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7.4.1: Permutações Circulares e Permutações com Elementos Similares (Exercícios) - Matemática


Faça os problemas a seguir usando as técnicas aprendidas nesta seção.

  1. De quantas maneiras diferentes cinco crianças podem dar as mãos para brincar de "Ring Around the Rosy"?
  1. De quantas maneiras três pessoas podem se sentar em uma mesa redonda?
  1. De quantas maneiras diferentes seis crianças podem montar um "Merry Go Around" com seis cavalos?
  1. De quantas maneiras três casais podem se sentar em uma mesa redonda, de modo que homens e mulheres se sentem alternadamente?
  1. De quantas maneiras seis bugigangas podem ser dispostas em uma corrente?
  1. De quantas maneiras cinco chaves podem ser colocadas em um chaveiro?
  1. Encontre o número de diferentes permutações das letras da palavra MASSACHUSETTS.
  1. Encontre o número de diferentes permutações das letras da palavra MATEMÁTICA.
  1. Sete bandeiras devem ser hasteadas em sete mastros: 3 bandeiras são vermelhas, 2 são brancas e 2 são azuis. Quantos arranjos diferentes são possíveis?
  1. De quantas maneiras diferentes 3 centavos, 2 centavos e 5 centavos podem ser organizados em uma linha?
  1. Quantos números de quatro dígitos podem ser feitos usando dois 2 e dois 3?
  1. Quantos números de cinco dígitos podem ser feitos usando dois 6 e três 7?
  1. Se uma moeda for lançada 5 vezes, quantos resultados diferentes de 3 caras e 2 coroas são possíveis?
  1. Se uma moeda for lançada 10 vezes, quantos resultados diferentes de 7 caras e 3 coroas são possíveis?
  1. Se uma equipe joga dez jogos, quantos resultados diferentes de 6 vitórias e 4 derrotas são possíveis?
  1. Se uma equipe joga dez jogos, de quantas maneiras diferentes ela pode ter uma temporada de vitórias?

Permutação & ldquoCyclic & rdquo e & ldquoCircular & rdquo - são conceitos diferentes?

Permutações "cíclicas" e "circulares" - são dois conceitos diferentes? Tenho lido sobre permutação e os encontrando em muitos lugares. Quais são as definições deles, em inglês simples, por favor. E quais são as diferenças?

(Você poderia explicar em exemplos, se não for um problema. Eu li sobre a permutação "cíclica" na Wikipedia, mas foi muito difícil de entender. Assisti alguns vídeos sobre a permutação "circular" (exemplo de pessoas sentadas em uma mesa) no YouTube, de alguma forma compreensível. Mas a diferença entre os conceitos permanece nebulosa)


Nos exemplos trabalhados de Permutações sem Repetição, vimos que se Lisa tem n n n ornamentos diferentes, ela pode organizá-los em n! n! n! maneiras diferentes em seu manto. O que acontecerá se Lisa tiver alguns enfeites idênticos? De quantas maneiras Lisa pode organizar enfeites em seu manto se ela tiver 2 enfeites de gato idênticos, 3 enfeites de cachorro idênticos, 1 coelho, 1 pinguim e 1 enfeite de coala?

No total, são 8 objetos e, se os objetos fossem considerados distintos, são 8! 8! 8! maneiras de organizá-los no manto. Para qualquer arranjo, podemos levar qualquer um dos 2! 2! 2! permutações dos ornamentos do gato e obter o mesmo arranjo. Da mesma forma, podemos pegar qualquer um dos 3! 3! 3! permutações de ornamentos de cachorro e obter o mesmo arranjo. Assim, para contabilizar esses arranjos repetidos, dividimos pelo número de repetições para obter que o número total de permutações seja 8! 3! 2! frac <8!> <3! 2!> 3! 2! 8! . □ _ square □

Reorganizando todas as letras da palavra MATEMÁTICA, quantas strings distintas podemos formar?


Permutações circulares

Considere um arranjo de contas azuis, ciano, verdes, amarelas, vermelhas e magenta em um círculo.

Para esse arranjo específico das seis contas, há seis maneiras de listar o arranjo das contas no sentido anti-horário, dependendo se começamos a lista com a conta azul, ciano, verde, amarela, vermelha ou magenta. Eles correspondem aos seis arranjos lineares mostrados nas linhas abaixo.

Por outro lado, cada um desses seis arranjos lineares pode ser transformado no arranjo circular acima, juntando as extremidades de uma fileira.

Mais geralmente, qualquer arranjo circular dessas seis contas corresponde a seis arranjos lineares. Como existem $ 6! $ Arranjos lineares de seis contas distintas, o número de arranjos circulares distinguíveis é $ frac <6!> <6> = 5! $

A menos que especificado de outra forma, apenas a ordem relativa dos objetos importa em uma permutação circular. Portanto, arranjos circulares são considerados invariantes rotacionalmente.

Dado um arranjo circular de $ n $ objetos, eles podem ser girados, 1, 2, ldots, n - 1 $ casas no sentido horário sem alterar a ordem relativa dos objetos. Portanto, o número de arranjos distinguíveis de $ n $ objetos em um círculo é o número de arranjos lineares dividido por $ n $, o que resulta em $ frac = (n - 1)! $

Alternativamente, dados $ n $ objetos, medimos a ordem relativa a um determinado objeto. Fixe esse objeto. À medida que avançamos no sentido anti-horário ao redor do círculo, os objetos restantes podem ser organizados em ordens $ (n - 1)! $.

Agora, suponha que coloquemos essas contas em uma pulseira.

Observe que se você remover a pulseira à esquerda de seu pulso, girá-la em meia volta e, em seguida, colocá-la de volta em seu pulso, ela se parecerá com a pulseira à direita, onde as contas estão dispostas na ordem oposta à medida que você prossegue no sentido anti-horário em torno do círculo. Assim, podemos formar a mesma pulseira organizando o azul, ciano, verde, amarelo, vermelho e magenta no sentido horário ou anti-horário. Portanto, o número de pulseiras que podemos formar com as seis contas fornecidas acima é $ frac <5!> <2> $

De maneira mais geral, se uma pulseira não tem fecho ou abertura que nos permite distinguir uma ordem linear, ela é invariável em relação às rotações e reflexão. Portanto, o número de arranjos distinguíveis de uma pulseira com $ n $ objetos é $ frac <1> <2> frac = frac <(n - 1)!> <2> $ fornecido $ n & gt 2 $. Se $ n = 1 $, há apenas um arranjo possível para a pulseira. Se $ n = 2 $, há apenas um arranjo distinguível para a pulseira.

Permutações circulares com repetição

Este é um problema muito mais complicado. Para ver por quê, considere um arranjo de nove contas azuis e três vermelhas em um círculo. Dois desses arranjos são mostrados abaixo.

A primeira vez que vi esse problema, tentei resolvê-lo escolhendo três das posições de $ 12 $ para as contas vermelhas e, em seguida, dividir por $ 12 $ para contabilizar a invariância rotacional.
$ frac <1> <12> binom <12> <3> = frac <1> <12> cdot frac <12!> <3! 9!> = frac <11!> <3! 9!> $ Infelizmente, este não é um número inteiro. O motivo pelo qual não é um inteiro é a disposição à esquerda. Enquanto o arranjo circular à direita corresponde a $ 12 $ arranjos lineares diferentes, o da esquerda não. Dada sua simetria, existem apenas quatro arranjos lineares distinguíveis correspondentes aos doze pontos de partida possíveis do arranjo linear, dependendo se o primeiro grânulo vermelho está na primeira, segunda, terceira ou quarta posição do arranjo linear. Portanto, contamos esse arranjo linear $ 1/3 $ vezes. Portanto, o número real de arranjos circulares é $ frac <1> <12> binom <12> <3> + frac <2> <3> $

Embora essa observação resolva esse problema específico, em geral, você precisará dominar o uso do lema de Burnside para lidar com esses problemas.


7.4.1: Permutações Circulares e Permutações com Elementos Similares (Exercícios) - Matemática

O Prisioneiro A é levado para a sala do diretor e mostrado um baralho de 52 cartas voltado para cima, alinhado em uma ordem arbitrária. Ela é obrigada a trocar duas cartas, após o que ela sai da sala. As cartas são então viradas para baixo, no lugar. O prisioneiro B é trazido para a sala. O diretor pensa em uma carta e depois a conta para B (por exemplo, “o três de paus”).

O Prisioneiro B então vira 26 cartas, uma de cada vez. Se o cartão nomeado estiver entre os entregues, os prisioneiros são libertados imediatamente. Encontre uma estratégia que garantias que os prisioneiros tenham sucesso. (Se eles falharem, eles devem passar o resto de suas vidas na prisão.)

Nem é preciso dizer: os dois prisioneiros têm o jogo descrito para eles no dia anterior e podem ter uma sessão de estratégia absolutamente nenhuma comunicação entre eles é permitida no dia do jogo. Observe que em nenhum momento o Prisioneiro A conhece a carta escolhida.

Existem (pelo menos) duas maneiras de pensar (ou definir) uma permutação:

1. Uma lista (uma ordem): uma ordem específica para escrever elementos. Por exemplo, uma permutação dos 10 elementos [0, 1, 2, 3, ..., 9] significa aqueles 10 elementos escritos em uma ordem particular: uma permutação particular de 0123456789 é 7851209463. Em um computador, podemos representá-la por uma matriz:

2. Um reordenamento. Por exemplo, a permutação acima pode ser vista como & cotando & quot 0 a 7, 1 a 8 e, em geral, i a a [i] para cada i.

Em vez de descrever esse reordenamento escrevendo 10 pares 0 → 7, 1 → 8,…, 7 → 4, 8 → 6, 9 → 3, podemos economizar algum espaço & quotseguindo & quot cada elemento até voltar ao início: o acima se torna um monte de & quotciclos & quot:

- 0 → 7 → 4 → 2 → 5⟲ (como 5 → 0 novamente) (observe que também poderíamos escrever isso como 4 → 2 → 5 → 0 → 7⟲ etc., apenas a ordem cíclica importa)

Você pode pensar em ciclos da mesma forma que pensa em listas circulares vinculadas. Essa permutação específica que escolhemos tinha dois ciclos.

# O que é uma permutação cíclica?

Uma permutação cíclica é uma permutação que tem apenas um ciclo (ao invés de dois ciclos como acima, ou até mais ciclos). Por exemplo, considere a permutação 8302741956:

Se seguirmos cada elemento como fizemos acima, obteremos 0 → 8 → 5 → 4 → 7 → 9 → 6 → 1 → 3 → 2⟲ onde todos os 10 elementos estão em um único ciclo. Esta é uma permutação cíclica.

Nosso objetivo é gerar uma permutação cíclica aleatória (e de fato uniformemente ao acaso entre todas as permutações cíclicas).

Observe que em uma permutação cíclica de [0,. n-1] (em nosso exemplo acima, n = 10), para o índice mais alto n-1, haverá algum j menor tal que a [j] = n-1 (no exemplo acima, a [7] = 9). Agora, se trocarmos os elementos nas posições n-1 e j (que no exemplo acima é:

onde trocamos a [7] = 9 e a [9] = 6 para fazer a [7] = 6 e a [9] = 9), então, em geral, obtemos a [n-1] = n-1, e a [0] ... a [n-2] forma uma permutação cíclica de [0 ... n-2]. No exemplo acima, no caso de & quotafter & quot, se ignorarmos i = 9 e considerarmos apenas as posições 0 a 8, teremos o ciclo 0 → 8 → 5 → 4 → 7 → 6 → 1 → 3 → 2⟲. (Este é o nosso ciclo original 0 → 8 → 5 → 4 → 7 → 9 → 6 → 1 → 3 → 2⟲ com 9 & quotremovido & quot, como & # x27d fazemos ao excluir um item de uma lista vinculada.)

Isso também se aplica ao contrário: se tivéssemos começado com a permutação cíclica de [0, ..., 8] que está na coluna & quotafter & quot acima, adicionamos a [9] = 9 e trocamos a [9] = 9 por um elemento & quotrandom & quot a [7] = 6, & # x27d obtemos a permutação cíclica de [0,… 9] que é a coluna & quotantes & quot.

Em geral, você pode se convencer de que existe uma maneira única de obter qualquer permutação cíclica em [0, ..., n-1] começando com uma permutação cíclica em [0, ..., n-2], considerando um [n- 1] = n-1, escolhendo um índice particular j em 0 ≤ j ≤ n-2 e trocando a [n-1] e a [j].

Isso fornece o seguinte algoritmo, que já provamos ser correto (ou derivado, em vez disso):

No post vinculado acima, você troca com um elemento aleatório que é & quothead & quot, em vez de um que é & quotbehind & quot, você também começa com uma lista de comprimento n e a embaralha de acordo com a permutação cíclica gerada aleatoriamente de [0 ... (n-1) ] em vez de simplesmente gerar a permutação. Da postagem:

Isso é um pouco diferente, mas a prova é semelhante: na verdade, este é o algoritmo (exceto indo para baixo) que se provou correto no artigo vinculado. (E mesmo que não seja óbvio para você que os dois algoritmos são equivalentes, você tem um algoritmo que gera um ciclo aleatório e é tão fácil de codificar!)


Os quebra-cabeças:

O Quebra-cabeça de pista oval consiste em uma trilha circular com discos numerados de 1 a 20, ou menos, se desejado. Dois tipos de movimentos podem ser realizados: você pode girar todo o anel, mantendo os discos em ordem, e você pode executar uma permutação fixa em uma "zona ativa". No primeiro quebra-cabeça Oval Track esta permutação é (1,4) (2,3), modelando o jogo original onde os discos nas posições # 1, 2, 3, 4 podem ser girados em 180 graus. As outras versões do Oval Track têm diferentes permutações na zona ativa, você ainda tem a opção de projetar o seu próprio! O objetivo do jogo é misturar os discos (o botão shuffle pode fazer isso para você) e, em seguida, tentar colocá-los de volta na ordem original.

O Slide puzzle é o conhecido quadrado 4 x 4 com ladrilhos numerados de 1 a 15 e um slot vazio. Qualquer peça adjacente ao slot vazio pode ser movida para esse slot. Novamente, o objetivo é tentar colocar um jogo embaralhado de volta em ordem. Esta versão computadorizada permite selecionar menos de 15 tiles ativos e também tem a opção de trabalhar com um segundo slot vazio.

O muito desafiador Quebra-cabeça de anéis húngaros também é modelado após um jogo existente. Ele consiste basicamente em duas trilhas circulares de discos numerados de 1 a 38. As trilhas se cruzam em dois lugares e só podem trocar os discos nesses pontos de interseção. Novamente, você tem a opção de reduzir o número de discos ativos e também pode selecionar uma versão mais simples "somente para cores".

É muito fácil aprender a usar o software. Todos os quebra-cabeças têm a mesma barra de menu, incluindo um botão de embaralhar discos, ver movimentos, salvar configurações, "desfazer os últimos movimentos" e o botão "programar uma macro".

O último permite que você insira um conjunto particularmente útil de movimentos que podem ser executados ao mesmo tempo pressionando um único botão "do macro". O menu Puzzle Resource permite que você carregue uma configuração pré-programada ou armazene e recupere um número ilimitado de suas próprias configurações. A capacidade do programa é muito grande para ser descrita com precisão aqui, você precisa experimentá-lo! É perceptível que o autor passou muitos anos trabalhando nele e aperfeiçoando-o antes de lançá-lo ao público.


Respostas e Respostas

Não entendo exatamente sua pergunta sobre as possíveis permutações (de quê?), Mas tenho alguns comentários.

Primeiro, sua lista de números é, na verdade, o número de maneiras de colocar 7 itens distintos, e não itens idênticos, em recipientes. E você usa isso, no parágrafo do meio, quando menciona o 1º, 2º, 3º item etc.

Então, os números na lista podem ser expressos por S (7, k) (32 k) k! onde S (m, n) é o número stirling de segundo tipo (que btw, multiplicado por n! dá o número de sobreposições de um conjunto de elementos m, para um conjunto de elementos n), e (32 k) é um binomial . Os números de Stirling são calculados usando inclusão / exclusão, assim como seu somatório, então duvido que você possa encontrar algo mais eficiente se insistir em criar essa lista.

Seu fato surpreendente sobre a chance de todos os itens irem para recipientes diferentes, aliás, também pode ser obtido por 31 * 30 * 29 * 28 * 27 * 26/32 6 = 49,37%.


COMBINAÇÃO

Tipo 5-

Solução:- Se duas meninas não podem ficar juntas, primeiro arranjamos os meninos. Isso pode ser feito em 9! Maneiras. Nas lacunas, temos que organizar as meninas. Considerando as posições mais à esquerda e mais à direita e as lacunas entre os meninos. Seja & # 8216B & # 8217 a posição dos meninos e & # 8216G & # 8217 seja a posição das meninas.
G1 B1 G2 B2 G3 B3 G4 B4 G5 B5 G6 B6 G7 B7 G8 B8 G9 B9 G10
Portanto, em 10 lugares, ou seja, (de G1 a G10), 6 meninas podem ser organizadas de maneiras 10P6.
Portanto, formas totais = 9! X 10P6
Observação: - Não há duas meninas juntas é diferente de todas as meninas não estão juntas. Todas as meninas não estão juntas significa que poucas meninas podem ficar juntas.

Tipo 6-

A casa dos mil (Th) pode ser preenchida de 7 maneiras. Para cada um desses, a casa da centésima décima unidade pode ser preenchida de 6, 5, 4 maneiras, respectivamente
Total de formas = 7x6x5x4 = 840 nos.

Caso 2: -

Solução:- Se o número for par, ele deve terminar com um número par (2, 4 ou 6 nesta questão). Portanto, as unidades de lugar têm 3 opções e um milésimo, centésimo e décimo lugar podem ser preenchidos de 5, 4,3 maneiras respectivamente.
Portanto, o total de números pares de 4 dígitos = 5x4x3x3 = 180

Tipo 7

Criação de palavras (alfabetos não repetidos)
Caso 1:-
Quando não há restrição
Exemplo: - Encontre o número de palavras que podem ser formadas usando todas as letras da palavra & # 8220MONKEY & # 8221.

Solução:- A palavra MACACO possui 6 letras. As seis letras diferentes podem ser organizadas em 6P6 = 6! = 720 maneiras.

Caso 2: -

Solução:- A palavra LAUGHTER tem 3 vogais e 5 consoantes com amp. Considere as 3 vogais como 1unidade. Portanto, 1unidade + 5 consoantes.
Total = 6 podem ser organizados em 6! Maneiras. Para cada um deles, as 3 vogais podem ser organizadas em 3! Maneiras.
Portanto, total de palavras = 6! x3! = 720x6 = 4320

Caso 3: -

Quando as vogais / consoantes ocupam lugares ímpares / pares
Exemplo:
- De quantas maneiras as letras da palavra HEXAGON podem ser arranjadas de forma que as vogais fiquem sempre em lugares pares.

Solução:- A palavra HEXAGON possui 7 letras, das quais 3 são vogais. Como o total de letras é 7, existem 4 casas ímpares e 3 casas pares.
As 3 vogais podem ser organizadas em 3 lugares ímpares em 3! Maneiras. Para cada uma delas, as 4 consoantes podem ser arranjadas nas 4
Lugares em 4! Maneiras. Portanto, formas totais = 3! X4! = 6x24 = 144

Tipo 8-

Permutação de coisas semelhantes O número de permutações de & # 8216n & # 8217 tomadas todas de uma vez, onde & # 8216x & # 8217 das coisas são semelhantes e de um tipo, & # 8216y & # 8217 outras são semelhantes de outro tipo, & # 8216z & # 8217 outros são como & amp de outro tipo e assim por diante é
Nº total de maneiras = n! / x! y! z!
Exemplo: - Encontre o número de permutações das letras da palavra ENGENHARIA. Quantos destes
a) Comece com E e termine com E
b) Tenha todos os 3 E & # 8217s juntos
c) Não há duas vogais juntas

Solução:- A palavra ENGENHARIA tem 11 letras, das quais E é repetido três vezes, N é repetido três vezes, G é repetido duas vezes, I é repetido duas vezes.
Permutações totais = 11! / 3! 3! 2! 2!
a) Começando com E & amp terminando com E: -
De 3 E & # 8217s, as posições de 2 E & # 8217s são fixas, ou seja, primeiro e último.
Total -9, N-3, G-2, I-2
Portanto, as permutações das letras restantes são 9! / 3! 2! 2!

b) Todos os 3 E & # 8217s estão juntos
Considere os 3 E & # 8217s como uma unidade. Portanto, temos que organizar 1 unidade (3 E & # 8217s) e as letras restantes do amplificador.

EEE e amp NGINRING
1 + 8 =9
Total = 9, N-3, G-2, I-2
Permutações totais = 9! / (3! 2! 2!)
Os 3 E & # 8217s considerados como um só podem ser arranjados de uma maneira, pois todas as 3 letras são iguais.
Permutação total = 9! / (3! 2! 2!)

c) Não há duas vogais juntas
Primeiro arranje 6 consoantes. N G N R N G
N-3, G-2, total-6
Isso pode ser feito em 6! / (3! 2!)
Se houver 6 letras, então há 7 lacunas. Nas 7 lacunas temos que organizar as 5 vogais. Mas nessas 5 vogais E é repetido três vezes e I é repetido duas vezes.
Assim, formas totais = 7P3 / (3! 2!)
O total de palavras sem duas vogais juntas é
<[6! / (3! 2!)] X [7P3 / (3! 2!)]>

Tipo 9-

Permutações circulares Quando os objetos são organizados ao longo de uma curva fechada como um círculo ou anel, as permutações são conhecidas como permutações circulares.
É importante notar que em um arranjo circular não há um início (primeiro período) nem um fim (último período)
1) O número de permutações circulares de objetos & # 8216n & # 8217 é (n-1)!
2) Se as ordens no sentido horário e anti-horário não forem distinguíveis, então o número de permutações circulares é (n-1)! / 2

Exemplo:-
eu)
De quantas maneiras 8 pessoas podem se sentar em uma mesa redonda?
Solução:- Esta é uma permutação circular. Portanto, 8 pessoas podem se sentar em uma mesa redonda é (8-1)! = 7!
ii) De quantas maneiras 10 diferentes pedras preciosas podem ser colocadas para formar um colar

Solução:- No caso de colar, não há distinção entre o arranjo horário e anti-horário. Portanto, não. das maneiras = (10-1)! / 2 = 9! / 2


Permutações circulares: exemplos

Nesta lição, cobrirei alguns exemplos relacionados a permutações circulares.

Exemplo 1 De quantas maneiras pode 6 pessoas sentadas em uma mesa redonda?

Solução Conforme discutido na lição, o número de maneiras será (6 – 1)!, ou 120.

Exemplo 2 Encontre o número de maneiras pelas quais 5 pessoas UMA, B, C, D, e E pode sentar-se em uma mesa redonda, de modo que

(eu) UMA e B sempre sente-se junto.
(ii) C e D nunca se sentem juntos.

Solução (i) Se desejarmos sentar UMA e B juntos em todos os arranjos, podemos considerar esses dois como uma unidade, junto com 3 outras. Então, efetivamente, temos que organizar 4 pessoas em um círculo, o número de maneiras de ser (4 – 1)! ou 6. Vamos dar uma olhada nestes arranjos:

Mas em cada um desses arranjos, UMA e B podem eles próprios trocar de lugar em 2 maneiras. Aqui está o que estou falando:

Portanto, o número total de formas será 6 x 2 ou 12.

(ii) O número de maneiras, neste caso, seria obtido removendo todos os casos (do total possível) em que C e D estão juntos. O número total de maneiras será (5 – 1)! ou 24. Semelhante a (i) acima, o número de casos em que C e D estão sentados juntos, será 12. Portanto, o número necessário de maneiras será 24 – 12 ou 12.

Exemplo 3 De quantas maneiras pode 3 homens e 3 mulheres sentadas à mesa de modo que não haja dois homens sentados juntos?

Solução Uma vez que não queremos que os homens se sentem juntos, a única maneira de fazer isso é fazendo os homens e mulheres se sentarem alternadamente. Vamos primeiro sentar o 3 mulheres, em assentos alternados, o que pode ser feito em (3 – 1)! ou 2 formas, como mostrado abaixo. (Estamos ignorando o outro 3 assentos por enquanto.)

Observe que o seguinte 6 arranjos são equivalentes:

Ou seja, se cada mulher se deslocar por um assento em qualquer direção, a disposição dos assentos permanece exatamente a mesma. É por isso que temos apenas 2 arranjos, conforme mostrado na figura anterior.

Agora que fizemos isso, o 3 os homens podem sentar-se nos assentos restantes em 3! ou 6 maneiras. Observe que não usamos a fórmula para arranjos circulares agora. Isso ocorre porque depois que as mulheres estão sentadas, mudando cada um dos homens 2 os assentos terão um arranjo diferente. Após fixar a posição das mulheres (o mesmo que & # 8216numeração & # 8217 dos assentos), a disposição dos assentos restantes é equivalente a uma disposição linear.

Portanto, o número total de maneiras neste caso será 2! x 3! ou 12.

Espero que agora você tenha alguma ideia sobre arranjos circulares. A próxima lição irá apresentá-lo às combinações ou seleções.


Permutações com repetição

Suponhamos que um conjunto finito A seja dado. A permutação dos elementos do conjunto A é qualquer sequência que pode ser formada a partir de seus elementos.

Se todos os elementos do conjunto A não forem diferentes, o resultado obtido será permutações com repetição.

Se o conjunto A, que contém n elementos, consiste em n1 elementos do primeiro tipo, n2 elementos do segundo tipo. e nk elementos do k-ésimo tipo (n = n1+ n2+. + nk), o número de permutações com repetição é dado por:

Em geral, as repetições são resolvidas dividindo a permutação pelo número de objetos que são idênticos! (fatorial).

Quantas palavras diferentes de 5 letras podem ser formadas a partir da palavra DEFINIÇÃO?


Você divide por 2! porque a letra N se repete duas vezes.
Você divide por 3! porque a letra I repete três vezes.

Insira o número de elementos do conjunto A e o número de elementos diferentes e o computador irá calcular quantas permutações sem repetição dos elementos existem?


Assista o vídeo: Arranjo e Combinação Análise Combinatória. Matemática do ENEM (Outubro 2021).