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1.4: Funções Inversas


objetivos de aprendizado

  • Determine as condições para quando uma função tem um inverso.
  • Use o teste de linha horizontal para reconhecer quando uma função é um para um.
  • Encontre o inverso de uma determinada função.
  • Desenhe o gráfico de uma função inversa.
  • Avalie funções trigonométricas inversas.

Uma função inversa reverte a operação feita por uma função particular. Em outras palavras, o que quer que uma função faça, a função inversa o desfaz. Nesta seção, definimos uma função inversa formalmente e declaramos as condições necessárias para que uma função inversa exista. Examinamos como encontrar uma função inversa e estudamos a relação entre o gráfico de uma função e o gráfico de sua inversa. Em seguida, aplicamos essas idéias para definir e discutir as propriedades das funções trigonométricas inversas.

Existência de uma função inversa

Começamos com um exemplo. Dada uma função (f ) e uma saída (y = f (x) ), frequentemente estamos interessados ​​em encontrar qual valor ou valores (x ) foram mapeados para (y ) por (f ) Por exemplo, considere a função (f (x) = x ^ 3 + 4 ). Como qualquer saída (y = x ^ 3 + 4 ), podemos resolver esta equação para (x ) para descobrir que a entrada é (x = sqrt [3] {y − 4} ). Esta equação define (x ) como uma função de (y ). Denotando esta função como (f ^ {- 1} ), e escrevendo (x = f ^ {- 1} (y) = sqrt [3] {y − 4} ), vemos que para qualquer (x ) no domínio de (f, f ^ {- 1} ) (f (x)) = f ^ {- 1} (x ^ 3 + 4) = x ). Assim, esta nova função, (f ^ {- 1} ), “desfez” o que a função original (f ) fez. Uma função com essa propriedade é chamada de função inversa da função original.

Definição: Funções Inversas

Dada uma função (f ) com domínio (D ) e intervalo (R ), seu função inversa (se existir) é a função (f ^ {- 1} ) com domínio (R ) e intervalo (D ) tal que (f ^ {- 1} (y) = x ) se (f (x) = y ). Em outras palavras, para uma função (f ) e seu inverso (f ^ {- 1} ),

[f ^ {- 1} (f (x)) = x ]

para todos os (x ) em (D ) e

[f (f ^ {- 1} (y)) = y ]

para todos os (y ) em (R ).

Observe que (f ^ {- 1} ) é lido como “ (f ) inverso”. Aqui, o (- 1 ) não é usado como um expoente, então

[f ^ {- 1} (x) ≠ dfrac {1} {f (x)}. ]

A Figura ( PageIndex {1} ) mostra a relação entre o domínio e intervalo de (f ) e o domínio e intervalo de (f ^ {- 1} ).

Lembre-se de que uma função tem exatamente uma saída para cada entrada. Portanto, para definir uma função inversa, precisamos mapear cada entrada para exatamente uma saída. Por exemplo, vamos tentar encontrar a função inversa para (f (x) = x ^ 2 ). Resolvendo a equação (y = x ^ 2 ) para (x ), chegamos à equação (x = ± sqrt {y} ). Esta equação não descreve (x ) como uma função de (y ) porque existem duas soluções para esta equação para cada (y> 0 ). O problema de tentar encontrar uma função inversa para (f (x) = x ^ 2 ) é que duas entradas são enviadas para a mesma saída para cada saída (y> 0 ). A função (f (x) = x ^ 3 + 4 ) discutida anteriormente não teve esse problema. Para essa função, cada entrada foi enviada para uma saída diferente. Uma função que envia cada entrada para uma saída diferente é chamada de função um para um.

Definição: Funções Um-para-Um

Dizemos que a (f ) é uma função um-para-um se (f (x_1) ≠ f (x_2) ) quando (x_1 ≠ x_2 ).

Uma maneira de determinar se uma função é um-para-um é olhando seu gráfico. Se uma função for um-para-um, duas entradas não podem ser enviadas para a mesma saída. Portanto, se desenharmos uma linha horizontal em qualquer lugar no plano (xy ), de acordo com o teste de linha horizontal, ele não pode cruzar o gráfico mais de uma vez. Notamos que o teste da linha horizontal é diferente do teste da linha vertical. O teste de linha vertical determina se um gráfico é o gráfico de uma função. O teste da linha horizontal determina se uma função é um-para-um ( ( PageIndex {2} )).

Teste de Linha Horizontal

Uma função (f ) é um-para-um se e somente se cada linha horizontal intercepta o gráfico de (f ) não mais de uma vez.

Exemplo ( PageIndex {1} ): Determinando se uma função é individual

Para cada uma das funções a seguir, use o teste de linha horizontal para determinar se é um para um.

a)

b)

Solução

a) Uma vez que a linha horizontal (y = n ) para qualquer inteiro (n≥0 ) cruza o gráfico mais de uma vez, esta função não é injetora.

b) Uma vez que cada linha horizontal cruza o gráfico uma vez (no máximo), esta função é um-para-um.

Exercício ( PageIndex {1} )

A função (f ) está representada graficamente na imagem a seguir?

Solução

Use o teste da linha horizontal.

Responder

Não

Encontrando o Inverso de uma Função

Podemos agora considerar funções um-para-um e mostrar como encontrar seus inversos. Lembre-se de que uma função mapeia elementos no domínio de (f ) para elementos no intervalo de (f ). A função inversa mapeia cada elemento do intervalo de (f ) de volta ao seu elemento correspondente do domínio de (f ). Portanto, para encontrar a função inversa de uma função um-para-um (f ), dado qualquer (y ) no intervalo de (f ), precisamos determinar qual (x ) no domínio de (f ) satisfaz (f (x) = y ). Uma vez que (f ) é um-para-um, existe exatamente um tal valor (x ). Podemos encontrar esse valor (x ) resolvendo a equação (f (x) = y ) para (x ). Fazendo isso, podemos escrever (x ) como uma função de (y ) onde o domínio desta função é o intervalo de (f ) e o intervalo desta nova função é o domínio de ( f ). Conseqüentemente, esta função é o inverso de (f ), e escrevemos (x = f ^ {- 1} (y) ). Como normalmente usamos a variável (x ) para denotar a variável independente ey para denotar a variável dependente, frequentemente trocamos os papéis de (x ) e (y ) e escrevemos (y = f ^ {-1} (x) ). Representar a função inversa dessa forma também é útil posteriormente, quando representarmos graficamente uma função (f ) e sua inversa (f ^ {- 1} ) nos mesmos eixos.

Estratégia de resolução de problemas: Encontrando uma função inversa

  1. Resolva a equação (y = f (x) ) para (x ).
  2. Troque as variáveis ​​ (x ) e (y ) e escreva (y = f ^ {- 1} (x) ).

Exemplo ( PageIndex {2} ): Encontrando uma função inversa

Encontre o inverso para a função (f (x) = 3x − 4. ) Indique o domínio e o intervalo da função inversa. Verifique se (f ^ {- 1} (f (x)) = x. )

Solução

Siga as etapas descritas na estratégia.

Etapa 1. Se (y = 3x − 4, ) então (3x = y + 4 ) e (x = frac {1} {3} y + frac {4} {3}. )

Etapa 2. Reescreva como (y = frac {1} {3} x + frac {4} {3} ) e deixe (y = f ^ {- 1} (x) ). Portanto, ( f ^ {- 1} (x) = frac {1} {3} x + frac {4} {3} ).

Como o domínio de (f ) é ((- ∞, ∞) ), o intervalo de (f ^ {- 1} ) é ((- ∞, ∞) ). Uma vez que o intervalo de (f ) é ((- ∞, ∞) ), o domínio de (f ^ {- 1} ) é ((- ∞, ∞) ).

Você pode verificar se (f ^ {- 1} (f (x)) = x ) escrevendo

(f ^ {- 1} (f (x)) = f ^ {- 1} (3x − 4) = frac {1} {3} (3x − 4) + frac {4} {3} = x− frac {4} {3} + frac {4} {3} = x. )

Observe que para (f ^ {- 1} (x) ) ser o inverso de (f (x) ), ambos (f ^ {- 1} (f (x)) = x ) e (f (f ^ {- 1} (x)) = x ) para todos (x ) no domínio da função interna.

Exercício ( PageIndex {2} )

Encontre o inverso da função (f (x) = 3x / (x − 2) ). Indique o domínio e o intervalo da função inversa.

Dica

Use a estratégia de solução de problemas para encontrar funções inversas.

Responder

(f ^ {- 1} (x) = dfrac {2x} {x − 3} ). O domínio de (f ^ {- 1} ) é ( {x , | , x ≠ 3 } ). O intervalo de (f ^ {- 1} ) é ( {y , | , y ≠ 2 } ).

Representando Gráficos de Funções Inversas

Vamos considerar a relação entre o gráfico de uma função (f ) e o gráfico de sua inversa. Considere o gráfico de (f ) mostrado em ( PageIndex {3} ) e um ponto ((a, b) ) no gráfico. Como (b = f (a) ), então (f ^ {- 1} (b) = a ). Portanto, quando representamos o gráfico (f ^ {- 1} ), o ponto ((b, a) ) está no gráfico. Como resultado, o gráfico de (f ^ {- 1} ) é um reflexo do gráfico de (f ) sobre a reta (y = x ).

Exemplo ( PageIndex {3} ): Esboço de gráficos de funções inversas

Para o gráfico de (f ) na imagem a seguir, esboce um gráfico de (f ^ {- 1} ) esboçando a linha (y = x ) e usando simetria. Identifique o domínio e o intervalo de (f ^ {- 1} ).

Solução

Reflita o gráfico sobre a linha (y = x ). O domínio de (f ^ {- 1} ) é ([0, ∞) ). O intervalo de (f ^ {- 1} ) é ([- 2, ∞) ). Usando a estratégia anterior para encontrar funções inversas, podemos verificar que a função inversa é (f ^ {- 1} (x) = x ^ 2−2 ), como mostrado no gráfico.

Exercício ( PageIndex {3} )

Esboce o gráfico de (f (x) = 2x + 3 ) e o gráfico de seu inverso usando a propriedade de simetria das funções inversas.

Dica

Os gráficos são simétricos em relação à linha (y = x )

Responder

Restringindo Domínios

Como vimos, (f (x) = x ^ 2 ) não tem uma função inversa porque não é um-para-um. No entanto, podemos escolher um subconjunto do domínio de (f ) de forma que a função seja um-para-um. Este subconjunto é chamado de domínio restrito. Ao restringir o domínio de (f ), podemos definir uma nova função (g ) de modo que o domínio de (g ) seja o domínio restrito de (f ) e (g (x) = f (x) ) para todos (x ) no domínio de (g ). Então, podemos definir uma função inversa para (g ) nesse domínio. Por exemplo, uma vez que (f (x) = x ^ 2 ) é um-para-um no intervalo ([0, ∞) ), podemos definir uma nova função (g ) de modo que o domínio de (g ) é ([0, ∞) ) e (g (x) = x ^ 2 ) para todos (x ) em seu domínio. Como (g ) é uma função um-para-um, ela tem uma função inversa, dada pela fórmula (g ^ {- 1} (x) = sqrt {x} ). Por outro lado, a função (f (x) = x ^ 2 ) também é um-para-um no domínio ((- ∞, 0] ). Portanto, também poderíamos definir uma nova função (h ) de modo que o domínio de (h ) seja ((- ∞, 0] ) e (h (x) = x ^ 2 ) para todos (x ) no domínio de (h ). Então (h ) é uma função um-para-um e também deve ter um inverso. Seu inverso é dado pela fórmula (h ^ {- 1} (x) = - sqrt {x } ) (Figura ( PageIndex {4} )).

Exemplo ( PageIndex {4} ): Restringindo o Domínio

Considere a função (f (x) = (x + 1) ^ 2 ).

  1. Esboce o gráfico de (f ) e use o teste da linha horizontal para mostrar que (f ) não é um para um.
  2. Mostre que (f ) é um-para-um no domínio restrito ([- 1, ∞) ). Determine o domínio e o intervalo para o inverso de (f ) neste domínio restrito e encontre uma fórmula para (f ^ {- 1} ).

Solução

a) O gráfico de (f ) é o gráfico da unidade (y = x ^ 2 ) deslocada para a esquerda (1 ). Uma vez que existe uma linha horizontal cruzando o gráfico mais de uma vez, (f ) não é um para um.

b) No intervalo ([- 1, ∞), ; f ) é um para um.

O domínio e o intervalo de (f ^ {- 1} ) são dados pelo intervalo e o domínio de (f ), respectivamente. Portanto, o domínio de (f ^ {- 1} ) é ([0, ∞) ) e o intervalo de (f ^ {- 1} ) é ([- 1, ∞) ) . Para encontrar uma fórmula para (f ^ {- 1} ), resolva a equação (y = (x + 1) ^ 2 ) para (x. ) Se (y = (x + 1) ^ 2 ), então (x = −1 ± sqrt {y} ). Uma vez que estamos restringindo o domínio ao intervalo onde (x≥ − 1 ), precisamos de (± sqrt {y} ≥0 ). Portanto, (x = −1 + sqrt {y} ). Intercambiando (x ) e (y ), escrevemos (y = −1 + sqrt {x} ) e concluímos que (f ^ {- 1} (x) = - 1+ sqrt { x} ).

Exercício ( PageIndex {4} )

Considere (f (x) = 1 / x ^ 2 ) restrito ao domínio ((- ∞, 0) ). Verifique se (f ) é um para um neste domínio. Determine o domínio e o intervalo do inverso de (f ) e encontre uma fórmula para (f ^ {- 1} ).

Dica

O domínio e o intervalo de (f ^ {- 1} ) são dados pelo intervalo e o domínio de (f ), respectivamente. Para encontrar (f ^ {- 1} ), resolva (y = 1 / x ^ 2 ) para (x ).

Responder

O domínio de (f ^ {- 1} ) é ((0, ∞) ). O intervalo de (f ^ {- 1} ) é ((- ∞, 0) ). A função inversa é dada pela fórmula (f ^ {- 1} (x) = - 1 / sqrt {x} ).

Funções trigonométricas inversas

As seis funções trigonométricas básicas são periódicas e, portanto, não são uma a uma. No entanto, se restringirmos o domínio de uma função trigonométrica a um intervalo onde ela é um-para-um, podemos definir seu inverso. Considere a função seno. A função seno é um-para-um em um número infinito de intervalos, mas a convenção padrão é restringir o domínio ao intervalo ( left [- frac {π} {2}, frac {π} {2 }certo]). Fazendo isso, definimos a função seno inversa no domínio ([- 1,1] ) de modo que para qualquer (x ) no intervalo ([- 1,1] ), a função seno inversa nos diz qual ângulo (θ ) no intervalo ( left [- frac {π} {2}, frac {π} {2} right] ) satisfaz ( sin θ = x ) . Da mesma forma, podemos restringir os domínios das outras funções trigonométricas para definir funções trigonométricas inversas, que são funções que nos informam qual ângulo em um determinado intervalo tem um valor trigonométrico especificado.

Definição: funções trigonométricas inversas

A função inversa do seno, denotada ( sin ^ {- 1} ) ou ( arcsin ), e a função inversa do cosseno, denotada ( cos ^ {- 1} ) ou ( arccos ) , são definidos no domínio (D = {x | −1≤x≤1 } ) da seguinte forma:

( sin ^ {- 1} (x) = y )

  • se e somente se ( sin (y) = x ) e (- frac {π} {2} ≤y≤ frac {π} {2} );

( cos ^ {- 1} (x) = y )

  • se e somente se ( cos (y) = x ) e (0≤y≤π ).

A função tangente inversa, denotada ( tan ^ {- 1} ) ou ( arctan ), e a função cotangente inversa, denotada ( cot ^ {- 1} ) ou ( operatorname {arccot} ), são definidos no domínio (D = {x | −∞

( tan ^ {- 1} (x) = y )

  • se e somente se ( tan (y) = x ) e (- frac {π} {2}

( cot ^ {- 1} (x) = y )

  • se e somente se ( cot (y) = x ) e (0

A função cossecante inversa, denotada ( csc ^ {- 1} ) ou ( operatorname {arccsc} ), e a função secante inversa, denotada ( sec ^ {- 1} ) ou ( operatorname {arcsec} ), são definidos no domínio (D = {x , | , | x | ≥1 } ) da seguinte forma:

( csc ^ {- 1} (x) = y )

  • se e somente se ( csc (y) = x ) e (- frac {π} {2} ≤y≤ frac {π} {2}, , y ≠ 0 );

( sec ^ {- 1} (x) = y )

  • se e somente se ( sec (y) = x ) e (0≤y≤π, , y ≠ π / 2 ).

Para representar graficamente as funções trigonométricas inversas, usamos os gráficos das funções trigonométricas restritas aos domínios definidos anteriormente e refletimos os gráficos sobre a reta (y = x ) (Figura ( PageIndex {5} )).

Ao avaliar uma função trigonométrica inversa, a saída é um ângulo. Por exemplo, para avaliar ( cos ^ {- 1} left ( frac {1} {2} right) ), precisamos encontrar um ângulo (θ ) tal que ( cos θ = frac {1} {2} ). Claramente, muitos ângulos têm essa propriedade. Porém, dada a definição de ( cos ^ {- 1} ), precisamos do ângulo (θ ) que não apenas resolve esta equação, mas também se encontra no intervalo ([0, π] ). Concluímos que ( cos ^ {- 1} left ( frac {1} {2} right) = frac {π} {3} ).

Agora consideramos a composição de uma função trigonométrica e sua inversa. Por exemplo, considere as duas expressões ( sin left ( sin ^ {- 1} left ( frac { sqrt {2}} {2} right) right) ) e ( sin ^ {−1} ( sin (π)). )

Para o primeiro, simplificamos da seguinte forma:

[ sin left ( sin ^ {- 1} left ( frac { sqrt {2}} {2} right) right) = sin left ( frac {π} {4} direita) = frac { sqrt {2}} {2}. nonumber ]

Para o segundo, temos

[ sin ^ {- 1} ( sin (π)) = sin ^ {- 1} (0) = 0. nonumber ]

A função inversa deve “desfazer” a função original, então por que não é ( sin ^ {- 1} ( sin (π)) = π? ) Recordando nossa definição de funções inversas, uma função ( f ) e seu inverso (f ^ {- 1} ) satisfazem as condições (f (f ^ {- 1} (y)) = y ) para todos (y ) no domínio de ( f ^ {- 1} ) e (f ^ {- 1} (f (x)) = x ) para todos (x ) no domínio de (f ), então o que aconteceu aqui? O problema é que a função seno inversa, ( sin ^ {- 1} ), é a inversa da função seno restrita definida no domínio ( left [- frac {π} {2}, frac {π} {2} right] ). Portanto, para (x ) no intervalo ([- frac {π} {2}, frac {π} {2}] ), é verdade que ( sin ^ {- 1} ( sin x) = x ). No entanto, para valores de (x ) fora desse intervalo, a equação não é válida, embora ( sin ^ {- 1} ( sin x) ) seja definido para todos os números reais (x ).

E quanto a ( sin ( sin ^ {- 1} y)? ) Isso tem um problema semelhante? A resposta é não.Como o domínio de ( sin ^ {- 1} ) é o intervalo ([- 1,1] ), concluímos que ( sin left ( sin ^ {- 1} y right) = y ) se (- 1≤y≤1 ) e a expressão não for definida para outros valores de (y ). Para resumir,

( sin ( sin ^ {- 1} y) = y ) se (- 1≤y≤1 )

e

( sin ^ {- 1} ( sin x) = x ) se (- frac {π} {2} ≤x≤ frac {π} {2}. )

Da mesma forma, para a função cosseno,

( cos ( cos ^ {- 1} y) = y ) se (- 1≤y≤1 )

e

( cos ^ {- 1} ( cos x) = x ) se (0≤x≤π. )

Propriedades semelhantes são válidas para os outros f trigonométricosunções e seus inversos.

Exemplo ( PageIndex {5} ): Avaliação de expressões envolvendo funções trigonométricas inversas

Avalie cada uma das seguintes expressões.

  1. ( sin ^ {- 1} left (- frac { sqrt {3}} {2} right) )
  2. ( tan left ( tan ^ {- 1} left (- frac {1} { sqrt {3}} right) right) )
  3. ( cos ^ {- 1} left ( cos left ( frac {5π} {4} right) right) )
  4. ( sin ^ {- 1} left ( cos left ( frac {2π} {3} right) right) )

Solução

  1. Avaliar ( sin ^ {- 1} (- sqrt {3} / 2) ) é equivalente a encontrar o ângulo (θ ) tal que ( sin θ = - sqrt {3} / 2 ) e (- π / 2≤θ≤π / 2 ). O ângulo (θ = −π / 3 ) satisfaz essas duas condições. Portanto, ( sin ^ {- 1} (- sqrt {3} / 2) = - π / 3 ).
  2. Primeiro, usamos o fato de que ( tan ^ {- 1} (- 1 / 3√) = - π / 6. ) Então ( tan (π / 6) = - 1 / sqrt {3} ) Portanto, ( tan ( tan ^ {- 1} (- 1 / sqrt {3})) = - 1 / sqrt {3} ).
  3. Para avaliar ( cos ^ {- 1} ( cos (5π / 4)) ), primeiro use o fato de que ( cos (5π / 4) = - sqrt {2} / 2 ). Então, precisamos encontrar o ângulo (θ ) tal que ( cos (θ) = - sqrt {2} / 2 ) e (0≤θ≤π ). Como (3π / 4 ) satisfaz essas duas condições, temos ( cos ( cos ^ {- 1} (5π / 4)) = cos ( cos ^ {- 1} (- sqrt {2 } √2)) = 3π / 4 ).
  4. Como ( cos (2π / 3) = - 1/2 ), precisamos avaliar ( sin ^ {- 1} (- 1/2) ). Ou seja, precisamos encontrar o ângulo (θ ) tal que ( sin (θ) = - 1/2 ) e (- π / 2≤θ≤π / 2 ). Como (- π / 6 ) satisfaz essas duas condições, podemos concluir que ( sin ^ {- 1} ( cos (2π / 3)) = sin ^ {- 1} (- 1/2) = −π / 6. )

O valor máximo de uma função

Em muitas áreas da ciência, engenharia e matemática, é útil saber o valor máximo que uma função pode obter, mesmo que não saibamos seu valor exato em um determinado instante. Por exemplo, se temos uma função que descreve a resistência de uma viga de telhado, gostaríamos de saber o peso máximo que a viga pode suportar sem quebrar. Se temos uma função que descreve a velocidade de um trem, gostaríamos de saber sua velocidade máxima antes que ele pule dos trilhos. O design seguro geralmente depende do conhecimento dos valores máximos.

Este projeto descreve um exemplo simples de uma função com um valor máximo que depende de dois coeficientes de equação. Veremos que os valores máximos podem depender de vários fatores além da variável independente (x ).

1. Considere o gráfico na Figura ( PageIndex {6} ) da função (y = sin x + cos x. ) Descreva sua forma geral. É periódico? Como você sabe?

Usando uma calculadora gráfica ou outro dispositivo gráfico, estime os valores (x ) - e (y ) - do ponto máximo do gráfico (o primeiro desses pontos é (x> 0 )). Pode ser útil expressar o valor (x ) - como um múltiplo de (π. )

2. Agora considere outros gráficos da forma (y = A sin x + B cos x ) para vários valores de (A ) e (B. ) Esboce o gráfico quando (A = 2 ) e (B = 1, ) e encontre os valores (x ) - e (y ) - para o ponto máximo. (Lembre-se de expressar o valor (x ) como um múltiplo de (π ), se possível.) Ele mudou?

3. Repita para (A = 1, , B = 2. ) Existe alguma relação com o que você encontrou na parte (2)?

4. Preencha a tabela a seguir, adicionando algumas opções de sua preferência para (A ) e (B: )

(UMA) (B ) (x ) (y )(UMA) (B ) (x ) (y )
0134
1043
11 ( sqrt {3} )1
121 ( sqrt {3} )
21125
22512

5. Tente descobrir a fórmula para os valores (y ).

6. A fórmula para os valores (x ) - é um pouco mais difícil. Os pontos mais úteis da tabela são ((1,1), , (1, sqrt {3}), , ( sqrt {3}, 1). ) (Dica: considere funções trigonométricas inversas. )

7. Se você encontrou fórmulas para as partes (5) e (6), mostre que elas funcionam juntas. Ou seja, substitua a fórmula de valor (x ) que você encontrou em (y = A sin x + B cos x ) e simplifique-a para chegar à fórmula de valor (y ) que você encontrou.

Conceitos chave

  • Para que uma função tenha um inverso, ela deve ser um para um. Dado o gráfico de uma função, podemos determinar se a função é um-para-um usando o teste da linha horizontal.
  • Se uma função não for um-para-um, podemos restringir o domínio a um domínio menor onde a função é um-para-um e então definir o inverso da função no domínio menor.
  • Para uma função (f ) e seu inverso (f ^ {- 1}, , f (f ^ {- 1} (x)) = x ) para todos (x ) no domínio de (f ^ {- 1} ) e (f ^ {- 1} (f (x)) = x ) para todos (x ) no domínio de (f ).
  • Como as funções trigonométricas são periódicas, precisamos restringir seus domínios para definir as funções trigonométricas inversas.
  • O gráfico de uma função (f ) e seu inverso (f ^ {- 1} ) são simétricos em relação à reta (y = x. )

Equações-chave

  • Função inversa

(f ^ {- 1} (f (x)) = x ) para todos (x ) em (D, ) e (f (f ^ {- 1} (y)) = y ) para todos os (y ) em (R ).

Glossário

teste de linha horizontal
uma função (f ) é um-para-um se e somente se cada linha horizontal intercepta o gráfico de (f ), no máximo, uma vez
função inversa
para uma função (f ), a função inversa (f ^ {- 1} ) satisfaz (f ^ {- 1} (y) = x ) se (f (x) = y )
funções trigonométricas inversas
os inversos das funções trigonométricas são definidos em domínios restritos onde são funções um-para-um
função um para um
uma função (f ) é um-para-um se (f (x_1) ≠ f (x_2) ) se (x_1 ≠ x_2 )
domínio restrito
um subconjunto do domínio de uma função (f )

Álgebra II: Funções Inversas

A questão é perguntar sobre a função inversa. Para encontrar o inverso, primeiro troque a entrada e a saída - o que geralmente é mais fácil se você usar a notação em vez de. Então, resolva para.

Para resolver, primeiro temos que tirá-lo do denominador. Fazemos isso multiplicando ambos os lados por.

Obtenha todos os termos do mesmo lado da equação:

Esta é a nossa função inversa!

Pergunta de exemplo nº 1: funções inversas

Qual é o inverso da seguinte função?

Digamos que a função pegue a entrada e produza a saída. Em termos matemáticos:

Portanto, a função inversa precisa pegar a entrada e produzir a saída:

Portanto, para responder a essa pergunta, precisamos inverter as entradas e saídas para. Fazemos isso substituindo por (ou uma variável fictícia que usei) e por. Então resolvemos para obter nossa função inversa:

Agora resolvemos subtraindo de ambos os lados, obtendo a raiz cúbica e, em seguida, adicionando:

Pergunta de exemplo nº 1: funções inversas

A questão é essencialmente perguntar o seguinte: pegue, diga que é igual, então pegue, então o que quer que seja igual, digamos, pegue. Então, começamos com o que sabemos disso, então, se invertermos isso, sabemos. Agora temos que tomar, mas sabemos que é. Agora temos que pegar, mas não temos isso em nossa mesa que temos, e se virarmos o jogo, obtemos, que é a nossa resposta.

Pergunta de exemplo nº 1: funções inversas

Nossa pergunta é: "O que é do inverso?" Primeiro encontramos o inverso de. Olhando para a pergunta, vemos que, se invertermos, nós entendemos. Agora precisamos descobrir o que é fácil, pois é fornecido diretamente:. Agora precisamos encontrar. Novamente, isso não é dado, mas o que é dado é, então, e essa é a nossa resposta.

Exemplo de pergunta # 5: funções inversas

Sobre qual linha você inverte uma função ao encontrar seu inverso?

Você não inverte uma função sobre uma linha ao encontrar seu inverso.

Para encontrar o inverso de uma função, você precisa alterar todos os valores para valores e todos os valores para valores. Se você inverter uma função sobre a linha, estará alterando todos os valores em valores e todos os valores em valores, obtendo o inverso de sua função.

Exemplo de pergunta # 6: funções inversas

Encontre o inverso desta função:

Para encontrar o inverso de uma função, precisamos mudar todas as entradas (variáveis) para todas as saídas (variáveis ​​ou variáveis), então se apenas mudarmos todas as variáveis ​​para variáveis ​​e todas as variáveis ​​para variáveis ​​e resolvermos, então seja nossa função inversa.

se transforma no seguinte uma vez que as variáveis ​​são trocadas:

a primeira coisa que fazemos é subtrair de cada lado, então pegamos o logaritmo natural de cada lado. Isso nos dá

Em seguida, apenas adicionamos três a cada lado e obtemos a raiz quadrada de cada lado, certificando-nos de que temos as raízes positivas e negativas.

Esta é a função inversa da função que nos foi fornecida.

Exemplo de pergunta # 7: funções inversas

Encontre o inverso da seguinte função.

Para encontrar a função inversa, devemos trocar e então resolver para.

Finalmente, precisamos dividir cada lado por 4.

Isso nos dá nossa função inversa:

Exemplo de pergunta # 8: funções inversas

Para criar o inverso, troque xey fazendo a solução x = 3y + 3.

y deve ser isolado para resolver o problema.

Exemplo de pergunta # 9: Funções inversas

Qual das seguintes funções representa o inverso de

Intercambiando com obtemos:

Exemplo de pergunta # 2: funções inversas

Troque as variáveis ​​e e resolva.

Todos os recursos do Álgebra II

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Funções e seus inversos

Observe que se $ f $ não fosse $ 1-1, $ então $ f ^ <-1> $ mapearia $ y $ de volta para dois $ x

SOLUÇÃO: Encontre o inverso da função um-para-um. f (x) = 3x + 1/4

O método mostrado pelo outro tutor é bom: troque o xey na função dada e resolva para o novo y. Esse método geralmente é necessário para funções complicadas.

Para funções relativamente simples como essa, há uma maneira muito mais fácil de encontrar o inverso, usando a ideia de que a função inversa "leva você de volta ao ponto inicial", "desfazendo" o que a função faz.

O que a função fornecida faz com a entrada?
(1) multiplique por 3 e
(2) adicionar 1/4

A função inversa deve desfazer essas operações, usando as operações inversas na ordem oposta.

Função inversa:
(1) subtraia 1/4 e
(2) dividir por 3

RESPOSTA: A função inversa é


Altere o formato se desejado ou necessário.

As palavras de explicação fazem com que isso pareça um longo processo. Mas aqui está tudo o que está realmente envolvido:

função dada: multiplique por 3 adicione 1/4
função inversa: subtrair 1/4 e dividir por 3


1.4: Funções Inversas

Funções inversas: definição de & quotInverse & quot /
Desenhando o Inverso de um Gráfico
(página 1 de 7)

A cobertura de seu livro sobre as funções inversas provavelmente veio em duas partes. A primeira parte tinha muitas chaves e listas de pontos e a segunda parte tinha muitos & quot y= & quot ou & quot f(x) = & quot funções para as quais você deve encontrar os inversos, se possível. A primeira parte aparecerá em sua lição de casa e talvez em um teste a segunda parte definitivamente aparecerá em seu teste, e você pode até mesmo usá-la em aulas posteriores.

O inverso de uma função tem todos os mesmos pontos da função original, exceto que o x 'areia y foram revertidos. Isso é o que eles estavam tentando explicar com seus conjuntos de pontos. Por exemplo, suponha que sua função seja composta por estes pontos: <(1, 0), ( 3, 5), (0, 4)>. Então o inverso é dado por este conjunto de pontos: <(0, 1), (5, 3), (4, 0)>. (Observe que a ordem dos pontos não importa, você pode reorganizar os pontos para que o x são & quotin order & quot, ou não. É a sua escolha.)

Depois de encontrar o inverso de uma função, a pergunta então se torna: & quot Este inverso também é uma função? & Quot Usando o conjunto de pontos de cima, a função acima representa o gráfico como este:

Você sabe que esta é uma função (e você pode verificar rapidamente usando o Teste da Linha Vertical): você não tem dois pontos diferentes que compartilham o mesmo x -valor. O gráfico inverso são os pontos azuis abaixo:

Uma vez que os pontos azuis (os pontos do inverso) não têm dois pontos compartilhando um x -valor, este inverso também é uma função.

Encontrar o inverso de um gráfico

Seu livro provavelmente continuou longamente sobre como o inverso é o reflexo da cota na linha y = x & quot. O que ele estava tentando dizer é que você poderia pegar sua função, traçar a linha y = x (que é a diagonal inferior esquerda para superior direita), coloque um espelho de dois lados nesta linha e você poderá & quotar & quotar o inverso refletido no espelho. Em termos práticos, esta propriedade & quotreflection & quot pode ajudá-lo a desenhar o inverso:

Desenhe os pontos e a linha de reflexão:

Refletir os pontos ao longo da linha:

Você pode ver nesta última imagem que existe uma relação gráfica definida entre os pontos da função e os pontos do inverso. Você pode usar esse relacionamento se receber um gráfico aleatório e for instruído a representar graficamente o inverso. Copyright Elizabeth Stapel 2000-2011 Todos os direitos reservados

Suponha que você receba este gráfico:

Observe que eu NÃO disse a você qual é a função!

Agora desenhe a linha de reflexão:

(Seria uma boa ideia usar uma régua para isso você vai querer ser limpo!).

Agora observe o gráfico e desenhe as diagonais de pontos conhecidos no gráfico até suas & quotreflecções & quot do outro lado da linha:

Observe que os pontos realmente NA linha y = x não se mova, isto é, onde a função cruza a diagonal, o inverso também cruzará.

Agora desenhe alguns pontos da trama:

Sem nunca saber qual era a função, você pode desenhar o inverso (a linha roxa).


Lição FUNÇÕES INVERSAS

Esta lição fornece uma breve visão geral das FUNÇÕES INVERSAS.

Se você não estiver familiarizado com as funções, consulte a lição sobre FUNÇÕES.

RESUMO DAS FUNÇÕES E NOTAÇÃO FUNCIONAL

Minha principal fonte de referência para esta lição vem do seguinte endereço da web: http://www.wtamu.edu/academic/anns/mps/math/mathlab/col_algebra/col_alg_tut32b_inverfun.htm. Se você quiser uma explicação completa com muitos exemplos e exercícios, vá até lá. Existem outros sites que também são muito bons. Para encontrá-los, basta ir ao google ou yahoo ou qualquer outro mecanismo de busca e procurar o assunto de interesse.

REVISÃO DE FUNÇÕES, RELAÇÕES E EQUAÇÕES

Segue-se uma breve revisão das funções, relações e equações.

Equações são um conjunto de regras que mapeiam valores de entrada para valores de saída.

Exemplos de equações seriam:
y =
y =
y = x
etc.
Nestes exemplos, o valor de saída é representado pela letra y e o valor de entrada é representado pela letra x.

As relações mapeiam os valores de entrada para os valores de saída, onde pode haver mais de um valor de saída para um valor de entrada.

Um exemplo de relação seria:
y =

Esta é uma relação e não uma função porque cada valor de entrada pode resultar em mais de um valor de saída.
Exemplo:
x = 25, y = +/- 5

As funções mapeiam valores de entrada para valores de saída, onde só pode haver um valor de saída para cada valor de entrada.

Um exemplo de função seria:
y =

Esta é uma função porque cada valor x pode resultar em um e apenas um valor y.

Exemplo:
x = 5, y = 25
x = -5, y = 25

O valor de 25 pode ser o valor de saída para mais de um valor de entrada, mas cada valor de entrada terá apenas um valor de saída associado a ele. Quando x = 5, y = 25 é o único valor de y para ele. Quando x = -5, y = 25 é o único valor de y para ele também.

y = f (x) significa y é igual a uma função de x com o nome de f.
y = g (x) significa y é igual a uma função de x com o nome de g.
y = h (t) significa y é igual a uma função de t com o nome de h.
as funções feg estão trabalhando com a variável x.
a função h está trabalhando com a variável t.
x e t seriam chamados de argumentos de suas respectivas funções.

deixe g (x) =
deixe h (x) =
g (h (x)) significa a função g da função h de x.
o argumento da função h é x. que permanece o mesmo.
o argumento da função g é normalmente x, mas você o está substituindo pela função h (x). como a função h (x) =, então você está substituindo x por.
uma vez que g (x) =, então g (h (x)) = g ()) = =

você pode encadear funções compostas quantas vezes precisar.
a equação f (g (h (x))) significa a função f da função g da função h de x.
aqui está como isso funciona.
deixe f (x) =
deixe g (x) =
deixe h (x) =
g (h (x)) =
f (g (h (x)) = = =

As funções inversas são essencialmente o reverso das funções.
Eles desfazem o que as funções fazem.

Um exemplo disso seria:
y =
A função inversa é:
y =

deixe x = 3 na função original.
= = 27
seu par pedido seria (3,27)
o valor x é 3 e o valor y é 27

deixe x = 27 na função inversa.
= = 3
seu par pedido seria (27,3)

A função inversa desfez o que a função original fez.
Onde o valor x de 3 na equação original foi para um valor y de 27, o valor x de 27 na equação inversa foi para um valor y de 3.

Esta é uma propriedade das funções inversas.
O par ordenado (x, y) na função original tem um correspondente (x, y) na equação inversa, onde o valor x na equação original se torna o valor y na equação inversa e vice-versa.
(a, b) = (b, a)
(3,27) = (27,3)
você pega o valor de 3 na função original e faz o cubo para obter 27. você pega o valor de 27 na equação inversa e tira a raiz cúbica dele para obter 3.

(a, b) é considerado um reflexo de (b, a) sobre a linha y = x, como você verá mais tarde.

Para serem chamadas de Funções Inversas, elas devem seguir as regras de funções, o que significa que só pode haver um valor de saída para cada valor de entrada.
Se esta regra for violada, a equação inversa existe, mas seria uma relação ao invés de uma função e você teria que dizer que uma função inversa não existe para a função original.

DEFINIÇÃO FORMAL DE FUNÇÕES INVERSAS

Se f (g (x)) = x e g (f (x)) = x, então g (x) = (x)

g (x) = (x) significa que g (x) é a função inversa de x.
você tem uma função de x que é chamada de f (x).
você tem uma função inversa de x que é chamada (x)

O domínio de f é igual ao intervalo de.
O intervalo de f é igual ao domínio de.

EXEMPLO DE APLICAÇÃO DA DEFINIÇÃO DE UMA FUNÇÃO INVERSA PARA DETERMINAR SE A FUNÇÃO INVERSA EXISTE.

Seja y = f (x) =
deixe y = g (x) =
O domínio de f (x) são todos os valores reais de x.
O intervalo de f (x) são todos os valores reais de y.

Primeiro testamos para ver se f (g (x)) = x
f (g (x)) = f () = = x
A primeira parte é boa.
Em seguida, testamos para ver se g (f (x)) = x
g (f (x)) = g () = = x
A segunda parte é boa.

Qual era o domínio de f (x) agora é o intervalo de (x)
Qual era o intervalo de f (x) agora é o domínio de (x)
Tenha em mente que g (x) agora pode ser chamado de (x) porque passa no teste que incluiu o seguinte:
1. Tem que ser uma função (apenas um valor de y para cada x)
2. f (g (x)) = g (f (x)) = x

A FUNÇÃO INVERSA É UM REFLEXO DA FUNÇÃO ORIGINAL SOBRE A LINHA Y = X

O que isto significa?
Se você desenhar uma linha perpendicular à linha y = x, verá que se a função cruzar essa linha perpendicular no ponto (a, b), a função inversa cruzará essa mesma linha perpendicular no ponto (b, a )
Você também verá que a distância do ponto (a, b) à linha y = x será a mesma que a distância do ponto (b, a) à mesma linha y = x.

A função e a função inversa são imagens espelhadas com a linha y = x atuando como o espelho.

Um exemplo simples mostrará que isso é verdade.
seja o ponto (3,27) um dos pontos no gráfico da equação y =.
seja o ponto (27,3) um dos pontos no gráfico da equação y =.
Queremos mostrar que (3,27) e (27,3) são reflexos sobre a reta y = x.

Uma reta perpendicular à reta y = x terá uma inclinação que é uma recíproca negativa da inclinação da reta y = x.
Como a inclinação da reta y = x é 1, então a inclinação da reta perpendicular seria -1.
Uma equação da reta perpendicular à reta y = x e passando pelos pontos (3,27) e (27,3) seria:
y = -x + 30

(3,27) está nesta linha porque 27 = -3 + 30 = 27.
(27,3) está nesta linha porque 3 = -27 + 30 = 3.

Para serem reflexos, eles devem estar na linha y = -x + 30 e ser equidistantes em direções opostas da linha y = x.

A linha y = -x + 30 intersecta a linha y = x no ponto (15,15).

A distância de (3,27) a (15,15) = = 16,9705.
A distância de (27,3) a (15,15) = = 16,9705.

Eles estão em lados opostos da linha e são equidistantes da linha, tornando-os reflexos um do outro.

O domínio de (x) é o mesmo que o intervalo de f (x) que é todos os valores reais de x.
O intervalo de (x) é o mesmo que o domínio de f (x) que são todos os valores reais de x.

Posso mostrar isso em um gráfico da seguinte maneira:

Você pode ver a linha y = x passando pela origem e subindo da esquerda para a direita.
Você pode ver a linha y = -x + 30 perpendicular à linha y = x e passando pelos pontos (3,27) e (27,3).
Se você olhar de x = 0 a x = 30, verá que o gráfico da equação y = é uma imagem espelhada do gráfico da equação y = sobre a reta y = x, com os pontos (3,27) e (27,3) sendo apenas um dos pontos do gráfico de suas respectivas equações.

Você pode ver o gráfico de y = quando x é menor que 0.
Se você não vir o gráfico de y = quando x é menor que 0, é porque há um problema com as rotinas de renderização do gráfico. Foi relatado e esperamos que seja corrigido em breve.
Se você vir o gráfico de y = quando x é menor que 0, o problema foi corrigido.

CRIANDO UMA FUNÇÃO INVERSA

As regras para criar uma função inversa são:
1. Pegue a função e resolva para o valor de entrada (x)
2. Inverta os valores de entrada e saída (x = y e y = x)
3. Verifique se você tem uma função e não um parente.

Alguns dirão que você deve fazer o seguinte:
1. Inverta os valores de entrada e saída (x = y e y = x)
2. Resolva o valor de saída (y)
3. Verifique se você tem uma função e não um parente.

Prefiro resolver para x e depois inverter x e y.
Outros preferem inverter xey e então resolver para y.
De qualquer maneira, você obterá a resposta correta se você fizer isso de maneira adequada.

A última etapa (verificação) pode ser realizada com antecedência, conforme será mostrado mais tarde nesta lição.

Uma parte importante disso é manter o controle do domínio e do intervalo porque eles serão invertidos, ou seja, o domínio da função se tornará o intervalo da função inversa e o intervalo da função se tornará o domínio da função inversa .

EXEMPLO DE CRIAÇÃO DE UMA FUNÇÃO INVERSA DE UMA FUNÇÃO

1. Pegue a função e resolva para o valor de entrada.
= y
tire a raiz quadrada de ambos os lados desta equação para obter:
x =

2. Inverta os valores de entrada e saída
Isso significa que você pega ox e torna-o um y, e você pega y e faz dele um x.
Sua fórmula se torna:
y =

3. Verifique se você tem uma função e não um parente.
Nesse caso, você tem uma relação em vez de uma função porque pode ter vários valores de y para cada valor de x.
x = 25, y pode ser + 5 ou y pode ser -5.

Este é um exemplo pobre devido à maneira especial como a equação é definida para torná-la uma função ao invés de uma relação, mas deixe esse slide por agora e suponha que esta interpretação está correta e que temos uma relação em vez de uma função . O erro na interpretação será explicado mais adiante, após a conclusão do motivo principal para permitir sua continuação. Esse motivo é para mostrar como os testes de linha vertical e horizontal informam se você tem uma relação ou uma função.

A relação inversa é útil?
Absolutamente.
Mas, .
Não é uma função.

Você teria que concluir que a função y = não tem uma função inversa se permitir que a equação inversa tenha um valor positivo ou negativo associado a ela. Se você permitir que ele tenha apenas um valor positivo associado a ele, será uma função conforme descrito mais adiante nesta lição.

TESTES GRÁFICOS PARA DETERMINAR SE UMA FUNÇÃO INVERSA É UMA FUNÇÃO OU UMA RELAÇÃO

DEPOIS de criar a equação inversa que pode ser uma relação ou uma função, você pode dar à sua função inversa o TESTE DA LINHA VERTICAL para ver se é uma função.

ANTES de criar a equação inversa que pode ser uma relação ou uma função, você pode dar à sua função original o TESTE DE LINHA HORIZONTAL para determinar se uma Função Inversa existe para essa função.

USE O TESTE GRÁFICO PARA VER SE A EQUAÇÃO INVERSA É UMA FUNÇÃO APÓS VOCÊ A CRIAR.

Você criou a equação inversa de y = e dá a ela o TESTE DA LINHA VERTICAL para ver se é uma função.

O teste de linha vertical é onde você verifica cada valor x no gráfico da equação para ver se mais de um valor y existe para o mesmo valor x.

O teste da linha vertical mostraria que a equação inversa de y = para a função original de y = é uma relação e não uma função porque a linha vertical passa pelo gráfico mais de uma vez em pelo menos uma ocasião.

Desconsidere o fato de que minha linha vertical não é exatamente vertical. Suponha que o que você está vendo seja uma linha vertical. Não fui capaz de representar exatamente a linha vertical. Este foi o mais perto que consegui chegar.

USE O TESTE GRÁFICO PARA VER SE EXISTE UMA FUNÇÃO INVERSA ANTES DE CRIAR A EQUAÇÃO PARA ELA.

Você pode verificar sua função original ANTES de criar a equação inversa para ver se existe uma Função Inversa para ela, aplicando o TESTE DE LINHA HORIZONTAL a ela.

O teste de linha horizontal é onde você verifica cada valor y no gráfico da equação para ver se existe mais de um valor x para o mesmo valor y.

Sua função original é y =
O teste da linha horizontal mostraria que uma função inversa para a função original não existiria porque a linha horizontal passa pelo gráfico dela mais de uma vez em pelo menos uma ocasião.

O TESTE DE LINHA HORIZONTAL é uma maneira rápida de ver se existe uma função inversa antes mesmo de criar a equação inversa.

DOMÍNIO E ALCANCE DE UMA FUNÇÃO E DA EQUAÇÃO INVERSA

Sem restrição no domínio da função y =, a função inversa NÃO existe.
Podemos restringir o domínio da função y = de tal forma que a função inversa EXISTE.

CRIANDO A EQUAÇÃO INVERSA PARA f (x) = COM UMA RESTRIÇÃO NO DOMÍNIO DA FUNÇÃO ORIGINAL PARA QUE O DOMÍNIO SEJA OS VALORES REAIS POSITIVOS DE X EM VEZ DE TODOS OS VALORES REAIS DE X

suponha que afirmamos que o domínio de x são todos os valores reais positivos de x. Valores negativos de x não seriam permitidos.

A função original é f (x) =
Domínio (x) = = todos os valores reais positivos de x porque especificamos o domínio como tal. Números negativos não são permitidos.
Intervalo (f (x)) = = todos os valores reais positivos de y porque a função não tem a capacidade de gerar valores negativos de y.

Quando criamos a equação inversa y =, tornamos x na equação inversa igual ao que era y na equação original e tornamos y na equação inversa igual ao que era x na equação original (eles são trocados).
Isso inverte o domínio e o intervalo da equação inversa.
O domínio da função original torna-se o intervalo da equação inversa ainda não provado ser uma função.
O intervalo da função original torna-se o domínio da equação inversa ainda não comprovada como uma função.

A equação inversa afirma que y =

O domínio da equação inversa são todos os valores reais positivos de x. Isso ocorre porque o intervalo da função original era todo valores reais positivos de y.

O intervalo da equação inversa é todos os valores reais positivos de y. Isso ocorre porque o domínio da função original era todo valores reais positivos de x.

A equação inversa agora é uma função porque não existe pelo menos um valor de x para o qual existe mais de um valor de y. Isso ocorre porque o intervalo de y agora só pode ser positivo. A raiz quadrada de um número ainda pode ser positiva ou negativa (sqrt (25) = +/- 5), mas apenas o número positivo é permitido. O negativo não é.

Um gráfico da função original seria:

Apenas os valores de x> = 0 são válidos neste gráfico porque o domínio é restrito a valores positivos de x.

Você pode ver no gráfico da equação original que existe uma Função Inversa porque o TESTE DA LINHA HORIZONTAL mostrará que a linha horizontal só cruzará o valor x no gráfico da equação uma vez para cada valor de y enquanto restringirmos o domínio da função original para x> = 0.

Um gráfico da equação inversa seria:

Você pode ver no gráfico da equação inversa que existe uma Função Inversa porque o TESTE DA LINHA VERTICAL mostrará que a linha vertical só cruzará o valor y no gráfico da equação uma vez para cada valor de x enquanto restringirmos o intervalo da equação inversa para y> = 0.

Lembre-se de que o domínio da função original é igual ao intervalo da equação inversa.
Lembre-se também de que o intervalo da função original é igual ao domínio da equação inversa.
A equação inversa é uma função se as regras de funções forem obedecidas.
Caso contrário, a equação inversa é uma relação.

O problema de interpretação declarado acima é que chamei a equação inversa de uma relação em vez de uma função.
A equação inversa era
Por convenção, é definido apenas para todos os valores positivos de y.
Ao chamá-lo de relação, eu estava violando essa convenção porque também estava permitindo valores negativos de y.

A violação foi autorizada a continuar porque me permitiu mostrar o gráfico de uma relação em vez de uma função.

Na verdade, pelas regras estritas das equações inversas, minha interpretação estava correta porque a função original de valores negativos e positivos permitidos de x no domínio que resultavam em valores negativos e positivos na faixa da equação inversa.

Para fins práticos, no entanto, você deve assumir o seguinte:

Se você receber uma função de e estiver resolvendo x, então x = +/- é uma resposta válida. raízes negativas e positivas se aplicam. Observe que você está resolvendo x aqui, e não y. Isso permite que a função continue a ser uma função porque você pode ter vários valores de x para cada y, mas ainda tem apenas um valor de y para cada x.

Se você receber uma função de e estiver resolvendo para y, então y = + é uma resposta válida. raiz positiva se aplica. raiz negativa não. Observe que você está resolvendo para y aqui, e não x. Para que esta função continue a ser uma função, apenas as raízes positivas são permitidas. Para obter as raízes negativas, sua equação precisaria ser


FUNÇÕES INVERSAS

H ERE É a definição de funções sendo inversas:

As funções f (x e g (x) são inversas uma da outra, significa:

f (g (x)) = x e g (f (x)) = x,

para todos os valores de x em seus respectivos domínios.

Por que isso significa isso? Porque o inverso de uma função reverte a ação dessa função. Se uma função g atua em um valor de x, produzindo g (x),

então, se f é o inverso, então f agindo em g (x) - f (g (x)) - retornará x.

Digamos, por exemplo, que começamos com 5 e o multiplicamos por 3.

Para desfazer isso e retornar a 5, devemos dividir por 3.

Multiplicação e divisão são inversas.

Na linguagem das funções, seja f a função que multiplica seu argumento por 3. Seja g a função que divide por 3.

A função f atua em 5, produzindo f (5). Como g é o inverso de f, então g agindo em f (5) trará 5 de volta.

Problema 1. Sejam f (x) e g (x) inversos. Então se

Para ver a resposta, passe o mouse sobre a área colorida.
Para cobrir a resposta novamente, clique em "Atualizar" ("Atualizar").

Pois, f agindo em 0, produz 8. Portanto, como g é o inverso, então, quando atua em 8, ele trará 0 de volta.

Exemplo 1. Adição e subtração são inversas. Subtrair um número específico inverte ou desfaz o resultado de sua adição.

Na linguagem das funções, vamos

f (x) = x + 2 e g (x) = x & menos 2.

f (x) adiciona 2 ao seu argumento. g (x) subtrai 2.

f (g (x)) = f (x e menos 2) = (x e menos 2) + 2 = x,

g (f (x)) = g (x + 2) = (x + 2) & menos 2 = x.

A definição está satisfeita. As funções f e g são inversas.

Problema 2. Seja f (x) = x 2 e g (x) = x & frac12. Mostre que eles são inversos um do outro. (O domínio de f deve ser restrito a x 0.)

Para mostrar que eles são inversos, devemos mostrar que eles satisfazem a definição de inversos.

f (g (x)) = f (x & frac12) = (x & frac12) 2 = x,

g (f (x)) = g (x 2) = (x 2) & frac12 = x.

então x + 3 é o argumento da função

f é aquela função que obtém a 4ª potência de seu argumento.

Seu inverso, g (x), terá a 4ª raiz.

Solução Para fazer isso, devemos liberar ou extrair o argumento x + 3. A próxima linha a escrever é

Para extrair o argumento de qualquer função, simplesmente pegue seu inverso. Neste exemplo, pegamos a 4ª raiz de ambos os lados da equação. Podemos escrever imediatamente

O inverso de obter a 5ª raiz é obter a 5ª potência. Portanto, ao tomar a 5ª potência de ambos os lados - e assim libertar o argumento:

O inverso de qualquer função deve ser limpo imediatamente. O inverso de x + 2 é x & menos 2. (Exemplo 1) O inverso de x 2 é x & frac12. (Problema 2.) No Tópico 21, veremos que o inverso de uma função logarítmica, y = log b x, é a função exponencial y = b x. E no Tópico 19 de Trigonometria, vemos que o inverso de y = sin x é y = arcsin x.

Em cálculo, espera-se que o aluno conheça esses inversos.

Às vezes, vê-se que para "encontrar" o inverso de uma função, é necessário resolver para x e trocar as variáveis. Na verdade, esse é um método circular & mdash porque para aplicá-lo você já deve saber o inverso! Se y = x 2, então na troca de lados: x = y 2. Para resolver para y, você deve saber que o inverso do quadrado é a raiz quadrada.

Digamos que queremos escrever o inverso desta função:

Suponha que x = 5. Qual seria a seqüência de operações?

Primeiro multiplicaríamos por 3 e depois subtrairíamos 4. Encontraríamos 11. Portanto, para inverter isso e voltar a 5, adicionaríamos 4 e dividiríamos por 3.

Essa função é inversa. O aluno deve ver e entender isso.

Problema 4. a) Escreva o inverso de f (x) = & menos 5 x.

Dividir por & menos5 é o inverso da multiplicação por & menos5.

f (g (x)) = f (& menos x
5
) = & menos 5 & middot x
& menos 5
= x.

g (f (x)) = g (& menos 5 x) = & menos 5 x
& menos 5
= x.

f multiplica seu argumento por & menos5. g divide seu argumento por & menos5.

Problema 5. a) Seja f (x) = & menos & frac12 x + 1. Você pode escrever imediatamente seu inverso, g (x)?

Pois, f é a função que multiplica seu argumento por & minus & frac12 --equivalentemente, divide por & minus2 - e então adiciona 1. Seu inverso, portanto, primeiro subtrairá 1:

b) Prove que f (x) e g (x) são inversos.

f (g (x)) = & menos & frac12 (& menos 2 x + 2) + 1 = x & menos 1 + 1 = x.

g (f (x)) = & menos2 (& menos & frac12 x + 1) + 2 = x & menos 2 + 2 = x.

Problema 6. & nbsp Seja f (x) = 2 x + 3. Escreva seu inverso.

A função I (x) = x é chamada de função de identidade. Sempre retorna x.

Como uma notação para o inverso de uma função f, às vezes vemos f & minus1 ("f inverso"). "& menos1" não é um expoente. Essa notação é usada porque na linguagem de composição de funções, podemos escrever:

Isso é semelhante em forma à multiplicação de números, a & middot a & minus1 = 1.

Para as funções trigonométricas inversas, consulte o Tópico 19 de Trigonometria.

O gráfico de uma função inversa

O gráfico do inverso de uma função f (x) pode ser encontrado da seguinte forma:

Reflita o gráfico sobre o eixo x, em seguida, gire-o 90 ° no sentido anti-horário

(Se considerarmos que o gráfico da esquerda é o ramo direito de y = x 2, o gráfico da direita é seu inverso, y =.)

Para ver que esse é o gráfico do inverso, seja A qualquer ponto

o gráfico de f (x), sejam suas co-ordenadas (a, b), sejam uma distância d da origem C, e façam AC fazer um ângulo & teta com o triângulo do eixo x ABC em ângulo reto.

A figura à esquerda mostra o reflexo de A sobre o eixo x até o ponto D. A figura à direita mostra a rotação de D 90 ° no sentido anti-horário até o ponto C '.

Veremos que as coordenadas de C 'são (b, a) - e essas são coordenadas no gráfico do inverso de f (x) Pois se chamarmos esse inverso de g (x), então de acordo com a figura no deixou,

E g (b) - a figura à direita - nos leva de volta a:

A definição do inverso é satisfeita.

Para ver que as coordenadas de C 'são (b, a), considere que, uma vez que o ângulo C'A'D é 90 & deg, então C'A' faz um ângulo de 90 & deg & menos & theta com o eixo x. Ou seja, o ângulo C'A'B 'é o complemento do ângulo B'A'D, que é o ângulo e teta. Portanto, no triângulo retângulo A'B'C ', o ângulo em C' é igual a & theta.

Mas o ângulo em A é o complemento de & theta. Portanto, os triângulos ABC, A'B'C 'são congruentes (ângulo do lado do ângulo), e os lados iguais são opostos aos ângulos iguais:

A'B 'é igual a AB - que é b, a ordem y -co & oumlrdinate de f (x).

B'C 'é igual a BC - que é a, o x -co & oumlrdinate de f (x).

Portanto, quando cada ponto (a, b) em f (x) é transformado em (b, a), o gráfico resultante é o seu inverso.

Cada ponto (a, b) também será transformado em (b, a) quando (a, b) for refletido sobre a linha y = x.

Portanto, dizemos que os gráficos de uma função e seu inverso são simétricos em relação à reta y = x.

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1.4: Funções Inversas

Revisão das funções inversas

Antes de discutir a autoinversão, deixe-me revisar brevemente a ideia de função inversa. Pensamos em adição e subtração como opostos, bem como multiplicação e divisão e quadratura e raízes quadradas. A definição de função inversa é uma formalização dessa ideia. Considere as funções f (x) = x + 6 e g (x) = x - 6. Se você adicionar 6 a x e depois subtrair 6 ou se você subtrair e somar, você termina onde começou, com x. Ou seja, g (f (x)) = f (g (x)) = x. Dizemos que duas funções feg são inversas uma da outra se f (g (x)) = g (f (x)) = x. Dada uma função f (x), se ela tiver uma inversa, a inversa é designada como f -1 (x). Outros pares de funções inversas são f (x) = 6x e g (x) = x / 6 e f (x) = x 2 e g (x) = sqrt (x).

Dada uma equação como y = 6x, o inverso pode ser encontrado resolvendo para x em termos de y. Isso nos dá x = y / 6. Esta é apenas outra maneira de dizer que, se pegarmos 6x e dividirmos por 6, terminamos onde começamos, com x.

Dado um gráfico de uma função f (x), é fácil ver o gráfico de f -1 (x). Abaixo está o gráfico de f (x) = x 2 para x & gt 0.


Para qualquer par (x, y) no gráfico, como (3, 9), a função inversa, raiz quadrada de x, leva de 9 a 3 e, em geral, se (a, b) está no gráfico de f ( x), (b, a) está no gráfico de f -1 (x). Para ver os pontos (b, a), basta girar o gráfico 90 graus e virá-lo de modo que o gráfico da raiz quadrada de x seja:

Para que isso seja uma função, eliminei os valores dos valores x negativos da parábola.

Sabemos que para qualquer constante a, o inverso de x / a é ax. E quanto à função para a hipérbole fx (x) = a / x? Nesse caso, f (f (x)) = x. a / x é seu próprio inverso e, portanto, é uma função autoinversa. Usando a definição de simetria, a função f (x) = a / x é simétrica em relação à operação de inversão.

Abaixo está um gráfico da função 0,5 / x:

Se girarmos o gráfico da maneira como giramos o gráfico acima, acabamos com os mesmos pontos.

Aqui está outra maneira de visualizar a simetria.

Se girarmos o gráfico sobre a reta y = x mostrada no desenho, obteremos novamente os mesmos pontos. O gráfico é simétrico em relação à linha y = x. Isso será verdadeiro para qualquer função autoinversa. Sabemos que para um ponto (a, b) para f (x) o ponto (b, a) está no inverso f -1 (x). Como f (x) = f -1 (x) para funções autoinvestidas, para qualquer ponto (a, b) em f (x) o ponto (b, a) também deve estar em f (x). Na foto, dois desses pontos A e B foram escolhidos. O ponto médio de A e B é ((a + b) / 2, (a + b) / 2), que fica na linha y = x. A inclinação da linha através de A e B é -1. A inclinação da reta y = x é 1. O produto das inclinações é -1, o que significa que as duas retas são perpendiculares, de modo que a reta y = x é a bissetriz perpendicular do segmento AB e, conseqüentemente, girando em torno da reta y = x troca as posições de A e B.


Se olharmos para a equação y = 0,5 / x, a princípio não parece sugerir qualquer simetria. Você consegue pensar em uma maneira simples de escrever a equação para que a simetria seja revelada?

Se simplesmente multiplicarmos ambos os lados por x, obteremos xy = 0,5. A simetria agora está clara. Trocar xey dá a mesma equação. Uma vez que xey têm a mesma função na função, resolver x em termos de y terá a mesma forma que a função que expressa y em termos de x. Agora está claro que a função y = 10 - x é autoinversa, pois é o mesmo que x + y = 10. Usando essa propriedade, podemos facilmente gerar funções autoinversas. Por exemplo, podemos construir a função autoinversa xy = x + y. Isso diz que para um determinado valor de x, y é tal que multiplicá-lo por x é o mesmo que adicioná-lo a x. Se resolvermos para y, obteremos y = x / (x-1).

Exercício: Verifique se f (x) = x / (x - 1) é uma função autoinversa.

Solução: Substituindo x / (x - 1) por x em x / (x - 1), f (f (x)) = x / (x - 1) / (x / (x - 1) - 1).
Simplificando o denominador, x / (x - 1) - 1 = (x - (x - 1)) / (x - 1) = 1 / (x - 1), então temos x / (x - 1) / ( 11 / (x - 1)) = (x / (x - 1)) (x - 1) = x e, portanto, f (x) é autoinverso.


Exercício: Verifique se f (x) = x / (x - 1) satisfaz xf (x) = x + f (x)

Solução: xf (x) = x 2 / (x - 1).
x + f (x) = x + (x / (x - 1)) = (x (x - 1) + x) / (x - 1) = (x 2 - x + x) / (x - 1) = x 2 / (x - 1).

Dada a equação cos (x) = sin (90 - x), como podemos provar que
sin (x) = cos (90 - x)?

É fácil e não requer geometria ou trigonometria.
Observamos que t (x) = 90 - x é autoinverso.
Temos então cos (x) = sin (t (x)).
Segue-se então que cos (t (x)) = sin (t (t (x)) = sin (x), visto que t é autoinverso.
Isso é cos (90 - x) = sin (x), que é o que queríamos provar.

Outra maneira de olhar para as parábolas

Dada a função para a parábola y = f (x) = -x 2 + 10x +3, você sabe que ela tem um valor máximo que pode ser encontrado completando o quadrado ou, em cálculo, tomando a derivada. Se assumirmos que o valor extremo de uma parábola está no eixo, podemos usar o seguinte método de determinação do eixo de simetria para encontrar o valor máximo.

Escreva a função como y = x (10 - x) + 3. 10 - x é uma função de inversão automática. Por causa disso,
f (10 - x) = (10 - x) x + 3 = f (x). Para todo x, f (10 - x) = f (x)

Para qualquer valor x, podemos encontrar o outro valor, 10 - x, que tem o mesmo valor para f. Outra maneira de dizer isso é que para cada ponto (x, y) na parábola existe um ponto (10 - x, y). O ponto médio de (x, y) e (10 - x, y) é ((x + (10-x)) / 2, y) = (5, y). A linha x = 5 é uma linha de ymmetria para a parábola. O valor máximo é para x = 5. f (5) = 28, então o máximo ocorre em (5, 28).

O método também funciona se o coeficiente de x 2 for 1 em vez de -1. Por exemplo, considere f (x) = x 2 + 10x + 3. Sabemos que a parábola, neste caso, tem um valor mínimo. f (x) pode ser reescrito como f (x) = -x (-10 - x) +3. f (-10 - x) = f (x). O eixo da parábola é a linha x = -5.

Podemos generalizar o que fizemos com a parábola. Suponha que temos f (x) = arctan (x) + arctan (4 - x). Encontre a linha de simetria. Isso pode parecer assustador, mas é fácil de resolver fazendo o que fizemos para o paraboloa. Temos f (4 -x) = arctan (4-x) + arctan (4 - (4-x)) = arctam (4-x) + arctan (x) = f (x). f (4-x) = f (x). Assim como fizemos acima, podemos dizer que existe um eixo de simetria para a reta x = 2. Para qualquer função g (x), f (x) = g (x) + g (a -x) tem uma reta de simetria em x = a / 2. Isso será válido para f (x) = g (x) g (ax) ou qualquer outra função que pode ser escrita em termos de g (x) e g (ax) que é simétrica em g (x) e g (ax) .

Suponha que tenhamos uma função f (x) = g (a-x) + g (b + x). O que podemos fazer com isso? Vejamos f (x-b). Isso move a curva para a direita em be eliminará o valor de b. Temos f (x-b) = g (a- (x-b)) + g (b + (x-b)) = g ((a + b) -x) + g (x). Esta é a forma que desejamos. Haverá um eixo de simetria para f (x-b) em x = (a + b) / 2. Para chegar à nossa função original, movemos para a esquerda por b, o que moverá o eixo de simetria para a esquerda também. O eixo de simetria para f (x) é (a + b) / 2 - b = (a-b) / 2. Com base no que fizemos antes, ir na direção reversa sugere que f (a-b - x) = f (x). Deixo isso como um exercício para mostrar a partir da definição de f (x), esse é realmente o caso. Se eu tivesse sido mais astuto, teria notado imediatamente, sem ter que olhar primeiro para f (x-b).


Agora observe a equação y = x 2 / (x - 1). Há uma descontinuidade em x = 1, então a função se divide em duas partes para x & lt 1 e x & gt 1. Vamos olhar a parte para x & gt 1. Deve ficar claro que para x próximo a 1 e para grandes valores de x , a função vai para o infinito, então podemos supor que ela assume um valor mínimo entre eles.

Eu criei essa função pegando a função autoinversa x / (x - 1) acima e multiplicando-a por x. Ou seja, f (x) = x (x / (x-1)). Podemos usar esta construção como no caso da parábola para mostrar que f (x / (x - 1)) = (x / (x - 1)) x = f (x). Se assumirmos que a função para x & lt 1 assume um mínimo para apenas um valor de x, argumentando como no caso da parábola, no mínimo devemos ter x = x / (x - 1). Multiplicando ambos os lados por x - 1 obtemos x 2 - x = x, x 2 - 2x = 0, x (x - 2) = 0. Para x & gt 1, a única solução é x = 2, para o qual f (x ) = 4. Olhando para o gráfico da função, pode-se ver que estávamos corretos ao supor que a função assume um mínimo em apenas um lugar e que o mínimo realmente ocorre para x = 2. A outra solução para x ( x - 2) = 0, x = 0, é um máximo para a parte do gráfico em que x & lt 1.


Planilha 4: Funções Inversas

Introdução: Antecedentes: (Consulte o texto, Seção 1.6)
Nesta planilha, usaremos o Matlab para estudar as funções y = f (x) e seus inversos. Lembre-se de que uma função é um
relação que associa cada elemento em seu domínio com exatamente um elemento em seu intervalo. A maioria das relações em
a matemática é definida por equações. Algumas equações definem funções outras não.
Por exemplo, y = x ^ 2 define y como uma função de x porque x ^ 2 produz um valor único.
No entanto, o gráfico da equação x ^ 2 + y ^ 2 = 1 é um círculo de raio um com centro na origem.

Pois existem dois valores yAssim, um círculo não é o gráfico de uma função.

Os valores de x no domínio de uma função y = f (x) são os entrada e os valores de y no intervalo são os saída
valores. Portanto, uma função é uma relação que associa cada entrada a exatamente uma saída. Assim, o gráfico de um
função deve passar o chamado & quotteste de linha vertical& quot que é uma linha vertical pode cruzar o gráfico de uma função em
mais uma vez.

Uma função também pode ser considerada como um conjunto de pares ordenados de números (x, y), onde x é a entrada ey é o
saída correspondente. Quando representamos graficamente uma função, traçamos os valores (x, y) (ou alguns deles) e, em seguida, conectamos
os pontos.

O conceito de uma & quotfunção inversa & quot pode não ser novo para você porque você já conhece a relação inversa
entre registros e exponenciais,

Uma função g (x) é o inverso de uma função f (x) se
i) f (g (x)) = x para todo x no domínio de g, e
ii) g (f (x)) = x para todo x no domínio de f.

Se uma função y = f (x) tem um inverso, o inverso é denotado por y = f -1 (x).

Assim, f (f -1 (x)) = x para todo x no domínio de f -1 ef -1 (f (x)) = x para todo x no domínio de f (x).

Outra forma de afirmar a relação inversa é:

para x = a no domínio de f temos: b = f (a) se e somente se a = f -1 (b).

Portanto, se (a, b) é um ponto no gráfico de f, então (b, a) é um ponto no gráfico de f -1.

Em termos de comandos Matlab, se plot (x, y) produz o gráfico de f, então plot (y, x) (com algum cuidado) produz
o gráfico de f -1.

No Problema 1, você deve examinar a relação entre os gráficos de uma função e seu inverso.

Finalmente, pelo & quotcorrespondência inversa& quot de uma função f queremos dizer o conjunto de todos os pontos (y, x), onde o ponto
(x, y) está no gráfico de f. Dizemos que uma função f tem um inverso, desde que o & quotcorrespondência inversa& quot é
também uma função. No Problema 2, você deve identificar qual das várias funções tem uma função inversa.

Quando uma função tem um inverso? Funções um-para-um

Uma função f é chamada de função um-para-um (escrita 1 & # 87221) desde que não assuma o mesmo valor y duas vezes
isto é f (x1 ) & # 8800 f (x2 ) sempre que x1 & # 8800 x2.

Cada função f tem um valor de saída único, y = f (x), para cada valor de entrada x. Uma função um para um tem o
adicionada propriedade de que os valores de saída nunca são repetidos

Por exemplo, f (x) = x ^ 2 não é 1 & # 87221 no domínio [& # 87222,2]. Por exemplo, f (& # 87221) = f (1).

Apenas as funções 1 e # 87221 têm inversos.

Se uma função é ou não 1 & # 87221 pode depender do domínio selecionado para a função.

Você pode trazer sua planilha preenchida para o Empório ao fazer o teste. Portanto, é
recomendou que você:

& # 8226 Numere cada problema claramente e circule as respostas.
& # 8226 Use gráficos gerados por Matlab colados no documento. Certifique-se de incluir os comandos de entrada do Matlab que
você usou para criar a saída. Consulte a planilha 1 se precisar de ajuda para & quotcopiar & quot gráficos.
& # 8226 Responda a todas as perguntas completamente.

Exemplo: Neste exemplo, usaremos o Matlab para representar graficamente uma função f e sua correspondência inversa e, em seguida,
responda as seguintes perguntas para a função f (x) = x ^ 3 +1 no domínio 0 & # 8804 x & # 8804 2:

a) A correspondência inversa é uma função?
b) Qual é o intervalo de f?
c) Qual é o domínio de f -1? Qual é o intervalo de f -1?

Solução:
a) Para descobrir se a correspondência inversa é uma função, devemos representar graficamente f e verificar se é 1 & # 87221.

& gt & gt x = 0: 0,01: 2
& gt & gt y = x. ^ 3 + 1
gráfico & gt & gt (x, y), eixo ([- 1,3,0,10])

Este gráfico é claramente o gráfico da função a1 & # 87221 porque é um gráfico crescente sem valores y repetidos.
Quando um gráfico está sempre aumentando ou diminuindo, dizemos que ele é monotônico.

b) No gráfico, vemos que o intervalo de f é 1 & # 8804 y & # 8804 9.

c) Como f é 1 & # 87221, então a correspondência inversa também é uma função. (x, y) está no gráfico de f se e somente se
(y, x) está no gráfico de f -1, podemos, portanto, obter o gráfico de f -1 usando plot (y, x).

Também queremos a reta y = x no gráfico. Conseguimos isso usando o comando plot (z, z) onde z = 0: 9 para preencher o
Tela Matlab. Podemos combinar esses comandos em um comando.

& gt & gt x = 0: 0,01: 2
& gt & gt y = x. ^ 3 + 1
& gt & gt z = 0: 9
gráfico & gt & gt (x, y, y, x, z, z)
& gt & gt espera
& gt & gt title ('azul: f (x), verde: f ^ -1 (x), vermelho: y = x')
& gt & gt text (1,75,5, 'f (x)'), texto (4,1,75, 'f ^ -
1 (x) '), texto (5.8,5.8,' y = x ')
& gt & gt espera

No gráfico de f -1, vemos que o domínio de f -1 é 1 & # 8804 x & # 8804 9 e o intervalo é 0 & # 8804 y & # 8804 2.

(a) Em cada (i) - (iii), você recebe uma função y = f (x) e um domínio para f.
Em cada caso, represente graficamente f, f -1 e a linha y = x definindo as matrizes x e z fornecidas e, em seguida, a função y, seguida
pelo comando:

»Plot (x, y, y, x, z, z)
Pode ser útil adicionar os eixos xey ao gráfico.

À mão em sua impressão, identifique o gráfico de y = f (x) e o gráfico de y = f -1 (x).
Em seu gráfico, responda a cada uma das seguintes perguntas:
Qual é o alcance de f? Qual é o domínio de f -1? Qual é o intervalo de f -1?

(b) Com base em seus gráficos, que simetria existe entre o gráfico de uma função e sua inversa no plano xy?
(c) Qual é a relação entre o domínio e intervalo de uma função e o domínio e intervalo de seu
inverso?

(a) Use o Matlab para representar graficamente y = f (x) em seu domínio. (Não cole este gráfico em sua planilha ainda.)
Em seu gráfico, qual é o intervalo de f?
Usando sua resposta de (c) no problema 1, forneça o domínio e o intervalo de y = f -1 (x).

(b) Lembre-se de que, para um valor x no domínio de f, y = f (x) se e somente se x = f -1 (y). Ou, para dois números a e b,
b = f (a) se e somente de a = f -1 (b). Como você não tem uma fórmula para f -1, não pode encontrar f -1 (b) diretamente.
No entanto, você pode determinar o valor de f -1 (b) resolvendo f (x) = b para x.
Para a função f fornecida, use o fzero comando e formato curto comando para encontrar f -1 (b) para cada um dos
valores b = & # 87226, & # 8722 4, 0, 3, 5. Sua resposta final deve ser na forma de uma tabela, tendo sua primeira coluna como
valores para be segunda coluna os valores de f -1 (b) com precisão de 4 casas decimais.

Lembre-se do fzero comando tem a forma fzero ('função', x0) e identifica os pontos onde a função se cruza
o eixo x. Requer que a variável seja xe a função igual a zero. x0 é uma estimativa e deve estar perto de
a resposta. Portanto, a configuração deve ser a seguinte:

(c) Aplicar o comando eixo ([- 9,9, -9,9]) ao gráfico de y = f (x) obtido em (a)
cole o gráfico resultante em sua planilha e no mesmo gráfico esboço, à mão, um gráfico de y = f -1 (x) por
plotando os pontos obtidos em (b).

(a) Em cada um de (i) - (iv), você recebe uma função fe um array x. Represente graficamente f e sua correspondência inversa
usando o comando:

»Plot (x, y, y, x)
Em cada caso, indique se a correspondência inversa é uma função, aplicando o teste de linha vertical ao gráfico
da correspondência inversa.

(Lembre-se de & # 960 é pi no Matlab.)

(b) Em suas próprias palavras, descreva um teste (semelhante ao teste da linha vertical) que pode ser aplicado ao gráfico do
função original, y = f (x), para determinar se a correspondência inversa de f será uma função.


Perguntas Práticas de Funções Inversas

Uma função inversa (ou anti-função) é uma função que & # 8220 reverte & # 8221 outra função: se a função f aplicada a uma entrada x, e dá um resultado de y, então a função inversa g, aplicada a y, dá o resultado x, e vice-versa, ou seja, f (x) = y se e somente se g (y) = x

Revisão rápida e tutorial de funções inversas

Conceitos chave

Função & # 8211 Um conjunto de dados de modo que cada entrada (x) tenha EXATAMENTE UM saída (y)

Função inversa & # 8211 O resultado de TROCANDO a entrada (x) com a saída (y)

Um conjunto de dados deve ter exatamente uma saída para cada entrada, embora várias entradas possam ter a mesma saída.

Uma equação é escrita em notação de função substituindo & # 8220y & # 8221 por & # 8220f (x) & # 8221 (pronuncia-se & # 8220f de x & # 8221). A notação de função NÃO significa & # 8220f vezes x & # 8221! A equação é uma função se seu gráfico passar no Teste da Linha Vertical (VLT). O VLT afirma que se qualquer linha vertical puder ser desenhada e tocar o gráfico em mais de 1 ponto, o gráfico não é uma função.

Para determinar o inverso de uma função, simplesmente troque as variáveis ​​xey. É comumente aceito reescrever a equação inversa na forma de declive-interceptação. [Nota: Às vezes, uma equação original é uma função, mas seu inverso não é.] Uma função inversa NÃO está relacionada ao conceito de recíproca.

Ex. Determine o inverso da equação fornecida.

Solução:
Etapa 1 e # 8211 Troque as variáveis ​​xey.
(x) = 2 (y) +3

Etapa 2 e # 8211 Resolva para y.
2y = x-3
y = (1/2) x- (3/2)

função e seu inverso (se existir) são reflexos através da linha y = x.

Questões Práticas

1. Encontre a função inversa da função f (x) = 3x + 3.

2. Encontre a função inversa da função f (x) = (5x & # 8211 2) / 4.

3. Encontre f -1 (1/2) E se f (x) = 1 & # 8211 x.

4. Se f (x) = 5x e g (x) = 7 & # 8211 2x, encontrar (f & # 8211 g) -1 (0).


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