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2.1: Proporção - Matemática


As proporções são geralmente calculadas ao lidar com variáveis ​​qualitativas. Suponha que você queira saber a proporção de tempo que um jogador de basquete fará um lance livre. Você pode observar a frequência com que o jogador tenta fazer o lance livre e com que frequência ele o faz. Então você pode dividir o número feito pelo número tentado. É assim que encontramos proporção. Esta é uma estatística de amostra, uma vez que não podemos olhar para todas as tentativas, porque o jogador poderia tentar mais no futuro. Se o jogador se aposentar e nunca mais quiser jogar basquete, poderemos encontrar o parâmetro de população para esse jogador. Como existem casos raros em que você pode encontrar isso, definiremos o parâmetro da população e a estatística da amostra. Porém, lembre-se de que geralmente usamos a estatística de amostra para estimar o parâmetro da população.

Definição: proporção da população

Proporção da População:

[p = frac {r} {N} label {população} ]

onde (r ) = número de sucessos observados

(N ) = número de vezes que a atividade pode ser tentada

Definição: proporção da amostra

[ hat {p} = frac {r} {n} label {amostra} ]

onde (r ) = número de sucessos observados e (n ) = número de vezes que a atividade foi tentada

Exemplo ( PageIndex {1} )

Exemplo ( PageIndex {1} ): Encontrando proporção

Suponha que você pergunte a 140 pessoas se elas preferem sorvete de baunilha a outros sabores e 86 digam que sim. Qual é a proporção de pessoas que preferem sorvete de baunilha?

Solução

Como você convidou apenas 140 pessoas, e há muito mais de 140 pessoas no mundo, esta é uma amostra e usamos a fórmula de proporção de amostra (Equação ref {amostra}.

[ hat {p} = frac {r} {n} não numérico ]

com (r ) = 86 e (n ) = 140.

[ hat {p} = frac {86} {140} approx 0,614 = 61,4 \% nonumber ]

Portanto, 61,4% das pessoas na amostra gostam de sorvete de baunilha. Isso pode significar que 61,4% de todas as pessoas no mundo gostam de sorvete de baunilha. Não sabemos ao certo, mas este é um bom palpite para a verdadeira proporção, p, desde que nossa amostra fosse representativa da população. Se você tem uma sorveteria, provavelmente quer pedir mais sorvete de baunilha do que outros sabores.


Exemplo: Gênero da Seção de Estudantes da Faculdade de Ciências

Questão de pesquisa: A porcentagem de alunos matriculados no Penn State's College of Science que se identificam como mulheres é diferente de 50%?

Nesta pergunta, estamos comparando a proporção de todos os alunos do Penn State College of Science (ou seja, (p )) com o valor dado de 0,5. Este é um teste de proporção de amostra única. Queremos saber se a proporção da população é diferente de 0,5, então este é um teste bicaudal. Nossas hipóteses são:


Mito, fato e mal-entendido sobre a proporção áurea: as evidências ausentes

Existem muitos conceitos e interpretações errôneas sobre a proporção áurea. Alguns procuram com fervor os padrões e dizem que eles existem onde realmente não existem. Alguns, cujo objetivo é desmascarar o mito da proporção áurea, dizem que ele não existe onde realmente existe, deixando de lado o óbvio e muitas vezes não declarando quais são as proporções. Pessoas de ambos os lados muitas vezes apenas repetem o que ouviram, em vez de realizar pessoalmente a análise necessária para apoiar suas conclusões. Inteligência e educação nem sempre são fatores para se chegar à verdade, já que até mesmo os doutores em matemática às vezes erram. Como autor deste site desde 1997, mudei minhas opiniões e também as informações neste site. Vejamos alguns dos pontos comuns de confusão e debate, cobrindo a beleza, o Partenon, o Edifício do Secretariado da ONU, a Grande Pirâmide, a concha Nautilus, uso por artistas famosos (Da Vinci, Botticelli, Seurat, etc.) e outros tópicos. Fornecerei respostas objetivas, com evidências adicionais no & # x02026 Mais sobre matemática, mito e verdade


Usando proporções para resolver triângulos

Podemos usar proporções para resolver triângulos semelhantes.

Exemplo: Qual é a altura da Árvore?

Sam tentou usar uma escada, fita métrica, cordas e várias outras coisas, mas ainda não conseguia descobrir a altura da árvore.

Mas então Sam teve uma ideia inteligente. triângulos semelhantes!

Sam mede uma vara e sua sombra (em metros), e também a sombra da árvore, e é isso que ele consegue:

Agora Sam faz um esboço dos triângulos e escreve a proporção "Altura para Comprimento" para ambos os triângulos:

Altura: Comprimento da sombra: h 2,9 m = 2,4 m 1,3 m

Multiplique pelos cantos conhecidos e, em seguida, divida pelo terceiro número:

h = (2,9 & vezes 2,4) / 1,3
= 6.96 / 1.3
= 5,4 m (até o 0,1 mais próximo)

Resposta: a árvore tem 5,4 m de altura.

E ele nem precisava de uma escada!

A & quotAltura & quot poderia estar na parte inferior, desde que estivesse na parte inferior para AMBOS os índices, como este:

Vamos tentar a proporção de & quotComprimento da sombra para a altura & quot:

Comprimento da sombra: Altura: 2,9 m h = 1,3 m 2,4 m

Multiplique pelos cantos conhecidos e, em seguida, divida pelo terceiro número:

h = (2,9 & vezes 2,4) / 1,3
= 6.96 / 1.3
= 5,4 m (até o 0,1 mais próximo)

É o mesmo cálculo de antes.


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1.2: Misturas Misteriosas (15 minutos)

Atividade

O objetivo desta atividade é que os alunos articulem que o sabor da mistura depende da quantidade de água e da quantidade de mistura para bebida usada para fazer a mistura.

Idealmente, os alunos vêm para a aula sabendo como desenhar e usar diagramas ou tabelas de proporções equivalentes para analisar contextos como o da tarefa. Se a avaliação diagnóstica sugerir que alguns alunos podem e outros não, faça pares estratégicos de alunos para esta tarefa.

Lançar

Mostre aos alunos imagens das bebidas.

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Se possível, dê a cada aluno três xícaras contendo as misturas de bebidas.

Diga aos alunos para trabalharem com a primeira pergunta e fazerem uma pausa para uma discussão. Faça perguntas como,

  • “O que significa dizer que tem mais mistura para bebidas?”
  • “Imagine que você tome diferentes quantidades dos dois que têm o mesmo gosto. Haverá mais mistura para bebidas em uma quantidade maior, mas não terá um sabor diferente. Por que é que?"

O objetivo é ver que na mesma quantidade de cada mistura (digamos, uma colher de chá), quanto mais saborosa a mistura de bebida, mais mistura de bebida para a mesma quantidade de água. (Alternativamente, podemos dizer que a mistura de bebida mais aromatizada tem menos água para a mesma quantidade de mistura de bebida.) Use MLR 8 (Suporte para Discussão) fazendo gestos ou representando expressões faciais para “força” da mistura.

Depois que os alunos tiverem feito algum progresso na compreensão dessa ideia, a classe deve passar para a segunda questão. Se os alunos terminarem rapidamente, pressione-os para encontrar a quantidade de mistura de bebida por copo de água em cada receita, enfatizando assim a taxa unitária.

Seu professor mostrará três misturas. Dois têm o mesmo gosto e um é diferente.

Aqui estão as receitas que foram usadas para fazer as três misturas:

  • 1 xícara de água com (1 frac12 ) colheres de chá de mistura para bebida em pó
  • 2 xícaras de água com ( frac12 ) colher de chá de mistura para bebida em pó
  • 1 xícara de água com ( frac14 ) colher de chá de mistura para bebida em pó

Qual destas receitas é para uma mistura de sabor mais forte? Explique como você sabe.

Resposta do Aluno

Para obter acesso, consulte um de nossos Parceiros Certificados de IM.

Você esta pronto para mais?

O sal e o açúcar proporcionam dois sabores distintos, um salgado e outro doce. Em uma mistura de sal e açúcar, é possível que a mistura seja salgada, doce ou ambos. Alguma dessas misturas terá o mesmo sabor?

  • Mistura A: 2 xícaras de água, 4 colheres de chá de sal, 0,25 xícara de açúcar
  • Mistura B: 1,5 xícaras de água, 3 colheres de chá de sal, 0,2 xícara de açúcar
  • Mistura C: 1 xícara de água, 2 colheres de chá de sal, 0,125 xícara de açúcar

Resposta do Aluno

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Síntese de Atividades

A principal lição dessa atividade é que o sabor depende da quantidade da mistura da bebida e quanta água há na mistura. Para uma determinada quantidade de água, quanto mais mistura de bebida você adicionar, mais forte será o sabor da mistura. Da mesma forma, para uma determinada quantidade de mistura para bebidas, quanto mais água você adicionar, mais fraco será o sabor da mistura. Para comparar a quantidade de sabor de duas misturas, quando as quantidades de mistura de bebida e de água são diferentes nas duas misturas, podemos escrever razões equivalentes a cada situação para que estejamos comparando a quantidade de mistura de bebida para a mesma quantidade de água ou a quantidade de água para a mesma quantidade de mistura de bebida. Computando um taxa unitária para cada situação é uma instância particular desta estratégia. Torne essas ideias explícitas se os alunos não as expressarem.

Se os alunos não os criarem, desenhe diagramas discretos como este:

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Ou diagramas de linha de número duplo como este:

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Para cada mistura, identifique as correspondências entre os diagramas de linha discreta e numérica e entre os diagramas e tabelas:

água (copos) mistura para bebida (colheres de chá)
1 (1 frac12 )
2 3
água (copos) mistura para bebida (colheres de chá)
2 ( frac12 )
1 ( frac14 )

Faça perguntas como: “No diagrama de linha de número duplo, vemos a relação de 1 para (1 frac12 ) na primeira marca de seleção. Onde vemos essa relação no diagrama de fita dupla? Na mesa?"

Use o MLR 7 (compare e conecte) para os alunos compararem os métodos de como eles sabiam qual receita era mais forte. Quem usou a multiplicação? Quem usou a divisão? Quem usou uma taxa unitária de água por colher de chá de mistura de bebida? Quem usou uma taxa unitária de mistura para bebida por copo de água?


2 reflexões sobre & ldquo Razão e proporção & rdquo

Dewi Williams diz:

Você está certo sobre os equívocos comuns entre proporções e frações & # 8211 os alunos muitas vezes confundem a proporção 2: 3 com a fração 2/3.

No entanto, também acho que há muito valor em apontar as semelhanças entre proporções e frações. Razões equivalentes são conceitualmente muito semelhantes às frações equivalentes, e vale a pena apontar essas semelhanças.

Mrmath_admin diz:

Obrigado pelo comentário. Eu concordo plenamente com a necessidade de entender uma razão como proporção. Essas perguntas estão se tornando muito mais comuns hoje em dia nas provas. Os alunos continuam a considerá-los difíceis.

Também é comum ver problemas de razão e proporção ligados ao menor múltiplo comum.
obrigado novamente
Jonathan


O que é uma proporção?

Uma proporção é uma expressão que nos diz que duas proporções são equivalentes. Duas razões são consideradas proporcionais se forem equivalentes. As proporções são representadas pelo sinal ‘:’ ou ‘=’. Por exemplo, se a, b, c e d são inteiros, então a proporção é escrita como a: b = c: d ou a / b = c / d ou b: a = d: c. Por exemplo, as razões 3: 5 e 15: 25 são proporcionais e são escritas como 3: 5 = 15: 25

Os quatro números a, b, c e d são conhecidos como termos de uma proporção. O primeiro a e o último termo d são chamados de termos extremos, enquanto o segundo e o terceiro termos em uma proporção são chamados de termos médios.


Razão ou proporção?

Você já pensou sobre o que essas duas palavras realmente significam? Eles são freqüentemente usados ​​juntos como uma frase, "razão e proporção", mas eles são de fato termos diferentes para o mesmo conceito matemático? Se um aluno perguntar a diferença, como você responderia?

Devo admitir que não refleti conscientemente sobre o significado exato de razão ou proporção até começar meu treinamento de professores. Suspeito que isso não seja uma surpresa especial, mas devo me preocupar com as definições desses termos? Uma das dificuldades que enfrentamos com frequência na sala de aula é familiarizar as crianças com a definição matemática de uma palavra que também é usada na linguagem cotidiana. Talvez isso se aplique até certo ponto à razão e à proporção? Em algum lugar nas profundezas de minha mente, pareço me lembrar de ouvir que a proporção compara parte com parte, enquanto proporção compara parte com todo. Mas o que isso realmente significa? Isso é útil? E é toda a história?

Vejamos primeiro a proporção. Em minha opinião, razão é a comparação entre duas ou mais quantidades. De acordo com o Oxford English Dictionary online, razão é 'a relação entre duas magnitudes semelhantes em relação à quantidade, determinada pelo número de vezes que uma contém a outra (integralmente ou fracionadamente)'. Por exemplo, em uma garrafa de abóbora, pode-se dizer "dilua uma parte do concentrado para quatro partes de água". A quantidade de água necessária é indicada em termos de quantidade de concentrado. O National Numeracy Framework sugere que, quando apresentado pela primeira vez às crianças, essa ideia pode ser melhor expressa como "para cada 1 parte do concentrado, precisamos de 4 partes de água". Essa proporção pode ser ilustrada de forma muito clara usando imagens simples:

Na sala de aula, "para todos" pode ser modelado desenhando 4 "retângulos de água" ao lado de cada "retângulo de concentrado" para que os alunos possam decidir quantas partes de água são necessárias para um certo número de partes de concentrado. Em um nível superior, eles estarão em posição de confirmar se uma determinada representação pictórica descreve ou não a mesma proporção. Claro, ter contadores ou cubos laranja e branco seria outra maneira de representar o concentrado e a água. Não é demais introduzir um vocabulário ligeiramente diferente para a mesma coisa? "4 para cada 1" também pode ser expresso como "4 para cada 1".

Em discussão com colegas, também percebemos que, quando falamos sobre proporções, é perfeitamente apropriado ignorar as unidades. Podemos dizer que a proporção de maçãs para peras é de 3 para 1 e isso vai contra a tendência em termos de consistência de unidades. Certamente isso só pode tornar o entendimento da razão mais problemático?

Dicionários matemáticos freqüentemente incluem a palavra "fração" em sua definição de proporção. Por exemplo, o Dictionary of Mathematics publicado por McGraw-Hill (2003) define a proporção de duas quantidades, A e B, como 'seu quociente ou fração A / B'. Então, como a proporção se encaixa nisso? A Numeracia Framework indica que, no final do 6º ano, as crianças devem ser capazes de 'relacionar frações a proporções simples'. Então, parece que as frações também estão relacionadas à proporção.

Olhando novamente para o Oxford English Dictionary, encontramos proporção definida como 'uma parte ou parte em sua relação com o todo, uma parte comparativa, uma parte às vezes simplesmente, uma parte, divisão, parte'. À primeira vista, isso parecia concordar com meu palpite original. Se olharmos para a imagem acima, podemos descrever a mesma situação em termos de proporção: há 1 parte de concentrado em cada 5 partes. Colocando de forma um pouco diferente, podemos dizer que 1 em cada 5 partes é concentrado. Desta vez, estamos relacionando a quantidade de concentrado (1 parte) ao todo (5 partes).

No entanto, se recorrermos a um dicionário matemático novamente, somos informados de que 'a proporção de duas quantidades é sua razão' (McGraw-Hill, 2003). O Collins Dictionary of Mathematics (2002) expande esta proporção um pouco delineando como a 'relação entre quatro números ou quantidades em que a proporção do primeiro par é igual à proporção do segundo par'. Acho que esta última definição matemática pode abranger meu uso diário da palavra "proporção" e isso não é comparar parte ao todo.

Onde isso nos deixa? Eu me esforço para tirar qualquer conclusão do que foi dito acima - os limites entre os dois parecem muito confusos para mim. Na melhor das hipóteses, fico feliz com minha compreensão de proporção, mas parece que a palavra proporção é usada de duas maneiras diferentes. Gostaria muito de ouvir a sua opinião sobre este assunto, que gostaria de acrescentar a este artigo. Talvez você tenha definições claras em sua mente que possam ajudar?


Assista o vídeo: Matemática Básica - Aula 24 - Razão e Proporção parte 1 (Outubro 2021).