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1.3: Proporções e Taxas - Matemática


Se você quisesse energizar a cidade de Seattle usando energia eólica, quantos moinhos de vento precisaria instalar? Perguntas como essas podem ser respondidas usando taxas e proporções.

Cotações

Uma taxa é a razão (fração) de duas quantidades.

UMA taxa unitária é uma taxa com denominador de um.

Exemplo 12

Seu carro pode dirigir 300 milhas em um tanque de 15 galões. Expresse isso como uma taxa.

Solução

Expresso como uma taxa, ( frac {300 text {miles}} {15 text {gallons}} ). Podemos dividir para encontrar uma taxa unitária: ( frac {20 text {miles}} { text {1gallon}} ), que também poderíamos escrever como (20 frac { text {miles}} { text {galão}} ), ou apenas 20 milhas por galão.

Equação de proporção

Uma equação de proporção é uma equação que mostra a equivalência de duas taxas ou razões.

Exemplo 13

Resolva a proporção ( frac {5} {3} = frac {x} {6} ) para o valor desconhecido (x ).

Solução

Esta proporção está nos pedindo para encontrar uma fração com denominador 6 que seja equivalente à fração ( frac {5} {3} ). Podemos resolver isso multiplicando ambos os lados da equação por 6, dando (x = frac {5} {3} cdot 6 = 10 ).

Exemplo 14

A escala do mapa indica que ( frac {1} {2} ) polegada no mapa corresponde a 3 milhas reais. A quantas milhas de distância estão duas cidades que estão a (2 frac {1} {4} ) polegadas de distância no mapa?

Solução

Podemos definir uma proporção definindo duas taxas iguais de ( frac { text {polegadas do mapa}} { text {milhas reais}} ) e introduzindo uma variável, (x ), para representar a quantidade desconhecida - a distância em milhas entre as cidades.

( begin {array} {ll} { frac { frac {1} {2} text {map inch}} {3 text {miles}} = frac {2 frac {1} {4} text {polegadas do mapa}} {x text {milhas}}} & { text {Multiplique ambos os lados por} x text {e reescrevendo o número misto}} { frac { frac {1} {2 }} {3} cdot x = frac {9} {4}} & { text {Multiplique ambos os lados por 3}} { frac {1} {2} x = frac {27} {4 }} & { text {Multiplique ambos os lados por 2 (ou divida por} frac {1} {2})} {x = frac {27} {2} = 13 frac {1} {2} text {miles}} & {} end {array} )

Muitos problemas de proporção também podem ser resolvidos usando análise dimensional, o processo de multiplicação de uma quantidade por taxas para alterar as unidades.

Exemplo 15

Seu carro pode dirigir 300 milhas em um tanque de 15 galões. Quão longe ele pode dirigir com 40 galões?

Solução

Certamente poderíamos responder a esta pergunta usando uma proporção: ($ frac {300 text {miles}} {15 text {gallons}} = frac {x text {miles}} {40 text {gallons}} $ ).

No entanto, descobrimos anteriormente que 300 milhas em 15 galões dá uma taxa de 20 milhas por galão. Se multiplicarmos a quantidade fornecida de 40 galões por esta taxa, o galões unidade “cancela” e ficamos com uma série de milhas:

(40 text {gallons} cdot frac {20 text {miles}} { text {gallon}} = frac {40 text {gallons}} {1} cdot frac {20 text { milhas}} { text {gallon}} = 800 text {miles} )

Observe se, em vez disso, nos perguntassem "quantos galões são necessários para dirigir 50 milhas?" poderíamos responder a esta pergunta invertendo a taxa de 20 milhas por galão para que o milhas a unidade é cancelada e ficamos com os galões:

(50 text {miles} cdot frac { text {lgallon}} {20 text {miles}} = frac {50 text {miles}} {1} cdot frac {1 text { galão}} {20 text {miles}} = frac {50 text {gallons}} {20} = 2,5 text {gallons} )

A análise dimensional também pode ser usada para fazer conversões de unidades. Aqui estão algumas conversões de unidades para referência.

Conversões de unidades

Comprimento

( begin {array} {ll} {1 text {foot (ft)} = 12 text {inches (in)}} & {1 text {yard (yd)} = 3 text {ft (ft) )}} {1 text {milha} = 5.280 texto {pés}} & {} {1000 texto {milímetros} {mm} = 1 texto {metro (m)}} e {100 texto {centímetros (cm)} = 1 texto {metro}} {1000 texto {metros (m)} = 1 texto {quilômetro (km)}} & {2,54 texto {centímetros (cm)} = 1 text {inch}} end {array} )

Peso e Massa

( begin {array} {ll} {1 text {libra (lb)} = 16 text {onças (onças)}} & {1 text {ton} = 2000 text {libras}} { 1000 text {miligramas (mg)} = 1 texto {grama (g)}} & {1000 texto {gramas} = 1 texto {quilograma (kg)}} {1 texto {quilograma} = 2,2 text {libras (na terra)}} & {} end {array} )

Capacidade

( begin {array} {ll} {1 text {xícara} = 8 text {onças fluidas (fl oz)} ^ *} & {1 text {pint} = 2 text {xícaras}} {1 text {quart} = 2 text {pints} = 4 text {xícaras}} & {1 text {gallon} = 4 text {quarts} = 16 text {xícaras}} {1000 text {mililitros (ml)} = 1 text {litro (L)}} & {} end {array} )

*Onças fluidas são uma medida de capacidade para líquidos. 1 onça fluida ≈ 1 onça (peso) apenas para água.

Exemplo 16

Uma bicicleta está viajando a 15 milhas por hora. Quantos pés ele vai cobrir em 20 segundos?

Solução

Para responder a essa pergunta, precisamos converter 20 segundos em pés. Se soubermos a velocidade da bicicleta em pés por segundo, essa pergunta seria mais simples. Como não fazemos isso, precisaremos fazer conversões de unidades adicionais. Precisamos saber que 5280 pés = 1 milha. Podemos começar convertendo os 20 segundos em horas:

( begin {array} {ll} {20 text {segundos} cdot frac {1 text {minuto}} {60 text {segundos}} cdot frac {1 text {hora}} { 60 text {minutes}} = frac {1} {180} text {hour}} & { text {Agora podemos multiplicar por} 15 text {miles / hr}} { frac {1 } {180} text {hour} cdot frac {15 text {miles}} { text {Ihour}} = frac {1} {12} text {mile}} & { text {Agora nós pode converter para pés}} { frac {1} {12} text {milha} cdot frac {5280 texto {pés}} {1 texto {milha}} = 440 texto {pés}} & {} end {array} )

Também poderíamos ter feito todo esse cálculo em um longo conjunto de produtos:

(20 text {segundos} cdot frac {1 text {minuto}} {60 text {segundos}} cdot frac {1 text {hora}} {60 text {minutos}} cdot frac {15 text {miles}} {1 text {hour}} cdot frac {5280 text {feet}} {1 text {miles}} = 440 text {feet} )

Experimente agora 4

Um carretel de 1000 pés de fio de cobre de calibre 12 nu pesa 19,8 libras. Quanto pesará 18 polegadas do fio, em onças?

Responder

(18 text {polegadas} cdot frac {1 text {foot}} {12 text {inches}} cdot frac {19,8 text {libras}} {1000 text {feet}} cdot frac {16 text {onças}} {1 text {libra}} aproximadamente 0,475 text {onças} )

Observe que, com o exemplo das milhas por galão, se dobrarmos as milhas percorridas, dobraremos o gás usado. Da mesma forma, com o exemplo da distância do mapa, se a distância do mapa dobra, a distância da vida real dobra. Esta é uma característica chave dos relacionamentos proporcionais, e devemos confirmá-la antes de assumir que duas coisas estão relacionadas proporcionalmente.

Exemplo 17

Suponha que você esteja ladrilhando o piso de uma sala de 3 x 3 m e descubra que serão necessários 100 ladrilhos. Quantos ladrilhos serão necessários para ladrilhar o piso de uma sala de 20 pés por 20 pés?

Solução

Nesse caso, enquanto a largura da sala dobrou, a área quadruplicou. Como o número de ladrilhos necessários corresponde à área do piso, não à largura, serão necessários 400 ladrilhos. Poderíamos encontrar isso usando uma proporção com base nas áreas dos quartos:

( frac {100 text {tiles}} {100 mathrm {ft} ^ {2}} = frac {n text {tiles}} {400 mathrm {ft} ^ {2}} )

Outras quantidades simplesmente não escalam proporcionalmente.

Exemplo 18

Suponha que uma pequena empresa gaste $ 1000 em uma campanha publicitária e ganhe 100 novos clientes com ela. Quantos novos clientes eles devem esperar se gastarem US $ 10.000?

Solução

Embora seja tentador dizer que eles ganharão 1.000 novos clientes, é provável que a publicidade adicional seja menos eficaz do que a publicidade inicial. Por exemplo, se a empresa for uma loja de banheiras de hidromassagem, provavelmente haverá apenas um número fixo de pessoas interessadas em comprar uma banheira de hidromassagem, então pode não haver até 1.000 pessoas na cidade que seriam clientes em potencial.

Às vezes, ao trabalhar com taxas, proporções e porcentagens, o processo pode se tornar mais desafiador pela magnitude dos números envolvidos. Às vezes, grandes números são apenas difíceis de compreender.

Exemplo 19

Compare o orçamento militar dos EUA de 2010 de US $ 683,7 bilhões com outras quantidades.

Aqui temos um número muito grande, cerca de $ 683.700.000.000 escritos. Claro, imaginar um bilhão de dólares é muito difícil, por isso pode ajudar a compará-lo com outras quantidades.

Se essa quantia de dinheiro fosse usada para pagar os salários dos 1,4 milhão de funcionários do Walmart nos EUA, cada um ganharia mais de $ 488.000.

Existem cerca de 300 milhões de pessoas nos EUA. O orçamento militar é de cerca de US $ 2.200 por pessoa.

Se você colocasse $ 683,7 bilhões em notas de $ 100 e contasse 1 por segundo, levaria 216 anos para terminar de contá-lo.

Exemplo 20

Compare o consumo de eletricidade per capita na China com a taxa no Japão.

Para responder a esta questão, primeiro precisamos de dados. No site da CIA [1], podemos descobrir que o consumo de eletricidade em 2011 para a China foi de 4.693.000.000.000 KWH (quilowatt-hora), ou 4.693 trilhões de KWH, enquanto o consumo para o Japão foi de 859.700.000.000, ou 859,7 bilhões de KWH. Para encontrar a taxa per capita (por pessoa), também precisaremos da população dos dois países. A partir do Banco Mundial [2], podemos descobrir que a população da China é 1.344.130.000, ou 1,344 bilhões, e a população do Japão é 127.817.277, ou 127,8 milhões.

Solução

Calculando o consumo per capita de cada país:

China: ( frac {4.693.000.000.000 mathrm {KWH}} {1.344.130.000 text {pessoas}} aproximadamente 3491,5 ) KWH por pessoa

Japão: ( frac {859.700.000.000 mathrm {KWH}} {127.817.277 text {people}} approx 6726 ) KWH por pessoa

Embora a China use mais de 5 vezes a eletricidade do Japão em geral, porque a população do Japão é muito menor, o Japão usa quase o dobro da eletricidade por pessoa em comparação com a China.


[1] www.cia.gov/library/publicat.../2042rank.html

[2] http://data.worldbank.org/indicator/SP.POP.TOT


Mudanças significativas Devido à introdução de razão e taxas no CCSSM no 6º ano, o conteúdo desta unidade foi combinado em três investigações em vez de quatro.

CMP2 e rsquos Comparando e dimensionando foi alterado em resposta a várias forças, algumas internas e outras externas. Há um corte (agora apenas 3 investigações) com base no trabalho fundamental nas unidades do 6º ano (Comparando bits e peças de amplificador, Decimal Ops, e Variáveis ​​e padrões de amplificação) e na Unidade da 7ª Série (Alongamento e encolhimento) A motivação interna para a mudança era um desejo de se conectar mais fortemente e desenvolver mais completamente as ideias e estratégias iniciadas no CMP3 Alongamento e encolhimento. Em figuras semelhantes, as relações internas, como comprimento: largura, e as relações externas, como o comprimento do lado X: o comprimento do lado correspondente Y, são constantes. Quando os alunos encontram um comprimento faltando em Alongamento e encolhimento, eles estão resolvendo uma proporção; podem usar um fator de escala em vez de definir uma proporção, mas o raciocínio proporcional é o mesmo. No final do CMP3 Alongamento e encolhimento os alunos terão um método de aumentar ou diminuir uma proporção para encontrar uma quantidade ausente ou usando proporções equivalentes, que é uma estratégia importante para resolver qualquer proporção. Aprender a escolher o fator de escala de forma eficiente, em situações de similaridade e outras, é um refinamento dessa estratégia. Eles também usam proporções equivalentes para encontrar o comprimento ausente.

Em CMP3 Comparando e escalando, os alunos usam o raciocínio proporcional em contextos diferentes dos geométricos e desenvolvem estratégias adicionais para resolver proporções, incluindo escala eficiente e denominadores comuns. Eles verão que as tabelas de taxas são uma variação de uma estratégia de ajuste de escala e que as taxas unitárias são particularmente úteis. No exemplo abaixo, número de unidades de comprimento da base do triângulo: comprimento da unidade de altura do triângulo = 1,5: 1. Usar esta taxa de unidade é outra maneira de resolver a proporção 3: 2 = x: 11.

As motivações externas para mudar Comparando e dimensionando foram causados ​​pela exigência, no CCSSM, do estudo de Razão na 6ª série, e a adição de constante de proporcionalidade ao conteúdo da 7ª série. Como se espera que os alunos tenham algum entendimento da proporção ao entrar na 7ª série, menos tempo é necessário para introduzir as proporções e taxas. Portanto, mais tempo pode ser gasto no desenvolvimento de raciocínio proporcional e conexões entre taxas, razões, tabelas de taxas e proporções. Além disso, desde o constante de proporcionalidade implica conexões entre tabelas, gráficos e equações de relações proporcionais, mais pode ser feito com essas representações. Isso, por sua vez, fornece conexões para a próxima unidade, Seguir em Frente, onde os alunos verão que as equações de relações proporcionais são um tipo de equação linear e a constante de proporcionalidade é, de fato, a inclinação da linha ou a taxa de aumento na tabela.


Proporção direta e inversa

Proporção direta

  • A tabela abaixo mostra o custo de vários números de xícaras em sh. 20 por xícara.
    Nº de xícaras12345
    Custo (sh.)20406080100
  • A proporção entre o número de xícaras na quarta coluna e o número de xícaras na segunda coluna é 4: 2 = 2: 1.
  • A proporção dos custos correspondentes é 80: 40 = 2: 1. Ao considerar a proporção dos custos em quaisquer duas colunas e a proporção correspondente e o número de xícaras, você deve perceber que eles são sempre os mesmos.
  • Se duas quantidades são tais que quando uma aumenta (diminui) em determinada proporção, a outra também aumenta (diminui) na proporção, as duas quantidades são consideradas em proporção direta

Um carro viaja 40 km com 5 litros de gasolina. Qual a distância percorrida com 12 litros de gasolina?

A gasolina é aumentada na proporção 12: 5
Distância = 40 x 12 /5 km

Um trem leva 3 horas para viajar entre duas estações a uma velocidade média de 40 km por hora. A que velocidade média ele precisaria viajar para cobrir a mesma distância em 2 horas?

O tempo é diminuído na proporção 2: 3 A velocidade deve ser aumentada na proporção 3: 2 a velocidade média é 40 x 3 /2 km = 60 km / h

Dez homens que trabalham seis horas por dia levam 12 dias para concluir um trabalho. Quanto tempo levará oito homens trabalhando 12 horas por dia para concluir o mesmo trabalho?

O número de homens diminui na proporção de 8:10
Portanto, o número de dias tomados aumenta na proporção de 10: 8.
O número de horas aumentou na proporção 12: 6.
Portanto, o número de dias diminui na proporção 6: 1 2.
Número de dias tirados = 12 x 10 /8 x 6 /12


Definições

Você notou que não dei definições dos termos proporção e proporção? Bem, eu não queria confundir. Às vezes, você não precisa aprender as definições exatas com antecedência, mas pode começar aprendendo a resolver problemas com palavras e até mesmo problemas da vida real.

UMA RAZÃO são duas "coisas" (números ou quantidades) comparadas entre si. Por exemplo, "3 dólares por galão" é uma proporção e "40 milhas por 1 hora" é outra. Aqui estão mais alguns: 15 meninas contra 14 meninos, 569 palavras em 2 minutos, 23 bolas verdes a 41 bolas azuis. Seu livro de matemática pode dizer que é um comparação de dois números ou quantidades.

Um termo relacionado, TAXA, é definido como uma razão em que as duas quantidades têm unidades diferentes. Algumas pessoas diferenciam e dizem que as duas quantidades em uma proporção devem ter um mesmo unidade, algumas pessoas não diferenciam e permitem que "3 dólares por galão" também seja chamado de proporção.

PROPORÇÃO é uma equação onde duas proporções são iguais. Por exemplo, "3 dólares por galão" é igual a "6 dólares por dois galões". Ou 2 professores por 20 alunos é igual a 3 professores por 30 alunos. Ou,

Claro, para ser um problema, você precisa fazer com que um desses quatro números seja um desconhecido (não fornecido).

Veja também

Planilhas de proporção livre
Planilhas grátis para problemas simples de proporção de palavras.


Como resolver problemas de mistura e relação com base em adição de amplificadores

Questão 10.

Os salários de Chetan e Shaheen estão na proporção de 5: 9. Se ambos os salários forem aumentados em Rs. 4200, então a proporção muda para 22:27. Encontre o salário de Shaheen.

A. 9250,95
B. 8058,32
C. 7199,97
D. 13580,45

Resposta correta C

Solução:

Deixe os salários de Chetan e Shaheen ser 5x e 9x

Dado, 5x + 4200 / 9x + 4200 = 22/27

135x + 113400 = 198x + 92400

Portanto, o salário de Shaheen = 333,33 * 9 + 4200 = 7199,97

Questão 11.

Os salários de Preeti e Bina estão na proporção de 14: 15. Se ambos obtiverem um incremento de Rs. 5300, a nova proporção passa a 33:35. Qual é o salário de Preeti?

A. 24000
B. 34980
C. 30100
D. 10200

Resposta correta B

Solução:

Deixe o salário de Preeti ser 14x e o salário de Bina ser 15x

= 490x + 185500 = 495x + 174900

Portanto, o salário de Preeti = 14 * 2120 + 5300 = 34980

Questão 12.

400 g de xarope de açúcar a 25% foram adicionados a 600 g de xarope de açúcar a 40%. Encontre a porcentagem da calda na mistura.


1.3: Proporções e Taxas - Matemática

SEÇÃO 1.2. RÁCIOS E PROPORÇÕES

UMA proporção é semelhante a uma razão, exceto que indica uma parte de um todo e, portanto, o numerador surge do denominador. Por exemplo, um pesquisador pode dizer que, para cada dez alunos da residência universitária, cinco eram mulheres. Cinco sobre dez (5/10) é uma proporção. As proporções devem ter todos os números nas mesmas unidades e são frequentemente escritas como frações.

O que acontece quando você deseja escrever uma proporção, mas os números são dados em unidades diferentes? Suponha que você tenha que escrever a proporção de 3 xícaras para 56 onças (3 xícaras de 56 onças). Você deve escrever uma proporção de xícaras para xícaras (xícaras: xícaras) ou onças para onças (onças: onças), então você terá que converter um dos números para que ambos os números sejam expressos na mesma unidade de medida. Vamos converter as xícaras em onças para que possamos expressar a proporção em onças: onças. Uma vez que existem 8 onças em uma xícara, 3 xícaras são iguais a 24 onças:

3 xícaras * 8 onças / xícara = 24 onças

Agora, os dois números 3 xícaras e 56 onças podem ser escritos na seguinte proporção:

24 onças a 56 onças,

24:56,

ou, agora que a unidade de medida é a mesma, 24:56 também pode ser escrito como uma proporção:

Pode ser necessário resolver alguns problemas envolvendo proporções.

Se você dividiu 36 em duas partes na proporção de 1: 2 e uma parte é a e a outra é b, você pode encontrar o valor de a e b:

Você pode usar essas equações para resolver para aeb, ou pode usar o seguinte método simples:

Descubra quantas unidades estão em 1 parte da proporção. Para fazer isso, divida o total pelo número de partes.

Número de peças: 1 + 2 = 3.

Número de unidades em cada parte: 36/3 = 12.

Em seguida, multiplique o número de unidades em cada parte pelo número de partes em cada variável.

a = 1 * 12 = 12

b = 2 * 12 = 24

As porcentagens são usadas com tanta frequência que devemos gastar um pouco de tempo com elas aqui. O que é importante sobre as porcentagens é que todas têm o mesmo denominador: 100. Quando duas frações têm o mesmo denominador, as comparações podem ser feitas com muita facilidade.

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Copyright & copy 2004 pelos Regents da University of Minnesota, um empregador e educador que oferece oportunidades iguais.


Normas básicas comuns para matemática

6.RP.A.1 Compreender o conceito de razão e usar uma linguagem de razão para descrever uma relação de razão entre duas grandezas. Por exemplo, & ldquoA proporção de asas para bicos na casa de pássaros no zoológico era de 2: 1, porque para cada 2 asas havia 1 bico. & Rdquo & ldquoPara cada voto que o candidato A recebeu, o candidato C recebeu quase três votos.

6.RP.A.2 Compreenda o conceito de taxa unitária a / b associada a uma razão a: b com b ≠ 0 e use a linguagem de taxas no contexto de uma relação de razão. Por exemplo, & ldquoEsta receita tem uma proporção de 3 xícaras de farinha para 4 xícaras de açúcar, portanto, há 3/4 xícara de farinha para cada xícara de açúcar. & Ldquo & ldquoNós pagamos $ 75 por 15 hambúrgueres, o que é uma taxa de $ 5 por hambúrguer . & rdquo

6.RP.A.3 Use raciocínio de razão e taxa para resolver problemas matemáticos e do mundo real, por exemplo, raciocinando sobre tabelas de razões equivalentes, diagramas de fita, diagramas de linha de número duplo ou equações.

6.RP.A.3a Faça tabelas de razões equivalentes relacionando grandezas com medições de números inteiros, encontre valores ausentes nas tabelas e plote os pares de valores no plano de coordenadas. Use tabelas para comparar proporções.

6.RP.A.3b Resolva problemas de taxa unitária, incluindo aqueles que envolvem preço unitário e velocidade constante. Por exemplo, se levasse 7 horas para cortar 4 gramados, então, a essa taxa, quantos gramados poderiam ser cortados em 35 horas? Com que taxa os gramados estão sendo cortados?

6.RP.A.3c Encontrar uma porcentagem de uma quantidade como uma taxa por 100 (por exemplo, 30% de uma quantidade significa 30/100 vezes a quantidade) resolva problemas envolvendo encontrar o todo, dada uma parte e a porcentagem.

6.RP.A.3d Use o raciocínio de razão para converter unidades de medida, manipular e transformar unidades apropriadamente ao multiplicar ou dividir quantidades.

Analise relacionamentos proporcionais e use-os para resolver problemas matemáticos e do mundo real.

7.RP.A.1 Calcule as taxas unitárias associadas às proporções das frações, incluindo as proporções de comprimentos, áreas e outras quantidades medidas em unidades iguais ou diferentes. Por exemplo, se uma pessoa caminha 1/2 milha a cada 1/4 de hora, calcule a taxa unitária como a fração complexa 1/2/1/4 milhas por hora, equivalente a 2 milhas por hora.

7.RP.A.2 Reconhecer e representar relações proporcionais entre quantidades.

7.RP.A.2a Decida se duas quantidades estão em uma relação proporcional, por exemplo, testando as razões equivalentes em uma tabela ou fazendo um gráfico em um plano de coordenadas e observando se o gráfico é uma linha reta através da origem.

7.RP.A.2b Identifique a constante de proporcionalidade (taxa unitária) em tabelas, gráficos, equações, diagramas e descrições verbais de relações proporcionais.

7.RP.A.2c Representam relações proporcionais por equações. Por exemplo, se o custo total t é proporcional ao número n de itens comprados a um preço constante p, a relação entre o custo total e o número de itens pode ser expressa como t = pn.

7.RP.A.2d Explique que ponto (x, y) no gráfico de uma relação proporcional significa em termos da situação, com atenção especial para os pontos (0, 0) e (1, r) onde r é a taxa unitária.

7.RP.A.3 Use relacionamentos proporcionais para resolver problemas de proporção de várias etapas e porcentagem. Exemplos: juros simples, impostos, majorações e remarcações, gratificações e comissões, taxas, aumento e redução percentual, erro percentual

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A ordem dos itens em uma proporção é muito importante e deve ser respeitada, seja qual for a palavra que vier primeiro na proporção (quando expressa em palavras), seu número deve vir primeiro na proporção. Se a expressão tivesse sido "proporção de mulheres para homens", então a expressão em palavras teria sido "20 mulheres para 15 homens" (ou apenas "20 para 15").

Expressar a proporção de homens para mulheres como "15 para 20" é expressar a proporção em palavras. Existem duas outras notações para esta proporção de & quot 15 a 20 & quot:

Você deve ser capaz de reconhecer todas as três notações de que provavelmente se espera que as conheça e como converter entre elas no próximo teste. Por exemplo:

Existem 16 patos e 9 gansos em um determinado parque. Expresse a proporção de patos para gansos como uma proporção com dois pontos, como uma fração (não reduza) e por palavras.

Eles querem & quot a proporção de patos para gansos & quot, então o número dos patos vem primeiro (ou, para a forma fracionária, no topo). Então, minha resposta é:

Considere o parque acima, com 16 patos e 9 gansos. Expresse a proporção de gansos para patos em todos os três formatos.

Desta vez, eles querem que eu dê a eles & quot a proporção de gansos para patos & quot. Usarei exatamente os mesmos números, mas, neste caso, o número de gansos vem primeiro (ou, para a forma fracionária, no topo). Então, minha resposta é:

Os números foram os mesmos em cada um dos dois exercícios acima, mas o pedido em que foram listados diferiram, variando de acordo com a ordem em que os elementos da razão foram expressos. Nas proporções, a ordem é muito importante.

Voltemos aos 15 homens e 20 mulheres em nosso grupo original. Eu expressei a proporção como uma fração, ou seja,. Essa fração se reduz a. Isso significa que também podemos expressar a proporção de homens para mulheres no grupo como sendo 3: 4 ou & quot 3 para 4 & quot.

Isso aponta algo importante sobre as proporções: os números usados ​​na proporção podem não ser os absoluto valores medidos. A proporção "15 a 20" refere-se ao absoluto número de homens e mulheres, respectivamente, no grupo de trinta e cinco pessoas. A proporção simplificada ou reduzida de & quot 3 para 4 & quot nos diz apenas que, para cada três homens, há quatro mulheres. A razão simplificada também nos diz que, em qualquer conjunto representativo de sete pessoas (3 + 4 = 7) desse grupo, três serão homens. Em outras palavras, os homens fazem parte das pessoas do grupo. Essas relações e raciocínios são o que usamos para resolver muitos problemas de palavras:

Em uma determinada classe, a proporção de notas de aprovação e notas de reprovação é de 7 a 5. Quantos dos 36 alunos foram reprovados no curso?

A proporção, & quot 7 para 5 & quot (ou 7: 5 ou), me diz que, de cada grupo representativo de alunos, cinco reprovaram. Por & quotgrupo representativo & quot, quero dizer um grupo que tem a mesma proporção de alunos que em toda a classe. Posso descobrir o tamanho desse grupo usando a proporção que eles me deram. O tamanho do grupo representativo será a soma de suas partes:

Portanto, o grupo representativo tem 12 alunos, dos quais 7 foram aprovados e 5 reprovados. Em particular, a fração do grupo reprovado é dada pela divisão do número de alunos reprovados pelo número total de alunos no grupo representativo. Isso é:

Então, do grupo reprovado e, como esse grupo é representativo, de toda a classe reprovada. Isso significa que agora posso encontrar o número de alunos em toda a turma que foram reprovados (este exercício é deprimente!) Multiplicando a fração do grupo representativo pelo tamanho de toda a turma:

Então, da turma de 36 alunos, a turma não passou por:

A proporção de um grupo representativo também pode ser usada para fornecer informações de porcentagem.

Na aula acima, qual porcentagem de alunos foi aprovada na aula? (Arredonde sua resposta para uma casa decimal.)

Já sei que o grupo representativo contém 12 alunos, dos quais 7 foram aprovados na turma. Convertendo isso em uma porcentagem (dividindo e movendo a vírgula decimal, conforme explicado aqui), obtenho:

Eles querem que a resposta seja arredondada para uma casa decimal, então minha resposta é:

No parque mencionado anteriormente, a proporção de patos para gansos é de 16 para 9. Quantos dos 300 pássaros são gansos?

A proporção me diz que, de cada grupo representativo de 16 + 9 = 25 pássaros, 9 são gansos. Ou seja, dos pássaros são os gansos. Posso usar esta fração do grupo representativo para encontrar a resposta para todo o grupo:

Este é o número que eles querem. Em todo o parque existem:

Geralmente, os problemas de proporção serão apenas uma questão de declarar proporções ou simplificá-las. Por exemplo:

Expresse a seguinte proporção da forma mais simples: $ 10 a $ 45

Este exercício quer que eu escreva a proporção como uma fração reduzida. Portanto, primeiro formarei a fração e, em seguida, farei o cancelamento que leva à & quots forma mais simples & quot.

Os cifrões também se cancelaram, porque eram iguais, na parte superior e inferior, na forma fracionária da proporção. Então, minha resposta é:

Esta fração reduzida é a expressão da razão na forma fracionária mais simples. As unidades (sendo os sinais & quotdollar & quot) canceladas na fração porque as unidades (ou seja, os símbolos & quot $ & quot) eram as mesmas em ambos os valores.

Quando ambos os valores em uma proporção têm a mesma unidade ou designador, não deve haver unidade ou designador na forma reduzida da proporção. As unidades não são fatores, exatamente, mas se cancelarão da mesma maneira que os fatores.

Expresse a seguinte proporção na forma mais simples: 240 milhas para 8 galões

Os termos nesta proporção têm unidades diferentes, então eles não serão cancelados, haverá unidades na minha proporção simplificada. Minha simplificação fica assim:

Esta proporção particular de unidades, & quot (milhas) / (galão) & quot, tem a sua própria forma simplificada, nomeadamente, & quot milhas por galão & quot, que é abreviada como & quotmpg & quot. Então, em inglês padrão, minha resposta é:

Em contraste com a resposta do exercício anterior, a resposta deste exercício fez precisa ter unidades nele, uma vez que as unidades nas duas partes da proporção (ou seja, as & quot milhas & quot e os & quotgallons & quot) não eram as mesmas e, portanto, não se cancelavam mutuamente. Quando uma proporção termina com unidades (ou dimensões) nela, a proporção também pode ser referida como uma "taxa". No caso do exercício acima, a taxa foi a distância percorrida por unidade de volume de combustível.

Qual é o comprimento, em pés, da área de jogo de um campo de futebol americano (ou seja, o comprimento do campo exclusivo das zonas & quotend & quot)?

Eu sei que o comprimento de um campo de futebol americano, exclusivo das zonas & quotend & quot, é de 100 jardas. Também sei que 3 pés são iguais a 1 jarda. Posso definir essa igualdade como uma proporção. Como eles me deram uma medida em & quotipados & quot, vou querer que a unidade de & quotipados & quot se cancele na minha multiplicação. Por causa disso, vou declarar minha proporção (de jardas para pés) com os & quotpés & quot no topo:

Agora posso multiplicar o comprimento que eles me deram pelo meu fator de conversão (sendo a proporção acima) e simplificar:

Esse valor é o número que eles querem, então minha resposta é:

Para mais informações sobre este tópico, veja a lição & quotCancelar / converter unidades & quot.

As proporções são a comparação de uma coisa com a outra (milhas para galões, pés para jardas, patos para gansos, etc.). Mas sua verdadeira utilidade está na definição e resolução de proporções.

Você pode usar o widget Mathway abaixo para praticar a conversão de proporções, expressas em notação & quotodds & quot, para a forma fracionária. Experimente o exercício inserido ou digite seu próprio exercício. Em seguida, clique no botão e selecione & quotConverter para uma fração simplificada & quot para comparar sua resposta com a de Mathway. (Ou pule o widget e prossiga para a próxima página.)

(Clique em & quotToque para ver as etapas & quot para ser levado diretamente ao site do Mathway para uma atualização paga.)


Questionário 1: Razão, Proporções e Fórmulas

Lembre-se de I = E / R, onde (I = amperes) contra resistência (R = ohms) no campo elétrico (E = volts.).

Na primeira marcha, ou marcha baixa, o motor de um automóvel funciona cerca de três vezes mais rápido que o eixo de transmissão. Na segunda marcha, o motor não precisa funcionar tão rápido, normalmente ele gira cerca de 1,6 vezes mais rápido que o eixo de transmissão. Finalmente, na terceira marcha, ou alta marcha, o motor funciona na mesma velocidade do eixo de transmissão.

Transmissão em segunda marcha

Na primeira marcha, ou marcha baixa, o motor de um automóvel funciona cerca de três vezes mais rápido que o eixo de transmissão. Na segunda marcha, o motor não precisa funcionar tão rápido, normalmente ele gira cerca de 1,6 vezes mais rápido que o eixo de transmissão. Finalmente, na terceira marcha, ou alta marcha, o motor funciona na mesma velocidade do eixo de transmissão.

Transmissão em primeira marcha

Porções de beterraba servidas = 6 onças.

Para calcular o número de libras de carne necessária para alimentar os comensais, faça o seguinte: para aves ou carne com ossos, divida o número a ser servido por 2,5 para carne com pouco ou nenhum osso, divida o número a ser servido por 3,5 e para peixes os filés dividem o número a ser servido por 3,5.

Carne servida = frango com osso

Lembre-se: (0,45) (w-lb) = (w-kg) e a proteína recomendada em gramas é numericamente igual ao peso da pessoa em quilogramas.


Assista o vídeo: Razões e Proporções - PROPORÇÕES (Outubro 2021).