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2.5: A definição precisa de um limite - matemática


objetivos de aprendizado

  • Descreva a definição épsilon-delta de um limite.
  • Aplique a definição epsilon-delta para encontrar o limite de uma função.
  • Descreva as definições épsilon-delta de limites unilaterais e limites infinitos.
  • Use a definição épsilon-delta para provar as leis de limite.

A esta altura, você já passou da definição muito informal de limite na introdução deste capítulo para a compreensão intuitiva de um limite. Neste ponto, você deve ter um senso intuitivo muito forte do que significa o limite de uma função e como você pode encontrá-lo. Nesta seção, convertemos essa ideia intuitiva de limite em uma definição formal usando linguagem matemática precisa. A definição formal de limite é possivelmente uma das definições mais desafiadoras que você encontrará no início de seu estudo de cálculo; entretanto, vale a pena qualquer esforço que você faça para reconciliá-lo com sua noção intuitiva de um limite. Compreender essa definição é a chave que abre a porta para uma melhor compreensão do cálculo.

Quantificando Proximidade

Antes de declarar a definição formal de um limite, devemos apresentar algumas idéias preliminares. Lembre-se de que a distância entre dois pontos (a ) e (b ) em uma reta numérica é dada por | (a − b ) |.

  • A declaração | (f (x) −L ) | <ε pode ser interpretada como: A distância entre (f (x) ) e (L ) é menor que (ε ).
  • A afirmação (0 <| x − a | <δ ) pode ser interpretada como: (x ≠ a ) e a distância entre (x ) e (a ) é menor que (δ ) .

Também é importante observar as seguintes equivalências para valor absoluto:

  • A declaração | (f (x) −L | <ε ) é equivalente à declaração (L − ε
  • A declaração (0 <| x − a | <δ ) é equivalente à declaração (a − δ

Com esses esclarecimentos, podemos afirmar o formal definição épsilon-delta do limite.

Definição: Limites Finitos (Formal)

Seja (f (x) ) definido para todos (x ≠ a ) em um intervalo aberto contendo (a ). Seja (L ) um número real. Então

[ lim_ {x → a} f (x) = L ]

se, para cada (ε> 0 ), existe a (δ> 0 ), tal que se (0 <| x − a | <δ ), então (| f (x) −L | <ε ).

Esta definição pode parecer bastante complexa do ponto de vista matemático, mas torna-se mais fácil de entender se dividirmos frase por frase. A declaração em si envolve algo chamado de quantificador universal (para cada (ε> 0 )), um quantificador existencial (existe um (δ> 0 )), e, por último, um afirmação condicional (se (0 <| x − a | <δ ), então (| f (x) −L | <ε) ). Vamos dar uma olhada em Table ( PageIndex {1} ), que divide a definição e traduz cada parte.

Tabela ( PageIndex {1} )
DefiniçãoTradução
1. Para cada (ε> 0 ),1. Para cada distância positiva (ε ) de L,
2. existe um (δ> 0 ),2. Há uma distância positiva (δ ) de a,
3. tal que3. tal que
4. se (0 <| x − a | <δ ), então (| f (x) −L | <ε ).4. se (x ) está mais próximo do que (δ ) de a e (x ≠ a ), então (f (x) ) está mais próximo do que ε de L.

Podemos entender melhor essa definição examinando a definição geometricamente. A figura mostra os valores possíveis de (δ ) para várias escolhas de (ε> 0 ) para uma dada função (f (x) ), um número a e um limite L em a. Observe que, à medida que escolhemos valores menores de ε (a distância entre a função e o limite), podemos sempre encontrar um (δ ) pequeno o suficiente para que, se tivermos escolhido um valor x dentro de (δ ) de a, então o valor de (f (x) ) está dentro de (ε ) do limite L.

O exemplo ( PageIndex {1} ) mostra como você pode usar esta definição para provar uma declaração sobre o limite de uma função específica em um valor especificado.

Exemplo ( PageIndex {2} ): Provando uma declaração sobre o limite de uma função específica

Prove que ( displaystyle lim_ {x → 1} ; (2x + 1) = 3 ).

Solução

Seja (ε> 0 ).

A primeira parte da definição começa com “Para todo (ε> 0 ).” Isso significa que devemos provar que tudo o que se segue é verdadeiro, independentemente do valor positivo de ε escolhido. Ao declarar “Let

(ε> 0 ), ”sinalizamos nossa intenção de fazê-lo.

Escolha (δ = frac {ε} {2} ).

A definição continua com “existe a (δ> 0 ). ”A frase“ existe ”em uma declaração matemática é sempre um sinal para uma caça ao tesouro. Em outras palavras, devemos ir e encontrar (δ ). Então, de onde exatamente (δ = ε / 2 ) veio? Existem duas abordagens básicas para rastrear (δ ). Um método é puramente algébrico e o outro é geométrico.

Começamos abordando o problema de um ponto de vista algébrico. Como, em última análise, queremos (| (2x + 1) −3 | <ε ), começamos manipulando esta expressão: (| (2x + 1) −3 | <ε ) é equivalente a (| 2x− 2 | <ε ), que por sua vez é equivalente a (| 2 || x − 1 | <ε ). Por último, isso é equivalente a (| x − 1 | <ε / 2 ). Assim, parece que (δ = ε / 2 ) é apropriado.

Também podemos encontrar (δ ) por meio de métodos geométricos. A figura demonstra como isso é feito.

Suponha que (0 <| x − 1 | <δ ). Quando (δ ) for escolhido, nosso objetivo é mostrar que se (0 <| x − 1 | <δ ), então (| (2x + 1) −3 | <ε ). Para provar qualquer declaração da forma "Se isto, então aquilo", começamos assumindo "isto" e tentando obter "aquilo".

Desse modo,

(| (2x + 1) −3 | = | 2x − 2 | ) propriedade de valor absoluto

(= | 2 (x − 1) | )

(= | 2 || x − 1 | ) (| 2 | = 2 )

(= 2 | x − 1 | )

(<2⋅δ ) aqui é onde usamos a suposição de que (0 <| x − 1 | <δ )

(= 2⋅ frac {ε} {2} = ε ) aqui é onde usamos nossa escolha de (δ = ε / 2 )

Análise

Nesta parte da prova, começamos com (| (2x + 1) −3 | ) e usamos nossa suposição (0 <| x − 1 | <δ ) em uma parte-chave da cadeia de desigualdades para faça com que (| (2x + 1) −3 | ) seja menor que ε. Poderíamos facilmente ter manipulado a desigualdade assumida (0 <| x − 1 | <δ ) para chegar a (| (2x + 1) −3 | <ε ) da seguinte forma:

(0 <| x − 1 | <δ⇒ | x − 1 | <δ )

(⇒ − δ

(⇒− frac {ε} {2}

(⇒ − ε <2x − 2 <ε )

(⇒ − ε <2x − 2 <ε )

(⇒ | 2x − 2 | <ε )

(⇒ | (2x + 1) −3 | <ε. )

Portanto, ( displaystyle lim_ {x → 1} ; (2x + 1) = 3. ) (Tendo concluído a prova, declaramos o que realizamos.)

Depois de remover todos os comentários, aqui está uma versão final da prova:

Seja (ε> 0 ).

Escolha (δ = ε / 2 ).

Suponha que (0 <| x − 1 | <δ ).

Desse modo,

( begin {align *} | (2x + 1) −3 | & = | 2x − 2 | [4pt]
& = | 2 (x − 1) | [4pt]
& = | 2 || x − 1 | [4pt]
& = 2 | x − 1 | [4pt]
& <2⋅δ [4pt]
& = 2⋅ frac {ε} {2} [4pt]
& = ε. end {align *} )

Portanto, ( displaystyle lim_ {x → 1} ; (2x + 1) = 3 ).

A seguinte Estratégia de Solução de Problemas resume o tipo de prova que elaboramos no Exemplo ( PageIndex {2} ).

A seguinte Estratégia de Solução de Problemas resume o tipo de prova que elaboramos em Exemplo.

Estratégia de resolução de problemas: provando que ( displaystyle lim_ {x → a} f (x) = L ) para uma função específica (f (x) )

  1. Vamos começar a prova com a seguinte afirmação: Let (ε> 0 ).
  2. A seguir, precisamos obter um valor para (δ ). Depois de obter esse valor, fazemos a seguinte declaração, preenchendo o espaço em branco com nossa escolha de (δ ): Escolha (δ = ) _______.
  3. A próxima afirmação na prova deve ser (neste ponto, preenchemos nosso valor dado para (a )): Assuma (0 <| x − a | <δ ).
  4. A seguir, com base nesta suposição, precisamos mostrar que (| f (x) −L | <ε ), onde (f (x) ) e (L ) são nossa função (f (x ) ) e nosso limite (L ). Em algum ponto, precisamos usar (0 <| x − a | <δ ).
  5. Concluímos nossa prova com a afirmação: Portanto, ( displaystyle lim_ {x → a} f (x) = L ).

Exemplo ( PageIndex {3} ): Provando uma declaração sobre um limite

Complete a prova de que ( displaystyle lim_ {x → −1} ; (4x + 1) = - 3 ) preenchendo os espaços em branco.

Deixar _____.

Escolha (δ = ) _______.

Suponha que (0 <| x ) −_______ | (<δ ).

Assim, | ________ − ________ | = _____________________________________ (ε ).

Solução

Começamos preenchendo os espaços em que as escolhas são especificadas pela definição. Assim, temos

Seja (ε> 0 ).

Escolha (δ ) = _______.

Suponha que (0 <| x - (- 1) | <δ ). (ou de forma equivalente, (0 <| x + 1 | <δ ).)

Assim, (| (4x + 1) - (- 3) | = | 4x + 4 | = | 4 || x + 1 | <4δ ) _______ (ε ).

Focando na linha final da prova, vemos que devemos escolher (δ = frac {ε} {4} ).

Agora, concluímos a redação final da prova:

Seja (ε> 0 ).

Escolha (δ = frac {ε} {4} ).

Suponha que (0 <| x - (- 1) | <δ ) (ou de forma equivalente, (0 <| x + 1 | <δ ).)

Assim, (| (4x + 1) - (- 3) | = | 4x + 4] | = | 4 || x + 1 | <4δ = 4 (ε / 4) = ε ).

Exercício ( PageIndex {1} )

Complete a prova de que ( displaystyle lim_ {x → 2} ; (3x − 2) = 4 ) preenchendo os espaços em branco.

Deixar _______.

Escolha (δ ) = _______.

Suponha que (0 <| x - ) ____ (| <) ____.

Desse modo,

| _______ − ____ | (= ) ______________________________ (ε ).

Portanto, ( displaystyle lim_ {x → 2} ; (3x − 2) = 4 ).

Dica

Siga o esboço da Estratégia de Solução de Problemas que elaboramos na íntegra no Exemplo ( PageIndex {3} ).

Responder

Let (ε> 0 ); escolha (δ = frac {ε} {3} ); assuma (0 <| x − 2 | <δ ).

Assim, (| (3x − 2) −4 | = | 3x − 6 | = | 3 | ⋅ | x − 2 | <3⋅δ = 3⋅ (ε / 3) = ε ).

Portanto, ( displaystyle lim_ {x → 2} (3x − 2) = 4 ).

Nos exemplos ( PageIndex {1} ) e ( PageIndex {2} ), as provas foram bastante diretas, uma vez que as funções com as quais estávamos trabalhando eram lineares. Em Exemplo ( PageIndex {4} ), vemos como modificar a prova para acomodar uma função não linear.

Exemplo ( PageIndex {4} ): Provando uma declaração sobre o limite de uma função específica (abordagem geométrica)

Prove que ( displaystyle lim_ {x → 2} x ^ 2 = 4 ).

Solução

1. Seja (ε> 0 ). A primeira parte da definição começa com “Para todo (ε> 0 ),” então devemos provar que tudo o que segue é verdadeiro, não importa qual valor positivo de (ε ) é escolhido. Ao declarar “Let (ε> 0 ),” sinalizamos nossa intenção de fazê-lo.

2. Sem perda de generalidade, assuma (ε≤4 ). Duas questões se apresentam: Por que queremos (ε≤4 ) e por que não há problema em fazer essa suposição? Em resposta à primeira pergunta: Mais tarde, no processo de resolução de (δ ), descobriremos que (δ ) envolve a quantidade ( sqrt {4 − ε} ). Consequentemente, precisamos de (ε≤4 ). Em resposta à segunda pergunta: Se pudermos encontrar (δ> 0 ) que “funciona” para (ε≤4 ), então também “funcionará” para qualquer (ε> 4 ). Tenha em mente que, embora seja sempre correto colocar um limite superior em ε, nunca é correto colocar um limite inferior (diferente de zero) em (ε ).

3. Escolha (δ = min {2− sqrt {4 − ε}, sqrt {4 + ε} −2} ). A Figura ( PageIndex {3} ) mostra como fizemos essa escolha de (δ ).

4. Devemos mostrar: Se (0 <| x − 2 | <δ ), então (| x ^ 2−4 | <ε ), então devemos começar assumindo

(0 <| x − 2 | <δ. )

Nós realmente não precisamos de (0 <| x − 2 | ) (em outras palavras, (x ≠ 2 )) para esta prova. Uma vez que (0 <| x − 2 | <δ⇒ | x − 2 | <δ ), não há problema em eliminar (0 <| x − 2 | ).

(| x − 2 | <δ. )

Por isso,

(- δ

Lembre-se de que (δ = min ) { (2− sqrt {4 − ε}, sqrt {4 + ε} −2 )}. Assim, (δ≥2− sqrt {4 − ε} ) e conseqüentemente (- (2− sqrt {4 − ε}) ≤ − δ ). Também usamos (δ≤ sqrt {4 + ε} −2 ) aqui. Podemos perguntar neste ponto: Por que substituímos (2− sqrt {4 − ε} ) por (δ ) no lado esquerdo da inequação e ( sqrt {4 + ε} - 2 ) do lado direito da desigualdade? Se olharmos para a Figura ( PageIndex {3} ), vemos que (2− sqrt {4 − ε} ) corresponde à distância à esquerda de (2 ) no (x ) -eixo e ( sqrt {4 + ε} −2 ) corresponde à distância à direita. Desse modo,

(- (2− sqrt {4 − ε}) ≤ − δ

Simplificamos a expressão à esquerda:

(- 2+ sqrt {4 − ε}

Em seguida, adicionamos 2 a todas as partes da desigualdade:

( sqrt {4 − ε}

Nós elevamos ao quadrado todas as partes da desigualdade. É normal fazer isso, uma vez que todas as partes da desigualdade são positivas:

(4 − ε

Subtraímos (4 ) de todas as partes da desigualdade:

(- ε

Durar,

(| x ^ 2−4 | <ε. )

5. Portanto,

( displaystyle lim_ {x → 2} x ^ 2 = 4. )

Exercício ( PageIndex {2} )

Encontre δ correspondendo a (ε> 0 ) para uma prova de que ( displaystyle lim_ {x → 9} sqrt {x} = 3 ).

Dica

Desenhe um gráfico semelhante ao de Exemplo ( PageIndex {4} ).

Responder

Escolha (δ = text {min} {9− (3 − ε) ^ 2, ; (3 + ε) ^ 2−9 } ).

A abordagem geométrica para provar que o limite de uma função assume um valor específico funciona muito bem para algumas funções. Além disso, o insight sobre a definição formal do limite que esse método fornece é inestimável. Entretanto, também podemos abordar as provas de limite de um ponto de vista puramente algébrico. Em muitos casos, uma abordagem algébrica pode não apenas nos fornecer uma visão adicional da definição, mas também pode ser mais simples. Além disso, uma abordagem algébrica é a principal ferramenta usada em provas de afirmações sobre limites. Por exemplo ( PageIndex {5} ), adotamos uma abordagem puramente algébrica.

Exemplo ( PageIndex {5} ): Provando uma declaração sobre o limite de uma função específica (abordagem algébrica)

Prove que ( displaystyle lim_ {x → −1} ; (x ^ 2−2x + 3) = 6. )

Solução

Vamos usar nosso esboço da Estratégia de Solução de Problemas:

1. Seja (ε> 0 ).

2. Escolha (δ = text {min} {1, ε / 5 } ). Esta escolha de (δ ) pode parecer estranha à primeira vista, mas foi obtida dando uma olhada em nossa desigualdade desejada final: (∣ (x ^ 2−2x + 3) −6∣ <ε ). Essa desigualdade é equivalente a (| x + 1 | ⋅ | x − 3 | <ε ). Neste ponto, a tentação de simplesmente escolher (δ = frac {ε} {x − 3} ) é muito forte. Infelizmente, nossa escolha de (δ ) deve depender apenas de ε e de nenhuma outra variável. Se pudermos substituir (| x − 3 | ) por um valor numérico, nosso problema pode ser resolvido. Este é o lugar onde assumir que (δ≤1 ) entra em jogo. A escolha de (δ≤1 ) aqui é arbitrária. Poderíamos ter usado qualquer outro número positivo com a mesma facilidade. Em algumas provas, maior cuidado nessa escolha pode ser necessário. Agora, como (δ≤1 ) e (| x + 1 | <δ≤1 ), podemos mostrar que (| x − 3 | <5 ). Conseqüentemente, (| x + 1 | ⋅ | x − 3 | <| x + 1 | ⋅5 ). Nesse ponto, percebemos que também precisamos de (δ≤ε / 5 ). Assim, escolhemos (δ = text {min} {1, ε / 5 } ).

3. Suponha que (0 <| x + 1 | <δ ). Desse modo,

[| x + 1 | <1 text {e} | x + 1 | < frac {ε} {5}. enhum número]

Como (| x + 1 | <1 ), podemos concluir que (- 1

[ left | (x ^ 2−2x + 3) −6 right | = | x + 1 | ⋅ | x − 3 | < frac {ε} {5} ⋅5 = ε. nonumber ]

Portanto,

[ lim_ {x → −1} ; (x ^ 2−2x + 3) = 6. nonumber ]

Exercício ( PageIndex {3} )

Conclua a prova de que ( displaystyle lim_ {x → 1} x ^ 2 = 1 ).

Let (ε> 0 ); escolha (δ = text {min} {1, ε / 3 } ); assuma (0 <| x − 1 | <δ ).

Como (| x − 1 | <1 ), podemos concluir que (- 1

Dica

Use Example ( PageIndex {5} ) como um guia.

Responder

(∣x ^ 2−1∣ = | x − 1 | ⋅ | x + 1 | <ε / 3⋅3 = ε )

Você descobrirá que, em geral, quanto mais complexa uma função, mais provável é que a abordagem algébrica seja a mais fácil de aplicar. A abordagem algébrica também é mais útil para provar afirmações sobre limites.

Leis de limite de prova

Agora demonstramos como usar a definição épsilon-delta de um limite para construir uma prova rigorosa de uma das leis de limite. O desigualdade triangular é usado em um ponto-chave da prova, portanto, primeiro revisamos essa propriedade-chave do valor absoluto.

Definição: A Desigualdade do Triângulo

O desigualdade triangular afirma que se aeb são quaisquer números reais, então (| a + b | ≤ | a | + | b | ).

Prova

Provamos a seguinte lei limite: Se ( displaystyle lim_ {x → a} f (x) = L ) e ( displaystyle lim_ {x → a} g (x) = M ), então ( displaystyle lim_ {x → a} ; (f (x) + g (x)) = L + M ).

Seja (ε> 0 ).

Escolha (δ_1> 0 ) de forma que se (0 <| x − a | <δ_1 ), então (| f (x) −L | <ε / 2 ).

Escolha (δ_2> 0 ) de forma que se (0 <| x − a | <δ_2 ), então (| g (x) −M | <ε / 2 ).

Escolha (δ = text {min} {δ_1, δ_2 } ).

Suponha que (0 <| x − a | <δ ).

Desse modo,

(0 <| x − a | <δ_1 ) e (0 <| x − a | <δ_2 ).

Por isso,

[ begin {align *} | (f (x) + g (x)) - (L + M) | & = | (f (x) −L) + (g (x) −M) | [4pt]
& ≤ | f (x) −L | + | g (x) −M | [4pt]
& < frac {ε} {2} + frac {ε} {2} = ε end {alinhar *}. ]

Agora exploramos o que significa não existir um limite. O limite ( displaystyle lim_ {x → a} f (x) ) não existe se não houver um número real (L ) para o qual ( displaystyle lim_ {x → a} f (x) = L ). Assim, para todos os números reais (L ), ( displaystyle lim_ {x → a} f (x) ≠ L ). Para entender o que isso significa, examinamos cada parte da definição de ( displaystyle lim_ {x → a} f (x) = L ) junto com seu oposto. Uma tradução da definição é fornecida na Tabela ( PageIndex {2} ).

Tabela ( PageIndex {2} )
DefiniçãoOposto
1. Para cada (ε> 0 ),1. Existe (ε> 0 ) para que
2. existe um (δ> 0 ), de modo que2. para cada (δ> 0 ),
3. se (0 <| x − a | <δ ), então (| f (x) −L | <ε ).3. Existe um x que satisfaz (0 <| x − a | <δ ) de forma que (| f (x) −L | ≥ε ).

Tradução da definição de ( lim_ {x → a} f (x) = L ) e seu oposto

Finalmente, podemos afirmar o que significa não existir um limite. O limite ( displaystyle lim_ {x → a} f (x) ) não existe se para cada número real (L ), existe um número real (ε> 0 ) de modo que para todos (δ> 0 ), existe um (x ) satisfazendo (0 <| x − a | <δ ), de modo que (| f (x) −L | ≥ε ). Vamos aplicar isso no Exemplo ( PageIndex {6} ) para mostrar que não existe um limite.

Exemplo ( PageIndex {6} ): Mostrando que um limite não existe

Mostre que ( displaystyle lim_ {x → 0} frac {| x |} {x} ) não existe. O gráfico de (f (x) = | x | / x ) é mostrado aqui:

Solução

Suponha que (L ) seja um candidato a um limite. Escolha (ε = 1/2 ).

Seja (δ> 0 ). Tanto (L≥0 ) ou (L <0 ). Se (L≥0 ), então seja (x = −δ / 2 ).

Desse modo,

(| x − 0 | = ∣− frac {δ} {2} −0∣ = frac {δ} {2} <δ )

e

( left | frac {∣− frac {δ} {2} ∣} {- frac {δ} {2}} - L right | = | −1 − L | = L + 1≥1> frac {1} {2} = ε ).

Por outro lado, se (L <0 ), então seja (x = δ / 2 ). Desse modo,

(| x − 0 | = ∣ frac {δ} {2} −0∣ = frac {δ} {2} <δ )

e

( left | frac {∣ frac {δ} {2} ∣} { frac {δ} {2}} - L right | = | 1 − L | = | L | + 1≥1> frac {1} {2} = ε ).

Assim, para qualquer valor de (L ), ( displaystyle lim_ {x → 0} frac {| x |} {x} ≠ L. )

Limites unilaterais

Assim como primeiro adquirimos uma compreensão intuitiva dos limites e depois passamos para uma definição mais rigorosa de um limite, agora revisitamos os limites unilaterais. Para fazer isso, modificamos a definição épsilon-delta de um limite para fornecer definições épsilon-delta formais para os limites da direita e da esquerda em um ponto. Essas definições requerem apenas pequenas modificações da definição do limite. Na definição do limite da direita, a desigualdade (0

Definição: Limites Unilaterais (Formais)

Limite da direita: Seja (f (x) ) definido sobre um intervalo aberto da forma ((a, b) ) onde (a

[ lim_ {x → a ^ +} f (x) = L ]

se para cada (ε> 0 ), existe a (δ> 0 ), de modo que se (0

Limite da esquerda: Seja (f (x) ) definido sobre um intervalo aberto da forma ((b, c) ) onde (b

[ lim_ {x → c ^ -} f (x) = L ]

se para cada (ε> 0 ), existe um (δ> 0 ) tal que se (−δ

Exemplo ( PageIndex {7} ): Provando uma declaração sobre um limite da direita

Provar que

[ lim_ {x → 4 ^ +} sqrt {x − 4} = 0. nonumber ]

Solução

Seja (ε> 0 ).

Escolha (δ = ε ^ 2 ). Uma vez que, em última análise, queremos (∣ sqrt {x − 4} −0∣ <ε ), manipulamos esta desigualdade para obter ( sqrt {x − 4} <ε ) ou, equivalentemente, (0

Suponha que (0

Exercício ( PageIndex {4} )

Encontre (δ ) correspondendo a (ε ) para uma prova de que ( displaystyle lim_ {x → 1 ^ -} sqrt {1 − x} = 0 ).

Dica

Esboce o gráfico e use Example ( PageIndex {7} ) como um guia de solução.

Responder

(δ = ε ^ 2 )

Limites infinitos

Concluímos o processo de conversão de nossas idéias intuitivas de vários tipos de limites em definições formais rigorosas, buscando uma definição formal de limites infinitos. Para ter ( displaystyle lim_ {x → a} f (x) = + ∞ ), queremos que os valores da função (f (x) ) fiquem cada vez maiores conforme (x ) se aproxima uma. Em vez do requisito de que (| f (x) −L | <ε ) para arbitrariamente pequeno (ε ) quando (0 <| x − a | <δ ) para pequeno o suficiente (δ ), queremos (f (x)> M ) para positivo arbitrariamente grande (M ) quando (0 <| x − a | <δ ) para pequeno o suficiente (δ ). A Figura ( PageIndex {5} ) ilustra essa ideia, mostrando o valor de (δ ) para valores sucessivamente maiores de (M ).

Figura ( PageIndex {5} ): Esses gráficos representam os valores de (δ ) para (M ) para mostrar que ( displaystyle lim_ {x → a} f (x) = + ∞ ).

Definição: Limites infinitos (formais)

Seja (f (x) ) definido para todos (x ≠ a ) em um intervalo aberto contendo (a ). Então, temos um limite infinito

[ lim_ {x → a} f (x) = + ∞ ]

se para cada (M> 0 ), existe (δ> 0 ) tal que se (0 <| x − a | <δ ), então (f (x)> M ).

Seja (f (x) ) definido para todos (x ≠ a ) em um intervalo aberto contendo (a ). Então, temos um limite infinito negativo

[ lim_ {x → a} f (x) = - ∞ ]

se para cada (M> 0 ), existe (δ> 0 ) tal que se (0 <| x − a | <δ ), então (f (x) <- M ).

Exemplo ( PageIndex {8} ): Provando uma afirmação sobre um limite infinito

Prove que ( displaystyle lim_ {x → 3} frac {1} {(x-3) ^ 2} = infty. )

Solução

Usamos uma abordagem muito semelhante à nossa Estratégia de Solução de Problemas anterior. Primeiro encontramos um (δ> 0 ) apropriado. Então escrevemos nossa prova.

Passo 1: Primeiro encontramos um (δ> 0 ) apropriado.

1. Seja (M ) qualquer número real tal que (M> 0 ).

2. Seja (f (x) = dfrac {1} {(x-3) ^ 2}> M ). Então resolvemos para a expressão (x - 3 ).

Multiplicando ambos os lados da desigualdade pela quantidade positiva ((x - 3) ^ 2 ) e dividindo ambos os lados pela quantidade positiva (M ) nos dá:

[ frac {1} {M}> (x-3) ^ 2 não numérico ]

Tirando a raiz quadrada de ambos os lados, temos,

[ sqrt { frac {1} {M}}> | x - 3 |. qquad quad left ( text {Lembre-se que} sqrt {x ^ 2} = | x |. right) nonumber ]

Reescrever esta declaração nos dá, (0 <| x-3 | < sqrt { dfrac {1} {M}} ). A partir disso, escolhemos (δ = sqrt { dfrac {1} {M}} ).

Passo 2: Agora vamos escrever uma prova.

3. Seja (δ = sqrt { dfrac {1} {M}} ) e assuma (0 <| x-3 | <δ = sqrt { dfrac {1} {M}} ).

Desse modo,

[| x-3 | < sqrt { frac {1} {M}}. enhum número]

A quadratura de ambos os lados nos dá,

[(x-3) ^ 2 < frac {1} {M}. enhum número]

Tomando o recíproco de ambos os lados (e lembrando que isso inverterá a direção da desigualdade),

[ dfrac {1} {(x-3) ^ 2}> M. nonumber ]

Portanto, provamos que

[ lim_ {x → 3} frac {1} {(x-3) ^ 2} = infty. nonumber ]

Uma prova muito semelhante será necessária para um limite igual a (- infty ).

Observe que uma abordagem de limite unilateral freqüentemente precisará ser adotada com esse tipo de limite. Por exemplo, para provar: ( displaystyle lim_ {x to 0 ^ +} frac {1} {x} = infty ).

Conceitos chave

  • A noção intuitiva de um limite pode ser convertida em uma definição matemática rigorosa conhecida como definição épsilon-delta do limite.
  • A definição épsilon-delta pode ser usada para provar afirmações sobre limites.
  • A definição epsilon-delta de um limite pode ser modificada para definir limites unilaterais.
  • Uma definição semelhante de limite infinito pode ser usada para provar afirmações sobre limites infinitos.

Glossário

definição épsilon-delta do limite
( displaystyle lim_ {x → a} f (x) = L ) se para cada (ε> 0 ), existe um (δ> 0 ) tal que se (0 <| x− a | <δ ), então (| f (x) −L | <ε )
desigualdade triangular
Se (a ) e (b ) forem quaisquer números reais, então (| a + b | ≤ | a | + | b | )
definição formal de um limite infinito
( displaystyle lim_ {x → a} f (x) = infty ) se para cada (M> 0 ), existe um (δ> 0 ) tal que se (0 <| x −a | <δ ), então (f (x)> M )
( displaystyle lim_ {x → a} f (x) = - infty ) se para cada (M> 0 ), existe um (δ> 0 ) tal que se (0 <| x − a | <δ ), então (f (x) <- M )


Assista o vídeo: Limites - Aula 03: DEFINIÇÃO PRECISA! (Outubro 2021).