# 2.5: Equações lineares - manipulando e resolvendo (resolvendo o quebra-cabeça)

Você está comprando na Old Navy sete roupas novas. Como você gasta $110 para adquirir todas as roupas necessárias sem exceder seu orçamento e, ao mesmo tempo, consegue o máximo de$ 30 itens possíveis?

Este é um problema de equações lineares e ilustra como você pode usá-las para tomar uma decisão ótima. Deixe (L ) representar a quantidade de roupas na faixa de preço mais baixa de $10, e (H ) representar a quantidade de roupas na faixa de preço mais alta de$ 30. Isso resulta nas seguintes equações algébricas:

[L + H = 7 text {(o número total de roupas que você precisa)} nonumber ]

[ $10 L +$ 30 H = $110 text {(seu orçamento total)} nonumber ] Ao resolver essas equações simultaneamente, você pode determinar quantas roupas em cada faixa de preço você pode comprar. Você encontrará muitas situações como essa em sua carreira empresarial, por exemplo, ao fazer o melhor uso da capacidade de produção de um fabricante. Suponha que sua empresa fabrique dois produtos na mesma linha de produção e venda toda a produção. Cada produto contribui de maneira diferente para a sua lucratividade e cada produto leva um tempo diferente para ser fabricado. Que combinação de cada um desses produtos você deve fazer para operar sua linha de produção na capacidade máxima e, ao mesmo tempo, maximizar os lucros obtidos? Esta seção explora como resolver equações lineares para variáveis ​​desconhecidas. ## Entendendo Equações Para manipular equações algébricas e resolver variáveis ​​desconhecidas, primeiro você deve se familiarizar com algumas linguagens importantes, incluindo equações lineares versus não lineares e lados da equação. O objetivo de manipular e resolver uma equação linear é encontrar um valor para a variável desconhecida que torne a equação verdadeira. Se você substituir um valor de (x = −1 ) no exemplo acima, o lado esquerdo da equação é igual ao lado direito da equação (consulte a Figura abaixo). O valor de (x = −1 ) é conhecido como a raiz, ou solução, da equação linear. ## Resolvendo uma equação linear com uma variável desconhecida Em seu estudo de resolução de equações lineares, você precisa começar manipulando uma única equação para resolver uma única variável desconhecida. Mais adiante nesta seção, você irá estender a partir desta base para a solução de duas equações lineares com duas incógnitas. ### Como funciona Para determinar a raiz de uma equação linear com apenas uma variável desconhecida, aplique as seguintes etapas: Passo 1: Seu primeiro objetivo é separar os termos que contêm o coeficiente literal dos termos que têm apenas coeficientes numéricos. Colete todos os termos com coeficientes literais em apenas um lado da equação e colete todos os termos com apenas coeficientes numéricos no outro lado da equação. Não importa quais termos vão para cada lado da equação, desde que você os separe. Para mover um termo de um lado para outro de uma equação, pegue o oposto matemático do termo que está sendo movido e adicione-o a ambos os lados. Por exemplo, se você deseja mover +3 em (4x + 3 = −2x - 3 ) do lado esquerdo para o lado direito, o oposto matemático de +3 é −3. Ao mover um termo, lembre-se da regra fundamental: o que você faz para um lado de uma equação, você também deve fazer para o outro lado da equação. Quebrar essa regra quebra a igualdade na equação. Passo 2: Combine todos os termos semelhantes em cada lado e simplifique a equação de acordo com as regras da álgebra. etapa 3: No termo que contém o coeficiente literal, reduza o coeficiente numérico a 1 dividindo ambos os lados da equação pelo coeficiente numérico. ### Anotações importantes Quando você não tem certeza se sua raiz calculada é precisa, uma maneira fácil de verificar sua resposta é pegar a equação original e substituir sua raiz pela variável. Se você tiver a raiz correta, o lado esquerdo da equação é igual ao lado direito da equação. Se você tiver uma raiz incorreta, os dois lados serão desiguais. A desigualdade normalmente resulta de um dos três erros mais comuns na manipulação algébrica: 1. As regras do BEDMAS foram quebradas. 2. As regras da álgebra foram violadas. 3. O que foi feito para um lado da equação não foi feito para o outro lado da equação. ### Coisas a serem observadas Quando você move um termo de um lado da equação para outro usando multiplicação ou divisão, lembre-se de que isso afeta todos os termos em ambos os lados da equação. Para remover o (x ) do denominador na seguinte equação, multiplique ambos os lados da equação por (x ): ( dfrac {5} {x} + dfrac {1} {x} = dfrac {2} {x} +2 ) torna-se (x left ( dfrac {5} {x} + dfrac {1} {x} right) = left ( dfrac {2} {x} +2 right) x ) que então se torna (5 + 1 = 2 + 2 x ) Multiplicar todos os termos em ambos os lados por (x ) mantém a igualdade. ### Caminhos para o sucesso Números negativos podem causar muita dor a algumas pessoas. Ao mover os termos de um lado específico da equação, muitas pessoas preferem evitar coeficientes numéricos negativos na frente dos coeficientes literais. Revisitando (4x + 3 = −2x - 3 ), você pode mover (4x ) do lado esquerdo para o lado direito subtraindo (4x ) de ambos os lados. No entanto, no lado direito, isso resulta em (- 6x ). O negativo é facilmente esquecido ou acidentalmente descartado em etapas futuras. Em vez disso, mova a variável para o lado esquerdo da equação, produzindo um coeficiente positivo de (6x ). Exemplo ( PageIndex {1} ): Como resolver o exemplo de abertura Pegue o exemplo em andamento nesta seção e resolva-o para (x ): (4x + 3 = −2x - 3 ) Solução Esta é uma equação linear, pois o expoente na variável é 1. Você deve resolver a equação e encontrar a raiz para (x ). O que você já sabe A equação já foi fornecida. Como você chegará lá Aplique as três etapas para resolver equações lineares. Para chegar à raiz, você deve seguir as regras de álgebra, BEDMAS e igualdade. Executar Passo 1: Mova os termos com coeficientes literais para um lado e os termos com apenas coeficientes numéricos para o outro lado. Vamos coletar o coeficiente literal no lado esquerdo da equação. Mova (- 2x ) para o lado esquerdo, colocando (+ 2x ) em ambos os lados. [4x + 3 = −2x - 3 não numérico ] No lado direito, (- 2x ) e (+ 2x ) se cancelam para zero. [4x + 3 ( bf {+ 2x}) = −2x - 3 ( bf {+ 2x}) nonumber ] Etapa 1 (continuação): Todos os termos com o coeficiente literal estão agora à esquerda. Vamos mover todos os termos contendo apenas coeficientes numéricos para o lado direito. Mova +3 para o lado direito, colocando −3 em ambos os lados. [4x + 3 + 2x = −3 nonumber ] No lado esquerdo, +3 e −3 se cancelam para zero. [4x + 3 + 2x ( bf {- 3}) = −3 ( bf {- 3}) nonumber ] Passo 2: Os termos agora estão separados. Combine termos semelhantes de acordo com as regras da álgebra. [4x + 2x = −3 - 3 não numérico ] etapa 3: O termo com o coeficiente literal está sendo multiplicado pelo coeficiente numérico de 6. Portanto, divida ambos os lados por 6. [ bf {6x = −6} nonumber ] Os coeficientes numéricos do lado esquerdo serão divididos por 1. Resolva os coeficientes numéricos do lado direito. [ dfrac {6 x} { bf {6}} = dfrac {-6} { bf {6}} não numérico ] Esta é a raiz da equação. [x = -1 nonumber ] A raiz da equação é (x = −1 ). Para verificar a precisão de sua manipulação, tire a raiz de (x = −1 ) e substitua-a na equação original: [4 (−1) + 3 = −2 (−1) - 3 não numérico ] [- 4 + 3 = 2 - 3 não numérico ] [- 1 = −1 não numérico ] O lado esquerdo é igual ao lado direito, então a raiz está correta. Exemplo ( PageIndex {2} ): Resolvendo uma equação linear com uma variável desconhecida Resolva a seguinte equação para (m ): ( dfrac {3 m} {4} +2 m = 4 m-15 ) Solução Esta é uma equação linear, pois o expoente da variável é 1. Você deve resolver a equação e encontrar a raiz para (m ). O que você já sabe A equação já foi fornecida. Como você chegará lá Simplifique as equações primeiro e, em seguida, aplique as três etapas para resolver equações lineares. Para chegar à raiz, você deve seguir as regras de álgebra, BEDMAS e igualdade. Você pode usar uma abordagem que evite negativos. Executar Primeiro, simplifique todas as frações para facilitar o trabalho com a equação. [ dfrac {3 m} {4} +2 m = 4 m-15 não numérico ] Ainda simplificando, reúna os termos semelhantes sempre que possível. [( bf {0.75m}) + 2m = 4m - 15 nonumber ] Passo 1: Colete todos os termos com o coeficiente literal em um lado da equação. Mova todos os termos com coeficientes literais para o lado direito. [( bf {2.75m}) = 4m - 15 nonumber ] Etapa 1 (continuação): Combine termos semelhantes e mova todos os termos com apenas coeficientes numéricos para o lado esquerdo. [2.75m ( bf {- 2.75m}) = 4m - 15 ( bf {- 2.75m}) nonumber ] No lado esquerdo, (+ 2.75m ) e (- 2.75m ) se cancelam. Agora mova os coeficientes numéricos para o lado esquerdo. [( bf {0}) = 4m - 15 ( bf {- 2,75m}) não numérico ] No lado direito, o −15 e o +15 se cancelam. [0 ( bf {+ 15}) = 4m - 15 - 2,75m ( bf {+ 15}) nonumber ] Passo 2: Combine termos semelhantes em cada lado. [0 ( bf {+ 15}) = 4m - 2,75m não numérico ] etapa 3: Divida os dois lados pelo coeficiente numérico que acompanha o coeficiente literal. [ bf {15 = 1,25m} não numérico ] Simplificar. [ dfrac {15} { bf {1,25}} = dfrac {1,25 m} { bf {1,25}} não numérico ] Esta é a raiz da equação. [12 = m não numérico ] A raiz da equação é (m = 12 ). Isso torna os dois lados da equação, ( dfrac {3 m} {4} +2 m ) e (4 m-15 ), igual a 33. Exemplo ( PageIndex {3} ): Resolvendo uma equação linear com uma variável desconhecida contendo frações Resolva a seguinte equação para (b ) e arredonde sua resposta para quatro decimais: ( dfrac {5} {8} b + dfrac {2} {5} = dfrac {17} {20} - dfrac { b} {4} ) Solução Esta é uma equação linear, pois o expoente da variável é 1. Você deve resolver a equação e encontrar a raiz para (b ). O que você já sabe A equação já foi fornecida. Embora você possa tentar limpar todas as frações ou encontrar um denominador comum, lembre-se de que você pode eliminar as frações convertendo-as em decimais. Como você chegará lá Simplifique as frações na forma decimal. Em seguida, aplique as três etapas para resolver equações lineares. Para chegar à raiz, você deve seguir as regras de álgebra, BEDMAS e igualdade. Executar Simplifique as frações e converta em decimais. [ dfrac {5} {8} b + dfrac {2} {5} = dfrac {17} {20} - dfrac {b} {4} não numérico ] Passo 1: Mova os termos do coeficiente literal para o lado esquerdo. [( bf {0,625}) b ( bf {+ 0,4}) = ( bf {0,85 - 0,25}) b não numérico ] Os coeficientes literais do lado direito se cancelam. [0,625b + 0,4 + ( bf {0,25b}) = 0,85 - 0,25b + ( bf {0,25b}) não-número ] Mova os termos do coeficiente numérico para o lado direito. [0,625b + 0,4 + 0,25b = 0,85 não numérico ] Os coeficientes numéricos do lado esquerdo se cancelam. [0,625b + 0,4 + 0,25b ( bf {- 0,4}) = 0,85 ( bf {- 0,4}) nonumber ] Passo 2: Combine termos semelhantes em cada lado. [0,625b + 0,25b = 0,85 - 0,4 não numérico ] etapa 3: Divida os dois lados pelo coeficiente numérico que acompanha o coeficiente literal. [ bf {0,875b = 0,45} não número ] Simplificar. [ dfrac {0,875 b} { bf {0,875}} = dfrac {0,45} { bf {0,875}} não numérico ] Arredonde para quatro casas decimais conforme as instruções. [b = 0,514285 não numérico ] Esta é a raiz. [b = 0,5143 não numérico ] A raiz da equação, arredondada para quatro decimais, é (b = 0,5143 ). ## Resolvendo Duas Equações Lineares com Duas Variáveis ​​Desconhecidas O processo de manipulação que você acabou de praticar funciona bem para resolver uma equação linear com uma variável. Mas o que acontece se você precisar resolver duas equações lineares com duas variáveis ​​simultaneamente? Lembra quando você estava na Old Navy comprando sete roupas no início deste capítulo (equação 1)? Você precisava ficar dentro de um orçamento de preços (equação 2). Cada equação tinha duas variáveis ​​desconhecidas que representam o número de roupas com preços mais baixos e mais caros. O objetivo é reduzir duas equações com duas incógnitas em uma única equação linear com uma incógnita. Depois que essa transformação for concluída, você identifica a variável desconhecida aplicando o procedimento de três etapas para resolver uma equação linear, conforme discutido anteriormente. Quando você trabalha com duas equações lineares com duas incógnitas, as regras da álgebra permitem as duas seguintes manipulações: 1. O que você faz para um lado da equação deve ser feito para o outro lado da equação para manter a igualdade. Portanto, você pode multiplicar ou dividir qualquer equação por qualquer número sem alterar a raiz da equação. Por exemplo, se você multiplicar todos os termos de (x + y = 2 ) por 2 em ambos os lados, resultando em (2x + 2y = 4 ), a igualdade da equação permanece inalterada e as mesmas raízes existem. 2. Os termos que estão no mesmo lado de uma equação podem ser adicionados e subtraídos entre as equações combinando termos semelhantes. Cada uma das duas equações tem um lado esquerdo e um lado direito. Esta regra permite pegar o lado esquerdo da primeira equação e adicionar ou subtrair termos semelhantes no lado esquerdo da segunda equação. Ao realizar esta ação, lembre-se da primeira regra acima. Se você somar os lados esquerdos das equações, deverá somar o lado direito de ambas as equações para manter a igualdade. ### Como funciona Siga estas etapas para resolver duas equações lineares com duas variáveis ​​desconhecidas: Passo 1: Escreva as duas equações uma acima da outra, alinhando verticalmente os termos que têm os mesmos coeficientes literais e os termos que têm apenas o coeficiente numérico. Se necessário, as equações podem precisar ser manipuladas de modo que todos os coeficientes literais fiquem de um lado e os coeficientes numéricos do outro lado. Passo 2: Examine suas duas equações. Por meio da multiplicação ou divisão, faça o coeficiente numérico em um dos termos contendo um coeficiente literal exatamente igual à sua contraparte na outra equação. etapa 3: Adicione ou subtraia as duas equações conforme necessário para eliminar o termo idêntico de ambas as equações. Passo 4: Na nova equação, resolva o último coeficiente literal. Etapa 5: Substitua a raiz do coeficiente literal conhecido em qualquer uma das duas equações originais. Se uma das equações assumir uma estrutura mais simples, escolha essa equação. Etapa 6: Resolva a equação escolhida para o outro coeficiente literal. ### Caminhos para o sucesso Às vezes, não está claro exatamente como você precisa multiplicar ou dividir as equações para tornar dois dos termos idênticos. Por exemplo, suponha as seguintes duas equações: [4,9x + 1,5y = 38,3 não numérico ] [2.7x - 8.6y = 17.8 nonumber ] Se o objetivo é tornar os termos que contêm o coeficiente literal (x ) idênticos, existem duas soluções alternativas: 1. Pegue o maior coeficiente numérico para (x ) e divida-o pelo menor coeficiente numérico. O número resultante é o fator de multiplicação da equação contendo o menor coeficiente numérico. Neste caso, (4.9 div 2.7 = 1. Overline {814} ). Multiplique todos os termos na segunda equação por (1. Overline {814} ) para fazer os coeficientes numéricos para (x ) iguais uns aos outros, resultando neste par de equações: [4,9x + 1,5y = 38,3 não numérico ] [4,9 x-15,6 overline {074} y = 32,3 overline {037} text {(cada termo multiplicado por} 1. Overline {814}) nonumber ] 1. Pegue a primeira equação e multiplique-a pelo coeficiente numérico da segunda equação. Em seguida, pegue a segunda equação e multiplique-a pelo coeficiente numérico da primeira equação. Nesse caso, multiplique todos os termos da primeira equação por 2,7. Em seguida, multiplique todos os termos da segunda equação por 4,9. [13,23 x + 4,05 y = 103,41 text {(cada termo multiplicado por} 2,7) nonumber ] [13,23 x-42,14 y = 87,22 text {(cada termo multiplicado por 4,9)} nonumber ] Observe que ambas as abordagens resultam com sucesso em ambas as equações com o mesmo coeficiente numérico na frente do coeficiente literal (x ). ### Caminhos para o sucesso Em última análise, cada par de equações lineares com duas incógnitas pode ser convertido em uma única equação por meio da substituição. Para fazer a conversão, faça o seguinte: 1. Resolva qualquer uma das equações para uma das variáveis ​​desconhecidas. 2. Pegue a expressão algébrica resultante e substitua-a na outra equação. Esta nova equação pode ser resolvida para uma das variáveis ​​desconhecidas. 3. Substitua sua variável recém-descoberta em uma das equações originais para determinar o valor da outra variável desconhecida. Faça as duas equações a seguir: [a + b = 4 quad quad 2a + b = 6 nonumber ] 1. Resolver a primeira equação para a resulta em (a = 4 - b ). 2. Substituir a expressão de a na segunda equação e resolver para b resulta em (2 (4 - b) + b = 6 ), que é resolvido como (b = 2 ). 3. Finalmente, substituir a raiz de b na primeira equação para calcular a resulta em (a + 2 = 4 ) resultando em (a = 2 ). Portanto, as raízes dessas duas equações são (a = 2 ) e (b = 2 ). Exemplo ( PageIndex {4} ): Comprando essas roupas Lembre-se do abridor de seção que, ao comprar roupas, há duas faixas de preço de US$ 10 e US $30, seu orçamento é de US$ 110 e você precisa de sete peças de roupa. As equações abaixo representam essas condições. Identifique quantas roupas de baixo preço ( (L )) e roupas de alto preço ( (H )) você pode comprar.

[L + H = 7 text {} $10L +$ 30H = $110 nonumber ] Solução Você precisa determinar a quantidade de itens de baixo preço, ou (L ), e itens de alto preço, ou (H ), que estão dentro do seu orçamento limitado. Observe que os expoentes nas variáveis ​​são 1 e que existem duas incógnitas. Portanto, existem duas equações lineares com duas incógnitas. O que você já sabe Você precisa de sete peças de roupa e tem um orçamento de apenas$ 110. As equações expressam as relações de quantidade e orçamento.

Como você chegará lá

Aplique o procedimento de seis etapas para resolver duas equações lineares com duas incógnitas.

Passo 1:

Escreva as equações uma acima da outra e alinhe-as.

[ begin {array} {lllll} {L} & + & {H} & = & {7} { $10L} & + & {$ 30H} & = & { $110} end {array} nonumber ] Passo 2: Multiplique todos os termos da primeira equação por 10 para que (L ) tenha o mesmo coeficiente numérico em ambas as equações. [ begin {array} {lllll} {10L} & + & {10H} & = & {70} {$ 10L} & + & { $30H} & = & {$ 110} end {array} nonumber ]

etapa 3:

Subtraia as equações subtraindo todos os termos em ambos os lados.

[ begin {array} {llllll} {} & {10L} & + & {10H} & = & {70} { text {subtract}} & { $10L} & + & {$ 30H } & = & { $110} {} & {} & - & {$ 20H} & = & {- $40} end {array} nonumber ] Passo 4: Resolva para (H ) dividindo ambos os lados por −20. [ dfrac {-$ 20 H} {- $20} = dfrac {-$ 40} {- $20} quad H = 2 nonumber ] Etapa 5: Substitua o valor conhecido por (H ) em uma das equações originais. A primeira equação é simples, então escolha essa. [ begin {array} {lllll} {L} & + & {H} & = & {7} {L} & + & {2} & = & {7} end {array} nenhum número ] Etapa 6: Resolva para (L ) subtraindo 2 de ambos os lados. Agora você tem as raízes para (L ) e (H ). [ begin {array} {lllllllll} {L} & + & {2} & - & {2} & = & {7} & - & {2} {} & {} & {} & {} & {L} & = & {5} & {} & {} end {array} nonumber ] Você pode comprar cinco artigos de vestuário na faixa de preço baixo e duas peças de roupa na faixa de preço alto. Isso permite que você compre sete peças de roupa e fique dentro do orçamento de US$ 110.

### Caminhos para o sucesso

Uma das áreas mais difíceis da matemática envolve a tradução de palavras em símbolos e operações matemáticas. Para ajudar nessa tradução, a tabela a seguir lista alguns idiomas comuns e o símbolo matemático que normalmente está associado à palavra ou frase.

LínguaSímbolo Matemático

Soma

Além de

Em excesso

Mais

+

Subtrair

Diminuído por

Diminuído por

Menos menos

Diferença

Reduzido por

-

Vezes

Porcentagem de

Produto de

Do

×

Dividir

Divisão

Divisível

Quociente

Por÷

Torna-se

É / Era / Era

Será

Resulta em

Totais

=
Mais do queMaior que>
Menor queMais baixo que<
Melhor que ou igual a
Menos que ou igual a
Diferente de

Exemplo ( PageIndex {5} ): Resolvendo duas equações lineares com duas desconhecidas para um parque de diversões

O Tinkertown Family Fun Park cobra US $15 por uma pulseira de criança e US$ 10,50 por uma pulseira de adulto. Em um dia quente de verão, o parque de diversões teve uma receita total de pulseiras de US $15.783 com a venda de 1.279 pulseiras. Quantas pulseiras para adultos e crianças o parque vendeu naquele dia? Solução Você precisa do número de pulseiras para adultos e crianças vendidas em um determinado dia. Portanto, você deve identificar duas incógnitas. O que você já sabe O preço das pulseiras, a quantidade total e as vendas são conhecidos: Preço da pulseira infantil =$ 15

Preço da pulseira de adulto = $10,50 Receita total =$ 15.783

Vendas unitárias totais = 1.279

A quantidade de pulseiras de adulto vendidas e a quantidade de pulseiras de criança vendidas são desconhecidas:

Quantidade de pulseiras infantis = (c )

Como você chegará lá

1. Trabalhe primeiro com as quantidades. Calcule o total de vendas unitárias adicionando o número de pulseiras de adulto ao número de pulseiras de criança:

[ # text {de pulseiras de adulto} + # text {de pulseiras de criança} = text {total de vendas por unidade} nonumber ]

[a + c = 1.279 não numérico ]

1. Agora considere os números em dólares. A receita total de qualquer empresa é calculada como o preço unitário multiplicado pelas unidades vendidas. Nesse caso, você deve somar a receita de dois produtos para obter a receita total.

[ text {Receita total de adultos} + text {Receita total de crianças} = text {Receita total} não numérico ]

[ text {(Preço de adulto} times text {Garantia de adulto}) + text {(Preço de criança} times text {Quantidade de criança)} = text {Receita total} nonumber ]

[ $10,50 a +$ 15 c = $15.783 não número ] 1. Aplique o procedimento de seis etapas para resolver duas equações lineares com duas incógnitas. Executar Passo 1: Escreva as equações uma acima da outra e alinhe-as. [ begin {array} {lllll} {a} & + & {c} & = & {1.279} {$ 10.50a} & + & { $15c} & = & {$ 15.783} end {array} nonumber ]

Passo 2:

Multiplique todos os termos da primeira equação por 10,5, resultando em um tendo o mesmo coeficiente numérico em ambas as equações.

[ begin {array} {lllll} { bf {10.50} a} & + & { bf {10.50} c} & = & { bf {13.429.50}} { $10.50a} & + & {$ 15c} & = & { $15.783} end {array} nonumber ] etapa 3: Subtraia as equações subtraindo todos os termos em ambos os lados. [ begin {array} {llllll} {} & { bf {10.50} a} & + & { bf {10.50} c} & = & { bf {13.429,50}} { text {Subtrair} } & { underline {$ 10.50a}} & { underline {+}} & { underline { $15c}} & { underline {=}} & { underline {$ 15.783}} {} & {} & {} & { bf {-4.5c}} & { bf {=}} & { bf {-2.353,50}} end {array} nonumber ]

Passo 4:

Resolva para (c ) dividindo ambos os lados por -4,5.

[ dfrac {-4,5 c} {- 4,5} = dfrac {-2,353,50} {- 4,5} quad c = 523 não numérico ]

Etapa 5:

Substitua o valor conhecido por (c ) em uma das equações originais. A primeira equação é simples, então escolha essa.

[ begin {array} {lllll} {a} & + & {c} & = & {1.279} {a} & + & { bf {523}} & = & {1.279} end {array} nonumber ]

Etapa 6:

Resolva a subtraindo 523 de ambos os lados. Agora você tem as raízes de (a ) e (c ).

[ begin {alinhados} a + 523 bf {-523} & = 1.279 bf {-523} a & = 756 end {alinhados} nonumber ]

O Tinkertown Family Fun Park vendeu 523 pulseiras infantis e 756 pulseiras adultas.

## 2.5: Equações lineares - manipulando e resolvendo (resolvendo o quebra-cabeça)

Uma declaração de equação indicando que duas expressões algébricas são iguais. é uma declaração que indica que duas expressões algébricas são iguais. Uma equação linear com uma variável Uma equação que pode ser escrita na forma padrão a x + b = 0, onde uma e b são números reais e a ≠ 0. , x, é uma equação que pode ser escrita na forma padrão a x + b = 0, onde uma e b são números reais e a ≠ 0. Por exemplo,

Uma solução Qualquer valor que pode substituir a variável em uma equação para produzir uma afirmação verdadeira. a uma equação linear é qualquer valor que pode substituir a variável para produzir uma afirmação verdadeira. A variável na equação linear 3 x - 12 = 0 é x e a solução é x = 4. Para verificar isso, substitua o valor 4 por x e verifique se você obteve uma afirmação verdadeira.

3 x - 12 = 0 3 (4) - 12 = 0 12 - 12 = 0 0 = 0 ✓

Alternativamente, quando uma equação é igual a uma constante, podemos verificar uma solução substituindo o valor em pela variável e mostrando que o resultado é igual àquela constante. Nesse sentido, dizemos que as soluções “satisfazem a equação”.

### Exemplo 1

É a = - 1 2 uma solução para - 10 a + 5 = 25?

Lembre-se de que, ao avaliar expressões, é uma boa prática substituir primeiro todas as variáveis ​​por parênteses e, em seguida, substituir os valores apropriados. Fazendo uso de parênteses, evitamos alguns erros comuns ao trabalhar a ordem das operações.

- 10 a + 5 = - 10 (- 1 2) + 5 = 5 + 5 = 10 ≠ 25 ✗

Resposta: Não, a = - 1 2 não satisfaz a equação.

O desenvolvimento de técnicas para resolver várias equações algébricas é um dos nossos principais objetivos na álgebra. Esta seção revisa as técnicas básicas usadas para resolver equações lineares com uma variável. Começamos definindo equações equivalentes Equações com o mesmo conjunto de soluções. como equações com o mesmo conjunto de soluções.

3 x - 5 = 16 3 x = 21 x = 7> E q u i v a l e n t e q u a t i o n s

Aqui podemos ver que as três equações lineares são equivalentes porque compartilham o mesmo conjunto de soluções, a saber, <7>. Para obter equações equivalentes, use as seguintes propriedades de Propriedades de igualdade que nos permitem obter equações equivalentes adicionando, subtraindo, multiplicando e dividindo ambos os lados de uma equação por números reais diferentes de zero. . Dadas expressões algébricas UMA e B, Onde c é um número diferente de zero:

Observação: A multiplicação ou divisão de ambos os lados de uma equação por 0 é cuidadosamente evitada. A divisão por 0 é indefinida e a multiplicação de ambos os lados por 0 resulta na equação 0 = 0.

Resolvemos equações algébricas isolando a variável com um coeficiente de 1. Se for dada uma equação linear da forma a x + b = c, podemos resolvê-la em duas etapas. Primeiro, use a propriedade de igualdade apropriada de adição ou subtração para isolar o termo variável. Em seguida, isole a variável usando a propriedade de igualdade de multiplicação ou divisão. A verificação da solução nos exemplos a seguir é deixada para o leitor.

### Exemplo 2

7 x - 2 = 19 7 x - 2 + 2 = 19 + 2 A d d 2 to b o t h s i d e s. 7 x = 21 7 x 7 = 21 7 D i v i d e b o t h s i d e s b y 7. x = 3

### Exemplo 3

Quando nenhum sinal precede o termo, é considerado positivo. Em outras palavras, pense nisso como 56 = + 8 + 12 y. Portanto, começamos subtraindo 8 em ambos os lados do sinal de igual.

56 - 8 = 8 + 12 y - 8 48 = 12 y 48 12 = 12 y 12 4 = y

Não importa de que lado escolhemos isolar a variável porque a propriedade simétrica Permite que você resolva a variável em qualquer lado do sinal de igual, porque x = 5 é equivalente a 5 = x. afirma que 4 = y é equivalente a y = 4.

### Exemplo 4

Isole o termo variável usando a propriedade de adição de igualdade e, em seguida, multiplique ambos os lados da equação pelo recíproco do coeficiente 5 3.

5 3 x + 2 = - 8 5 3 x + 2 - 2 = - 8 - 2 S u b t r a c t 2 on b o t h s i d e s. 5 3 x = - 10 3 5 ⋅ 5 3 x = 3 5 ⋅ (- 10) - 2 M u l t i p l y b o t h s i d e s por y 3 5. 1 x = 3 ⋅ (- 2) x = - 6

Em resumo, para reter equações equivalentes, devemos realizar a mesma operação em ambos os lados da equação.

Experimente isso! Resolva: 2 3 x + 1 2 = - 5 6.

## Resolvendo por Combinação

O princípio básico da solução por combinação é manipule duas equações de modo que, quando as equações são somadas, uma das variáveis ​​se cancela. Como uma das variáveis ​​é cancelada, esse método às vezes é chamado de método de eliminação.

Vamos usar a combinação para resolver este sistema de duas equações:

Este sistema de equações é adequado para combinação, porque já existe um 2x em ambas as equações. Portanto, se subtrairmos a equação (1) da equação (2) & # 8211 ou, equivalentemente, multiplicarmos a equação (1) por -1 e adicionarmos as duas equações & # 8211, teremos uma única equação com y:

Dividindo os dois lados, descobrimos que y = -4/3. Podemos então conectar y de volta em qualquer equação original para obter o valor de x, como fizemos ao resolver por substituição.

Ainda podemos resolver por combinação, mesmo que as variáveis ​​não estejam alinhadas tão bem. Por exemplo, podemos começar de novo e resolver o sistema de equações fazendo o y& # 8216s cancelar, em vez do x& # 8216s. Para fazer isso, podemos multiplicar a primeira equação (1) pelo número 2 em ambos os lados:

Agora subtraindo (2) desse resultado nos dá:

Resolvendo, encontramos x = 7. Para terminar o trabalho, substituímos x = 7 em qualquer uma das equações originais. Se ligarmos x = 7 em (1), obtemos:

Subtraindo 14 de ambos os lados, obtemos

E dividindo por 3, descobrimos que

Portanto, a solução para as duas equações (1) e (2) é:

A maioria das pessoas prefere o método de substituição ao método de combinação. No entanto, o método de combinação será muito mais rápido em certas questões, então se você não pensar em usá-lo, provavelmente perderá tempo ou uma resposta correta na seção Quant. Além disso, você quer se sentir confortável com o conceito de que equações podem ser adicionadas, uma vez que uma dada equação afinal é igual em ambos os lados, uma vez que esse fato pode ser útil mesmo quando você não está resolvendo um sistema de equações lineares pelo método de combinação.

Como mencionei antes, nossas variáveis ​​são formatadas conforme abaixo:

Para garantir que cada caixa tenha apenas valor, podemos manter o linha, col constante e variar o valor de 1 a 9. A soma dos valores binários deve ser igual a 1, pois apenas uma variável será igual a 1 e as outras devem ser 0.

(valor = 1, linha = 1, col = 1) + (valor = 2, linha = 1, col = 1) + (valor = 3, linha = 1, col = 1) + (valor = 4, linha = 1 , col = 1) + (valor = 5, linha = 1, col = 1) + (valor = 6, linha = 1, col = 1) + (valor = 7, linha = 1, col = 1) + (valor = 8, linha = 1, col = 1) + (valor = 9, linha = 1, col = 1) == 1

Teremos de realizar esta verificação para todas as combinações diferentes de linha, col

## Como encontrar a calculadora de equações lineares de resolução?

Uma equação linear é definida como uma equação escrita para duas variáveis ​​diferentes. Esta equação será uma combinação linear dessas duas variáveis ​​e uma constante.

Uma equação na forma Ax + By = C. Aqui, x e y são variáveis ​​e A, B e C são constantes.

### Exemplo resolvido:

Resolva 2x + y = 7 e x + y = 5

### Solução:

Da mesma forma, você pode tentar a calculadora para encontrar o valor da álgebra para uma determinada equação

## PROBLEMAS DE MANIPULAÇÃO ALGEBRÁICA

Se x & gt 0 e & # xa0 x 2 - 2x - 35 & # xa0 = & # xa0 0, encontre o valor de:

Se t & lt 0 e (t - 1) 2 & # xa0 = 16, qual é o valor de t 2 & # xa0?

Seja "x" um número real que satisfaça as relações (2x-5) & # xa0 & gt 2 e (3x + 3) & lt 18. Qual dos valores "x" pode assumir?

Calcule o quinto termo da sequência definida como

Encontre o domínio da função: & # xa0

Esperamos que os alunos sejam capazes de resolver os problemas de manipulação a lébrica1 no SAT acima. & # Xa0

Além do material fornecido nesta seção, & # xa0 & # xa0 se você precisar de qualquer outro material em matemática, use nossa pesquisa personalizada do Google aqui.

Se você tiver algum comentário sobre nosso conteúdo de matemática, envie-nos um e-mail: & # xa0

Sempre apreciamos seus comentários. & # Xa0

Você também pode visitar as seguintes páginas da web sobre diferentes assuntos em matemática. & # Xa0

## Atividades de equações de solução de labirinto

### Resolvendo Equações de Uma Etapa

• 2-1 Resolvendo equações de uma etapa - Respostas - Atividade de labirinto (PDF - somente para membros)
• 2-1 Resolvendo equações de uma etapa - Atividade de labirinto (editável - somente para membros)
• ⭐ Resolvendo Equações de Uma Etapa - Atividade de Labirinto(PDF - FREEBIE)

### Resolvendo Equações de Duas Etapas

• 2-2 Resolvendo equações de duas etapas - Respostas - Atividade de labirinto (PDF - somente para membros)
• 2-2 Resolvendo equações de duas etapas - Atividade de labirinto (editável - somente para membros)
• ⭐ Resolvendo Equações de Duas Etapas - Atividade de Labirinto(PDF - FREEBIE)

### Resolvendo Equações Multi-Passos

• 2-3 Solving Multi-Step Equations - Answers - Maze Activity (PDF - Member Only)
• 2-3 Solving Multi-Step Equations - Maze Activity (Editable - Member Only)
• ⭐ Solving Multi-Step Equations - Maze Activity(PDF - FREEBIE)

### Solving Equations with Variables on Both Sides

• 2-4 Solving Equations with Variables on Both Sides - Answers - Maze Activity (PDF - Member Only)
• 2-4 Solving Equations with Variables on Both Sides - Maze Activity (Editable - Member Only)
• ⭐ Solving Equations with Variables on Both Sides - Maze Activity(PDF - FREEBIE)

### Literal Equations and Formulas

• 2-5 Literal Equations and Formulas - Answers - Maze Activity (PDF - Member Only)
• 2-5 Literal Equations and Formulas - Maze Activity (Editable - Member Only)
• ⭐ Literal Equations and Formulas - Maze Activity(PDF - FREEBIE)

### Ratios, Rates, and Conversions

• 2-6 Ratios, Rates, and Conversions - Answers - Maze Activity (PDF - Member Only)
• 2-6 Ratios, Rates, and Conversions - Maze Activity (Editable - Member Only)
• ⭐ Ratios, Rates, and Conversions - Maze Activity(PDF - FREEBIE)

### Solving Proportions

• 2-7 Solving Proportions - Answers - Maze Activity (PDF - Member Only)
• 2-7 Solving Proportions - Maze Activity (Editable - Member Only)
• ⭐ Solving Proportions - Maze Activity(PDF - FREEBIE)

### Proportions and Similar Figures

• 2-8 Proportions and Similar Figures - Answers - Maze Activity (PDF - Member Only)
• 2-8 Proportions and Similar Figures - Maze Activity (Editable - Member Only)
• ⭐ Proportions and Similar Figures - Maze Activity(PDF - FREEBIE)

### Percentages

• 2-9 Percentages - Answers - Maze Activity (PDF - Member Only)
• 2-9 Percentages - Maze Activity (Editable - Member Only)
• ⭐ Percentages - Maze Activity(PDF - FREEBIE)

### Change Expressed as a Percent

• 2-10 Change Expressed as a Percent - Answers - Maze Activity (PDF - Member Only)
• 2-10 Change Expressed as a Percent - Maze Activity (Editable - Member Only)
• ⭐ Change Expressed as a Percent - Maze Activity(PDF - FREEBIE)

## Solving Linear Equations

The simplest equation to solve is a linear equation. A linear equation is an equation where the highest exponent of the variable is ( ext<1>) . The following are examples of linear equations:

Solving an equation means finding the value of the variable that makes the equation true. For example, to solve the simple equation (x + 1 = 1) , we need to determine the value of (x) that will make the left hand side equal to the right hand side. The solution is (x = 0) .

The solution, also called the root of an equation, is the value of the variable that satisfies the equation. For linear equations, there is at most one solution for the equation.

To solve equations we use algebraic methods that include expanding expressions, grouping terms, and factorising.

Check the answer by substituting (x=-cfrac<1><2>) .

começar ext & = 2x + 2 & = 2(-cfrac<1><2>) + 2 & = -1 + 2 & = 1 ext & =1 end

The following video gives an introduction to solving linear equations.

Note that the video(s) in this lesson are provided under a Standard YouTube License.

## Let&rsquos Start &hellip Coding!

The Games::LMSolve::Base class tries to solve a game by iterating through its various positions, recording every one it passes through, and trying to reach the solution. However, it does not know in advance what the games rules are, and what the meaning of the positions and moves are. In order for it to know that, we need to inherit it and code several methods that are abstract in the base class.

We will code a derived class that will implement the logic specific to the Jumping Cards game. It will implement the following methods, which, together with the methods of the base class, enable the solver to solve the game:

1. input_board
2. pack_state
3. unpack_state
4. display_state
5. check_if_final_state
6. enumerate_moves
7. perform_move
8. render_move

Here&rsquos the beginning of the file where we put the script:

As can be seen, we declared a new package, Jumping::Cards , imported the Games::LMSolve::Base namespace, and inherited from it. Now let&rsquos start declaring the methods. First, a method to input the board in question.

Since our board is constant, we just return an array reference that contains the initial sequence.

When Games::LMSolve::Base iterates over the states, it stores data about each state in a hash. This means we&rsquore going to have to provide a way to convert each state from its expanded form into a uniquely identifying string. The pack_state method does this, and in our case, it will look like this:

It is a good idea to use functions like pack , join or any other serialization mechanism here. In our case, we simply used join .

It is not very convenient to manipulate a packed state, and so we need another function to expand it. unpack_state does the opposite of pack_state and expands a packed state.

display_state() converts a packed state to a user-readable string. This is so that it can be displayed to the user. In our case, the comma-delimited notation is already readable, so we leave it as that.

We need to determine when we have reached our goal and can terminate the search with a success. The check_if_final_state function accepts an expanded state and checks if it qualifies as a final state. In our case, it is final if it&rsquos the 8-to-1 sequence.

Now we need a function that will tell the solver what subsequent states are available from each state. This is done by enumerating a set of moves that can be performed on the state. The enumerate_moves function does exactly that.

What enumerate_moves does is iterate over the indices of the locations twice, and checks every move for the validity of the resultant board. If it&rsquos OK, it pushes the exchanged indices to the array @moves , which is returned at the end.

We also need a function that will translate an origin state and a move to a resultant state. The perform_move function performs a move on a state and returns the new state. In our case, it simply swaps the cards in the two indices specified by the move.

Finally, we need a function that will render a move into a user-readable string, so it can be displayed to the user.

## Solving linear equations

This unit teaches students to identify linear relationships and solve linear equations in context.

• Identify and find values for variables in context.
• Identify linear relationships in context.
• Represent linear relationships using tables, graphs and simple linear equations.
• Draw strip diagrams to represent linear equations.
• Solve simple linear equations and interpret the answers in context.

Algebra started with the need to solve problems. Al Khwarizmi, a Persian mathematician, was arguably the first person to represent linear and quadratic problems in symbolic form and solved the problems by processes of ‘restoration’, i.e. equivalent operations that conserved equality. In fact, the word for algebra comes from the Arabic word for restoration.

It is fitting then that modern approaches to algebra focus on the thinking that underpins the symbolic systems. Algebraic thinking is concerned with generalisation. Letters, words, tables, graphs, networks, etc. are cultural tools that enable us to represent, then think with, those generalisations. With representational tools we are capable of ‘amplified cognition’ in that we can anticipate results that would never be possible if we relied solely on the physical environment, and on our limited capacity to process ideas just mentally.

Generalisation begins with noticing patterns and structures. A pattern is a consistency, that is something that occurs in a predictable way. It is the ‘what’ of algebraic thinking. Structure is about the organisation of patterns. It is the ‘how’ and sometimes the ‘why’ of generalisation. From noticing pattern and structure, we develop properties. For example, early counting involves pattern and structure. The ‘fourness’ of a collection comes from noticing sameness among collections of four, irrespective of the size, colour, texture, etc. of the objects. Structure of counting involves ideas like the order of counting the objects doesn’t matter.

#### Specific Teaching Points

In upper primary school, learning experiences for algebraic thinking typically begin with patterns. Usually these patterns are spatial and may be connected to some meaningful life context, though number patterns are also rich in opportunity. Patterns involve variables, that is features, some of which can be quantified. For example, consider this simple spatial pattern.

Among the variables we might discern that the ‘tower’ has height and each ‘tower’ is made of some number of squares. Height and number of cubes may not be the only variables, just those we notice. Variables change, that is height varies and so does the number of squares in the ‘tower’. We might try to find a relation between the variables, describe and represent that relation, and use it to predict how the pattern grows beyond what we can see. Then we are thinking with the properties and representations in a sophisticated way.

On the way it is likely we will need to organise the data from the pattern systematically. A table of values is a productive generic strategy, so we represent the pattern like this:

The danger in moving to an organised numeric strategy like a table too early is that it may negate what we can ‘see’ in the pattern visually. Noticing and reasoning may be inductive, that is tied to the incremental change of the figures. Por exemplo:

Noticing and reasoning can also be abductive, that is based on the structure of one example.

Noticing and reasoning can be deductive, that is based on making assumptions about structure and reasoning with the assumptions. For example, we might assume that the tower is composed of an array of something multiplied by three plus two.

From the assumptions we might deduce the appearance of towers much further on in the sequence, e.g. A tower 100 high will contain 2 + 99 x 3 squares. Ways of ‘seeing’ the pattern are manifest in relations within the table of values. For example, inductive thinking leads to seeing the values in the bottom row increasing by three each time. Abductive reasoning might support seeing this relation in the table:

Representing the relation as an algebraic equation involves two important and connected types of knowledge, related to the language conventions (semiotics), and to the nature of variables. We might write s = 3h – 1, or s = 3(h - 1) + 2, or s = 2h + (h – 1), depending on what we notice. The equations are meaningless to anyone else unless we clearly define what the variables, s and h, represent. Note that both and s refer to quantities that vary and are not fixed objects, such as houses or towers. Quantities are a combination of count and measurement unit. In this case h expresses unit lengths in height, and s refers to an area of squares. 3h means h multiplied by three, not thirty-something, and 3(h - 1) means that one is subtracted from h before the multiplication by three occurs. Working with variables requires acceptance of lack of closure, that is thinking with an object (h in this case) without specifically knowing what it is. For example, knowing that 3(h – 1) = 3h – 3 is true, irrespective of whatever the value of h, is itself a generalisation. The equals sign represents a statement of ‘transitive balance’ meaning that the balance is conserved if equivalent operations are performed on both sides of the equation. Knowledge of which operations conserve equality and those which disrupt it are important generalisations about the properties of numbers under those operations, e.g. distributive property of multiplication.

This unit specifically deals with relations that are linear. The first sign of linearity is that there is constant difference in the increase or decrease of one variable, as the value of the other increases by one. In the table above the number of squares increases by three as height increases by one.

Note that this graph shows a relation, not a function, since the values of variables are discrete, not continuous. There are some important connections between features of the algebraic equation, the table and the graph of a linear relation. Constant difference is represented by the co-efficient of the independent variable (s = 3h -1 in this case), differences of three in the bottom values of the table, and a slope of three (change in s for every unit change in h). The constant in the equation (- 1) is reflected in the table by a need to adjust the value of 3h by subtracting one to get the value of s, and reflected in the graph as a downward translation (shift) of the graph for s = 3h by one unit. This results in the intercept of the graph with the s axis being (0, -1), not the origin (0, 0).

Simple linear equations occur when the value of one variable in a relation or function is set and the other must be found. For example, with the tower problem this problem might be posed “A tower in the pattern has 98 squares. How high is the tower?” Depending on the equation used to represent the relation, this problem can be expressed as 3h – 1 = 98, 3(h – 1) + 2 = 98 or 2h + (h – 1) = 98. Linear equations with the variable on both sides occur when two conditions are equalised. An example might be, “Both Lilly and Todd look at the same tower. Lilly notices that the number of squares in the tower is three times the height less one. Todd notices that the number of squares is two times the height plus 18. How tall is the tower?” This problem can be written as 3h – 1 = 2h + 18.

• Attachments as listed at the bottom of the unit

#### Prior Experience

It is anticipated that students at Level 4 understand, and are proficient with, multiplicative thinking. However, the tasks in this unit are also accessible for students whose preference is additive thinking. In fact, the experiences may prompt a move towards multiplicative thinking.

#### Session One: Maia the Moa

In this session students are shown a spatial growth pattern for a moa made from square tiles. As Maia the moa ages she grows in her legs, body and neck while her feet and head remain constant. Session One is driven using PowerPoint One. The approach is to structure one example of the pattern then transfer that structure to other members of the pattern.

1. Show the students Slide One. Aim to identify features of the pattern that might become variables. Perguntar: What do you notice about this figure?
Students might notice different features such as colour, height, width, age, total number of squares, etc.
2. Perguntar: Is there an easy way to count the number of squares that Maia is made of?
3. Give students a while to structure their counting then ask them to share their method with others. Building a model of Maia at age three years with connecting cubes allows students to experiment with ways to partition the model. Encourage them to express their counting method as an expression. Use these videos to show examples of how to do this, but only if needed:
4. Ask students to apply their counting structures to Maia at age two years (Slide Two). Ask them to record expressions for their counting strategy and compare them to what they recorded for year four.
5. Perguntar: What changes and what stays the same in your expressions?
For example, from Casey’s method these two expressions emerge:
4 + 2 x 3 + 2 (Age two) 6 + 2 x 5 + 2 (Age four)
The ‘+ 2’ is constant and ‘2 x’ is present in both expressions. The other numbers vary.
6. Perguntar: What will your expression for Maia at age three years look like? Write the expression then check it by drawing a picture of Maia at age three (See Slide 3).
7. Ask students to show where the parts of their expressions come from in the picture. For Casey’s method the expression is 5 + 2 x 4 + 2. Slide 4 shows how parts of the diagram can be linked to parts of the expression. Look at the strategies of the students.
Are their strategies based on induction? That is sequential processing. For example, 4 , ? , 6, so ? = 5, and 2 x 3, 2 x ?, 2 x 5, so ? = 4.
8. Are their strategies based on deduction? That is reasoning about the structure of any term. For example, the first number is two more than the age, and the multiplier of two is one more than the age. So, for y = 3 Casey’s expression is 5 + 2 x 4 + 2.
9. Pose this problem for students to explore individually or in small co-operative groups:
Imagine that Maia celebrates her twentieth birthday.
How many squares will she be made of?
Find a way to predict the number of squares that Maia is made of for any age in years?
10. Allow students plenty of time to explore the problem. Look for the following:
• Do the students record the data systematically? For example, if they draw Maia at age five years. Are their structural counting methods consistent? Is their recording in sequence?
• Do students use inductive methods? For example, Maia increases by three squares each year.
• Do students use deductive methods? For example, applying Casey’s method Maia should be (20 + 2) + 2 x (20 + 1) + 2 on her twentieth birthday.
• How do students express their general rules? Do they use words?, e.g. “I take the age and add two to it to get the first number..” or do they attempt to symbolise their rules, e.g. Next number = number before + 3.
11. Bring the class together to discuss their methods with emphasis on the points above. Acknowledge the legitimacy of inductive methods but also highlight the power of deductive methods. Use questions like, “Which strategy would be better for finding out about Maia at 100 years of age?”

#### Session Two

This session builds on the Maia, the moa, pattern to represent the relation between age and number of squares using a table, a graph and an equation. Features of these representations are connected through looking at the effect of changing the original spatial pattern with focussed variation.

1. Open Excel or a similar spreadsheet program and create a blank workbook. You may need to have Slide 3 of PowerPoint One available for source data. Ask one of the students to set up a table like this:
2. Ask students what they notice in the table.
Some may notice missing values in the Age column, particularly the ages 0, and 1. Others may notice that the number of squares are all multiples of three. They may express this idea inductively, “The number of squares goes up by three.”
How can we continue the table to get more values?
3. Induction can be used to ‘fill down’ the values in both columns but deductive rules across the columns are more sophisticated. Video 2A shows how to create values by filling down. Video 2B is about using formulae across the columns. The videos can be stopped at any point for discussion. Video 2B goes straight to the most efficient rule but students could enter the rules they developed in Lesson One.
4. Perguntar: Can you use Excel to show that your rule from yesterday works?
5. Next a graph is created from the table of values. Video 2C shows how to do this. Ask the students to create their own graph of Maia’s growth patterns and record some features that they notice.
Why are the points in a line? (This tell us that the relation is linear)
How steep is the line?
Note (0, 6) represents Maia’s situation upon hatching.
Where does it cross the s axis?
Why does it cross there? offers three scenarios in which Maia’s shape is changed in some way. The reason for doing this is to connect features of the table and graph with the spatial pattern. For each scenario students may need to draw the progression of each pattern back until Maia hatches. That will lead a table of values that can be graphed. Video 2D shows what happens when the original Maia growth pattern is altered by a constant, - 1 for losing her foot and + 2 for gaining a backpack. Video 2E and Video 2F show the effect of changing the co-efficient (multiplier) of a, in that the slope of the graph alters from three to four. Copymaster 1 provides printable versions and the start of a table for each.

#### Session Three

1. Remind the students of the rule that was entered into Excel to create the pattern in the Number of squares column for Maia’s original growth pattern (e.g. =(A2+2)*3).
What does A# represent? (Maia’s age in years, a). So instead of A# we could write = (a + 2) x 3 or = 3(a + 2).
What does this expression tell us? (The number of squares Maia is made up of). So we could write s = 3(a + 2).
2. Show the students PowerPoint Three which shows how linear equations can be represented using a length model. Work through the slides.
Do the students observe that a is free to take up different values? a is a variable. The twos remain equal in length as the value of a changes. So, +2 is a constant.
Pose this problem to the students.
3. Maia is made up of 144 squares. How old is she, in years?
This situation constrains s to 144 so a linear equation is created which might be expressed as 3(a + 2) = 144 or in other forms, dependent on the structure of the rule. For example, Katia’s method would yield 3a + 6 = 144. Student may need access to a picture of Maia’s growth pattern, e.g. Slide 3 of PowerPoint One.
4. Look to see whether the students use deductive reasoning or whether they are reliant on inductive methods.
For example, inductive methods might involve creating a table of values and extending it until the matching value of a is found. Spreadsheets make inductive methods easy to implement. A sign of reliance on additive methods would be repeated adding of three to find next values of s.
Deductive methods involve applying inverse operations to rules. For example, “I divided 144 by three to get 48, so the age plus two must equal 48.”
5. After a suitable time gather the class to discuss their strategies. Highlight the efficiency of deductive rules, which are sometimes referred to as function or direct rules, compared to lengthy inductive rules, which are sometimes referred to as recursive. Slides 5 and 6 show one way to solve the problem of Maia’s age when she is made of 144 squares.
6. The 144 squares problem shows how solving linear equations can lead to solutions efficiently. Play this video which introduces how to use the simplest version of the Visual Linear Algebra learning object. Allow students plenty of time to explore the object.

#### Session Four

In this session students investigate linear equations where the variable is present on both sides.

1. Begin with a reminder of how to solve linear equations in their simplest form by looking at the structural similarity of possible rules for Maia’s growth pattern. PowerPoint Four gives two possible rules attributed to hypothetical students. The rules may be alike some that the students created in Session One and Two. Slide Four shows the lengths rearranged end on end.
2. Perguntar: Why do these rules give the same total for any value of a?
Do students recognise that both rules can be rearranged to give 3a + 6 which is Katia’s rule?
3. Possibly link the algebraic manipulation that matches the lengths in the diagram is students show interest. Por exemplo:
(Leah’s rule) 3 (a + 1) + 3 = 3a + 3 + 3
= 3a + 6 (Katia’s rule)
4. Ask the students to use Katia’s rule to solve this problem:
Maia the moa is made of 222 squares. How old is Maia?
Do students apply inverse operations to both sides of the equation, 3a + 6 = 222, to find the solution?
5. Pose this problem:
Ken and Katia are looking at the same picture of Maia.
Katia says that the number of squares equals three times Maia’s age plus six.
Ken says that the number of squares equals four times Maia’s age minus 18.
They are both correct. How old is Maia?
6. Let the students work in small groups to solve the problem. Look for the following:
• Do they build up a table of value inductively to find a value for a that meets both conditions?
• Do they try values of a and ‘close in’ on the solution?
• Do they use their knowledge of equations to solve the problem?
7. Bring the class together to share their solution methods. Trial and improvement strategies can be very efficient in solving these types of problems, especially if the initial attempts are based on reasonable estimation. For example, setting a = 30 gives Ken’s number of squares at 102 and Katia’s at 96. So, is 30 too big or too small?
An equation based solution looks like:
3a + 6 = 4a – 18
3a + 24 = 4a (adding 18)
24 = a (subtracting 3a)
Note that there are many possible first moves.
8. Introduce the second learning object in the Visual Linear Algebra collection using this video. Allow students plenty of time to explore the tool.

#### Session Five

This session is intended as an opportunity for students to practice applying their understanding of linear relations and their techniques for solving linear equations.

Provide the students with copies of Copymaster 2 and encourage them to solve the problems in co-operative groups.

Dear parents and caregivers,

This week we are learning about linear relationships. Real life is full of situations where things grow at a constant rate, such as the money we earn for the hours we work, or the total cost related to the quantity we buy.

In the unit we will learn to represent linear relationships using tables of values, graphs and equations. We will use spreadsheets to solve problems with linear relations, and use a learning object to solve linear equations.