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8.1.1: Espaços de amostra e probabilidade (exercícios)


SEÇÃO 8.1 CONJUNTO DE PROBLEMAS: ESPAÇOS DE AMOSTRA E PROBABILIDADE

Nos problemas 1 - 6, escreva um espaço de amostra para o experimento fornecido.

1) Um dado é lançado.

2) Um centavo e um níquel são jogados fora.

3) Um dado é lançado e uma moeda é lançada.

4) Três moedas são lançadas.

5) Dois dados são lançados.

6) Uma jarra contém quatro bolinhas numeradas 1, 2, 3 e 4. Duas bolinhas são sorteadas.

Nos problemas 7 - 12, uma carta é selecionada aleatoriamente de um baralho. Encontre as seguintes probabilidades.

7) P (um ás)

8) P (um cartão vermelho)

9) P (um clube)

10) P (uma carta com figura)

11) P (um valete ou uma pá)

12) P (um valete e uma pá)

Para os problemas 13 - 16: Um frasco contém 6 bolas de gude vermelhas, 7 brancas e 7 azuis. Se uma bola de gude for escolhida ao acaso, encontre as seguintes probabilidades.

13) P (vermelho)

14) P (branco)

15) P (vermelho ou azul)

16) P (vermelho e azul)

Para os problemas de 17 a 22: Considere uma família de três filhos. Encontre as seguintes probabilidades.

17) P (dois meninos e uma menina)

18) P (pelo menos um menino)

19) P (filhos de ambos os sexos)

20) P (no máximo uma menina)

21) P (o primeiro e o terceiro filhos são do sexo masculino)

22) P (todas as crianças são do mesmo sexo)

Para os problemas 23-27: Dois dados são lançados. Encontre as seguintes probabilidades.

23) P (a soma dos dados é 5)

24) P (a soma dos dados é 8)

25) P (a soma é 3 ou 6)

26) P (a soma é mais do que 10)

27) P (o resultado é um duplo) (Dica: um duplo significa que ambos os dados mostram o mesmo valor)

Para os problemas 28-31: Um jarro contém quatro bolinhas numeradas 1, 2, 3 e 4. Duas bolinhas são sorteadas aleatoriamente SEM SUBSTITUIÇÃO. Isso significa que depois que uma bola de gude é desenhada, ela NÃO é recolocada na jarra antes que a segunda bola de gude seja selecionada. Encontre as seguintes probabilidades.

28) P (a soma dos números é 5)

29) P (a soma dos números é ímpar)

30) P (a soma dos números é 9)

31) P (um dos números é 3)

Para os problemas 32-33: Um jarro contém quatro bolinhas numeradas 1, 2, 3 e 4. Duas bolinhas são sorteadas aleatoriamente COM SUBSTITUIÇÃO. Isso significa que depois que uma bola de gude é desenhada, ela é recolocada na jarra antes que a segunda bola de gude seja selecionada. Encontre as seguintes probabilidades.

32) P (a soma dos números é 5)

33) P (a soma dos números é 2)


8.1.1: Espaços de amostra e probabilidade (exercícios)

Qual é a probabilidade de lançar um dado e obter o número maior que 4?

Qual é a probabilidade de lançar dois dados e obter a soma dos números caídos maior que 3?

Selecionamos 7 cartas de um total de 32. Qual é a probabilidade de que entre as cartas selecionadas haja exatamente três corações?

Qual é a probabilidade de jogar uma moeda no ar e fazer a cabeça cair cinco vezes seguidas?

O cliente quer comprar um pão e uma lata. Há 30 pães na loja, sendo 5 do dia anterior, e 20 latas com prazo de validade ilegível, das quais uma já expirou. Qual é a probabilidade de o cliente comprar um pão fresco e uma lata na garantia?

Secretária abstraída colocou três cartas aleatoriamente em três envelopes. Qual é a probabilidade de pelo menos um dos destinatários receber sua carta?

Existem 10 potes expostos na loja, 2 dos quais com defeitos ocultos. O cliente compra duas peças. Qual é a probabilidade de que pelo menos um deles tenha um bug oculto?

Qual é a probabilidade de lançar um dado sete vezes seguidas e fazer com que o número 6 caia exatamente 3 vezes?

O teste contém 10 questões, cada uma com quatro respostas diferentes disponíveis, entre as quais apenas uma é correta. Para passar no teste, pelo menos 5 questões devem ser respondidas corretamente. Qual é a probabilidade de que um aluno totalmente despreparado passe no teste?

Temos 100 bilhetes numerados de 1 a 100. Com que probabilidade retiraremos um número que é divisível por dois ou por cinco?

São 49 produtos na caixa, dos quais apenas 6 são de alta qualidade. Qual é a probabilidade de retirar 6 produtos aleatórios da caixa e ter pelo menos quatro deles de alta qualidade?

Qual é a probabilidade de lançar dois dados e obter a soma dos números caídos exatamente 9?

Qual é a probabilidade de lançar um dado e obter:
a) o número par
b) o número divisível por três
c) o número menor que seis?

Existem 60 frascos químicos no laboratório, 6 dos quais estão incorretamente rotulados. Qual é a chance de que, se escolhermos aleatoriamente 5 frascos, exatamente 3 deles sejam rotulados corretamente?

Qual é a probabilidade de que, se escolhermos uma trindade de 19 meninos e 12 meninas, teremos:
a) tres meninos
b) três meninas
c) dois meninos e uma menina?

Há 30 produtos na caixa, dos quais 3 estão com defeito. Encontre a probabilidade de retirar 5 produtos aleatórios da caixa e ter entre eles no máximo dois produtos defeituosos.

Johnny escreveu um número natural aleatório de 1 a 20. Determine a probabilidade de ele ter escrito um número primo.

Suzie tem disponíveis os dígitos 0, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Qual é a probabilidade de que, quando ela criar um número aleatório de três dígitos a partir dos dígitos fornecidos, seja o número 445?

De 100 pares de sapatos, 5 pares são de baixa qualidade. O auditor seleciona aleatoriamente quatro pares de sapatos. Qual é a probabilidade de que pelo menos um dos pares selecionados seja de baixa qualidade?

Na loteria, 5 números são sorteados entre 35. Para 3 números acertados, a loteria paga o terceiro prêmio. Qual é a probabilidade de ganhar o terceiro prêmio, se enviarmos apenas um tíquete com 5 números acertados?

No shopping estão 100 televisores, sendo 85 de primeira e 15 de segunda qualidade. Os primeiros dez clientes receberam o televisor de primeira qualidade. Qual é a probabilidade de o décimo primeiro cliente comprar o aparelho de TV de segunda qualidade?

Temos 4 bolas brancas e 3 azuis em uma tigela. Sem querer, retiramos duas bolas. Qual é a probabilidade de:
a) ambas as bolas puxadas são brancas
b) uma bola é branca e a outra é azul?

Qual é a probabilidade de lançar três dados e
a) obter a soma dos números caídos exatamente 9?
b) obter a soma dos números caídos exatamente 10?
c) Explique por que, ao lançar três dados, a soma de 10 cai com mais frequência do que a soma de 9.

Existem 800 componentes no armazém, 20 dos quais estão quebrados. Qual é a probabilidade de que entre 9 componentes selecionados aleatoriamente não mais do que 3 deles sejam quebrados?

Na turma de 30 alunos, sete deles não fizeram a lição de casa. O professor escolheu 6 alunos aleatoriamente. Qual é a chance de pelo menos quatro deles terem feito o dever de casa?

Quatro cavalheiros colocaram quatro chapéus idênticos no vestiário. Qual é a probabilidade de que, ao sair, pelo menos um deles receba de volta o seu chapéu?

Qual é a probabilidade de lançar um dado três vezes seguidas e obter o número par após a primeira queda, o número maior que quatro após a segunda queda e o número ímpar após a última queda?

Três atiradores atiram no mesmo alvo, cada um deles atira apenas uma vez. O primeiro acerta o alvo com probabilidade de 70%, o segundo com probabilidade de 80% e o terceiro com probabilidade de 90%. Qual é a probabilidade de os atiradores atingirem o alvo
a) pelo menos uma vez
b) pelo menos duas vezes ?

A probabilidade de a lâmpada funcionar por mais de 800 horas é de 0,2. Temos três lâmpadas no corredor. Qual é a probabilidade de que, após 800 horas de serviço, pelo menos um deles ainda funcione?

Na loteria 6 números são sorteados de 49. Qual é a probabilidade de ganhar
a) o segundo prêmio (acertamos 5 números)
b) o terceiro prêmio (acertamos 4 números)
se estivéssemos adivinhando apenas seis números?


Compreendendo o espaço da amostra

Definição: O espaço amostral de um experimento é o conjunto de todos os resultados possíveis desse experimento.

Experimento 1: Qual é a probabilidade de cada resultado quando uma moeda é lançada?

Resultados: os resultados deste experimento são cabeça e cauda.

O espaço de amostra do Experimento 1 é:

Experimento 2: Um spinner tem 4 setores iguais coloridos em amarelo, azul, verde e vermelho. Qual é a probabilidade de pousar em cada cor após girar este spinner?

P (amarelo) = 1
4
P (azul) = 1
4
P (verde) = 1
4
P (vermelho) = 1
4

Experimento 3: Qual é a probabilidade de cada resultado quando um único dado de 6 lados é lançado?

P (1) = 1
6
P (2) = 1
6
P (3) = 1
6
P (4) = 1
6
P (5) = 1
6
P (6) = 1
6

Experiência 4: Um frasco de vidro contém 1 berlindes vermelhos, 3 verdes, 2 azuis e 4 amarelos. Se uma única bola de gude for escolhida aleatoriamente do jarro, qual é a probabilidade de cada resultado?

P (vermelho) = 1
10
P (verde) = 3
10
P (azul) = 2 = 1
10 5
P (amarelo) = 4 = 2
10 5

Resumo: o espaço de amostra de um experimento é o conjunto de todos os resultados possíveis para aquele experimento. Você deve ter notado que, para cada um dos experimentos acima, a soma das probabilidades de cada resultado é 1. Isso não é coincidência. A soma das probabilidades dos resultados distintos em um espaço de amostra é 1.

O espaço de amostra para escolher uma única carta aleatoriamente de um baralho de 52 cartas é mostrado abaixo. Existem 52 resultados possíveis neste espaço amostral.

A probabilidade de cada resultado deste experimento é:

A soma das probabilidades dos resultados distintos dentro deste espaço de amostra é:

Exercícios

Instruções: Leia cada pergunta abaixo. Selecione sua resposta clicando em seu botão. O feedback da sua resposta é fornecido na CAIXA DE RESULTADOS. Se você cometer um erro, escolha um botão diferente.


Amostra de planilhas de espaços

O que são espaços de amostra estatística? Em estatística, definimos espaço amostral como o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento. O número de resultados ou resultados presentes em um espaço de amostra depende do experimento aleatório. No caso de um espaço amostral ter um número finito ou conjunto de resultados, esse espaço amostral é conhecido como finito ou discreto. No espaço amostral, os eventos são definidos como o subconjunto de todos os resultados prováveis. Representamos o espaço amostral usando um símbolo 'S'. Incluímos um espaço de amostra de um experimento aleatório com uma chave <>. Muitas pessoas confundem o espaço amostral e os resultados possíveis quando escrevemos o espaço amostral de qualquer experimento que escrevemos <1, 2, 3, 4, 5, 6>. No entanto, quando devemos escrever os resultados possíveis, eles podem ser escritos como um conjunto de resultados ímpares <1, 3, 5> ou mesmo resultados <2, 4, 6>. Os resultados podem ser aleatórios, mas o espaço amostral é o conjunto universal para um experimento específico. Se considerarmos um experimento de sorteio, obteremos apenas dois resultados possíveis, ou seja, cara e cara. Portanto, o espaço amostral de um lançamento de moeda será escrito como: Espaço amostral (S) = ou . No entanto, o conjunto é diferente quando lançamos duas moedas. Sejam H1 e T1 os resultados da primeira moeda e H2 e T2 os resultados da segunda moeda. Os resultados possíveis podem ser escritos como: Sample Space (S) = <(H1, H2), (H1, T2), (T1, H2), (T1, T2)>.

Aula Básica

Apresenta o conceito de determinação do número de elementos envolvidos em um problema. Quantos elementos existem no espaço amostral do lançamento de uma moeda? Liste o espaço da amostra. Um espaço de amostra é um conjunto de todos os resultados possíveis para uma atividade ou experimento. Uma moeda tem apenas duas possibilidades, cara ou coroa. Portanto, haverá 2 resultados no espaço amostral:

Aula intermediária

Esta lição se concentra em listar os espaços de amostra. Você tira uma bola de um chapéu que tem bolas vermelhas, verdes, azuis e brancas. Liste o espaço da amostra. Existem quatro possibilidades para selecionar uma bola do chapéu. Portanto, haverá 4 resultados no espaço amostral:

Prática Independente 1

Os alunos praticam com 20 problemas de Espaços de Amostra. As respostas podem ser encontradas abaixo. Existem 3 portas de entrada e 3 escadas em um prédio. Liste o espaço de amostra usando uma porta de entrada e uma escada.

Prática Independente 2

Outros 20 problemas de Espaços de Amostra. As respostas podem ser encontradas abaixo. Um modelo de computador vem com 3 velocidades de processador diferentes e 6 tamanhos de memória diferentes.

Folha de trabalho de casa

Revisa todas as habilidades da unidade. Uma ótima planilha para levar para casa. Também fornece um problema prático. Escolhendo uma roupa entre uma camisa azul, uma camisa branca, uma calça preta, um par de sapatos pretos e um par de sapatos marrons?

Questionário de Habilidades

10 problemas que testam as habilidades do Sample Spaces.

Respostas para trabalhos de casa e questionários

Respostas do dever de casa e do teste.

Palavra chave

Respostas da lição e fichas práticas.

Aula Básica

Apresenta os fundamentos dos Espaços de Amostra. Fornece um aplicativo básico.

Aula intermediária

Esta lição se concentra em determinar o resultado de Espaços de Amostra com problemas de palavras.

Prática Independente 1

Os alunos praticam com 20 problemas de Espaços de Amostra. As respostas podem ser encontradas abaixo. Quantas combinações possíveis existem de 8 sabores de pizza e 4 tamanhos diferentes?

Prática Independente 2

Outros 20 problemas de Espaços de Amostra. As respostas podem ser encontradas abaixo. Um aluno pode selecionar um de 5 livros de história diferentes, um de 6 livros de matemática diferentes e um de 3 livros de ciências diferentes.

Folha de trabalho de casa

Revisa todas as habilidades da unidade. Uma ótima planilha para levar para casa. Também fornece um problema prático.

Questionário de Habilidades

10 problemas que testam as habilidades do Sample Spaces.

Respostas para trabalhos de casa e questionários

Respostas do dever de casa e do teste.

Palavra chave

Respostas da lição e fichas práticas.

Como Resolver a Probabilidade de Espaço de Amostra

O que é probabilidade? Bem, probabilidade é o cálculo matemático das chances de um evento ocorrer. É ajuda a fazer previsões de previsões de anúncios. Então, como resolver probabilidade. Quando um experimento ou evento ocorre, existem inúmeras possibilidades de um único evento. Agora, quando você reúne todos esses resultados possíveis, isso constitui o espaço da amostra. Para resolver a probabilidade do espaço amostral, tudo o que você precisa é o número total de possibilidades e o número total de resultados desejados. Quando você divide o número total de resultados desejados pelo número total de possibilidades no espaço amostral, obtém a probabilidade do evento desejado. Se você calcular as probabilidades para cada um dos resultados possíveis e adicioná-los, o resultado será um, que é a probabilidade do espaço amostral.

Cara ou Corôa?

Qual é a probabilidade de obter cara ou coroa em qualquer cara ou coroa? A resposta é meia cara e meia coroa. Experimente e veja se funciona! Quando jogamos uma moeda 25 vezes, obtivemos 15/10. Com 100 lançamentos, nossa proporção foi de 50/50 e com 500 lançamentos foi de 251/249.


Probabilidade

Definição

O probabilidade de um resultado Um número que mede a probabilidade do resultado. e em um espaço de amostra S é um número p entre 0 e 1 que mede a probabilidade de que e ocorrerá em uma única tentativa do experimento aleatório correspondente. O valor que p = 0 corresponde ao resultado e sendo impossível e o valor p = 1 corresponde ao resultado e estar certo.

Definição

O probabilidade de um evento Um número que mede a probabilidade do evento. UMA é a soma das probabilidades dos resultados individuais que o compõem. É denotado P (A).

A fórmula a seguir expressa o conteúdo da definição da probabilidade de um evento:

Se um evento E é E = , então

P (E) = P (e 1) + P (e 2) + · · · + P (e k)

Figura 3.3 Espaços de amostra e probabilidade

Uma vez que todo o espaço amostral S é um evento que certamente ocorrerá, a soma das probabilidades de todos os resultados deve ser o número 1.

Na linguagem comum, as probabilidades são freqüentemente expressas como porcentagens. Por exemplo, diríamos que há 70% de chance de chuva amanhã, o que significa que a probabilidade de chuva é de 0,70. Usaremos essa prática aqui, mas em todas as fórmulas computacionais a seguir usaremos a forma 0,70 e não 70%.

Exemplo 5

Uma moeda é chamada de “equilibrada” ou “justa” se cada lado tiver a mesma probabilidade de cair. Atribua uma probabilidade a cada resultado no espaço amostral para o experimento que consiste em lançar uma única moeda justa.

Com os resultados rotulados h para cabeças e t para caudas, o espaço amostral é o conjunto S = . Como os resultados têm as mesmas probabilidades, que devem somar 1, cada resultado recebe a probabilidade 1/2.

Exemplo 6

Um dado é chamado de “equilibrado” ou “justo” se cada lado tem a mesma probabilidade de cair no topo. Atribua uma probabilidade a cada resultado no espaço de amostra para o experimento que consiste em lançar um único dado justo. Encontre as probabilidades dos eventos E: “Um número par é lançado” e T: “Um número maior que dois é lançado.”

Com os resultados rotulados de acordo com o número de pontos na face superior do dado, o espaço da amostra é o conjunto S = <1,2,3,4,5,6>. Como há seis resultados igualmente prováveis, que devem somar 1, cada um recebe a probabilidade de 1/6.

Como E = <2,4,6>, P (E) = 1 ∕ 6 + 1 ∕ 6 + 1 ∕ 6 = 3 ∕ 6 = 1 ∕ 2.

Dado que T = <3,4,5,6>, P (T) = 4 ∕ 6 = 2 ∕ 3.

Exemplo 7

Duas moedas justas são lançadas. Encontre a probabilidade de as moedas coincidirem, ou seja, ambas as cabeças ou ambas as caudas.

Na Nota 3.8 "Exemplo 3" construímos o espaço amostral S = <2 h, 2 t, d> para a situação em que as moedas são idênticas e o espaço amostral S ′ = para o situação em que as duas moedas podem ser diferenciadas.

A teoria da probabilidade não nos diz Como as para atribuir probabilidades aos resultados, apenas o que fazer com eles depois de atribuídos. Especificamente, usando espaço de amostra S, a correspondência de moedas é o evento M = <2 h, 2 t>, que tem probabilidade P (2 h) + P (2 t). Usando o espaço amostral S ′, coincidir moedas é o evento M ′ = , que tem probabilidade P (h h) + P (t t). No mundo físico, não deve fazer diferença se as moedas são idênticas ou não, e por isso gostaríamos de atribuir probabilidades aos resultados de modo que os números P (M) e P (M ′) sejam os mesmos e correspondam melhor ao que nós observe quando experimentos físicos reais são realizados com moedas que parecem ser justas. A experiência real sugere que os resultados em S ′ são igualmente prováveis, então atribuímos a cada probabilidade 1∕4, e então

P (M ′) = P (h h) + P (t t) = 1 4 + 1 4 = 1 2

Da mesma forma, por experiência, escolhas adequadas para os resultados em S está:

P (2 h) = 1 4 P (2 t) = 1 4 P (d) = 1 2

que dão a mesma resposta final

P (M) = P (2 h) + P (2 t) = 1 4 + 1 4 = 1 2

Os três exemplos anteriores ilustram como as probabilidades podem ser calculadas simplesmente contando quando o espaço amostral consiste em um número finito de resultados igualmente prováveis. Em algumas situações, os resultados individuais de qualquer espaço amostral que representa o experimento são inevitavelmente desiguais, caso em que as probabilidades não podem ser calculadas meramente por contagem, mas a fórmula computacional dada na definição da probabilidade de um evento deve ser usada.

Exemplo 8

A repartição do corpo discente em uma escola secundária local de acordo com a raça e etnia é de 51% brancos, 27% negros, 11% hispânicos, 6% asiáticos e 5% para todos os outros. Um aluno é selecionado aleatoriamente nesta escola. (Selecionar "aleatoriamente" significa que cada aluno tem a mesma chance de ser selecionado.) Encontre as probabilidades dos seguintes eventos:

  1. B: o aluno é negro,
  2. M: o aluno é minoria (ou seja, não é branco),
  3. N: o aluno não é negro.

O experimento consiste na ação de selecionar aleatoriamente um aluno da população de alunos do ensino médio. Um espaço amostral óbvio é S = . Como 51% dos alunos são brancos e todos os alunos têm a mesma chance de serem selecionados, P (w) = 0,51, e o mesmo para os demais resultados. Essas informações estão resumidas na seguinte tabela:

  1. Uma vez que B = , P (B) = P (b) = 0,27.
  2. Dado que M = , P (M) = P (b) + P (h) + P (a) + P (o) = 0,27 + 0,11 + 0,06 + 0,05 = 0,49
  3. Uma vez que N = , P (N) = P (w) + P (h) + P (a) + P (o) = 0,51 + 0,11 + 0,06 + 0,05 = 0,73

Exemplo 9

O corpo discente da escola secundária considerado na Nota 3.18 "Exemplo 8" pode ser dividido em dez categorias da seguinte forma: 25% homens brancos, 26% mulheres brancas, 12% homens negros, 15% mulheres negras, 6% homens hispânicos, 5% mulheres hispânicas, 3% homens asiáticos, 3% mulheres asiáticas, 1% homens de outras minorias combinadas e 4% mulheres de outras minorias combinadas. Um aluno é selecionado aleatoriamente nesta escola. Encontre as probabilidades dos seguintes eventos:

  1. B: o aluno é negro,
  2. M F: a estudante é uma minoria do sexo feminino,
  3. F N: o aluno é do sexo feminino e não é negro.

Agora, o espaço amostral é S = . As informações fornecidas no exemplo podem ser resumidas na tabela a seguir, chamada de mão dupla tabela de contingência:

Gênero Raça / Etnia
Branco Preto hispânico Asiáticos Outras
Masculino 0.25 0.12 0.06 0.03 0.01
Fêmea 0.26 0.15 0.05 0.03 0.04
  1. Dado que B = , P (B) = P (b m) + P (b f) = 0,12 + 0,15 = 0,27.
  2. Dado que M F = , P (M) = P (b f) + P (h f) + P (a f) + P (o f) = 0,15 + 0,05 + 0,03 + 0,04 = 0,27
  3. Dado que F N = , P (F N) = P (w f) + P (h f) + P (a f) + P (o f) = 0,26 + 0,05 + 0,03 + 0,04 = 0,38

Principais vantagens

  • O espaço amostral de um experimento aleatório é a coleção de todos os resultados possíveis.
  • Um evento associado a um experimento aleatório é um subconjunto do espaço amostral.
  • A probabilidade de qualquer resultado é um número entre 0 e 1. As probabilidades de todos os resultados somam 1.
  • A probabilidade de qualquer evento UMA é a soma das probabilidades dos resultados em UMA.

Exercícios

Básico

Uma caixa contém 10 bolas de gude brancas e 10 pretas. Construa um espaço amostral para o experimento de retirar aleatoriamente, com substituição, duas bolinhas em sucessão e anotando a cor de cada vez. (Desenhar "com substituição" significa que a primeira bola de gude é colocada de volta antes que a segunda bola de gude seja desenhada.)

Uma caixa contém 16 bolas de gude brancas e 16 pretas. Construa um espaço amostral para o experimento de retirar aleatoriamente, com substituição, três bolinhas em sucessão e anotando a cor de cada vez. (Desenhar "com substituição" significa que cada bola de gude é colocada de volta antes que a próxima bola seja desenhada.)

Uma caixa contém 8 bolas de gude vermelhas, 8 amarelas e 8 verdes. Construa um espaço amostral para o experimento de retirar aleatoriamente, com substituição, duas bolas de gude em sucessão e anotando a cor de cada vez.

Uma caixa contém 6 bolas de gude vermelhas, 6 amarelas e 6 verdes. Construa um espaço amostral para o experimento de retirar aleatoriamente, com substituição, três bolinhas em sucessão e anotando a cor de cada vez.

Na situação do Exercício 1, liste os resultados que abrangem cada um dos eventos a seguir.

Na situação do Exercício 2, liste os resultados que abrangem cada um dos eventos a seguir.

  1. Pelo menos uma bola de gude de cada cor é desenhada.
  2. Nenhum mármore branco é desenhado.
  3. Mais bolas de gude pretas do que brancas são desenhadas.

Na situação do Exercício 3, liste os resultados que abrangem cada um dos eventos a seguir.

  1. Nenhum mármore amarelo é desenhado.
  2. Os dois mármores desenhados têm a mesma cor.
  3. Pelo menos uma bola de gude de cada cor é desenhada.

Na situação do Exercício 4, liste os resultados que abrangem cada um dos eventos a seguir.

  1. Nenhum mármore amarelo é desenhado.
  2. Os três mármores desenhados têm a mesma cor.
  3. Pelo menos uma bola de gude de cada cor é desenhada.

Supondo que cada resultado seja igualmente provável, encontre a probabilidade de cada evento no Exercício 5.

Supondo que cada resultado seja igualmente provável, encontre a probabilidade de cada evento no Exercício 6.

Supondo que cada resultado seja igualmente provável, encontre a probabilidade de cada evento no Exercício 7.

Supondo que cada resultado seja igualmente provável, encontre a probabilidade de cada evento no Exercício 8.

Um espaço amostral é S = . Identifique dois eventos como U = e V = . Suponha que P (a) e P (b) sejam cada um 0,2 e P (c) e P (d) sejam cada um 0,1.

Um espaço amostral é S = . Identifique dois eventos como A = e B = . Suponha que P (u) = 0,22, P (w) = 0,36 e P (x) = 0,27.

Um espaço amostral é S = . Identifique dois eventos como U = e V = . As probabilidades de alguns dos resultados são dadas pela seguinte tabela:

Um espaço amostral é S = . Identifique dois eventos como M = e N = . As probabilidades de alguns dos resultados são dadas pela seguinte tabela:

Formulários

O espaço amostral que descreve todas as famílias de três filhos de acordo com os gêneros dos filhos com relação à ordem de nascimento foi construído na Nota 3.9 "Exemplo 4". Identifique os resultados que abrangem cada um dos eventos a seguir no experimento de seleção aleatória de uma família de três filhos.

  1. Pelo menos uma criança é uma menina.
  2. No máximo, uma criança é uma menina.
  3. Todas as crianças são meninas.
  4. Exatamente duas das crianças são meninas.
  5. O primogênito é uma menina.

O espaço amostral que descreve três lançamentos de uma moeda é o mesmo que aquele construído na Nota 3.9 "Exemplo 4" com "menino" substituído por "cara" e "menina" substituído por "coroa". Identifique os resultados que compõem cada um dos eventos a seguir no experimento de jogar uma moeda três vezes.

  1. A moeda cai mais vezes com cara do que com coroa.
  2. A moeda cai cara o mesmo número de vezes que sai coroa.
  3. A moeda cai cara pelo menos duas vezes.
  4. A moeda cai cara no último lance.

Supondo que os resultados sejam igualmente prováveis, encontre a probabilidade de cada evento no Exercício 17.

Supondo que os resultados sejam igualmente prováveis, encontre a probabilidade de cada evento no Exercício 18.

Exercícios Adicionais

A seguinte tabela de contingência bidirecional fornece a divisão da população em um local específico de acordo com a idade e o uso de tabaco:

Uma pessoa é selecionada aleatoriamente. Encontre a probabilidade de cada um dos eventos a seguir.

  1. A pessoa é fumante.
  2. A pessoa tem menos de 30 anos.
  3. A pessoa é fumante e tem menos de 30 anos.

A seguinte tabela de contingência bidirecional dá a distribuição da população em uma localidade particular de acordo com a filiação partidária (UMA, B, C, ou Nenhum) e opinião sobre uma emissão de títulos:

Afiliação Opinião
Favores Opostos Indeciso
UMA 0.12 0.09 0.07
B 0.16 0.12 0.14
C 0.04 0.03 0.06
Nenhum 0.08 0.06 0.03

Uma pessoa é selecionada aleatoriamente. Encontre a probabilidade de cada um dos eventos a seguir.

  1. A pessoa é afiliada a um partido B.
  2. A pessoa é filiada a algum partido.
  3. A pessoa é a favor da emissão do título.
  4. A pessoa não tem filiação partidária e está indecisa sobre a emissão do título.

A seguinte tabela de contingência bidirecional dá a distribuição da população de mulheres casadas ou previamente casadas além da idade de procriação em um local específico de acordo com a idade no primeiro casamento e número de filhos:

Idade Número de Filhos
0 1 ou 2 3 ou mais
Menos de 20 0.02 0.14 0.08
20–29 0.07 0.37 0.11
30 e acima 0.10 0.10 0.01

Uma mulher é selecionada aleatoriamente. Encontre a probabilidade de cada um dos eventos a seguir.

  1. A mulher estava na casa dos vinte anos no primeiro casamento.
  2. A mulher tinha 20 anos ou mais no primeiro casamento.
  3. A mulher não tinha filhos.
  4. A mulher estava na casa dos vinte anos no primeiro casamento e tinha pelo menos três filhos.

A seguinte tabela de contingência bidirecional apresenta a distribuição da população de adultos em um determinado local de acordo com o nível de educação mais alto e se o indivíduo toma ou não suplementos dietéticos regularmente:

Educação Uso de Suplementos
Leva Não leva
Sem Diploma de Ensino Médio 0.04 0.06
Diploma do ensino médio 0.06 0.44
Graduação 0.09 0.28
Graduação 0.01 0.02

Um adulto é selecionado aleatoriamente. Encontre a probabilidade de cada um dos eventos a seguir.

  1. A pessoa possui diploma de ensino médio e faz uso regular de suplementos dietéticos.
  2. A pessoa possui graduação e faz uso regular de suplementos dietéticos.
  3. A pessoa toma suplementos dietéticos regularmente.
  4. A pessoa não toma suplementos dietéticos regularmente.

Exercícios de grandes conjuntos de dados

Nota: Esses conjuntos de dados estão faltando, mas as perguntas são fornecidas aqui para referência.

Grandes conjuntos de dados 4 e 4A registram os resultados de 500 lançamentos de uma moeda. Encontre a frequência relativa de cada resultado 1, 2, 3, 4, 5 e 6. A moeda parece estar “equilibrada” ou “justa”?


3.2: Complementos, Intersecções e Uniões

Básico

  1. Para o espaço amostral (S = ) identificar o complemento de cada evento dado.
    1. (A = )
    2. (B = )
    3. (S )
    1. (R = )
    2. (T = )
    3. ( varnothing ) (o conjunto & ldquoempty & rdquo que não possui elementos)
    1. Liste os resultados que compreendem (H ) e (M ).
    2. Liste os resultados que compreendem (H cap M ), (H cup M ) e (H ^ c ).
    3. Assumindo que todos os resultados são igualmente prováveis, encontre (P (H cap M) ), (P (H cup M) ) e (P (H ^ c) ).
    4. Determine se (H ^ c ) e (M ) são ou não mutuamente exclusivos. Explique por que ou por que não.
    1. Liste os resultados que compreendem (T ) e (G ).
    2. Liste os resultados que compreendem (T cap G ), (T cup G ), (T ^ c ) e ((T cup G) ^ c ).
    3. Assumindo que todos os resultados são igualmente prováveis, encontre (P (T cap G) ), (P (T cup G) ) e (P (T ^ c) ).
    4. Determine se (T ) e (G ) são ou não mutuamente exclusivos. Explique por que ou por que não.
    1. Liste os resultados que compreendem (B ), (R ) e (N ).
    2. Liste os resultados que compreendem (B cap R ), (B copo R ), (B cap N ), (R copo N ), (B ^ c ) e ((B cup R) ^ c ).
    3. Assumindo que todos os resultados são igualmente prováveis, encontre as probabilidades dos eventos na parte anterior.
    4. Determine se (B ) e (N ) são ou não mutuamente exclusivos. Explique por que ou por que não.
    1. Liste os resultados que compreendem (Y ), (I ) e (J ).
    2. Liste os resultados que compreendem (Y cap I ), (Y cup J ), (I cap J ), (I ^ c ) e ((Y cup J) ^ c ).
    3. Assumindo que todos os resultados são igualmente prováveis, encontre as probabilidades dos eventos na parte anterior.
    4. Determine se (I ^ c ) e (J ) são ou não mutuamente exclusivos. Explique por que ou por que não.

    1. (P (A) ).
    2. (P (B) ).
    3. (P (A ^ c) ). Duas maneiras: (i) encontrando os resultados em (A ^ c ) e adicionando suas probabilidades, e (ii) usando a Regra de Probabilidade para Complementos.
    4. (P (A cap B) ).
    5. (P (A xícara B) ) Duas maneiras: (i) encontrando os resultados em (A xícara B ) e adicionando suas probabilidades, e (ii) usando a Regra Aditiva de Probabilidade.
    1. O diagrama de Venn fornecido mostra um espaço de amostra e dois eventos (A ) e (B ). Suponha que (P (a) = 0,32, P (b) = 0,17, P (c) = 0,28, text P (d) = 0,23 ). Confirme se as probabilidades dos resultados somam (1 ) e, em seguida, calcule as probabilidades a seguir.

    1. (P (A) ).
    2. (P (B) ).
    3. (P (A ^ c) ). Duas maneiras: (i) encontrando os resultados em (A ^ c ) e adicionando suas probabilidades, e (ii) usando a Regra de Probabilidade para Complementos.
    4. (P (A cap B) ).
    5. (P (A xícara B) ) Duas maneiras: (i) encontrando os resultados em (A xícara B ) e adicionando suas probabilidades, e (ii) usando a Regra Aditiva de Probabilidade.
    1. Confirme se as probabilidades na tabela de contingência bidirecional somam (1 ) e, em seguida, use-a para encontrar as probabilidades dos eventos indicados.
    1. (P (A), P (B), P (A cap B) ).
    2. (P (U), P (W), P (U cap W) ).
    3. (P (U xícara W) ).
    4. (P (V ^ c) ).
    5. Determine se os eventos (A ) e (U ) são mutuamente exclusivos os eventos (A ) e (V ).
    1. Confirme se as probabilidades na tabela de contingência bidirecional somam (1 ) e, em seguida, use-a para encontrar as probabilidades dos eventos indicados.
    1. (P (R), P (S), P (R cap S) ).
    2. (P (M), P (N), P (M cap N) ).
    3. (P (R xícara S) ).
    4. (P (R ^ c) ).
    5. Determine se os eventos (N ) e (S ) são mutuamente exclusivos os eventos (N ) e (T ).

    Formulários

    1. Faça uma declaração em inglês comum que descreva o complemento de cada evento (não insira simplesmente a palavra & ldquonot & rdquo).
      1. No lançamento de um dado: & ldquofive ou mais. & Rdquo
      2. No lançamento de um dado: & ldquoan número par. & Rdquo
      3. Em dois lançamentos de uma moeda: & ldquo pelo menos uma cara. & Rdquo
      4. Na seleção aleatória de um estudante universitário: & ldquoNão é um calouro. & Rdquo
      1. No lançamento de um dado: & ldquotwo ou menos. & Rdquo
      2. No lançamento de um dado: & ldquoone, três ou quatro. & Rdquo
      3. Em dois lançamentos de uma moeda: & ldquoat mais uma cara. & Rdquo
      4. Na seleção aleatória de um estudante universitário: & ldquoNem um calouro nem um veterano. & Rdquo
      1. Pelo menos uma criança é uma menina.
      2. No máximo, uma criança é uma menina.
      3. Todas as crianças são meninas.
      4. Exatamente duas das crianças são meninas.
      5. O primogênito é uma menina.
      1. A pessoa é do sexo masculino.
      2. A pessoa não é a favor.
      3. A pessoa é do sexo masculino ou a favor.
      4. A pessoa é feminina e neutra.

      The record of a part is selected at random. Find the probability of each of the following events.

      1. The part was defective.
      2. The part was either of high quality or was at least usable, in two ways: (i) by adding numbers in the table, and (ii) using the answer to (a) and the Probability Rule for Complements.
      3. The part was defective and came from supplier (B).
      4. The part was defective or came from supplier (B), in two ways: by finding the cells in the table that correspond to this event and adding their probabilities, and (ii) using the Additive Rule of Probability.
      1. Individuals with a particular medical condition were classified according to the presence ((T)) or absence ((N)) of a potential toxin in their blood and the onset of the condition (( ext)). The breakdown according to this classification is shown in the two-way contingency table.

      One of these individuals is selected at random. Find the probability of each of the following events.

      1. The person experienced early onset of the condition.
      2. The onset of the condition was either midrange or late, in two ways: (i) by adding numbers in the table, and (ii) using the answer to (a) and the Probability Rule for Complements.
      3. The toxin is present in the person&rsquos blood.
      4. The person experienced early onset of the condition and the toxin is present in the person&rsquos blood.
      5. The person experienced early onset of the condition or the toxin is present in the person&rsquos blood, in two ways: (i) by finding the cells in the table that correspond to this event and adding their probabilities, and (ii) using the Additive Rule of Probability.
      1. The breakdown of the students enrolled in a university course by class (( ext)) and academic major (( ext)) is shown in the two-way classification table.

      A student enrolled in the course is selected at random. Adjoin the row and column totals to the table and use the expanded table to find the probability of each of the following events.

      1. The student is a freshman.
      2. The student is a liberal arts major.
      3. The student is a freshman liberal arts major.
      4. The student is either a freshman or a liberal arts major.
      5. The student is not a liberal arts major.
      1. The table relates the response to a fund-raising appeal by a college to its alumni to the number of years since graduation.

      An alumnus is selected at random. Adjoin the row and column totals to the table and use the expanded table to find the probability of each of the following events.

      1. The alumnus responded.
      2. The alumnus did not respond.
      3. The alumnus graduated at least (21) years ago.
      4. The alumnus graduated at least (21) years ago and responded.

      Additional Exercises

      1. The sample space for tossing three coins is (S=)
        1. List the outcomes that correspond to the statement &ldquoAll the coins are heads.&rdquo
        2. List the outcomes that correspond to the statement &ldquoNot all the coins are heads.&rdquo
        3. List the outcomes that correspond to the statement &ldquoAll the coins are not heads.&rdquo

        Answers

          1. ()
          2. ()
          3. (varnothing)
          1. (H=, M=)
          2. (Hcap M=, Hcup M=H, H^c=)
          3. (P(Hcap M)=4/8, P(Hcup M)=7/8, P(H^c)=1/8)
          4. Mutually exclusive because they have no elements in common.
          1. (B=, R=, N=)
          2. (Bcap R=varnothing , Bcup R=, Bcap N=, Rcup N=, B^c=, (Bcup R)^c=)
          3. (P(Bcap R)=0, P(Bcup R)=8/16, P(Bcap N)=2/16, P(Rcup N)=10/16, P(B^c)=12/16, P((Bcup R)^c)=8/16)
          4. Not mutually exclusive because they have an element in common.
          1. (0.36)
          2. (0.78)
          3. (0.64)
          4. (0.27)
          5. (0.87)
          1. (P(A)=0.38, P(B)=0.62, P(Acap B)=0)
          2. (P(U)=0.37, P(W)=0.33, P(Ucap W)=0)
          3. (0.7)
          4. (0.7)
          5. (A) and (U) are not mutually exclusive because (P(Acap U)) is the nonzero number (0.15). (A) and (V) are mutually exclusive because (P(Acap V)=0).
          1. &ldquofour or less&rdquo
          2. &ldquoan odd number&rdquo
          3. &ldquono heads&rdquo or &ldquoall tails&rdquo
          4. &ldquoa freshman&rdquo
          1. &ldquoAll the children are boys.&rdquo Event: (), Complement: ()
          2. &ldquoAt least two of the children are girls&rdquo or &ldquoThere are two or three girls.&rdquo Event: (), Complement: ()
          3. &ldquoAt least one child is a boy.&rdquo Event: (), Complement: ()
          4. &ldquoThere are either no girls, exactly one girl, or three girls.&rdquo Event: (), Complement: ()
          5. &ldquoThe first born is a boy.&rdquo Event: (), Complement: ()
          1. (0.0023)
          2. (0.9977)
          3. (0.0009)
          4. (0.3014)
          1. (920/1671)
          2. (668/1671)
          3. (368/1671)
          4. (1220/1671)
          5. (1003/1671)
          1. ()
          2. ()
          3. ()

          Sample Space And Events

          And this leads us to sample spaces and events.

          What is the sample space? And what is an event?

          UMA sample space is the set of all possible outcomes of a statistical experiment, and it is sometimes referred to as a probability space. E outcomes are observations of the experiment, and they are sometimes referred to as sample points. Um evento is a subset of a sample space as discussed by Shafer and Zhang.

          So, in our coin-flipping example, the probability space for flipping a coin one time is “Heads or Tails,” and we write this as S = .

          How To Find Sample Space?

          The three most common ways to find a sample space are:

          For example, let’s suppose we flip a coin and roll a die.

          • How many outcomes are possible?
          • What is the probability space?
          • Identify the events.

          When we flip a coin, there are only two possible outcomes , and when we roll a die, there are six possible outcomes <1,2,3,4,5,6>.

          That means we have two events:

          1. List Of All Possible Outcomes

          Now, let’s see if we can find the sample space.

          Example – Flipping A Coin And Rolling A Die

          If we flip and roll, then we can get any of the following scenarios:

          • Heads and 1
          • Heads and 2
          • Heads and 3
          • Heads and 4
          • Heads and 5
          • Heads and 6
          • Tails and 1
          • Tails and 2
          • Tails and 3
          • Tails and 4
          • Tails and 5
          • Tails and 6

          Solutions: Probability

          Tossing a coin.
          Rolling a single 6-sided die.
          Choosing a marble from a jar.
          All of the above.

          Rolling a pair of dice.
          Landing on red.
          Choosing 2 marbles from a jar.
          None of the above.

          Choose a number at random from 1 to 7.
          Toss a coin.
          Choose a letter at random from the word SCHOOL.
          None of the above.

          Certain and Impossible Events

          Exercício Problem Solução
          1 A glass jar contains 5 red, 3 blue and 2 green jelly beans. If a jelly bean is chosen at random from the jar, then which of the following is an impossible event?

          Choosing a red jelly bean.
          Choosing a blue jelly bean.
          Choosing a yellow jelly bean.
          None of the above.

          Landing on a number less than 7.
          Landing on a number less than 8.
          Landing on a number greater than 1.
          None of the above.

          Rolling a number less than 7.
          Rolling an even number.
          Rolling a zero.
          None of the above.

          Sample Spaces

          Exercício Problem Solução
          1 What is the sample space for choosing an odd number from 1 to 11 at random?

          The Complement of an Event

          Exercício Problem Solução
          1 A glass jar contains 5 red, 3 blue and 2 green jelly beans. If a jelly bean is chosen at random from the jar, what is the probability that it is not blue?

          Answer: 0 (this is an impossible event)

          Answer: 1 (This is a certain event)

          Mutually Exclusive Events

          Exercício Problem Solução
          1 Which of the following are mutually exclusive events when a single card is chosen at random from a standard deck of 52 playing cards?

          Choosing a 7 or Choosing a club.
          Choosing a 7 or Choosing a jack.
          Choosing a 7 or Choosing a heart.
          None of the above.

          Rolling a number less than 4 or Rolling a number greater than 4.
          Rolling a 2 or Rolling an odd number.
          Rolling a 2 or Rolling an even number.
          None of the above.

          Choosing a Monday or Choosing a Wednesday.
          Choosing a Saturday or Choosing a Sunday.
          Choosing a weekday or Choosing a weekend day.
          All of the above.

          Choosing a T or Choosing a consonant.
          Choosing a T or Choosing a vowel.
          Choosing an E or Choosing a C.
          None of the above.

          Choosing August or Choosing a summer month.
          Choosing September or Choosing a fall month.
          Choosing a summer month or Choosing a winter month.
          None of the above.


          Probability

          The probability of an outcome (e) in a sample space (S) is a number (P) between (1) and (0) that measures the likelihood that (e) will occur on a single trial of the corresponding random experiment. The value (P=0) corresponds to the outcome (e) being impossible and the value (P=1) corresponds to the outcome (e) being certain.

          Definition: probability of an event

          O probability of an event (A) is the sum of the probabilities of the individual outcomes of which it is composed. It is denoted (P(A)).

          The following formula expresses the content of the definition of the probability of an event:

          The following figure expresses the content of the definition of the probability of an event:

          Figure (PageIndex<3>) : Sample Spaces and Probability

          Since the whole sample space (S) is an event that is certain to occur, the sum of the probabilities of all the outcomes must be the number (1).

          In ordinary language probabilities are frequently expressed as percentages. For example, we would say that there is a (70\%) chance of rain tomorrow, meaning that the probability of rain is (0.70). We will use this practice here, but in all the computational formulas that follow we will use the form (0.70) and not (70\%).

          A coin is called &ldquobalanced&rdquo or &ldquofair&rdquo if each side is equally likely to land up. Assign a probability to each outcome in the sample space for the experiment that consists of tossing a single fair coin.

          With the outcomes labeled (h) for heads and (t) for tails, the sample space is the set

          Since the outcomes have the same probabilities, which must add up to (1), each outcome is assigned probability (1/2).

          A die is called &ldquobalanced&rdquo or &ldquofair&rdquo if each side is equally likely to land on top. Assign a probability to each outcome in the sample space for the experiment that consists of tossing a single fair die. Find the probabilities of the events (E): &ldquoan even number is rolled&rdquo and (T): &ldquoa number greater than two is rolled.&rdquo

          With outcomes labeled according to the number of dots on the top face of the die, the sample space is the set

          Since there are six equally likely outcomes, which must add up to (1), each is assigned probability (1/6).

          Two fair coins are tossed. Find the probability that the coins match, i.e., either both land heads or both land tails.

          In Example (PageIndex<3>) we constructed the sample space (S=<2h,2t,d>) for the situation in which the coins are identical and the sample space (S&prime=) for the situation in which the two coins can be told apart.

          The theory of probability does not tell us how to assign probabilities to the outcomes, only what to do with them once they are assigned. Specifically, using sample space (S), matching coins is the event (M=<2h, 2t>) which has probability (P(2h)+P(2t)). Using sample space (S'), matching coins is the event (M'=), which has probability (P(hh)+P(tt)). In the physical world it should make no difference whether the coins are identical or not, and so we would like to assign probabilities to the outcomes so that the numbers (P(M)) and (P(M')) are the same and best match what we observe when actual physical experiments are performed with coins that seem to be fair. Actual experience suggests that the outcomes in S' are equally likely, so we assign to each probability (frac<1><4>), and then.

          Similarly, from experience appropriate choices for the outcomes in (S) are:

          The previous three examples illustrate how probabilities can be computed simply by counting when the sample space consists of a finite number of equally likely outcomes. In some situations the individual outcomes of any sample space that represents the experiment are unavoidably unequally likely, in which case probabilities cannot be computed merely by counting, but the computational formula given in the definition of the probability of an event must be used.

          The breakdown of the student body in a local high school according to race and ethnicity is (51\%) white, (27\%) black, (11\%) Hispanic, (6\%) Asian, and (5\%) for all others. A student is randomly selected from this high school. (To select &ldquorandomly&rdquo means that every student has the same chance of being selected.) Find the probabilities of the following events:

          1. (B): the student is black,
          2. (M): the student is minority (that is, not white),
          3. (N): the student is not black.

          The experiment is the action of randomly selecting a student from the student population of the high school. An obvious sample space is (S=). Since (51\%) of the students are white and all students have the same chance of being selected, (P(w)=0.51), and similarly for the other outcomes. This information is summarized in the following table:

          1. Since (B=, P(B)=P(b)=0.27)
          2. Since (M=, P(M)=P(b)+P(h)+P(a)+P(o)=0.27+0.11+0.06+0.05=0.49)
          3. Since (N=, P(N)=P(w)+P(h)+P(a)+P(o)=0.51+0.11+0.06+0.05=0.73)

          The student body in the high school considered in the last example may be broken down into ten categories as follows: (25\%) white male, (26\%) white female, (12\%) black male, (15\%) black female, 6% Hispanic male, (5\%) Hispanic female, (3\%) Asian male, (3\%) Asian female, (1\%) male of other minorities combined, and (4\%) female of other minorities combined. A student is randomly selected from this high school. Find the probabilities of the following events:

          1. (B): the student is black
          2. (MF): the student is a non-white female
          3. (FN): the student is female and is not black

          Now the sample space is (S=). The information given in the example can be summarized in the following table, called a two-way contingency table:


          7.5 Summary

          Glossary

          The probabilistic model for the values of a measurements in the sample, before the measurement is taken.

          The distribution of a random sample.

          Sampling Distribution of a Statistic:

          A statistic is a function of the data i.e. a formula applied to the data. The statistic becomes a random variable when the formula is applied to a random sample. The distribution of this random variable, which is inherited from the distribution of the sample, is its sampling distribution.

          Sampling Distribution of the Sample Average:

          The distribution of the sample average, considered as a random variable.

          A mathematical result regarding the sampling distribution of the sample average. States that the distribution of the average of measurements is highly concentrated in the vicinity of the expectation of a measurement when the sample size is large.

          The Central Limit Theorem:

          A mathematical result regarding the sampling distribution of the sample average. States that the distribution of the average is approximately Normal when the sample size is large.

          Discussion in the Forum

          Limit theorems in mathematics deal with the convergence of some property to a limit as some indexing parameter goes to infinity. The Law of Large Numbers and the Central Limit Theorem are examples of limit theorems. The property they consider is the sampling distribution of the sample average. The indexing parameter that goes to infinity is the sample size (n) .

          Some people say that the Law of Large Numbers and the Central Limit Theorem are useless for practical purposes. These theorems deal with a sample size that goes to infinity. However, all sample sizes one finds in reality are necessarily finite. qual e sua OPINIAO?

          When forming your answer to this question you may give an example of a situation from your own field of interest in which conclusions of an abstract mathematical theory are used in order to solve a practical problem. Identify the merits and weaknesses of the application of the mathematical theory.

          For example, in making statistical inference one frequently needs to make statements regarding the sampling distribution of the sample average. For instant, one may want to identify the central region that contains 95% of the distribution. The Normal distribution is used in the computation. The justification is the Central Limit Theorem.

          Summary of Formulas

          Variance of the sample average:

          Running this simulation, and similar simulations of the same nature that will be considered in the sequel, demands more of the computer’s resources than the examples that were considered up until now. Beware that running times may be long and, depending on the strength of your computer and your patience, too long. You may save time by running less iterations, replacing, say, “ 10^5 ” by “ 10^4 ”. The results of the simulation will be less accurate, but will still be meaningful.↩

          Mathematically speaking, the Binomial distribution is only an approximation to the sampling distribution of (X) . Actually, the Binomial is an exact description to the distribution only in the case where each subject has the chance be represented in the sample more than once. However, only when the size of the sample is comparable to the size of the population would the Binomial distribution fail to be an adequate approximation to the sampling distribution.↩


          Assista o vídeo: MATURA 2021 Rachunek Prawdopodobieństwa i kombinatoryka PEWNIAK zadania (Outubro 2021).