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5.6: Problemas de aplicação com funções exponenciais e logarítmicas


objetivos de aprendizado

Nesta seção, você irá:

  1. revisar estratégias para resolver equações decorrentes de fórmulas exponenciais
  2. resolver problemas de aplicação envolvendo funções exponenciais e funções logarítmicas

ESTRATÉGIAS PARA RESOLVER EQUAÇÕES QUE CONTÊM EXPONENTES

Ao resolver problemas de aplicação que envolvem funções exponenciais e logarítmicas, precisamos prestar muita atenção à posição da variável na equação para determinar a maneira adequada de resolver a equação, investigamos resolvendo equações que contêm expoentes.

Suponha que temos uma equação na forma: valor = coeficiente (base) expoente

Consideramos quatro estratégias para resolver a equação:

ESTRATÉGIA A: Se o coeficiente, a base e o expoente forem todos conhecidos, só precisamos avaliar a expressão do coeficiente (base) expoente para avaliar seu valor.

ESTRATÉGIA B: Se a variável for o coeficiente, avalie a expressão para (base) expoente. Em seguida, torna-se uma equação linear que resolvemos dividindo para isolar a variável.

ESTRATÉGIA C: Se a variável estiver no expoente, use logaritmos para resolver a equação.

ESTRATÉGIA D: Se a variável não está no expoente, mas na base, use raízes para resolver a equação.

Abaixo, examinamos cada estratégia com um ou dois exemplos de seu uso.

ESTRATÉGIA A: Se o coeficiente, a base e o expoente forem todos conhecidos, só precisamos avaliar a expressão do coeficiente (base)expoente para avaliar seu valor.

Exemplo ( PageIndex {1} )

Suponha que o preço de uma ação esteja subindo à taxa de 7% ao ano e que continue a aumentar a essa taxa. Se o valor de uma ação dessa ação for $ 43 agora, encontre o valor de uma ação dessa ação daqui a três anos.

Solução

Seja (y ) = o valor do estoque após (t ) anos: (y = ab ^ t )

O problema nos diz que (a ) = 43 e (r ) = 0,07, então (b = 1+ r = 1+ 0,07 = 1,07 )

Portanto, a função é (y = 43 (1,07) ^ t ).

Nesse caso, sabemos que (t ) = 3 anos, e precisamos avaliar (y ) quando (t ) = 3.

Ao final de 3 anos, o valor dessa ação dessa ação será

[y = 43 (1,07) ^ {3} = $ 52,68 não numérico ]

ESTRATÉGIA B: Se a variável for o coeficiente, avalie a expressão para (base) expoente. Em seguida, torna-se uma equação linear que resolvemos dividindo para isolar a variável.

Exemplo ( PageIndex {2} )

O valor de um carro novo se deprecia (diminui) depois que ele é comprado. Suponha que o valor do carro se deprecie de acordo com um modelo de decaimento exponencial. Suponha que o valor do carro seja $ 12.000 ao final de 5 anos e que seu valor esteja diminuindo a uma taxa de 9% ao ano. Encontre o valor do carro quando era novo.

Solução

Seja (y ) o valor do carro após (t ) anos: (y = ab ^ t ), (r ) = -0,09 e (b = 1 + r = 1+ ( -0,09) = 0,91 )

A função é (y = a (0.91) ^ t )

Nesse caso, sabemos que quando (t ) = 5, então (y ) = 12000; substituir esses valores dá

[12000 = a (0,91) ^ 5 não numérico ]

Precisamos resolver para o valor inicial a, o preço de compra do carro quando novo.

Avalie primeiro (0,91)5 ; então resolva a equação linear resultante para encontrar (a ).

[1200 = a (0,624) nonumber ]

(a = frac {12000} {0,624} = $ 19.230,77 ); O valor do carro era $ 19.230,77 quando era novo.

ESTRATÉGIA C: Se a variável estiver no expoente, use logaritmos para resolver a equação.

Exemplo ( PageIndex {3} )

Um parque nacional tem uma população de 5.000 veados no ano de 2016. Os conservacionistas estão preocupados porque a população de veados está diminuindo a uma taxa de 7% ao ano. Se a população continuar diminuindo nessa taxa, quanto tempo levará até que a população seja de apenas 3.000 veados?

Solução

Seja (y ) o número de cervos no parque nacional (t ) anos após o ano de 2016: (y = ab ^ t )

(r ) = -0,07 e (b = 1 + r = 1 + (- 0,07) = 0,93 ) e a população inicial é (a ) = 5000

A função de decaimento exponencial é (y = 5000 (0,93) ^ t )

Para descobrir quando a população será de 3.000, substitua (y ) = 3.000

[3000 = 5000 (0,93) ^ t nonumber ]

Em seguida, divida ambos os lados por 5000 para isolar a expressão exponencial

[ begin {array} {l}
frac {3000} {5000} = frac {5000} {5000} (0,93) ^ {2}
0,6 = 0,93 ^ {t}
end {array} nonumber ]

Reescreva a equação na forma logarítmica; em seguida, use a mudança da fórmula de base para avaliar.

[t = log _ {0,93} (0,6) nonumber ]

(t = frac { ln (0,6)} { ln (0,93)} = 7,039 ) anos; Após 7.039 anos, existem 3.000 veados.

Nota: Em Exemplo ( PageIndex {3} ), precisamos declarar a resposta com várias casas decimais de precisão para permanecermos precisos. Avaliar a função original usando um valor arredondado de (t ) = 7 anos fornece um valor próximo a 3.000, mas não exatamente 3.000.

[y = 5000 (0,93) ^ {7} = 3008,5 texto {cervo} não número ]

No entanto, usar (t ) = 7,039 anos produz um valor de 3000 para a população de veados

[y = 5000 (0,93) ^ {7,039} = 3000,0016 aproximadamente 3000 text {cervo} nonumber ]

Exemplo ( PageIndex {4} )

Um vídeo postado no YouTube teve inicialmente 80 visualizações assim que foi postado. O número total de visualizações até o momento tem aumentado exponencialmente de acordo com a função de crescimento exponencial (y = 80e ^ {0,2t} ), onde (t ) representa o tempo medido em dias desde que o vídeo foi postado. Quantos dias leva para que 2.500 pessoas vejam este vídeo?

Solução

Seja (y ) o número total de visualizações (t ) dias após a publicação inicial do vídeo.
Foi-nos dado que a função de crescimento exponencial é (y = 80e ^ {0.2t} ) e queremos encontrar o valor de (t ) para o qual (y ) = 2500. Substitua (y ) = 2500 na equação e usar log natural para resolver para (t ).

[2500 = 80e ^ {0,12t} nonumber ]

Divida os dois lados pelo coeficiente, 80, para isolar a expressão exponencial.

[ begin {array} {c}
frac {2500} {80} = frac {80} {80} e ^ {0,12 t}
31,25 = e ^ {0,12 t}
end {array} nonumber ]

Reescreva a equação na forma logarítmica

[0,12t = ln (31,25) nonumber ]

Divida ambos os lados por 0,04 para isolar (t ); em seguida, use sua calculadora e sua função de log natural para avaliar a expressão e resolver para (t ).

[ begin {array} {l}
mathrm {t} = frac { ln (31,25)} {0,12}
mathrm {t} = frac {3,442} {0,12}
mathrm {t} aproximadamente 28,7 text {dias}
end {array} nonumber ]

Este vídeo terá um total de 2.500 visualizações aproximadamente 28,7 dias depois de ser postado.

ESTRATÉGIA D: Se a variável não está no expoente, mas na base, usamos raízes para resolver a equação.
É importante lembrar que só usamos logaritmos quando a variável está no expoente.

Exemplo ( PageIndex {5} )

Um estatístico cria um site para analisar estatísticas esportivas. Seu plano de negócios afirma que sua meta é acumular 50.000 seguidores ao final de 2 anos (daqui a 24 meses). Ele espera que, se atingir essa meta, seu site seja comprado por um meio de notícias esportivas. A base de usuários inicial de pessoas inscritas como resultado da publicidade de pré-lançamento é de 400 pessoas. Encontre a taxa de crescimento mensal necessária se a base de usuários for acumular para 50.000 usuários ao final de 24 meses.

Solução

Seja (y ) a base total de usuários (t ) meses após o lançamento do site.

A função de crescimento para este site é (y = 400 (1 + r) ^ t );

Não sabemos a taxa de crescimento (r ). Sabemos que quando (t ) = 24 meses, então (y ) = 50000.

Substitua os valores de (y ) e (t ); então precisamos resolver para (r ).

[5000 = 400 (1 + r) ^ {24} não numérico ]

Divida ambos os lados por 400 para isolar (1 + r)24 de um lado da equação

[ begin {array} {l}
frac {50000} {400} = frac {400} {400} (1 + r) ^ {24}
125 = (1 + r) ^ {24}
end {array} nonumber ]

Como a variável nesta equação está na base, usamos raízes:

[ begin {array} {l}
sqrt [24] {125} = 1 + r
125 ^ {1/24} = 1 + r
1,2228 aprox. 1 + r
0,2228 aprox r
end {array} nonumber ]

A base de usuários do site precisa aumentar a uma taxa de 22,28% ao mês, a fim de acumular 50.000 usuários ao final de 24 meses.

Exemplo ( PageIndex {6} )

Um folheto informativo sobre a dependência de cafeína do Johns Hopkins Medical Center afirma que a meia-vida da cafeína no corpo é de 4 a 6 horas. Supondo que a meia-vida típica da cafeína no corpo seja de 5 horas para uma pessoa comum e que uma xícara de café comum tenha 120 mg de cafeína.

  1. Escreva a função de decaimento.
  2. Encontre a taxa horária em que a cafeína deixa o corpo.
  3. Quanto tempo leva até que apenas 20 mg de cafeína ainda estejam no corpo?
    www.hopkinsmedicine.org/psyc...fact_sheet.pdf

Solução

uma. Seja (y ) a quantidade total de cafeína no corpo (t ) horas após beber o café.

A função de decaimento exponencial (y = ab ^ t ) modela esta situação.

A quantidade inicial de cafeína é (a ) = 120.

Não sabemos (b ) ou (r ), mas sabemos que a meia-vida da cafeína no corpo é de 5 horas. Isso nos diz que quando (t ) = 5, então resta metade da quantidade inicial de cafeína no corpo.

[ begin {array} {l}
y = 120 b ^ {t}
frac {1} {2} (120) = 120 b ^ {5}
60 = 120 b ^ {5}
end {array} nonumber ]

Divida os dois lados por 120 para isolar a expressão (b ^ 5 ) que contém a variável.

[ begin {array} {l}
frac {60} {120} = frac {120} {120} mathrm {b} ^ {5}
0,5 = mathrm {b} ^ {5}
end {array} nonumber ]

A variável está na base e o expoente é um número. Use raízes para resolver para (b ):

[ begin {array} {l}
sqrt [5] {0,5} = mathrm {b}
0,5 ^ {1/5} = mathrm {b}
0,87 = mathrm {b}
end {array} nonumber ]

Agora podemos escrever a função de decaimento para a quantidade de cafeína (em mg.) Restante no corpo (t ) horas depois de beber uma xícara de café com 120 mg de cafeína

[y = f (t) = 120 (0,87) ^ {t} nonumber ]

b. Use (b = 1 + r ) para encontrar a taxa de decaimento (r ). Como (b = 0,87 <1 ) e a quantidade de cafeína no corpo está diminuindo com o tempo, o valor de (r ) será negativo.

[ begin {array} {l}
0,87 = 1 + r
r = -0,13
end {array} nonumber ]

A taxa de decaimento é de 13%; a quantidade de cafeína no corpo diminui 13% por hora.

c. Para encontrar o tempo em que apenas 20 mg de cafeína permanecem no corpo, substitua (y ) = 20 e resolva o valor correspondente de (t ).

[ begin {array} {l}
y = 120 (0,87) ^ {t}
20 = 120 (0,87) ^ {t}
end {array} nonumber ]

Divida os dois lados por 120 para isolar a expressão exponencial.

[ begin {array} {l}
frac {20} {120} = frac {120} {120} left (0,87 ^ {t} right)
0,1667 = 0,87 ^ {t}
end {array} nonumber ]

Reescreva a expressão na forma logarítmica e use a mudança da fórmula de base

[ begin {array} {l}
t = log _ {0,87} (0,1667)
t = frac { ln (0,1667)} { ln (0,87)} aproximadamente 12,9 text {horas}
end {array} nonumber ]

Após 12,9 horas, 20 mg de cafeína permanecem no corpo.

EXPRESSANDO FUNÇÕES EXPONENCIAIS NAS FORMAS y = abt e y = aekt

Agora que desenvolvemos nossas habilidades de resolução de equações, revisitamos a questão de expressar funções exponenciais de forma equivalente nas formas (y = ab ^ t ) e (y = ae ^ {kt} )

Já determinamos que, se dada a forma (y = ae ^ {kt} ), é simples encontrar (b ).

Exemplo ( PageIndex {7} )

Para os exemplos a seguir, suponha que (t ) seja medido em anos.

  1. Expresse (y = 3500e ^ {0,25t} ) na forma (y = ab ^ t ) e encontre a taxa de crescimento percentual anual.
  2. Expresse (y = 28000e ^ {- 0,32t} ) na forma (y = ab ^ t ) e encontre a taxa de declínio percentual anual.

Solução

uma. Expresso (y = 3500e ^ {0,25t} ) na forma (y = ab ^ t )

[ begin {array} {l}
y = a e ^ {k t} = a b ^ {t}
a left (e ^ {k} right) ^ {t} = a b ^ {t}
end {array} nonumber ]

Assim, (e ^ k = b )

Neste exemplo (b = e ^ {0,25} approx 1.284 )

Reescrevemos a função de crescimento como y = 3500 (1.284t)

Para encontrar (r ), lembre-se de que (b = 1 + r )
[ begin {alinhado}
& 1.284 = 1 + r
& 0,284 = mathrm {r}
end {alinhado} nonumber ]

A taxa de crescimento contínuo é (k ) = 0,25 e a taxa de crescimento percentual anual é de 28,4% ao ano.

b. Expresso (y = 28000e ^ {- 0,32t} ) na forma (y = ab ^ t )

[ begin {array} {l}
y = a e ^ {k t} = a b ^ {t}
a left (e ^ {k} right) ^ {t} = a b ^ {t}
end {array} nonumber ]

Assim, (e ^ k = b )

Neste exemplo ( mathrm {b} = e ^ {- 0,32} approx 0,7261 )

Reescrevemos a função de crescimento como y = 28000 (0,7261t)

Para encontrar (r ), lembre-se de que (b = 1 + r )
[ begin {array} {l}
0,7261 = 1 + r
0,2739 = r
end {array} nonumber ]

A taxa de decaimento contínua é (k ) = -0,32 e a taxa de decaimento percentual anual é de 27,39% ao ano.

Na frase, omitimos o sinal negativo ao declarar a taxa de declínio percentual anual porque usamos a palavra “declínio” para indicar que r é negativo.

Exemplo ( PageIndex {8} )

  1. Expresso (y = 4200 (1.078) ^ t ) na forma (y = ae ^ {kt} )
  2. Expresso (y = 150 (0,73) ^ t ) na forma (y = ae ^ {kt} )

Solução

uma. Expresso (y = 4200 (1.078) ^ t ) na forma (y = ae ^ {kt} )

[ begin {array} {l}
mathrm {y} = mathrm {a} e ^ { mathrm {k} t} = mathrm {ab} ^ { mathrm {t}}
mathrm {a} left (e ^ { mathrm {k}} right) ^ { mathrm {t}} = mathrm {ab} ^ { mathrm {t}}
e ^ { mathrm {k}} = mathrm {b}
e ^ {k} = 1,078
end {array} nonumber ]

Portanto ( mathrm {k} = ln 1,078 aproximadamente 0,0751 )

Reescrevemos a função de crescimento como (y = 3500e ^ {0,0751t} )

b. Expresso (y = 150 (0,73) ^ t ) na forma (y = ae ^ {kt} )

[ begin {array} {l}
y = a e ^ {k t} = a b ^ {t}
a left (e ^ {k} right) ^ {t} = a b ^ {t}
e ^ {k} = b
e ^ {k} = 0,73
end {array} nonumber ]

Portanto ( mathrm {k} = ln 0,73 aprox-0,3147 )

Reescrevemos a função de crescimento como (y = 150e ^ {- 0,3147t} )

UMA APLICAÇÃO DE UM FUNDO LOGARÍMICO

Suponha que investimos $ 10.000 hoje e queremos saber quanto tempo levará para acumular até uma determinada quantia, como $ 15.000. O tempo (t ) necessário para atingir um valor futuro (y ) é uma função logarítmica do valor futuro: (t = g (y) )

Exemplo ( PageIndex {9} )

Suponha que Vinh invista $ 10.000 em um investimento que rende 5% ao ano. Ele quer saber quanto tempo levaria para seu investimento acumular até $ 12.000 e quanto tempo levaria para acumular até $ 15.000.

Solução

Começamos escrevendo a função de crescimento exponencial que modela o valor deste investimento como uma função do tempo desde que os $ 10.000 são inicialmente investidos

[y = 10000 (1,05) ^ {t} nonumber ]

Dividimos ambos os lados por 10000 para isolar a expressão exponencial de um lado.

[ frac {y} {10000} = 1,05 ^ {t} nonumber ]

Em seguida, reescrevemos isso na forma logarítmica para expressar o tempo como uma função do valor futuro acumulado. Usaremos notação de função e chamaremos esta função (g (y) ).

[ mathrm {t} = mathrm {g} ( mathrm {y}) = log _ {1,05} left ( frac { mathrm {y}} {10000} right) nonumber ]

Use a mudança da fórmula de base para expressar (t ) como uma função de (y ) usando o logaritmo natural:

[ mathrm {t} = mathrm {g} ( mathrm {y}) = frac { ln left ( frac { mathrm {y}} {10000} right)} { ln (1.05 )} enhum número]

Agora podemos usar esta função para responder às perguntas de Vinh.

Para encontrar o número de anos até que o valor deste investimento seja de $ 12.000, substituímos (y ) = $ 12.000 na função (g ) e avaliamos (t ):

[ mathrm {t} = mathrm {g} (12000) = frac { ln left ( frac {12000} {10000} right)} { ln (1.05)} = frac { ln (1,2)} { ln (1,05)} = 3,74 texto {anos} não número ]

Para encontrar o número de anos até que o valor deste investimento seja $ 15.000, substituímos (y ) = $ 15.000 na função (g ) e avaliamos (t ):

[ mathrm {t} = mathrm {g} (15000) = frac { ln left ( frac {15000} {10000} right)} { ln (1.05)} = frac { ln (1,5)} { ln (1,05)} = 8,31 texto {anos} não número ]

Antes de terminar esta seção, investigamos o gráfico da função ( mathrm {t} = mathrm {g} ( mathrm {y}) = frac { ln left ( frac { mathrm {y}} {10000} right)} { ln (1.05)} ). Vemos que a função tem a forma geral de funções logarítmicas que examinamos na seção 5.5. A partir dos pontos traçados no gráfico, vemos que a função (g ) é uma função crescente, mas aumenta muito lentamente.

Se considerarmos apenas a função ( mathrm {t} = mathrm {g} ( mathrm {y}) = frac { ln left ( frac { mathrm {y}} {10000} right) } { ln (1.05)} ), então o domínio da função seria (y> 0 ), todos os números reais positivos e o intervalo para (t ) seria todos os números reais.

No contexto desse problema de investimento, o investimento inicial no momento (t ) = 0 é (y ) = $ 10.000. Valores negativos para o tempo não fazem sentido. Valores do investimento inferiores ao valor inicial de $ 10.000 também não fazem sentido para um investimento que está aumentando de valor.

Portanto, a função e o gráfico no que se refere a este problema relativo aos investimentos tem
domínio (y ≥ 10.000 ) e intervalo (t ≥ 0 ).

O gráfico a seguir se restringe ao domínio e intervalo que fazem sentido prático para o investimento neste problema.


Aplicações de funções exponenciais e de log



Uma série de lições intermediárias de álgebra ou lições de álgebra II online gratuitas.
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Nesta lição, vamos aprender

  • como calcular juros compostos (finito)
  • como calcular juros compostos (contínuo)
  • como resolver problemas de crescimento exponencial ou decadência de palavras

Juros compostos (número finito de cálculos)

Juros compostos (continuamente)

Os problemas que envolvem juros compostos contínuos usam uma equação diferente dos problemas que têm juros compostos finitos, mas a equação de juros compostos contínuos também é uma equação exponencial. Usamos muitos dos mesmos métodos para calcular juros compostos contínuos da mesma forma que usamos juros compostos finitos. Para calcular os juros compostos, podemos usar logaritmos e métodos para resolver equações exponenciais.

Crescimento exponencial e decadência

A decadência exponencial se refere a uma quantidade de substância diminuindo exponencialmente. Decaimento exponencial é um tipo de função exponencial onde ao invés de ter uma variável na base da função, ela está no expoente. A decadência exponencial e o crescimento exponencial são usados ​​na datação por carbono e em outras aplicações da vida real.

Experimente a calculadora Mathway gratuita e o solucionador de problemas abaixo para praticar vários tópicos de matemática. Experimente os exemplos fornecidos ou digite seu próprio problema e verifique sua resposta com as explicações passo a passo.

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5.6: Problemas de aplicação com funções exponenciais e logarítmicas

O objetivo deste laboratório é usar o Maple para estudar aplicações de funções exponenciais e logarítmicas. Eles são usados ​​para modelar muitos tipos de crescimento e decadência, por exemplo, crescimento bacteriano e decaimento radiativo. Este laboratório também descreve aplicações de funções exponenciais e logarítmicas para aquecimento e resfriamento e para dosagem de medicamentos

Separando as variáveis ​​e integrando (ver seção 4.4 do texto), temos

No caso de crescimento exponencial, podemos deixar de lado os sinais de valor absoluto, pois sempre será uma quantidade positiva. Resolvendo para, obtemos

que podemos escrever na forma, onde é uma constante positiva arbitrária.

onde é uma constante. Esta é a mesma equação do crescimento exponencial, exceto que substitui. A solução é

onde é uma constante positiva. Fisicamente, é a quantidade de material presente em.

A radioatividade é freqüentemente expressa em termos de meia-vida de um elemento. Por exemplo, a meia-vida do carbono-14 é 5730 anos. Essa afirmação significa que para qualquer amostra de, após 5730 anos, metade dela terá sofrido decomposição. Então, se a meia-vida é de um elemento Z é anos, deve ser isso, para que e.

onde está a constante de proporcionalidade e é a temperatura do ambiente. Usando uma técnica chamada separação de variáveis, não é difícil derivar a solução

onde está a temperatura do objeto.

Um problema que os médicos enfrentam é o fato de que, para a maioria das drogas, há uma concentração, abaixo da qual a droga é ineficaz e uma concentração, acima da qual a droga é perigosa. Assim, o médico gostaria que a concentração satisfizesse

Isso significa que a dose inicial não deve produzir uma concentração maior do que e que outra dose deverá ser administrada antes que a concentração seja atingida.

Às vezes, você precisa usar dados experimentais para determinar o valor das constantes nos modelos. Por exemplo, suponha que para um determinado medicamento, os seguintes dados foram obtidos. Logo após a injeção do medicamento, a concentração é de 1,5 mg / ml (miligramas por mililitro). Após quatro horas, a concentração caiu para 0,25 mg / ml. A partir desses dados, podemos determinar os valores de e como segue. O valor de é a concentração inicial, então temos

Para encontrar o valor de, precisamos resolver a equação

que obtemos ao conectar e usar os dados. Os comandos do Maple para resolver, definir e plotar a função são mostrados abaixo.

  1. Em 1935, Charles F. Richter, da Cal Tech, desenvolveu uma escala para medir a magnitude dos terremotos. A fórmula da escala de Richter é dada por

onde é a magnitude do terremoto, é a amplitude da maior onda sísmica medida em um sismógrafo padrão a 100 quilômetros do epicentro e é a amplitude de um terremoto de referência de amplitude de 1 mícron em um sismógrafo padrão na mesma distância do epicentro . A Quando a amplitude de um terremoto é triplicada, em quanto a magnitude aumenta?

B Em 1989, a área da Baía de São Francisco sofreu graves danos por um terremoto de magnitude 7,1. No entanto, o dano não foi tão extenso quanto o causado pelo grande terremoto de 1906, que foi estimado em 8,3. Qual é a proporção da amplitude do terremoto de 1906 para o terremoto de 1989?

C A maior magnitude de terremoto já medida foi de 8,9 para um terremoto no Japão em 1933. Determine a razão entre a amplitude desse terremoto e a do terremoto de 1906 em San Francisco.


Propriedades dos logaritmos

Use propriedades de logaritmos para condensar cada expressão logarítmica. Escreva a expressão como um único logaritmo cujo coeficiente é $ 1. $ Onde possível, avalie as expressões logarítmicas.
$ log x + 3 log y $

Faz sentido? Determine se cada afirmação & quot faz sentido & quot ou & quot não faz sentido & quot e explique seu raciocínio.
Eu expandi $ log _ <4> sqrt < frac> $ escrevendo o radical usando um expoente racional e aplicando a regra de quociente, obtendo $ frac <1> <2> log _ <4> x- log _ <4> y. $

Rejeite cada afirmação nos Exercícios $ 106-110 $ por
uma. permitindo que y seja igual a uma constante positiva de sua escolha, e
b. usando um recurso gráfico para representar graficamente a função em cada lado do sinal de igual. As duas funções devem ter gráficos diferentes, mostrando que a equação não é verdadeira em geral
$ ln (x y) = ( ln x) ( ln y) $


Funções exponenciais e logarítmicas e exemplos

1. Dê um exemplo de uma função exponencial. Converta essa função exponencial em uma função logarítmica e, a seguir, plote o gráfico de ambas as funções.

2. Dados os seguintes valores 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, x e y, formam:
Uma equação linear em uma variável
Uma equação linear em duas variáveis
Uma equação quadrática
Um polinômio de três termos
Uma função exponencial
Uma função logarítmica
Compare todas as funções escritas e poste uma nota sobre suas diferenças.

3. Trace um gráfico a partir das equações de cima.

4. Como você acha que o conhecimento da representação gráfica dessas funções o ajudará em sua carreira ou vida?

© BrainMass Inc. brainmass.com 4 de março de 2021, 18:59 ad1c9bdddf
https://brainmass.com/math/basic-algebra/exponential-logarithmic-functions-examples-74815

Resumo da Solução

Esta solução mostra a representação gráfica de vários tipos de funções e explica aplicações da vida real.


5.6: Problemas de aplicação com funções exponenciais e logarítmicas

Nas seções anteriores, aprendemos as propriedades e regras para funções exponenciais e logarítmicas. Vimos que qualquer função exponencial pode ser escrita como uma função logarítmica e vice-versa. Usamos expoentes para resolver equações logarítmicas e logaritmos para resolver equações exponenciais. Agora estamos prontos para combinar nossas habilidades para resolver equações que modelam situações do mundo real, seja o desconhecido em um expoente ou no argumento de um logaritmo.

Uma dessas aplicações é na ciência, no cálculo do tempo que leva para a metade do material instável em uma amostra de uma substância radioativa se decompor, chamada de meia-vida. A tabela abaixo lista a meia-vida de várias das substâncias radioativas mais comuns.

Substância Usar Meia-vida
gálio-67 Medicina nuclear 80 horas
cobalto-60 manufatura 5,3 anos
tecnécio-99m Medicina nuclear 6 horas
amerício-241 construção 432 anos
carbono-14 datação arqueológica 5.715 anos
urânio-235 poder atômico 703.800.000 anos

Podemos ver quão amplamente variam as meias-vidas dessas substâncias. Conhecer a meia-vida de uma substância nos permite calcular a quantidade restante após um determinado tempo. Podemos usar a fórmula para o decaimento radioativo:

Exemplo 13: Usando a Fórmula para Decaimento Radioativo para Encontrar a Quantidade de uma Substância

Quanto tempo levará para que dez por cento de uma amostra de 1000 gramas de urânio-235 se decomponha?


Problemas de álgebra universitária com respostas amostra 3: funções exponenciais e logarítmicas

Problemas de álgebra universitária em função logarítmica e exponencial com respostas são apresentados junto com as soluções no final da página.

  1. Seja a função logarítmica f definida por f (x) = 2ln (2x - 1).
    a) Encontre o domínio de f.
    b) Encontre a assíntota vertical do gráfico de f.
  2. Deixe a função exponencial h ser definida por h (x) = 2 + e x
    a) Encontre o intervalo de h.
    b) Encontre a assíntota horizontal do gráfico de h.
  3. A população da cidade UMA muda de acordo com a função exponencial
    A (t) = 2,9 (2) 0,11 t (milhões)
    e a população da cidade B muda de acordo com a função exponencial
    B (t) = 1,7 (2) 0,17 t (milhões)
    onde t = 0 corresponde a 2009.
    a) Qual cidade teve maior população em 2009?
    b) Quando os tamanhos das populações das duas cidades serão iguais?
  4. Encontre o inverso da função logarítmica f definida por f (x) = 2 Log5 (2x - 8) + 3
  5. Encontre o inverso da função exponencial h definida por h (x) = - 2 * 3 -3x + 9 - 4
  6. Resolva a equação logarítmica definida por
    ln (2x - 2) + ln (4x - 3) = 2 ln (2x)
  7. A, B e k na função exponencial f dada por
    f (x) = A e k x + B
    são constantes. Encontre A, B ek se f (0) = 1 e f (1) = 2 e o gráfico de f tem uma assíntota horizontal y = -4.

Respostas às perguntas acima

    1. resolva 2x - 1> 0 para encontrar o domínio: x> 1/2
    2. resolva 2x - 1 v = 0 para encontrar a assíntota vertical: x = 1/2
    1. intervalo de h: (2, + infinito)
    2. assíntota horizontal: y = 2
    1. A (0) = 2,9 milhões, B (0) = 1,7 milhões, a cidade A tinha uma população maior.
    2. resolva 2,9 (2) 0,11 t = 1,7 (2) 0,17 t, para encontrar t.
      pegue ln de ambos os lados da equação
      ln [2,9 (2) 0,11 t] = ln [1,7 (2) 0,17 t]
      ln (2,9) + 0,11t ln (2) = ln (1,7) + 0,17t ln (2)
      resolver para t:
      t = (ln1,7 - ln2,9) / (0,11ln2 - 0,17ln2) = 13 (aproximado à unidade mais próxima)
      O tamanho das duas populações será o mesmo em 2009 + 13 = 2022.
      resolva a equação: x = 2 Log5 (2y - 8) + 3 para y para obter o inverso da função.
      f -1 (x) = (1/2) 5 (x-3) / 2 + 4
      resolva a equação: x = - 2 * 3 -3y + 9 - 4 para y para obter o inverso da função.
      h -1 (x) = (-1/3) Log3 [(x + 4) / - 2] + 3
      Reescreva a equação fornecida da seguinte forma
      ln (2x - 2) (4x - 3) = ln (2x) 2
      O acima dá a equação algébrica
      (2x - 2) (4x - 3) = (2x) 2
      Resolva a equação quadrática acima para x
      x = 3 e x = 1/2
      Verifique os dois valores de xe apenas x = 3 é uma solução para a equação fornecida.
      A assíntota horizontal y = - 4 dá B = - 4.
      f (0) = A + B = 1
      o que dá A = 5 já que B = - 4
      f (1) = 5e k - 4 = 2
      resolva para k para obter: k = ln (6/5)

    Mais referências e links


    5.6: Problemas de aplicação com funções exponenciais e logarítmicas

    O objetivo deste laboratório é usar o Maple para estudar aplicações de funções exponenciais e logarítmicas. Eles são usados ​​para modelar muitos tipos de crescimento e decadência, por exemplo, crescimento bacteriano e decaimento radiativo. Este laboratório também descreve aplicações de funções exponenciais e logarítmicas para aquecimento e resfriamento e para dosagem de medicamentos

    Separando as variáveis ​​e integrando (ver seção 4.4 do texto), temos

    No caso de crescimento exponencial, podemos deixar de lado os sinais de valor absoluto, pois sempre será uma quantidade positiva. Resolvendo para, obtemos

    que podemos escrever na forma, onde é uma constante positiva arbitrária.

    onde é uma constante. Esta é a mesma equação do crescimento exponencial, exceto que substitui. A solução é

    onde é uma constante positiva. Fisicamente, é a quantidade de material presente em.

    A radioatividade é freqüentemente expressa em termos de meia-vida de um elemento. Por exemplo, a meia-vida do carbono-14 é 5730 anos. Essa afirmação significa que para qualquer amostra de, após 5730 anos, metade dela terá sofrido decomposição. Então, se a meia-vida é de um elemento Z é anos, deve ser isso, para que e.

    onde está a constante de proporcionalidade e é a temperatura do ambiente. Usando uma técnica chamada separação de variáveis, não é difícil derivar a solução

    onde está a temperatura do objeto.

    Um problema que os médicos enfrentam é o fato de que, para a maioria das drogas, há uma concentração, abaixo da qual a droga é ineficaz e uma concentração, acima da qual a droga é perigosa. Assim, o médico gostaria que a concentração satisfizesse

    Isso significa que a dose inicial não deve produzir uma concentração maior do que e que outra dose deverá ser administrada antes que a concentração seja atingida.

    Às vezes, você precisa usar dados experimentais para determinar o valor das constantes nos modelos. Por exemplo, suponha que para um determinado medicamento, os seguintes dados foram obtidos. Logo após a injeção do medicamento, a concentração é de 1,5 mg / ml (miligramas por mililitro). Após quatro horas, a concentração caiu para 0,25 mg / ml. A partir desses dados, podemos determinar os valores de e como segue. O valor de é a concentração inicial, então temos

    Para encontrar o valor de, precisamos resolver a equação

    que obtemos ao conectar e usar os dados. Os comandos do Maple para resolver, definir e plotar a função são mostrados abaixo.


    SOLUÇÃO: Preciso de ajuda para resolver este problema, obrigado por ajudar! Encontre os valores das constantes C e b de forma que a curva y = Cb ^ (x) contenha os pontos (4,3) e (5,6). Express yo

    volte para a primeira equação original (qualquer uma das duas ficará bem) e substitua b por 2 para obter:
    a primeira equação original de 3 = cb ^ 4 torna-se:
    3 = c * 2 ^ 4 que se torna:
    3 = c * 16
    divida ambos os lados desta equação por 16 para obter:
    c = 3/16

    sua solução deve ser que b = 2 e c = 3/16

    substitua c por 3/16 eb por 2 e x por 4 em sua primeira equação original para obter:
    y = cb ^ x torna-se:
    y = 3/16 * 2 ^ 4 que se torna:
    y = 3/16 * 16 que se torna:
    y = 3
    a solução é confirmada como boa na primeira equação porque y = cb ^ x torna-se y = 3 quando x = 4.

    substitua c por 3/16 eb por 2 e x por 5 em sua segunda equação original para obter:
    y = cb ^ x torna-se:
    y = 3/16 * 2 ^ 5 que se torna:
    y = 3/16 * 32 que se torna:
    y = 6
    a solução é confirmada como boa na segunda equação porque y = cb ^ x torna-se y = 6 quando x = 5.


    Resolvendo Equações Exponenciais e Logarítmicas

    Avalie e simplifique expressões algébricas, por exemplo: produtos / quocientes de polinômios, expressões logarítmicas e frações complexas e resolva e represente graficamente equações e desigualdades lineares, quadráticas, exponenciais e logarítmicas e resolva e represente graficamente sistemas de equações e inequações.

    Aplicações de funções

    Equações não lineares

    Determine, use e / ou interprete os valores mínimo e máximo em um intervalo especificado de um gráfico de uma função polinomial, exponencial ou logarítmica.

    • Famílias de funções exibem propriedades e comportamentos que podem ser reconhecidos nas representações. As funções podem ser transformadas, combinadas e compostas para criar novas funções em situações matemáticas e do mundo real.
    • Funções matemáticas são relacionamentos que atribuem cada membro de um conjunto (domínio) a um membro único de outro conjunto (intervalo), e o relacionamento é reconhecível nas representações.
    • Números, medidas, expressões, equações e desigualdades podem representar situações e estruturas matemáticas em muitas formas equivalentes.
    • Os padrões exibem relacionamentos que podem ser estendidos, descritos e generalizados.
    • Relações e funções são relações matemáticas que podem ser representadas e analisadas por meio de palavras, tabelas, gráficos e equações.
    • Existem algumas relações matemáticas que são sempre verdadeiras e essas relações são usadas como as regras da aritmética e da álgebra e são úteis para escrever formas equivalentes de expressões e resolver equações e desigualdades.
    • Algebraic properties, processes and representations
    • Exponential functions and equations
    • Polynomial functions and equations
    • Quadratic functions and equations
    • Represent a polynomial function in multiple ways, including tab les , graphs, equations, and contextual situations, and make connections among representations relate the solution of the associated polynomial equation to each representation.
    • Represent a quadratic function in multiple ways, including tab les , graphs, equations, and contextual situations, and make connections among representations relate the solution of the associated quadratic equation to each representation.
    • Represent exponential functions in multiple ways, including tab les , graphs, equations, and contextual situations, and make connections among representations relate the growth/decay rate of the associated exponential equation to each representation.

    Objectives

    In this lesson, students will write and solve exponential and logarithmic equations. Students will: [IS.2 - Struggling Learners]

    1. convert to and from exponential and logarithmic form.
    2. use the change of base formulas with the common logarithm and natural logarithm.
    3. solve real-world application problems using exponential and logarithmic equations.
    4. identify the domain and range of exponential and logarithmic functions.
    5. identify characteristics of the graphs of exponential and logarithmic functions.
    6. translate from one representation of an exponential or logarithmic function to another representation.
    7. identify what happens to the graph of an exponential or logarithmic function when the parameters change.

    Essential Questions

    1. How can we determine if a real-world situation should be represented by a quadratic, polynomial, or exponential function?
    2. How do you explain the benefits of multiple methods of representing exponential functions (tables, graphs, equations, and contextual situations)?

    Vocabulary

    1. Asymptote: A line such that a point, tracing a given curve and simultaneously receding to an infinite distance from the origin, approaches indefinitely near to the line a line such that the perpendicular distance from a moving point on a curve to the line approaches zero as the point moves off an infinite distance from the origin. [IS.1 - Struggling Learners]
    2. Exponential Equation: An equation in the form of y=ax an equation in which the unknown occurs in an exponent, for example, 9 (x + 1) = 243.
    3. Logarithmic Equation: An equation in the form of y=logax , where x=ay the inverse of an exponential equation.
    4. Domain: The set of all x-values or input values for an equation.
    5. Range: The set of all y-values or output values for an equation.
    6. Common Logarithm: Logarithm with base 10 if a = 10 x , then log a = x.
    7. Natural Logarithm: Logarithm with base e also ln, Napierian logarithm, Euler logarithm. The base, e, is approximately 2.71828.

    Duration

    120&ndash180 minutes/2&ndash3 class periods [IS.3 - All Students]

    Prerequisite Skills

    Materials

    1. Solving Exponential and Logarithmic Applications Worksheet (M-A2-4-2_Solving Exponential and Logarithmic Applications Worksheet.docx)
    2. Lesson 2 Exit Ticket (M-A2-4-2_ Lesson 2 Exit Ticket.docx)
    3. Graphing Exponential and Logarithmic Function Notes (M-A2-4-2_Graphing Exponential and Logarithmic Function Notes and KEY.docx)
    4. Graphing Practice Worksheet (M-A2-4-2_Graphing Practice Worksheet.docx)
    5. graph paper

    Related Unit and Lesson Plans

    Related Materials & Resources

    The possible inclusion of commercial websites below is not an implied endorsement of their products, which are not free, and are not required for this lesson plan.

    1. Solving Exponential and Logarithmic Applications Worksheet (M-A2-4-2_Solving Exponential and Logarithmic Applications Worksheet.docx)
    2. Lesson 2 Exit Ticket (M-A2-4-2_ Lesson 2 Exit Ticket.docx)
    3. Graphing Exponential and Logarithmic Function Notes (M-A2-4-2_Graphing Exponential and Logarithmic Function Notes and KEY.docx)
    4. Graphing Practice Worksheet (M-A2-4-2_Graphing Practice Worksheet.docx)
    5. graph paper

    Formative Assessment

    1. The Think-Pair-Share activity (Part 2) uses the Graphing Practice Worksheet. Students can evaluate their own and their partners&rsquo understanding of ways to accurately and appropriately represent logarithmic functions graphically. Remind students to apply the principles they already know about functions to make sure their graphs have one and only one y-value for each x. [IS.10 - Struggling Learners]
    2. The Lesson 2 Exit Ticket includes a growth/decay model of a real-world application of logarithms and requires student understanding of how to use logarithms as tools to represent a practical problem. Ask students to consider the reasonableness of their answers before completing the work.

    Suggested Instructional Supports

    Students will be learning about solving exponential and logarithmic equations. Solving equations is such an important aspect in making predictions about different situations. Students will be evaluated through observation, exit tickets, and an assessment. Students will also be learning about graphing exponential and logarithmic functions. Graphs are important visuals of functions. Students will be evaluated through observation, exit tickets, and an assessment.

    Students will be interested in today&rsquos lesson because many students at this age like crime shows and mysteries. Exponential and logarithmic functions occur in many realistic situations.

    Students will work in pairs today as well as on their own. They will write notes, which they will use to complete the lesson&rsquos tasks.

    Students will be able to reflect and revisit the problems they do during the class review. Students will then take that information and revise their thought-processes on the next task. You will be walking around while students are working and give them feedback throughout this time.

    Students will be able to evaluate themselves when they check their work with a partner. Their peers might be able to give them some more insight on their understanding.

    This lesson is tailored to collaboration, in which students are grouped at similar ability levels or different ability levels. There is also an extension problem for students who need more practice or for students who work quicker than their peers.

    This lesson has several parts and each part has either individual work or partner work. We will go over each problem and discuss the problems as a class. The discussions will transition the class from activity to activity.

    Consider the following steps with regard to vocabulary for struggling learners:

    1. Use of a graphic organizer (e.g., Frayer Model, Verbal Visual Word Association, Concept Circles).
    2. Introduce new vocabulary using student friendly definitions and examples and non-examples.
    3. Review words with students.
    4. Provide opportunities for students to apply the new/reviewed terms.

    Instructional Procedures

    &ldquoToday we are going to learn how exponential and logarithmic equations are used to solve real-world applications. Who can tell me what the most basic exponential equation is and what each part of the equation means?&rdquo [IS.4 - Struggling Learners][y = ab x ou y = ab x + k a &ne 0 (initial value) b is greater than 0 and &ne 1 (multiplier: describes a percentage increase or decrease) and k = asymptote (a value that the function gets close to but never touches)]

    Exponential and logarithmic functions are used in the real world. Most notably, exponential functions are used in population growth, interest, and bacterial growth. Logarithmic functions are used to measure light and sound intensity, as well as measuring magnitudes of earthquakes. Review how to convert back and forth from exponential form to logarithmic form since students will be doing this when graphing logarithmic equations.

    &ldquoToday we are going to learn how to graph exponential and logarithmic functions without the use of a calculator. We will begin with the equation, make a table of values with a few points, and sketch the graph.&rdquo

    &ldquoSuppose we have the exponential function, y=3x we can use a table of values to graph the function.&rdquo

    &ldquoLet&rsquos fill in our table.&rdquo Using a projector or interactive whiteboard, display the following chart: [IS.5 - Struggling Learners]

    3 x

    3 &minus2

    &minus2, .11 (point A)

    3 &minus1

    &minus1, .33 (point B)

    3 0

    3 1

    1, 3 (point D)

    3 2

    2, 9 (point E)

    &ldquoNow, we can create our graph.&rdquo Display the following graph:

    &ldquoNotice that the graph approaches a horizontal asymptote of y = 0&rdquo

    &ldquoNow, let&rsquos graph a logarithmic function!&rdquo

    &ldquoSince a logarithmic function is the inverse of an exponential function, we simply graph the exponential function that is the inverse, draw the line of symmetry, y = x, and plot the reverse coordinates for each point on the exponential function. An illustration will make this process easier to understand.&rdquo

    &ldquoLet&rsquos take our exponential function from before, y=3x. The inverse of this function is log3x .&rdquo

    &ldquoLet&rsquos look at our table from before and insert another column for the ordered pair containing the reversed coordinates.&rdquo [IS.6 - Struggling Learners]

    3 x

    Coordinates for log3x

    3 &minus2

    3 &minus1

    3 0

    3 1

    3 2

    &ldquoWe will now graph the points for the logarithmic function.&rdquo Display the following graph:

    &ldquoNow we simply have to connect the points of the logarithmic function. Note the vertical asymptote of x = 0.&rdquo

    &ldquoBefore we can get to the application problems, we have to learn about a few formulas. Let&rsquos say we have to solve 5x = 50. What do we do to solve for x?&rdquo (divide both sides by 5) &ldquoDivision is the inverse of multiplication. So what is the inverse of exponents?&rdquo (logarithms)

    &ldquoIf we have a problem like 2 x &ndash 1 = 8, we can simply rewrite 8 as 2 3 and then set the exponents equal to each other and solve for x.&rdquo

    &ldquoBut what if we don&rsquot have the same bases to work with? We can take the logarithm of each side of the equation.&rdquo Put the following formulas on the board and do the examples as a whole class.

    &ldquoRemember that ln refers to the natural logarithm, not the base 10 logarithm. It&rsquos important to keep in mind that these are two different bases. The base of the natural logarithm is approximately 2.71828 and is quite useful in many fields of mathematics.&rdquo

    &ldquoWhen we write log without a base next to it, it is the Common Log, base 10.&rdquo [IS.7 - Struggling Learners]

    &ldquoLet&rsquos try some examples.&rdquo Examples should be worked out together as a class. Note that there are multiple ways to solve these equations.

    1. 2 x = 10 Answer for number 1:

    x=log10log2 2. 2 x = 10 Work for number 2: log2x=log10 xlog2=log10 x=log10log2 3. 5 x = 45 Work for number 3: log5x=log45 xlog5=log45 x=log45log5 4. 8 x -1 = 100 Work for number 4: log8x - 1=log100 (x-1)log8=log100 x-1=log100log8 x=log100log8 + 1 5. 6 2 x + 3 = 50 Work for number 5: log62x+3=log50 2x+3log6=log50 2x+3=log50log6 2x=log50log6-3 x=log50log6-32

    &ldquoLet&rsquos look at a natural logarithm example. Suppose we have the exponential equation: 4e3x + 5 = 10. We can use the natural logarithm to solve the equation, since we have e as a base. The base of the natural logarithm, e, operates in the same way as base 10. A logarithm is the inverse of an exponential function. Log (1000) = 3 because 10 3 = 1000. In the same way, e 3 &asymp 20.08553, so ln (20.08553) &asymp 3.&rdquo Work through with students: [IS.8 - Struggling Learners]

    &ldquoIf we are given a logarithm and asked to evaluate, we can use the change of base formula. We can also convert the logarithm to another base.&rdquo

    &ldquoLet&rsquos explore how to evaluate a logarithm in terms of common logarithms using the change of base formula first .&rdquo (Review this concept as a class.)

    *For all positive numbers b, c, e M, Onde b &ne 1 and c &ne 1.

    &ldquoFor example, take this logarithm.&rdquo

    &ldquoNow, we can also convert this logarithm to another base. Let&rsquos convert it to base 6.&rdquo Work through with students:

    &ldquoNow we are going to get into some fun problems. We will do an example as a class, then you will solve a few problems in groups.&rdquo

    Give the following problem.

    Aunt Helen likes drinking tea, but she is specific about the temperature at which she drinks it. She boiled the water (100 o C) and poured it over the tea leaves. Five minutes later she came back and the tea was 65 o . Aunt Helen keeps her house at a cool 20 o . Write an equation that represents the temperature of Aunt Helen&rsquos tea.

    &ldquoFirst we need to determine what we know. We know that at time t = 0 (the time at which the water has come to a boil), y(the temperature of the tea) is 100 and that when t = 5 (the number of minutes it has been left to sit after it came to a boil), y is 65. What else do we know from the problem?&rdquo (Room temperature is 20 o , which is the asymptote, since nothing will cool down more than room temp.) &ldquoWe will substitute the first point into an exponential equation and first solve for a. Then we will substitute the second point and solve for b. This will tell us the percentage rate at which the tea cools per minute.&rdquo Work through with students:

    &ldquoWe can use this equation to make predictions. Let&rsquos say Aunt Helen only likes to drink her tea when it is 50 o . How long will she have to wait to drink her tea?&rdquo

    50 = 80(0.8913) t + 20
    30 = 80(0.8913) t
    0.375 = 0.8913 t

    &ldquoNow we have to use the change of base formula to solve for t.&rdquo

    t = log 0.375 ÷ log 0.8913 or ln 0.375 ÷ ln 0.8913 &asymp 8.5 minutes [IS.9 - Struggling Learners]


    Assista o vídeo: Potęgi, logarytmy i funkcja wykładnicza (Outubro 2021).