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2: Valor local


Imagem em miniatura - Os números binários, usando apenas 0 e 1, são a linguagem dos computadores.[1]

A abordagem “Pontos e Caixas” para colocar o valor usada nesta parte (e em todo este livro) vem de James Tanton e é usada com sua permissão. Veja o desenvolvimento dessas e de outras idéias em http://gdaymath.com/.


  1. Imagens e vídeos no Pixabay são liberados sob Creative Commons CC0.

  • Identificando dezenas e unidades a partir de números de 2 dígitos
  • Combinando dezenas e unidades em números de 2 dígitos
  • Identificar o valor posicional de um dígito (dezenas, unidades)
  • Construindo um número de 2 dígitos com adendos ausentes
  • Escreva números de 2 dígitos em forma expandida
  • Escreva números de 2 dígitos na forma normal
  • Construindo um número de 3 dígitos a partir das peças
  • Valores de lugares ausentes em números de 3 dígitos
  • Escreva números de 3 dígitos em forma expandida
  • Escreva números de 3 dígitos na forma normal
  • Centenas, dezenas e unidades - identifique o dígito sublinhado
  • Comparar e pedir números de até 100 e 1.000

Conteúdo

Hoje, o sistema de base 10 (decimal), que é presumivelmente motivado pela contagem com os dez dedos, é onipresente. Outras bases foram usadas no passado e algumas continuam a ser usadas hoje. Por exemplo, o sistema numérico babilônico, creditado como o primeiro sistema numeral posicional, era de base 60. No entanto, faltava um 0 real. Inicialmente inferido apenas do contexto, mais tarde, por volta de 700 aC, o zero passou a ser indicado por um "espaço" ou um "símbolo de pontuação" (como duas cunhas inclinadas) entre os numerais. [1] Era um marcador em vez de um zero verdadeiro porque não foi usado sozinho. Nem foi usado no final de um número. Números como 2 e 120 (2 × 60) pareciam iguais porque o número maior não tinha um espaço reservado final. Apenas o contexto poderia diferenciá-los.

O polímata Arquimedes (ca. 287-212 aC) inventou um sistema posicional decimal em seu Sand Reckoner que se baseava em 10 8 [2] e mais tarde levou o matemático alemão Carl Friedrich Gauss a lamentar as alturas que a ciência já teria alcançado em seus dias se Arquimedes tivesse percebido totalmente o potencial de sua descoberta engenhosa. [3]

Antes que a notação posicional se tornasse padrão, sistemas aditivos simples (notação de valor de sinal), como os algarismos romanos, eram usados, e os contadores na Roma antiga e durante a Idade Média usavam o ábaco ou contadores de pedra para fazer aritmética. [4]

Varetas de contagem e a maioria dos ábacos têm sido usados ​​para representar números em um sistema numeral posicional. Com hastes de contagem ou ábaco para realizar operações aritméticas, a gravação dos valores inicial, intermediário e final de um cálculo poderia ser feita facilmente com um sistema aditivo simples em cada posição ou coluna. Essa abordagem não exigia memorização de tabelas (assim como a notação posicional) e poderia produzir resultados práticos rapidamente. Por quatro séculos (de 13 a 16) houve forte desacordo entre aqueles que acreditavam na adoção do sistema posicional na escrita de números e aqueles que queriam ficar com o sistema aditivo mais o ábaco. Embora as calculadoras eletrônicas tenham substituído em grande parte o ábaco, o último continua a ser usado no Japão e em outros países asiáticos. [ citação necessária ]

Após a Revolução Francesa (1789-1799), o novo governo francês promoveu a extensão do sistema decimal. [5] Alguns desses esforços pró-decimais - como a hora decimal e o calendário decimal - não tiveram sucesso. Outros esforços pró-decimais franceses - a decimalização da moeda e a metricação de pesos e medidas - espalharam-se amplamente da França para quase todo o mundo.

História das frações posicionais Editar

J. Lennart Berggren observa que as frações decimais posicionais foram usadas pela primeira vez pelo matemático árabe Abu'l-Hasan al-Uqlidisi já no século X. [6] O matemático judeu Immanuel Bonfils usou frações decimais por volta de 1350, mas não desenvolveu nenhuma notação para representá-las. [7] O matemático persa Jamshīd al-Kāshī fez a mesma descoberta de frações decimais no século 15. [6] Al Khwarizmi introduziu frações nos países islâmicos no início do século IX, sua apresentação de frações era semelhante às frações matemáticas chinesas tradicionais de Sunzi Suanjing. [8] Esta forma de fração com numerador na parte superior e denominador na parte inferior sem uma barra horizontal também foi usada por Abu'l-Hasan al-Uqlidisi do século 10 e pelo trabalho "Chave Aritmética" de Jamshīd al-Kāshī do século 15. [8] [9]

A adoção da representação decimal de números menores que um, uma fração, é frequentemente creditada a Simon Stevin por meio de seu livro De Thiende [10], mas tanto Stevin quanto E. J. Dijksterhuis indicam que Regiomontanus contribuiu para a adoção europeia de decimais gerais: [11]

Matemáticos europeus, ao assumir o lugar dos hindus, através da os árabes, a ideia de valor posicional para inteiros, negligenciaram estender essa ideia às frações. Por alguns séculos, eles se limitaram a usar frações comuns e sexagesimais. Essa indiferença nunca foi completamente superada, e as frações sexagesimais ainda formam a base de nossa trigonometria, astronomia e medição do tempo. ¶. Os matemáticos procuraram evitar frações tomando o raio R igual a um número de unidades de comprimento da forma 10 ne, então, assumindo para n um valor integral tão grande que todas as quantidades ocorrentes poderiam ser expressas com precisão suficiente por números inteiros. ¶ O primeiro a aplicar este método foi o astrônomo alemão Regiomontanus. Na medida em que ele expressou segmentos de linha goniométricos em uma unidade R/ 10 n, Regiomontanus pode ser chamado de um antecipador da doutrina das frações posicionais decimais. [11]: 17,18

Na estimativa de Dijksterhuis, "após a publicação de De Thiende, apenas um pequeno avanço foi necessário para estabelecer o sistema completo de frações posicionais decimais, e este passo foi dado prontamente por vários escritores. Ao lado de Stevin, a figura mais importante neste desenvolvimento foi Regiomontanus. " Dijksterhuis observou que [Stevin] "dá crédito total a Regiomontanus por sua contribuição anterior, dizendo que as tabelas trigonométricas do astrônomo alemão na verdade contêm toda a teoria dos 'números do décimo progresso'." [11]: 19

Um argumento chave contra o sistema posicional era sua suscetibilidade a fraude fácil, simplesmente colocando um número no início ou no final de uma quantidade, alterando assim (por exemplo) 100 em 5100, ou 100 em 1000. As verificações modernas requerem uma grafia em linguagem natural de um valor, bem como o próprio valor decimal, para evitar tal fraude. Pela mesma razão, os chineses também usam numerais em linguagem natural, por exemplo, 100 é escrito como 壹佰, que nunca pode ser forjado em 壹仟 (1000) ou 伍仟 壹佰 (5100).

Muitas das vantagens reivindicadas para o sistema métrico podem ser realizadas por qualquer notação posicional consistente. Os defensores de Dozenal dizem que o duodecimal tem várias vantagens sobre o decimal, embora o custo de troca pareça ser alto.

Base do sistema numérico Editar

O símbolo mais alto de um sistema numeral posicional geralmente tem o valor um a menos que o valor da raiz desse sistema numeral. Os sistemas de numeração posicional padrão diferem um do outro apenas na base que usam.

A raiz é um número inteiro maior que 1, uma vez que uma raiz de zero não teria nenhum dígito, e uma raiz de 1 teria apenas o dígito zero. Bases negativas raramente são usadas. Em um sistema com mais de | b | < displaystyle | b |> dígitos únicos, os números podem ter muitas representações possíveis diferentes.

É importante que a raiz seja finita, daí que o número de dígitos seja bastante baixo. Caso contrário, o comprimento de um numeral não seria necessariamente logarítmico em seu tamanho.

(Em certos sistemas de numeração posicional não padrão, incluindo numeração bijetiva, a definição da base ou os dígitos permitidos divergem do acima.)

Na notação posicional de base dez (decimal) padrão, existem dez dígitos decimais e o número

Na base padrão dezesseis (hexadecimal), existem dezesseis dígitos hexadecimais (0-9 e A-F) e o número

14 B 9 h e x = (1 × 16 3) + (4 × 16 2) + (B × 16 1) + (9 × 16 0) (= 5305 d e c), < displaystyle 14 mathrm 9_ < mathrm > = (1 vezes 16 ^ <3>) + (4 vezes 16 ^ <2>) + ( mathrm vezes 16 ^ <1>) + (9 vezes 16 ^ <0>) qquad (= 5305_ < mathrm >),>

onde B representa o número onze como um único símbolo.

Edição de notação

Ao descrever a base em notação matemática, a letra b é geralmente usado como um símbolo para este conceito, portanto, para um sistema binário, b é igual a 2. Outra maneira comum de expressar a base é escrevê-la como um decimal subscrito após o número que está sendo representado (esta notação é usada neste artigo). 11110112 implica que o número 1111011 é um número de base 2, igual a 12310 (uma representação de notação decimal), 1738 (octal) e 7B16 (hexadecimal). Em livros e artigos, ao usar inicialmente as abreviações escritas de bases numéricas, a base não é impressa posteriormente: presume-se que o binário 1111011 é o mesmo que 11110112.

A base b também pode ser indicado pela frase "base-b". Portanto, os números binários são de" base 2 ", os números octais são de" base 8 ", os números decimais são de" base 10 "e assim por diante.

Para um determinado radical b o conjunto de dígitos <0, 1,. b−2, b-1> é chamado de conjunto padrão de dígitos. Assim, os números binários têm dígitos <0, 1> os números decimais têm dígitos <0, 1, 2,. 8, 9> e assim por diante. Portanto, os seguintes são erros de notação: 522, 22, 1A9. (Em todos os casos, um ou mais dígitos não estão no conjunto de dígitos permitidos para a base fornecida.)

Edição de exponenciação

Os sistemas numéricos posicionais funcionam usando a exponenciação da base. O valor de um dígito é o dígito multiplicado pelo valor de sua casa. Os valores do lugar são o número da base elevada ao nº poder, onde n é o número de outros dígitos entre um determinado dígito e o ponto de raiz. Se um determinado dígito está do lado esquerdo do ponto de raiz (ou seja, seu valor é um número inteiro), então n é positivo ou zero se o dígito está do lado direito do ponto de raiz (ou seja, seu valor é fracionário), então n é negativo.

Como exemplo de uso, o número 465 em sua respectiva base b (que deve ter pelo menos 7 base porque o dígito mais alto é 6) é igual a:

Se o número 465 estivesse na base 10, seria igual a:

Se, no entanto, o número estivesse na base 7, seria igual a:

10b = b para qualquer base b, desde 10b = 1×b 1 + 0×b 0 Por exemplo, 102 = 2 103 = 3 1016 = 1610. Observe que o último "16" é indicado como estando na base 10. A base não faz diferença para numerais de um dígito.

Esse conceito pode ser demonstrado por meio de um diagrama. Um objeto representa uma unidade. Quando o número de objetos é igual ou maior que a base b, então um grupo de objetos é criado com b objetos. Quando o número desses grupos excede b, então um grupo desses grupos de objetos é criado com b grupos de b objetos e assim por diante. Assim, o mesmo número em bases diferentes terá valores diferentes:

A notação pode ser aumentada permitindo um sinal de menos à esquerda. Isso permite a representação de números negativos. Para uma determinada base, cada representação corresponde a exatamente um número real e cada número real tem pelo menos uma representação. As representações de números racionais são aquelas representações que são finitas, usam a notação de barra ou terminam com um ciclo de dígitos que se repete infinitamente.

Edição de dígitos e numerais

UMA dígito é um símbolo que é usado para notação posicional, e um numeral consiste em um ou mais dígitos usados ​​para representar um número com notação posicional. Os dígitos mais comuns de hoje são os dígitos decimais "0", "1", "2", "3", "4", "5", "6", "7", "8" e "9". A distinção entre um dígito e um numeral é mais pronunciada no contexto de uma base numérica.

Um diferente de zero numeral com mais de uma posição de dígito significará um número diferente em uma base numérica diferente, mas, em geral, o dígitos significará o mesmo. [12] Por exemplo, o numeral de base 8 238 contém dois dígitos, "2" e "3", e com um número de base (subscrito) "8". Quando convertido para base 10, o 238 é equivalente a 1910, ou seja, 238 = 1910. Em nossa notação aqui, o subscrito "8"do numeral 238 faz parte do numeral, mas pode nem sempre ser o caso.

Imagine o numeral "23" como tendo um número de base ambíguo. Então, "23" provavelmente poderia ser qualquer base, da base 4 para cima. Na base 4, o "23" significa 1110, ou seja, 234 = 1110. Na base 60, o "23" significa o número 12310, ou seja, 2360 = 12310. O numeral "23" então, neste caso, corresponde ao conjunto de números de base 10 <11, 13, 15, 17, 19, 21, 23,. 121, 123> enquanto seus dígitos "2" e "3" sempre mantêm seu significado original: o "2" significa "dois de" e o "3" três.

Em certas aplicações, quando um numeral com um número fixo de posições precisa representar um número maior, uma base numérica maior com mais dígitos por posição pode ser usada. Um numeral decimal de três dígitos pode representar apenas até 999. Mas se a base numérica for aumentada para 11, digamos, adicionando o dígito "A", então as mesmas três posições, maximizadas para "AAA", podem representar um número tão grande quanto 1330. Poderíamos aumentar a base numérica novamente e atribuir "B" a 11 e assim por diante (mas também há uma criptografia possível entre número e dígito na hierarquia número-dígito-numeral). Um numeral de três dígitos "ZZZ" na base 60 pode significar 215 999 . Se usarmos toda a coleção de nossos alfanuméricos, poderíamos, em última análise, servir a uma base62 sistema numérico, mas removemos dois dígitos, "I" maiúsculo e "O" maiúsculo, para reduzir a confusão com os dígitos "1" e "0". [13] Ficamos com uma base 60, ou sistema numeral sexagesimal utilizando 60 dos 62 alfanuméricos padrão. (Mas veja Sistema sexagesimal abaixo.) Em geral, o número de valores possíveis que podem ser representados por um número de d < displaystyle d> dígito na base r < displaystyle r> é r d < displaystyle r ^> .

Os sistemas numéricos comuns em ciência da computação são binários (raiz 2), octal (raiz 8) e hexadecimal (raiz 16). Em binário, apenas os dígitos "0" e "1" estão nos algarismos. Nos numerais octais, estão os oito dígitos de 0 a 7. Hex é 0–9 A – F, onde os dez números retêm seu significado usual e a ordem alfabética corresponde aos valores 10–15, para um total de dezesseis dígitos. O número "10" é o número binário "2", o número octal "8" ou o número hexadecimal "16".

Editar ponto de raiz

A notação pode ser estendida para os expoentes negativos da base b. Assim, o chamado ponto de raiz, principalmente ».«, É usado como separador das posições com expoente não negativo daquelas com expoente negativo.

Números que não são inteiros usam lugares além do ponto de raiz. Para cada posição atrás deste ponto (e, portanto, após o dígito das unidades), o expoente n do poder b n diminui em 1 e a potência se aproxima de 0. Por exemplo, o número 2,35 é igual a:

Edição de Sinal

Se a base e todos os dígitos no conjunto de dígitos não forem negativos, os números negativos não podem ser expressos. Para superar isso, um sinal de menos, aqui »-«, é adicionado ao sistema numérico. Na notação usual, é anexado à sequência de dígitos que representam o número não negativo.

Edição de conversão de base

Por exemplo: conversão de A10BHex para decimal (41227):

Para a parte fracionária, a conversão pode ser feita pegando dígitos após o ponto de raiz (o numerador) e dividindo-o pelo denominador implícito na raiz de destino. A aproximação pode ser necessária devido à possibilidade de dígitos não finais se o denominador da fração reduzida tiver um fator primo diferente de qualquer um dos fatores primos da base para o qual converter. Por exemplo, 0,1 em decimal (1/10) é 0b1 / 0b1010 em binário, dividindo isso naquela raiz, o resultado é 0b0,0 0011 (porque um dos fatores primos de 10 é 5). Para frações e bases mais gerais, consulte o algoritmo para bases positivas.

Na prática, o método de Horner é mais eficiente do que a divisão repetida exigida acima [14] [ melhor fonte necessária ] Um número em notação posicional pode ser considerado um polinômio, onde cada dígito é um coeficiente. Os coeficientes podem ser maiores do que um dígito, portanto, uma maneira eficiente de converter bases é converter cada dígito e, em seguida, avaliar o polinômio por meio do método de Horner dentro da base-alvo. A conversão de cada dígito é uma tabela de consulta simples, eliminando a necessidade de operações caras de divisão ou módulo e a multiplicação por x torna-se o deslocamento para a direita. No entanto, outros algoritmos de avaliação polinomial também funcionariam, como quadratura repetida para dígitos únicos ou esparsos. Exemplo:

Terminar edição de frações

Os números que têm uma representação finita formam o semiramento

Editar representações infinitas

Edição de números racionais

A representação de não inteiros pode ser estendida para permitir uma seqüência infinita de dígitos além do ponto. Por exemplo, 1.12112111211112. a base 3 representa a soma da série infinita:

Uma vez que uma seqüência infinita completa de dígitos não pode ser escrita explicitamente, as reticências finais (.) Designam os dígitos omitidos, que podem ou não seguir um padrão de algum tipo. Um padrão comum é quando uma sequência finita de dígitos se repete infinitamente. Isso é designado desenhando um vínculo através do bloco de repetição:

Esta é a notação decimal repetida (para a qual não existe uma única notação ou frase aceita universalmente). Para a base 10, é chamado de decimal repetido ou decimal recorrente.

Um número irracional tem uma representação infinita não repetida em todas as bases inteiras. Se um número racional tem uma representação finita ou requer uma representação infinita repetida depende da base. Por exemplo, um terço pode ser representado por:

Para inteiros p e q com gcd(p, q) = 1, a fração p/q tem uma representação finita na base b se e somente se cada fator principal de q também é um fator primordial de b.

Para uma determinada base, qualquer número que possa ser representado por um número finito de dígitos (sem usar a notação de barra) terá várias representações, incluindo uma ou duas representações infinitas:

Números irracionais Editar

Um número irracional (real) tem uma representação infinita não repetida em todas as bases inteiras.

Exemplos são os que não podem ser resolvidos nas raízes

que são transcendentais. O número de transcendentais é incontável e a única maneira de escrevê-los com um número finito de símbolos é dar-lhes um símbolo ou uma sequência finita de símbolos.

Editar sistema decimal

No sistema numeral hindu-arábico decimal (base 10), cada posição começando da direita é uma potência maior de 10. A primeira posição representa 10 0 (1), a segunda posição 10 1 (10), a terceira posição 10 2 (10 × 10 ou 100), a quarta posição 10 3 (10 × 10 × 10 ou 1000) e assim por diante.

Os valores fracionários são indicados por um separador, que pode variar em diferentes locais. Normalmente, esse separador é um ponto final, ponto final ou vírgula. Os dígitos à direita dela são multiplicados por 10 elevados a uma potência ou expoente negativo. A primeira posição à direita do separador indica 10 −1 (0,1), a segunda posição 10 −2 (0,01) e assim por diante para cada posição sucessiva.

Por exemplo, o número 2674 em um sistema numérico de base 10 é:

(2 × 10 3 ) + (6 × 10 2 ) + (7 × 10 1 ) + (4 × 10 0 )

(2 × 1000) + (6 × 100) + (7 × 10) + (4 × 1).

Sistema sexagesimal Editar

O sistema sexagesimal ou de base 60 foi usado para as porções integrais e fracionárias dos numerais babilônicos e outros sistemas mesopotâmicos, por astrônomos helenísticos usando numerais gregos apenas para a porção fracionária, e ainda é usado para tempos e ângulos modernos, mas apenas para minutos e segundos. No entanto, nem todos esses usos eram posicionais.

Usar um conjunto de dígitos com letras maiúsculas e minúsculas permite uma notação curta para números sexagesimais, por exemplo, 10:25:59 torna-se 'ARz' (omitindo I e O, mas não i e o), que é útil para uso em URLs, etc., mas não é muito inteligível para humanos.

Na década de 1930, Otto Neugebauer introduziu um sistema notacional moderno para os números babilônicos e helenísticos que substitui a notação decimal moderna de 0 a 59 em cada posição, usando um ponto e vírgula () para separar as porções integrais e fracionárias do número e usando uma vírgula ( ,) para separar as posições dentro de cada porção. [16] Por exemplo, o mês sinódico médio usado pelos astrônomos babilônicos e helenísticos e ainda usado no calendário hebraico é 2931,50,8,20 dias, e o ângulo usado no exemplo acima seria escrito 1025,59,23 , 31,12 graus.

Edição de Computação

Na computação, as bases binária (base 2), octal (base 8) e hexadecimal (base 16) são as mais comumente usadas. Os computadores, no nível mais básico, lidam apenas com sequências de zeros e uns convencionais, portanto é mais fácil, nesse sentido, lidar com potências de dois. O sistema hexadecimal é usado como "abreviação" para binário - cada 4 dígitos binários (bits) se relacionam a um e apenas um dígito hexadecimal. Em hexadecimal, os seis dígitos após 9 são denotados por A, B, C, D, E e F (e às vezes a, b, c, d, e e f).

O sistema de numeração octal também é usado como outra forma de representar números binários. Neste caso, a base é 8 e, portanto, apenas os dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 são usados. Ao converter de binário para octal, cada 3 bits se relaciona a um e apenas um dígito octal.

Hexadecimal, decimal, octal e uma ampla variedade de outras bases têm sido usadas para codificação binário para texto, implementações de aritmética de precisão arbitrária e outras aplicações.

Para obter uma lista de bases e suas aplicações, consulte a lista de sistemas numéricos.

Outras bases na linguagem humana Editar

Os sistemas de base 12 (duodecimal ou dozenal) são populares porque a multiplicação e a divisão são mais fáceis do que na base 10, com adição e subtração igualmente fáceis. Doze é uma base útil porque tem muitos fatores. É o menor múltiplo comum de um, dois, três, quatro e seis. Ainda há uma palavra especial para "dozen" em inglês, e por analogia com a palavra para 10 2, centenas, comércio desenvolveu uma palavra para 12 2, Bruto. O relógio padrão de 12 horas e o uso comum de 12 em unidades inglesas enfatizam a utilidade da base. Além disso, antes de sua conversão para decimal, a antiga moeda britânica Libra Esterlina (GBP) parcialmente usado na base 12, havia 12 pence (d) em um xelim (s), 20 xelins em uma libra (£) e, portanto, 240 pence em uma libra. Daí o termo LSD ou, mais propriamente, £ sd.

A civilização maia e outras civilizações da Mesoamérica pré-colombiana usavam a base 20 (vigesimal), assim como várias tribos norte-americanas (duas delas no sul da Califórnia). Evidências de sistemas de contagem de base 20 também são encontradas nas línguas da África central e ocidental.

Restos de um sistema gaulês de base 20 também existem em francês, como visto hoje nos nomes dos números de 60 a 99. Por exemplo, sessenta e cinco é soixante-cinq (literalmente, "sessenta [e] cinco"), enquanto setenta e cinco é soixante-quinze (literalmente, "sessenta [e] quinze"). Além disso, para qualquer número entre 80 e 99, o número de "dez colunas" é expresso como um múltiplo de vinte. Por exemplo, oitenta e dois é quatre-vingt-deux (literalmente, quatro vinte [s] [e] dois), enquanto noventa e dois é quatre-vingt-douze (literalmente, quatro vinte [s] [e] doze). Em francês antigo, quarenta era expresso como dois vinte e sessenta era três vinte, de modo que cinquenta e três era expresso como dois vinte [e] treze, e assim por diante.

Em inglês, a mesma contagem de base 20 aparece no uso de "scores". Embora principalmente histórico, é ocasionalmente usado coloquialmente. O versículo 10 do Salmo 90 na versão King James da Bíblia começa: "Os dias dos nossos anos são sessenta anos e dez e se por causa da força são oitenta anos, ainda assim é a sua força trabalho e tristeza". O discurso de Gettysburg começa com: "Quatro vintenas e sete anos atrás".

A língua irlandesa também usou a base 20 no passado, sendo vinte fiquídeo, quarenta dhá fhichid, sessenta trí fichida e oitenta Ceithre Fhichid. Um resquício deste sistema pode ser visto na palavra moderna para 40, Daoichead.

A língua galesa continua a usar um sistema de contagem de base 20, especialmente para a idade das pessoas, datas e frases comuns. 15 também é importante, com 16–19 sendo "um em 15", "dois em 15" etc. 18 normalmente é "dois noves". Um sistema decimal é comumente usado.

As línguas Inuit usam um sistema de contagem de base 20. Estudantes de Kaktovik, Alasca, inventaram um sistema numérico de base 20 em 1994 [17]

Os numerais dinamarqueses exibem uma estrutura de base 20 semelhante.

A língua maori da Nova Zelândia também tem evidências de um sistema básico de base 20, conforme visto nos termos Te Hokowhitu a Tu referindo-se a um grupo de guerra (literalmente "os sete anos 20 de Tu") e Tama-hokotahi, referindo-se a um grande guerreiro ("o homem igual a 20").

O sistema binário foi usado no Reino Antigo do Egito, de 3000 aC a 2050 aC. Era cursivo, arredondando os números racionais menores que 1 para 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64, com um termo 1/64 jogado fora (o sistema era chamado de Olho de Horus).

Várias línguas aborígenes australianas empregam sistemas de contagem binários ou semelhantes a binários. Por exemplo, em Kala Lagaw Ya, os números de um a seis são urapon, ukasar, ukasar-urapon, ukasar-ukasar, ukasar-ukasar-urapon, ukasar-ukasar-ukasar.

Os nativos da América do Norte e da América Central usavam a base 4 (quaternária) para representar as quatro direções cardeais. Os mesoamericanos tendiam a adicionar um segundo sistema de base 5 para criar um sistema de base 20 modificado.

Um sistema de base 5 (quinário) tem sido usado em muitas culturas para contagem. Basicamente, ele se baseia no número de dígitos de uma mão humana. Também pode ser considerado como uma sub-base de outras bases, como base-10, base-20 e base-60.

Um sistema de base 8 (octal) foi desenvolvido pela tribo Yuki do norte da Califórnia, que usava os espaços entre os dedos para contar, correspondendo aos dígitos de um a oito. [18] Há também evidências linguísticas que sugerem que os europeus proto-indo-europeus da Idade do Bronze (de quem descendem a maioria das línguas europeias e indianas) podem ter substituído um sistema de base 8 (ou um sistema que só poderia contar até 8) por um sistema de base 10. A evidência é que a palavra para 9, newm, é sugerido por alguns como derivado da palavra para "novo", novo-, sugerindo que o número 9 havia sido inventado recentemente e chamado de "novo número". [19]

Muitos sistemas de contagem antigos usam o cinco como base primária, quase com certeza vindo do número de dedos da mão de uma pessoa. Freqüentemente, esses sistemas são complementados com uma base secundária, às vezes dez, às vezes vinte. Em algumas línguas africanas, a palavra para cinco é a mesma que "mão" ou "punho" (língua diola da Guiné-Bissau, língua Banda da África Central). A contagem continua adicionando 1, 2, 3 ou 4 às combinações de 5, até que a base secundária seja alcançada. No caso de vinte, essa palavra freqüentemente significa "homem completo". Este sistema é conhecido como quinquavigesimal. Pode ser encontrada em muitas línguas da região do Sudão.

A língua do Telefol, falada em Papua-Nova Guiné, é notável por possuir um sistema numérico de base 27.

Existem propriedades interessantes quando a base não é fixa ou positiva e quando os conjuntos de símbolos de dígitos denotam valores negativos. Existem muitas outras variações. Esses sistemas são de valor prático e teórico para cientistas da computação.

Balanced ternary [20] usa uma base de 3, mas o conjunto de dígitos é <1, 0,1> em vez de <0,1,2>. O "1" tem um valor equivalente a -1. A negação de um número é facilmente formada ligando os 1s. Este sistema pode ser usado para resolver o problema de equilíbrio, que requer encontrar um conjunto mínimo de contrapesos conhecidos para determinar um peso desconhecido. Pesos de 1, 3, 9,. 3 n unidades conhecidas podem ser usadas para determinar qualquer peso desconhecido até 1 + 3 +. + 3 n unidades. Um peso pode ser usado em qualquer lado da balança ou não pode ser usado. Os pesos usados ​​no prato de balança com o peso desconhecido são designados com 1, com 1 se usado no prato vazio e com 0 se não for usado. Se um peso desconhecido C é balanceado com 3 (3 1) em seu prato e 1 e 27 (3 0 e 3 3) no outro, então seu peso no decimal é 25 ou 10 1 1 na base balanceada-3.

10 1 13 = 1 × 3 3 + 0 × 3 2 − 1 × 3 1 + 1 × 3 0 = 25.

O sistema de número fatorial usa uma raiz variável, fornecendo fatoriais como valores de posição, eles estão relacionados ao teorema do resto chinês e às enumerações do sistema de número de resíduo. Este sistema enumera efetivamente as permutações. Um derivado disso usa a configuração do quebra-cabeça Torres de Hanói como um sistema de contagem. A configuração das torres pode ser colocada em correspondência 1 para 1 com a contagem decimal da etapa em que a configuração ocorre e vice-versa.

Equivalentes decimais −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
Base balanceada 3 1 0 1 1 1 0 1 1 1 10 11 1 1 1 1 1 0 1 1 1 10 1
Base -2 1101 10 11 0 1 110 111 100 101 11010 11011 11000
Fatoróide 0 10 100 110 200 210 1000 1010 1100

Cada posição não precisa ser posicional em si. Os numerais sexagesimais da Babilônia eram posicionais, mas em cada posição havia grupos de dois tipos de cunhas representando unidades e dezenas (uma cunha vertical estreita (|) e uma cunha apontando para a esquerda aberta (& lt)) - até 14 símbolos por posição (5 dezenas ( & lt & lt & lt & lt & lt) e 9 uns (|||||||||) agrupados em um ou dois quadrados próximos contendo até três camadas de símbolos, ou um espaço reservado () para a falta de uma posição). [21] Os astrônomos helenísticos usaram um ou dois algarismos gregos alfabéticos para cada posição (um escolhido entre 5 letras representando 10–50 e / ou um escolhido entre 9 letras representando 1–9, ou um símbolo zero). [22]


Planilhas de valor de lugar

Planilhas imprimíveis sobre valor local, leitura e gravação de números grandes, números de pedido, forma expandida e valores de dígitos. Escolha o número de dígitos abaixo e você será encaminhado para uma página com uma seleção de planilhas.

Esta página oferece uma grande coleção de planilhas de valores de posição com números de 2 dígitos. As habilidades incluem encontrar o valor do dígito sublinhado, forma expandida, comparar números, ordenar e ler números.
(Nível aproximado: Jardim de infância - 1º)

Esta página possui um conjunto de planilhas e jogos de PV de 3 dígitos. As habilidades cobertas incluem: valores de dígitos, forma padrão / expandida, leitura e escrita de números, ordenação, comparação e blocos de valor de posição.
(Nível aproximado: 1ª e 2ª séries)

Navegue por nossa enorme coleção de atividades com valor de posição de 4 dígitos. Inclui uma variedade de jogos e imprimíveis, abrangendo: notação expandida, inserção de vírgulas, leitura de números, blocos de valor de posição, valores de dígito e muito mais.
(Nível aproximado: 2ª e 3ª séries)

Os imprimíveis nesta página podem ser usados ​​para ensinar e revisar valores posicionais de 5 dígitos. Pratique encontrar os valores dos dígitos sublinhados, escrever números em notação expandida, organizar os números do menor para o maior e colocar vírgulas corretamente.
(Nível aproximado: 3ª e 4ª séries)

Pratique o valor posicional de até centenas de milhares com esses jogos e planilhas. Aprenda sobre valores de dígitos, escrevendo nomes de números, notação expandida e padrão e comparando números grandes.
(Nível aproximado: 3ª e 4ª séries)

Essas atividades PV têm grandes números de 7, 8, 9, 10 ou 12 dígitos. Inclui uma variedade de planilhas, jogos, projetos de cortar e colar e idéias de aula.
(Nível aproximado: 4ª a 6ª séries)

Coloque o valor em décimos, centésimos e milésimos. Também inclui dólares e centavos.
(Nível aproximado: 4ª a 6ª séries)

Arredondando para as dez, cem e / ou mil unidades mais próximas.

Baixe uma variedade de 100 gráficos e 120 gráficos diferentes.

Esta página de índice o vinculará a planilhas sobre contagem de até 10, contagem de até 20 e contagem de até 30. Também inclui atividades de rastreamento e impressão de número específico de 1 a 30.

Aprenda sobre o valor posicional com estas planilhas de "número especial". Disponível em números de 1, 2, 3, 4 e 5 dígitos.


2: Valor local

Números, como 495.784, têm seis dígitos. Cada dígito é um valor de posição diferente.

O primeiro dígito é chamado de casa das centenas de milhares. Ele informa quantos conjuntos de cem mil estão no número. O número 495.784 tem quatrocentos mil.

O segundo dígito é a casa dos dez mil. Neste número há nove dez mil além dos quatrocentos mil.

O terceiro dígito é a casa dos mil, que é cinco neste exemplo. Portanto, há quatro conjuntos de cem mil, nove conjuntos de dez mil e cinco conjuntos de mil no número 495.784.

O quarto dígito é chamado de casa das centenas. Diz quantos conjuntos de cem estão no número. O número 495.784 tem sete centenas além dos milhares.

O próximo dígito é a casa das dezenas. This number has are eight tens in addition to the four hundred thousands, nine ten thousands, five thousands and seven hundreds.

The last or right digit is the ones' place which is four in this example. Therefore there are four sets of one hundred thousand, nine sets of ten thousand, five sets of one thousand, seven sets of one hundred, eight sets of ten, and four ones in the number 495,784.


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2: Place Value

Numbers, such as 84, have two digits. Each digit is a different place value.

The left digit is the tens' place. It tells you that there are 8 tens.

The last or right digit is the ones' place which is 4 in this example. Therefore, there are 8 sets of 10, plus 4 ones in the number 84.

The number 24 could be represented by this table:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24

The tens' place value of 2 in the number 24 is due to the presence of two full sets of 10.
The ones' place value of 4 in the number 24 is due to 4 units that are not included in a full set of 10.


Place Value Charts | Milhões

Download our colorful posters, blank charts and practice printable worksheets to assist 4th grade and 5th grade students master place values in large numbers. Our handy reference charts make for a great instructional aid to help students recognize the place value of numbers up to 9 digits. Procure some of these worksheets for free!

Place Value Charts: Millions

Distribute these vibrantly illustrated place value chart pdfs to teach place values in millions. The charts make for a great visual aid to help students grasp the millions place value concept with ease.

Place Value Charts: Ten Millions

The position of a digit within a number determines its value. Pin up these vivid posters that contain balloons, number keys, and picket fences in the classroom to aid learners identify the place values up to ten millions.

Place Value Charts: Hundred Millions

Download and print this array of charts to enhance a student's knowledge in comprehending place values for numbers up to 9 digits. They are sure to love the enchanting illustrations displayed here.

Circulate our blank charts among learners to test their knowledge on place values for 7-digit, 8-digit, and 9-digit numbers. Available in both color and monochrome, the charts make for a great evaluation tool.

Level 1: Place Values up to Hundred Millions

Employ this series of printable worksheets split into millions, ten millions, and hundred millions to provide children of grade 4 and grade 5 with abundant practice. Get them to master the concept of place values for numbers up to 9 digits.

Level 2: Place Values up to Hundred Millions - Mixed Review

Each pdf worksheet contains a variety of 7-digit, 8-digit and 9-digit numbers. Identify the place value for each number and write them in the appropriate place value boxes.


Lugar

Place utility refers primarily to making goods or services physically available or accessible to potential customers. Examples of place utility range from a retail store's location to how easy a company's website or services are to find on the internet. Companies that have effective search engine optimization or SEO strategies can improve their place utility. SEO is the process of increasing a website's availability to internet users through their searches on the web.

Increasing convenience for customers can be a key element in attracting business. A company that offers easy access to technical assistance offers an added value in comparison to a similar company that does not offer a similar service. Making a product available in a wide variety of stores and locations is considered an added value since its more convenient. For example, Apple Inc. (AAPL) sells iPhones and laptops through its retail stores, but also offers its products through other electronics retailers, including Best Buy Co. Inc. (BBY).


Rounding Numbers

When a child understands place value, she is usually able to round numbers to a specific place. The key is understanding that rounding numbers are essentially the same as rounding digits. The general rule is that if a digit is five or greater, you round up. If a digit is four or less, you round down.

So, to round the number 387 to the nearest tens place, for example, you would look at the number in the ones column, which is 7. Since seven is greater than five, it rounds up to 10. You can't have a 10 in the ones place, so you would leave the zero in the ones place and round the number in the tens place, 8, up to the next digit, which is 9. The number rounded to the nearest 10 would be 390. If students are struggling to round in this manner, review place value as discussed previously.


Assista o vídeo: Manhãs Valor Local (Outubro 2021).