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5.1: Prelúdio para funções exponenciais e logarítmicas


Neste capítulo, examinamos funções exponenciais e logarítmicas. Precisaremos dessas funções no próximo capítulo, ao examinar os cálculos financeiros.

Este capítulo é uma nova adição a este livro. O Descritor do Curriculum do California Community Colleges para Matemática Finita (C-ID; https://c-id.net/descriptors.html, http://www.ccccurriculum.net/articulation/) agora requer cobertura de funções exponenciais e logarítmicas em um curso de Matemática Finita que faz parte de um Associate Degree for Transfer.

Os alunos matriculados em Matemática Finita normalmente precisam concluir um curso de Álgebra Intermediária ou equivalente, como pré-requisito, portanto, os alunos já foram expostos a grande parte do material deste capítulo. No entanto, muitos alunos exigem uma revisão deste material, que é a base para cálculos financeiros baseados em juros compostos no capítulo seguinte. Além disso, a revisão deste material é particularmente importante em faculdades onde a Matemática Finita serve como pré-requisito para o Cálculo de Negócios.

Este livro pressupõe que os alunos dominaram o trabalho com expoentes e propriedades dos expoentes; ele se concentra na revisão das funções exponenciais e logarítmicas com um olho nas habilidades necessárias para usar modelos de crescimento e decadência exponencial para cálculos financeiros e outras aplicações de negócios, bem como o uso subsequente em um curso de cálculo de negócios. Na maior parte, as aplicações financeiras não são enfatizadas neste novo capítulo, uma vez que os cálculos financeiros são o foco do capítulo seguinte.


5.1: Prelúdio para funções exponenciais e logarítmicas

Você já deve estar familiarizado com os expoentes. A título de revisão, no entanto, aqui estão as regras básicas da matemática envolvendo expoentes. Observe primeiro que na expressão a b, uma é o base e b é o expoente. As regras abaixo são expressas em termos de base e, que é um número irracional especial com uma variedade de aplicações em matemática e ciências. O número e é aproximadamente igual a 2,71828. Essas regras se aplicam a qualquer base, no entanto.

Vamos agora dar uma olhada na função exponencial simples, que é plotada abaixo.

Esta função possui um domínio (- & # 8734, & # 8734) e um intervalo (0, & # 8734). Ele também tem uma assíntota em y = 0 (o x- eixo) observe que 0 não está no intervalo da função. Além disso, ele intercepta o y- eixo em f (0) = 1 (já que qualquer número elevado à potência zero é 1), mas não tem raízes reais.

Esta função tem aplicação, por exemplo, no caso de juros sobre investimentos. Dado um investimento de princípio P e uma taxa de juros continuamente composta r, o valor total V do investimento no momento t (Onde t e r são expressos em termos da mesma unidade de tempo) é

Observe, neste caso, que o y -intercept (valor em t = 0) é V (0) = P, ou o valor do investimento inicial. O valor do investimento cresce a uma taxa crescente com o passar do tempo (daí o fato de que uma pequena taxa de juros pode aumentar muito o valor em um período de tempo razoavelmente curto). Abaixo está um gráfico do valor V ( t ) de um investimento de $ 1.000 com uma taxa de juros anual de 5%. Aqui, t é medido em anos. A função é. Depois de 20 anos, mesmo com apenas 5% de participação, o investimento inicial quase triplicou.

Também digno de nota é a função exponencial, que é plotada abaixo. Observe que, ao contrário, onde a função aumenta conforme x aumenta, a função diminui à medida que x aumenta. Funções semelhantes a esta são úteis para modelar fenômenos físicos que envolvem decadência ao longo do tempo, como a amplitude decrescente de uma mola em movimento à medida que o atrito atua sobre ela. A função tem o mesmo domínio e intervalo de.

UMA logaritmo é a função inversa da exponenciação. Digamos que temos uma função. Pela nossa definição de funções inversas, uma função logarítmica g ( x ) (o inverso de f ( x )) satisfaria a seguinte expressão.

Geralmente, a função logarítmica simples tem a seguinte forma, onde uma é a base do logaritmo (correspondendo, não por coincidência, à base da função exponencial).

Quando a base uma é igual a e, o logaritmo tem um nome especial: o Logaritmo natural, que escrevemos como ln x. Essa função logarítmica natural é o inverso do exponencial. Desse modo,

Isso significa que as duas equações a seguir devem ser verdadeiras.

Abaixo estão as regras básicas de logaritmos. Estes são expressos geralmente usando a base arbitrária uma, mas eles se aplicam quando uma = e e o logaritmo é expresso como ln (que é idêntico ao log e).

Abaixo está um gráfico da função de logaritmo natural. Observe que, como o exponencial é sempre positivo para valores reais de x, o domínio da função ln x é (0, & # 8734). Uma assíntota vertical existe em x = 0. O intervalo da função é (- & # 8734, & # 8734). Você também pode notar que o gráfico da função ln x se parece com o gráfico da função girado 90 & # 176 no sentido horário e, em seguida, girado 180 & # 176 em torno do eixo vertical. Esta é uma característica geral das funções inversas.

Problema prático: Quanto tempo leva para um investimento inicial de $ 100 dobrar, dada uma taxa de juros anual de 10% composta continuamente?

Solução: Podemos usar as regras de expoentes e logaritmos para resolver este problema. Lembre-se de cima disso, onde P é o investimento inicial (principal), r é a taxa de juros, e V é o valor do investimento no momento t (expresso em anos) . Quando $ 100 dobrou, é $ 200:

Podemos aplicar logaritmos naturais para resolver esse problema. Pegue o logaritmo natural de ambos os lados e aplique as regras dos logaritmos (eliminamos os cifrões para simplificar):


SOLUÇÃO: log6 (2x-5) + 1 = log6 (7x + 10)

Você pode colocar esta solução no SEU site!

Resolver uma equação onde a variável está no argumento (ou base) de um logaritmo geralmente começa com a transformação da equação em uma das seguintes formas:
log (expressão) = outra-expressão
ou
log (expressão) = log (outra-expressão)

Sua equação, com seu termo "não logarítmico" de 1, será mais fácil de transformar na primeira forma acima. Para este formulário, queremos o termo "não log" de um lado e um único logaritmo do outro lado. Portanto, começaremos subtraindo de cada lado:

Agora queremos combinar os dois logaritmos em um. Eles não são como termos, portanto não podemos subtraí-los. (Assim como os termos que envolvem logaritmos têm logaritmos da mesma base e o mesmo argumento Os seus têm a mesma base, mas argumentos diferentes.

  • Logaritmos da mesma base e
  • Um "-" entre os dois logaritmos e
  • Coeficientes de 1 um dos logaritmos.

Agora temos o primeiro formulário. Com este formulário, o próximo passo é reescrever a equação na forma exponencial. Em geral é equivalente a. Usando este padrão em sua equação, obtemos:

Agora temos uma equação que podemos resolver. Multiplicando ambos os lados por (2x-5) (para eliminar a fração), obtemos:

que simplifica para:
12x - 30 = 7x + 10
Subtraindo 7x de cada lado, obtemos:
5x - 30 = 10
Adicionando 30 a cada lado, obtemos:
5x = 40
Dividindo os dois lados por 5, obtemos:
x = 8

Ao resolver equações logarítmicas como a sua, você deve verifique sua (s) resposta (s)! Você deve garantir que todos os argumentos (e bases) de todos os logaritmos permaneçam positivos quando a variável for igual a uma "solução". Se um argumento (ou base) resultar em zero ou negativo, você deve rejeitar essa "solução". Um zero ou argumento negativo (ou base) pode acontecer mesmo que nenhum erro tenha sido cometido! É por isso que é necessário verificar.

Sempre use a equação original para verificar:

que simplifica da seguinte forma:


Podemos ver que ambos os argumentos (e bases) são positivos. Portanto, não há razão para rejeitar esta solução. Concluímos a parte necessária da verificação. O restante da verificação nos dirá se cometemos um erro. Você é bem-vindo para terminar a verificação.


História

Virologista: É um vírus.
É altamente contagioso.
Está se espalhando tão rápido.

Matemático: Deus nos ajude!
Quão rápido está se espalhando?

Estatístico: No primeiro dia (Dia $ 1 $), duas pessoas o contataram.
No segundo dia (Dia $ 2 $), quatro pessoas o contataram.
No terceiro dia (Dia $ 3 $), nove pessoas o contataram.
No quarto dia (Dia $ 4 $), dezesseis pessoas foram afetadas.
No quinto dia (dia $ 5 $), vinte e cinco pessoas foram afetadas.
No sexto dia (dia $ 6 $), trinta e seis pessoas foram afetadas.
No sétimo dia, (Dia $ 7 $), quarenta e nove pessoas testaram positivo para o vírus.

Mestre: Se esta tendência continuar, quantas pessoas provavelmente serão infectadas no nono dia?
Que tipo de função este cenário representa?
Qual é o gráfico dessa função chamado?

Podemos representar essas informações em uma tabela?

Dia, $ x $ Número de pessoas, $ y $
$ y = x ^ 2 $
$1$ $1$
$2$ $4$
$3$ $9$
$4$ $16$
$5$ $25$
$6$ $36$
$7$ $49$

Assistente social: Espere um minuto!
Temos um relatório atualizado.
Aqui está:

No primeiro dia (Dia $ 1 $), duas pessoas o contataram.
No segundo dia (Dia $ 2 $), quatro pessoas o contataram.
No terceiro dia (Dia $ 3 $), oito pessoas o contataram.
No quarto dia (Dia $ 4 $), dezesseis pessoas foram afetadas.
No quinto dia (dia $ 5 $), trinta e duas pessoas foram afetadas.
No sexto dia (dia $ 6 $), sessenta e quatro pessoas foram afetadas.
No sétimo dia, (dia $ 7 $), cento e vinte e oito pessoas testaram positivo para o vírus.

Mestre: Se esta tendência continuar, quantas pessoas provavelmente serão infectadas no nono dia?
Que tipo de função este cenário representa?

Podemos representar essas informações atualizadas em uma tabela?

Dia, $ x $ Número de pessoas, $ y $
$ y = 2 ^ x $
$1$ $1$
$2$ $4$
$3$ $8$
$4$ $16$
$5$ $32$
$6$ $64$
$7$ $128$

Professora: Você vê a diferença entre um Função quadrática e um Função exponencial?
Você vê a diferença entre $ x ^ 2 $ e $ 2 ^ x $?
Alunos: Sim, senhor / senhora.
Professora: Você pode mencionar alguns cenários de vida de "Crescimento exponencial - aumentando em uma taxa rápida" e "Decaimento exponencial - diminuindo em uma taxa rápida"?


5.1: Prelúdio para funções exponenciais e logarítmicas

Resolvendo Equações Exponenciais e Logarítmicas

· Resolva equações exponenciais.

· Resolva equações logarítmicas.

Como você sabe, a álgebra geralmente requer que você resolva equações para encontrar valores desconhecidos. Isso também é verdadeiro para equações exponenciais e logarítmicas. Existem algumas estratégias que você pode usar, junto com algumas propriedades que você aprendeu, que você pode usar para resolver essas equações.

Resolvendo Equações Exponenciais

Você pode ser capaz de olhar para uma equação como 4 x = 16 e resolva perguntando a si mesmo: “4 a que potência é 16? 4 2 é 16, então x = 2. ” Equações como 4 x = 17 são um pouco mais difíceis. Você sabe x deve ser um pouco mais de 2, porque 17 é um pouco mais de 16. Uma maneira de encontrar x com mais precisão, porém, é usar logaritmos.

Quando você resolve outras equações algébricas, muitas vezes confia na ideia de que pode alterar os dois lados da equação da mesma maneira e ainda obter uma equação verdadeira. Isso também é verdade com logaritmos: Se x = y, então registrebx = logby, não importa o que b é.

Vejamos isso com uma equação cuja solução você já conhece: 4 x = 16. Você pode usar o log comum ou o tronco natural. No exemplo a seguir, você usará o log comum.

Pegue o logaritmo comum de ambos os lados. (Lembre-se, quando nenhuma base é escrita, isso significa que a base é 10.)

O que você pode fazer com essa nova equação?

Use a propriedade de potência dos logaritmos para simplificar o logaritmo no lado esquerdo da equação.

Lembre-se de que o log 4 é um número. Você pode dividir ambos os lados da equação por log 4 para obter x por si próprio.

Use uma calculadora para avaliar os logaritmos e o quociente.

Assim como você sabia, x = 2. Agora vamos tentar com nosso exemplo mais difícil, 4 x = 17. O procedimento é exatamente o mesmo.

Pegue o logaritmo comum de ambos os lados.

Use a propriedade de potência dos logaritmos para simplificar o logaritmo à esquerda.

Divida os dois lados por log 4 para obter x por si próprio.

Use uma calculadora para avaliar os logaritmos e o quociente.

Você poderia ter usado o registro comum ou o registro natural com o exemplo acima. Você usa uma dessas duas bases, já que pode usar a calculadora para encontrar os valores.

Resolver e 2x = 54.

em e 2x = ln 54

Uma vez que a base é e, use o logaritmo natural. (Se a base fosse 10, usar logaritmos comuns seria melhor.)

em e 2x = em 54

Lembre-se de que logaritmos e funções exponenciais são inversos. Quando você tiver logbb m , o logaritmo desfaz o expoente, e o resultado é apenas m. Então, ln

e 2x = logee 2x = 2x.

x =

Divida os dois lados por 2 para obter x por si próprio.

Use uma calculadora para avaliar o logaritmo e o quociente à direita e pronto!

Outro tipo de equação exponencial possui expressões exponenciais em ambos os lados. Quando as bases são iguais ou os expoentes são iguais, você pode apenas comparar as partes que são diferentes. Veja estes exemplos.

Resolva 3 2x + 5 = 3 3x – 2 .

3 2x + 5 = 3 3x – 2

Aqui estão duas expressões exponenciais com a mesma base. Se as duas expressões forem iguais, seus expoentes devem ser iguais. (Pense nisso - se você tiver 3 uma e 3 b , e umab, então 3 uma não pode ter o mesmo valor que 3 b .)

Então, escreva uma nova equação que defina os expoentes iguais uns aos outros.

Resolva a equação linear como faria normalmente.

Teste a solução em a equação original.

Não há necessidade de encontrar 3 19. Quando ambos os lados dizem a mesma coisa, você sabe que é correto!

Resolver (x + 4) 8 = 7 8 .

Novamente, você tem duas expressões exponenciais que são iguais uma à outra. Neste caso, ambos os lados têm o mesmo expoente, e isso significa que bases deve ser igual.

Escreva uma nova equação que defina as bases iguais umas às outras.

Resolva a equação linear como faria normalmente.

Teste a solução no equação original.

Não há necessidade de encontrar 7 8. Quando ambos os lados dizem a mesma coisa, você sabe que está correto!

Incorreta. Você provavelmente se esqueceu de tirar o logaritmo de 13, bem como de 10 3x - 2. A resposta correta é x = 1.03798….

Correto. 10 3x - 2 = 13 pode ser reescrito como log 10 3x - 2 = log 13 e log 10 3x - 2 = 3x – 2,

então 3x - 2 = log 13. Isso produz

x = .

Incorreta. Você provavelmente usou um logaritmo natural no lado direito (ln 13), mas logaritmo comum no lado esquerdo (log 10 3x - 2 = 3x - 2). A resposta correta é x = 1.03798….

Incorreta. Você provavelmente pegou os logaritmos corretamente e adicionou 2 a ambos os lados, mas se esqueceu de dividir por 3. A resposta correta é x = 1.03798….

Resolvendo Equações Logarítmicas

Existem várias estratégias que você pode usar para resolver equações logarítmicas. O primeiro é aquele que você já usou antes: Reescreva a equação logarítmica como uma equação exponencial!

Resolva x = 4,657. Dar x para a casa dos milésimos.

Lembre-se de que os logaritmos naturais têm uma base de e. Reescreva este logaritmo como uma equação exponencial.

Use uma calculadora para avaliar e 4,657 e arredondado para o milésimo mais próximo.

Isso funciona independentemente da base.

Resolver log7 x = 3,843. Dar x para a casa dos milésimos.

Reescreva este logaritmo como uma equação exponencial.

Use uma calculadora para avaliar 7 3,843 e arredondar para o milésimo mais próximo.

As equações logarítmicas também podem envolver entradas onde a variável tem um coeficiente diferente de 1, ou onde a própria variável é elevada ao quadrado. Nesses casos, você precisa concluir mais algumas etapas para resolver a variável.

Resolver log53x 2 = 1,96. Dar x para a casa dos centésimos.

Reescreva esta equação logarítmica como uma equação exponencial.

Resolva como faria normalmente. Neste caso, divida ambos os lados por 3 e, em seguida, use a propriedade da raiz quadrada para encontrar os valores possíveis para x. Não se esqueça de que, ao usar a propriedade da raiz quadrada, as raízes positivas e negativas devem ser consideradas. Rodada para o centésimo mais próximo.

Verifique sua resposta substituindo o valor de x na equação original. Porque

(-2,80) 2 e (+2,80) 2 são ambos positivos, não precisamos verificar +2,80 separadamente.

Aplique a mudança da fórmula de base para mudar da base 5 para a base 10.

A verificação mostra que, com os arredondamentos contabilizados, o resultado é uma afirmação verdadeira, então você sabe que a resposta está correta.

As equações também podem incluir mais de um logaritmo. Você pode usar as propriedades dos logaritmos para combinar esses logaritmos em um logaritmo. Observação: Você achará útil registrar quais propriedades usa em cada etapa, tanto para ajudá-lo a ter certeza de que as está usando de maneira adequada quanto como uma forma de ajudá-lo a encontrar erros.

Resolver .

Primeiro, observe que todos os logaritmos têm a mesma base. (Esses são logaritmos comuns, então as bases são todas 10.) Ao usar as propriedades, é absolutamente necessário que as bases são as mesmas.

Use a propriedade de energia para reescrever

Como .

log 9 + log 4 - log 3 = log x

log (9 • 4) - log 3 = log x

log 36 - log 3 = log x

Use a propriedade do produto, , para combinar log 9 + log 4.

registro = log x

Use a propriedade quociente, , para combinar log 36 - log 3.

Uma vez que o logaritmo de 12 e o logaritmo de x são iguais, x deve ser igual a 12.

Resolver log x + log 3 = log 24.

Incorreta. Use a propriedade do produto para combinar o log x + log 3 em um logaritmo. A resposta correta é 8.

Incorreta. Use a propriedade do produto para combinar o log x + log 3 em um logaritmo. A resposta correta é 8.

Correto. registro x + log 3 = log 3x. Então log 3x = log 24, 3x = 24 e x = 8.

Incorreta. Use a propriedade do produto para combinar o log x + log 3 em um logaritmo. A resposta correta é 8.

Existem várias estratégias que podem ser utilizadas para resolver equações envolvendo expoentes e logaritmos. Obter logaritmos de ambos os lados é útil com equações exponenciais. Reescrever uma equação logarítmica como uma equação exponencial é uma estratégia útil. Usar propriedades de logaritmos é útil para combinar muitos logaritmos em um único.


Unidade 10 e # 8211 Funções Exponenciais e Logarítmicas

Esta unidade é rica em teoria e aplicação. Funções exponenciais básicas são revisadas com o método de bases comuns introduzido como sua ferramenta algébrica primária. A modelagem exponencial de fenômenos crescentes e decrescentes é amplamente explorada em duas lições. Os logaritmos são apresentados como os inversos das funções exponenciais. Cuidado especial é tomado para desenvolver um bom senso numérico em relação aos logaritmos antes que o trabalho padrão seja feito com as leis dos logaritmos. O trabalho de equação com logaritmos enfatiza tanto a solução de equações que envolvem logaritmos quanto a solução de equações exponenciais com logaritmos. O número e e o log natural são brevemente introduzidos com a unidade terminando por revisitar a regressão em suas formas exponencial e logarítmica.

Unidade 10, Revisão e # 8211 Funções Exponenciais e Logarítmicas

Unidade 10 - Formulário de Avaliação A

Unidade 10 - Formulário de Avaliação B

Unidade 10 - Formulário de Avaliação C

Unidade 10 - Formulário de Avaliação D

Unidade 10 e # 8211 Questionário do meio da unidade (até a Lição 6) e # 8211 Formulário A

Unidade 10 e # 8211 Questionário do meio da unidade (até a Lição 6) e # 8211 Formulário B

Unidade 10 & # 8211 Lição 4.5 & # 8211 Modelagem exponencial revisitada

Unidade 10 & # 8211 Lição 7.5 & # 8211 Log Law Practice

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Representação gráfica: domínio, intervalo, assíntotas, etc.

Existem dois tipos de funções exponenciais: crescimento exponencial e decaimento exponencial. O que distingue os dois tipos? O valor de b determina a classificação na qual a função se encaixa. Se 0 & ltb & lt1, então a função é uma função de decaimento exponencial. Se b & gt1, então a função é um crescimento exponencial.

Aqui está um exemplo de uma função de crescimento exponencial.


Funções exponenciais e funções logarítmicas

Para alunos ACT
O ACT é um exame cronometrado. $ 60 $ perguntas por $ 60 $ minutos
Isso significa que você deve resolver cada questão em um minuto.
Algumas perguntas normalmente levam menos de um minuto para serem resolvidas.
Algumas questões normalmente levam mais de um minuto para serem resolvidas.
O objetivo é maximizar seu tempo. Você usa o tempo economizado nessas questões que você resolveu em menos de um minuto, para resolver as questões que levarão mais de um minuto.
Então, você deve tentar resolver cada questão corretamente e oportuno.
Então, não é apenas resolver uma questão corretamente, mas resolvê-la corretamente na hora certa.
Certifique-se de tentar todas as questões ACT.
Não há penalidade "negativa" para qualquer resposta errada.

Para alunos JAMB, NZQA e CMAT
Calculadoras não são permitidas. Assim, as questões são resolvidas de uma forma que não requer calculadora.

Para alunos WASSCE
Qualquer questão rotulada WASCCE é uma questão para o WASCCE General Mathematics
Qualquer pergunta rotulada WASSCE: FM é uma pergunta para o WASSCE Further Mathematics / Elective Mathematics

Para alunos GCSE
Todo o trabalho é mostrado para satisfazer (e realmente exceder) o mínimo para atribuição de notas de método.
Calculadoras são permitidas para algumas perguntas. Calculadoras não são permitidas para algumas perguntas.

Para alunos do NSC
Para as perguntas:
Qualquer espaço incluído em um número indica uma vírgula usada para separar os dígitos. separando múltiplos de três dígitos por trás.
Qualquer vírgula incluída em um número indica um ponto decimal.
Para as Soluções:
Decimais são usados ​​apropriadamente em vez de vírgulas
As vírgulas são usadas para separar os dígitos de forma adequada.

Resolva cada questão.
Mostre todo o trabalho.

(1.) Identifique se a declaração representa uma função exponencial.
Para cada sessão de treinamento, um personal trainer cobra de seus clientes $ $ 5 $ menos do que na sessão de treinamento anterior.


Vamos representar essas informações em uma tabela.
Deixe a taxa para a primeira sessão de treinamento ser $ p $
Sessão de treinamento Taxa ($ $)
$1$ $ p $
$2$ $ p - 5 $
$3$ $ (p - 5) - 5 $
$ p - 5 - 5 $
$ p - 10 $
$ p - 2 (5) $
$4$ $ (p - 10) - 5 $
$ p - 10 - 5 $
$ p - 15 $
$ p - 3 (5) $
$ p - (4 - 1) (5) $
$ x $ $ p - (x - 1) (5) $
$ p - 5 (x - 1) $
$ p - 5x + 5 $
Esta é uma função linear
Não é uma função exponencial.

Uma função exponencial tem:
(1.) uma base que é uma constante
(2.) um expoente que é a variável independente.
Exemplos: $ y = 3 ^ x $, $ y = e ^ x $ entre outros.

(a.) Qual gráfico tem o menor valor de $ a $?
(b.) Qual gráfico tem o maior valor de $ a $?
(c.) Qual gráfico tem o menor valor de $ b $?
(d.) Qual gráfico tem o maior valor de $ b $?

(uma.)
O gráfico com o menor valor de $ a $ é o gráfico com a menor interceptação $ y $
Isso implica que quando $ x = 0 $, o gráfico que tem o menor valor de $ y $ (o menor valor de $ y $ no eixo $ y $) é o gráfico com o menor valor de $ a $
Esse gráfico é o Gráfico F

(b.)
O gráfico com o maior valor de $ a $ é o gráfico com a maior interceptação $ y $
Isso implica que quando $ x = 0 $, o gráfico que tem o maior valor de $ y $ (o maior valor de $ y $ no eixo $ y $) é o gráfico com o maior valor de $ a $
Esse gráfico é o Gráfico C

(c.)
O gráfico com o menor valor de $ b $ é o gráfico que:

(1.) diminui da esquerda para a direita.
É uma função decrescente que significa um declínio exponencial.
e
(2.) tem a inclinação mais acentuada.

A primeira condição elimina os gráficos D, E, F porque esses gráficos estão aumentando da esquerda para a direita e suas bases são maiores que 1

Ficamos com os gráficos A, B, C
Esses gráficos estão diminuindo da esquerda para a direita. Suas bases estão entre 0 e 1
Olhando para esses gráficos, aquele com a inclinação mais acentuada é o Gráfico C
Portanto, o Gráfico C tem o menor valor para a base, $ b $

Vamos verificar com alguns exemplos de gráficos:

(d.)
O gráfico com o maior valor de $ b $ é o gráfico que:

(1.) aumenta da esquerda para a direita.
É uma função crescente que significa um crescimento exponencial.
e
(2.) tem a inclinação mais acentuada.

A primeira condição elimina os gráficos A, B, C porque esses gráficos estão diminuindo da esquerda para a direita e suas bases estão entre 0 e 1

Ficamos com os gráficos D, E, F
Esses gráficos estão aumentando da esquerda para a direita. Suas bases são maiores que 1
Olhando para esses gráficos, aquele com a inclinação mais acentuada é o Gráfico D
Portanto, o Gráfico D tem o maior valor para a base, $ b $


7 Respostas 7

Para encaixe y = Ae Bx , pegue o logaritmo de ambos os lados dá log y = log UMA + Bx. Então ajuste (log y) contra x.

Observe que o ajuste (log y) como se fosse linear irá enfatizar pequenos valores de y, causando grande desvio para grandes y. Isso ocorre porque polyfit (regressão linear) funciona minimizando ∑euY) 2 = ∑eu (Yeu &menos Ŷeu) 2. Quando Yeu = log yeu, os resíduos ΔYeu = Δ (log yeu) ≈ Δyeu / |yeu| Portanto, mesmo que o polyfit tome uma decisão muito ruim para grandes y, a "divisão por- |yO fator | "compensará isso, fazendo com que o polyfit favoreça valores pequenos.

Isso poderia ser aliviado dando a cada entrada um "peso" proporcional a y. polyfit oferece suporte a quadrados mínimos ponderados por meio do argumento de palavra-chave w.

Observe que o Excel, o LibreOffice e a maioria das calculadoras científicas geralmente usam a fórmula não ponderada (tendenciosa) para as linhas de regressão / tendência exponencial. Se você deseja que seus resultados sejam compatíveis com essas plataformas, não inclua os pesos, mesmo que forneça melhores resultados.

Agora, se você pode usar scipy, você pode usar scipy.optimize.curve_fit para ajustar qualquer modelo sem transformações.

Para y = UMA + B registro x o resultado é o mesmo que o método de transformação:

Para y = Ae Bx , no entanto, podemos obter um melhor ajuste, uma vez que calcula Δ (log y) diretamente. Mas precisamos fornecer uma estimativa de inicialização para que curve_fit possa atingir o mínimo local desejado.


5.1: Prelúdio para funções exponenciais e logarítmicas

O objetivo deste laboratório é dar a você experiência em lidar com funções exponenciais e logarítmicas que aparecem em vários problemas aplicados.

O laboratório consiste em Antecedentes, incluindo notas teóricas relevantes e descrição do uso de comandos Maple apropriados. Existem quatro problemas, cada um dos quais com observações preliminares separadas (discussão de equações, introdução de termos, etc.) e um exercício a fazer.

Crescimento exponencial e decadência. Em muitos processos naturais, a taxa de variação da quantidade física (velocidade, temperatura, quantidade de dinheiro, corrente elétrica, o que for) é proporcional à quantidade atual da quantidade. Se também sabemos a quantidade presente no tempo t = 0, chame-o de y 0, podemos encontrar y como uma função de t resolvendo o seguinte problema de valor inicial:

Equação diferencial: é uma constante.
(1)
Condições iniciais: y = y 0 quando t = 0.

Se y é positivo e crescente, então k é positivo e usamos a Eq. (1) dizer que a taxa de crescimento é proporcional ao que já foi acumulado. Se y for positivo e decrescente, então k será negativo e a Eq. (1) is used to say that the rate of decay is proportional to the amount still left.

It is seen that the constant function y = 0 is a solution of Eq. (1). To find the non-zero solutions, the equation is solved in accordance with the known technique of separating variables and integrating (see [Varberg & Purcell, Calculus , p.372]). The solution of the initial value problem is

The constant y 0 is the value of the function at t =0. The constant k is called the growth rate in exponential growth ( k >0) and the decay rate in exponential decay ( k < 0). In a process that can be modeled by exponential functions, the rate constant k depends only on the process and the conditions under which it is carried out.

Some processes are described by differential equations similar to (1) but containing two or more constants characterizing some other circumstances in which these processes are carried out. Also, the initial conditions might be specified by more complicated expressions. The corresponding initial value problems lead to the solution having slightly different form, e.g., like (2) including a combination of additive and multiplicative constants. You will meet illustrations of that in the problems below.

In some applications, a quantity y demonstrates exponential growth or decay on a huge range. To make this quantity more convenient in handling, special scales involving logarithms are used. This allows to deal with the corresponding powers instead of actual values of y .

Relevant Maple Means. In order to enter the exponential and natural log functions, the exp and ln command should be used. The syntax of these commands is similar to that of sin and cos . For example, below it is shown how to enter the function f ( x ) = e x and then evaluate it at x = 0.7.

In the same manner, the function is used:

To simplify expression involving logarithms, use command simplify it works as follows:

The common logarithm is defined by function log10 = log[10] , but log10 must be defined with the command readlib(log10) before use:

Maple manipulates with common logarithms the same way but may return expressions including natural logarithms.

The solve command is usually sufficient for solving most probelms encountered in your Calculus courses. This command comes in a couple of varieties, as shown below. i. Solve linear equation:

ii. Solve displaying result as an equation:

Plotting the two functions f ( x ) = e x and on the same coordinate system illustrates an idea of the symmetry around the line y = x . All the three graphs can be plotted by the use of the following command:

In order to get a graph of a left-hand/right-hand side of an equation obtained after symbolic transformations and/or computations, first use commands lhs and rhs respectively. The example:

Radioactive decay is a typical example to which the exponential decay model can be applied. In Eq. (2), y represent the mass (in grams) of an isotope, y 0 and k are constants determining from initial conditions: y 0 is the mass present originally, and k is the decay constant.

k is often specified in terms of an empirical parameter, the half-life of the isotope. The half-life of a sample of a radioactive isotope is the time required for half of the atoms of that sample to decay. The half-lives of some common radioactive isotopes are as follows:

 

Figure 1:  
Uranium (U-238) 4,510,000,000 years
Plutonium (Pu-239) 24,360 years
Carbon (C-14) 5,730 years
Einsteinium (Es-254) 270 days
Nobelium (No-257) 23 sec

The relationship between k and is set up from the condition actually saying that the sample of y 0 grams will contain only grams after the time , so that, referring (2):

and therefore:

The worst nuclear accident in history happened in 1986 at the Chernobyl nuclear plant near Kiev in the Ukraine. An explosion destroyed one of the plant's four reactors, releasing large amount of radioactive isotopes into the atmosphere.

Consider 10 grams of the plutonium isotope Pu-239 released in the Chernobyl nuclear accident. 1. How long will it take for the 10 grams to decay to 1 gram? 2. Plot the graph showing the decay of the mass of the plutonium isotope took place up to date (1986-1998). Does it look like a typical curve of exponential decay(Fig.1)? Why? Discuss the graph in the context of the radioactive safety.

You may think of information as of a physical quantity which can be measured. In accordance with the Gallup Institute, information news diffuse through an adult population of fixed size P at a time rate proportional to the number of people who have not heard the news.

If N ( t ) is the number of people who have heard the news after t days, then

The obvious fact that N (0) = 0 serves here as the initial condition, thus the solution of the initial value problem is given by

3 days after the August 31 market crisis on the Wall Street, a poll of WPI freshmen showed that 77% had heard about it.

1. How long will it take for 99% of the WPI freshmen to hear about the Black Monday? 2. Plot the graph illustrating the diffusion of the news about the market crisis through the WPI freshmen as the function of time. From the graph, estimate how many students would be aware of the Black Monday after 5 and 7 days?

An aluminum beam brought from the outside cold into a machine shop where the regular normal temperature is maintained warms up to the temperature of the surrounding air. A hot silver ingot immersed in water cools to the temperature of the surrounding water.

In situations like these, the rate at which an object's temperature is changing at any given time is approximately proportional to the difference between its temperature and the temperature of the surrounding medium. This observation is sometimes called the Newton's Law of Cooling, although, as in the case with the aluminum beam, it applies to warming as well.

An equation representing this law can be written as

where T is the temperature of the object at time is the surrounding temperature, T 0 is the value of T at time zero.

A cup of coffee is taken from a coffeemaker at 98 C and left on the office table. In the air-conditioned office, the temperature is held at 20 C. After 5 minutes, the coffee's temperature is 38 C. 1. How much longer will it take the coffee to loose its taste quality, i.e., to cool down to the temperature of 22 C? 2. Assume the coffee is left on the table of an outside cafe on a hot summer day when the temperature is 35 C and on a cold winter day when the temperature is 5 C. Get the expression for the coffee temperature as a function of time for these cases in form (5).

3. Plot the graphs T versus t for the all three environments using the same coordinate axes.

4. From the graphs, make an estimate when the coffee should be drunk in each situation (in office, in winter cafe, in summer cafe) if the coffee is supposed to be best at temperature 60 C.

Base 10 logarithms, often called common logarithms, appear in many scientific and applied formulas.

For example, earthquake intensity is often reported on the logarithmic Richter scale. Here the formula is

where a is the amplitude of the ground motion in microns at the receiving station, T is the period of the seismic wave in seconds, and B is an empirical factor that allows for the weakening of the seismic wave with increasing distance from the epicenter of the earthquake. For an earthquake 10,000 km from the receiving station, B = 6.8. Thus if the recorded vertical ground motion is a = 10 microns and the period is T = 1 sec, the earthquake's magnitude, following (6), is R = 7.8. An earthquake of this magnitude does great damage near its epicenter.

Another example of the use of common logarithms is the decibel scale using, particularly, for measuring loudness. (The decibel unit is named in honor of Alexander G. Bell (1847-1922), inventor of the telephone.) If I is the intensity of sound in watts per square meter, the decibel level of the sound is

where I 0 is an intensity of 10 -12 watts per square meter corresponding roughly to the faintest sound that can be heard.

When tuning the rock band's equipment before the concert in a big concert hall, an audio engineer finds that in order to maintain appropriate loudness in this hall, he needs to increase the power of the amplifiers in comparison with the level used for the previous concert in the hall of less size. 1. Find what does the doubling the power add to the level of loudness in decibels. 2. By what factor k will the engineer have to multiply the intensity of I of the sound to add 10 to the sound level for the next concert of the band on the stadium?
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