como contagem de cartas ou rastreamento de embaralhamento), na primeira mão do sapato (o recipiente que contém os cartões). O conjunto de jogadas ótimas para todas as mãos possíveis é conhecido como "estratégia básica" e é altamente dependente das regras específicas e até mesmo do número de baralhos usados. Bons jogos de Blackjack e Espanhol 21 têm que abrigar margens abaixo de 0,5%.

Os jogos de caça-níqueis online geralmente têm uma porcentagem publicada de Retorno ao Jogador (RTP) que determina a margem teórica da casa. Alguns desenvolvedores de software optam por publicar o RTP de seus jogos de caça-níqueis, enquanto outros não. [3] Apesar do RTP teórico definido, quase qualquer resultado é possível a curto prazo. [4]

Depois de um número suficientemente grande de rodadas, a distribuição teórica da vitória total converge para a distribuição normal, dando uma boa possibilidade de prever a possível vitória ou derrota. Por exemplo, após 100 rodadas a $ 1 por rodada, o desvio padrão da vitória (igualmente da perda) será 2 ⋅ $ 1 ⋅ 100 ⋅ 18/38 ⋅ 20/38 ≈ $ 9,99 < displaystyle 2 cdot $ 1 cdot < sqrt <100 cdot 18/38 cdot 20/38 >> approx $ 9,99>. Após 100 rodadas, a perda esperada será de 100 ⋅ $ 1 ⋅ 2/38 ≈ $ 5,26 < displaystyle 100 cdot $ 1 cdot 2/38 approx $ 5,26>.

O desvio padrão para a aposta de dinheiro uniforme na Roleta é um dos mais baixos de todos os jogos de cassino. A maioria dos jogos, especialmente slots, tem desvios-padrão extremamente altos. À medida que o tamanho dos pagamentos potenciais aumenta, também aumenta o desvio padrão.

Infelizmente, as considerações acima para um pequeno número de rodadas estão incorretas, porque a distribuição está longe do normal. Além disso, os resultados de jogos mais voláteis geralmente convergem para a distribuição normal muito mais lentamente, portanto, um número muito maior de rodadas é necessário para isso.

Conforme o número de rodadas aumenta, eventualmente, a perda esperada excederá o desvio padrão, muitas vezes. A partir da fórmula, podemos ver que o desvio padrão é proporcional à raiz quadrada do número de rodadas jogadas, enquanto a perda esperada é proporcional ao número de rodadas jogadas. Conforme o número de rodadas aumenta, a perda esperada aumenta em uma taxa muito mais rápida. É por isso que é praticamente impossível para um jogador ganhar a longo prazo (se ele não tiver uma vantagem). É a alta proporção entre o desvio padrão de curto prazo e a perda esperada que leva os jogadores a pensar que podem ganhar.

O índice de volatilidade (VI) é definido como o desvio padrão para uma rodada, apostando uma unidade. Portanto, o VI para a aposta de mesmo dinheiro na American Roulette é 18/38 ⋅ 20/38 ≈ 0,499 < displaystyle < sqrt <18/38 cdot 20/38 >> approx 0.499>.

Além disso, são usados ​​os termos do índice de volatilidade com base em alguns intervalos de confiança. Normalmente, é baseado no intervalo de confiança de 90%. O índice de volatilidade para o intervalo de confiança de 90% é ca. 1,645 vezes como o índice de volatilidade "usual" que se relaciona com ca. Intervalo de confiança de 68,27%.

It is important for a casino to know both the house edge and volatility index for all of their games. The house edge tells them what kind of profit they will make as percentage of turnover, and the volatility index tells them how much they need in the way of cash reserves. The mathematicians and computer programmers that do this kind of work are called gaming mathematicians and gaming analysts. Casinos do not have in-house expertise in this field, so they outsource their requirements to experts in the gaming analysis field.

The probability of winning a game of Bingo (ignoring simultaneous winners, making wins mutually exclusive) may be calculated as:

For the case where more than one card is bought, each card can be seen as being equivalent to the above players, having an equal chance of winning. P ( C 1 ) = 1 / n C )=1/n_> where n C > is the number of cards in the game and C 1 > is the card we are interested in.

A simple way for a player to increase his odds of winning is therefore to buy more cards in a game (increase m ).

Simultaneous wins may occur in certain game types (such as online bingo, where the winner is determined automatically, rather than by shouting "Bingo" for example), with the winnings being split between all simultaneous winners. The probability of our card, C 1 > , winning when there is either one or more simultaneous winners is expressed by:

Since, for a normal bingo game, which is played until there is a winner, the probability of there being a winning card, either P ( 1 ) or P ( 2 ) or . or P ( n C ) )> , and these being mutually exclusive, it can be stated that

The expected outcome of the game is therefor not changed by simultaneous winners, as long as the pot is split evenly between all simultaneous winners. This has been confirmed numerically. [5]

To investigate whether it is better to play multiple cards in a single game or to play multiple games, the probability of winning is calculated for each scenario, where m cards are bought.

P ( w i n ) m u l t i p l e c a r d s = m m + n − 1 =>>

where n is the number of players (assuming each opposing player only plays one card). The probability of losing any single game, where only a single card is played, is expressed as:

P ( l o s s ) m u l t i p l e g a m e s = ( 1 − 1 n ) m =(1->)^>

P ( w i n ) m u l t i p l e g a m e s = 1 − ( 1 − 1 n ) m =1-(1->)^>

P ( w i n ) m u l t i p l e c a r d s = P ( w i n ) m u l t i p l e g a m e s =P(win)_>


Uncertainty refers to imperfect or incomplete information.

Much of mathematics is focused on certainty and logic.

Much of programming is this way too, where we develop software with the assumption that it will execute deterministically. Yet, under the covers, the computer hardware is subject to noise and errors that are being checked and corrected all of the time.

Certainty with perfect and complete information is unusual. It is the place of games and contrived examples.

Almost everything we do or are interested involves information on a continuum between uncertainty or wrongness. The world is messy and imperfect and we must make decisions and operate in the face of this uncertainty.

For example, we often talk about luck, chance, odds, likelihood, and risk. These are words that we use to interpret and negotiate uncertainty in the world.

When making inferences and reasoning in an uncertain world, we need principled, formal methods to express and solve problems.

Probability provides the language and tools to handle uncertainty.

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9: More Probability - Mathematics

Let us denote by R the set of all roulette numbers. Any placement for a bet is then a subset of R, or an element of P (R) Denote by A the set of the groups of numbers from R allowed for a bet made through a unique placement. A has 154 elements.

For example, A (straight-up bet), A (split bet), A (corner bet), A (odd bet), A (the numbers 0 and 19 cannot be covered by an allowed unique placement).

We can define a simple bet as being a pair (UMA, S), where A and S is a real number.

UMA is the placement (the set of numbers covered by the bet) and S is the basic stake (the money amount in chi ps). Because each simple bet has a payout defined by the rules of roulette, we can also look at a simple bet as at a triple , where is a natural number (the coefficient of multiplication of the stake in case of winning), which is determined solely by UMA. We have that , according to the rules of roulette.

The probability of winning a simple bet becomes , where means the cardinality of the set UMA. Of course, could be 38 or 37, depending on the roulette type (American or European, respectively).

For a given simple bet B, we can define the following function:

R, , where R is the set of real numbers and is the characteristic function of a set:

Function is called the profit of bet B, applying the convention that profit can also be negative (a loss).

The variable e is the outcome of the spin. If (the player wins bet B), then the player makes the positive profit , and if (the player loses the bet B), then the player makes a negative profit of S (losing an amount equal to S as result of that bet).

Definition: We call a complex bet any finite family of pairs with A and real numbers, for every (eu is a finite set of consecutive indexes starting from 1). Denote by B the set of all complex bets.

Definition: The complex bet B is said to be disjointed if the sets are mutually exclusive.

Definition: Let be a complex bet. A função R, is called the profit of bet B.

Definition: A complex bet B is said to be contradictory if for every . This means such a bet will result in a loss, no matter the outcome of the spin.

Definition: The bets B e B' are said to be equivalent if functions and , as stair functions, take the same values respectively on sets of equal length. We write B

B'. This definition also applies to simple bets.

These are the basic definitions that stand for the base of the mathematical model of roulette betting. All about the complex bets, the profit function, the equivalence between bets and all their properties can be found in the book titled "ROULETTE ODDS AND PROFITS: The Mathematics of Complex Bets".

Here are a few of the properties of the equivalence between complex bets:

Statement 4: Two disjointed complex bets and for which for every are equivalent.

Statement 5: Let be a simple bet and let A such that they form a partition of ( and ). Then:

if and only if S = T + R and ( is the payout of ).

Statement 6: Let be a complex bet. If is a partition of with A and if

Statement 8: If bets and are equivalent, then .

Statement 10: The profits of two equivalent bets have the same mathematical expectation.

The proofs of these statements and other important results with direct application in the creation and management of the roulette betting systems are to be found in the book, along with examples and applications. This partition into equivalence classes of the set B of complex bets and the whole mathematical theory lead to the improved bets. A more precise definition for an improved bet is a bet obtained through a transformation upon an initial bet related to its stakes and/or placements, according to personal objective and/or subjective strategic criteria. A transformation is an act of choice over the equivalence classes of B or within a certain equivalence class. The mathematical theory of complex bets helps to restrain the area of choice and select the improved bets that fit a certain personal strategy.

Categories of improved bets:

Betting on a colour and on numbers of the opposite colour

This complex bet consists of a colour bet (payout 1 to 1) and several straight-up bets (payout 35 to 1) on numbers of the opposite colour. Let us denote by S the amount bet on each number, by cS the amount bet on the colour and by n the number of bets placed on single numbers (the number of straight-up bets). S is a positive real number (measurable in any currency), the coefficient c is also a positive real number and n is a non-negative natural number (between 1 and 18 because there are 18 numbers of one colour). The possible events after the spin are: UMA winning the bet on colour, B winning a bet on a number and C not winning any bet. These events are mutually exclusive and exhaustive, so:

Now let us find the probability of each event and the profit or loss in each case:

UMA. The probability of a number of a certain colour winning is P(UMA) = 18/38 = 9/19 = 47.368%. In the case of winning the colour bet, the player wins cS nS = (c n)S, using the convention that if this amount is negative, that will be called a loss.

B. The probability of one of n specific numbers winning is P(B) = n/38. In the case of winning a straight-up bet, the player wins 35S (n 1)S cS = (36 n c)S, using the same convention from event UMA.

C. The probability of not winning any bet is . In the case of not winning any bet, the player loses cS + nS = (c + n)S.

The overall winning probability is .

With this formula, increasing the probability of winning would be done by increasing n. But this increase should be done under the constraint of the bet being non-contradictory. Of course, this reverts to a constraint on the coefficients c. It is natural to put the condition of a positive profit in both cases UMA e B, which results in: n < c < 36 n. This condition gives a relation between parameters n e c and restrains the number of subcases to be studied.

These formulas return the next tables of values, in which n increases from 1 to 17 and c increases by increments of 0.5. S is left as a variable for players to replace with any basic stake according to their own betting behaviors and strategies.


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