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11.5: Seções cônicas


objetivos de aprendizado

  • Identifique a equação de uma parábola na forma padrão com o foco e a diretriz dados.
  • Identifique a equação de uma elipse na forma padrão com os focos dados.
  • Identifique a equação de uma hipérbole na forma padrão com determinados focos.
  • Reconheça uma parábola, elipse ou hipérbole a partir de seu valor de excentricidade.
  • Escreva a equação polar de uma seção cônica com excentricidade (e ).
  • Identifique quando uma equação geral de grau dois é uma parábola, elipse ou hipérbole.

As seções cônicas foram estudadas desde a época dos gregos antigos e foram consideradas um importante conceito matemático. Já em 320 AC, matemáticos gregos como Menaechmus, Appollonius e Archimedes eram fascinados por essas curvas. Appollonius escreveu um tratado inteiro de oito volumes sobre seções cônicas no qual ele foi, por exemplo, capaz de derivar um método específico para identificar uma seção cônica por meio do uso da geometria. Desde então, surgiram aplicações importantes de seções cônicas (por exemplo, em astronomia), e as propriedades das seções cônicas são usadas em radiotelescópios, receptores de antena parabólica e até mesmo arquitetura. Nesta seção, discutimos as três seções cônicas básicas, algumas de suas propriedades e suas equações.

As seções cônicas recebem esse nome porque podem ser geradas pela intersecção de um plano com um cone. Um cone tem duas peças de formato idêntico, chamadas nappes. Uma nappe é o que a maioria das pessoas entende por “cone”, tendo o formato de um chapéu de festa. Um cone circular direito pode ser gerado girando uma linha que passa pela origem em torno do y-eixo conforme mostrado na Figura ( PageIndex {1} ).

As seções cônicas são geradas pela interseção de um plano com um cone (Figura ( PageIndex {2} )). Se o plano é paralelo ao eixo de revolução (o y-eixo), então o seção cônica é uma hipérbole. Se o plano é paralelo à linha geradora, a seção cônica é uma parábola. Se o plano for perpendicular ao eixo de revolução, a seção cônica é um círculo. Se o plano cruzar uma napa em um ângulo com o eixo (diferente de 90°), então a seção cônica é uma elipse.

Parábolas

Uma parábola é gerada quando um plano cruza um cone paralelo à linha de geração. Nesse caso, o plano cruza apenas uma das nappes. Uma parábola também pode ser definida em termos de distâncias.

Definições: O Foco, Directrix e Vertex

Uma parábola é o conjunto de todos os pontos cuja distância de um ponto fixo, chamado de foco, é igual à distância de uma linha fixa, chamada de diretriz. O ponto intermediário entre o foco e a diretriz é chamado de vértice da parábola.

Um gráfico de uma parábola típica aparece na Figura ( PageIndex {3} ). Usando este diagrama em conjunto com a fórmula da distância, podemos derivar uma equação para uma parábola. Lembre-se da fórmula da distância: dado ponto P com coordenadas ((x_1, y_1) ) e ponto Q com coordenadas ((x_2, y_2), ) a distância entre eles é dada pela fórmula

[d (P, Q) = sqrt {(x_2 − x_1) ^ 2 + (y_2 − y_1) ^ 2}. ]

Então, a partir da definição de uma parábola e Figura ( PageIndex {3} ), obtemos

[d (F, P) = d (P, Q) ]

[ sqrt {(0 − x) ^ 2 + (p − y) ^ 2} = sqrt {(x − x) ^ 2 + (- p − y) ^ 2}. ]

Quadratura de ambos os lados e simplificação dos rendimentos

[ begin {align} x ^ 2 + (p − y) ^ 2 = 0 ^ 2 + (- p − y) ^ 2 x ^ 2 + p ^ 2−2py + y ^ 2 = p ^ 2 + 2py + y ^ 2 x ^ 2−2py = 2py x ^ 2 = 4py. end {align} ]

Agora suponha que queremos realocar o vértice. Usamos as variáveis ​​ ((h, k) ) para denotar as coordenadas do vértice. Então, se o foco estiver diretamente acima do vértice, ele terá as coordenadas ((h, k + p) ) e a diretriz terá a equação (y = k − p ). Passando pela mesma derivação, obtém-se a fórmula ((x − h) ^ 2 = 4p (y − k) ). Resolver esta equação para (y ) leva ao seguinte teorema.

Equações para parábolas: formulário padrão

Dada uma parábola abrindo para cima com o vértice localizado em ((h, k) ) e o foco localizado em ((h, k + p) ), onde (p ) é uma constante, a equação para a parábola é dado por

[y = dfrac {1} {4p} (x − h) ^ 2 + k. ]

Isto é o forma padrão de uma parábola.

Também podemos estudar os casos em que a parábola se abre para baixo, para a esquerda ou para a direita. A equação para cada um desses casos também pode ser escrita no formato padrão, conforme mostrado nos gráficos a seguir.

Além disso, a equação de uma parábola pode ser escrita no Forma geral, embora nesta forma os valores de (h ), (k ) e (p ) não sejam imediatamente reconhecíveis. A forma geral de uma parábola é escrita como

[ax ^ 2 + bx + cy + d = 0 label {para1} ]

ou

[ay ^ 2 + bx + cy + d = 0. label {para2} ]

A equação ref {para1} representa uma parábola que se abre para cima ou para baixo. A equação ref {para2} representa uma parábola que se abre para a esquerda ou para a direita. Para colocar a equação na forma padrão, use o método de completar o quadrado.

Exemplo ( PageIndex {1} ): Convertendo a equação de uma parábola da forma geral para a forma padrão

Coloque a equação

[x ^ 2−4x − 8y + 12 = 0 ]

na forma padrão e represente graficamente a parábola resultante.

Solução

Como y não é ao quadrado nesta equação, sabemos que a parábola se abre para cima ou para baixo. Portanto, precisamos resolver esta equação para y, o que colocará a equação na forma padrão. Para fazer isso, primeiro adicione (8y ) a ambos os lados da equação:

[8y = x ^ 2−4x + 12. ]

O próximo passo é completar o quadrado do lado direito. Comece agrupando os dois primeiros termos do lado direito usando parênteses:

[8y = (x ^ 2−4x) +12. ]

Em seguida, determine a constante que, quando adicionada entre parênteses, torna a quantidade entre parênteses um trinômio quadrado perfeito. Para fazer isso, pegue a metade do coeficiente de x e eleve ao quadrado. Isso resulta em (( dfrac {−4} {2}) ^ 2 = 4. ) Adicione 4 dentro dos parênteses e subtraia 4 fora dos parênteses, para que o valor da equação não seja alterado:

[8y = (x ^ 2−4x + 4) + 12−4. ]

Agora combine os termos semelhantes e fatore a quantidade entre parênteses:

[8y = (x − 2) ^ 2 + 8. ]

Finalmente, divida por 8:

[y = dfrac {1} {8} (x − 2) ^ 2 + 1. ]

Esta equação agora está no formato padrão. Comparando isso com a Equação, obtém-se (h = 2, k = 1 ) e (p = 2 ). A parábola se abre, com vértice em ((2,1) ), foco em ((2,3) ) e diretriz (y = −1 ). O gráfico desta parábola aparece da seguinte forma.

Exercício ( PageIndex {1} )

Coloque a equação (2y ^ 2 − x + 12y + 16 = 0 ) na forma padrão e represente graficamente a parábola resultante.

Dica

Resolva para (x ). Verifique em que direção a parábola se abre.

Responder

[x = 2 (y + 3) ^ 2−2 ]

O eixo de simetria de uma parábola vertical (abrindo para cima ou para baixo) é uma linha vertical que passa pelo vértice. A parábola tem uma propriedade reflexiva interessante. Suponha que tenhamos uma antena parabólica com uma seção transversal parabólica. Se um feixe de ondas eletromagnéticas, como ondas de luz ou rádio, entra no prato em linha reta de um satélite (paralelo ao eixo de simetria), então as ondas refletem no prato e se coletam no foco da parábola como mostrando.

Considere uma antena parabólica projetada para coletar sinais de um satélite no espaço. A antena é apontada diretamente para o satélite e um receptor está localizado no foco da parábola. As ondas de rádio vindas do satélite são refletidas da superfície da parábola para o receptor, que coleta e decodifica os sinais digitais. Isso permite que um pequeno receptor reúna sinais de um amplo ângulo do céu. Lanternas e faróis em um carro funcionam com o mesmo princípio, mas ao contrário: a fonte de luz (ou seja, a lâmpada) está localizada no foco e a superfície refletora no espelho parabólico focaliza o feixe diretamente à frente. Isso permite que uma pequena lâmpada ilumine um amplo ângulo do espaço na frente da lanterna ou do carro.

Elipses

Uma elipse também pode ser definida em termos de distâncias. No caso de uma elipse, existem dois focos (plural de foco) e duas directrizes (plural de directrizes). Veremos as diretivas com mais detalhes posteriormente nesta seção.

Definição: Elipse

Uma elipse é o conjunto de todos os pontos para os quais a soma de suas distâncias de dois pontos fixos (os focos) é constante.

Um gráfico de uma elipse típica é mostrado na Figura ( PageIndex {6} ). Nesta figura, os focos são rotulados como (F ) e (F ′ ). Ambas têm a mesma distância fixa da origem, e essa distância é representada pela variável (c ). Portanto, as coordenadas de (F ) são ((c, 0) ) e as coordenadas de (F ′ ) são ((- c, 0). ) Os pontos (P ) e (P ′ ) estão localizados nas extremidades do eixo principal da elipse, e têm as coordenadas ((a, 0) ) e ((- a, 0) ), respectivamente. O eixo principal é sempre a maior distância na elipse e pode ser horizontal ou vertical. Assim, o comprimento do eixo maior nesta elipse é (2a ). Além disso, (P ) e (P ′ ) são chamados de vértices da elipse. Os pontos (Q ) e (Q ′ ) estão localizados nas extremidades do eixo menor da elipse, e têm as coordenadas ((0, b) ) e ((0, −b), ) respectivamente. O eixo menor é a distância mais curta na elipse. O eixo menor é perpendicular ao eixo maior.

De acordo com a definição da elipse, podemos escolher qualquer ponto da elipse e a soma das distâncias desse ponto aos dois focos é constante. Suponha que escolhemos o ponto (P ). Uma vez que as coordenadas do ponto (P ) são ((a, 0), ) a soma das distâncias é

[d (P, F) + d (P, F ′) = (a − c) + (a + c) = 2a. ]

Portanto, a soma das distâncias de um ponto arbitrário A com as coordenadas ((x, y) ) também é igual a (2a ). Usando a fórmula da distância, obtemos

[d (A, F) + d (A, F ′) = 2a. ]

[ sqrt {(x − c) ^ 2 + y ^ 2} + sqrt {(x + c) ^ 2 + y ^ 2} = 2a ]

Subtraia o segundo radical de ambos os lados e eleve ao quadrado ambos os lados:

[ sqrt {(x − c) ^ 2 + y ^ 2} = 2a− sqrt {(x + c) ^ 2 + y ^ 2} ]

[(x − c) ^ 2 + y ^ 2 = 4a ^ 2−4a sqrt {(x + c) ^ 2 + y ^ 2} + (x + c) ^ 2 + y ^ 2 ]

[x ^ 2−2cx + c ^ 2 + y ^ 2 = 4a ^ 2−4a sqrt {(x + c) ^ 2 + y ^ 2} + x ^ 2 + 2cx + c ^ 2 + y ^ 2 ]

[- 2cx = 4a ^ 2−4a sqrt {(x + c) ^ 2 + y ^ 2} + 2cx. ]

Agora isole o radical do lado direito e eleve novamente ao quadrado:

[- 2cx = 4a ^ 2−4a sqrt {(x + c) ^ 2 + y ^ 2} + 2cx ]

[4a sqrt {(x + c) ^ 2 + y ^ 2} = 4a ^ 2 + 4cx ]

[ sqrt {(x + c) ^ 2 + y ^ 2} = a + dfrac {cx} {a} ]

[(x + c) ^ 2 + y ^ 2 = a ^ 2 + 2cx + dfrac {c ^ 2x ^ 2} {a ^ 2} ]

[x ^ 2 + 2cx + c ^ 2 + y ^ 2 = a ^ 2 + 2cx + dfrac {c ^ 2x ^ 2} {a ^ 2} ]

[x ^ 2 + c ^ 2 + y ^ 2 = a ^ 2 + dfrac {c ^ 2x ^ 2} {a ^ 2}. ]

Isole as variáveis ​​do lado esquerdo da equação e as constantes do lado direito:

[x ^ 2− dfrac {c ^ 2x ^ 2} {a ^ 2} + y ^ 2 = a ^ 2 − c ^ 2 ]

[ dfrac {(a ^ 2 − c ^ 2) x ^ 2} {a ^ 2} + y ^ 2 = a ^ 2 − c ^ 2. ]

Divida os dois lados por (a ^ 2 − c ^ 2 ). Isso dá a equação

[ dfrac {x ^ 2} {a ^ 2} + dfrac {y ^ 2} {a ^ 2 − c ^ 2} = 1. ]

Se voltarmos à Figura ( PageIndex {6} ), então o comprimento de cada um dos dois segmentos de linha verde é igual a (a ). Isso é verdade porque a soma das distâncias do ponto (Q ) aos focos (F ) e (F ′ ) é igual a (2a ), e os comprimentos desses dois segmentos de linha são igual. Este segmento de linha forma um triângulo retângulo com comprimento de hipotenusa (a ) e comprimentos de perna (b ) e (c ). Do teorema de Pitágoras, (b ^ 2 + c ^ 2 = a ^ 2 ) e (b ^ 2 = a ^ 2 − c ^ 2 ). Portanto, a equação da elipse torna-se

[ dfrac {x ^ 2} {a ^ 2} + dfrac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1. ]

Finalmente, se o centro da elipse é movido da origem para um ponto ((h, k) ), temos a seguinte forma padrão de elipse.

Equação de uma elipse na forma padrão

Considere a elipse com centro ((h, k) ), um eixo maior horizontal com comprimento (2a ) e um eixo menor vertical com comprimento (2b ). Então, a equação desta elipse na forma padrão é

[ dfrac {(x − h) ^ 2} {a ^ 2} + dfrac {(y − k) ^ 2} {b ^ 2} = 1 label {HorEllipse} ]

e os focos estão localizados em ((h ± c, k) ), onde (c ^ 2 = a ^ 2 − b ^ 2 ). As equações das directrizes são (x = h ± dfrac {a ^ 2} {c} ).

Se o eixo principal é vertical, a equação da elipse torna-se

[ dfrac {(x − h) ^ 2} {b ^ 2} + dfrac {(y − k) ^ 2} {a ^ 2} = 1 label {VertEllipse} ]

e os focos estão localizados em ((h, k ± c) ), onde (c ^ 2 = a ^ 2 − b ^ 2 ). As equações das directrizes neste caso são (y = k ± dfrac {a ^ 2} {c} ).

Se o eixo principal for horizontal, a elipse será chamada de horizontal, e se o eixo principal for vertical, a elipse será chamada de vertical. A equação de uma elipse está na forma geral se estiver na forma

[Ax ^ 2 + Por ^ 2 + Cx + Dy + E = 0, ]

Onde UMA e B são ambos positivos ou negativos. Para converter a equação da forma geral para a forma padrão, use o método de Completando o quadrado.

Exemplo ( PageIndex {2} ): Encontrando a forma padrão de uma elipse

Coloque a equação

[9x ^ 2 + 4y ^ 2−36x + 24y + 36 = 0 ]

na forma padrão e represente graficamente a elipse resultante.

Solução

Primeiro subtraia 36 de ambos os lados da equação:

[9x ^ 2 + 4y ^ 2−36x + 24y = −36. ]

Em seguida, agrupe os termos (x ) e os termos (y ) juntos, e fatorar o fator comum:

[(9x ^ 2−36x) + (4y ^ 2 + 24y) = - 36 ]

[9 (x ^ 2−4x) +4 (y ^ 2 + 6y) = - 36. ]

Precisamos determinar a constante que, quando adicionada dentro de cada conjunto de parênteses, resulta em um quadrado perfeito. No primeiro conjunto de parênteses, pegue metade do coeficiente de x e quadrá-lo. Isso dá (( dfrac {−4} {2}) ^ 2 = 4. ) No segundo conjunto de parênteses, pegue a metade do coeficiente de y e quadrá-lo. Isso resulta em (( dfrac {6} {2}) ^ 2 = 9. ) Adicione-os dentro de cada par de parênteses. Como o primeiro conjunto de parênteses tem um 9 na frente, na verdade estamos adicionando 36 ao lado esquerdo. Da mesma forma, estamos adicionando 36 ao segundo conjunto também. Portanto, a equação se torna

[9 (x ^ 2−4x + 4) +4 (y ^ 2 + 6y + 9) = - 36 + 36 + 36 ]

[9 (x ^ 2−4x + 4) +4 (y ^ 2 + 6y + 9) = 36. ]

Agora, fatorar ambos os conjuntos de parênteses e dividir por 36:

[9 (x − 2) ^ 2 + 4 (y + 3) ^ 2 = 36 ]

[ dfrac {9 (x − 2) ^ 2} {36} + dfrac {4 (y + 3) ^ 2} {36} = 1 ]

[ dfrac {(x − 2) ^ 2} {4} + dfrac {(y + 3) ^ 2} {9} = 1. ]

A equação agora está no formato padrão. Comparando isso com a Equação ref {VertEllipse} dá (h = 2, k = −3, a = 3, ) e (b = 2 ). Esta é uma elipse vertical com centro em ((2, −3) ), eixo maior 6 e eixo menor 4. O gráfico desta elipse aparece como segue.

Exercício ( PageIndex {2} )

Coloque a equação

[9x ^ 2 + 16y ^ 2 + 18x − 64y − 71 = 0 ]

na forma padrão e represente graficamente a elipse resultante.

Dica

Mova a constante e complete o quadrado.

Responder

[ dfrac {(x + 1) ^ 2} {16} + dfrac {(y − 2) ^ 2} {9} = 1 ]

De acordo com a primeira lei de movimento planetário de Kepler, a órbita de um planeta em torno do Sol é uma elipse com o Sol em um dos focos, conforme mostrado na Figura ( PageIndex {8A} ). Como a órbita da Terra é uma elipse, a distância do Sol varia ao longo do ano. Um equívoco comum é que a Terra está mais perto do Sol no verão. Na verdade, no verão para o hemisfério norte, a Terra está mais distante do Sol do que durante o inverno. A diferença de estação é causada pela inclinação do eixo da Terra no plano orbital. Os cometas que orbitam o Sol, como o cometa Halley, também têm órbitas elípticas, assim como as luas que orbitam os planetas e os satélites que orbitam a Terra.

As elipses também têm propriedades reflexivas interessantes: um raio de luz que emana de um foco passa pelo outro foco após o reflexo do espelho na elipse. O mesmo ocorre com uma onda sonora. O National Statuary Hall no Capitólio dos EUA em Washington, DC, é uma sala famosa em forma elíptica, conforme mostrado na Figura ( PageIndex {8B} ). Este salão serviu como ponto de encontro para a Câmara dos Representantes dos EUA por quase cinquenta anos. A localização dos dois focos desta sala semi-elíptica é claramente identificada por marcas no chão, e mesmo que a sala esteja cheia de visitantes, quando duas pessoas ficam nesses locais e falam uma com a outra, elas podem se ouvir muito. mais claramente do que eles podem ouvir alguém por perto. Diz a lenda que John Quincy Adams teve sua mesa localizada em um dos focos e foi capaz de espionar todos os outros na casa sem nunca precisar ficar de pé. Embora essa seja uma boa história, é improvável que seja verdade, porque o teto original produzia tantos ecos que toda a sala teve que ser coberta com tapetes para amortecer o ruído. O teto foi reconstruído em 1902 e só então surgiu o agora famoso efeito de sussurro. Outra famosa galeria de sussurros - o local de muitas propostas de casamento - fica na Grand Central Station, na cidade de Nova York.

Hipérboles

Uma hipérbole também pode ser definida em termos de distâncias. No caso de uma hipérbole, existem dois focos e duas directrizes. As hipérboles também têm duas assíntotas.

Definição: hipérbole

Uma hipérbole é o conjunto de todos os pontos onde a diferença entre suas distâncias de dois pontos fixos (os focos) é constante.

Um gráfico de uma hipérbole típica aparece da seguinte maneira.

A derivação da equação de uma hipérbole na forma padrão é virtualmente idêntica à de uma elipse. Um pequeno obstáculo reside na definição: a diferença entre dois números é sempre positiva. Seja (P ) um ponto na hipérbole com coordenadas ((x, y) ). Então, a definição da hipérbole fornece (| d (P, F_1) −d (P, F_2) | = constante ). Para simplificar a derivação, suponha que (P ) está no ramo direito da hipérbole, de modo que as barras de valor absoluto caem. Se estiver no ramo esquerdo, a subtração é invertida.O vértice do ramo direito tem coordenadas ((a, 0), ) então

[d (P, F_1) −d (P, F_2) = (c + a) - (c − a) = 2a. ]

Esta equação é, portanto, verdadeira para qualquer ponto da hipérbole. Voltando às coordenadas ((x, y) ) para (P ):

[d (P, F_1) −d (P, F_2) = 2a ]

[ sqrt {(x + c) ^ 2 + y ^ 2} - sqrt {(x − c) ^ 2 + y ^ 2} = 2a. ]

Isole o segundo radical e eleve ao quadrado ambos os lados:

[ sqrt {(x − c) ^ 2 + y ^ 2} = - 2a + sqrt {(x + c) ^ 2 + y ^ 2} ]

[(x − c) ^ 2 + y ^ 2 = 4a ^ 2-4a sqrt {(x + c) ^ 2 + y ^ 2} + (x + c) ^ 2 + y ^ 2 ]

[x ^ 2−2cx + c ^ 2 + y ^ 2 = 4a ^ 2-4a sqrt {(x + c) ^ 2 + y ^ 2} + x ^ 2 + 2cx + c ^ 2 + y ^ 2 ]

[- 2cx = 4a ^ 2-4a sqrt {(x + c) ^ 2 + y ^ 2} + 2cx. ]

Agora isole o radical do lado direito e eleve novamente ao quadrado:

(- 2cx = 4a ^ 2-4a sqrt {(x + c) ^ 2 + y ^ 2} + 2cx )

(- 4a sqrt {(x + c) ^ 2 + y ^ 2} = - 4a ^ 2−4cx )

(- sqrt {(x + c) ^ 2 + y ^ 2} = - a− dfrac {cx} {a} )

((x + c) ^ 2 + y ^ 2 = a ^ 2 + 2cx + dfrac {c ^ 2x ^ 2} {a ^ 2} )

(x ^ 2 + 2cx + c ^ 2 + y ^ 2 = a ^ 2 + 2cx + dfrac {c ^ 2x ^ 2} {a ^ 2} )

(x ^ 2 + c ^ 2 + y ^ 2 = a ^ 2 + dfrac {c ^ 2x ^ 2} {a ^ 2} ).

Isole as variáveis ​​do lado esquerdo da equação e as constantes do lado direito:

[x ^ 2− dfrac {c ^ 2x ^ 2} {a ^ 2} + y ^ 2 = a ^ 2 − c ^ 2 ]

[ dfrac {(a ^ 2 − c ^ 2) x ^ 2} {a ^ 2} + y ^ 2 = a ^ 2 − c ^ 2. ]

Finalmente, divida ambos os lados por (a ^ 2 − c ^ 2 ). Isso dá a equação

[ dfrac {x ^ 2} {a ^ 2} + dfrac {y ^ 2} {a ^ 2 − c ^ 2} = 1. ]

Nós agora definimos b de modo que (b ^ 2 = c ^ 2 − a ^ 2 ). Isso é possível porque (c> a ). Portanto, a equação da hipérbole torna-se

[ dfrac {x ^ 2} {a ^ 2} - dfrac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1. ]

Finalmente, se o centro da hipérbole é movido da origem para o ponto ((h, k), ), temos a seguinte forma padrão de hipérbole.

Equação de uma hipérbole na forma padrão

Considere a hipérbole com centro ((h, k) ), um eixo maior horizontal e um eixo menor vertical. Então a equação desta hipérbole é

[ dfrac {(x − h) ^ 2} {a ^ 2} - dfrac {(y − k) ^ 2} {b ^ 2} = 1 label {HorHyperbola} ]

e os focos estão localizados em ((h ± c, k), ) onde (c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 ). As equações das assíntotas são dadas por (y = k ± dfrac {b} {a} (x − h). ) As equações das directrizes são

[x = h ± dfrac {a ^ 2} { sqrt {a ^ 2 + b ^ 2}} = h ± dfrac {a ^ 2} {c} ]

Se o eixo principal for vertical, a equação da hipérbole torna-se

[ dfrac {(y − k) ^ 2} {a ^ 2} - dfrac {(x − h) ^ 2} {b ^ 2} = 1 ]

e os focos estão localizados em ((h, k ± c), ) onde (c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 ). As equações das assíntotas são dadas por (y = k ± dfrac {a} {b} (x − h) ). As equações das directrizes são

[y = k ± dfrac {a ^ 2} { sqrt {a ^ 2 + b ^ 2}} = k ± dfrac {a ^ 2} {c}. ]

Se o eixo principal (eixo transversal) for horizontal, a hipérbole é chamada de horizontal, e se o eixo principal for vertical, a hipérbole é chamada de vertical. A equação de uma hipérbole está na forma geral se estiver na forma

[Ax ^ 2 + Por ^ 2 + Cx + Dy + E = 0, ]

onde A e B têm sinais opostos. Para converter a equação da forma geral para a forma padrão, use o método de completar o quadrado.

Exemplo ( PageIndex {3} ): Encontrando a forma padrão de uma hipérbole

Coloque a equação (9x ^ 2−16y ^ 2 + 36x + 32y − 124 = 0 ) na forma padrão e represente graficamente a hipérbole resultante. Quais são as equações das assíntotas?

Solução

Primeiro adicione 124 a ambos os lados da equação:

(9x ^ 2−16y ^ 2 + 36x + 32y = 124. )

Próximo grupo o x termos juntos e o y termos juntos, em seguida, fatorar os fatores comuns:

((9x ^ 2 + 36x) - (16y ^ 2−32y) = 124 )

(9 (x ^ 2 + 4x) −16 (y ^ 2−2y) = 124 ).

Precisamos determinar a constante que, quando adicionada dentro de cada conjunto de parênteses, resulta em um quadrado perfeito. No primeiro conjunto de parênteses, pegue a metade do coeficiente de xe eleve ao quadrado. Isso resulta em (( dfrac {4} {2}) ^ 2 = 4 ). No segundo conjunto de parênteses, pegue a metade do coeficiente de y e eleve-o ao quadrado. Isso resulta em (( dfrac {−2} {2}) ^ 2 = 1. ) Adicione estes dentro de cada par de parênteses. Da mesma forma, estamos subtraindo 16 do segundo conjunto de parênteses. Portanto, a equação se torna

(9 (x ^ 2 + 4x + 4) −16 (y ^ 2−2y + 1) = 124 + 36−16 )

(9 (x ^ 2 + 4x + 4) −16 (y ^ 2−2y + 1) = 144. )

Em seguida, fatorar ambos os conjuntos de parênteses e dividir por 144:

(9 (x + 2) ^ 2−16 (y − 1) ^ 2 = 144 )

( dfrac {9 (x + 2) ^ 2} {144} - dfrac {16 (y − 1) ^ 2} {144} = 1 )

( dfrac {(x + 2) ^ 2} {16} - dfrac {(y − 1) ^ 2} {9} = 1. )

A equação agora está no formato padrão. Comparando isso com a Equação ref {HorHyperbola} resulta (h = −2, k = 1, a = 4, ) e (b = 3 ). Esta é uma hipérbole horizontal com centro em ((- 2,1) ) e assíntotas dadas pelas equações (y = 1 ± dfrac {3} {4} (x + 2) ). O gráfico desta hipérbole aparece na Figura ( PageIndex {10} ).

Exercício ( PageIndex {3} )

Coloque a equação (4y ^ 2−9x ^ 2 + 16y + 18x − 29 = 0 ) na forma padrão e represente graficamente a hipérbole resultante. Quais são as equações das assíntotas?

Dica

Mova a constante e complete o quadrado. Verifique em que direção a hipérbole se abre

Responder

( dfrac {(y + 2) ^ 2} {9} - dfrac {(x − 1) ^ 2} {4} = 1. ) Esta é uma hipérbole vertical. Assíntotas (y = −2 ± dfrac {3} {2} (x − 1). )

As hipérboles também têm propriedades reflexivas interessantes. Um raio direcionado a um foco de uma hipérbole é refletido por um espelho hiperbólico em direção ao outro foco. Este conceito é ilustrado na Figura ( PageIndex {11} ).

Esta propriedade da hipérbole tem aplicações importantes. É usado na descoberta de direção de rádio (já que a diferença nos sinais de duas torres é constante ao longo das hipérboles) e na construção de espelhos dentro de telescópios (para refletir a luz vinda do espelho parabólico para a ocular). Outro fato interessante sobre as hipérboles é que, para um cometa entrando no sistema solar, se a velocidade for grande o suficiente para escapar da atração gravitacional do Sol, então o caminho que o cometa segue ao passar pelo sistema solar é hiperbólico.

Excentricidade e Directrix

Uma maneira alternativa de descrever uma seção cônica envolve as diretivas, os focos e uma nova propriedade chamada excentricidade. Veremos que o valor da excentricidade de uma seção cônica pode definir exclusivamente aquela cônica.

Definição: Excentricidade e Diretrizes

O excentricidade (e ) de uma seção cônica é definida como a distância de qualquer ponto na seção cônica ao seu foco, dividida pela distância perpendicular desse ponto à diretriz mais próxima. Este valor é constante para qualquer seção cônica e também pode definir a seção cônica:

  1. Se (e = 1 ), a cônica é uma parábola.
  2. Se (e <1 ), é uma elipse.
  3. Se (e> 1, ) é uma hipérbole.

A excentricidade de um círculo é zero. O diretriz de uma seção cônica é a linha que, junto com o ponto conhecido como foco, serve para definir uma seção cônica. As hipérboles e as elipses não circulares têm dois focos e duas directrizes associadas. As parábolas têm um foco e uma diretriz.

As três seções cônicas com suas direções aparecem na Figura ( PageIndex {12} ).

Lembre-se da definição de uma parábola de que a distância de qualquer ponto da parábola ao foco é igual à distância desse mesmo ponto à diretriz. Portanto, por definição, a excentricidade de uma parábola deve ser 1. As equações das directrizes de uma elipse horizontal são (x = ± dfrac {a ^ 2} {c} ). O vértice direito da elipse está localizado em ((a, 0) ) e o foco direito é ((c, 0) ). Portanto, a distância do vértice ao foco é (a − c ) e a distância do vértice à diretriz direita é ( dfrac {a ^ 2} {c} −c. ) Isso dá a excentricidade como

[e = dfrac {a − c} { dfrac {a ^ 2} {c} −a} = dfrac {c (a − c)} {a ^ 2 − ac} = dfrac {c (a −c)} {a (a − c)} = dfrac {c} {a}. ]

Como (c a ), então a excentricidade de uma hipérbole é maior que 1.

Exemplo ( PageIndex {4} ): Determinando a excentricidade de uma seção cônica

Determine a excentricidade da elipse descrita pela equação

( dfrac {(x − 3) ^ 2} {16} + dfrac {(y + 2) ^ 2} {25} = 1. )

Solução

A partir da equação, vemos que (a = 5 ) e (b = 4 ). O valor de c pode ser calculado usando a equação (a ^ 2 = b ^ 2 + c ^ 2 ) para uma elipse. Substituindo os valores de uma e b e resolvendo para c dá (c = 3 ). Portanto, a excentricidade da elipse é (e = dfrac {c} {a} = dfrac {3} {5} = 0,6. )

Exercício ( PageIndex {4} )

Determine a excentricidade da hipérbole descrita pela equação

( dfrac {(y − 3) ^ 2} {49} - dfrac {(x + 2) ^ 2} {25} = 1. )

Dica

Primeiro encontre os valores de aeb, em seguida, determine c usando a equação (c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 ).

Responder

(e = dfrac {c} {a} = dfrac { sqrt {74}} {7} ≈1,229 )

Equações polares de seções cônicas

Às vezes, é útil escrever ou identificar a equação de uma seção cônica na forma polar. Para fazer isso, precisamos do conceito de parâmetro focal. O parâmetro focal de uma seção cônica p é definido como a distância de um foco à diretriz mais próxima. A tabela a seguir fornece os parâmetros focais para os diferentes tipos de cônicas, onde uma é o comprimento do semieixo maior (ou seja, metade do comprimento do eixo principal), c é a distância da origem ao foco, e e é a excentricidade. No caso de uma parábola, a representa a distância do vértice ao foco.

Tabela ( PageIndex {1} ): Excentricidades e Parâmetros Focais das Seções Cônicas
Cônica (e ) (p )
Elipse (0 ( dfrac {a ^ 2 − c ^ 2} {c} = dfrac {a (1 − e ^ 2)} {c} )
Parábola (e = 1 ) (2a )
Hipérbole (e> 1 ) ( dfrac {c ^ 2 − a ^ 2} {c} = dfrac {a (e ^ 2−1)} {c} )

Usando as definições do parâmetro focal e excentricidade da seção cônica, podemos derivar uma equação para qualquer seção cônica em coordenadas polares. Em particular, assumimos que um dos focos de uma dada seção cônica encontra-se no pólo. Então, usando a definição das várias seções cônicas em termos de distâncias, é possível provar o seguinte teorema.

Equação polar de seções cônicas

A equação polar de uma seção cônica com parâmetro focal p É dado por

(r = dfrac {ep} {1 ± e cos θ} ) ou (r = dfrac {ep} {1 ± e sin θ}. )

Na equação da esquerda, o eixo maior da seção cônica é horizontal, e na equação da direita, o eixo maior é vertical. Para trabalhar com uma seção cônica escrita na forma polar, primeiro torne o termo constante no denominador igual a 1. Isso pode ser feito dividindo o numerador e o denominador da fração pela constante que aparece na frente do sinal de mais ou menos no denominador. Então, o coeficiente do seno ou cosseno no denominador é a excentricidade. Este valor identifica a cônica. Se o cosseno aparecer no denominador, a cônica é horizontal. Se o seno aparecer, a cônica é vertical. Se ambos aparecerem, os eixos serão girados. O centro da cônica não está necessariamente na origem. O centro está na origem apenas se a cônica for um círculo (ou seja, (e = 0 )).

Exemplo ( PageIndex {5} ): Representando graficamente uma seção cônica em coordenadas polares

Identifique e crie um gráfico da seção cônica descrita pela equação

(r = dfrac {3} {1 + 2 cos θ} ).

Solução

O termo constante no denominador é 1, então a excentricidade da cônica é 2. Esta é uma hipérbole. O parâmetro focal p pode ser calculado usando a equação (ep = 3. ) Visto que (e = 2 ), isso dá (p = dfrac {3} {2} ). A função cosseno aparece no denominador, então a hipérbole é horizontal. Escolha alguns valores para (θ ) e crie uma tabela de valores. Em seguida, podemos representar graficamente a hipérbole (Figura ( PageIndex {13} )).

(θ ) (r ) (θ ) (r )
01 (π )−3
( dfrac {π} {4} ) ( dfrac {3} {1+ sqrt {2}} ≈1,2426 ) ( dfrac {5π} {4} ) ( dfrac {3} {1− sqrt {2}} ≈ − 7,2426 )
( dfrac {π} {2} )3 ( dfrac {3π} {2} )3
( dfrac {3π} {4} ) ( dfrac {3} {1− sqrt {2}} ≈ − 7,2426 ) ( dfrac {7π} {4} ) ( dfrac {3} {1+ sqrt {2}} ≈1,2426 )

Exercício ( PageIndex {5} )

Identifique e crie um gráfico da seção cônica descrita pela equação

(r = dfrac {4} {1−0,8 sin θ} ).

Dica

Primeiro encontre os valores de e e pe, em seguida, crie uma tabela de valores.

Responder

Aqui (e = 0,8 ) e (p = 5 ). Esta seção cônica é uma elipse.

Equações Gerais do Grau Dois

Uma equação geral de grau dois pode ser escrita na forma

[Ax ^ 2 + Bxy + Cy ^ 2 + Dx + Ey + F = 0. ]

O gráfico de uma equação desta forma é uma seção cônica. Se (B ≠ 0 ) então os eixos coordenados são girados. Para identificar a seção cônica, usamos o discriminante da seção cônica (4AC − B ^ 2. )

Identificando a Seção Cônica

Um dos seguintes casos deve ser verdadeiro:

  1. (4AC-B ^ 2> 0 ). Nesse caso, o gráfico é uma elipse.
  2. (4AC − B ^ 2 = 0 ). Nesse caso, o gráfico é uma parábola.
  3. (4AC − B ^ 2 <0 ). Nesse caso, o gráfico é uma hipérbole.

O exemplo mais simples de uma equação de segundo grau envolvendo um termo cruzado é (xy = 1 ). Esta equação pode ser resolvida para (y ) para obter (y = dfrac {1} {x} ). O gráfico dessa função é chamado de hipérbole retangular, conforme mostrado.

As assíntotas desta hipérbole são os eixos de coordenadas (x ) e (y ). Para determinar o ângulo θ de rotação da seção cônica, usamos a fórmula ( cot 2θ = frac {A − C} {B} ). Neste caso (A = C = 0 ) e (B = 1 ), então ( cot 2θ = (0−0) / 1 = 0 ) e (θ = 45 ° ). O método para representar graficamente uma seção cônica com eixos girados envolve a determinação dos coeficientes da cônica no sistema de coordenadas girado. Os novos coeficientes são rotulados (A ′, B ′, C ′, D ′, E ′, ) e (F ′, ) e são dados pelas fórmulas

[ begin {align} A ′ = A cos ^ 2θ + B cos θ sin θ + C sin ^ 2 θ B ′ = 0 C ′ = A sin ^ 2 θ − B sen θ cos θ + C cos ^ 2θ D ′ = D cos θ + E sin θ E ′ = −D sin θ + E cosθ F ′ = F. end {align} ]

Procedimento: traçar um gráfico cônico girado

O procedimento para representar graficamente uma cônica girada é o seguinte:

  1. Identifique a seção cônica usando o discriminante (4AC − B ^ 2 ).
  2. Determine (θ ) usando a fórmula [ cot2θ = dfrac {A − C} {B} label {rot}. ]
  3. Calcule (A ′, B ′, C ′, D ′, E ′ ) e (F ′ ).
  4. Reescreva a equação original usando (A ′, B ′, C ′, D ′, E ′ ) e (F ′ ).
  5. Desenhe um gráfico usando a equação girada.

Exemplo ( PageIndex {6} ): Identificando uma cônica girada

Identifique a cônica e calcule o ângulo de rotação dos eixos para a curva descrita pela equação

[13x ^ 2−6 sqrt {3} xy + 7y ^ 2−256 = 0. ]

Solução

Nesta equação, (A = 13, B = −6 sqrt {3}, C = 7, D = 0, E = 0, ) e (F = −256 ). O discriminante desta equação é

[4AC − B ^ 2 = 4 (13) (7) - (- 6 sqrt {3}) ^ 2 = 364−108 = 256. ]

Portanto, esta cônica é uma elipse.

Para calcular o ângulo de rotação dos eixos, use a Equação ref {rot}

[ cot 2θ = dfrac {A − C} {B}. ]

Isto dá

( cot 2θ = dfrac {A − C} {B} = dfrac {13−7} {- 6 sqrt {3}} = - dfrac { sqrt {3}} {3} ).

Portanto (2θ = 120 ^ o ) e (θ = 60 ^ o ), que é o ângulo de rotação dos eixos.

Para determinar os coeficientes girados, use as fórmulas fornecidas acima:

(A ′ = A cos ^ 2θ + B cos θ sinθ + C sin ^ 2θ )

(= 13 cos ^ 260 + (- 6 sqrt {3}) cos 60 sin 60 + 7 sin ^ 260 )

(= 13 ( dfrac {1} {2}) ^ 2−6 sqrt {3} ( dfrac {1} {2}) ( dfrac { sqrt {3}} {2}) + 7 ( dfrac { sqrt {3}} {2}) ^ 2 )

(=4,)

(B ′ = 0 )

(C ′ = A sin ^ 2θ − B sin θ cos θ + C cos ^ 2θ )

(= 13 sin ^ 260 + (6 sqrt {3}) sin 60 cos 60 + 7 cos ^ 260 )

(= 13 ( dfrac { sqrt {3}} {2}) ^ 2 + 6 sqrt {3} ( dfrac { sqrt {3}} {2}) ( dfrac {1} {2} ) +7 ( dfrac {1} {2}) ^ 2 )

(=16,)

(D ′ = D cos θ + E sin θ )

(= (0) cos 60+ (0) sin 60 )

(=0,)

(E ′ = - D sin θ + E cos θ )

(= - (0) sin 60+ (0) cos 60 )

(=0)

(F ′ = F )

(=−256.)

A equação da cônica no sistema de coordenadas girado torna-se

(4 (x ′) ^ 2 + 16 (y ′) ^ 2 = 256 )

( dfrac {(x ′) ^ 2} {64} + dfrac {(y ′) ^ 2} {16} = 1 ).

Um gráfico desta seção cônica aparece como segue.

Exercício ( PageIndex {6} )

Identifique a cônica e calcule o ângulo de rotação dos eixos para a curva descrita pela equação

[3x ^ 2 + 5xy − 2y ^ 2−125 = 0. ]

Dica

Siga as etapas 1 e 2 do método de cinco etapas descrito acima

Responder

A cônica é uma hipérbole e o ângulo de rotação dos eixos é (θ = 22,5 °. )

Conceitos chave

  • A equação de uma parábola vertical na forma padrão com determinado foco e diretriz é (y = dfrac {1} {4p} (x − h) ^ 2 + k ) onde (p ) é a distância do vértice ao foco e ((h, k) ) são as coordenadas do vértice.
  • A equação de uma elipse horizontal na forma padrão é ( dfrac {(x − h) ^ 2} {a ^ 2} + dfrac {(y − k) ^ 2} {b ^ 2} = 1 ) onde o centro tem coordenadas ((h, k) ), o eixo maior tem comprimento 2a, o eixo menor tem comprimento 2b, e as coordenadas dos focos são ((h ± c, k) ), onde (c ^ 2 = a ^ 2 − b ^ 2 ).
  • A equação de uma hipérbole horizontal na forma padrão é ( dfrac {(x − h) ^ 2} {a ^ 2} - dfrac {(y − k) ^ 2} {b ^ 2} = 1 ) onde o centro tem coordenadas ((h, k) ), os vértices estão localizados em ((h ± a, k) ), e as coordenadas dos focos são ((h ± c, k), ) onde (c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 ).
  • A excentricidade de uma elipse é menor que 1, a excentricidade de uma parábola é igual a 1 e a excentricidade de uma hipérbole é maior que 1. A excentricidade de um círculo é 0.
  • A equação polar de uma seção cônica com excentricidade e é (r = dfrac {ep} {1 ± ecosθ} ) ou (r = dfrac {ep} {1 ± esinθ} ), onde p representa o parâmetro focal.
  • Para identificar uma cônica gerada pela equação (Ax ^ 2 + Bxy + Cy ^ 2 + Dx + Ey + F = 0 ), primeiro calcule o discriminante (D = 4AC − B ^ 2 ). Se (D> 0 ) então a cônica é uma elipse, se (D = 0 ) então a cônica é uma parábola, e se (D <0 ) então a cônica é uma hipérbole.

Glossário

seção cônica
uma seção cônica é qualquer curva formada pela interseção de um plano com um cone de duas nappes
diretriz
uma diretriz (plural: directrices) é uma linha usada para construir e definir uma seção cônica; uma parábola tem uma diretriz; elipses e hipérboles têm dois
discriminante
o valor (4AC − B ^ 2 ), que é usado para identificar uma cônica quando a equação contém um termo envolvendo (xy ), é chamado de discriminante
foco
um foco (plural: foci) é um ponto usado para construir e definir uma seção cônica; uma parábola tem um foco; uma elipse e uma hipérbole têm dois
excentricidade
a excentricidade é definida como a distância de qualquer ponto na seção cônica ao seu foco dividido pela distância perpendicular desse ponto à diretriz mais próxima
parâmetro focal
o parâmetro focal é a distância de um foco de uma seção cônica para a diretriz mais próxima
Forma geral
uma equação de uma seção cônica escrita como uma equação geral de segundo grau
eixo principal
o eixo maior de uma seção cônica passa pelo vértice no caso de uma parábola ou pelos dois vértices no caso de uma elipse ou hipérbole; é também um eixo de simetria da cônica; também chamado de eixo transversal
eixo menor
o eixo menor é perpendicular ao eixo maior e cruza o eixo maior no centro da cônica, ou no vértice, no caso da parábola; também chamado de eixo conjugado
nappe
uma nappe é a metade de um cone duplo
forma padrão
uma equação de uma seção cônica mostrando suas propriedades, como a localização do vértice ou comprimentos dos eixos maior e menor
vértice
um vértice é um ponto extremo em uma seção cônica; uma parábola tem um vértice em seu ponto de viragem. Uma elipse possui dois vértices, um em cada extremidade do eixo maior; uma hipérbole tem dois vértices, um no ponto de viragem de cada ramo

1.5 Seções cônicas

As seções cônicas foram estudadas desde a época dos gregos antigos e foram consideradas um importante conceito matemático. Já em 320 AC, matemáticos gregos como Menaechmus, Appollonius e Archimedes eram fascinados por essas curvas. Appollonius escreveu um tratado inteiro de oito volumes sobre seções cônicas no qual ele foi, por exemplo, capaz de derivar um método específico para identificar uma seção cônica por meio do uso da geometria. Desde então, surgiram aplicações importantes de seções cônicas (por exemplo, em astronomia), e as propriedades das seções cônicas são usadas em radiotelescópios, receptores de antena parabólica e até mesmo arquitetura. Nesta seção, discutimos as três seções cônicas básicas, algumas de suas propriedades e suas equações.

As seções cônicas recebem esse nome porque podem ser geradas pela intersecção de um plano com um cone. Um cone tem duas partes de formato idêntico chamadas nappes. Uma nappe é o que a maioria das pessoas entende por “cone”, tendo o formato de um chapéu de festa. Um cone circular direito pode ser gerado girando uma linha que passa pela origem em torno do y-eixo conforme mostrado.

As seções cônicas são geradas pela interseção de um plano com um cone (Figura 1.44). Se o plano é paralelo ao eixo de revolução (o y-eixo), então a seção cônica é uma hipérbole. Se o plano é paralelo à linha geradora, a seção cônica é uma parábola. Se o plano for perpendicular ao eixo de revolução, a seção cônica é um círculo. Se o plano intersecta uma nappe em um ângulo com o eixo (diferente de 90 °), 90 °), então a seção cônica é uma elipse.

Parábolas

Uma parábola é gerada quando um plano cruza um cone paralelo à linha de geração. Nesse caso, o plano cruza apenas uma das nappes. Uma parábola também pode ser definida em termos de distâncias.

Definição

Uma parábola é o conjunto de todos os pontos cuja distância de um ponto fixo, chamado de foco, é igual à distância de uma linha fixa, chamada de diretriz. O ponto intermediário entre o foco e a diretriz é chamado de vértice da parábola.

Um gráfico de uma parábola típica aparece na Figura 1.45. Usando este diagrama em conjunto com a fórmula da distância, podemos derivar uma equação para uma parábola. Lembre-se da fórmula da distância: Ponto dado P com coordenadas (x 1, y 1) (x 1, y 1) e ponto Q com as coordenadas (x 2, y 2), (x 2, y 2), a distância entre elas é dada pela fórmula

Então, a partir da definição de uma parábola e da Figura 1.45, obtemos

Quadratura de ambos os lados e simplificação dos rendimentos

Equações para parábolas

Esta é a forma padrão de uma parábola.

Também podemos estudar os casos em que a parábola se abre para baixo, para a esquerda ou para a direita. A equação para cada um desses casos também pode ser escrita no formato padrão, conforme mostrado nos gráficos a seguir.

Além disso, a equação de uma parábola pode ser escrita na forma geral, embora nesta forma os valores de h, k, e p não são imediatamente reconhecíveis. A forma geral de uma parábola é escrita como

A primeira equação representa uma parábola que se abre para cima ou para baixo. A segunda equação representa uma parábola que se abre para a esquerda ou para a direita. Para colocar a equação na forma padrão, use o método de completar o quadrado.

Exemplo 1.19

Convertendo a equação de uma parábola da forma geral para a forma padrão

Solução

Desde y não é ao quadrado nesta equação, sabemos que a parábola abre para cima ou para baixo. Portanto, precisamos resolver esta equação para y, que colocará a equação na forma padrão. Para fazer isso, primeiro adicione 8 y 8 y a ambos os lados da equação:

O próximo passo é completar o quadrado do lado direito. Comece agrupando os dois primeiros termos do lado direito usando parênteses:

Em seguida, determine a constante que, quando adicionada entre parênteses, torna a quantidade entre parênteses um trinômio quadrado perfeito. Para fazer isso, pegue metade do coeficiente de x e quadrá-lo. Isso resulta em (−4 2) 2 = 4. (−4 2) 2 = 4. Adicione 4 dentro dos parênteses e subtraia 4 fora dos parênteses, para que o valor da equação não seja alterado:

Agora combine os termos semelhantes e fatore a quantidade entre parênteses:

O eixo de simetria de uma parábola vertical (abrindo para cima ou para baixo) é uma linha vertical que passa pelo vértice. A parábola tem uma propriedade reflexiva interessante. Suponha que tenhamos uma antena parabólica com uma seção transversal parabólica. Se um feixe de ondas eletromagnéticas, como ondas de luz ou rádio, entra no prato em linha reta de um satélite (paralelo ao eixo de simetria), então as ondas refletem no prato e se coletam no foco da parábola como mostrando.

Considere uma antena parabólica projetada para coletar sinais de um satélite no espaço. A antena é apontada diretamente para o satélite e um receptor está localizado no foco da parábola. As ondas de rádio vindas do satélite são refletidas da superfície da parábola para o receptor, que coleta e decodifica os sinais digitais. Isso permite que um pequeno receptor reúna sinais de um amplo ângulo do céu. Lanternas e faróis em um carro funcionam com o mesmo princípio, mas ao contrário: a fonte de luz (ou seja, a lâmpada) está localizada no foco e a superfície refletora no espelho parabólico focaliza o feixe diretamente à frente. Isso permite que uma pequena lâmpada ilumine um amplo ângulo do espaço na frente da lanterna ou do carro.

Elipses

Uma elipse também pode ser definida em termos de distâncias. No caso de uma elipse, existem dois focos (plural de foco) e duas directrizes (plural de directrizes). Veremos as diretivas com mais detalhes posteriormente nesta seção.

Definição

Um elipse é o conjunto de todos os pontos para os quais a soma de suas distâncias de dois pontos fixos (os focos) é constante.

De acordo com a definição da elipse, podemos escolher qualquer ponto da elipse e a soma das distâncias desse ponto aos dois focos é constante. Suponha que escolhemos o ponto P. Uma vez que as coordenadas do ponto P são (a, 0), (a, 0), a soma das distâncias é

Portanto, a soma das distâncias de um ponto arbitrário UMA com coordenadas (x, y) (x, y) também é igual a 2uma. Usando a fórmula da distância, obtemos

Subtraia o segundo radical de ambos os lados e eleve ao quadrado ambos os lados:

Agora isole o radical do lado direito e eleve novamente ao quadrado:

Isole as variáveis ​​do lado esquerdo da equação e as constantes do lado direito:

Divida os dois lados por 2 - c 2. a 2 - c 2. Isso dá a equação

Finalmente, se o centro da elipse é movido da origem para um ponto (h, k), (h, k), temos a seguinte forma padrão de elipse.

Equação de uma elipse na forma padrão

Se o eixo principal é vertical, a equação da elipse torna-se

Se o eixo principal for horizontal, a elipse será chamada de horizontal, e se o eixo principal for vertical, a elipse será chamada de vertical. A equação de uma elipse está na forma geral se estiver na forma A x 2 + B y 2 + C x + D y + E = 0, A x 2 + B y 2 + C x + D y + E = 0 , Onde UMA e B são ambos positivos ou negativos. Para converter a equação geral para a forma padrão, use o método de completar o quadrado.

Exemplo 1.20

Encontrando a forma padrão de uma elipse

Solução

Primeiro subtraia 36 de ambos os lados da equação:

Próximo grupo o x termos juntos e o y termos juntos e fatorar o fator comum:

Agora, fatorar ambos os conjuntos de parênteses e dividir por 36:

De acordo com a primeira lei do movimento planetário de Kepler, a órbita de um planeta em torno do Sol é uma elipse com o Sol em um dos focos, conforme mostrado na Figura 1.50 (a). Como a órbita da Terra é uma elipse, a distância do Sol varia ao longo do ano. Um equívoco comum é que a Terra está mais perto do Sol no verão. Na verdade, no verão para o hemisfério norte, a Terra está mais distante do Sol do que durante o inverno. A diferença de estação é causada pela inclinação do eixo da Terra no plano orbital. Os cometas que orbitam o Sol, como o cometa Halley, também têm órbitas elípticas, assim como as luas que orbitam os planetas e os satélites que orbitam a Terra.

As elipses também têm propriedades reflexivas interessantes: um raio de luz que emana de um foco passa pelo outro foco após o reflexo do espelho na elipse. O mesmo ocorre com uma onda sonora. O National Statuary Hall no Capitólio dos Estados Unidos em Washington, DC, é uma sala famosa em forma elíptica, conforme mostrado na Figura 1.50 (b). Este salão serviu como ponto de encontro para a Câmara dos Representantes dos EUA por quase cinquenta anos. A localização dos dois focos desta sala semi-elíptica é claramente identificada por marcas no chão, e mesmo que a sala esteja cheia de visitantes, quando duas pessoas ficam nesses locais e falam uma com a outra, elas podem se ouvir muito. mais claramente do que eles podem ouvir alguém por perto. Diz a lenda que John Quincy Adams teve sua mesa localizada em um dos focos e foi capaz de espionar todos os outros na casa sem nunca precisar ficar de pé. Embora essa seja uma boa história, é improvável que seja verdade, porque o teto original produzia tantos ecos que toda a sala teve que ser coberta com tapetes para amortecer o ruído. O teto foi reconstruído em 1902 e só então surgiu o agora famoso efeito de sussurro. Outra famosa galeria de sussurros - o local de muitas propostas de casamento - fica na Grand Central Station, na cidade de Nova York.

Hipérboles

Uma hipérbole também pode ser definida em termos de distâncias. No caso de uma hipérbole, existem dois focos e duas directrizes. As hipérboles também têm duas assíntotas.

Definição

Uma hipérbole é o conjunto de todos os pontos onde a diferença entre suas distâncias de dois pontos fixos (os focos) é constante.

Um gráfico de uma hipérbole típica aparece da seguinte maneira.

Esta equação é, portanto, verdadeira para qualquer ponto da hipérbole. Voltando às coordenadas (x, y) (x, y) para P:

Adicione o segundo radical de ambos os lados e eleve ao quadrado ambos os lados:

Agora isole o radical do lado direito e eleve novamente ao quadrado:

Isole as variáveis ​​do lado esquerdo da equação e as constantes do lado direito:

Finalmente, divida ambos os lados por a 2 - c 2. a 2 - c 2. Isso dá a equação

Finalmente, se o centro da hipérbole é movido da origem para o ponto (h, k), (h, k), temos a seguinte forma padrão de uma hipérbole.

Equação de uma hipérbole na forma padrão

Se o eixo principal for vertical, a equação da hipérbole torna-se

Se o eixo principal (eixo transversal) for horizontal, a hipérbole é chamada de horizontal, e se o eixo principal for vertical, a hipérbole é chamada de vertical. A equação de uma hipérbole está na forma geral se estiver na forma A x 2 + B y 2 + C x + D y + E = 0, A x 2 + B y 2 + C x + D y + E = 0 , Onde UMA e B têm sinais opostos. Para converter a equação da forma geral para a forma padrão, use o método de completar o quadrado.

Exemplo 1.21

Encontrando a forma padrão de uma hipérbole

Solução

Primeiro adicione 124 a ambos os lados da equação:

Próximo grupo o x termos juntos e o y termos juntos, em seguida, fatorar os fatores comuns:

Em seguida, fatorar ambos os conjuntos de parênteses e dividir por 144:

As hipérboles também têm propriedades reflexivas interessantes. Um raio direcionado a um foco de uma hipérbole é refletido por um espelho hiperbólico em direção ao outro foco. Esse conceito é ilustrado na figura a seguir.

Esta propriedade da hipérbole tem aplicações importantes. É usado na descoberta de direção de rádio (já que a diferença nos sinais de duas torres é constante ao longo das hipérboles) e na construção de espelhos dentro de telescópios (para refletir a luz vinda do espelho parabólico para a ocular). Outro fato interessante sobre as hipérboles é que, para um cometa entrando no sistema solar, se a velocidade for grande o suficiente para escapar da atração gravitacional do Sol, então o caminho que o cometa segue ao passar pelo sistema solar é hiperbólico.

Excentricidade e Directrix

Uma maneira alternativa de descrever uma seção cônica envolve as diretivas, os focos e uma nova propriedade chamada excentricidade. Veremos que o valor da excentricidade de uma seção cônica pode definir exclusivamente aquela cônica.

Definição

A excentricidade e de uma seção cônica é definida como a distância de qualquer ponto na seção cônica ao seu foco, dividida pela distância perpendicular desse ponto à diretriz mais próxima. Este valor é constante para qualquer seção cônica e também pode definir a seção cônica:

A excentricidade de um círculo é zero. A diretriz de uma seção cônica é a linha que, junto com o ponto conhecido como foco, serve para definir uma seção cônica. As hipérboles e as elipses não circulares têm dois focos e duas directrizes associadas. As parábolas têm um foco e uma diretriz.

As três seções cônicas com suas direções aparecem na figura a seguir.

Lembre-se da definição de uma parábola de que a distância de qualquer ponto da parábola ao foco é igual à distância desse mesmo ponto à diretriz. Portanto, por definição, a excentricidade de uma parábola deve ser 1. As equações das directrizes de uma elipse horizontal são x = ± a 2 c. x = ± a 2 c. O vértice direito da elipse está localizado em (a, 0) (a, 0) e o foco direito é (c, 0). (c, 0). Portanto, a distância do vértice ao foco é a - c a - ce a distância do vértice à diretriz direita é a 2 c - a. a 2 c - a. Isso dá a excentricidade como


11.5: Seções cônicas

Bronx Community College da City University of New York

Departamento de Matemática e Ciência da Computação

CONTEÚDOS PROGRAMÁTICOS: Matemática 32  Cálculo e Geometria Analítica II (4 créditos / 6 horas por semana)

PRÉ-REQUISITO: Matemática 31 ou equivalente

TEXTO: Calculus (sexta edição) por James Stewart, publicado pela Brooks / Cole.

Os alunos que não precisam de Matemática 33 podem usar o Cálculo de Variável Única (Sexta Edição) até

James Stewart, publicado pela Brooks / Cole.

TÓPICO DA SEÇÃO EXERCÍCIOS SUGERIDOS

Capítulo 6: Aplicações de Integração

6.1 Áreas entre curvas pág. 352: 1  29 ímpar

6.2 Volumes pág. 362: 1  35 ímpar, 56-62

6.3 Volumes por invólucros cilíndricos pg. 368: 1  25 ímpar

Reveja a pág. 378: 1, 7, 9, 15, 23, 25

Capítulo 7: Funções Inversas

7.1 Funções inversas pág. 391: ímpar 1  15, 23-27, 33- 41

Opção do instrutor: 7,2-7,4 ou 7,2 * -7,4 *

Funções exponenciais e

Seus derivados pg. 402: 1, 7  13 ímpar, 23  45 ímpar, 73-81 ímpar

Funções logarítmicas pág. 409: 1  17 ímpar, 25  33 ímpar, 45, 47, 49

7.4 Derivadas de funções logarítmicas pg. 419: 1  29 ímpar, 41  51 ímpar, 69  79 ímpar

7.2 * A função logarítmica natural pág. 428: 1-35 ímpar, 59-71 ímpar

7.3 * A função exponencial natural pág. 435: 5-11 ímpar, 27-47 ímpar, 75-83 ímpar

7.4 * Logarítmico geral e exponencial pág. 445: 1-9 ímpar, 21-41 ímpar, 45-49 ímpar

7.6 Funções trigonométricas inversas pág. 461: 5  13 ímpar, 23  35 ímpar, 43,45,59  69 ímpar

7.7 Funções hiperbólicas pág. 468: 7  23 ímpar, 31  47 ímpar, 57  65 ímpar

7.8 Formas Indeterminadas e

Regra de L'Hospital's pg. 478: 1  4, 5  63 ímpar, 93, 94, 95

Reveja a pág. 483: 5  47 ímpar, 63  77 ímpar, 93  105 ímpar

Capítulo 8: Técnicas de Integração

8.1 Integração por peças pg. 493: 1  37 ímpar, 43  52

Opção do instrutor: 8.4 pode ser feito imediatamente após 8.1.

8.2 Integrais trigonométricos pg. 501: 1  31 ímpar

8.3 Substituição trigonométrica pág. 508: 1  29 ímpar

Integração de funções racionais pg. 517: 1  29 ímpar, 39-49 ímpar

8.5 Estratégia de integração pg. 524: 1  57 ímpar

8.8 Integrais impróprios pág. 551: 1, 5  31 ímpar, opcional 49-54

Reveja a pág. 554: 1  25 ímpar, 41  49 ímpar

Capítulo 9: Outras Aplicações de Integrais

9.1 Comprimento do arco pág. 566: 1  17 ímpar

9.2 Área de uma superfície de revolução pg. 573: 1  15 ímpar, 25

Capítulo 11: Equações paramétricas e coordenadas polares

11.3 Coordenadas polares pág. 683: 1  11 ímpar, 15  25 ímpar 29  47 ímpar

11.4 Áreas e comprimentos em coordenadas polares pág. 689: 1  31 ímpar, opcional 45-48

11.5 Seções cônicas pág. 696: 1  47, ímpar

A seção 11.6 é uma opção do instrutor.

11.6 Seções cônicas em coordenadas polares pág. 704: 1  15 ímpar

Reveja a pág. 706: 9  15 ímpares, 31  39 ímpares, 45  55 ímpares

Observação: Alguns elementos das seções 11.1 e 11.2 podem ser discutidos como uma introdução geral às curvas cobertas nos Capítulos 9 e 11.


NÃO ESTÁ MAIS DISPONÍVEL-Calc: ET 1ª edição

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  • Capítulo 1: Revisão Pré-cálculo
    • 1.1 Números reais, funções, equações e gráficos (18)
    • 1.2 Funções Lineares e Quadráticas (20)
    • 1.3 As classes básicas de funções (15)
    • 1.4 Funções trigonométricas (11)
    • 1.5 Funções Inversas (12)
    • 1.6 Funções exponenciais e logarítmicas (14)
    • 1.7 Tecnologia: Calculadoras e Computadores (11)
    • 2.1 Limites, taxas de variação e linhas tangentes (11)
    • 2.2 Limites: Uma Abordagem Numérica e Gráfica (12)
    • 2.3 Leis de Limite Básico (11)
    • 2.4 Limites e continuidade (12)
    • 2.5 Avaliando Limites Algebricamente (15)
    • 2.6 Limites trigonométricos (13)
    • 2.7 Teorema do Valor Intermediário (11)
    • 2.8 A definição formal de um limite (11)
    • 3.1 Definição da Derivada (11)
    • 3.2 A Derivada como uma Função (16)
    • 3.3 Regras de produto e quociente (11)
    • 3.4 Taxas de variação (12)
    • 3.5 Derivados superiores (12)
    • 3.6 Derivadas de funções trigonométricas (13)
    • 3.7 A Regra da Corrente (14)
    • 3.8 Diferenciação implícita (12)
    • 3.9 Derivadas de funções inversas (11)
    • 3.10 Derivadas de funções logarítmicas (14)
    • 3.11 Taxas Relacionadas (11)
    • 4.1 Aproximação Linear e Aplicações (10)
    • 4.2 Valores Extremos (12)
    • 4.3 O Teorema do Valor Médio e Monotonicidade (12)
    • 4.4 A Forma de um Gráfico (12)
    • 4.5 Esboço de gráfico e assíntotas (11)
    • 4.6 Otimização Aplicada (16)
    • 4.7 Regra de L'Ho'pital (11)
    • 4.8 Método de Newton (11)
    • 4,9 Antiderivados (11)
    • 5.1 Área de Aproximação e Computação (11)
    • 5.2 O Integral Definido (11)
    • 5.3 O Teorema Fundamental do Cálculo, Parte I (11)
    • 5.4 O Teorema Fundamental do Cálculo, Parte II (11)
    • 5.5 Alteração líquida ou total como a integral de uma taxa (11)
    • 5.6 Método de Substituição (11)
    • 5.7 Integrais de funções exponenciais e logarítmicas (11)
    • 5.8 Crescimento Exponencial e Decadência (11)
    • 6.1 Área Entre Duas Curvas (11)
    • 6.2 Configurando Integrais: Volumes, Densidade, Valor Médio (11)
    • 6,3 Volumes de Revolução (11)
    • 6.4 O Método de Cascas Cilíndricas (11)
    • 6.5 Trabalho e Energia (11)
    • 7.1 Integração Numérica (11)
    • 7.2 Integração por Partes (11)
    • 7.3 Integrais trigonométricos (11)
    • 7.4 Substituição trigonométrica (11)
    • 7.5 Integrais de funções hiperbólicas e hiperbólicas inversas (11)
    • 7.6 O Método das Frações Parciais (11)
    • 7.7 Integrais impróprios (11)
    • 8.1 Comprimento do arco e área de superfície (10)
    • 8.2 Pressão e Força do Fluido (11)
    • 8.3 Centro de Massa (11)
    • 8.4 Polinômios de Taylor (11)
    • 9.1 Equações separáveis ​​(12)
    • 9.2 Modelos Envolvendo y' = k(y-b) (12)
    • 9.3 Métodos gráficos e numéricos (12)
    • 9.4 A Equação Logística (11)
    • 9.5 Equações Lineares de Primeira Ordem (11)
    • 10.1 Sequências (11)
    • 10.2 Somando uma série infinita (11)
    • 10.3 Convergência de séries com termos positivos (11)
    • 10.4 Convergência Absoluta e Condicional (11)
    • 10.5 Os testes de proporção e raiz (11)
    • 10.6 Série de Potência (11)
    • 10.7 Série Taylor (11)
    • 11.1 Equações Paramétricas (11)
    • 11.2 Comprimento do arco e velocidade (11)
    • 11.3 Coordenadas polares (11)
    • 11.4 Área e comprimento do arco em coordenadas polares (11)
    • 11.5 Seções cônicas (11)
    • 12.1 Vetores no Plano (11)
    • 12.2 Vetores em três dimensões (11)
    • 12.3 Produto escalar e o ângulo entre dois vetores (11)
    • 12.4 O produto cruzado (11)
    • 12,5 Planos em Três Espaços (11)
    • 12.6 Levantamento de Superfícies Quádricas (11)
    • 12.7 Coordenadas cilíndricas e esféricas (11)
    • 13.1 Funções com valor vetorial (11)
    • 13.2 Cálculo de funções com valor vetorial (11)
    • 13.3 Comprimento do Arco e Velocidade (10)
    • 13,4 Curvatura (10)
    • 13.5 Movimento em três espaços (10)
    • 13.6 Movimento planetário de acordo com Kepler e Newton (11)
    • 14.1 Funções em duas ou mais variáveis ​​(11)
    • 14.2 Limites e continuidade em várias variáveis ​​(11)
    • 14.3 Derivados Parciais (11)
    • 14,4 Aproximação Linear, Diferenciabilidade e Planos Tangentes (11)
    • 14.5 Os Derivados de Gradiente e Direcionais (11)
    • 14.6 A Regra da Corrente (11)
    • 14.7 Otimização em várias variáveis ​​(11)
    • 14.8 Multiplicadores de Lagrange: Otimizando com uma Restrição (11)
    • 15.1 Integrais em várias variáveis ​​(11)
    • 15.2 Integrais duplos em regiões mais gerais (11)
    • 15,3 Triplos Integrais (11)
    • 15.4 Integração em coordenadas polares, cilíndricas e esféricas (11)
    • 15.5 Mudança de Variáveis ​​(10)
    • 16.1 Campos Vetoriais (11)
    • 16,2 Integrais de linha (11)
    • 16.3 Campos de vetores conservadores (11)
    • 16.4 Superfícies parametrizadas e integrais de superfície (11)
    • 16.5 Integrais de campos de vetores (11)
    • 17.1 Teorema de Green (11)
    • 17.2 Teorema de Stokes (10)
    • 17.3 Teorema da Divergência (11)

    Cálculo (métrico) 6ª edição

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    • Capítulo 1: Funções e Modelos
      • 1.1: Quatro maneiras de representar uma função (49)
      • 1.2: Modelos Matemáticos: Um Catálogo de Funções Essenciais (10)
      • 1.3: Novas funções de funções antigas (44)
      • 1.4: Calculadoras Gráficas e Computadores (12)
      • 1: Revisão do Capítulo
      • Verdadeiro falso
      • Verdadeiro - Falso (6)
      • 2.1: Os Problemas de Tangente e Velocidade (7)
      • 2.2: O Limite de uma Função (22)
      • 2.3: Cálculo de limites usando as leis de limite (45)
      • 2.4: A definição precisa de um limite (11)
      • 2.5: Continuidade (18)
      • 2: Revisão do Capítulo
      • Verdadeiro falso
      • Verdadeiro - Falso (15)
      • 3.1: Derivados e taxas de variação (40)
      • 3.2: A Derivada como uma Função (43)
      • 3.3: Fórmulas de Diferenciação (75)
      • 3.4: Derivadas de funções trigonométricas (36)
      • 3.5: A Regra da Cadeia (48)
      • 3.6: Diferenciação implícita (31)
      • 3.7: Taxas de Mudança nas Ciências Naturais e Sociais (17)
      • 3.8: Taxas Relacionadas (34)
      • 3.9: Aproximações Lineares e Diferenciais (28)
      • 3: Revisão do Capítulo (1)
      • Verdadeiro falso
      • Verdadeiro - Falso (11)
      • 4.1: Valores Máximo e Mínimo (51)
      • 4.2: O Teorema do Valor Médio (11)
      • 4.3: Como os derivados afetam a forma de um gráfico (41)
      • 4.4: Limites nas assíntotas horizontais do infinito (32)
      • 4.5: Resumo do esboço de curva (35)
      • 4.6: Representando Gráficos com Cálculo e Calculadoras (9)
      • 4.7: Problemas de Otimização (51)
      • 4.8: Método de Newton (29)
      • 4.9: Antiderivados (48)
      • 4: Revisão do Capítulo
      • Verdadeiro falso
      • Verdadeiro - Falso (19)
      • 5.1: Áreas e distâncias (13)
      • 5.2: O Integral Definido (46)
      • 5.3: O Teorema Fundamental do Cálculo (56)
      • 5.4: Integrais indefinidos e o teorema da mudança líquida (49)
      • 5.5: A Regra de Substituição (71)
      • 5: Revisão do Capítulo
      • Verdadeiro falso
      • Verdadeiro - Falso (15)
      • 6.1: Áreas Entre Curvas (36)
      • 6.2: Volumes (50)
      • 6.3: Volumes por invólucros cilíndricos (33)
      • 6.4: Trabalho (26)
      • 6.5: Valor médio de uma função (14)
      • 6: Revisão do Capítulo
      • Verdadeiro falso
      • Verdadeiro falso
      • 7.1: Funções Inversas (18)
      • 7.2: Funções exponenciais e suas derivadas (13)
      • 7.2 *: A Função Logarítmica Natural (3)
      • 7.3: Funções logarítmicas (10)
      • 7.3 *: A Função Exponencial Natural (57)
      • 7.4: Derivadas de funções logarítmicas (41)
      • 7.4 *: Funções Logarítmicas e Exponenciais Gerais (21)
      • 7.5: Crescimento Exponencial e Decadência (18)
      • 7.6: Funções trigonométricas inversas (26)
      • 7.7: Funções hiperbólicas (28)
      • 7.8: Formulários Indeterminados e Regra de L'Hospital (71)
      • 7: Revisão do Capítulo
      • Verdadeiro falso
      • Verdadeiro - Falso (6)
      • 8.1: Integração por partes (60)
      • 8.2: Integrais trigonométricos (59)
      • 8.3: Substituição trigonométrica (34)
      • 8.4: Integração de funções racionais por frações parciais (49)
      • 8.5: Estratégia para Integração (62)
      • 8.6: Integração usando tabelas e sistemas de álgebra computacional (41)
      • 8.7: Integração Aproximada (39)
      • 8.8: Integrais impróprios (66)
      • 8: Revisão do Capítulo
      • Verdadeiro falso
      • Verdadeiro - Falso (14)
      • 9.1: Comprimento do Arco (25)
      • 9.2: Área de uma superfície de revolução (22)
      • 9.3: Aplicações à Física e Engenharia (38)
      • 9.4: Aplicações à Economia e Biologia (16)
      • 9.5: Probabilidade (15)
      • 9: Revisão do Capítulo
      • Verdadeiro falso
      • Verdadeiro falso
      • 10.1: Modelagem com Equações Diferenciais (10)
      • 10.2: Campos de Direção e Método de Euler (22)
      • 10.3: Equações separáveis ​​(35)
      • 10.4: Modelos de crescimento populacional (18)
      • 10.5: Equações Lineares (24)
      • 10.6: Sistemas Predador-Presa (7)
      • 10: Revisão do Capítulo
      • Verdadeiro falso
      • Verdadeiro - Falso (7)
      • 11.1: Curvas Definidas por Equações Paramétricas (31)
      • 11.2: Cálculo com curvas paramétricas (52)
      • 11.3: Coordenadas polares (59)
      • 11.4: Áreas e comprimentos em coordenadas polares (38)
      • 11.5: Seções cônicas (40)
      • 11.6: Seções cônicas em coordenadas polares (20)
      • 11: Revisão do Capítulo
      • Verdadeiro falso
      • Verdadeiro - Falso (10)
      • 12.1: Sequências (60)
      • 12.2: Série (59)
      • 12.3: O teste integral e estimativas de somas (31)
      • 12.4: Os testes de comparação (33)
      • 12.5: Série Alternada (27)
      • 12.6: Convergência Absoluta e os Testes de Razão e Raiz (29)
      • 12.7: Estratégia para a série de testes (27)
      • 12.8: Série de potência (33)
      • 12.9: Representações de funções como séries de potência (30)
      • 12.10: Série Taylor e Maclaurin (55)
      • 12.11: Aplicações de Polinômios de Taylor (28)
      • 12: Revisão do Capítulo
      • Verdadeiro falso
      • Verdadeiro - Falso (20)
      • 13.1 Sistemas de Coordenadas Tridimensionais (26)
      • 13,2 Vetores (32)
      • 13.3 O produto interno (40)
      • 13,4 O produto cruzado (35)
      • 13.5 Equações de Linhas e Planos (53)
      • 13.6 Cilindros e Superfícies Quádricas (37)
      • 13: Revisão do Capítulo
      • Verdadeiro falso
      • Verdadeiro - Falso (18)
      • 14.1 Funções Vetoriais e Curvas Espaciais (20)
      • 14.2 Derivadas e integrais de funções vetoriais (36)
      • 14,3 Comprimento e Curvatura do Arco (43)
      • 14,4 Movimento no Espaço: Velocidade e Aceleração (32)
      • 14: Revisão do Capítulo
      • Verdadeiro falso
      • Verdadeiro - Falso (12)
      • 15.1 funções de várias variáveis ​​(51)
      • 15.2 Limites e continuidade (33)
      • 15.3 Derivados Parciais (64)
      • 15.4 Planos tangentes e aproximações lineares (32)
      • 15.5 A Regra da Corrente (39)
      • 15.6 Derivados direcionais e o vetor de gradiente (43)
      • 15,7 Valores Máximo e Mínimo (40)
      • 15,8 Multiplicadores de Lagrange (35)
      • 15: Revisão do Capítulo
      • Verdadeiro falso
      • Verdadeiro - Falso (12)
      • 16.1 Integrais duplos sobre retângulos (14)
      • 16.2 Integrais Iterados (28)
      • 16.3 Integrais duplos sobre regiões gerais (39)
      • 16.4 Integrais Duplos em Coordenadas Polares (27)
      • 16.5 Aplicações de Integrais Duplos (25)
      • 16,6 triplos integrais (36)
      • 16,7 triplos integrais em coordenadas cilíndricas (20)
      • 16,8 integrais triplos em coordenadas esféricas (34)
      • 16.9 Mudança de Variáveis ​​em Integrais Múltiplos (16)
      • 16: Revisão do Capítulo
      • Verdadeiro falso
      • Verdadeiro - Falso (8)
      • 17,1 Campos Vetoriais (21)
      • 17.2 Integrais de linha (34)
      • 17.3 O Teorema Fundamental para Integrais de Linha (27)
      • 17.4 Teorema de Green (21)
      • 17,5 Curl e Divergência (26)
      • 17.6 Superfícies paramétricas e suas áreas (45)
      • 17,7 Integrais de superfície (34)
      • 17.8 Teorema de Stokes (14)
      • 17.9 O Teorema da Divergência (25)
      • 17,10 Resumo
      • 17: Revisão do Capítulo
      • Verdadeiro falso
      • Verdadeiro - Falso (8)
      • 18.1 Equações lineares de segunda ordem (22)
      • 18.2 Equações lineares não homogêneas (20)
      • 18.3 Aplicações de equações diferenciais de segunda ordem (13)
      • Soluções da série 18.4 (8)
      • 18: Revisão do Capítulo
      • Verdadeiro falso
      • Verdadeiro - Falso (4)

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      E, para ajudar os alunos a dominar os conceitos de cálculo crítico, o Enhanced WebAssign inclui conteúdo aprimorado, vinculando especificamente problemas de dever de casa a ferramentas interativas, tutoriais e exemplos de autoria de Jim Stewart.


      11.5 Série Alternada

      Introdução: Nesta lição, trataremos de um tipo específico de série denominado série alternada. Aprenderemos como determinar quando uma série alternada converge usando o Teste de série alternada. Também discutiremos a precisão das estimativas de séries alternadas. As idéias de convergência absoluta e condicional também serão introduzidas.

      Objetivos. Após esta lição, você deverá ser capaz de:

      • Use o teste de série alternada para determinar se uma série infinita converge.
      • Use o Teorema do Restante de Série Alternada para aproximar a soma de uma série alternada.

      Notas de vídeo e amp: Preencha a folha de anotações para esta lição (11-5-Série Alternada) enquanto assiste ao vídeo. Se preferir, você pode ler a Seção 11.5 do seu livro e resolver os problemas nas notas por conta própria, com a prática. Lembre-se de que as notas devem ser enviadas para o Blackboard semanalmente para obter uma nota! Se por algum motivo o vídeo abaixo não carregar, você pode acessá-lo no YouTube aqui.

      Trabalho de casa: Vá para WebAssign e conclua a atribuição & # 822011.5 Série alternada & # 8221.

      Problemas de prática: # 1-13 probabilidades, 17, 19, 23, 25, 27, 29, 31

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      A University of Alaska Fairbanks é uma instituição educacional e empregadora AA / EO e proíbe a discriminação ilegal contra qualquer indivíduo. Saiba mais sobre o aviso de não discriminação da UA & # 8217s.


      Prefácio

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      Novo nesta edição

      · Visualizações guiadas dar vida aos conceitos matemáticos, ajudando os alunos a visualizarem os conceitos por meio de explorações direcionadas e manipulação intencional. Kirk Trigsted fez o script e desenvolveu as visualizações guiadas específicas para seu programa de álgebra e trigonometria. Eles são integrados ao eText e podem ser atribuídos a exercícios de avaliação no MyLab Math para estimular o aprendizado ativo, o pensamento crítico e a compreensão conceitual. Os Exercícios de Visualização Guiada são identificados na matemática do MyLab pelo código “GV” e no eText com o ícone:

      · Perguntas de avaliação de vídeo são exercícios do MyLab Math que podem ser atribuídos aos principais tópicos do vídeo. Essas perguntas foram elaboradas para verificar a compreensão dos alunos sobre os conceitos matemáticos importantes abordados no vídeo. As questões de avaliação de vídeo são identificadas no MyLab Math pelo código “VQ”.

      · Exercícios de arrastar e soltar são um novo tipo de exercício do MyLab Math que permite aos alunos arrastar itens contendo expressões matemáticas, palavras, gráficos ou imagens de um compartimento inicial para áreas-alvo designadas. Os alunos são solicitados a realizar um nível superior de tomada de decisão em suas respostas com esses tipos de exercícios. Este tipo de exercício é mais utilizado nas Perguntas de Avaliação de Vídeo.

      · Tarefas de amostra aprimoradas são criados por Kirk Trigsted para tornar a • configuração do curso mais fácil, dando aos instrutores um ponto de partida para cada capítulo. Cada tarefa, escolhida a dedo pelo autor para se alinhar com este texto, inclui uma combinação cuidadosa de tipos de perguntas (por exemplo, conceituais, habilidades, etc.) específicas para esse tópico.

      · Atribuições do Skill Builder oferecem prática adaptativa que é projetada para aumentar a capacidade dos alunos de completar suas tarefas. Ao monitorar o desempenho dos alunos em seus deveres de casa, o Skill Builder se adapta às necessidades de cada aluno e fornece prática de tarefas just • in • time, in • para ajudá-los a melhorar sua proficiência nos principais objetivos de aprendizagem.

      · O Capítulo de revisão é significativamente revisado, incluindo 160 exercícios novos ou atualizados e 34 novos vídeos. Além disso, uma nova seção no capítulo de revisão discute operações com radicais (seção R.5)

      · Resumos de capítulos interativos são organizados por seção e destacam conceitos e definições importantes com exemplos e vídeos lado a lado para tornar mais fácil para os alunos estudar os conceitos-chave. Os resumos dos capítulos podem ser atribuídos no MyLab ™ Math.

      · Mais de 1.200 exercícios novos e atualizados, ajudando os alunos a aproveitar ao máximo o tempo gasto na lição de casa e maximizar o ambiente digital para aumentar a compreensão conceitual. Todos os exercícios podem ser atribuídos no MyLab Math e aparecem na referência impressa do eText.


      Consulte a Figura 11 5 Identifique as curvas no diagrama

      Curva de custo variável médio G. Curva de custo total médio F.

      Quasares extremamente maciços não são bons proxies para denso

      17 consulte a figura 10 4.

      Consulte a figura 11 5 para identificar as curvas no diagrama. Quando o produto marginal do trabalho aumenta, a. Curva de custo fixo de Haverage. H curva de custo fixo médio.

      19 se a curva de custo marginal estiver abaixo da curva de custo variável médio, então um custo variável médio está aumentando. Identifique as curvas no diagrama. Figura 12 5 A figura 125 mostra as curvas de custo e demanda enfrentadas por uma empresa típica em uma indústria de custo constante e perfeitamente competitiva.

      Curva de custo total médio F. Consulte a figura 11 5. B a a c.

      7 consulte a figura 11 5. Identifique as curvas no diagrama. Suponha que o preço das sessões de pilates suba para 30, enquanto a renda e o preço das sessões de ioga permanecem inalterados.

      H curva de custo fixo médio. A e curvas de custo marginal f média. Curva de custo total médio F.

      A e curvas de custo marginal f curva de custo total médio. Curva de custo variável médio G. 18 consulte a figura 11 5.

      O custo fixo de C cai conforme a capacidade aumenta. C a a d. Identifique as curvas no diagrama.

      G curva de custo variável médio h curva de custo marginal b e curva de custo marginal. Identifique as curvas no diagrama. Se outro trabalhador adicionar 9 unidades de produção a um grupo de trabalhadores que teve um produto médio de 7 unidades, então o produto médio do trabalho.

      A curva g se aproxima da curva f porque um custo marginal está acima dos custos variáveis ​​médios. E curva de custo fixo médio. 10 consulte a figura 11 1.

      Curva de custo total médio. Em um diagrama que mostra o produto marginal do trabalho no eixo vertical e o trabalho no eixo horizontal, a curva do produto marginal 10a nunca cruza o eixo horizontal. 25 uma curva de custo fixo médio.

      O custo fixo médio de B cai com o aumento da produção. A diferença vertical entre as curvas feg medidas 18 refere-se à figura 10 4. Mostrar texto da imagem transcrita consulte a figura 11 5 identificar as curvas no diagrama.

      D d para b. Identifique as curvas no diagrama. 17 consulte a figura 11 5.

      B cruza o eixo horizontal em um ponto correspondente ao 5º trabalhador. O efeito de substituição dessa mudança de preço é representado pelo movimento de a a para b. Identifique as curvas no diagrama.

      Esta visualização tem seções borradas intencionalmente. Curva de custo variável médio G. E curva de custo marginal.

      H curva de custo fixo médio. Curva de custo variável médio G. 6 consulte a figura 10 7.

      25 consulte a figura 11 5. Figura 10 4 pic 16 consulte a figura 10 4. Cadastre-se para visualizar a versão completa.

      Identifique as curvas no diagrama. As perguntas e respostas do estudo em casa sobre economia empresarial e economia referem-se à figura 11 4. D, o quinto trabalhador é contratado.

      Identifique as curvas no diagrama. Consulte a figura 125.

      Comportamento cíclico de finos de minério de ferro na balança de granéis a bordo

      Diferenças étnicas e de idade na previsão de mortalidade em meados da alta

      Resolvido Consulte a Figura 11 5 Identifique as curvas em D

      11 5 Seções Cônicas Libretextos de Matemática

      Mutações do receptor de Igf I resultantes no intrauterino e pós-natal

      Ventos impulsionados por impulso de buraco negro radiativamente eficiente

      Compreendendo os testes de diagnóstico, parte 3, operação do receptor

      Baixa estatura nos desafios e escolhas da infância Nejm

      Ambiguidade de identificação de processo entre dispersão de advecção

      Um modelo de buffer de memória oscilatório de curto prazo pode explicar os dados

      Sinalizando Cross Talk Entre Conformadores Moleculares de Classe Ii de Mhc em

      Curvas de resposta de frequência experimental A Máx A L 2 0 Vs F

      O complexo ribonucleico Hur Malat1 reprime a expressão de Cd133 e

      Análise de campo médio de inibição de seletividade de orientação

      O impacto da tomografia de emissão de pósitron com 18 fluorodeoxiglucose

      O efeito de diferentes ligantes no catabolismo da célula-alvo e

      Carregamento dinâmico no sistema de anticolisão flutuante flexível devido a

      Exame final de economia 200 com Goya Tocchet no College Of

      Estado da arte dos métodos de estimativa de vulnerabilidade a furacões A

      Análise de pontos de interrupção genômicos em P190 e P210 Bcr Abl indicam

      Anemia e diabetes na ausência de nefropatia Tratamento do diabetes

      Temperatura como fator de risco para hospitalizações entre jovens

      Exame final de economia 200 com Goya Tocchet no College Of

      Curva de Snrr Versus Ordem do Modelo Ar Identificado para Caixa de Áudio


      Capítulo 1: Revisão Pré-cálculo
      1.1 Números reais, funções e gráficos
      1.2 Funções Lineares e Quadráticas
      1.3 As classes básicas de funções
      1.4 Funções trigonométricas
      1.5 Funções Inversas
      1.6 Funções Exponenciais e Logarítmicas
      1.7 Tecnologia: Calculadoras e Computadores
      Exercícios de revisão de capítulo

      Capítulo 2: Limites
      2.1 A ideia limite: velocidade instantânea e linhas tangentes
      2.2 Limites de investigação
      2.3 Leis Básicas de Limite
      2.4 Limites e continuidade
      2.5 Formas Indeterminadas
      2.6 O Teorema de Aperto e Limites Trigonométricos
      2.7 Limites no infinito
      2.8 O Teorema do Valor Intermediário
      2.9 A definição formal de um limite
      Exercícios de revisão de capítulo

      Capítulo 3: Diferenciação
      3.1 Definição da Derivada
      3.2 A Derivada como Função
      3.3 Regras de produto e quociente
      3.4 Taxas de Mudança
      3.5 Derivados Superiores
      3.6 Funções trigonométricas
      3.7 A Regra da Corrente
      3.8 Diferenciação implícita
      3.9 Derivadas de funções exponenciais e logarítmicas gerais
      3.10 Taxas Relacionadas
      Exercícios de revisão de capítulo

      Capítulo 4: Aplicações da Derivada
      4.1 Aproximação Linear e Aplicações
      4.2 Valores Extremos
      4.3 O Teorema do Valor Médio e Monotonicidade
      4.4 A Segunda Derivada e Concavidade
      4.5 Regra de L'Hôpital
      4.6 Analisando e esboçando gráficos de funções
      4.7 Otimização Aplicada
      4.8 Método de Newton
      Exercícios de revisão de capítulo

      Capítulo 5: Integração
      5.1 Área de Aproximação e Computação
      5.2 O Integral Definido
      5.3 O Integral Indefinido
      5.4 O Teorema Fundamental do Cálculo, Parte I
      5.5 O Teorema Fundamental do Cálculo, Parte II
      5.6 Variação Líquida como Integral de uma Taxa de Mudança
      5.7 O Método de Substituição
      5.8 Fórmulas Integrais Adicionais
      Exercícios de revisão de capítulo

      Capítulo 6: Aplicações do Integral
      6.1 Área Entre Duas Curvas
      6.2 Configurando Integrais: Volume, Densidade, Valor Médio
      6.3 Volumes de revolução: discos e arruelas
      6.4 Volumes de Revolução: Cascas Cilíndricas
      6.5 Trabalho e Energia
      Exercícios de revisão de capítulo

      Capítulo 7: Técnicas de Integração
      7.1 Integração por partes
      7.2 Integrais trigonométricos
      7.3 Substituição trigonométrica
      7.4 Integrais envolvendo funções hiperbólicas e hiperbólicas inversas
      7.5 O Método das Frações Parciais
      7.6 Estratégias de Integração
      7.7 Integrais impróprios
      7.8 Integração Numérica
      Exercícios de revisão de capítulo

      Capítulo 8: Outras Aplicações do Integral
      8.1 Probabilidade e Integração
      8.2 Comprimento do Arco e Área de Superfície
      8.3 Pressão e Força do Fluido
      8.4 Centro de Massa
      Exercícios de revisão de capítulo

      Capítulo 9: Introdução às Equações Diferenciais
      9.1 Resolvendo Equações Diferenciais
      9.2 Modelos envolvendo y '= k (y-b)
      9.3 Métodos gráficos e numéricos
      9.4 A Equação Logística
      9.5 Equações Lineares de Primeira Ordem
      Exercícios de revisão de capítulo

      Capítulo 10: Série Infinita
      10.1 Sequências
      10.2 Somando uma série infinita
      10.3 Convergência de séries com termos positivos
      10.4 Convergência Absoluta e Condicional
      10.5 A razão e testes de raiz e estratégias para escolher os testes
      10.6 Power Series
      10.7 Polinômios de Taylor
      10.8 Taylor Series
      Exercícios de revisão de capítulo

      Capítulo 11: Equações paramétricas, coordenadas polares e seções cônicas
      11.1 Equações Paramétricas
      11.2 Comprimento do Arco e Velocidade
      11.3 Coordenadas polares
      11.4 Área e comprimento do arco em coordenadas polares
      11.5 Seções cônicas
      Exercícios de revisão de capítulo

      Capítulo 12: Geometria vetorial
      12.1 Vetores no Plano
      12.2 Espaço Tridimensional: Superfícies, Vetores e Curvas
      12.3 Produto de ponto e o ângulo entre dois vetores
      12.4 O produto cruzado
      12.5 Planos em 3 espaços
      12.6 Um levantamento das superfícies quádricas
      12.7 Coordenadas cilíndricas e esféricas
      Exercícios de revisão de capítulo

      Capítulo 13: Cálculo de funções com valor vetorial
      13.1 Funções com valor vetorial
      13.2 Cálculo de funções com valor vetorial
      13.3 Comprimento do Arco e Velocidade
      13,4 Curvatura
      13.5 Movimento em 3 espaços
      13.6 Movimento planetário de acordo com Kepler e Newton
      Exercícios de revisão de capítulo

      Capítulo 14: Diferenciação em várias variáveis
      14.1 Funções de duas ou mais variáveis
      14.2 Limites e continuidade em várias variáveis
      14.3 Derivados Parciais
      14,4 Diferenciabilidade, Planos Tangentes e Aproximação Linear
      14.5 Os Derivados de Gradiente e Direcionais
      14.6 Regras da Cadeia de Cálculo Multivariável
      14.7 Otimização em várias variáveis
      14.8 Multiplicadores de Lagrange: Otimizando com uma Restrição
      Exercícios de revisão de capítulo

      Capítulo 15: Integração Múltipla
      15.1 Integração em duas variáveis
      15.2 Integrais duplos em regiões mais gerais
      15.3 Integrais Triplos
      15.4 Integração em coordenadas polares, cilíndricas e esféricas
      15.5 Aplicações de Múltiplos Integrais
      15.6 Mudança de Variáveis
      Exercícios de revisão de capítulo

      Capítulo 16: Integrais de linha e superfície
      16.1 Campos Vetoriais
      16.2 Integrais de linha
      16.3 Campos de vetores conservadores
      16.4 Superfícies parametrizadas e integrais de superfície
      16.5 Integrais de superfície de campos vetoriais
      Exercícios de revisão de capítulo

      Capítulo 17: Teoremas Fundamentais da Análise de Vetores
      17.1 Teorema de Green
      17.2 Teorema de Stokes
      17.3 Teorema da Divergência
      Exercícios de revisão de capítulo

      Apêndices
      A. A linguagem da matemática
      B. Propriedades de números reais
      C. Indução e o Teorema Binomial
      D. Provas Adicionais

      RESPOSTAS A REFERÊNCIAS DE EXERCÍCIOS COM NÚMEROS ODD
      ÍNDICE

      Conteúdo adicional pode ser acessado online em www.macmillanlearning.com/calculuset4e:

      Provas Adicionais:
      Regra de L'Hôpital
      Limites de erro para numérico
      Integração
      Teste de comparação para indevido
      Integrais

      Conteúdo adicional:
      Diferencial de segunda ordem
      Equações
      Números complexos

      Olhe dentro


      Assista o vídeo: Para que servem as cônicas GEOMETRIA ANALÍTICA - ZERO DE 40 (Outubro 2021).