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15.E: Integração Múltipla (Exercícios) - Matemática


15.1: Integrais duplos sobre regiões retangulares

Nos exercícios a seguir, use a regra do ponto médio com (m = 4 ) e (n = 2 ) para estimar o volume do sólido limitado pela superfície (z = f (x, y) ), o planos verticais (x = 1 ), (x = 2 ), (y = 1 ) e (y = 2 ), e o plano horizontal (x = 0 ).

(f (x, y) = 4x + 2y + 8xy )

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27.

(f (x, y) = 16x ^ 2 + frac {y} {2} )

Nos exercícios a seguir, estime o volume do sólido sob a superfície (z = f (x, y) ) e acima da região retangular R usando uma soma de Riemann com (m = n = 2 ) e os pontos de amostra como os cantos inferiores esquerdos dos sub-retângulos da partição.

(f (x, y) = sin space x - cos space y ), (R = [0, pi] times [0, pi] )

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0.

(f (x, y) = cos space x + cos space y ), (R = [0, pi] times [0, frac { pi} {2}] )

Use a regra do ponto médio com (m = n = 2 ) para estimar ( iint_R f (x, y) dA ), onde os valores da função f on (R = [8,10] times [9,11] ) são dados na tabela a seguir.

y
x99.51010.511
89.856.755.6
8.59.44.585.43.4
98.74.665.53.4
9.56.764.55.46.7
106.86.45.55.76.8

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21.3.

Os valores da função f no retângulo (R = [0,2] vezes [7,9] ) são dados na tabela a seguir. Estime o integral duplo ( iint_R f (x, y) dA ) usando uma soma de Riemann com (m = n = 2 ). Selecione os pontos de amostra para serem os cantos superiores direitos dos subquadrados de R.

(y_0 = 7 ) (y_1 = 8 ) (y_2 = 9 )
(x_0 = 0 )10.2210.219.85
(x_1 = 1 )6.739.759.63
(x_2 = 2 )5.627.838.21

A profundidade de uma piscina infantil de 1,2 m por 1,2 m, medida em intervalos de 1 m, é fornecida na tabela a seguir.

  1. Estime o volume de água da piscina usando uma soma de Riemann com (m = n = 2 ). Selecione os pontos de amostra usando a regra do ponto médio em (R = [0,4] vezes [0,4] ).
  2. Encontre a profundidade média da piscina.
    y
    x01234
    011.522.53
    111.522.53
    211.51.52.53
    3111.522.5
    41111.52

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uma. 28 (ft ^ 3 ) b. 1,75 pés

A profundidade de um buraco de 3 por 3 pés no solo, medida em intervalos de 1 pé, é fornecida na tabela a seguir.

  1. Estimar o volume do buraco usando uma soma de Riemann com (m = n = 3 ) e os pontos de amostra serem os cantos superiores esquerdos das subquadras de (R ).
  2. Encontre a profundidade média do furo.
    y
    x0123
    066.56.46
    16.577.56.5
    26.56.76.56
    366.555.6

As curvas de nível (f (X, Y) = K ) da função f são dados no gráfico a seguir, onde k é uma constante.

  1. Aplique a regra do ponto médio com (M = N = 2 ) m = n = 2m = n = 2 para estimar o integral duplo ( iint_R f (x, y) dA ), onde (R = [0,2, 1] vezes [0,0,8] ).
  2. Estime o valor médio da função f em (R ).

uma. 0,112 b. (f_ {ave} ≃ 0,175 ); aqui (f (0,4,0,2) ≃ 0,1 ), (f (0,2,0,6) ≃− 0,2 ), (f (0,8,0,2) ≃ 0,6 ) e (f (0,8,0,6) ≃ 0,2 ).

As curvas de nível (f (x, y) = k ) da função f são dados no gráfico a seguir, onde k é uma constante.

  1. Aplique a regra do ponto médio com (m = n = 2 ) para estimar a integral dupla ( iint_R f (x, y) dA ), onde (R = [0,1,0,5] vezes [0,1,0,5] ).
  2. Estime o valor médio da função f em (R ).

O sólido sob a superfície (z = sqrt {4 - y ^ 2} ) e acima da região retangular (R = [0,2] times [0,2] ) é ilustrado no gráfico a seguir . Avalie o integral duplo ( iint_Rf (x, y) ), onde (f (x, y) = sqrt {4 - y ^ 2} ) encontrando o volume do sólido correspondente.

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(2 pi )

O sólido sob o plano (z = y + 4 ) e acima da região retangular (R = [0,2] vezes [0,4] ) é ilustrado no gráfico a seguir. Avalie o integral duplo ( iint_R f (x, y) dA ), onde (f (x, y) = y + 4 ), encontrando o volume do sólido correspondente.

Nos exercícios a seguir, calcule as integrais trocando a ordem de integração.

[ int _ {- 1} ^ 1 left ( int _ {- 2} ^ 2 (2x + 3y + 5) dx right) space dy ]

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40.

[ int_0 ^ 2 left ( int_0 ^ 1 (x + 2e ^ y + 3) dx right) space dy ]

[ int_1 ^ {27} left ( int_1 ^ 2 ( sqrt [3] {x} + sqrt [3] {y}) dy right) space dx ]

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( frac {81} {2} + 39 sqrt [3] {2} ).

[ int_1 ^ {16} left ( int_1 ^ 8 ( sqrt [4] {x} + 2 sqrt [3] {y}) dy right) space dx ]

[ int_ {ln space 2} ^ {ln space 3} left ( int_0 ^ 1 e ^ {x + y} dy right) space dx ]

[Ocultar solução]

(e - 1 ).

[ int_0 ^ 2 left ( int_0 ^ 1 3 ^ {x + y} dy right) space dx ]

[ int_1 ^ 6 left ( int_2 ^ 9 frac { sqrt {y}} {y ^ 2} dy right) space dx ]

[Ocultar solução]

(15 - frac {10 sqrt {2}} {9} ).

[ int_1 ^ 9 left ( int_4 ^ 2 frac { sqrt {x}} {y ^ 2} dy right) dx ]

Nos exercícios a seguir, avalie as integrais iteradas escolhendo a ordem de integração.

[ int_0 ^ { pi} int_0 ^ { pi / 2} sen (2x) cos (3y) dx space dy ]

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0.

[ int _ { pi / 12} ^ { pi / 8} int _ { pi / 4} ^ { pi / 3} [cot space x + tan (2y)] dx space dy ]

[ int_1 ^ e int_1 ^ e left [ frac {1} {x} sin (ln space x) + frac {1} {y} cos (ln space y) right] dx space dy ]

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((e - 1) (1 + sen1 - cos1) )

[ int_1 ^ e int_1 ^ e frac {sin (ln espaço x) cos (ln espaço y)} {xy} dx espaço dy ]

[ int_1 ^ 2 int_1 ^ 2 left ( frac {ln space y} {x} + frac {x} {2y + 1} right) dy space dx ]

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( frac {3} {4} ln left ( frac {5} {3} right) + 2b space ln ^ 2 2 - ln space 2 )

[ int_1 ^ e int_1 ^ 2 x ^ 2 ln (x) dy space dx ]

[ int_1 ^ { sqrt {3}} int_1 ^ 2 y space arctan left ( frac {1} {x} right) dy space dx ]

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( frac {1} {8} [(2 sqrt {3} - 3) pi + 6 space ln space 2] ).

[ int_0 ^ 1 int_0 ^ {1/2} (arcsin space x + arcsin space y) dy space dx ]

[ int_0 ^ 1 int_0 ^ 2 xe ^ {x + 4y} dy space dx ]

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( frac {1} {4} e ^ 4 (e ^ 4 - 1) ).

[ int_1 ^ 2 int_0 ^ 1 xe ^ {x-y} dy space dx ]

[ int_1 ^ e int_1 ^ e left ( frac {ln space y} { sqrt {y}} + frac {ln space x} { sqrt {x}} right) dy space dx ]

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(4 (e - 1) (2 - sqrt {e}) ).

[ int_1 ^ e int_1 ^ e left ( frac {x space ln space y} { sqrt {y}} + frac {y space ln space x} { sqrt {x}} right) dy space dx ]

[ int_0 ^ 1 int_1 ^ 2 left ( frac {x} {x ^ 2 + y ^ 2} right) dy space dx ]

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(- frac { pi} {4} + ln left ( frac {5} {4} right) - frac {1} {2} ln space 2 + arctan space 2 ).

[ int_0 ^ 1 int_1 ^ 2 frac {y} {x + y ^ 2} dy space dx ]

Nos exercícios a seguir, encontre o valor médio da função nos retângulos dados.

(f (x, y) = −x + 2y ), (R = [0,1] vezes [0,1] )

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( frac {1} {2} ).

(f (x, y) = x ^ 4 + 2y ^ 3 ), (R = [1,2] vezes [2,3] )

(f (x, y) = sinh espaço x + sinh espaço y ), (R = [0,1] vezes [0,2] )

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( frac {1} {2} (2 space cosh space 1 + cosh space 2 - 3) ).

(f (x, y) = arctan (xy) ), (R = [0,1] vezes [0,1] )

Deixar f e g ser duas funções contínuas tais que (0 leq m_1 leq f (x) leq M_1 ) para qualquer (x ∈ [a, b] ) e (0 leq m_2 leq g (y) leq M_2 ) para qualquer (y ∈ [c, d] ). Mostre que a seguinte desigualdade é verdadeira:

[m_1m_2 (b-a) (c-d) leq int_a ^ b int_c ^ d f (x) g (y) dy dx leq M_1M_2 (b-a) (c-d). ]

Nos exercícios a seguir, use a propriedade v. De integrais duplos e a resposta do exercício anterior para mostrar que as seguintes desigualdades são verdadeiras.

( frac {1} {e ^ 2} leq iint_R e ^ {- x ^ 2 - y ^ 2} space dA leq 1 ), onde (R = [0,1] times [ 0,1] )

( frac { pi ^ 2} {144} leq iint_R sin espaço x espaço cos y espaço dA leq frac { pi ^ 2} {48} ), onde (R = esquerda [ frac { pi} {6}, frac { pi} {3} direita] times left [ frac { pi} {6}, frac { pi} {3} direita ] )

(0 leq iint_R e ^ {- y} space cos x space dA leq frac { pi} {2} ), onde (R = left [0, frac { pi} {2} right] times left [0, frac { pi} {2} right] )

(0 leq iint_R (ln espaço x) (ln espaço y) dA leq (e - 1) ^ 2 ), onde (R = [1, e] vezes [1, e] )

Deixar f e g ser duas funções contínuas tais que (0 leq m_1 leq f (x) leq M_1 ) para qualquer (x ∈ [a, b] ) e (0 leq m_2 leq g (y) leq M_2 ) para qualquer (y ∈ [c, d] ). Mostre que a seguinte desigualdade é verdadeira:

((m_1 + m_2) (b - a) (c - d) leq int_a ^ b int_c ^ d | f (x) + g (y) | espaço dy espaço dx leq (M_1 + M_2 ) (b - a) (c - d) ).

Nos exercícios a seguir, use a propriedade v. De integrais duplos e a resposta do exercício anterior para mostrar que as seguintes desigualdades são verdadeiras.

( frac {2} {e} leq iint_R (e ^ {- x ^ 2} + e ^ {- y ^ 2}) dA leq 2 ), onde (R = [0,1] times [0,1] )

( frac { pi ^ 2} {36} iint_R (sin space x + cos space y) dA leq frac { pi ^ 2 sqrt {3}} {36} ), onde (R = [ frac { pi} {6}, frac { pi} {3}] vezes [ frac { pi} {6}, frac { pi} {3}] )

( frac { pi} {2} e ^ {- pi / 2} leq iint_R (cos space x + e ^ {- y}) dA leq pi ), onde (R = [0, frac { pi} {2}] times [0, frac { pi} {2}] )

( frac {1} {e} leq iint_R (e ^ {- y} - ln espaço x) dA leq 2 ), onde (R = [0, 1] vezes [0, 1 ] )

Nos exercícios a seguir, a função f é dado em termos de integrais duplos.

  1. Determine a forma explícita da função f.
  2. Encontre o volume do sólido sob a superfície (z = f (x, y) ) e acima da região R.
  3. Encontre o valor médio da função f em R.
  4. Use um sistema de álgebra computacional (CAS) para plotar (z = f (x, y) ) e (z = f_ {ave} ) no mesmo sistema de coordenadas.

[T] (f (x, y) = int_0 ^ y int_0 ^ x (xs + yt) ds space dt ), onde ((x, y) in R = [0,1] times [0 , 1] )

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uma. (f (x, y) = frac {1} {2} xy (x ^ 2 + y ^ 2) ); b. (V = int_0 ^ 1 int_0 ^ 1 f (x, y) dx space dy = frac {1} {8} ); c. (f_ {ave} = frac {1} {8} );

d.

[T] (f (x, y) = int_0 ^ x int_0 ^ y [cos espaço (s) + cos espaço (t)] dt espaço ds ), onde ((x, y) em R = [0,3] vezes [0,3] )

Mostre que se f e g são contínuos em ([a, b] ) e ([c, d] ), respectivamente, então

( int_a ^ b int_c ^ d | f (x) + g (y) | dy space dx = (d - c) int_a ^ b f (x) dx )

(+ int_a ^ b int_c ^ dg (y) dy space dx = (b - a) int_c ^ dg (y) dy + int_c ^ d int_a ^ bf (x) dx space dy ) .

Mostre que ( int_a ^ b int_c ^ d yf (x) + xg (y) dy space dx = frac {1} {2} (d ^ 2 - c ^ 2) left ( int_a ^ bf (x) dx right) + frac {1} {2} (b ^ 2 - a ^ 2) left ( int_c ^ dg (y) dy right) ).

[T] Considere a função (f (x, y) = e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} ), onde ((x, y) in R = [−1,1] times [−1 , 1] ).

  1. Use a regra do ponto médio com (m = n = 2,4, ..., 10 ) para estimar a integral dupla (I = iint_R e ^ {- x ^ 2 - y ^ 2} dA ). Arredonde suas respostas para os centésimos mais próximos.
  2. Para (m = n = 2 ), encontre o valor médio de f sobre a região R. Arredonde sua resposta para os centésimos mais próximos.
  3. Use um CAS para representar graficamente no mesmo sistema de coordenadas o sólido cujo volume é dado por ( iint_R e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} dA ) e o plano (z = f_ {ave} ).

[Ocultar solução]

uma. Para (m = n = 2 ), (I = 4e ^ {- 0,5} aproximadamente 2,43 ) b. (f_ {ave} = e ^ {- 0,5} simeq 0,61 );

c.

[T] Considere a função (f (x, y) = sin espaço (x ^ 2) espaço cos espaço (y ^ 2) ), onde ((x, y in R = [−1,1] times [-1,1] ).

  1. Use a regra do ponto médio com (m = n = 2,4, ..., 10 ) para estimar a integral dupla (I = iint_R sin espaço (x ^ 2) espaço cos espaço (y ^ 2 ) space dA ). Arredonde suas respostas para os centésimos mais próximos.
  2. Para (m = n = 2 ), encontre o valor médio de f sobre a região R. Arredonde sua resposta para os centésimos mais próximos.
  3. Use um CAS para representar graficamente no mesmo sistema de coordenadas o sólido cujo volume é dado por ( iint_R sin space (x ^ 2) space cos space (y ^ 2) space dA ) e o plano (z = f_ {ave} ).

Nos exercícios a seguir, as funções fnfn são fornecidas, onde (n geq 1 ) é um número natural.

  1. Encontre o volume dos sólidos (S_n ) sob as superfícies (z = f_n (x, y) ) e acima da região R.
  2. Determine o limite dos volumes dos sólidos (S_n ) como n aumenta sem limites.

(f (x, y) = x ^ n + y ^ n + xy, espaço (x, y) in R = [0,1] vezes [0,1] )

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uma. ( frac {2} {n + 1} + frac {1} {4} ) b. ( frac {1} {4} )

(f (x, y) = frac {1} {x ^ n} + frac {1} {y ^ n}, space (x, y) in R = [1,2] times [ 1,2] )

Mostre que o valor médio de uma função f em uma região retangular (R = [a, b] times [c, d] ) é (f_ {ave} approx frac {1} {mn} sum_ {i = 1} ^ m sum_ {j = 1} ^ nf (x_ {ij} ^ *, y_ {ij} ^ *) ), onde ((x_ {ij} ^ *, y_ {ij} ^ *) ) são os pontos de amostra de a partição de R, onde (1 leq i leq m ) e (1 leq j leq n ).

Use a regra do ponto médio com (m = n ) para mostrar que o valor médio de uma função f em uma região retangular (R = [a, b] times [c, d] ) é aproximado por

[f_ {ave} approx frac {1} {n ^ 2} sum_ {i, j = 1} ^ nf left ( frac {1} {2} (x_ {i = 1} + x_i) , space frac {1} {2} (y_ {j = 1} + y_j) right). ]

Um mapa isotérmico é um gráfico que conecta pontos com a mesma temperatura em um determinado momento por um determinado período de tempo. Use o exercício anterior e aplique a regra do ponto médio com (m = n = 2 ) para encontrar a temperatura média sobre a região dada na figura a seguir.

[Ocultar solução]

(56,5 ^ { circ} ) F; aqui (f (x_1 ^ *, y_1 ^ *) = 71, space f (x_2 ^ *, y_1 ^ *) = 72, space f (x_2 ^ *, y_1 ^ *) = 40, space f ( x_2 ^ *, y_2 ^ *) = 43 ), onde (x_i ^ * ) e (y_j ^ * ) são os pontos médios dos subintervalos das partições de [a, b] e [c, d] , respectivamente

15.2: Integrais duplos sobre regiões gerais

Nos exercícios a seguir, especifique se a região é do Tipo I ou do Tipo II.

A região (D ) limitada por (y = x ^ 3, espaço y = x ^ 3 + 1, espaço x = 0, ) e (x = 1 ) conforme mostrado na figura a seguir.

Encontre o valor médio da função (f (x, y) = 3xy ) na região representada no gráfico no exercício anterior.

[Ocultar solução]

( frac {27} {20} )

Encontre a área da região (D ) dada no exercício anterior.

A região (D ) limitada por (y = sin espaço x, espaço y = 1 + sin espaço x, espaço x = 0 ), e (x = frac { pi} {2 } ) conforme mostrado na figura a seguir.

[Ocultar solução]

Tipo I, mas não Tipo II

Encontre o valor médio da função (f (x, y) = cos espaço x ) na região representada no gráfico no exercício anterior.

Encontre a área da região (D ) dada no exercício anterior.

[Ocultar solução]

( frac { pi} {2} )

A região (D ) limitada por (x = y ^ 2 - 1 ) e (x = sqrt {1 - y ^ 2} ) conforme mostrado na figura a seguir.

Encontre o volume do sólido sob o gráfico da função (f (x, y) = xy + 1 ) e acima da região da figura do exercício anterior.

[Ocultar solução]

( frac {1} {6} (8 + 3 pi) )

A região (D ) limitada por (y = 0, space x = -10 + y, ) e (x = 10 - y ) conforme mostrado na figura a seguir.

Encontre o volume do sólido sob o gráfico da função (f (x, y) = x + y ) e acima da região na figura do exercício anterior.

[Ocultar solução]

( frac {1000} {3} )

A região (D ) limitada por (y = 0, space x = y - 1, space x = frac { pi} {2} ) conforme mostrado na figura a seguir.

A região (D ) limitada por (y = 0 ) e (y = x ^ 2 - 1 ) conforme mostrado na figura a seguir.

Tipo I e Tipo II

Seja (D ) a região limitada pelas curvas das equações (y = x, space y = -x ) e (y = 2 - x ^ 2 ). Explique por que (D ) não é nem do Tipo I nem II.

Seja (D ) a região limitada pelas curvas das equações (y = cos espaço x ) e (y = 4 - x ^ 2 ) e o eixo (x ). Explique por que (D ) não é nem do Tipo I nem II.

[Ocultar solução]

A região (D ) não é do Tipo I: não fica entre duas retas verticais e os gráficos de duas funções contínuas (g_1 (x) ) e (g_2 (x) ). A região


    Aqui estão algumas dicas. Primeiro, você pode pesquisar no Google "cálculo de problemas de comprimento de arco 2" e obter muitos exemplos em vários sites. Não olhe como eles resolveram, primeiro tente você mesmo. Em segundo lugar, Stewart Calculus tem muitos problemas de comprimento de arco (edição atual, capítulo 8, seção 1). Você pode comprar este livro usado por um bom preço. Excelente material de referência.

    Tenho certeza de que existem outros livros de Cálculo em circulação que também apresentam problemas de comprimento de arco o suficiente. Quando eu estava estudando, usei Thomas & amp Finney, bem como Edwards & amp Penney como referência. (Edições internacionais)

    Quase todo livro tem prática suficiente para seus propósitos. Existem muito pouco funções realmente diferentes $ y = f (x) $ para as quais a integral que você obteve é ​​"factível". Isso ocorre porque se você pegar a maior parte de $ f (x) $ e calcular $ sqrt <1+ (f '(x)) ^ 2>, tag <1> $, você acaba com algo que não pode ser integrado no elementar termos. É por isso que em muitos dos problemas que você deve fazer, a função $ 1 + (f '(x)) ^ 2 $ "magicamente" acaba sendo o quadrado de algo bom.

    Um exemplo típico seria algo como $ f (x) = frac <1> <2> (e ^ x + e ^ <-x>) $. Distinguir. Obtemos $ frac <1> <2> (e ^ x-e ^ <-x>) $. Quadrado e adicionar $ 1 $. Obtemos $ frac <1> <4> (e ^ <2x> -2 + e ^ <-2x>) + 1 $.

    Quando você traz a expressão para um denominador comum, você acaba com $ frac <1> <4> (e ^ <2x> + 2 + e ^ <-2x>) $, que "por acaso é" o quadrado de $ frac <1> <2> (e ^ x + e ^ <-x>) $. Então tire a raiz quadrada e agora a integração é fácil.

    Em problemas de comprimento de arco, é útil estar atento a simplificações mágicas. O infeliz é que, se você cometer um pequeno erro na álgebra, acabará com algo que não pode ser integrado em termos elementares.


    Exercícios de Cálculo por Norman Dobson, editado por Thomas Gideon

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    Cálculo I NYA - Conteúdo

    1. Limites (ps, pdf)
    2. Continuidade (ps, pdf)
    3. Definição de derivado (ps, pdf)
    4. Diferenciação u (ps, pdf)
    5. Tangentes e normais (ps, pdf)
    6. Taxas relacionadas (ps, pdf)
    7. Derivados superiores (ps, pdf)
    8. Esboço de curva (ps, pdf)
    9. Otimização (ps, pdf)
    10. Integração (ps, pdf)
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    12. Área (ps, pdf)
    13. Vários (ps, pdf)

    Cálculo II NYB - Conteúdo

    1. Integração (ps, pdf)
    2. Limites (ps, pdf)
    3. Volumes de revolução (ps, pdf)
    4. Sequências, séries geométricas e telescópicas (ps, pdf)
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    6. Série alternada (ps, pdf)

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    Regras para trabalhos de casa

    A colaboração em conjuntos de problemas é incentivada, mas

    1. Tente cada parte de cada problema sozinho. Leia cada parte do problema antes de pedir ajuda. Se você não entender o que está sendo solicitado, peça ajuda para interpretar o problema e tente resolvê-lo honestamente.
    2. Escreva cada problema independentemente. Em ambos os exercícios da Parte A e B, espera-se que você escreva a resposta com suas próprias palavras.
    3. Escreva em seu conjunto de problemas quem você consultou e as fontes que usou. Se você não fizer isso, poderá ser acusado de plágio e sujeito a penalidades graves.
    4. É ilegal consultar materiais de semestres anteriores.

    Integrando $ int ^ _0 e ^ , dx $ usando o truque de parametrização de Feynman

    Me deparei com este pequeno artigo no último fim de semana, ele apresenta um truque integral que explora a diferenciação sob o signo integral. Em sua última página, o autor, Sr. Anônimo, deixou vários exercícios sem nenhuma pista, um deles é avaliar a integral de Gauss $ int ^ infty_0 e ^ <-x ^ 2> , dx = frac < sqrt < pi >> <2> $ usando este truque de parametrização. Estive avaliando por tentativa e erro usando diferentes paramatrizações, mas sem sorte até agora.

    Aqui estão o que tentei até agora:

    Um primeiro instinto seria fazer algo como: $ I (b) = int ^ infty_0 e ^ <- f (b) x ^ 2> , dx $ para alguma função permissível $ f ( cdot) $, diferenciando-a levará a uma ode solucionável simples: $ frac = - frac <2f (b)> $ que dá: $ I (b) = frac< sqrt>. $ No entanto, encontrar essa constante $ C $ basicamente equivale a avaliar a integral original, estamos presos aqui sem deixar esse esquema de truque de parametrização.

    Uma segunda tentativa envolve um exercício na mesma página: $ I (b) = int ^ infty_0 e ^ <- frac-x ^ 2> dx. $ Tirando a derivada e reescalonando a integral usando a mudança de variável, temos: $ I '(b) = -2I (b). $ Isso nos dá outra constante $ C $ impossível de resolver em: $ I (b) = C e ^ <-2b> $ sem sair deste framework novamente.

    A terceira tentativa é tentar modificar a resposta de Américo Tavares nesta questão MSE: $ I (b) = int ^ infty_0 be ^ <- b ^ 2x ^ 2> , dx. $ É fácil mostrar que: $ I '(b) = int ^ infty_0 e ^ <- b ^ 2x ^ 2> , dx - int ^ infty_0 2b ^ 2 x ^ 2 e ^ <- b ^ 2x ^ 2> , dx = 0 $ por uma integração por identidade de partes: $ int ^ infty_0 x ^ 2 e ^ <- cx ^ 2> , dx = frac <1> <2c> int ^ infty_0 e ^ <- cx ^ 2> , dx. $ Então $ I (b) = C $, ai, preso novamente nesta constante.

    Observe que Provando $ displaystyle int_ <0> ^ < infty> e ^ <-x ^ 2> dx = frac < sqrt pi> <2> $ question, a resposta de Bryan Yocks é um tanto semelhante à ideia de parametrização, no entanto, ele tem que introduzir outra integração paramétrica para produzir uma integral definida levando a $ arctan $.

    Existe tal solução de truque de parametrização de um tiro como o autor Anonymous afirmou ser "parametrizações criativas e uma dose de diferenciação sob o integral"?


    $ A $ pode ser retirado da integral e, portanto, apenas multiplica a resposta final. A segunda integral pode ser expressa como a primeira usando integração por partes. Para o primeiro, observe que a derivada de $ -ae ^ <-ax> $ é $ e ^ <-ax> $. Edit: A derivada de $ e ^ <-ax> $ é $ -ae ^ <-ax> $.

    Dicas Para o primeiro, use uma substituição.

    Para o segundo, integre por partes.

    Um truque para o segundo é considerá-lo uma derivada da primeira função com respeito a a. Não é muito formal, mas muito útil. É assim: $ int_0 ^ infty Ax exp (-ax) = - A int_0 ^ infty frac exp (-ax) dx = -A frac int_0 ^ infty exp (-ax) dx $ A integral do primeiro é fácil, é só $ - frac <1> exp (-ax) $, como disse nos posts. O limite de um exponencial negativo para $ infty $ é apenas $ e para $ é $ 1 $. Então, obtemos: $ -A frac left (0- frac <1> right) = - frac$ Com este método você pode integrar $ int_0 ^ infty Ax ^ n exp (-ax) $ para cada $ n in mathbb$


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    Escrita sem revisão

    Registros de aprendizagem

    Quando os alunos começam a aula, eles recebem um aviso ao qual respondem por alguns minutos por escrito. A tarefa não foi projetada como um problema de matemática em si, mas sim para encorajar os alunos a se concentrarem na matemática.

    Um professor da quinta série normalmente usava registros de aprendizagem para revisar o material aprendido anteriormente. Em uma ocasião, a sugestão que ela fez foi: O que aprendemos sobre média, mediana e modo? A maioria dos alunos escreveu pelo menos meia página cheia de definições e exemplos (veja a Figura 1A). Enquanto estudava a probabilidade, um aluno escreveu a seguinte definição: "A 'probabilidade' de algo é a probabilidade de você obter, escolher ou encontrar algo." Ele então deu um exemplo usando formas e cartões coloridos (veja a Figura 1B).

    Figura 1A: entradas de registro de aprendizagem por alunos da quinta série - definições e exemplos de média, mediana e modo

    Figura 1B: Entradas de registro de aprendizagem por alunos da quinta série - definição e exemplos de probabilidade

    Este professor descobriu que a qualidade dos registros de aprendizagem melhorava à medida que os alunos compartilhavam seu trabalho: "[Quando um aluno compartilha] um registro que mostra uma compreensão clara, fornece a outros um exemplo a seguir" Além de encontrar registros de aprendizagem para ser uma forma eficaz de introduzir ou encerrar uma aula, o professor observou que a qualidade da discussão dos alunos sobre matemática durante as aulas era mais rica quando se esperava que os alunos escrevessem.

    Os registros de aprendizagem respeitam a integridade da escrita quando os alunos escrevem suas próprias conexões e exemplos. Ao mesmo tempo, eles promovem a compreensão matemática ao envolver as mentes dos alunos na transformação de informações de fatos a serem memorizados para a construção de significado (por exemplo, Newell, 2008).

    Pense-escreva-compartilhe

    Os professores costumam fazer perguntas e esperar que pelo menos um ou dois alunos levantem a mão. Um professor da quarta série de 2011 tentou envolver todos na classe, dando tempo para pensar e esperando que os alunos escrevessem antes de compartilhar. Para um think-write-share, ela perguntou: "O que é uma fração equivalente?" Ela deu aos alunos alguns minutos para pensar e, em seguida, pediu-lhes que escrevessem suas respostas antes de pedir aos alunos que compartilhassem, usando uma câmera de documentos. Ao refletir sobre o uso desta estratégia, o professor comentou:

    Presumi que todos entenderam [o que é uma fração equivalente], porque já fizemos isso por um tempo. No entanto, conforme compartilhamos, logo percebi que alguns de meus alunos pensavam que as frações equivalentes eram [apenas] frações iguais, por exemplo, 1 & amp # 82604 = 1 & amp # 82604.

    Para resolver esse equívoco, a professora selecionou estrategicamente os alunos para compartilhar com base no pensamento que viu demonstrado: "Crianças que estavam entendendo errado, crianças que estavam entendendo um pouco e aquelas que sabiam bem." Depois que várias respostas claras foram compartilhadas e discutidas (ver Figura 2A), o professor convidou todos os alunos a escreverem novamente, revisando seu trabalho original para refletir sua compreensão aumentada (ver Figura 2B).

    Figura 2A: compartilhamentos de pensar e escrever por alunos da quarta série - exemplo que mostra uma compreensão clara das frações equivalentes

    Figura 2B: compartilhamentos de pensamento e escrita por alunos da quarta série - exemplo de frações equivalentes, antes e depois da revisão

    A estratégia de pensar-escrever-compartilhar aumenta o envolvimento do aluno na escrita. Ao mesmo tempo, os alunos são responsabilizados por sua própria compreensão matemática.

    Anotações / anotações

    Os alunos podem estar acostumados a fazer anotações, mas agora peça a eles que também façam anotações. Além de listar os pontos principais de uma lição, os alunos podem escrever suas próprias reflexões e percepções. Um professor da quinta série usou a estratégia de tomar notas em matemática para estender a noção de números inteiros para inteiros, incluindo o conceito de número negativo.

    Ela pediu aos alunos que dobrassem os papéis ao meio na vertical. No lado esquerdo, ela orientou os alunos a definirem números inteiros e construirem linhas numéricas para demonstrar o tamanho relativo dos pares inteiros. No lado direito, os alunos escreveram suas próprias reações e observações. Um aluno escreveu: "Vou lembrar que, do lado negativo, quanto maior fica, menor fica. Achei isso legal." Outro aluno escreveu: "É estranho que -2 seja maior que -5." Este mesmo aluno criou sua própria analogia: "É como um piano, de baixo para cima com o dó médio. Do menor para o maior com zero. Zero e C não são pequenos, grandes, altos ou baixos" (ver Figura 3 )

    Figura 3: Anotações / Anotações: a concepção de inteiros de um quinto ano

    A tomada de notas honra tanto a escrita quanto a matemática. Ele incentiva os alunos a fazer conexões entre novos conceitos e materiais aprendidos anteriormente e suas experiências pessoais.


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    6. Substituir x de volta

    Estamos quase terminando agora que encontramos a antiderivada. Só precisamos escrever em termos de x de modo que nossa resposta realmente é a antiderivada da função com a qual começamos. Uma vez que já encontramos a antiderivada em termos de você, e nós sabemos você em termos de x, podemos simplesmente substituir por você.

    Decidimos na etapa 1 que

    e também descobrimos que nossa antiderivada em termos de você é

    Portanto, podemos conectar (x ^ 2 + 5 ) em para você para descobrir que a antiderivada de (f (x) = x (x ^ 2 + 5) ^ 3 ) é

    E é isso! Você pode aplicar essas 6 etapas para resolver qualquer problema de substituição em u.

    Espero que esta lição ajude, mas se ainda houver um tópico que você gostaria de aprender, dê uma olhada em algumas de minhas outras lições e soluções de problemas. Se você não conseguir encontrar o tópico ou pergunta que está procurando, basta me avisar enviando um e-mail para [email protected]!

    Eu também encorajo você a se juntar à minha lista de e-mail! Basta inserir seu nome e e-mail abaixo e vou enviar-lhe meu guia de estudo de cálculo 1 como um bônus para ajudá-lo a sobreviver ao cálculo!