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4.8: Regra de L'Hôpital


objetivos de aprendizado

  • Reconheça quando aplicar a regra de L'Hôpital.
  • Identifique formas indeterminadas produzidas por quocientes, produtos, subtrações e poderes e aplique a regra de L'Hôpital em cada caso.
  • Descreva as taxas de crescimento relativo das funções.

Nesta seção, examinamos uma ferramenta poderosa para avaliar limites. Esta ferramenta, conhecida como Regra de L'Hôpital, usa derivados para calcular limites. Com esta regra, poderemos avaliar muitos limites que ainda não conseguimos determinar. Em vez de confiar em evidências numéricas para conjeturar que existe um limite, seremos capazes de mostrar definitivamente que existe um limite e determinar seu valor exato.

Aplicação da regra de L'Hôpital

A regra de L'Hôpital pode ser usada para avaliar limites envolvendo o quociente de duas funções. Considerar

[ lim_ {x → a} dfrac {f (x)} {g (x)}. ]

Se ( displaystyle lim_ {x → a} f (x) = L_1 ) e ( displaystyle lim_ {x → a} g (x) = L_2 ≠ 0, ) então

[ lim_ {x → a} dfrac {f (x)} {g (x)} = dfrac {L_1} {L_2}. ]

No entanto, o que acontece se ( displaystyle lim_ {x → a} f (x) = 0 ) e ( displaystyle lim_ {x → a} g (x) = 0 )? Chamamos este de um dos formas indeterminadas, do tipo ( dfrac {0} {0} ). Esta é considerada uma forma indeterminada porque não podemos determinar o comportamento exato de ( dfrac {f (x)} {g (x)} ) como (x → a ) sem análise posterior. Vimos exemplos disso no início do texto. Por exemplo, considere

[ lim_ {x → 2} dfrac {x ^ 2−4} {x − 2} não numérico ]

e

[ lim_ {x → 0} dfrac { sin x} {x}. nonumber ]

Para o primeiro desses exemplos, podemos avaliar o limite fatorando o numerador e escrevendo

[ lim_ {x → 2} dfrac {x ^ 2−4} {x − 2} = lim_ {x → 2} dfrac {(x + 2) (x − 2)} {x − 2} = lim_ {x → 2} (x + 2) = 2 + 2 = 4. enhum número]

Para ( displaystyle lim_ {x → 0} dfrac { sin x} {x} ) fomos capazes de mostrar, usando um argumento geométrico, que

[ lim_ {x → 0} dfrac { sin x} {x} = 1. enhum número]

Aqui, usamos uma técnica diferente para avaliar limites como esses. Essa técnica não apenas fornece uma maneira mais fácil de avaliar esses limites, mas também, e mais importante, nos fornece uma maneira de avaliar muitos outros limites que não podíamos calcular anteriormente.

A ideia por trás da regra de L'Hôpital pode ser explicada usando aproximações lineares locais. Considere duas funções diferenciáveis ​​ (f ) e (g ) tais que ( displaystyle lim_ {x → a} f (x) = 0 = lim_ {x → a} g (x) ) e tal que (g ′ (a) ≠ 0 ) Para (x ) próximo a (a ), podemos escrever

[f (x) ≈f (a) + f ′ (a) (x − a) ]

e

[g (x) ≈g (a) + g ′ (a) (x − a). ]

Portanto,

[ dfrac {f (x)} {g (x)} ≈ dfrac {f (a) + f ′ (a) (x − a)} {g (a) + g ′ (a) (x− uma)}.]

Uma vez que (f ) é diferenciável em (a ), então (f ) é contínuo em (a ) e, portanto, ( displaystyle f (a) = lim_ {x → a} f ( x) = 0 ). Da mesma forma, ( displaystyle g (a) = lim_ {x → a} g (x) = 0 ). Se também assumirmos que (f ′ ) e (g ′ ) são contínuos em (x = a ), então ( displaystyle f ′ (a) = lim_ {x → a} f ′ ( x) ) e ( displaystyle g ′ (a) = lim_ {x → a} g ′ (x) ). Usando essas idéias, concluímos que

[ lim_ {x → a} dfrac {f (x)} {g (x)} = lim_ {x → a} dfrac {f ′ (x) (x − a)} {g ′ (x ) (x − a)} = lim_ {x → a} dfrac {f ′ (x)} {g ′ (x)}. ]

Observe que a suposição de que (f ′ ) e (g ′ ) são contínuos em (a ) e (g ′ (a) ≠ 0 ) pode ser afrouxada. Declaramos a regra de L'Hôpital formalmente para a forma indeterminada ( dfrac {0} {0} ). Observe também que a notação ( dfrac {0} {0} ) não significa que estamos realmente dividindo zero por zero. Em vez disso, estamos usando a notação ( dfrac {0} {0} ) para representar um quociente de limites, cada um dos quais é zero.

Regra de L'Hôpital (caso 0/0)

Suponha que (f ) e (g ) sejam funções diferenciáveis ​​em um intervalo aberto contendo (a ), exceto possivelmente em (a ). Se ( displaystyle lim_ {x → a} f (x) = 0 ) e ( displaystyle lim_ {x → a} g (x) = 0, ) então

[ lim_ {x → a} dfrac {f (x)} {g (x)} = lim_ {x → a} dfrac {f ′ (x)} {g ′ (x)}, ]

assumindo que o limite da direita existe ou é (∞ ) ou (- ∞ ). Este resultado também é válido se estivermos considerando limites unilaterais, ou se (a = ∞ ) ou (a = −∞. )

Prova

Fornecemos uma prova desse teorema no caso especial em que (f, g, f ′, ) e (g ′ ) são todos contínuos em um intervalo aberto contendo a. Nesse caso, uma vez que ( lim_ {x → a} f (x) = 0 = lim_ {x → a} g (x) ) e (f ) e (g ) são contínuos em (a ), segue-se que (f (a) = 0 = g (a) ). Portanto,

[ begin {align *} lim_ {x → a} dfrac {f (x)} {g (x)} & = lim_ {x → a} dfrac {f (x) −f (a) } {g (x) −g (a)} & & text {Uma vez que} , f (a) = 0 = g (a) [4pt]
& = lim_ {x → a} dfrac { dfrac {f (x) −f (a)} {x − a}} { dfrac {g (x) −g (a)} {x − a} } & & text {Multiplique o numerador e o denominador por} , frac {1} {xa} [4pt]
& = frac { displaystyle lim_ {x → a} dfrac {f (x) −f (a)} {x − a}} { displaystyle lim_ {x → a} dfrac {g (x) −g (a)} {x − a}} & & text {O limite de um quociente é o quociente dos limites.} [4pt]
& = dfrac {f ′ (a)} {g ′ (a)} & & text {Pela definição da derivada} [4pt]
& = frac { displaystyle lim_ {x → a} f ′ (x)} { displaystyle lim_ {x → a} g ′ (x)} & & text {Pela continuidade de} , f ′ , text {e} , g ′ [4pt]
& = lim_ {x → a} dfrac {f ′ (x)} {g ′ (x)}. & & text {O limite de um quociente} end {align *} ]

Observe que a regra de L'Hôpital afirma que podemos calcular o limite de um quociente ( dfrac {f} {g} ) considerando o limite do quociente das derivadas ( dfrac {f ′} {g ′} ) É importante perceber que não estamos calculando a derivada do quociente ( dfrac {f} {g} ).

Exemplo ( PageIndex {1} ): Aplicando a regra de L'Hôpital (caso 0/0)

Avalie cada um dos seguintes limites aplicando a regra de L'Hôpital.

  1. ( displaystyle lim_ {x → 0} dfrac {1− cos x} {x} )
  2. ( displaystyle lim_ {x → 1} dfrac { sin (πx)} { ln x} )
  3. ( displaystyle lim_ {x → ∞} dfrac {e ^ {1 / x} −1} {1 / x} )
  4. ( displaystyle lim_ {x → 0} dfrac { sin x − x} {x ^ 2} )

Solução

a .. Como o numerador (1− cos x → 0 ) e o denominador (x → 0 ), podemos aplicar a regra de L'Hôpital para avaliar este limite. Nós temos

[ lim_ {x → 0} dfrac {1− cos x} {x} = lim_ {x → 0} dfrac { dfrac {d} {dx} big (1− cos x big )} { dfrac {d} {dx} big (x big)} = lim_ {x → 0} dfrac { sin x} {1} = frac { displaystyle lim_ {x → 0} sin x} { displaystyle lim_ {x → 0} 1} = dfrac {0} {1} = 0. enhum número]

b. Como (x → 1, ) o numerador ( sin (πx) → 0 ) e o denominador ( ln (x) → 0. ) Portanto, podemos aplicar a regra de L’Hôpital. Nós obtemos

[ begin {align *} lim_ {x → 1} dfrac { sin (πx)} { ln x} & = lim_ {x → 1} dfrac {π cos (πx)} {1 / x} [4pt] & = lim_ {x → 1} (πx) cos (πx) [4pt] & = (π⋅1) (- 1) = - π. end {align *} ]

c. Como (x → ∞ ), o numerador (e ^ {1 / x} −1 → 0 ) e o denominador ( frac {1} {x} → 0 ). Portanto, podemos aplicar a regra de L'Hôpital. Nós obtemos

[ lim_ {x → ∞} dfrac {e ^ {1 / x} −1} { dfrac {1} {x}} = lim_ {x → ∞} dfrac {e ^ {1 / x} ( tfrac {−1} {x ^ 2})} { left ( frac {−1} {x ^ 2} right)} = lim_ {x → ∞} e ^ {1 / x} = e ^ 0 = 1. enhum número]

d. Como (x → 0, ) tanto o numerador quanto o denominador se aproximam de zero. Nós obtemos

[ lim_ {x → 0} dfrac { sin x − x} {x ^ 2} = lim_ {x → 0} dfrac { cos x − 1} {2x}. nonumber ]

Uma vez que o numerador e o denominador deste novo quociente se aproximam de zero como (x → 0 ), aplicamos a regra de L'Hôpital novamente. Ao fazer isso, vemos que

[ lim_ {x → 0} dfrac { cos x − 1} {2x} = lim_ {x → 0} dfrac {- sin x} {2} = 0. enhum número]

Portanto, concluímos que

[ lim_ {x → 0} dfrac { sin x − x} {x ^ 2} = 0. enhum número]

Exercício ( PageIndex {1} )

Avalie [ lim_ {x → 0} dfrac {x} { tan x}. enhum número]

Dica

( dfrac {d} {dx} big ( tan x big) = sec ^ 2x )

Responder

(1)

Também podemos usar a regra de L'Hôpital para avaliar os limites dos quocientes ( dfrac {f (x)} {g (x)} ) em que (f (x) → ± ∞ ) e (g (x ) → ± ∞ ). Os limites desta forma são classificados como formas indeterminadas do tipo (∞ / ∞ ). Novamente, observe que não estamos realmente dividindo (∞ ) por (∞ ). Como (∞ ) não é um número real, isso é impossível; em vez disso, (∞ / ∞ ). é usado para representar um quociente de limites, cada um dos quais é (∞ ) ou (- ∞ ).

Regra de L'Hôpital (Caso (∞ / ∞ ))

Suponha que (f ) e (g ) sejam funções diferenciáveis ​​em um intervalo aberto contendo (a ), exceto possivelmente em (a ). Suponha que ( displaystyle lim_ {x → a} f (x) = ∞ ) (ou (- ∞ )) e ( displaystyle lim_ {x → a} g (x) = ∞ ) ( ou (- ∞ )). Então,

[ lim_ {x → a} dfrac {f (x)} {g (x)} = lim_ {x → a} dfrac {f ′ (x)} {g ′ (x)} ]

assumindo que o limite da direita existe ou é (∞ ) ou (- ∞ ). Este resultado também é válido se o limite for infinito, se (a = ∞ ) ou (- ∞ ), ou se o limite for unilateral.

Exemplo ( PageIndex {2} ): Aplicando a Regra de L'Hôpital ( (∞ / ∞ )) Caso

Avalie cada um dos seguintes limites aplicando a regra de L'Hôpital.

  1. ( displaystyle lim_ {x → infty} dfrac {3x + 5} {2x + 1} )
  2. ( displaystyle lim_ {x → 0 ^ +} dfrac { ln x} { cot x} )

Solução

uma. Como (3x + 5 ) e (2x + 1 ) são polinômios de primeiro grau com coeficientes iniciais positivos, ( displaystyle lim_ {x → ∞} (3x + 5) = ∞ ) e ( displaystyle lim_ {x → ∞} (2x + 1) = ∞ ). Portanto, aplicamos a regra de L'Hôpital e obtemos

[ lim_ {x → ∞} dfrac {3x + 5} {2x + 1} = lim_ {x → ∞} dfrac {3 + 5 / x} {2x + 1} = lim_ {x → ∞ } dfrac {3} {2} = dfrac {3} {2}. nonumber ]

Observe que este limite também pode ser calculado sem invocar a regra de L'Hôpital. No início do capítulo, mostramos como avaliar esse limite dividindo o numerador e o denominador pela maior potência de x no denominador. Ao fazer isso, vimos que

[ lim_ {x → ∞} dfrac {3x + 5} {2x + 1} = lim_ {x → ∞} dfrac {3 + 5 / x} {2x + 1} = dfrac {3} { 2} enhum número ]

A regra de L'Hôpital nos fornece um meio alternativo de avaliar este tipo de limite.

b. Aqui, ( displaystyle lim_ {x → 0 ^ +} ln x = −∞ ) e ( displaystyle lim_ {x → 0 ^ +} cot x = ∞ ). Portanto, podemos aplicar a regra de L'Hôpital e obter

[ lim_ {x → 0 ^ +} dfrac { ln x} { cot x} = lim_ {x → 0 ^ +} dfrac {1 / x} {- csc ^ 2x} = lim_ {x → 0 ^ +} dfrac {1} {- x csc ^ 2x}. enhum número ]

Agora como (x → 0 ^ +, csc ^ 2x → ∞ ). Portanto, o primeiro termo no denominador está se aproximando de zero e o segundo termo está ficando muito grande. Nesse caso, tudo pode acontecer com o produto. Portanto, não podemos fazer nenhuma conclusão ainda. Para avaliar o limite, usamos a definição de (cscx ) para escrever

[ lim_ {x → 0 ^ +} dfrac {1} {- x csc ^ 2x} = lim_ {x → 0 ^ +} dfrac { sin ^ 2x} {- x}. enhum número ]

Agora ( displaystyle lim_ {x → 0 ^ +} sin ^ 2x = 0 ) e ( displaystyle lim_ {x → 0 ^ +} x = 0 ), então aplicamos a regra de L'Hôpital novamente . Nós achamos

[ lim_ {x → 0 ^ +} dfrac { sin ^ 2x} {- x} = lim_ {x → 0 ^ +} dfrac {2 sin x cos x} {- 1} = dfrac {0} {- 1} = 0. enhum número ]

Concluimos que

[ lim_ {x → 0 ^ +} dfrac { ln x} { cot x} = 0. enhum número ]

Exercício ( PageIndex {2} )

Avalie [ lim_ {x → ∞} dfrac { ln x} {5x}. enhum número]

Dica

( dfrac {d} {dx} big ( ln x big) = dfrac {1} {x} )

Responder

(0)

Conforme mencionado, a regra de L'Hôpital é uma ferramenta extremamente útil para avaliar os limites. É importante lembrar, entretanto, que para aplicar a regra de L'Hôpital a um quociente f (x) g (x), é essencial que o limite de ( dfrac {f (x)} {g (x)} ) ser da forma ( dfrac {0} {0} ) ou (∞ / ∞ ). Considere o seguinte exemplo.

Exemplo ( PageIndex {3} ): Quando a regra de L'Hôpital não se aplica

Considere ( displaystyle lim_ {x → 1} dfrac {x ^ 2 + 5} {3x + 4}. )

Mostre que o limite não pode ser avaliado pela aplicação da regra de L'Hôpital.

Solução

Como os limites do numerador e do denominador não são zero e também não são infinitos, não podemos aplicar a regra de L'Hôpital. Se tentarmos fazer isso, conseguiremos

[ dfrac {d} {dx} (x ^ 2 + 5) = 2x não numérico ]

e

[ dfrac {d} {dx} (3x + 4) = 3. enhum número]

Nesse ponto, concluiríamos erroneamente que

[ lim_ {x → 1} dfrac {x ^ 2 + 5} {3x + 4} = lim_ {x → 1} dfrac {2x} {3} = dfrac {2} {3}. enhum número]

No entanto, uma vez que ( displaystyle lim_ {x → 1} (x ^ 2 + 5) = 6 ) e ( displaystyle lim_ {x → 1} (3x + 4) = 7, ) realmente temos

[ lim_ {x → 1} dfrac {x ^ 2 + 5} {3x + 4} = dfrac {6} {7}. enhum número]

Nos podemos concluir que

[ lim_ {x → 1} dfrac {x ^ 2 + 5} {3x + 4} ≠ lim_ {x → 1} dfrac { dfrac {d} {dx} (x ^ 2 + 5)} { dfrac {d} {dx} (3x + 4).} nonumber ]

Exercício ( PageIndex {3} )

Explique por que não podemos aplicar a regra de L'Hôpital para avaliar ( displaystyle lim_ {x → 0 ^ +} dfrac { cos x} {x} ). Avalie ( displaystyle lim_ {x → 0 ^ +} dfrac { cos x} {x} ) por outros meios.

Dica

Determine os limites do numerador e denominador separadamente.

Responder

( displaystyle lim_ {x → 0 ^ +} cos x = 1. ) Portanto, não podemos aplicar a regra de L'Hôpital. O limite do quociente é (∞. )

Outras formas indeterminadas

A regra de L'Hôpital é muito útil para avaliar limites envolvendo as formas indeterminadas ( dfrac {0} {0} ) e (∞ / ∞ ). No entanto, também podemos usar a regra de L'Hôpital para ajudar a avaliar os limites envolvendo outras formas indeterminadas que surgem ao avaliar os limites. As expressões (0⋅∞, ∞ − ∞, 1 ^ ∞, ∞ ^ 0 ) e (0 ^ 0 ) são todas consideradas formas indeterminadas. Essas expressões não são números reais. Em vez disso, eles representam formas que surgem ao tentar avaliar certos limites. Em seguida, percebemos por que essas formas são indeterminadas e, em seguida, entendemos como usar a regra de L'Hôpital nesses casos. A ideia principal é que devemos reescrever as formas indeterminadas de tal forma que cheguemos à forma indeterminada ( dfrac {0} {0} ) ou (∞ / ∞ ).

Forma Indeterminada do Tipo 0⋅∞

Suponha que queremos avaliar ( displaystyle lim_ {x → a} (f (x) ⋅g (x)) ), onde (f (x) → 0 ) e (g (x) → ∞ ) (ou (- ∞ )) como (x → a ). Como um termo no produto está se aproximando de zero, mas o outro termo está se tornando arbitrariamente grande (em magnitude), tudo pode acontecer com o produto. Usamos a notação (0⋅∞ ) para denotar a forma que surge nesta situação. A expressão (0⋅∞ ) é considerada indeterminada porque não podemos determinar sem uma análise mais aprofundada o comportamento exato do produto (f (x) g (x) ) como (x → ∞ ). Por exemplo, seja (n ) um número inteiro positivo e considere

(f (x) = dfrac {1} {(x ^ n + 1)} ) e (g (x) = 3x ^ 2 ).

Como (x → ∞, f (x) → 0 ) e (g (x) → ∞ ). No entanto, o limite como (x → ∞ ) de (f (x) g (x) = dfrac {3x ^ 2} {(x ^ n + 1)} ) varia, dependendo de (n ) Se (n = 2 ), então ( displaystyle lim_ {x → ∞} f (x) g (x) = 3 ). Se (n = 1 ), então ( displaystyle lim_ {x → ∞} f (x) g (x) = ∞ ). Se (n = 3 ), então ( displaystyle lim_ {x → ∞} f (x) g (x) = 0 ). Aqui, consideramos outro limite envolvendo a forma indeterminada (0⋅∞ ) e mostramos como reescrever a função como um quociente para usar a regra de L'Hôpital.

Exemplo ( PageIndex {4} ): Forma indeterminada do tipo (0⋅∞ )

Avalie ( displaystyle lim_ {x → 0 ^ +} x ln x. )

Solução

Primeiro, reescreva a função (x ln x ) como um quociente para aplicar a regra de L'Hôpital. Se escrevermos

[x ln x = dfrac { ln x} {1 / x} nonumber ]

vemos que ( ln x → −∞ ) como (x → 0 ^ + ) e ( dfrac {1} {x} → ∞ ) como (x → 0 ^ + ). Portanto, podemos aplicar a regra de L'Hôpital e obter

[ lim_ {x → 0 ^ +} dfrac { ln x} {1 / x} = lim_ {x → 0 ^ +} dfrac { dfrac {d} {dx} big ( ln x big)} { dfrac {d} {dx} big (1 / x big)} = lim_ {x → 0 ^ +} dfrac {1 / x ^ 2} {- 1 / x} = lim_ {x → 0 ^ +} (- x) = 0. enhum número ]

Concluimos que

[ lim_ {x → 0 ^ +} x ln x = 0. enhum número ]

Exercício ( PageIndex {4} )

Avalie [ lim_ {x → 0} x cot x. enhum número ]

Dica

Escreva (x cot x = dfrac {x cos x} { sin x} )

Responder

(1)

Forma indeterminada do tipo (∞ − ∞ )

Outro tipo de forma indeterminada é (∞ − ∞. ) Considere o seguinte exemplo. Seja (n ) um número inteiro positivo e seja (f (x) = 3x ^ n ) e (g (x) = 3x ^ 2 + 5 ). Como (x → ∞, f (x) → ∞ ) e (g (x) → ∞ ). Estamos interessados ​​em ( displaystyle lim_ {x → ∞} (f (x) −g (x)) ). Dependendo se (f (x) ) cresce mais rápido, (g (x) ) cresce mais rápido, ou eles crescem na mesma taxa, como veremos a seguir, qualquer coisa pode acontecer neste limite. Como (f (x) → ∞ ) e (g (x) → ∞ ), escrevemos (∞ − ∞ ) para denotar a forma desse limite. Tal como acontece com nossas outras formas indeterminadas, (∞ − ∞ ) não tem significado por si só e devemos fazer mais análises para determinar o valor do limite. Por exemplo, suponha que o expoente n na função (f (x) = 3x ^ n ) seja (n = 3 ), então

[ lim_ {x → ∞} (f (x) −g (x)) = lim_ {x → ∞} (3x ^ 3−3x ^ 2−5) = ∞. enhum número]

Por outro lado, se (n = 2, ) então

[ lim_ {x → ∞} (f (x) −g (x)) = lim_ {x → ∞} (3x ^ 2−3x ^ 2−5) = - 5. enhum número]

No entanto, se (n = 1 ), então

[ lim_ {x → ∞} (f (x) −g (x)) = lim_ {x → ∞} (3x − 3x ^ 2−5) = - ∞. enhum número]

Portanto, o limite não pode ser determinado considerando apenas (∞ − ∞ ). A seguir, vemos como reescrever uma expressão envolvendo a forma indeterminada (∞ − ∞ ) como uma fração para aplicar a regra de L'Hôpital.

Exemplo ( PageIndex {5} ): Forma indeterminada do tipo (∞ − ∞ )

Avalie [ lim_ {x → 0 ^ +} left ( dfrac {1} {x ^ 2} - dfrac {1} { tan x} right). enhum número]

Solução

Ao combinar as frações, podemos escrever a função como um quociente. Como o mínimo denominador comum é (x ^ 2 tan x, ), temos

( dfrac {1} {x ^ 2} - dfrac {1} { tan x} = dfrac {( tan x) −x ^ 2} {x ^ 2 tan x} ).

Como (x → 0 ^ + ), o numerador ( tan x − x ^ 2 → 0 ) e o denominador (x ^ 2 tan x → 0. ) Portanto, podemos aplicar L'Hôpital's regra. Tomando as derivadas do numerador e do denominador, temos

[ lim_ {x → 0 ^ +} dfrac {( tan x) −x ^ 2} {x ^ 2 tan x} = lim_ {x → 0 ^ +} dfrac {( sec ^ 2x ) −2x} {x ^ 2 sec ^ 2x + 2x tan x}. enhum número]

Como (x → 0 ^ + ), ((sec ^ 2x) −2x → 1 ) e (x ^ 2seg ^ 2x + 2x tan x → 0 ). Uma vez que o denominador é positivo quando (x ) se aproxima de zero da direita, concluímos que

[ lim_ {x → 0 ^ +} dfrac {( sec ^ 2x) −2x} {x ^ 2 sec ^ 2x + 2x tan x} = ∞. enhum número]

Portanto,

[ lim_ {x → 0 ^ +} left ( dfrac {1} {x ^ 2} - dfrac {1} { tan x} right) = ∞. enhum número ]

Exercício ( PageIndex {5} )

Avalie ( displaystyle lim_ {x → 0 ^ +} left ( dfrac {1} {x} - dfrac {1} { sin x} right) ).

Dica

Reescreva a diferença de frações como uma única fração.

Responder

0

Outro tipo de forma indeterminada que surge ao avaliar limites envolve expoentes. As expressões (0 ^ 0, ∞ ^ 0 ) e (1 ^ ∞ ) são todas formas indeterminadas. Por si só, essas expressões não têm sentido porque não podemos realmente avaliar essas expressões como avaliaríamos uma expressão envolvendo números reais. Em vez disso, essas expressões representam formas que surgem ao encontrar limites. Agora examinamos como a regra de L'Hôpital pode ser usada para avaliar limites envolvendo essas formas indeterminadas.

Uma vez que a regra de L'Hôpital se aplica a quocientes, usamos a função logaritmo natural e suas propriedades para reduzir um problema de avaliação de um limite envolvendo expoentes para um problema relacionado envolvendo o limite de um quociente. Por exemplo, suponha que queremos avaliar ( displaystyle lim_ {x → a} f (x) ^ {g (x)} ) e chegamos à forma indeterminada (∞ ^ 0 ). (As formas indeterminadas (0 ^ 0 ) e (1 ^ ∞ ) podem ser tratadas de forma semelhante.) Procederemos da seguinte maneira. Deixar

[y = f (x) ^ {g (x)}. ]

Então,

[ ln y = ln (f (x) ^ {g (x)}) = g (x) ln (f (x)). ]

Portanto,

[ lim_ {x → a} [ ln (y)] = lim_ {x → a} [g (x) ln (f (x))]. ]

Como ( displaystyle lim_ {x → a} f (x) = ∞, ) sabemos que ( displaystyle lim_ {x → a} ln (f (x)) = ∞ ). Portanto, ( displaystyle lim_ {x → a} g (x) ln (f (x)) ) é da forma indeterminada (0⋅∞ ), e podemos usar as técnicas discutidas anteriormente para reescrever a expressão (g (x) ln (f (x)) ) em uma forma para que possamos aplicar a regra de L'Hôpital. Suponha que ( displaystyle lim_ {x → a} g (x) ln (f (x)) = L ), onde (L ) pode ser (∞ ) ou (- ∞. ) Então

[ lim_ {x → a} [ ln (y)] = L. ]

Uma vez que a função logaritmo natural é contínua, concluímos que

[ ln left ( lim_ {x → a} y right) = L, ]

o que nos dá

[ lim_ {x → a} y = lim_ {x → a} f (x) ^ {g (x)} = e ^ L. ]

Exemplo ( PageIndex {6} ): Forma indeterminada do tipo (∞ ^ 0 )

Avalie [ lim_ {x → ∞} x ^ {1 / x}. enhum número]

Solução

Seja (y = x ^ {1 / x} ). Então,

[ ln (x ^ {1 / x}) = dfrac {1} {x} ln x = dfrac { ln x} {x}. enhum número]

Precisamos avaliar ( displaystyle lim_ {x → ∞} dfrac { ln x} {x} ). Aplicando a regra de L'Hôpital, obtemos

[ lim_ {x → ∞} ln y = lim_ {x → ∞} dfrac { ln x} {x} = lim_ {x → ∞} dfrac {1 / x} {1} = 0 . enhum número]

Portanto, ( displaystyle lim_ {x → ∞} ln y = 0. ) Como a função de logaritmo natural é contínua, concluímos que

[ ln left ( lim_ {x → ∞} y right) = 0, nonumber ]

o que leva a

[ lim_ {x → ∞} y = lim_ {x → ∞} dfrac { ln x} {x} = e ^ 0 = 1. enhum número]

Por isso,

[ lim_ {x → ∞} x ^ {1 / x} = 1. enhum número]

Exercício ( PageIndex {6} )

Avalie [ lim_ {x → ∞} x ^ {1 / ln (x)}. enhum número]

Dica

Seja (y = x ^ {1 / ln (x)} ) e aplique o logaritmo natural a ambos os lados da equação.

Responder

(e )

Exemplo ( PageIndex {7} ): Forma indeterminada do tipo (0 ^ 0 )

Avalie [ lim_ {x → 0 ^ +} x ^ { sin x}. enhum número]

Solução

Deixar

[y = x ^ { sin x}. enhum número]

Portanto,

[ ln y = ln (x ^ { sin x}) = sin x ln x. enhum número]

Agora avaliamos ( displaystyle lim_ {x → 0 ^ +} sin x ln x. ) Desde ( displaystyle lim_ {x → 0 ^ +} sin x = 0 ) e ( displaystyle lim_ {x → 0 ^ +} ln x = −∞ ), temos a forma indeterminada (0⋅∞ ). Para aplicar a regra de L'Hôpital, precisamos reescrever ( sin x ln x ) como uma fração. Poderíamos escrever

[ sin x ln x = dfrac { sin x} {1 / ln x} nonumber ]

ou

[ sin x ln x = dfrac { ln x} {1 / sin x} = dfrac { ln x} { csc x}. enhum número ]

Vamos considerar a primeira opção. Neste caso, aplicando a regra de L'Hôpital, obteríamos

[ lim_ {x → 0 ^ +} sin x ln x = lim_ {x → 0 ^ +} dfrac { sin x} {1 / ln x} = lim_ {x → 0 ^ + } dfrac { cos x} {- 1 / (x ( ln x) ^ 2)} = lim_ {x → 0 ^ +} (- x ( ln x) ^ 2 cos x). nonumber ]

Infelizmente, não temos apenas outra expressão envolvendo a forma indeterminada (0⋅∞, ), mas o novo limite é ainda mais complicado de avaliar do que aquele com o qual começamos. Em vez disso, tentamos a segunda opção. Por escrito

[ sin x ln x = dfrac { ln x} {1 / sin x} = dfrac { ln x} { csc x,} nonumber ]

e aplicando a regra de L'Hôpital, obtemos

[ lim_ {x → 0 ^ +} sin x ln x = lim_ {x → 0 ^ +} dfrac { ln x} { csc x} = lim_ {x → 0 ^ +} dfrac {1 / x} {- csc x cot x} = lim_ {x → 0 ^ +} dfrac {−1} {x csc x cot x}. enhum número]

Usando o fato de que (cscx = dfrac {1} { sin x} ) e ( cot x = dfrac { cos x} { sin x} ), podemos reescrever a expressão à direita - lado lado como

[ lim_ {x → 0 ^ +} dfrac {- sin ^ 2x} {x cos x} = lim_ {x → 0 ^ +} left [ dfrac { sin x} {x} ⋅ (- tan x) right] = left ( lim_ {x → 0 ^ +} dfrac { sin x} {x} right) ⋅ left ( lim_ {x → 0 ^ +} (- tan x) right) = 1⋅0 = 0. enhum número]

Concluímos que ( displaystyle lim_ {x → 0 ^ +} ln y = 0. ) Portanto, ( displaystyle ln left ( lim_ {x → 0 ^ +} y right) = 0 ) e nós temos

[ lim_ {x → 0 ^ +} y = lim_ {x → 0 ^ +} x ^ { sin x} = e ^ 0 = 1. nonumber ]

Por isso,

[ lim_ {x → 0 ^ +} x ^ { sin x} = 1. enhum número]

Exercício ( PageIndex {7} )

Avalie ( displaystyle lim_ {x → 0 ^ +} x ^ x ).

Dica

Seja (y = x ^ x ) e tome o logaritmo natural de ambos os lados da equação.

Responder

1

Taxas de crescimento de funções

Suponha que as funções (f ) e (g ) se aproximem do infinito como (x → ∞ ). Embora os valores de ambas as funções se tornem arbitrariamente grandes à medida que os valores de (x ) tornam-se suficientemente grandes, às vezes uma função está crescendo mais rapidamente do que a outra. Por exemplo, (f (x) = x ^ 2 ) e (g (x) = x ^ 3 ) ambos se aproximam do infinito como (x → ∞ ). No entanto, como mostra a Tabela ( PageIndex {1} ), os valores de (x ^ 3 ) estão crescendo muito mais rápido do que os valores de (x ^ 2 ).

Tabela ( PageIndex {1} ): Comparando as taxas de crescimento de (x ^ 2 ) e (x ^ 3 )
(x )10100100010,000
(f (x) = x ^ 2 )10010,0001,000,000100,000,000
(g (x) = x ^ 3 )10001,000,0001,000,000,0001,000,000,000,000

Na verdade,

[ lim_ {x → ∞} dfrac {x ^ 3} {x ^ 2} = lim_ {x → ∞} x = ∞. enhum número]

ou equivalente

[ lim_ {x → ∞x} dfrac {x ^ 2} {x ^ 3} = lim_ {x → ∞} dfrac {1} {x} = 0. enhum número]

Como resultado, dizemos que (x ^ 3 ) está crescendo mais rapidamente do que (x ^ 2 ) como (x → ∞ ). Por outro lado, para (f (x) = x ^ 2 ) e (g (x) = 3x ^ 2 + 4x + 1 ), embora os valores de (g (x) ) sejam sempre maior do que os valores de (f (x) ) para (x> 0 ), cada valor de (g (x) ) é aproximadamente três vezes o valor correspondente de (f (x) ) como (x → ∞ ), conforme mostrado na Tabela ( PageIndex {2} ). Na verdade,

[ lim_ {x → ∞} dfrac {x ^ 2} {3x ^ 2 + 4x + 1} = dfrac {1} {3}. enhum número]

Tabela ( PageIndex {2} ): Comparando as taxas de crescimento de (x ^ 2 ) e (3x ^ 2 + 4x + 1 )
(x )10100100010,000
(f (x) = x ^ 2 )10010,0001,000,000100,000,000
(g (x) = 3x ^ 2 + 4x + 1 )34130,4013,004,001300,040,001

Neste caso, dizemos que (x ^ 2 ) e (3x ^ 2 + 4x + 1 ) estão crescendo na mesma taxa que (x → ∞. )

Mais geralmente, suponha que (f ) e (g ) sejam duas funções que se aproximam do infinito como (x → ∞ ). Dizemos que (g ) cresce mais rapidamente do que (f ) como (x → ∞ ) se

[ lim_ {x → ∞} dfrac {g (x)} {f (x)} = ∞ quad text {ou, equivalentemente,} quad lim_ {x → ∞} dfrac {f (x )} {g (x)} = 0. ]

Por outro lado, se existe uma constante (M ≠ 0 ) tal que

[ lim_ {x → ∞} dfrac {f (x)} {g (x)} = M, ]

dizemos que (f ) e (g ) crescem na mesma taxa que (x → ∞ ).

A seguir, veremos como usar a regra de L'Hôpital para comparar as taxas de crescimento das funções de potência, exponencial e logarítmica.

Exemplo ( PageIndex {8} ): Comparando as taxas de crescimento de ( ln (x) ), (x ^ 2 ) e (e ^ x )

Para cada um dos seguintes pares de funções, use a regra de L’Hôpital para avaliar [ lim_ {x → ∞} dfrac {f (x)} {g (x)}. enhum número]

  1. (f (x) = x ^ 2 ) e (g (x) = e ^ x )
  2. (f (x) = ln (x) ) e (g (x) = x ^ 2 )

Solução

uma. Como ( displaystyle lim_ {x → ∞} x ^ 2 = ∞ ) e ( displaystyle lim_ {x → ∞} e ^ x ), podemos usar a regra de L'Hôpital para avaliar ( displaystyle lim_ {x → ∞} left [ dfrac {x ^ 2} {e ^ x} right] ). Nós obtemos

[ lim_ {x → ∞} frac {x ^ 2} {e ^ x} = lim_ {x → ∞} frac {2x} {e ^ x}. enhum número]

Como ( displaystyle lim_ {x → ∞} 2x = ∞ ) e ( displaystyle lim_ {x → ∞} e ^ x = ∞ ), podemos aplicar a regra de L'Hôpital novamente. Desde

[ lim_ {x → ∞} frac {2x} {e ^ x} = lim_ {x → ∞} frac {2} {e ^ x} = 0, não numérico ]

concluimos que

[ lim_ {x → ∞} dfrac {x ^ 2} {e ^ x} = 0. enhum número]

Portanto, (e ^ x ) cresce mais rapidamente do que (x ^ 2 ) como (x → ∞ ) (Ver Figura ( PageIndex {3} ) e Tabela ( PageIndex {3} ))

Tabela ( PageIndex {3} ): Taxas de crescimento de uma função de potência e uma função exponencial.
(x )5101520
(x ^ 2 )25100225400
(e ^ x )14822,0263,269,017485,165,195

b. Como ( displaystyle lim_ {x → ∞} ln x = ∞ ) e ( displaystyle lim_ {x → ∞} x ^ 2 = ∞ ), podemos usar a regra de L'Hôpital para avaliar ( displaystyle lim_ {x → ∞} dfrac { ln x} {x ^ 2} ). Nós obtemos

[ lim_ {x → ∞} dfrac { ln x} {x ^ 2} = lim_ {x → ∞} dfrac {1 / x} {2x} = lim_ {x → ∞} dfrac { 1} {2x ^ 2} = 0. enhum número]

Assim, (x ^ 2 ) cresce mais rapidamente do que ( ln x ) como (x → ∞ ) (ver Figura ( PageIndex {4} ) e Tabela ( PageIndex {4} )).

Tabela ( PageIndex {4} ): Taxas de crescimento de uma função de potência e uma função logarítmica
(x )10100100010,000
( ln (x) )2.3034.6056.9089.10
(x ^ 2 )10010,0001,000,000100,000,000

Exemplo ( PageIndex {9} ): Comparando as taxas de crescimento de (x ^ {100} ) e (2 ^ x )

Compare as taxas de crescimento de (x ^ {100} ) e (2 ^ x ).

Dica: aplique a regra de L'Hôpital a (x ^ {100} / 2 ^ x )

Solução

A função (2 ^ x ) cresce mais rápido do que (x ^ {100} ).

Usando as mesmas idéias do Exemplo a. não é difícil mostrar que (e ^ x ) cresce mais rapidamente do que (x ^ p ) para qualquer (p> 0 ). Na Figura ( PageIndex {5} ) e Tabela ( PageIndex {5} ), comparamos (e ^ x ) com (x ^ 3 ) e (x ^ 4 ) como (x → ∞ ).

Tabela ( PageIndex {5} ): Uma função exponencial cresce a uma taxa mais rápida do que qualquer função de potência
(x )5101520
(x ^ 3 )125100033758000
(x ^ 4 )62510,00050,625160,000
(e ^ x )14822,0263,326,017485,165,195

Da mesma forma, não é difícil mostrar que (x ^ p ) cresce mais rapidamente do que ( ln x ) para qualquer (p> 0 ).Na Figura ( PageIndex {6} ) e na Tabela, comparamos ( ln x ) com ( sqrt [3] {x} ) e ( sqrt {x} ).

Tabela ( PageIndex {6} ): uma função logarítmica cresce a uma taxa mais lenta do que qualquer função raiz
(x )10100100010,000
( ln (x) )2.3034.6056.9089.210
( sqrt [3] {x} )2.1544.6421021.544
( sqrt {x} )3.1621031.623100

Conceitos chave

  • A regra de L'Hôpital pode ser usada para avaliar o limite de um quociente quando surge a forma indeterminada ( dfrac {0} {0} ) ou (∞ / ∞ ).
  • A regra de L'Hôpital também pode ser aplicada a outras formas indeterminadas se elas puderem ser reescritas em termos de um limite envolvendo um quociente que possui a forma indeterminada ( dfrac {0} {0} ) ou (∞ / ∞. )
  • A função exponencial (e ^ x ) cresce mais rápido do que qualquer função de potência (x ^ p, p> 0 ).
  • A função logarítmica ( ln x ) cresce mais lentamente do que qualquer função de potência (x ^ p, p> 0 ).

Glossário

formas indeterminadas
Ao avaliar um limite, os formulários ( dfrac {0} {0} ), (∞ / ∞, 0⋅∞, ∞ − ∞, 0 ^ 0, ∞ ^ 0 ) e (1 ^ ∞ ) são considerados indeterminados porque uma análise mais aprofundada é necessária para determinar se o limite existe e, em caso afirmativo, qual é o seu valor.
Regra de L'Hôpital
Se (f ) e (g ) são funções diferenciáveis ​​em um intervalo (a ), exceto possivelmente em (a ), e ( displaystyle lim_ {x → a} f (x) = 0 = lim_ {x → a} g (x) ) ou ( displaystyle lim_ {x → a} f (x) ) e ( displaystyle lim_ {x → a} g (x) ) são infinitos, então ( displaystyle lim_ {x → a} dfrac {f (x)} {g (x)} = lim_ {x → a} dfrac {f ′ (x)} {g ′ (x)} ), assumindo que o limite do direito existe ou é (∞ ) ou (- ∞ ).

Conceitos chave

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  • Use as informações abaixo para gerar uma citação. Recomendamos o uso de uma ferramenta de citação como esta.
    • Autores: Gilbert Strang, Edwin “Jed” Herman
    • Editor / site: OpenStax
    • Título do livro: Cálculo Volume 1
    • Data de publicação: 30 de março de 2016
    • Local: Houston, Texas
    • URL do livro: https://openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/1-introduction
    • URL da seção: https://openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/4-key-concepts

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    §1.4 (ii) Continuidade

    Uma função f ⁡ (x) é contínuo à direita (ou de cima) em x = c se

    isto é, para cada constante positiva arbitrariamente pequena ϵ existe δ (& gt 0) tal que

    para todo α tal que 0 ≤ α & lt δ. Da mesma forma, é contínuo à esquerda (ou de baixo) em x = c se

    E f ⁡ (x) é contínuo em c quando ambos (1.4.1) e (1.4.3) se aplicam.

    Se f ⁡ (x) é contínuo em cada ponto c ∈ (a, b), então f ⁡ (x) é contínuo no intervalo (a, b) e escrevemos f ∈ C ⁡ (a, b). Se também f ⁡ (x) é contínuo à direita em x = a, e contínuo à esquerda em x = b, então f ⁡ (x) é contínuo no intervalo [a, b], e escrevemos f ⁡ (x) ∈ C ⁡ [a, b].

    UMA singularidade removível de f ⁡ (x) em x = c ocorre quando f ⁡ (c +) = f ⁡ (c -) mas f ⁡ (c) é indefinido. Por exemplo, f ⁡ (x) = (sin ⁡ x) / x com c = 0.

    UMA descontinuidade simples de f ⁡ (x) em x = c ocorre quando f ⁡ (c +) ef ⁡ (c -) existem, mas f ⁡ (c +) ≠ f ⁡ (c -). Se f ⁡ (x) é contínuo em um intervalo salvo para um número finito de descontinuidades simples, então f ⁡ (x) é por partes (ou seccionalmente) contínuo em I. Para obter um exemplo, consulte a Figura 1.4.1


    Por favor, veja & quotO que há de novo nesta edição & quotSeção.

    Novo nesta edição

    O que há de novo nesta edição

    Novos guias de estudo de seção Dez itens verdadeiro / falso no final de cada seção são fornecidos para ajudar os alunos a verificar a precisão de sua leitura e retenção, e para guiá-los sistematicamente de volta pelas partes apropriadas da seção para qualquer revisão adicional de fatos e conceitos que são necessários antes de tentar para resolver os problemas.

    Respostase dicassão para esses itens verdadeiros / falsos fornecidos no final do livro (antes da seção de respostas ímpares). Os alunos podem primeiro marcar cada item como verdadeiro ou falso e, em seguida, consultar o respostasque são fornecidos. Se alguma de suas respostas estiver incorreta, então o dicaspara os itens apropriados podem ser consultados. A dica para cada item direciona o aluno à parte apropriada da seção para ler novamente e ver qual foi sua dificuldade.

    Críticas de novos capítulos Cada revisão do capítulo consiste em duas partes -Entendimento e Objetivos–Que precede o conjunto de problemas diversos do capítulo.

    O Entendimento parte consiste em conceitos, definições, fórmulas, resultados, etc. - com referências de página fornecidas - para ser revisado seção por seção na preparação para o teste do capítulo. Sua premissa é que o aluno que realmente precisa dessa assistência de revisão provavelmente não pode ou não esboçou o capítulo por si mesmo. Como professores experientes sabem, muitos (senão a maioria) dos alunos precisam de ajuda para identificar, localizar e descrever brevemente os itens individuais no capítulo, cuja compreensão compreende um conhecimento do capítulo como um todo.

    O Objetivos parte identifica problemas de amostra em cada seção que são recomendados para revisão. Aqui, novamente, muitos alunos são incapazes de categorizar e reconhecer os tipos de problemas que foram cobertos e as habilidades necessárias para sua solução. Eles não trabalharam de forma consistente os problemas em cada seção conforme foram cobertos em classe e podem precisar de ajuda para identificar um número gerenciável de problemas representativos para revisar. Consequentemente, esta parte do material de revisão do capítulo fornece uma lista seção por seção dos métodos e técnicas que foram cobertos e - para cada tipo - vários problemas ilustrativos selecionados para fornecer a prática adequada na preparação para um teste de capítulo.

    Auxiliares de aprendizagem adicionais

    Questões para discussão conceitual O conjunto de problemas que conclui cada seção é precedido por um breve Conceitos: Perguntas e Discussão conjunto que consiste em várias questões conceituais abertas que podem ser usadas para estudo individual ou discussão em sala de aula.

    Respostas ímpares A seção de respostas no final do livro foi bastante ampliada para esta edição, principalmente por meio da inserção de mais de 340 novas figuras. Esta obra de arte gerada por computador tem como objetivo ajudar o aluno a compreender os problemas cuja compreensão tem um forte componente visual. O resultado é uma seção de respostas mais atraente que convida a atenção do aluno e o estudo por si só.

    Manuais de Soluções Paralelamente à ênfase pedagógica na revisão do próprio texto, os manuais de soluções - soluções ímpares nas páginas de 990 Manual de Soluções do Aluno, todas as soluções na página de 1920 Manual de Solução do Instrutor- foram retrabalhados, especialmente com todas as obras de arte novas e substancialmente melhoradas. Essas soluções foram escritas exclusivamente pelos autores com o mesmo cuidado dedicado à exposição do livro didático e foram verificadas de forma independente por outros.

    Investigações de Alunos Várias investigações (ou projetos) do texto foram reescritas para esta edição. Eles aparecem após os conjuntos de problemas no final das seções principais do texto. A maioria (mas não todos) desses projetos emprega algum aspecto da tecnologia computacional moderna para ilustrar as idéias principais da seção anterior, e muitos contêm problemas adicionais que devem ser resolvidos com o uso de uma calculadora gráfica ou sistema de álgebra computacional. Quando apropriado, as discussões do projeto são significativamente expandidas nos manuais do projeto que acompanham o texto.

    Material Histórico Aberturas de capítulos históricos e biográficos oferecem aos alunos uma noção do desenvolvimento de nosso assunto por seres humanos reais. Na verdade, nossa exposição de cálculo freqüentemente reflete o desenvolvimento histórico do assunto - desde os tempos antigos até as idades de Newton, Leibniz e Euler até nossa própria era de novo poder computacional e tecnologia.

    A revisão atual do texto foi projetada para incluir

    • Transcendentais iniciais totalmente integrados no Semestre I.

    • Equações diferenciais e aplicações no Semestre II.

    • Cálculo multivariável no Semestre III.

    A cobertura completa do cálculo das funções transcendentais está totalmente integrada nos Capítulos 1 a 6. Um capítulo sobre equações diferenciais (Capítulo 8) agora aparece imediatamente após o Capítulo 7 sobre técnicas de integração. Inclui os campos de direção e o método de Euler, juntamente com os métodos simbólicos mais elementares (que exploram as técnicas do Capítulo 7) e aplicações interessantes de equações de primeira e segunda ordem. Capítulo 10 (Série Infinita) termina com uma nova seção sobre soluções de séries de potência de equações diferenciais, trazendo assim um círculo completo um foco unificador do cálculo do segundo semestre em equações diferenciais elementares.

    Capítulos introdutórios Em vez de uma revisão de rotina dos tópicos de pré-cálculo, o Capítulo 1 concentra-se especificamente em funções e gráficos para uso em modelagem matemática. Inclui uma seção que cataloga informalmente as funções transcendentais elementares do cálculo, como pano de fundo para seu tratamento mais formal usando o próprio cálculo. O Capítulo 1 conclui com uma seção que aborda a questão "O que é cálculo?" O Capítulo 2 sobre limites começa com uma seção sobre linhas tangentes para motivar a introdução oficial de limites na Seção 2.2. Os limites trigonométricos são tratados ao longo do Capítulo 2 para encorajar uma introdução mais rica e visual ao conceito de limite.

    Capítulos de Diferenciação A sequência de tópicos nos Capítulos 3 e 4 difere um pouco da ordem mais tradicional. Tentamos construir a confiança do aluno introduzindo os tópicos mais próximos em ordem crescente de dificuldade. A regra da cadeia aparece bem no início (na Seção 3.3) e cobrimos as técnicas básicas para diferenciar funções algébricas antes de discutir os máximos e os mínimos nas Seções 3.5 e 3.6. A Seção 3.7 trata as derivadas de todas as seis funções trigonométricas, e a Seção 3.8 introduz as funções exponencial e logarítmica. A diferenciação implícita e as taxas relacionadas são combinadas em uma única seção (Seção 3.9). O gosto dos autores pelo método de Newton (Seção 3.10) será aparente.

    O teorema do valor médio e suas aplicações são adiados para o Capítulo 4. Além disso, um tema dominante do Capítulo 4 é o uso do cálculo tanto para construir gráficos de funções quanto para explicar e interpretar gráficos que foram construídos por uma calculadora ou computador. Este tema é desenvolvido nas Seções 4.4 sobre o primeiro teste de derivada e 4.6 sobre derivadas superiores e concavidade. Mas também pode ser aparente nas Seções 4.8 e 4.9 na regra de l’Hˆopital, que agora aparece diretamente no contexto do cálculo diferencial e é aplicada aqui para completar o cálculo das funções exponenciais e logarítmicas.

    Capítulos de Integração O Capítulo 5 começa com uma seção sobre antiderivadas - que poderia logicamente ser incluída no capítulo anterior, mas se beneficia do uso de notação integral. Quando a integral definida é introduzida nas Seções 5.3 e 5.4, enfatizamos as somas de ponto final e ponto médio em vez de somas de Riemann superiores e inferiores e mais gerais. Essa ênfase concreta leva do capítulo à sua seção final sobre integração numérica.

    O Capítulo 6 começa com uma seção sobre as aproximações de soma de Riemann, com exemplos centrados em fluxo de fluido e aplicações médicas. A seção 6.6 é um tratamento de centróides de regiões planas e curvas. A Seção 6.7 fornece a abordagem integral para logaritmos, e as Seções 6.8 e 6.9 cobrem tanto o cálculo diferencial quanto o cálculo integral das funções trigonométricas inversas e das funções hiperbólicas.

    O Capítulo 7 (Técnicas de Integração) é organizado para acomodar aqueles instrutores que sentem que os métodos de integração formal agora requerem menos ênfase, em vista das técnicas modernas de integração numérica e simbólica. A integração por partes (Seção 7.3) precede os integrais trigonométricos (Seção 7.4). O método de frações parciais aparece na Seção 7.5, e substituições trigonométricas e integrais envolvendo polinômios quadráticos seguem nas Seções 7.6 e 7.7. Integrais impróprios aparecem na Seção 7.8, com subseções substanciais sobre funções especiais e probabilidade e amostragem aleatória. Essa reorganização do Capítulo 7 torna mais conveniente parar onde o instrutor desejar.

    Equações diferenciais Este capítulo começa com as equações diferenciais e aplicações mais elementares (Seção 8.1) e, em seguida, passa a apresentar os métodos gráficos (campo de inclinação) e numéricos (Euler) na Seção 8.2. As seções subsequentes do capítulo tratam de equações diferenciais de primeira ordem separáveis ​​e lineares e (com mais profundidade do que o normal em um curso de cálculo) aplicações como crescimento populacional (incluindo populações logísticas e predador-presa) e movimento com resistência. As duas seções finais do Capítulo 8 tratam de equações lineares de segunda ordem e aplicações a vibrações mecânicas. Os instrutores que desejam ainda mais cobertura de equações diferenciais podem combinar com o editor para agrupar e usar seções apropriadas de Edwards e Penney, Equações diferenciais: computação e modelagem 3 / e (Prentice Hall, 2004).

    Curvas paramétricas e coordenadas polares Em vez das três seções separadas em parábolas, elipses e hipérboles que aparecem em alguns textos, o Capítulo 9 conclui com uma única Seção 9.6 que fornece um tratamento unificado de todas as seções cônicas.

    Série Infinita Após a introdução usual à convergência de sequências e séries infinitas nas Seções 10.2 e 10.3, um tratamento combinado de polinômios de Taylor e séries de Taylor aparece na Seção 10.4. Isso possibilita que o instrutor experimente um tratamento mais breve das séries infinitas, mas ainda inclua alguma exposição às séries de Taylor, que são tão importantes para as aplicações. Talvez o recurso mais novo do Capítulo 10 seja uma seção final sobre métodos de série de potências e seu uso para introduzir novas funções transcendentais, concluindo assim o terço intermediário do livro com um retorno às equações diferenciais.

    Cálculo multivariável O tratamento do cálculo de mais de uma variável é bastante tradicional, começando com vetores, curvas e superfícies no Capítulo 11. O Capítulo 12 (Diferenciação parcial) é seguido pelos Capítulos 13 (Integrais Múltiplos) e 14 (Cálculo Vetorial), e ele mesmo apresenta um forte tratamento de problemas multivariáveis ​​de máximo-mínimo nas Seções 12.5 (abordagem inicial para esses problemas), 12.9 (multiplicadores de Lagrange) e 12.10 (pontos críticos de funções de duas variáveis).


    A beleza da matemática é que não existe "solução com" ou "solução sem", apenas a solução e várias maneiras concordantes de chegar lá. Há uma técnica chamada "eliminação de cortes", principalmente (apesar deste meme de limites sem lúpulo), útil apenas para encontrar resultados sobre as próprias provas, onde essencialmente você dá um passo intermediário particular e, onde quer que confie nele, substitua-o por sua prova . Meu primeiro impulso foi fazer isso com a regra de l'Hôpital, primeiro provando-o com e depois usando a prova para ir passo a passo sem. Decidi não fazer isso porque os derivados ficam muito confusos muito rapidamente, e seriam necessários sete deles para chegar ao ponto em que o quociente não é / 0 $, e a própria prova fica significativamente mais confusa se dois forem necessários. O teorema de Taylor é essencialmente uma consequência da regra de l'Hôpital (que, eu espero, é porque você não quer usar a série de Taylor), então uma tentativa de seguir esse caminho sem invocar explicitamente a série de Taylor provavelmente seria tão confusa quanto. Felizmente, no entanto, a série das funções trigonométricas é anterior ao teorema de Taylor de muito longe, com Newton tendo encontrado, por exemplo, o seno reorganizando os termos na expansão binomial de $ sin ^ <-1> x = int_0 ^ x (1-t ^ 2) ^ <- 1/2> dt $. Portanto, em vez de usar séries infinitas, usaremos a mesma lógica por trás da série para chegar aos polinômios que servem como limites superior e inferior.

    Eles seguem rapidamente a equação cartesiana para um semicírculo e a definição de comprimento de arco como $ int_a ^ b sqrt <1+ (f '(x)) ^ 2> dx $ (o segundo não é totalmente trivial, mas eu espera que você já os conheça, então não vou me alongar sobre eles). Você provavelmente notou a ausência do arco-cosseno. A razão para isso é que ambos os cossenos no limite vão para 1, o que torna os limites superiores um pouco mais difíceis de estabelecer. Então, vamos nos livrar deles, reescrevendo o limite como

    Agora, para quebrar o arco tangente, vamos voltar ao início - Elementos IX.35 (a página diz 36 por algum motivo). "Se tantos números quantos quisermos estão em proporção contínua, e subtraídos do segundo e do último número igual ao primeiro, o excesso do segundo é para o primeiro como o excesso do último é para a soma de todos aqueles antes dele. " Em notação moderna (você não tem ideia de como fiquei tentado a escrever toda esta resposta na linguagem da geometria clássica), $ frac = frac<>-a> < sum_^ n ar ^ k> $, mais comumente expresso

    Seja $ r = -t ^ 2 $, $ n $ ímpar, e temos um limite inferior para $ (1 + t ^ 2) ^ <-1> $, e contanto que o valor que estamos procurando é razoavelmente pequeno (abaixo de cerca de $ 17/20 $ - lembre-se de Aquiles e da tartaruga), podemos obter um limite superior dobrando os dois últimos termos. (Observe que em todos os lugares em que a tangente aparece no limite original, ela se aproxima de zero.)

    O arco seno exigirá um pouco mais de sutileza, mas esta técnica pode ser usada para colocar limites superior e inferior no quadrado do integrando, a partir do qual um polinômio pode ser encontrado cujo quadrado estará mais ou menos no intervalo em questão. Desta vez $ r = + t ^ 2 $, $ n $ não precisa ser ímpar e apenas o último termo precisa ser dobrado, desde que $ t & lt 7/10 $. Observe que, tanto no limite original quanto no reescrito, o seno sempre se aproxima de zero.

    Portanto, agora temos essas desigualdades.

    Os sinais de valor absoluto são necessários no caso de $ x $ ser negativo. Você pode verificar por si mesmo que, no último caso, os quadrados dos integrantes mais externos são suficientemente altos e baixos, respectivamente. Avalie as integrais porque o seno, a tangente e as funções mais externas das desigualdades acima são todas funções ímpares, os sinais de valor absoluto podem ser eliminados reconhecendo que negar x apenas inverterá a direção da inequação, e uma vez que este intervalo é simétrico em vez de desigualdades explícitas, usaremos de agora em diante um termo de erro $ epsilon & gt 0 $.

    Então, a partir disso, você pode fazer com que os polinômios limitem o seno e a tangente. Como o seno e a tangente estão aumentando em zero, os limites inferiores das funções podem ser encontrados a partir dos limites inferiores do inverso e vice-versa.

    Para $ x $ e $ y $ suficientemente pequenos (definidos aqui como pequenos o suficiente para que os termos de grau mais alto possam ser consolidados - lembre-se, eles são finitos, então sempre haverá esse intervalo),

    Por algum $ c $ independente de $ x $. Você pode se convencer disso com álgebra do ensino médio se você mesmo deve, mas estou avisando que vai ser entediante. Primeiro, o numerador. Isso parecerá familiar - é exatamente como se tivéssemos usado o teorema de Taylor.

    O denominador será mais complicado. Primeiro, vamos malhar

    $ sin ^ 2 ( sin x) = x ^ 2 + left (2 cdot- frac <1> <3> right) x ^ 4 + left ( frac <1> <9> +2 cdot frac <1> <10> right) x ^ 6 pm [ epsilon & lt | cx ^ 8 |] = x ^ 2 - frac <2> <3> x ^ 4 + frac <14> < 45> x ^ 6 pm [ epsilon & lt | cx ^ 8 |] $ $ sin ^ 2 ( tan x) = x ^ 2 + left (2 cdot frac <1> <6> right) x ^ 4 + left ( frac <1> <36> +2 cdot- frac <1> <40> right) x ^ 6 pm [ epsilon & lt | cx ^ 8 |] = x ^ 2 + frac <1> <3> x ^ 4 - frac <1> <45> x ^ 6 pm [ epsilon & lt | cx ^ 8 |] $

    $ 1 - sin ^ 2 ( sin x) = 1 - x ^ 2 + frac <2> <3> x ^ 4 - frac <14> <45> x ^ 6 pm [ epsilon & lt | cx ^ 8 |] = left (1 - frac <1> <2> x ^ 2 + frac <5> <24> x ^ 4 - frac <37> <720> x ^ 6 pm [ epsilon & lt | cx ^ 8 |] right) ^ 2 $ $ 1 - sin ^ 2 ( tan x) = 1 - x ^ 2 - frac <1> <3> x ^ 4 + frac <1> <45> x ^ 6 pm [ epsilon & lt | cx ^ 8 |] = left (1 - frac <1> <2> x ^ 2 - frac <7> <24> x ^ 4 - frac <97> <720> x ^ 6 pm [ epsilon & lt | cx ^ 8 |] right) ^ 2 $ $ 2x left ( sqrt <1- sin ^ 2 ( tan x)> - sqrt <1- sin ^ 2 ( sin x)> right) + x ^ 5 = x ^ 5 + left (2x - x ^ 3 - frac <7> <12> x ^ 5 - frac <97> <360> x ^ 7 right) - left (2x - x ^ 3 + frac <5> <12> x ^ 5 - frac <37> <360> x ^ 7 right) pm [ epsilon & lt | cx ^ 9 |] = x ^ 5 - x ^ 5 - frac <1> <6> x ^ 7 pm [ epsilon & lt | cx ^ 9 |] $


    Por favor, veja & quotO que há de novo nesta edição & quotSeção.

    Novo nesta edição

    O que há de novo nesta edição

    Novos guias de estudo de seção Dez itens verdadeiro / falso no final de cada seção são fornecidos para ajudar os alunos a verificar a precisão de sua leitura e retenção, e para guiá-los sistematicamente de volta pelas partes apropriadas da seção para qualquer revisão adicional de fatos e conceitos que são necessários antes de tentar para resolver os problemas.

    Respostase dicassão para esses itens verdadeiros / falsos fornecidos no final do livro (precedendo a seção de respostas ímpares). Os alunos podem primeiro marcar cada item como verdadeiro ou falso e, em seguida, consultar o respostasque são fornecidos. Se alguma de suas respostas estiver incorreta, então o dicaspara os itens apropriados podem ser consultados. A dica para cada item direciona o aluno à parte apropriada da seção para ler novamente e ver qual foi sua dificuldade.

    Críticas de novos capítulos Cada revisão do capítulo consiste em duas partes -Entendimento e Objetivos–Que precede o conjunto de problemas diversos do capítulo.

    O Entendimento parte consiste em conceitos, definições, fórmulas, resultados, etc. - com referências de página fornecidas - para ser revisado seção por seção na preparação para o teste do capítulo. Sua premissa é que o aluno que realmente precisa dessa assistência de revisão provavelmente não pode ou não esboçou o capítulo por si mesmo. Como professores experientes sabem, muitos (se não a maioria) dos alunos precisam de ajuda para identificar, localizar e descrever brevemente os itens individuais no capítulo cuja compreensão compreende um conhecimento do capítulo como um todo.

    O Objetivos parte identifica problemas de amostra em cada seção que são recomendados para revisão. Aqui, novamente, muitos alunos são incapazes de categorizar e reconhecer os tipos de problemas que foram cobertos e as habilidades necessárias para sua solução. Eles não trabalharam de forma consistente os problemas em cada seção conforme foram cobertos em classe e podem precisar de ajuda para identificar um número gerenciável de problemas representativos para revisar. Consequentemente, esta parte do material de revisão do capítulo fornece uma lista seção por seção dos métodos e técnicas que foram cobertos e - para cada tipo - vários problemas ilustrativos selecionados para fornecer a prática adequada na preparação para um teste de capítulo.

    Auxiliares de aprendizagem adicionais

    Questões para discussão conceitual O conjunto de problemas que conclui cada seção é precedido por um breve Conceitos: Perguntas e Discussão conjunto que consiste em várias questões conceituais abertas que podem ser usadas para estudo individual ou discussão em sala de aula.

    Respostas ímpares A seção de respostas no final do livro foi bastante ampliada para esta edição, principalmente por meio da inserção de mais de 340 novas figuras. Esta obra de arte gerada por computador tem como objetivo auxiliar o aluno na compreensão dos problemas cuja compreensão tem um forte componente visual. O resultado é uma seção de respostas mais atraente que convida a atenção do aluno e o estudo por si só.

    Manuais de Soluções Paralelamente à ênfase pedagógica na revisão do próprio texto, os manuais de soluções - soluções ímpares nas páginas de 990 Manual de Soluções do Aluno, todas as soluções na página de 1920 Manual de Solução do Instrutor- foram retrabalhados, especialmente com todas as obras de arte novas e substancialmente melhoradas. Essas soluções foram escritas exclusivamente pelos autores com o mesmo cuidado dedicado à exposição do livro didático e foram verificadas de forma independente por outros.

    Investigações de Alunos Várias investigações (ou projetos) do texto foram reescritas para esta edição. Eles aparecem após os conjuntos de problemas no final das seções principais ao longo do texto. A maioria (mas não todos) desses projetos emprega algum aspecto da tecnologia computacional moderna para ilustrar as idéias principais da seção anterior, e muitos contêm problemas adicionais que devem ser resolvidos com o uso de uma calculadora gráfica ou sistema de álgebra computacional. Quando apropriado, as discussões do projeto são significativamente expandidas nos manuais do projeto que acompanham o texto.

    Material Histórico Aberturas de capítulos históricos e biográficos oferecem aos alunos uma noção do desenvolvimento de nosso assunto por seres humanos reais. Na verdade, nossa exposição de cálculo freqüentemente reflete o desenvolvimento histórico do assunto - desde os tempos antigos até as idades de Newton, Leibniz e Euler até nossa própria era de novo poder computacional e tecnologia.

    A revisão atual do texto foi projetada para incluir

    • Transcendentais iniciais totalmente integrados no Semestre I.

    • Equações diferenciais e aplicações no Semestre II.

    • Cálculo multivariável no Semestre III.

    A cobertura completa do cálculo das funções transcendentais está totalmente integrada nos Capítulos 1 a 6. Um capítulo sobre equações diferenciais (Capítulo 8) agora aparece imediatamente após o Capítulo 7 sobre técnicas de integração. Inclui os campos de direção e o método de Euler, juntamente com os métodos simbólicos mais elementares (que exploram as técnicas do Capítulo 7) e aplicações interessantes de equações de primeira e segunda ordem. Capítulo 10 (Série Infinita) termina com uma nova seção sobre soluções de séries de potência de equações diferenciais, trazendo assim um círculo completo um foco unificador do cálculo do segundo semestre em equações diferenciais elementares.

    Capítulos introdutórios Em vez de uma revisão de rotina dos tópicos de pré-cálculo, o Capítulo 1 concentra-se especificamente em funções e gráficos para uso em modelagem matemática. Inclui uma seção que cataloga informalmente as funções transcendentais elementares do cálculo, como pano de fundo para seu tratamento mais formal usando o próprio cálculo. O Capítulo 1 conclui com uma seção que aborda a questão "O que é cálculo?" O Capítulo 2 sobre limites começa com uma seção sobre linhas tangentes para motivar a introdução oficial de limites na Seção 2.2. Os limites trigonométricos são tratados ao longo do Capítulo 2 para encorajar uma introdução mais rica e visual ao conceito de limite.

    Capítulos de Diferenciação A sequência de tópicos nos Capítulos 3 e 4 difere um pouco da ordem mais tradicional. Tentamos construir a confiança do aluno introduzindo os tópicos mais próximos em ordem crescente de dificuldade. A regra da cadeia aparece bem no início (na Seção 3.3) e cobrimos as técnicas básicas para diferenciar funções algébricas antes de discutir os máximos e os mínimos nas Seções 3.5 e 3.6. A Seção 3.7 trata as derivadas de todas as seis funções trigonométricas, e a Seção 3.8 introduz as funções exponencial e logarítmica. A diferenciação implícita e as taxas relacionadas são combinadas em uma única seção (Seção 3.9). O gosto dos autores pelo método de Newton (Seção 3.10) será aparente.

    O teorema do valor médio e suas aplicações são adiados para o Capítulo 4. Além disso, um tema dominante do Capítulo 4 é o uso do cálculo tanto para construir gráficos de funções quanto para explicar e interpretar gráficos que foram construídos por uma calculadora ou computador. Este tema é desenvolvido nas Seções 4.4 sobre o primeiro teste de derivada e 4.6 sobre derivadas superiores e concavidade. Mas também pode ser aparente nas Seções 4.8 e 4.9 na regra de l’Hˆopital, que agora aparece diretamente no contexto do cálculo diferencial e é aplicada aqui para completar o cálculo das funções exponenciais e logarítmicas.

    Capítulos de Integração O Capítulo 5 começa com uma seção sobre antiderivadas - que poderia logicamente ser incluída no capítulo anterior, mas se beneficia do uso de notação integral. Quando a integral definida é introduzida nas Seções 5.3 e 5.4, enfatizamos as somas de ponto final e ponto médio em vez de somas de Riemann superiores e inferiores e mais gerais. Essa ênfase concreta leva do capítulo à sua seção final sobre integração numérica.

    O Capítulo 6 começa com uma seção sobre as aproximações de soma de Riemann, com exemplos centrados em fluxo de fluido e aplicações médicas. A seção 6.6 é um tratamento de centróides de regiões planas e curvas. A Seção 6.7 fornece a abordagem integral para logaritmos, e as Seções 6.8 e 6.9 cobrem tanto o cálculo diferencial quanto o cálculo integral das funções trigonométricas inversas e das funções hiperbólicas.

    O Capítulo 7 (Técnicas de Integração) é organizado para acomodar aqueles instrutores que sentem que os métodos de integração formal agora requerem menos ênfase, em vista das técnicas modernas de integração numérica e simbólica. A integração por partes (Seção 7.3) precede os integrais trigonométricos (Seção 7.4). O método de frações parciais aparece na Seção 7.5, e substituições trigonométricas e integrais envolvendo polinômios quadráticos seguem nas Seções 7.6 e 7.7. Integrais impróprios aparecem na Seção 7.8, com subseções substanciais sobre funções especiais e probabilidade e amostragem aleatória. Essa reorganização do Capítulo 7 torna mais conveniente parar onde o instrutor desejar.

    Equações diferenciais Este capítulo começa com as equações diferenciais e aplicações mais elementares (Seção 8.1) e, em seguida, passa a apresentar os métodos gráficos (campo de inclinação) e numéricos (Euler) na Seção 8.2. As seções subsequentes do capítulo tratam de equações diferenciais de primeira ordem separáveis ​​e lineares e (com mais profundidade do que o normal em um curso de cálculo) aplicações como crescimento populacional (incluindo populações logísticas e predador-presa) e movimento com resistência. As duas seções finais do Capítulo 8 tratam de equações lineares de segunda ordem e aplicações a vibrações mecânicas. Os instrutores que desejam ainda mais cobertura de equações diferenciais podem combinar com o editor para agrupar e usar seções apropriadas de Edwards e Penney, Equações diferenciais: computação e modelagem 3 / e (Prentice Hall, 2004).

    Curvas paramétricas e coordenadas polares Em vez das três seções separadas em parábolas, elipses e hipérboles que aparecem em alguns textos, o Capítulo 9 conclui com uma única Seção 9.6 que fornece um tratamento unificado de todas as seções cônicas.

    Série Infinita Após a introdução usual à convergência de sequências e séries infinitas nas Seções 10.2 e 10.3, um tratamento combinado de polinômios de Taylor e séries de Taylor aparece na Seção 10.4. Isso possibilita que o instrutor experimente um tratamento mais breve das séries infinitas, mas ainda inclua alguma exposição às séries de Taylor, que são tão importantes para as aplicações. Talvez o recurso mais novo do Capítulo 10 seja uma seção final sobre métodos de série de potências e seu uso para introduzir novas funções transcendentais, concluindo assim o terço intermediário do livro com um retorno às equações diferenciais.

    Cálculo multivariável O tratamento do cálculo de mais de uma única variável é bastante tradicional, começando com vetores, curvas e superfícies no Capítulo 11. O Capítulo 12 (Diferenciação parcial) é seguido pelos Capítulos 13 (Integrais Múltiplos) e 14 (Cálculo Vetorial), e ele mesmo apresenta um forte tratamento de problemas multivariáveis ​​de máximo-mínimo nas Seções 12.5 (abordagem inicial para esses problemas), 12.9 (multiplicadores de Lagrange) e 12.10 (pontos críticos de funções de duas variáveis).


    Índice

    1.2 Funções de representação

    1.3 Funções trigonométricas

    2.3 Técnicas para Limites de Computação

    2.7 Definições precisas de limites

    3.1 Apresentando o Derivado

    3.2 A Derivada como Função

    3.3 Regras de Diferenciação

    3.4 O Produto e Regras de Quociente

    3.5 Derivadas de funções trigonométricas

    3.6 Derivativos como taxas de variação

    3.8 Diferenciação implícita

    4. Aplicações do derivado

    4.3 O que os derivados nos dizem

    4.6 Aproximação Linear e Diferenciais

    5.1 Aproximando Áreas sob Curvas

    5.3 Teorema Fundamental do Cálculo

    5.4 Trabalhando com Integrais

    6. Aplicações de Integração

    6.1 Velocidade e variação líquida

    6.2 Regiões Entre Curvas

    7. Funções logarítmicas e exponenciais

    7.2 As funções logarítmicas naturais e exponenciais

    7.3 Funções logarítmicas e exponenciais com outras bases

    7.5 Funções trigonométricas inversas

    7.6 Regra L & rsquo H & ocircpital & rsquos e taxas de crescimento das funções

    8. Técnicas de integração

    8.3 Integrais trigonométricos

    8.4 Substituições trigonométricas

    8.6 Estratégias de Integração

    8.7 Outros métodos de integração

    9. Equações diferenciais

    9.2 Campos de direção e método de Euler & rsquos

    9.3 Equações diferenciais separáveis

    9.4 Equações diferenciais lineares de primeira ordem especiais

    9.5 Modelagem com Equações Diferenciais

    10. Sequências e séries infinitas

    10.4 Os testes de divergência e integral

    10.7 Os testes de razão e raiz

    10.8 Escolhendo um Teste de Convergência

    11.1 Funções de aproximação com polinômios

    11.2 Propriedades da Série de Potência

    11.4 Trabalhando com a Taylor Series

    12. Curvas paramétricas e polares

    12.3 Cálculo em Coordenadas Polares

    13. Vetores e a geometria do espaço

    13.2 Vetores em três dimensões

    13.5 Linhas e Planos no Espaço

    13.6 Cilindros e Superfícies Quádricas

    14. Funções com valor vetorial

    14.1 Funções com valor vetorial

    14.2 Cálculo de funções com valor vetorial

    14.5 Curvatura e vetores normais

    15. Funções de várias variáveis

    15.1 Gráficos e curvas de nível

    15.2 Limites e continuidade

    15.5 Derivados direcionais e o gradiente

    15.6 Planos tangentes e aproximação linear

    15.7 Problemas Máximo / Mínimo

    16. Integração múltipla

    16.1 Integrais duplos sobre regiões retangulares

    16.2 Integrais duplos sobre regiões gerais

    16.3 Integrais Duplos em Coordenadas Polares

    16.5 Integrais triplos em coordenadas cilíndricas e esféricas

    16.6 Integrais para cálculos de massa

    16.7 Mudança de Variáveis ​​em Integrais Múltiplos

    17.3 Campos de vetores conservadores

    Equações diferenciais de segunda ordem D2 ONLINE

    D2.2 Equações homogêneas lineares

    D2.3 Equações lineares não homogêneas

    D2.5 Funções de Forçamento Complexas

    Apêndice A. Provas de Teoremas Selecionados

    Apêndice B. Revisão de Álgebra ONLINE

    Apêndice C. Números Complexos ONLINE


    Cálculo Volume 1 - Livro e Exercício

    Cálculo é projetado para o curso típico de cálculo geral de dois ou três semestres, incorporando recursos inovadores para aprimorar o aprendizado do aluno. O livro orienta os alunos através dos principais conceitos de cálculo e os ajuda a compreender como esses conceitos se aplicam às suas vidas e ao mundo ao seu redor. Devido à natureza abrangente do material, o livro está em três volumes para flexibilidade e eficiência.O Volume 1 cobre funções, limites, derivados e integração.

    ✨Conteúdo do aplicativo✨
    1. Funções e gráficos
    Introdução
    1.1. Revisão de funções
    1.2. Classes básicas de funções
    1.3. Funções trigonométricas
    1.4. Funções Inversas
    1,5. Funções Exponenciais e Logarítmicas
    2. Limites
    Introdução
    2.1. Uma prévia do cálculo
    2.2. O limite de uma função
    2.3. As Leis do Limite
    2.4. Continuidade
    2,5. A definição precisa de um limite
    3. Derivativos
    Introdução
    3.1. Definindo a Derivada
    3.2. A Derivada como Função
    3.3. Regras de Diferenciação
    3.4. Derivados como taxas de variação
    3,5. Derivados de funções trigonométricas
    3,6. A regra da cadeia
    3,7. Derivadas de funções inversas
    3,8. Diferenciação implícita
    3.9. Derivadas de funções exponenciais e logarítmicas
    4. Aplicações de Derivados
    Introdução
    4.1. Taxas Relacionadas
    4.2. Aproximações lineares e diferenciais
    4.3. Máximos e mínimos
    4,4. O Teorema do Valor Médio
    4.5. Derivados e a forma de um gráfico
    4,6. Limites no infinito e assíntotas
    4.7. Problemas de otimização aplicada
    4,8. Regra de L'Hôpital
    4,9. Método de Newton
    4,10. Antiderivativos
    5. Integração
    Introdução
    5.1. Áreas de Aproximação
    5,2 O Integral Definido
    5.3. O Teorema Fundamental do Cálculo
    5,4 Fórmulas de integração e o teorema da mudança líquida
    5.5. Substituição
    5,6. Integrais envolvendo funções exponenciais e logarítmicas
    5.7. Integrais que resultam em funções trigonométricas inversas
    6. Aplicações de Integração
    Introdução
    6.1. Áreas entre curvas
    6,2 Determinando Volumes por Fatiamento
    6.3. Volumes de revolução: invólucros cilíndricos
    6,4 Comprimento do arco de uma curva e área de superfície
    6,5. Aplicações Físicas
    6,6. Momentos e centros de massa
    6,7. Integrais, funções exponenciais e logaritmos
    6,8. Crescimento exponencial e decadência
    6,9. Cálculo das funções hiperbólicas

    ✔ Tabela de Integrais
    ✔ Tabela de Derivativos
    ✔ Revisão do pré-cálculo


    Currículo de Cálculo da Primavera 1 de 2019

    Um Curso do Programa de Educação Geral
    Descrição do programa: O programa de Educação Geral da Kennesaw State University oferece uma série abrangente de cursos inter-relacionados em artes liberais e ciências para todos os alunos da Kennesaw State University. Enquanto o programa principal contribui com profundidade em uma especialização escolhida, o núcleo de Educação Geral oferece amplitude de compreensão em uma variedade de disciplinas. Juntos, o núcleo de Educação Geral e o programa de graduação principal oferecem aos alunos o conhecimento, as habilidades e as perspectivas para se tornarem cidadãos informados e engajados que vivem em uma comunidade global diversificada.

    Objetivos do programa: O Programa de Educação Geral da KSU tem quatro objetivos. Durante o curso do programa, os alunos devem alcançar o seguinte:

    Demonstrar conhecimento e compreensão das disciplinas de educação geral.
    Demonstrar proficiência em comunicação.
    Demonstrar habilidades de investigação, pensamento crítico, análise e solução de problemas por meio de atividades acadêmicas e / ou criativas nas disciplinas de educação geral.
    Demonstrar uma compreensão da ética, diversidade e uma perspectiva global.

    MATH 1190 satisfaz um dos requisitos do programa de educação geral da Kennesaw State University. Ele aborda o resultado da aprendizagem de matemática aplicada. Este resultado de aprendizagem afirma:

    Matemática aplicada: os alunos demonstrarão a capacidade de aplicar representações simbólicas de maneira eficaz para modelar e resolver problemas.

    Para obter mais informações sobre os requisitos do programa de educação geral da KSU e resultados de aprendizagem associados, visite o tópico "Requisitos de graduação para toda a universidade" no Catálogo de graduação da KSU.

    MATEMÁTICA 1190 - Cálculo I

    4 horas de aula 0 horas de laboratório 4 horas-crédito
    Pré-requisito: Uma nota “C” ou melhor no MATH 1112 ou MATH 1113 ou aprovação do chefe do departamento.

    Este curso é o primeiro no currículo de cálculo e apresenta os conceitos centrais do cálculo. Os tópicos incluem limites, continuidade, derivadas de funções algébricas e transcendentais de uma variável, aplicações desses conceitos e uma breve introdução à integral de uma função.

    Resultados de aprendizagem esperados

    Ao concluir com sucesso este curso, os alunos serão capazes de:

    1. Avalie os limites e a continuidade das funções.

    2. Calcular derivadas de funções algébricas, trigonométricas, exponenciais e logarítmicas.

    3. Use derivados para resolver problemas aplicados.

    4. Calcule integrais de funções algébricas, trigonométricas, exponenciais e logarítmicas.

    5. Use integrais para resolver problemas aplicados.

    Informação do instrutor
    Dra. Sarah Holliday

    Endereço do escritório: D216 Marietta Campus

    Número de telefone: 470-578-4923

    Endereço de e-mail: [email protected]

    Horário de atendimento: TR imediatamente antes e depois das aulas em Marietta, e com hora marcada.

    Acomodações para alunos com deficiência

    "Aviso importante: Qualquer aluno que, por causa de uma condição de deficiência, possa requerer alguns arranjos especiais a fim de atender aos requisitos do curso, deve entrar em contato com o instrutor o mais rápido possível para providenciar as acomodações necessárias. Os alunos devem apresentar verificação apropriada do KSU Student Disability Services . Não existem requisitos para que as acomodações sejam feitas antes da conclusão deste processo aprovado da Universidade. "

    Materiais do curso:

    Textbook: Single Variable Calculus, Early Transcendentals, 1st edition, por Michael Sullivan e Kathleen Miranda. Ele está disponível na livraria da universidade e provavelmente virá junto com um código WebAssign.

    Política de tecnologia: os alunos desejam ter acesso a um computador conectado à Internet, existem vários laboratórios de informática para uso dos alunos (por exemplo, na biblioteca). A calculadora TI-83/84 é usada para este curso. Você NÃO pode compartilhar calculadoras durante questionários ou exames. Não é permitido o uso de telefones celulares, pagers, mensagens de texto ou outros dispositivos de mensagens durante as aulas.

    D2L Brightspace: As informações do curso serão publicadas no D2L, periodicamente.

    Recurso online: WebAssign (inclui acesso à versão completa do eText do Single Variable Calculus, Early Transcendentals, 1ª edição). Usado para os deveres de casa necessários. Novos livros comprados nas livrarias KSU e General devem vir com um código de acesso de estudante para WebAssign. Qualquer pessoa que queira apenas comprar o código de acesso do aluno para WebAssign (sem comprar o livro didático) pode comprar o código WebAssign na livraria ou apresentar seu plástico online no site WebAssign para assinar. O acesso temporário enquanto aguarda o auxílio financeiro está disponível no site. O acesso à cópia específica do curso do WebAssign será:

    www.webassign.net e digite a chave da classe:

    Seção das 16h: kennesaw 0873 3188

    Seção das 18h: kennesaw 2086 8017

    Lição de casa, questionários e exames

    A lição de casa será atribuída diariamente, mas não será coletada sem aviso prévio. Dúvidas sobre problemas de dever de casa podem ser respondidas em horário comercial e / ou em sala de aula. Os questionários ocorrerão com frequência e ocasionalmente sem aviso. As perguntas do questionário normalmente vêm de problemas de dever de casa. Haverá três exames em sala de aula e um final.

    Os testes presenciais terão um valor de 20% cada, os questionários e trabalhos para levar para casa terão um valor total de 15% e o final terá um valor de 25%.

    Se eu for contatado com uma desculpa aceitável antes da data do questionário ou exame, uma maquiagem pode ser arranjada. Uma desculpa aceitável é por escrito, contendo o nome do aluno, a data da ausência, a assinatura de um membro do corpo docente que patrocinou a viagem, informações de contato do membro do corpo docente e uma breve menção da natureza da viagem.

    7 de janeiro (M) Primeiro dia de aulas

    27 de fevereiro (W) Prazo de retirada

    Férias de primavera de 1 a 5 de abril (MF)
    9-11 de abril (TR) Teste 3

    29 de abril (M) Último dia de aulas

    2 de maio (R) Exame final - 15h30 para a aula das 16h e 18h para a aula das 18h.

    Os alunos que descobrirem que não podem continuar na faculdade durante todo o semestre após a matrícula, por motivo de doença ou qualquer outro motivo, precisam preencher um formulário online. Para desistir total ou parcialmente das aulas na KSU, o aluno deve desistir online em www.kennesaw.edu, em Owl Express, Student Services.

    A data em que o cancelamento for enviado online será considerada a data oficial de cancelamento da KSU, que será usada no cálculo de qualquer reembolso de mensalidade ou reembolso para auxílio estudantil federal e / ou programas de bolsa HOPE. É aconselhável imprimir a página final do saque para seu registro. As retiradas enviadas online antes da meia-noite do último dia para retirar-se sem penalidade acadêmica receberão uma nota “W”. As retiradas após a meia-noite receberão um “WF”. A falha em completar o processo de retirada online não produzirá nenhuma retirada das aulas. Ligue para o Escritório de Registros em 770-423-6200 durante o horário comercial se precisar de ajuda.

    Os alunos podem, por meio do mesmo cancelamento online e com a aprovação do Reitor da universidade, desistir de cursos individuais, mantendo outros cursos em suas agendas. Esta opção pode ser exercida até quarta-feira, dia 27 de fevereiro.

    Esta é a data de retirada sem penalidade acadêmica para as aulas do semestre de primavera de 2019. O não desistência na data acima significará que o aluno optou por receber a (s) nota (s) final (is) obtida (s) no (s) curso (s). A única exceção a esses regulamentos de retirada será para os casos que envolvem circunstâncias incomuns e totalmente documentadas.

    Cada aluno da KSU é responsável por manter as disposições da Declaração de Direitos e Responsabilidades do Estudante, conforme publicado nos Catálogos de Graduação e Pós-Graduação. A Seção II da Declaração de Direitos e Responsabilidades do Estudante aborda a política da Universidade sobre honestidade acadêmica, incluindo disposições sobre plágio e trapaça, acesso não autorizado a materiais da Universidade, deturpação / falsificação de registros da Universidade ou trabalho acadêmico, remoção maliciosa, retenção ou destruição da biblioteca materiais, uso indevido / intencional de instalações e / ou serviços de computador e uso indevido de cartões de identificação do aluno. Incidentes de suposta má conduta acadêmica serão tratados através dos procedimentos estabelecidos do Departamento de Conduta do Aluno e Integridade Acadêmica (SCAI), que inclui uma resolução "informal" por um membro do corpo docente, resultando em um ajuste de nota, ou um procedimento de audiência formal, que pode sujeitar o aluno ao requisito de suspensão mínima de um semestre do Código de Conduta.

    Capítulo 1 Limites e continuidade
    1.1 Limites de funções usando técnicas numéricas e gráficas
    1.2 Limites de funções usando propriedades de limites
    1.3 Continuidade
    1.4 Limites e continuidade das funções trigonométricas, exponenciais e logarítmicas
    1.5 Limites infinitos Limites nas assíntotas infinitas

    Capítulo 2 A Derivada
    2.1 Taxas de variação e o derivado
    2.2 A Derivada como Função
    2.3 A derivada de uma função polinomial A derivada de y = ex
    2.4 Diferenciando o produto e o quociente de duas funções derivadas de ordem superior
    2.5 A derivada das funções trigonométricas

    Capítulo 3 Mais sobre derivados
    3.1 A Regra da Corrente
    3.2 Derivados de diferenciação implícita das funções trigonométricas inversas
    3.3 Derivadas de funções logarítmicas

    Capítulo 4 Aplicações da Derivada
    4.1 Taxas Relacionadas
    4.2 Números Críticos de Valores Máximos e Mínimos
    4.3 O Teorema do Valor Médio
    4.4 Extrema e Concavidade Local
    4.5 Formulários Indeterminados e Regra de L'Hôpital
    4.7 Otimização
    4.8 Equações Diferenciais Antiderivadas

    Capítulo 5 O Integral
    5.1 Área
    5.2 O Integral Definido
    5.3 O Teorema Fundamental do Cálculo
    5.4 Propriedades do Integral Definido

    1.1: 13, 14, 17—28, 31, 35, 37—40, 59

    1.2: 15, 19, 31, 33, 35, 39, 41, 47, 51, 53, 55, 59, 73, 75, 77, 83, 85

    1.3: 13—18, 21, 22, 25, 29, 41, 45, 51, 52—56, 59, 61, 63, 79, 84

    1.4: 9, 13, 17, 19,23, 25, 27,35, 37, 41, 43

    1,5: 9-27, 29, 31, 37, 39, 41, 43, 49, 53, 61, 63, 67, 69, 73a, 77, 82

    2.1: 7, 9, 13, 17, 21, 27, 29, 33, 37, 39, 44, 45, 49

    2.2: 5, 7, 9, 13, 15, 19, 23—34, 45, 46

    2.3: 7, 13, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 33ab, 37, 39, 43, 45, 47, 57, 59, 74

    2.4: 9, 17, 21, 29, 33, 39, 41, 45, 53, 57, 69, 75, 83, 84, 85

    2.5: 5, 11, 15, 17, 25, 29, 35, 41, 45, 55, 59, 65, 67

    3.1: 15, 23, 27, 31, 35, 37, 39, 41, 47, 51, 53, 55, 67, 69, 75, 77, 97, 98

    3.2: 7, 9, 11, 15, 21, 25, 29, 31, 35, 39, 43, 47, 49, 51, 53, 63, 85, 89, 91, 96

    3.3: 7, 9, 11, 15, 19, 23, 33, 37, 41, 45, 47, 51, 53, 55, 57, 59, 63, 69, 73, 75

    4.1: 7, 9, 13, 19, 21, 23, 24, 29, 31, 33

    4.2: 7—10,15, 39, 19, 43, 23, 47, 29, 53, 31, 55, 59, 71a

    4.4: 9, 11, 13, 17, 25, 31, 35, 39, 47, 51, 57, 67, 71, 87—91

    4.5: 7, 11, 29, 31, 33, 37, 39, 91 (Observe que apenas 0/0 e ∞ / ∞ formas indeterminadas são exigidas no currículo do Calc 1. Todas as outras formas indeterminadas serão abordadas no Calc 2.)

    4.7: 1, 3, 5, 7, 8, 9, 11, 13, 14, 15, 19, 23, 34

    4.8: 9, 11, 15, 17, 19, 23, 25, 27, 29, 31, 35, 37, 41, 43, 51, 53

    5.2: 11, 15, 17, 19, 23, 33, 35, 37

    5.3: 5, 7, 11, 15,19, 20, 23, 25, 26, 27, 29, 33, 35, 39, 43, 45, 47, 51—54, 55


    Sim, se soubermos de antemão que o limite existe.

    Para $ L_5 $: $ L_5 = lim_ frac < sin ^ <-1> x-x> 8L_5 = lim_ frac < sin ^ <-1> 2x-2x> 4L_5 = lim_ frac < frac12 sin ^ <-1> 2x-x> 3L_5 = lim_ frac < frac12 sin ^ <-1> 2x- sin ^ <-1> x> 6L_5 = lim_ frac < sin ^ <-1> 2x-2 sin ^ <-1> x> 6L_5 = lim_ frac < sin ^ <-1> left (-4 x ^ 3-2 sqrt <1-4 x ^ 2> sqrt <1-x ^ 2> x + 2 x right)> 6L_5 = lim_ frac <-4 x ^ 3 + 2x (1- sqrt <1-4 x ^ 2> sqrt <1-x ^ 2>)> 6L_5 = lim_-4 + 2 frac <(1- sqrt <1-5 x ^ 2 + 4x ^ 4>)> 6L_5 = lim_-4 + 2 frac <(1- sqrt <1-5 x ^ 2 + 4x ^ 4>)>$ Uma vez que você consideraria o teorema binomial como uma expansão em série, se não for bem e bem, se sim, então farei: Agora, deixe $ sqrt <1-5 x ^ 2 + 4x ^ 4> = sum a_kx ^ k $ , ao quadrado de ambos os lados, $ 1-5x ^ 2 + 4x ^ 4 = a_0 ^ 2 + 2a_0a_1x + (2a_0a_2 + a_1 ^ 2) x ^ 2 + (2a_0a_3 + a_1a_2) x ^ 3 + (2a_0a_4 + 2a_1a_3 + a_2 ^ 2) x ^ 4 +. $ Agora tomando ramo positivo: $ a_0 = 1, a_1 = 0, a_2 = -5 / 2, a_3 = 0, a_4 = -9 / 8. $ Então: $ 6L_5 = lim_-4 + 2 frac <(1- (1-5x ^ 2 / 2-9x ^ 4/8.))> grande L_5 = frac16 $

    Usando apenas identidades trigonométricas, nesta resposta, é mostrado que $ lim_ frac= - frac12 tag <1> $ Portanto, se subtrairmos de $ 1 $, obteremos $ lim_ frac < tan (x) - sin (x)> < tan (x) -x> = frac32 tag <2> $ Usando os limites comprovados geometricamente nesta resposta, podemos derivar $ begin lim_ frac < tan (x) - sin (x)> & amp = lim_ frac < tan (x) (1- cos (x))> & amp = lim_ frac < tan (x)> x frac < sin ^ 2 (x)> frac1 <1+ cos (x)> & amp = frac12 tag <3> end $ podemos dividir $ (3) $ por $ (2) $ para obter $ bbox [5px, border: 2px sólido # C0A000] < lim_ frac < tan (x) -x>= frac13> tag <4> $ e podemos multiplicar $ (1) $ por $ (4) $ para obter $ bbox [5px, border: 2px solid # C0A000] < lim_ frac < sin (x) -x>= - frac16> tag <5> $ Observe que $ (4) $ implica $ begin lim_ frac < tan (x) -x> < tan ^ 3 (x)> & amp = lim_ frac < tan (x) -x> lim_ frac< tan ^ 3 (x)> & amp = frac13 cdot1 tag <6> end $ Portanto, substituindo $ x mapsto tan ^ <-1> (x) $, $ bbox [5px, border: 2px solid # C0A000] < lim_ frac < tan ^ <-1> (x) -x>= - frac13> tag <7> $ Da mesma forma, $ (5) $ implica $ begin lim_ frac < sin (x) -x> < sin ^ 3 (x)> & amp = lim_ frac < sin (x) -x> lim_ frac< sin ^ 3 (x)> & amp = - frac16 cdot1 tag <8> end $ Portanto, substituindo $ x mapsto sin ^ <-1> (x) $, $ bbox [5px, border: 2px solid # C0A000] < lim_ frac < sin ^ <-1> (x) -x>= frac16> tag <9> $

    Usando o Teorema Binomial, temos $ left (1+ frac xn right) ^ n-1-x = frac<2n> x ^ 2 + sum_^ n binom frac tag <10> $ e para $ | x | le1 $, $ begin left | sum_^ n binom frac certo | & amp = | x | ^ 3 left | sum_^ n binom frac<>> right | & amp le | x | ^ 3 sum_^ infty frac1 [6pt] & amp = | x | ^ 3 left (e- tfrac52 right) tag <11> end $ Combinando $ (10) $ e $ (11) $ e tomando o limite de $ n a infty $, você obtém $ frac= frac12 + O (| x |) tag <12> $ e, portanto, $ bbox [5px, border: 2px solid # C0A000] < lim_ frac= frac12> tag <13> $ Um corolário simples de $ (13) $ é $ lim_ fracx = 1 tag <14> $ Portanto, segue-se que $ begin lim_ frac <(e ^ x-1) ^ 2> & amp = lim_ frac lim_ frac<(e ^ x-1) ^ 2> & amp = frac12 tag <15> end $ Se substituirmos $ x mapsto log (1 + x) $ em $ (15) $, obtemos $ lim_ frac= frac12 tag <16> $ Portanto, $ bbox [5px, border: 2px sólido # C0A000] < lim_ frac < log (1 + x) -x>= - frac12> tag <17> $


    Assista o vídeo: Reguła de lHospitala - zadanie 8 (Outubro 2021).