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10.1: Transformações usando movimentos rígidos


Nesta seção, aprenderemos sobre isometria ou movimentos rígidos. Um movimento rígido não afeta a forma geral de um objeto, mas move um objeto de um local inicial para um local final. A figura resultante é congruente com a figura original.

UMA movimento rígido é quando um objeto é movido de um local para outro e o tamanho e a forma do objeto não mudaram.

Duas figuras são congruente se e somente se existe um movimento rígido que estabelece a correspondência de uma figura como a imagem da outra. Os comprimentos laterais permanecem os mesmos e os ângulos internos permanecem os mesmos.

Um movimento de identidade é um movimento rígido que move um objeto de seu local inicial para exatamente o mesmo local. É como se o objeto não tivesse se movido.

Existem quatro tipos de movimentos rígidos: translações, rotações, reflexos e reflexos deslizantes. Ao descrever um movimento rígido, usaremos pontos como P e Q, localizados na forma geométrica, e identificaremos sua nova localização na forma geométrica movida por P 'e Q'.

Começaremos com o movimento rígido denominado translação. Ao traduzir um objeto, movemos o objeto em uma direção específica para um comprimento específico, ao longo de um vetor .

Figura ( PageIndex {1} ): Tradução

A translação do triângulo azul com o ponto P foi movida ao longo do vetor para a localização do triângulo vermelho com o ponto P '. Observe também que os outros vértices do triângulo azul também se moveram ao longo do vetor aos vértices correspondentes no triângulo vermelho.

P '

P


UMA tradução de um objeto move o objeto ao longo de um segmento de linha direcionado chamado de vetor para uma distância específica e em uma direção específica. O movimento é completamente determinado por dois pontos P e P ', onde P está no objeto original e P' no objeto transladado.

Na linguagem regular, a tradução de um objeto é um slide de uma posição para outra. Você recebe uma figura geométrica e uma seta que representa o vetor. O vetor fornece a direção e distância em que você desliza a figura.

Exemplo ( PageIndex {1} ) Tradução de um triângulo

Você recebe um triângulo azul e um vetor . Mova o triângulo ao longo do vetor .

Figura ( PageIndex {2} ): Triângulo Azul e Vetor

B



UMA

C

Figura ( PageIndex {3} ): Resultado da Tradução

B ’



UMA'

C ’

B




UMA

C

Propriedades de uma tradução

  1. Uma tradução é completamente determinada por dois pontos P e P '
  2. Não tem pontos fixos
  3. Tem movimento de identidade

Nota: o vetor tem o mesmo comprimento que o vetor , mas aponta na direção oposta.

Exemplo ( PageIndex {2} ) Tradução de um objeto

Dada a figura em forma de L abaixo, traduza a figura ao longo do vetor . O vetor move-se horizontalmente três unidades para a direita e verticalmente duas unidades para cima. Mova cada vértice três unidades para a direita e duas unidades para cima. A figura vermelha é a posição da figura em L após o slide.

Figura ( PageIndex {4} ): L-Shape e Vector


P


Figura ( PageIndex {5} ): Resultado da forma L traduzida pelo vetor





P '



P


O próximo tipo de transformação (movimento rígido) que discutiremos é chamado de rotação. Uma rotação move um objeto em torno de um ponto fixo R denominado rotocentro e através de um ângulo específico. O triângulo azul abaixo foi girado 90 ° sobre o ponto R.

UMA rotação de um objeto move o objeto em torno de um ponto chamado rotocentro R em um certo ângulo no sentido horário ou anti-horário.

Nota: o rotocentro R pode estar fora do objeto, dentro do objeto ou sobre o objeto.

Figura ( PageIndex {6} ): um triângulo girado 90 ° em torno do rotocentro R fora do triângulo


90°

R

Figura ( PageIndex {7} ): Um triângulo girado 180 ° em torno do rotocentro R dentro do triângulo


R

Propriedades de uma rotação

  1. Uma rotação é completamente determinada por dois pares de pontos; P e P 'e

Q e Q '

  1. Tem um ponto fixo, o rotocentro R
  2. Tem movimento de identidade a rotação de 360 ​​°

Exemplo ( PageIndex {3} ): Rotação de uma forma de L

Dado o diagrama abaixo, gire a figura em forma de L 90 ° no sentido horário sobre o rotocentro R. O ponto Q gira 90 °. Mova cada vértice 90 ° no sentido horário.

Figura ( PageIndex {8} ): L-Shape e Rotocenter R

A figura em forma de L será girada 90 ° no sentido horário e o vértice Q se moverá para o vértice Q '. Cada vértice do objeto será girado 90 °.


Q

90°

Q '



R

Figura ( PageIndex {9} ): Resultado da rotação de 90 ° no sentido horário



Q

Q '




R


Exemplo ( PageIndex {4} ): Rotação de 45 ° no sentido horário de um retângulo

Figura ( PageIndex {10} ): Retângulo e Rotocenter R



Q

45°


Q '

R

Figura ( PageIndex {11} ): Resultado da rotação de 45 ° no sentido horário



Q



Q '

R

Exemplo ( PageIndex {5} ): Rotação de 180 ° no sentido horário de uma forma de L

Figura ( PageIndex {12} ): L-Shape e Rotocenter R

UMA







B

R

180°


Figura ( PageIndex {13} ): Resultado da rotação de 180 ° no sentido horário

UMA





B

R


B '


UMA'

O próximo tipo de transformação (movimento rígido) é chamado de reflexão. Um reflexo é uma imagem espelhada de um objeto, ou pode ser pensado como "virar" um objeto.

Reflexão: Se cada ponto em uma linha corresponde a si mesmo, e um ao outro ponto no plano corresponde a um ponto único no avião, de tal forma que é a bissetriz perpendicular de, então a correspondência é chamada de reflexo em linha .

Na linguagem normal, um reflexo é uma imagem no espelho através de uma linha . A linha é o ponto médio da linha entre os dois pontos, P na figura original e P 'na reflexão. P vai para P ’.

Figura ( PageIndex {14} ): Reflexo de um objeto sobre uma linha eu

C




B




UMA

eu

Figura ( PageIndex {15} ): Resultado do Reflexo sobre a Linha eu

A reflexão coloca cada vértice ao longo de uma linha perpendicular a eu e equidistante de eu.

C '


C

B '


B





UMA'

UMA

eu

Propriedades de um reflexo

  1. Uma reflexão é completamente determinada por um único par de pontos; P e P ’
  2. Possui infinitos pontos fixos: a linha de reflexão eu
  3. Tem movimento de identidade e reflexão reversa

Exemplo ( PageIndex {6} ) Refletir uma forma de L através de uma linha eu

Figura ( PageIndex {16} ): forma de L e linha eu

B




C


UMA


eu

Refletir a forma de L através da linha eu. A forma de L vermelha mostrada abaixo é o resultado após a reflexão. A posição original de cada vértice está em uma linha com a posição refletida de cada vértice. Esta linha que conecta as posições original e refletida do vértice é perpendicular à linha eu e as posições originais e refletidas de cada vértice são equidistantes à linha eu.

Figura ( PageIndex {17} ): Resultado da reflexão sobre a linha eu


B '


C '





eu


UMA'

Exemplo ( PageIndex {7} ): Refletir outra forma de L através da linha eu

Primeiro identifique os vértices da figura. De cada vértice, desenhe um segmento de reta perpendicular à linha eu e certifique-se de que seu ponto médio está alinhado eu. Agora desenhe as novas posições dos vértices, tornando a figura transformada uma imagem espelhada da figura original.

Figura ( PageIndex {18} ): L-Shape e Line eu


B

UMA


eu

C

D






Figura ( PageIndex {19} ): Resultado da reflexão sobre a linha eu


B

UMA


C

D


C '

B '





UMA'


D '

A transformação final (movimento rígido) que estudaremos é um reflexo de deslizamento, que é simplesmente uma combinação de dois dos outros movimentos rígidos.

UMA glide-reflexo é uma combinação de uma reflexão e uma tradução.

Exemplo ( PageIndex {8} ) Reflexo deslizante de um rosto sorridente por vetor e linha eu

Figura ( PageIndex {20} ): Smiley Face, Vector , e linha eu




eu

Figura ( PageIndex {21} ): Smiley Face Glide-Reflection Etapa Um

Primeiro deslize o rosto sorridente duas unidades para a direita ao longo do vetor .






eu

Figura ( PageIndex {22} ): Smiley Face Glide-Reflection Etapa Dois

Em seguida, reflita o rosto sorridente em toda a linha eu. O resultado final é o rosto sorridente verde de cabeça para baixo.







eu


Propriedades de um Glide-Reflection

  1. Uma reflexão é completamente determinada por um único par de pontos; P e P.
  2. Tem pontos infinitamente fixos: a linha de reflexão eu.
  3. Tem movimento de identidade e reflexo de deslizamento reverso.

Exemplo ( PageIndex {9} ): Glide-Reflexo de um Triângulo Azul

Figura ( PageIndex {23} ): Triângulo Azul, Vetor , e linha eu

eu




Figura ( PageIndex {24} ): Triangle Glide-Reflection Etapa Um

Primeiro, deslize o triângulo ao longo do vetor .


eu




P *



P

Figura ( PageIndex {25} ): Triangle Glide-Reflection Etapa Dois

Em seguida, reflita o triângulo através da linha eu. O resultado final é o triângulo verde abaixo da linha eu.

Q *


P *


S *


P ’


S ’

Q ’

Exemplo ( PageIndex {10} ): Reflexo de deslizamento de uma forma de L

Figura ( PageIndex {26} ): L-Shape, Vector , e linha eu



eu


Figura ( PageIndex {27} ): L-Shape Glide-Reflection, primeiro passo

Primeiro deslize a forma de L ao longo do vetor .


B *




B


UMA*


UMA

Figura ( PageIndex {28} ): L-Shape Glide-Reflection Etapa Dois

Em seguida, reflita a forma de L através da linha eu. O resultado é a forma aberta verde abaixo da linha eu.


B *

UMA'

B




B ’


10.1: Transformações usando movimentos rígidos

Descrição (um destaque amarelo significa que foi atribuído)

Introdução às transformações e reflexões da lição 3-1 Dia 1 Notas da aula aqui e aqui

Figuras usadas na aula aqui e aqui.

Imprima (ou trace) e preencha a planilha aqui

Lição 3-1 Dia 2: Reflexões no plano de coordenadas Notas de classe aqui com a prova aqui

1) Use a ferramenta (clique aqui) para explorar e entender melhor o Reflexo através da linha y = x.

Lição 3-2 Traduções Dia 1 Notas de aula aqui

2) Ler / estudar / praticar o livro didático, páginas 113 e 114.

Lição 3-2 traduções, dia 2, notas de aula aqui

2) Exemplo de estudo 3 na página 115. Pule as páginas 116-117.

3) No livro didático, Lição 3-2 páginas 118-120, # 15-18, 21-24, 33

Lição 3-3 Rotações Dia 1 notas de aula aqui

2) Brinque com Rotações usando Geogebra clique aqui

3) No livro didático, Lição 3-3 páginas 127-128, # 12, 16-18, 28

Lição 3-3 Dia 2: Rotações no plano de coordenadas, notas de aula aqui

Na lição 3-3 págs. 127 do livro didático, mostre a pré-imagem e a imagem em papel milimetrado para 19-22


Cambridge University Press

Este vídeo apresenta a rotação em torno de um eixo pela regra da mão direita e quadros destros, incluindo o quadro do corpo e o quadro do espaço.

No Capítulo 3, aprendemos representações de configurações, velocidades e forças que usaremos no restante do livro. Conforme discutido no último capítulo, usaremos representações implícitas de configurações, considerando o espaço C como uma superfície embutida em um espaço de dimensão superior. Em outras palavras, nossa representação de uma configuração não usará um conjunto mínimo de coordenadas e as velocidades não serão derivadas no tempo das coordenadas. Esta abordagem pode ser nova para você se você nunca fez um curso de cinemática tridimensional antes.

As configurações de corpo rígido são representadas por meio de quadros. Um quadro consiste em uma origem e eixos de coordenadas ortogonais x, y e z. Todos os quadros são destros, o que significa que o produto vetorial dos eixos xey cria o eixo z. Você pode criar um quadro para a mão direita usando sua mão direita: seu dedo indicador é o eixo x, seu dedo médio é o eixo y e seu polegar é o eixo z.

Se quero representar a posição e a orientação de um corpo no espaço, fixo uma moldura no corpo e fixo uma moldura no espaço. A configuração do corpo é dada pela posição de origem da moldura do corpo e as direções dos eixos coordenados da moldura do corpo, expressas nas coordenadas do espaço-moldura.

Neste livro, todos os quadros são considerados estáticos. Mesmo que o corpo esteja se movendo, quando falamos sobre a estrutura do corpo, queremos dizer a estrutura estacionária coincidente com a estrutura fixada ao corpo em um determinado instante no tempo.

A rotação positiva em torno de um eixo é definida pela regra da mão direita. Se você alinhar o polegar de sua mão direita com o eixo de rotação, a rotação positiva é a direção em que seus dedos se curvam.

Com essas preliminares resolvidas, no próximo vídeo passamos a representar a orientação de um corpo rígido.


Congruência e transformações de amplificação



Exemplos, soluções e lições para ajudar os alunos do ensino médio a aprender como usar descrições geométricas de movimentos rígidos para transformar figuras e prever o efeito de um dado movimento rígido em uma dada figura dadas duas figuras, use a definição de congruência em termos de rígida moções para decidir se são congruentes.

Duas figuras são congruentes se tiverem o mesmo tamanho e forma.
Duas figuras planas são congruentes se podem ser obtidas uma da outra por movimentos rígidos (isto é, por uma sequência de reflexos, translações e / ou rotações)

Os diagramas a seguir mostram as transformações que mantêm as figuras congruentes (mesmo tamanho e forma). Role a página para baixo para obter mais exemplos e soluções.

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UMA reflexão é uma transformação que “vira” ou “espelha” uma forma em uma linha. Esta linha é chamada de linha de reflexão.

Desenhe a linha de reflexão em cada um destes exemplos:

Agora é sua vez - desenhe o reflexo de cada uma dessas formas:

Observe que se um ponto se encontra na linha de reflexão, ele não se move, vira ao ser refletido: sua imagem é o mesmo ponto que o original.

Em todos os exemplos acima, a linha de reflexão era horizontal, vertical ou em um ângulo de 45 ° - o que facilitou o desenho dos reflexos. Se não for esse o caso, a construção requer um pouco mais de trabalho:

Para refletir essa forma na linha de reflexão, temos que refletir cada vértice individualmente e depois conectá-los novamente. Continuar

Vamos escolher um dos vértices e desenhar a linha através deste vértice que é perpendicular à linha de reflexão. Continuar

Agora podemos medir a distância do vértice até a linha do reflexo e fazer o ponto que tem a mesma distância do outro lado. (Podemos usar uma régua ou uma bússola para fazer isso.) Continue

Podemos fazer o mesmo para todos os outros vértices de nossa forma. Continuar

Agora só temos que conectar os vértices refletidos na ordem correta e encontramos o reflexo!


Exemplo de Código

Vamos carregar um modelo do robô Franka-Emika Panda definido classicamente usando a notação Denavit-Hartenberg modificada (convenção de Craig)

(Os prompts do Python não são mostrados para facilitar a cópia e colagem do código, a saída do console é identada)

Podemos resolver a cinemática inversa com muita facilidade. Primeiro, escolhemos uma pose SE (3) definida em termos de posição e orientação (eixo z do efetor final para baixo (A = -Z) e orientação do dedo paralela ao eixo y (O = + Y)).

Observe que, como este robô é redundante, não temos nenhum controle sobre a configuração do braço além da pose do efetuador final, ou seja, não podemos controlar a altura do cotovelo.

Podemos animar um caminho da configuração vertical qz para esta configuração pickup

que usa o backend matplotlib padrão. Setas cinza mostram os eixos de junção e a moldura colorida mostra a pose do efetuador.

Vamos agora carregar um modelo URDF do mesmo robô. A representação cinemática não é mais baseada nos parâmetros de Denavit-Hartenberg, é agora uma árvore de corpo rígido.

O símbolo @ indica o link como um efetor final, um nó folha na árvore de corpo rígido.

Podemos instanciar nosso robô dentro de um ambiente de simulação 3D baseado em navegador.


Chave de resposta detalhada

Use o gráfico da transformação abaixo. & # Xa0

uma. Nomeie e descreva a transformação

b. Nomeie as coordenadas dos vértices da imagem. & # Xa0

c. O triângulo ABC é congruente com a imagem? & # Xa0

A transformação é um reflexo no eixo y. Podemos imaginar que a imagem foi obtida girando & # xa0 Δ PQR sobre o eixo y. & # Xa0

As coordenadas dos vértices da imagem, & # xa0 Δ P'Q'R 'são P' (4, 1), Q '(3, 5) e R' (1, 1). & # Xa0

Sim, & # xa0 Δ PQR é congruente com sua imagem & # xa0 Δ P'Q'R '. Uma maneira de mostrar isso seria usar a fórmula da distância para encontrar os comprimentos dos lados de ambos os triângulos. Em seguida, use o postulado de congruência SSS. & # Xa0

Digamos, se a seguinte transformação parece ser isometria. & # Xa0

Esta transformação parece ser uma isometria. O paralelogramo azul é refletido em uma linha para produzir um paralelogramo vermelho congruente. & # Xa0

Você acha que a seguinte transformação parece ser isometria? Explique sua resposta. & # Xa0

Não, esta transformação não é uma isometria. Porque a imagem não é congruente com a pré-imagem. & # Xa0

A seguinte transformação parece ser isometria? & # Xa0

Sim, essa transformação parece ser uma isometria. O quadrilátero azul é girado em torno de um ponto para produzir um quadrilátero vermelho congruente a congruente. & # Xa0

Como podemos descrever a transformação mostrada abaixo? & # Xa0

Podemos descrever a transformação mostrada acima escrevendo,

"Δ PQR é mapeado em & # xa0 ΔSTU"

Também podemos usar a notação de seta da seguinte maneira: & # xa0

A ordem em que os vértices são listados especifica a correspondência. Qualquer uma das descrições implica que & # xa0

No diagrama mostrado abaixo, & # xa0 ΔABC é mapeado em & # xa0 ΔXYZ. O mapeamento é uma rotação. Dado que & # xa0 ΔABC --- & gt & # xa0 ΔXYZ é uma isometria, encontre o comprimento de XY e a medida de & # xa0 ∠Z.

A declaração "ΔABC & # xa0is mapeado em & # xa0 ΔXYZ" implica que, & # xa0

Como a transformação é isométrica, os dois triângulos são congruentes. & # Xa0

Estamos montando pedaços de madeira para completar a grade de nossa varanda. O corrimão acabado deve se parecer com o que está abaixo. & # Xa0

uma. Como as peças 1 e 2 estão relacionadas? peças 3 e 4? & # xa0

b. Para montar o trilho conforme mostrado, explique por que precisamos saber como as peças estão relacionadas. & # Xa0

As peças 1 e 2 estão relacionadas por uma rotação. As peças 3 e 4 estão relacionadas por um reflexo. & # Xa0

Saber como as peças estão relacionadas nos ajuda a manipular as peças para criar o padrão desejado. & # Xa0 & # xa0

Muitos planos de construção de caiaques mostram o layout e as dimensões de apenas metade do caiaque. Uma planta da vista superior de um caiaque é mostrada abaixo.

a. & # xa0 Que tipo de transformação um construtor pode usar para visualizar planos para todo o corpo & # xa0 do caiaque?

b. & # xa0Usando o plano acima, qual é a largura máxima de todo o caiaque?

O construtor pode usar um reflexo para visualizar todo o caiaque. Por exemplo, quando uma metade do caiaque é refletida em uma linha através de seu centro, você obtém a outra metade do caiaque.

As duas metades do caiaque acabado são congruentes, então a largura de todo o caiaque será de 2 (10) ou 20 polegadas.

Além do material fornecido acima, se você precisar de qualquer outro material em matemática, use nossa busca personalizada do google aqui.

Se você tiver algum comentário sobre nosso conteúdo de matemática, envie-nos um e-mail: & # xa0

Sempre apreciamos seus comentários. & # Xa0

Você também pode visitar as seguintes páginas da web sobre diferentes assuntos em matemática. & # Xa0


Referências

6.1 Mapas de custos de rigidez

Na seção 3.2, motivamos brevemente a escolha do projeto de usar entradas de mapas de custos de rigidez e expandimos as funções de custo específicas aqui. Dadas as correspondências de movimento (p 0, p 1) ∈ R 2, intrínsecos da câmera (K 0, K 1) e movimento da câmera R c ∈ SO (3), T c ∈ R 3, construímos quatro mapas de custo de movimento geométrico que são adaptado para configurações de movimento específicas, incluindo 1) um custo epipolar, 2) um custo de homografia, 3) um custo P + P 3D e 4) um custo de contraste de profundidade.

1) Os custos epipolares são aplicados para detectar objetos em movimento geral, calculados como o erro clássico de Sampson [hartley2003multiple] por pixel. Incluímos aqui para ser completo:

onde F = K 1 - T R [t] × K 0 - 1 é a matriz fundamental e (

p 1) são correspondências de movimento nas coordenadas homogêneas. ϵ = 10 - 9 é um valor constante adicionado para estabilidade numérica.

2) Custos de homografia são aplicados para lidar com degenerescências de movimento na geometria epipolar [torr1999problem], quando se torna difícil estimar a translação da câmera, mas não a rotação [equivalente cai2019]. Uma comparação visual entre os custos epipolares e os custos de homografia pode ser encontrada na Fig. 8. O custo da homografia é implementado como erro de transferência simétrica por pixel [homografia dubrofsky2009] em relação à homografia rotacional, H R = K 0 R c K 1 - 1,

onde d (⋅, ⋅) é a distância da imagem euclidiana entre dois pontos.

3) Os custos 3D P + P são aplicados para detectar o movimento coplanar, onde os pontos estão se movendo ao longo da linha epipolar (não detectáveis ​​pelos custos epipolares, conforme analisado na Seção 3.1. Nosso custo 3D P + P é estendido do residual 2D erro de [bideau2016s],

T s f, - T c) | é o ângulo medido entre o fluxo normalizado da cena

T s f (conforme calculado por meio de expansão óptica usando o método de [yang2020upgrading]) e translação de câmera negativa - T c, limitada a π 2. Uma comparação visual é mostrada na Fig. 9.

4) Os custos de contraste de profundidade são aplicados para abordar a ambigüidade de movimento colinear, onde os pontos estão se movendo opostos à direção de translação da câmera em 3D e, portanto, não detectáveis ​​pelos custos acima, como mostrado na Fig. 10. O custo do contraste de profundidade é implementado como:

onde o fluxo triangulado de profundidade Z fluxo 0 pode ser calculado de forma eficiente usando ponto médio ou algoritmo de triangulação DLT [hartley2003multiple], a profundidade monocular anterior Z anterior 0 pode ser representada por uma rede de profundidade monocular orientada por dados [monodepth2] e o fator de escala γ que alinha globalmente Z antes de 0 ao fluxo Z 0 pode ser determinado por quadrados mínimos robustos [sun2010secrets]. Uma comparação visual entre a profundidade triangulada de fluxo e a profundidade monocular anterior é mostrada na Fig. 11.

6.2 Detalhes de treinamento

Os detalhes para treinar fluxo ótico, expansão ótica e redes de segmentação de movimento rígido são mostrados na Tab. LABEL: guia: hp.

Parâmetro Valor
Fluxo optico
Arquitetura de rede VCN [yang2019volumetric]
Otimizador Adam [kingma2014adam]
Taxa de Aprendizagem 1 × 10 − 3
Tamanho do lote / iterações em C 16 pares de imagens / 70k
Tamanho do lote / iterações em T 16 pares de imagens / 70k
Tamanho do lote / iterações em C + SF + V 12 pares de imagens / 70k
Expansão ótica
Backbone de rede U-Net [ronneberger2015u, yang2020upgrading]
Otimizador Adam [kingma2014adam]
Taxa de Aprendizagem 1 × 10 − 3
Tamanho de lote / iterações em SF 12 pares de imagens / 70k
Segmentação de movimento rígido
Backbone de rede U-Net + DLA-34 [ronneberger2015u, yang2020upgrading, yu2018deep, zhou2019objects]
Otimizador Adam [kingma2014adam]
Taxa de Aprendizagem 5 × 10 − 4
Tamanho de lote / iterações em SF 12 pares de imagens / 70k
Tabela 5: Detalhes para treinamento de rede. C: FlythingChairs [DFIB15]. T: FlythingThings [MIFDB16]. SF: SceneFlow [MIFDB16]. V: VIPER [richter2017 tocando]. A rede de fluxo óptico é treinada sequencialmente em C, T e C + SF + V.

6.3 Detalhes do fluxo de cena de corpo rígido

Na seção 3.2, descrevemos o fluxo de cena de corpo rígido que (1) ajusta movimentos rígidos 3D por corpo rígido e (2) atualiza a profundidade, bem como as medições de fluxo. Mais detalhes são fornecidos aqui.

No geral, nosso objetivo é selecionar correspondências de fluxo de alta qualidade para o ajuste do modelo e atualize os corpos rígidos com movimento grande o suficiente. Para fazer isso, primeiro definimos “pixels válidos” como pixels com confiança de fluxo (no intervalo 0-1, estimado por VCN [yang2019volumétrico]) maior que 0,5. Durante o ajuste, usamos correspondências de fluxo de pixels válidos de cada máscara de movimento rígida para ajustar uma matriz essencial por meio de um estimador de mediana mínima de quadrados [rousseeuw1984least]. Em seguida, cada matriz essencial é decomposta em quatro rotações e traduções em escala, onde apenas uma é viável por meio da verificação de cheiralidade [hartley2003multiple]. Para determinar a escala de translação, nós triangulamos correspondências de fluxo em pixels vailid e alinhamos com a profundidade inicial de entrada por um fator de escala por meio de RANSAC [fischler1981random]. Para tirar proveito da estimativa de profundidade precisa no caso estéreo, refinamos as transformações rígidas estimadas resolvendo um problema de Perspectiva-n-Ponto dada a profundidade e o fluxo do primeiro quadro que minimiza os erros de reprojeção com o algoritmo de Levenberg-Marquardt [hartley2003multiple].

Finalmente, atualizamos as estimativas de profundidade e fluxo de acordo com os movimentos rígidos 3D estimados. Corpos rígidos cuja magnitude média de fluxo de paralaxe (definido como fluxo óptico “retificado” após a remoção da rotação na Seção 3.1) é menor que 4px, ou tem menos de 30% de pixels válidos não são atualizados.

∗ D1 (%) D2 (%) Fl (%) SF (%)
Método tudo fg tudo fg tudo Δ -todos ↑ fg Δ -fg ↑ tudo Δ -todos ↑ fg Δ -fg ↑
Linha de base OE [yang2020upgrading] 1.41 0.76 2.45 0.91 4.02 0 2.50 0 5.12 0 3.07 0
Nossa Máscara R-CNN 1.41 0.76 2.11 1.99 3.53 12.1 4.34 -73.6 4.02 21.5 4.86 -36.8
Nossa Máscara Rígida 1.41 0.76 2.04 1.05 3.32 17.4 2.16 15.7 3.86 24.6 2.78 10.4
Tabela 6: Estudo de ablação de fluxo de cena estéreo em imagens KITTI-SF. D1 e D2: primeiro e segundo erro de disparidade de quadro. Fl: erro de fluxo óptico. all: avaliado em todos os pixels. fg: avaliado apenas em pixels de primeiro plano. SF: erro de fluxo de cena. Δ: porcentagem de redução do erro após o refinamento. ∗ A disparidade do primeiro quadro não muda durante o refinamento.

6.4 Estudo de ablação de fluxo de cena de corpo rígido

Nós estudamos o efeito da parametrização de movimento rígido para a estimativa do fluxo da cena e relatamos os resultados em 200 imagens do KITTI-SF conforme mostrado na guia. LABEL: guia: sf-aba. Sem a parametrização de movimento rígido, nosso método é equivalente à expansão óptica [yang2020upgrading], que atualiza os campos de fluxo 2D para 3D, mas não refina a disparidade do primeiro quadro, bem como o fluxo óptico. Em contraste, o método proposto reduz o erro de fluxo geral da cena em 24,6% por meio do refinamento do corpo rígido. Substituir as máscaras de movimento rígido propostas por máscaras baseadas na aparência produzidas pelo Mask R-CNN leva a uma queda perceptível na precisão. Nossa parametrização de corpo rígido também leva à melhoria constante da precisão do fluxo da cena para as regiões de primeiro e segundo plano.

6.5 Comparação qualitativa

Fornecemos comparação visual adicional com abordagens anteriores em KITTI e Sintel na Fig. 12 e Fig. 13. Comparado aos métodos baseados em aparência para segmentar movimentos rígidos, nosso método é capaz de segmentar corretamente os objetos estáticos como parte do fundo rígido e generalizar para uma nova aparência. Comparado aos métodos de segmentação de movimento geométrico, nosso método é mais robusto para degenerar configurações de movimento e fluxo ruidoso, bem como entradas de câmera.

Figura 8: Custos epipolares vs custos de homografia. Superior: Valores de custos em escala de cinza. Parte inferior: Segmentações binárias após o limite dos custos. Esta cena apresenta dois carros em movimento em primeiro plano e uma câmera estática que causa degeneração de movimento na geometria epipolar (por exemplo, a região de baixo custo, mas móvel no mapa de custo de Sampson, marcada pelo círculo vermelho). Nesses casos, a linha epipolar não é bem definida e o modelo de homografia é mais adequado para segmentação de movimento. Figura 9: Custos 3D P + P. Acima: custos em escala de cinza. Parte inferior: Segmentações binárias após o limite dos custos. Esta cena contém uma câmera em movimento e objetos dinâmicos não rígidos, onde os pixels que se movem ao longo da linha epipolar não são recuperáveis ​​sob os critérios clássicos de segmentação de movimento (por exemplo, a região de baixo custo, mas móvel no mapa de custo de Sampson, marcada pelo círculo vermelho). Nesses casos, nosso custo 3D P + P é mais adequado. Figura 10: Custos de contraste de profundidade. Acima: custos em escala de cinza. Parte inferior: Segmentações binárias após o limite dos custos. Esta cena contém uma câmera em movimento e um corpo rígido (carro) movendo-se ao longo da direção negativa da translação da câmera, que não é recuperável sob os critérios clássicos de segmentação de movimento (por exemplo, a região de baixo custo, mas em movimento no mapa de custo de Sampson, marcada pelo círculo vermelho), bem como o custo 3D P + P. Nesses casos, nosso custo de contraste de profundidade é mais adequado. Figura 11: Profundidade triangulada de fluxo vs profundidade monocular anterior. A profundidade triangulada de fluxo Z f l o w 0 (meio) é a triangulação de correspondências de movimento assumindo rigidez geral. A profundidade monocular anterior Z p r i o r 0 (direita) pode ser representada por uma rede de profundidade monocular orientada por dados [Ranftl2019]. Neste exemplo, o veículo esquerdo está se movendo na direção oposta à de translação da câmera e não pode ser detectado por restrições epipolares, conforme mostrado na Fig. 2 do texto principal. No entanto, parece anormal (flutuando acima do solo) na reconstrução triangulada por fluxo. Para detectar esses objetos em movimento colinearmente, alinhamos globalmente Z p r i o r 0 a Z f l o w 0 por um fator de escala γ com mínimos quadrados robustos [sun2010secrets], que revela o carro flutuante (em movimento) que é inconsistente com a profundidade monocular anterior. Figura 12: Ilustração da ambiguidade do movimento coplanar no KITTI. O fundo rígido é indicado pela cor branca. Os pontos que se movem ao longo da linha epipolar, por exemplo, o teto dos carros, geram um pequeno erro de Sampson e, portanto, são estimados como plano de fundo em dutos geométricos clássicos. Fazemos uso da expansão óptica, que revela a alteração relativa da profundidade, para resolver essa ambigüidade. Comparado ao método anterior de segmentação baseado em movimento, o nosso é mais robusto ao ruído. Figura 13: Resultados na sequência de mercado da Sintel. Os métodos anteriores de segmentação de quadro único ou movimento de vídeo falham devido ao ponto de vista incomum (visualização do solo) e objetos nunca antes vistos (dragão, carrinhos de madeira). Nosso método segmenta com precisão novos objetos em movimento.

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Rotação Interaja dinamicamente e veja o resultado de uma transformação de rotação. Reflexão Interaja dinamicamente e veja o resultado de uma reflexão Tradução Interaja dinamicamente e veja o resultado de uma transformação de tradução. Dilatação Interaja dinamicamente e veja o resultado de uma transformação de dilatação. Explorando transformações rígidas e congruência As traduções de rotações, ou slides e reflexos, ou flips, são transformações geométricas que alteram a posição ou orientação de um objeto, mas não sua forma ou tamanho. O objetivo desta tarefa é explorar os efeitos da aplicação de várias transformações a uma forma. Similaridade e transformações de amplificação Complete a declaração de similaridade. Congruência por movimentos rígidos 1) Existe uma sequência de movimentos rígidos que mapeia o triângulo azul no triângulo vermelho?
2) Os 2 triângulos são congruentes? Flip Flop Este é um quebra-cabeça de reflexão. A sandália esquerda é refletida em uma linha desenhada entre dois pontos na grade para fazer uma sandália direita. Você pode mover A e B para encontrar a linha de reflexão? Veja se você está correto pressionando o botão Verificar. Linha de simetria e simetria rotacional de formas 2D. Transformação rígida Defina com precisão as transformações rígidas.

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Movimentos rígidos e congruência

De acordo com o CCSS, os alunos primeiro investigam a congruência formalmente na oitava série. Isso agora é um diagnóstico e uma revisão. Os alunos vêem cinco triângulos e são questionados sobre quais triângulos são congruentes entre si. Cada um dos triângulos tem dois lados, comprimentos e medidas de ângulo. Usando as informações fornecidas, os alunos identificam quais triângulos têm os três lados iguais e os três ângulos iguais.

Para identificar quais pares de triângulos são congruentes, os alunos precisam desenvolver conhecimentos prévios sobre a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo, triângulos isósceles e, em seguida, o teorema de Pitágoras.

The question in the Do Now asks students to identify congruent triangles, but not explain why the triangles are congruent. When we go over the Do Now, I ask students to explain how they know the triangles are congruent.

Some students may need a brief reminder of the definition of “congruent” and further explanation about how to find the missing side lengths and angle measures.


Assista o vídeo: Fizyka - Bryła sztywna teoria część I (Outubro 2021).