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15.1: Fractais - Matemática


Fractais são conjuntos matemáticos, geralmente obtidos por recursão, que exibem propriedades dimensionais interessantes. Por enquanto, podemos começar com a ideia de auto-similaridade, uma característica da maioria dos fractais.

Auto-similaridade

Uma forma é auto-semelhante quando parece essencialmente o mesmo à distância e de perto.

A auto-similaridade pode freqüentemente ser encontrada na natureza. No brócolis Romanesco da foto abaixo [1], se ampliarmos parte da imagem, o pedaço restante se parece com o todo.

Da mesma forma, na folhagem de samambaia abaixo [2], um pedaço da folhagem se parece com o todo.

Da mesma forma, se aumentarmos o zoom na linha costeira de Portugal [3], cada zoom revela detalhes anteriormente ocultos, e a linha costeira, embora não seja idêntica à vista de longe, exibe características semelhantes.


[1] en.Wikipedia.org/wiki/File:Ca...ractal_AVM.JPG

[2] http://www.flickr.com/photos/cjewel/3261398909/

[3] Openstreetmap.org, CC-BY-SA


Lição 15

Vamos investigar expressões com variáveis ​​e expoentes.

15.1: Para cima ou para baixo?

Encontre os valores de (3 ^ x ) e ( left ( frac13 right) ^ x ) para diferentes valores de (x ). Que padrões você percebe?

(x ) (3 ^ x ) ( left ( frac13 right) ^ x )
1
2
3
4

15.2: Qual é o valor?

Avalie cada expressão para o valor fornecido de (x ).

15.3: Experimentação de Expoente

Encontre uma solução para cada equação da lista. (Os números da lista podem ser uma solução para mais de uma equação e nem todos os números da lista serão usados.)

  1. (64 = x ^ 2 )
  2. (64 = x ^ 3 )
  3. (2 ^ x = 32 )
  4. (x = left ( frac25 right) ^ 3 )
  5. ( frac <16> <9> = x ^ 2 )
  6. (2 boldcdot 2 ^ 5 = 2 ^ x )
  7. (2x = 2 ^ 4 )
  8. (4 ^ 3 = 8 ^ x )

Este fractal é chamado de Tetraedro de Sierpinski. Um tetraedro é um poliedro de quatro faces. (O plural de tetraedro é tetraedro.)

Os pequenos tetraedros formam quatro tetraedros de tamanho médio: azul, vermelho, amarelo e verde. Os tetraedros de tamanho médio formam um grande tetraedro.

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Descrição: & ltp & gtUm tetraedro grande é formado por quatro tetraedros de tamanho médio de cores diferentes: azul, vermelho, amarelo, verde. Cada tetraedro de tamanho médio é formado por quatro tetraedros pequenos. & Lt / p & gt

  1. Quantas faces pequenas este fractal tem? Certifique-se de incluir rostos que você não pode ver. Tente encontrar uma maneira de descobrir isso para que você não tenha que contar todos os rostos.
  2. Quantos pequenos tetraedros existem na camada inferior, tocando a mesa?
  3. Para fazer uma versão ainda maior deste fractal, você pode pegar quatro fractais como o da foto e colocá-los juntos. Explique onde você colocaria os fractais para fazer um tetraedro maior.
  4. Quantas faces pequenas esse fractal maior teria? Quantos pequenos tetraedros haveriam na camada inferior?
  5. Que outros padrões você pode encontrar?

Resumo

Nesta lição, vimos expressões que usavam a letra (x ) como variável. Avaliamos essas expressões para diferentes valores de (x ).

  • Para avaliar a expressão (2x ^ 3 ) quando (x ) é 5, substituímos a letra (x ) por 5 para obter (2 boldcdot 5 ^ 3 ). Isso é igual a (2 boldcdot 125 ) ou apenas 250. Portanto, o valor de (2x ^ 3 ) é 250 quando (x ) é 5.
  • Para avaliar ( frac<8> ) quando (x ) é 4, substituímos a letra (x ) por 4 para obter ( frac <4 ^ 2> <8> = frac <16> <8> ) , que é igual a 2. Então ( frac<8> ) tem um valor de 2 quando (x ) é 4.

Também vimos equações com a variável (x ) e tivemos que decidir qual valor de (x ) tornaria a equação verdadeira.

  • Suponha que temos uma equação (10 ​​ boldcdot 3 ^ x = 90 ) e uma lista de soluções possíveis: (<1, 2, 3, 9, 11> ). O único valor de (x ) que torna a equação verdadeira é 2 porque (10 ​​ boldcdot 3 ^ 2 = 10 boldcdot 3 boldcdot 3 ), que é igual a 90. Portanto, 2 é a solução para a equação.

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15.1: Fractais - Matemática

Matemática Fractal

Benoit Mandelbrot é geralmente considerado o pai dos fractais. Ele cunhou o termo fractal para descrever curvas, superfícies e objetos que possuem algumas propriedades muito peculiares. Você aprendeu na escola que curvas simples, como uma linha, têm uma dimensão. Quadrados, retângulos, círculos, polígonos, etc. têm duas dimensões, enquanto objetos sólidos, como um cubo, têm três dimensões. As três dimensões definem o espaço. O tempo pode ser considerado uma quarta dimensão. Normalmente pensamos nas dimensões como números inteiros: 1, 2, 3,. . .

O que é tão peculiar sobre os fractais é que eles têm dimensões fracionárias ! Uma curva fractal poderia ter uma dimensionalidade de 1,4332, por exemplo, em vez de 1. Fractais não são apenas uma curiosidade matemática. A maioria dos objetos naturais são fractais por natureza e podem ser melhor descritos usando a matemática fractal. Nuvens, folhas, sistema de vasos sanguíneos, linhas costeiras, partículas de fiapos, etc. têm formas fractais.

Fractais são gerados por um processo iterativo - fazendo a mesma coisa repetidamente. Fractais também têm a propriedade de que, quando você os aumenta, eles ainda têm a mesma aparência. Isso é chamado de auto-similaridade.


Fractais, Caos, Auto-Similaridade

A seguir está uma coleção de diferentes explorações de fractais pelo autor ao longo dos anos, bem como explicações de vários tópicos. Inclui as formulações mais conhecidas, incluindo, mas não se limitando a L-Systems, IFS (Sistemas de Função Iterada), atratores e fractais geométricos 2D e 3D. Também estão incluídas várias soluções numéricas para computar dimensionalidade e outras métricas.

Observe que estou disponível como consultor em questões relacionadas a fractais. Isso pode incluir a criação de novos formulários, a criação de gráficos de alta qualidade, animações, implementação de algoritmos (consulte a caixa e a dimensão da bússola) e assim por diante.

Preenchimento do espaço aleatório do avião
Preenchimento do espaço de um plano (e uma linha ou 3D) com uma forma arbitrária. Conceito inicial e inspiração de John Shier.

DLA (Diffusion Limited Aggregation)
Agregação limitada por difusão em 2D e 3D. Incluindo restringido por uma superfície e uma implementação de software.

Renderizando bacias de atração do tipo Wada
Aqui está um truque de festa para o Natal. Pegue 4 grandes bolas de Natal brilhantes, um pouco de papel de embrulho colorido, algumas luzes da árvore de Natal e você terá seu próprio laboratório de fractal para se divertir durante a época festiva.

Dimensão Fractal e Auto-Similaridade - Dimensão fractal de contagem de caixa de dados volumétricos - Dimensão fractal de contagem de caixa de dados pontuais
Um pacote de software de contagem de caixa específico, dimensão da régua ou compasso, lacunaridade, espectro multifractal, gráficos de recorrência, auto-similaridade. Exemplos de auto-similaridade em fractais com exemplos de matemática e fotos do mundo físico.

Incluindo o beduíno, número real Mset, conjunto Quinternion, Sine Mset, fractal Triternion, volume Danca.

Ruído
Incluindo ruído 1 / f. Planetas e paisagens fractais: Métodos para criar planetas, paisagens e nuvens fractais. Gerando ruído com diferentes leis de espectro de potência. Inclui síntese de frequência e deslocamento de ponto médio e uma galeria de imagens criada usando Voxel World por Dmytry Lavrov. Ruído e turbulência de Perlin: Criação de texturas dimensionais arbitrárias e outros efeitos naturais usando técnicas creditadas a Ken Perlin.

Fractais poliédricos
Junta Sierpinski, Esponja Menger, Fractais sólidos Platônicos e seus complementos, Conjunto em Caixa, Menger Cruzado, Cubo Menger de Jerusalém, Cúbico, Fractais Keplerianos

IFS (Sistemas de Função Iterada)
Aplicativo e manual do gerador IFS baseado em Macintosh. Galeria aleatória do IFS. Ladrilhos IFS, IFS Bush, IFS Maple leaf, IFS Spiral, IFS Mandelbrot-like, IFS trees, IFS leaves, IFS Sand Dollar, IFS ferns, IFS Chaos text, Dragon, Twigs, IFS hedgehog, IFS cross

L-Systems (Sistemas Lindenmayer)
Descrição histórica do software, exemplos de folhas, arbustos, algas, árvores, gravetos e ervas daninhas, triângulo LSystem, LSystem Peano, cristal LSystem, Square Sierpinski, Quadratic Gosper, curva de Hilbert, placa LSystem, curva de Koch, Ilha Quadrática de Koch, Floco de neve Quadrático, Sierpinski ponta de seta, floco de neve de Von Koch, cruz LSystem, Pentaplexidade, ladrilhos LSystem, anéis LSystem, curva de dragão, gansa hexagonal, tornozeleiras de Krishna, folha de manga, kolam de cobra.

Conteúdo: Artigos, apresentações, workshops
Geometria, Superfícies, Curvas, Poliedros
Fractais, Caos, Auto-similaridade
Cúpulas, planetários, olho de peixe, espelho esférico
Estereografia, projeção 3D
Panorama, vídeo 360
Reconstrução Fotográfica
Diversos: Projeção, Modelagem, Renderização
Formatos de dados: 3D, áudio, imagem
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Novo / atualizado: Atratores em 3D para visualização em RV
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Experimentos em perspectiva reversa
Ferramentas para projeção de espelho esférico
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Geometria Fractal: Fundamentos Matemáticos e Aplicações

O Comitê da Lista da Biblioteca Básica recomenda este livro para aquisição por bibliotecas de matemática de graduação.

O revisor deve divulgar desde o início que ele estudou geometria fractal como um (segundo ano) de graduação em St. Andrews a partir da segunda edição deste texto & hellip e que curso maravilhoso que foi! Espera-se, talvez idealisticamente, que todos os alunos de graduação em matemática recebam esse oásis verdejante antes de se formarem. Na verdade, o aluno curioso poderia estudar o texto Falconer & rsquos de forma muito proveitosa por conta própria, possivelmente com alguma ajuda / orientação necessária em certos aspectos técnicos. Existe, para tal aluno, um conjunto completo de soluções para os exercícios disponíveis online.

A primeira edição do texto que está sendo revisado foi escrita por volta de 1989, a segunda em 2003. Nesse ínterim, Falconer escreveu um texto de acompanhamento para estudantes de graduação e pesquisadores interessados ​​em abordar a literatura atual, intitulado: Técnicas em geometria fractal (TFG), publicado pela Wiley em 1997. E antes de entrar nessa dupla, ele já havia escrito o que muitos matemáticos ainda consideram a escolha do connoisseur & rsquos: A geometria dos conjuntos fractais (GFS), publicado em 1985 como Volume 85 do Cambridge Tracts in Mathematics. Parece como se Geometria Fractal: Fundamentos Matemáticos e Aplicações (FGFA) foi escrito para tornar acessível aos iniciantes o material de seu pequeno (cerca de 180 páginas) tratado de 1985, bem como para atrair pesquisadores de áreas além da matemática e seu rigor muitas vezes intimidante. Os talentos expositivos do Professor Falconer e rsquos continuam a florescer. No ano passado, em 2013, fomos brindados com seu livro mais fino e inclusivo até agora: Fractais: uma introdução muito curta (FVSI), publicado por Oxford.

O livro, que consiste em dezoito capítulos com uma média de 20 páginas por capítulo, está estruturado em duas partes: a primeira sendo & ldquoFoundations & rdquo (oito capítulos) e a segunda & ldquoApplications and Examples & rdquo (dez capítulos).

Fundações: Há um capítulo introdutório rápido sobre vários elementos de formação matemática necessária e, em seguida, partimos para construir um kit de ferramentas para estudar e dissecar fractais: a dimensão de contagem de caixa é introduzida primeiro, em seguida, o Hausdorff e medidas e dimensões de embalagem, seguido por um capítulo sobre técnicas básicas para calcular dimensões. Os capítulos 5 a 8 mais técnicos dão ao leitor um gostinho da teoria da medida geométrica: eles estudam a estrutura local, as projeções, os produtos e as interseções dos fractais, respectivamente.

Aplicações e exemplos: Após a construção da ferramenta, o leitor é apresentado a uma incrível gama de perspectivas matemáticas em que se pode encontrar conjuntos fractais de um tipo ou de outro. O Capítulo 9 estuda Sistemas de Função Iterada (IFSs) auto-semelhantes e autoafinados que generalizam construções como o conjunto do terço médio Cantor que o aluno pode ter conhecido em análise real ou topologia de graduação. Há uma nova seção sobre a teoria das dimensões complexas de Lapidus e van Frankenhuijsen & rsquos. O Capítulo 10 estuda belos exemplos de subconjuntos fractais que surgem da teoria dos números. Exemplos mais complicados como o conjunto de reais em [0,1] cujas entradas de fração contínuas são todas 1s ou 2s são excluídos da discussão, mas o leitor interessado é levado a excelentes referências na literatura. O Capítulo 11 estuda as dimensões dos gráficos de funções, onde o cálculo do valor preciso da dimensão de Hausdorff permaneceu uma área ativa de pesquisa. O Capítulo 12 apresenta um smorgasbord de & ldquopure & rdquo (esta palavra soa falsa aqui no ouvido do revisor & rsquos!) Matemática, por ex. o problema de Kakeya, conjectura de Vitushkin e rsquos e grupos / anéis fractais.

Os capítulos 13 e 14, sobre sistemas dinâmicos e dinâmica holomórfica, estão entre os favoritos do revisor! Ele se lembra que esses capítulos causaram uma forte impressão quando ele era estudante, e continua a estudá-los desde então. Certamente, livros inteiros podem e foram escritos em cada um desses capítulos. Os capítulos 15 e 16 lançam processos estocásticos na mistura e estudam fractais aleatórios, movimento browniano e superfícies brownianas. O Capítulo 17 apresenta a análise de multifractais & mdash este é um terreno relativamente novo, e é fácil para o leitor chegar ao topo da pesquisa contemporânea depois de ler este capítulo e seguir com as referências do final do capítulo. Parece ao revisor que um capítulo / seção sobre o formalismo termodinâmico (ver comentários abaixo) também estaria em ordem aqui. O último capítulo percorre uma gama de fractais que aparecem em várias aplicações físicas. Existem os exemplos agora clássicos do estudo da turbulência, mas também aplicações modernas, por ex. para antenas fractais!

Cada capítulo termina com & ldquoNotes e referências & rdquo e & ldquoExercises & rdquo, os quais merecem comentários. Os exercícios são bem elaborados e foram testados em sala de aula em vários ambientes. Eles também oferecem aos alunos um convite para aspectos da matemática moderna que vão muito além do preço padrão da faculdade. Tem havido um esforço considerável para atualizar as notas e referências (ou seja, até 2013) e, em muitos casos, isso leva o aluno / pesquisador à literatura de pesquisa de última geração. Sem dúvida, esses dois aspectos contribuem para o sucesso contínuo do livro.

Para um livro de US $ 60 com muito conteúdo visualmente atraente, a qualidade do papel é extremamente baixa. O livro está repleto de diagramas, o que torna a leitura agradável. No entanto, quase todos os diagramas aparecem na página devido à espessura do papel. Isso é particularmente lamentável quando há diagramas em ambos os lados de uma única página. A I & rsquod recomenda melhor impressão e papel para a 4ª edição! Imagens coloridas de fractais como os conjuntos de Mandelbrot e Julia também seriam muito bem-vindas.

O livro faz um trabalho maravilhoso ao levar o leitor a um passeio de tirar o fôlego, como deve ficar claro a partir do resumo, um passeio pelas vistas matemáticas. No entanto, fiquei triste em ver tanto o FGFA quanto o FGVSI perderem a introdução de uma área vital da bela matemática fractal que, historicamente, foi o primeiro lugar em que esses objetos intrincados surgiram sem aviso prévio. Em 1883 Poincar & eacute publicou, no primeiro volume de Mittag-Leffler & rsquos recém-cunhados Acta Mathematica, suas investigações a respeito dos grupos fuchsianos e depois kleinianos (e funções). Esses são subgrupos discretos do grupo de isometria do espaço hiperbólico bidimensional e tridimensional, respectivamente. Foi aqui enquanto perturbava os geradores de um grupo fuchsiano que Poincar & eacute tropeçou nos primeiros grupos kleinianos (agora chamados de quase-fuchsianos na literatura). Seus conjuntos de limites eram curvas extremamente intrincadas, em palavras de Poincar & eacute & rsquos:

Ces domaines so s & eacutepar & eacutes par une ligne L, si l & rsquoon peut appeler & ccedila une ligne. & hellip De plus j & rsquoai tout lieu de croire qu & rsquoil n & rsquoy a pas de tangente aux points de L qui ne font pas partie de P.

& ldquoM & eacutemoire sur les groupes klein & eacuteens & rdquo, Acta Math, 3 (1883), 49 e ndash92.

O trabalho de Poincar & eacute & rsquos em grupos / funções fuchsianos e kleinianos foi lindamente exposto em vários lugares, por exemplo, veja o Capítulo 3 da biografia científica magistral de Jeremy Gray & rsquos. O revisor está atualmente trabalhando em uma exposição dessa história com o objetivo de descrever cuidadosamente a descoberta de Poincar & eacute & rsquos, sua recepção e desenvolvimentos matemáticos subsequentes até o renascimento de Sullivan & rsquos no início dos anos 1980 com sua famosa prova do teorema de domínios não errantes. No processo de suas investigações, Sullivan descobriu um dicionário incrivelmente belo relacionando resultados / conceitos da dinâmica holomórfica e grupos kleinianos que continua a estimular a pesquisa até hoje.

Falconer tem um capítulo excelente (14) sobre o primeiro, mas está faltando o que seria um capítulo útil & ldquodual & rdquo sobre grupos fuchsianos e kleinianos. Isso também forneceria um bom complemento para os IFSs auto-semelhantes e auto-afins do Capítulo 9. Na verdade, seria uma boa ideia adicionar uma seção extra ao Capítulo 9, introduzindo generalizações não lineares, por exemplo, IFSs conformes e agrave la Mauldin-Urbański, ou mesmo os conjuntos mais simples de biscoitos, conforme descrito no Capítulo 4 (Cortadores de biscoitos e distorção limitada) do TFG Falconer e rsquos. Também seria bom incluir o & ldquoheart & rdquo do Capítulo 5 (Formalismo Termodinâmico) do TFG: explicando a generalização de Bowen & rsquos (para situações não lineares) da fórmula de Moran-Hutchinson para a dimensão Haudorff do conjunto atrator / limite.

Alguns erros de digitação divertidos

A. Na pág. 75, o último parágrafo da Seção 4.1 após a prova da Proposição 4.9 termina com o que provavelmente foi uma sugestão ignorada que foi subseqüentemente perdida pelos editores. No entanto, o conteúdo matemático pretendido é claro. Aqui & rsquos como o parágrafo deve ser lido:

Pode ser do interesse do leitor que os resultados da Seção 4.1 sejam mais gerais além de ( mathbb^ n ), por exemplo em espaços de Hilbert separáveis ​​de dimensão infinita. Para uma exposição clara e independente, consulte a Seção 8 (Uma digressão para a teoria da medida geométrica) de D. Mauldin, T. Szarek e M. Urbański, & ldquoGraph Directed Markov Systems on Hilbert Spaces & rdquo, Math. Proc. Cambridge Phil. Soc. 147 (2009), 455-488.

B. Embora o sobrenome Urbański esteja escrito corretamente anteriormente na bibliografia, a entrada na pág. 356 deve ter & ldquoUrbański M. (1990) & rdquo e não & ldquoUrbanski C. (1990) & rdquo. O que talvez torne pelo menos o erro ortográfico desse sobrenome polonês algo desculpável, é que um lapso semelhante ocorre mais do que algumas vezes no próprio site do autor.

O livro de Falconer & rsquos é excelente em muitos aspectos e o revisor o recomenda enfaticamente. Que cada biblioteca universitária tenha um exemplar, ou três! E se você tiver um aluno lendo isso, vá dar uma olhada hoje!

Tushar Das é professor assistente de matemática na Universidade de Wisconsin e ndash La Crosse.


Imagens geradas com Fractal Generator para ImageJ.

Usando o triângulo central como base, forme um tetraedro. Substitua a base triangular pela "tenda" tetraédrica.

Dimensão de Hausdorff
(valor exato)
Dimensão de Hausdorff
(Aproximadamente.)
Nome Ilustração Observações
1/2 0.5 Zeros de um processo Wiener Os zeros de um processo de Wiener (movimento browniano) são um conjunto denso em lugar nenhum de medida de Lebesgue 0 com uma estrutura fractal. [4] [37]
Solução de E (C 1 s + C 2 s) = 1 < displaystyle E (C_ <1> ^+ C_ <2> ^) = 1> onde E (C 1) = 0,5 < displaystyle E (C_ <1>) = 0,5> e E (C 2) = 0,3 < displaystyle E (C_ <2>) = 0,3> 0.7499 um conjunto de Cantor aleatório com 50% - 30% Generalização: a cada iteração, o comprimento do intervalo esquerdo é definido com uma variável aleatória C 1 < displaystyle C_ <1>>, uma porcentagem variável do comprimento do intervalo original. O mesmo para o intervalo certo, com uma variável aleatória C2 < displaystyle C_ <2>>. Sua dimensão de Hausdorff s < displaystyle s> satisfaz: E (C 1 s + C 2 s) = 1 < displaystyle E (C_ <1> ^+ C_ <2> ^) = 1> (onde E (X) < displaystyle E (X)> é o valor esperado de X < displaystyle X>). [4]
Solução de s + 1 = 12 ⋅ 2 - (s + 1) - 6 ⋅ 3 - (s + 1) < displaystyle s + 1 = 12 cdot 2 ^ <- (s + 1)> - 6 cdot 3 ^ <- (s + 1) >> 1.144. Curva de von Koch com intervalo aleatório O comprimento do intervalo do meio é uma variável aleatória com distribuição uniforme no intervalo (0,1 / 3). [4]
Medido 1.22±0.02 Litoral da Irlanda Os valores para a dimensão fractal de toda a costa da Irlanda foram determinados por McCartney, Abernethy e Gault [38] na Universidade de Ulster e estudantes de Física Teórica no Trinity College, Dublin, sob a supervisão de S. Hutzler. [39]

Observe que há diferenças marcantes entre a costa oeste irregular da Irlanda (dimensão fractal de cerca de 1,26) e a costa leste muito mais suave (dimensão fractal 1,10) [39]


15 + 1 + 8 = Você faz a matemática

Quão duro você se exercita? Você é uma daquelas pessoas que dá tudo o que você tem ou que deixa tudo no campo, como diz o ditado? Eu sei que há momentos em que eu fico assim. Eu me encontro com meu treinador, pego um novo plano de treino e vou colocá-lo em ação. Normalmente sei quantas vezes por semana vou levantar pesos, quando minhas corridas estão agendadas para o próximo mês, quando preciso tirar um dia de folga, etc. Adoro pesquisar novos exercícios, experimentar novas aulas e tornar o fitness um rotina e parte consistente da minha vida. Estou muito ciente se estou ou não atingindo minha meta de minutos de condicionamento físico para o mês no SparkPeople. Isso & rsquos tudo bem, certo?

Sei que muitas vezes pensamos isso, mas recentemente vi algo na internet que colocou as coisas em uma perspectiva melhor para mim. Infelizmente, não consigo me lembrar onde li agora, mas o autor disse que trabalhamos 60 minutos por dia (1 hora) e depois temos que tomar decisões alimentares por 15 horas, deixando 8 horas para dormir. Se você não fez boas escolhas alimentares por muitas dessas horas, como pode esperar que 1 hora o compense e o leve na direção certa?

Pense nisso em minutos & hellip60 contra 900. Eu sei que fui pego dizendo, & # 39 & # 39 & rsquom vou comer isso porque mais tarde, eu & rsquom fazendo isso & # 39. Minha melhor amiga me interrompeu recentemente ao me dizer que não queria ouvir minha desculpa ou justificativa para o brownie decadente que eu estava preparando para comer & ndash apenas comê-lo e seguir em frente. Eu olhei para ela como se ela fosse minha inimiga (amiga / inimiga). Ok, só brincando, mas ela estava certa. Provavelmente levaria mais de 60 minutos para queimar aquele pedaço de amor & ndash, quero dizer, chocolate & ndash do meu corpo. Não estou dizendo que você pode comer guloseimas porque, acredite, eu comi aquele brownie e apreciei cada mordida. Devo fazer isso com frequência? Não! Na manhã seguinte, levantei-me e fiz minha corrida e voltei à pista.

A moral desta história é que você deve gastar ainda mais tempo se preparando para aqueles 900 minutos por dia do que para aqueles 60 minutos por dia, a fim de atingir seus objetivos. Como você faz isso? Eu faço isso planejando minhas refeições. Eu pesquiso e leio muito desde que me tornei um foodie e adoro fazer isso. Eu mantenho uma lista de receitas saudáveis ​​que nós experimentamos e gostamos. Comecei um painel no Pinterest para agrupar receitas que eu já estava experimentando. Costumo manter um estoque de suprimentos na despensa e no freezer que podem ser usados ​​em um grande número de receitas saudáveis. Freqüento a loja pelo menos duas vezes por semana para comprar produtos frescos. Eu mantenho meu Tupperware organizado e tenho um conjunto extra em mãos. Todas essas coisas tornam mais fácil preparar e levar comida para minha família.

Quando se trata de minhas refeições, costumo seguir o fluxo. Faz quase três anos que rastreio minha comida de maneira bastante consistente e posso calcular mentalmente quantas calorias comerei se ficar fora dos restaurantes. Periodicamente, preciso me examinar e planejar cuidadosamente minhas refeições apenas para me lembrar de que a comida é muito importante. Meu corpo sempre refletirá a quantidade e a qualidade do que coloco na boca, não importa o quanto eu malhe.

Você deveria usar este blog como justificativa para trabalhar apenas nos 900 minutos de planejamento das refeições e ignorar aqueles minúsculos 60 minutos de preparação física? De jeito nenhum! Seu corpo precisa de ambas as coisas e eu acredito firmemente na frase & # 39 & # 39 & # 39; mova-o ou perca-o & # 39 & # 39. Atualmente, tenho mais de 41.000 minutos de fitness registrados na minha conta SparkPeople desde o início da minha jornada. Obviamente, acredito que você precisa malhar. Acho que a melhor combinação para uma jornada saudável de sucesso é encontrar um bom equilíbrio entre os dois, e eu percebo que fazer um sem o outro vai me impedir dos resultados que mereço.

Quanto mais me encontro nessa jornada, mais sinto que nossos corpos são como carros de corrida bem ajustados. Se você não cuidar desse carro, ele parará de funcionar. Se você não ajustar o motor, lubrificar as peças, trocar os pneus e colocar combustível de boa qualidade, não terá uma boa corrida. Nossos corpos precisam de comida boa e de qualidade e muita água. Precisamos nos mover, alongar e fazer exercícios para fortalecer nossos ossos, construir músculos e fazer todas as partes funcionarem bem juntas. Quando não fazemos todas essas coisas, lutamos em nossa corrida.

Você sente que tem um equilíbrio saudável entre o planejamento dos exercícios e das refeições? Você favorece um em relação ao outro? Em qual você precisa trabalhar esta semana?


Prefácio à primeira edição ix

Prefácio à segunda edição xiii

Prefácio à terceira edição xv

1 Fundo matemático 3

1.2 Funções e limites 7

1.3 Medidas e distribuições de massa 11

1.4 Notas sobre a teoria da probabilidade 17

1.5 Notas e referências 24

2 Dimensão de contagem de caixa 27

2.1 Dimensões de contagem de caixa 27

2.2 Propriedades e problemas da dimensão de contagem de caixa 34

* 2.3 Dimensões de contagem de caixa modificadas 38

2.4 Algumas outras definições de dimensão 40

2.5 Notas e referências 41

3 medidas e dimensões de Hausdorff e embalagem 44

3.2 Dimensão de Hausdorff 47

3.3 Cálculo da dimensão de Hausdorff & # 8211 exemplos simples 51

3.4 Definições equivalentes da dimensão de Hausdorff 53

* 3.5 Medidas e dimensões da embalagem 54

* 3.6 Definições mais finas de dimensão 57

3.9 Notas e referências 63

4 Técnicas para calcular dimensões 66

4.2 Subconjuntos de medida finita 75

4.3 Métodos teóricos potenciais 77

* 4.4 Métodos de transformada de Fourier 80

4.5 Notas e referências 81

5 Estrutura local dos fractais 83

5.4 Notas e referências 96

6 projeções de fractais 98

6.1 Projeções de conjuntos arbitrários 98

6.2 Projeções de s-conjuntos de dimensão integral 101

6.3 Projeções de conjuntos arbitrários de dimensão integral 103

6.4 Notas e referências 105

7 produtos de fractais 108

7.2 Notas e referências 116

8 Intersecções de fractais 118

8.1 Fórmulas de interseção para fractais 119

* 8.2 Conjuntos com grande interseção 122

8.3 Notas e referências 128

PARTE II APLICAÇÕES E EXEMPLOS 131

9 sistemas de função iterada & # 8211 conjuntos auto-semelhantes e auto-afins 133

9.1 Sistemas de função iterada 133

9.2 Dimensões de conjuntos auto-semelhantes 139

9.5 Aplicativos para codificação de imagens 155

* 9.6 Funções Zeta e dimensões complexas 158

9.7 Notas e referências 167

10 exemplos da teoria dos números 169

10.1 Distribuição de dígitos dos números 169

10.2 Frações contínuas 171

10,3 Aproximação diofantina 172

10.4 Notas e referências 176

11 Gráficos de funções 178

11.1 Dimensões dos gráficos 178

* 11.2 Autocorrelação de funções fractais 188

11.3 Notas e referências 192

12 Exemplos de matemática pura 195

12.1 Dualidade e o problema Kakeya 195

12.2 Vitushkin & # 8217s conjectura 198

12.4 Grupos e anéis fractais 201

12.5 Notas e referências 204

13 sistemas dinâmicos 206

13.1 Repelidores e sistemas de função iterada 208

13.3 Transformações de alongamento e dobramento 213

13.5 Sistemas dinâmicos contínuos 220

* 13.6 Teoria do pequeno divisor 225

* 13,7 expoentes de Lyapunov e entropias 228

13.8 Notas e referências 231

14 Iteração de funções complexas & # 8211 Conjuntos de Julia e o conjunto de Mandelbrot 235

14.1 Teoria geral de conjuntos de Julia 235

14.2 Funções quadráticas & # 8211 o conjunto Mandelbrot 243

14.3 Conjuntos de Julia de funções quadráticas 248

14,4 Caracterização de quase-círculos por dimensão 256

14.5 Método de Newton & # 8217s para resolver equações polinomiais 258

14.6 Notas e referências 262

15 fractais aleatórios 265

15.1 Um conjunto Cantor aleatório 266

15,2 Percolação Fractal 272

15.3 Notas e referências 277

16 Movimento browniano e superfícies brownianas 279

16.1 Movimento browniano em & # 8477 279

16.2 Movimento browniano em & # 8477n 285

16.3 Movimento browniano fracionário 289

16,4 Superfícies brownianas fracionárias 294

16,5 L & # 233 processos estáveis ​​de hera 296

16.6 Notas e referências 299

17 medidas multifractais 301

17,1 Análise multifractal grosseira 302

17.2 Análise multifractal fina 307

17,3 multifractais auto-semelhantes 310

17.4 Notas e referências 320

18 aplicações físicas 323

18.1 Dedilhado Fractal 325

18.2 Singularidades dos potenciais eletrostáticos e gravitacionais 330

18.3 Dinâmica de fluidos e turbulência 332

18,5 Fractais em finanças 336

18.6 Notas e referências 340


Uma História da Geometria Fractal

Qualquer conceito matemático agora bem conhecido por crianças em idade escolar passou por décadas, senão séculos de refinamento. Uma estudante típica irá, em vários pontos de sua carreira matemática - por mais longa ou breve que seja - encontrar os conceitos de dimensão, números complexos e "geometria". If the field of mathematics does not particularly interest her, this student might see these concepts as distinct and unrelated and, in particular, she might make the mistake of thinking that the Euclidean geometry taught to her in school encompasses the whole of the field of geometry. However, if she were to pursue mathematics at the university level, she might discover an exciting and relatively new field of study that links the aforementioned ideas in addition to many others: fractal geometry.

While the lion's share of the credit for the development of fractal geometry goes to Benoît Mandelbrot, many other mathematicians in the century preceding him had laid the foundations for his work. Moreover, Mandelbrot owes a great deal of his advancements to his ability to use computer technology -- an advantage that his predecessors distinctly lacked however, this in no way detracts from his visionary achievements. Nevertheless, while acknowledging and understanding the accomplishments of Mandelbrot, it undoubtedly helps to have some familiarity with the relevant works of Karl Weierstrass, Georg Cantor, Felix Hausdorff, Gaston Julia, Pierre Fatou and Paul Lévy -- not only to make Mandelbrot's work clearer -- but to see its connections to other branches of mathematics. Equally, while most authors will not fail to include at least brief discussion of Mandelbrot's rather interesting and slightly unconventional ( for a modern mathematician ) life in their texts on fractals, it seems only fair to give some, if not equal, consideration to his predecessors.

Until the 19 th century, mathematics had concerned itself only with functions that produced differentiable curves. Indeed, the conventional wisdom of the day said that any function with an analytic formula ( i.e. sum of a convergent power series ) would certainly produce such a curve. [ 3 ] However, on July 18 , 1872 , Karl Weierstrass presented a paper at the Royal Prussian Academy of Sciences showing that for a a a a positive integer and 0 < b < 1 0 < b < 1 0 < b < 1

While these are both approximations, one can see that these functions lack the smoothness of parabolas or of the sine and cosine functions. These functions resisted traditional analysis and were -- though not due to their appearance, which was beyond the ability of mathematicians of the day to represent -- labelled "monsters" by Charles Hermite and were largely ignored by the contemporary mathematical community. [ 2 ]

In 1883 Georg Cantor, who attended lectures by Weierstrass during his time as a student at the University of Berlin [ 9 ] and who is to set theory what Mandelbrot is to fractal geometry, [ 3 ] introduced a new function, ψ , for which ψ' = 0 except on the set of points, < z > < z >. This set, < z > < z >, is what became known as the Cantor set.

The Cantor set has a Lebesgue measure of zero however, it is also uncountably infinite. [ 3 ] What is more, it has the property of being self-similar, meaning that if one magnifies a section of the set, one obtains the whole set again. Looking at Figure 4 , one can easily see that each horizontal line is one third the size of the horizontal line directly above it. In fact, self-similarity is a feature of fractals, and the Cantor set is an early example of a fractal, though self-similarity was not defined until 1905 ( by Cesàro, who was analysing the paper by Helge von Koch discussed below ) and fractals were not defined until Mandelbrot in 1975 , [ 2 ] thus Cantor would not have thought of it in those terms.

In a paper published in 1904 , Swedish mathematician Helge von Koch constructed using geometrical means the now-famous von Koch curve and hence the Koch snowflake, which is three von Koch curves joined together. In the introduction to his paper he stated the following about Weierstrass's 1872 essay [ 6 ] :

Von Koch's curve, like the Cantor set, has the property of self-similarity. It, too, is a fractal, though, like Cantor, von Koch was not thinking in such terms. He merely aimed to provide an alternative way of proving that functions that were non-differentiable ( i.e. functions that "have no tangents" in geometric parlance ) could exist -- a way that involved using "elementary geometry" ( reference [ 6 ] 's title translates to On a Continuous Curve without Tangent Constructible from Elementary Geometry ) In doing so, von Koch expressed a link between these non-differentiable "monsters" of analysis and geometry.

Von Koch himself was a fairly unremarkable mathematician. Many of his other results were derived from those of Henri Poincaré, from whom he knew it was possible to obtain "pathological" results -- i.e. these so-called "monsters" -- but never really explored them, outside of the aforementioned essay. [ 5 ] Poincaré, it should be noted, studied non-linear dynamics in the later 19 th century, which eventually led to chaos theory, [ 2 ] a field closely related to fractal geometry, though beyond the scope of this paper. It is therefore fitting that a mathematician whose work followed that of Poincaré so closely would turn out to be one of the forefathers of a field that is closely related to the area of study for which Poincaré himself helped lay the foundations.

An absolutely key concept in the study of fractals, aside from the aforementioned self-similarity and non-differentiability, is that of Hausdorff dimension, a concept introduced by Felix Hausdorff in March of 1918 . Hausdorff's results from the same paper were important to the field of topology, as well [ 3 ] however that his definition of dimension extended the previous definition to allow for sets to have a dimension that is an arbitrary, non-zero value [ 4 ] ( unlike topological dimension ) ended up being integral to the definition of a fractal, as Mandelbrot defined fractals "a set having Hausdorff dimension strictly greater than its topological dimension." [ 2 ]

As soon as Hausdorff introduced this new, expanded definition of dimension, it was the subject of investigation -- in particular by Abraham Samilovitch Besicovitch, who, from 1934 to early 1937 wrote no less than three papers referencing Hausdorff's work. [ 3 ] Sadly, by this time, Hausdorff was experiencing difficulties living as a Jew in Nazi Germany. He was forced to give up his post as a professor at the University of Bonn in 1935 , and even though he continued to work on set theory and topology, his work could only be published outside of Germany. Despite temporarily managing to avoid being sent to a concentration camp, the situation in Germany quickly became unbearable and, with nowhere else to go, he, along with his wife and sister-in-law, opted to commit suicide in January 1942 . [ 4 ]

Because Fatou and Julia ( and, by extension, their work ) predated computers, they were unable to generate pictures such as the one on the right, which is the graph of millions of iterations of a function. They were limited to what they could do by hand, which would only be about three or four iterations. [ 7 ] Julia published a 199 -page paper in 1918 called Mémoire sur l'iteration des fonctions rationelles Ⓣ , which discussed much of his work on iterative functions and describing the Julia set. With this paper, Julia won the Grand Prix of the Académie des Sciences and became extremely famous in mathematical circles throughout the 1920 s. However, despite this prominence, his work on iteration fell into obscurity for about fifty years. [ 11 ]

Fatou, on the other hand, did not achieve the same level of fame as Julia, even contemporarily, despite discovering very similar results -- though in a different manner -- and also submitting them to be published. He submitted an announcement of his results to Comptes Rendus, while Julia had chosen to send his opus to the Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. Julia, protective of his work, sent letters to Comptes Rendus asking them to investigate whose results had priority. The publication duly launched an investigation and included a note on Julia's findings in the same issue as the Fatou's announcement. This apparently discouraged Fatou enough to keep him from entering for the Grand Prix. Still, the Académie des Sciences gave him some recognition and awarded him a prize for his paper on the topic. [ 10 ]

Julia sets can be completely disconnected, in which case they are "dust" ( Figure 7) -- similar to the Cantor set ( Figure 4) -- or they are completely connected ( Figure 6) . On rare occasions, they can be "dendrites" ( Figure 8) , where they are "made up completely of continuously sub-branching lines, which are only just connected since the removal of any point from them would split them in two," [ 7 ] at which point, they would be considered "dust". [ 7 ]

If this sequence goes off to infinity, then the set is disconnected. Otherwise, it is connected. [ 7 ]

In 1938 , the year after Besicovitch's last paper on Hausdorff dimension, Paul Lévy produced a comprehensive treatment on the property of self-similarity. He showed that the von Koch curve was just one of many examples of a self-similar curve, though von Koch himself had stated that his curve could be generalized. The curves generated by Lévy ( see Figure 9 for an example -- the green and blue sets are two smaller copies of the larger set ) were iterative and connected and, with enough iterations, covers ( or tiles ) the plane. Lévy's curves, however, are not fractals, as they have both a Hausdorff and a topological dimension of two. [ 3 ]

Little did anyone at this time suspect that there was someone, albeit still a very young person, who would unite the works of Lévy and Hausdorff. Benoit Mandelbrot was born in 1924 in Warsaw, Poland and, like Hausdorff, he was also Jewish, though his family managed to escape life under the Third Reich in 1936 by leaving Poland for France, where family and friends helped them set up their new lives. One of Mandelbrot's uncles, Szolem Mandelbrojt, was a pure mathematician, who took an interest in the young Mandelbrot and tried to steer him towards mathematics. In fact, in 1945 , Mandelbrojt showed his nephew the works of Fatou and Julia, though the young Mandelbrot initially did not take much of an interest. [ 13 ]

Mandelbrot's education was very uneven, and completely interrupted in 1940 , when Mandelbrot and his family were forced to flee the Nazis again. This time they went to central France. Mandelbrot, like Helge von Koch before him, preferred visual representations of mathematical problems, as opposed to the symbolic, [ 7 ] though this may also stem from his lack of formal education, due to World War II. [ 13 ] Unfortunately, this would bring him into direct conflict with the teaching style of "Bourbaki", a group of mathematicians whose belief in solving problems analytically ( as opposed to visually ) dominated the teaching of mathematics in France at the time. [ 7 ]

After the war had ended, Mandelbrot took the entrance exams for the École Polytechnique in Paris, despite having no preparation. He did very well in the mathematics section, where he could employ his ability to solve problems through visualisation to answer questions. While this method was not always possible on other sections, he managed to pass [ 7 ] and after a one-day career at the École Normale, Mandelbrot started at the École Polytechnique, where he met another of his mentors, Paul Lévy, [ 13 ] who was a professor at there from 1920 until his retirement in 1959 [ 12 ] .

After completing his studies, Mandelbrot moved to New York, where he started work for IBM's Thomas J. Watson Research Centre. The company gave him a free hand in choosing a topic of study, which allowed him to explore and develop concepts using his own methods, without having to worry about the reaction of the academic community. In 1967 , while still there, Mandelbrot wrote his landmark essay, How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension [ 8 ] , in which he linked the idea of previous mathematicians to the real world -- namely coastlines, which he claimed were "statistically self-similar". He argued that [ 8 ]

The Mandelbrot set is, for many, the quintessential fractal. When one zooms in on some part of the edge, one notices that the Mandelbrot set is, indeed, self-similar. Furthermore, if one zooms in even further on various sections of the edge, one obtains different Julia sets. In fact, it is "asymptotically similar to Julia sets near any point on its boundary," as proved in a theorem by the Chinese mathematician Tan Lei. [ 7 ]

Mandelbrot has managed not only to invent the discipline of fractal geometry, but has also popularized it through its applications to other areas of science. He clearly believed this was important, as he once stated [ 3 ]

As he hinted in How Long Is the Coast of Britain? fractal geometry comes in useful in representing natural phenomena things such as coastlines, the silhouette of a tree, or the shape of snowflakes -- things are not easily represented using traditional Euclidean geometry. After all, no organic entity comes to mind when one contemplates a square or a circle. Equally, no simple shape from Euclidean geometry comes to mind when contemplating things such as the path of a river. Even the earth is not a perfect sphere, however convenient it may be for one's calculations to treat it as such. Furthermore, fractal geometry and chaos theory have important connections to physics, medicine, and the study of population dynamics. [ 7 ] However, even if the field lacked these links, it would be hard for those so inclined to resist the aesthetic appeal of most fractals.

Mandelbrot's non-traditional approach led him to invent an amazing and useful new form of mathematics. However, no mathematician can claim to have developed his results in complete isolation from anyone else's. Mandelbrot's discovery owes a great deal to the mathematicians who preceded him, such as Weierstrass and von Koch, but especially to Julia, Fatou, and Hausdorff. He also benefitted from access to computers, which allowed him not only to build upon the works of others in a new way -- one which had definitely not been done before -- but to use his preferred method of solving problems -- namely visualisation. Furthermore, his invention also makes a case for the importance of the study of pure mathematics: until Mandelbrot came along and united the eclectic ideas of Hausdorff, Julia, et al, they represented very abstract mathematical ideas from varying branches of ( pure ) mathematics. There is very little that would interest an ordinary biologist about set theory. However, through fractal geometry, many of these seemingly abstract ideas ( from mathematicians who are relatively unknown outside of their own spheres of research ) develop applications that other scientists and even non-scientists can appreciate. Thus, the work that eventually led to fractals and their applications are an excellent counterexample to the arguments of anyone who would dare to denigrate the study of pure mathematics.


1 resposta 1

After thinking a little bit more about the options, this is a possible way of showing the underlying patterns. I am explaining this method, but I would really like to learn others, and share ideas with other MSE users, so I will keep the question open for some time.

In this case, for the same example as above, OEIS A000265, each initial number of the sequence (or first status of the automaton) is represented by a radius $1$ circle (yellow).

In the second step, the elements marked to be removed were "invaded" by the closest elements at their right side. The invader element grew. We will show that growth by adding a new circle with a radius that covers both the invaded element (represented by its former step circle) and the invader (also represented by its former step circle).

That new circle is e.g. shown in red color. When we repeat the algorithm, or in other words, we continue evolving the automaton shown in the question some more steps, finally the pattern starts to arise:

Clearly there is a fractal pattern over there! This same method can be applied to any fractal sequence, providing different patterns for each one. And of course it is possible to use instead of circles, rectangles (or diamonds) or other shapes.

The color code could represent the depth of the step. For instance warm colors could fill the circles representing the initial status (or steps) of the automaton (they will be inner circles) and cold colors could fill the most external and bigger circles (recent steps of the automaton).

I would appreciate very much learning other visualizations!


Watch the video: Fractais (Outubro 2021).