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3.3: Integrais Triplos - Matemática


Nossa definição de integral dupla de uma função de valor real (f (x, y) ) sobre uma região (R ) em ( mathbb {R} ^ 2 ) pode ser estendida para definir um integral triplo de uma função de valor real (f (x, y, z) ) sobre um sólido (S ) em ( mathbb {R} ^ 3 ). Simplesmente procedemos como antes: o sólido (S ) pode ser encerrado em algum paralelepípedo retangular, que é então dividido em subparalelepípedos. Em cada subparalelepípedo dentro de (S ), com lados de comprimentos ( Delta x, Delta y text {e} Delta z ), escolha um ponto ((x ∗, y ∗, z ∗) ) Em seguida, defina a integral tripla de (f (x, y, z) ) sobre (S ), denotada por ( iiint limits_S f (x, y, z) dV ), por

[ iiint limits_S f (x, y, z) dV = lim sum sum sum f (x ∗, y ∗, z ∗) Delta x Delta y Delta z label {Eq3.7 } ]

onde o limite é sobre todas as divisões do paralelepípedo retangular encerrando (S ) em subparalelepípedos cuja diagonal maior vai para 0, e a soma tripla é sobre todos os subparalelepípedos dentro de (S ). Pode-se mostrar que este limite não depende da escolha do invólucro paralelepípedo retangular (S ). O símbolo (dV ) é freqüentemente chamado de elemento de volume.

Fisicamente, o que a integral tripla representa? Vimos que uma integral dupla pode ser pensada como o volume sob uma superfície bidimensional. Acontece que a integral tripla simplesmente generaliza essa ideia: pode ser pensada como representando o hipervolume sob um tridimensional hipersuperfície (w = f (x, y, z) ) cujo gráfico está em ( mathbb {R} ^ 4 ). Em geral, a palavra "volume" é frequentemente usada como um termo geral para significar o mesmo conceito para qualquer (n ) - objeto dimensional (por exemplo, comprimento em ( mathbb {R} ^ 1 ), área em ( mathbb {R} ^ 2 )). Pode ser difícil entender o conceito de “volume” de um objeto quadridimensional, mas pelo menos agora sabemos como calcular esse volume!

No caso em que (S ) é um paralelepípedo retangular ([x_1, x_2] vezes [y_1, y_2] vezes [z_1, z_2] ), ou seja, (S = {(x, y, z): x_1 ≤ x ≤ x_2, y_1 ≤ y ≤ y_2, z_1 ≤ z ≤ z_2} ), a integral tripla é uma sequência de três integrais iterados, a saber

[ iiint limits_S f (x, y, z) dV = int_ {z_1} ^ {z_2} int_ {y_1} ^ {y_2} int_ {x_1} ^ {x_2} f (x, y, z ) , dx , dy , dz label {Eq3.8} ]

onde a ordem de integração não importa. Este é o caso mais simples.

Um caso mais complicado é onde (S ) é um sólido que é limitado abaixo por uma superfície (z = g_1 (x, y) ), limitado acima por uma superfície (z = g_2 (x, y) ), (y ) é limitado entre duas curvas (h_1 (x) text {e} h_2 (x) ), e (x ) varia entre (a text {e} b ). Então

[ iiint limits_S f (x, y, z) dV = int_a ^ b int_ {h_1 (x)} ^ {h_2 (x)} int_ {g_1 (x, y)} ^ {g_2 (x , y)} f (x, y, z) , dz , dy , dx label {Eq3.9} ]

Observe, neste caso, que a primeira integral iterada resultará em uma função de (x ) e (y ) (uma vez que seus limites de integração são funções de (x text {e} y )), que então deixa você com uma integral dupla de um tipo que aprendemos a avaliar na Seção 3.2. Existem, é claro, muitas variações neste caso (por exemplo, mudar os papéis das variáveis ​​ (x, y, z )), então como você provavelmente pode dizer, integrais triplos podem ser bastante complicados. Neste ponto, apenas aprender como avaliar uma integral tripla, independentemente do que ela represente, é o mais importante. Veremos algumas outras maneiras em que integrais triplos são usados ​​posteriormente no texto.

Exemplo 3.7

Avalie ( displaystyle int_0 ^ 3 int_0 ^ 2 int_0 ^ 1 (x y + z) , dx , d y , dz ).

[ nonumber begin {align} int_0 ^ 3 int_0 ^ 2 int_0 ^ 1 (x y + z) , dx , dy , dz & = int_0 ^ 3 int_0 ^ 2 left ( dfrac {1} {2} x ^ 2y + xz big | _ {x = 0} ^ {x = 1} right) , dy , dz [4pt] nonumber & = int_0 ^ 3 int_0 ^ 2 left ( dfrac {1} {2} y + z right) , dy , dz [4pt] nonumber & = int_0 ^ 3 left ( dfrac {1} {4} y ^ 2 + yz big | _ {y = 0} ^ {y = 2} right) , dz [4pt] nonumber & = int_0 ^ 3 (1 + 2z) , dz [4pt ] nonumber & = z + z ^ 2 big | _0 ^ 3 = 12 end {align} ]

Exemplo 3.8

Avalie ( displaystyle int_0 ^ 1 int_0 ^ {1-x} int_0 ^ {2-x-y} (x + y + z) , dz , d y , dx ).

Solução

[ nonumber begin {align} int_0 ^ 1 int_0 ^ {1-x} int_0 ^ {2-xy} (x + y + z) , dz , dy , dx & = int_0 ^ 1 int_0 ^ {1-x} left ((x + y) z + dfrac {1} {2} z ^ 2 big | _ {z = 0} ^ {z = 2-xy} right) , dy , dx [4pt] nonumber & = int_0 ^ 1 int_0 ^ {1-x} left ((x + y) (2− x− y) + dfrac {1} {2} (2− x− y) ^ 2 right) , dy , dx [4pt] nonumber & = int_0 ^ 1 int_0 ^ {1-x} left (2− dfrac {1} {2} x ^ 2 - xy− dfrac {1} {2} y ^ 2 right) , dy , dx [4pt] nonumber & = int_0 ^ 1 left (2y− dfrac {1} {2 } x ^ 2 y− xy− dfrac {1} {2} xy ^ 2 - dfrac {1} {6} y ^ 3 big | _ {y = 0} ^ {y = 1-x} right ) , dx [4pt] nonumber & = int_0 ^ 1 left ( dfrac {11} {6} -2x + dfrac {1} {6} x ^ 3 right) , dx [ 4pt] nonumber & = dfrac {11} {6} xx ^ 2 + dfrac {1} {24} x ^ 4 big | _0 ^ 1 = dfrac {7} {8} end {align} ]

Observe que o volume (V ) de um sólido em ( mathbb {R} ^ 3 ) é dado por

[V = iiint limits_S 1dV label {Eq3.10} ]

Uma vez que a função sendo integrada é a constante 1, então a integral tripla acima se reduz a uma integral dupla dos tipos que consideramos na seção anterior se o sólido for limitado acima por alguma superfície (z = f (x, y) ) e delimitado abaixo pelo plano (xy ) - (z = 0 ). Existem muitas outras possibilidades. Por exemplo, o sólido pode ser limitado abaixo e acima por superfícies (z = g_1 (x, y) text {e} z = g_2 (x, y) ), respectivamente, com (y ) limitado entre dois curvas (h_1 (x) text {e} h_2 (x) ), e (x ) varia entre (a text {e} b ). Então

[ begin {align *} V & = iiint limits_S 1dV [4pt] & = int_a ^ b int_ {h_1 (x)} ^ {h_2 (x)} int_ {g_1 (x, y )} ^ {g_2 (x, y)} 1 , dz , dy , dx [4pt] & = int_a ^ b int_ {h_1 (x)} ^ {h_2 (x)} (g_2 ( x, y) - g_1 (x, y)) , dy , dx end {alinhar *} ]

assim como na Equação ref {Eq3.9}. Consulte o Exercício 10 para obter um exemplo.


Assista o vídeo: Integral Tripla - Coordenadas Cilíndricas #01 (Outubro 2021).