Artigos

1.10: O Gradiente - Matemática


Derivados direcionais

Suponha que você receba um mapa topográfico e queira ver o quão íngreme ele é de um ponto que não é devido a oeste ou norte. Lembre-se de que as inclinações para o norte e para o oeste são as duas derivadas parciais. As inclinações em outras direções serão chamadas de derivadas direcionais. Formalmente, nós definimos

Definição: Derivados Direcionais

Seja (f (x, y) ) uma função diferenciável e seja você ser um vetor unitário, então o derivada direcional de (f ) na direção de você é

[D_u f (x, y) = lim_ {t rightarrow 0} dfrac {f (x + tu_1, y + tu_2) - f (x, y)} {t}. ]

Observe que se você é ( hat { textbf {i}} ) então a derivada direcional é apenas (f_x ) e se você é ( hat { textbf {i}} ) o é (f_y ). Assim como existe uma maneira difícil e fácil de calcular derivadas parciais, existe uma maneira difícil e uma maneira fácil de calcular derivadas direcionais.

Seja (f (x, y) ) uma função diferenciável, e você seja um vetor unitário com direção ( hat { textbf {q}} ), então

[D_u f (x, y) = left langle f_x, f_y right rangle cdot left langle cos theta, sin theta right rangle. ]

Exemplo ( PageIndex {1} )

Deixar

[f (x, y) = 2x + 3y ^ 2 - xy ]

e

[ textbf {v} = left langle 3,2 right rangle. ]

Encontrar

[D_v f (x, y). ]

Solução

Nós temos

[f_x = 2 - y ; ; ; text {e} ; ; ; f_y = 6y - x ]

e

[|| textbf {v} || = sqrt {9 + 4} = sqrt {13}. ]

Por isso

[D_v f (x, y) = left langle 2 - y, 6y - x right rangle cdot left langle frac {3} { sqrt {13}}, frac {2} { sqrt {13}} right rangle ]

[= dfrac {2} { sqrt {13}} (2-y) + dfrac {3} { sqrt {13}} (6y-x). ]

Deixar

[f (x, y) = e ^ {xy ^ 2} ; ; ; e ;;; v = langle2, -5 rangle. ]

Encontre (D_v ; f (x, y) ).

O gradiente

Nós definimos

[ nabla f = langle f_x, f_y rangle. ]

Notar que

[D_u f (x, y) = ( nabla f) cdot u. ]

O gradiente tem um lugar especial entre as derivadas direcionais. O teorema abaixo afirma essa relação.

Teorema

  1. Se ( nabla f (x, y) = 0 ) então para todos você, (D_u f (x, y) = 0 ).
  2. A direção de ( nabla f (x, y) ) é a direção com derivada direcional máxima.
  3. A direção de ( nabla f (x, y) ) é a direção com a derivada direcional mínima.

Prova

1. Se

[ nabla f (x, y) = 0 ]

então

[D_u f (x, y) = nabla f cdot textbf {u} = 0 cdot textbf {u} = 0. ]

2.

[D_u f (x, y) = nabla f cdot textbf {u} = || nabla f || cos q. ]

Este é um máximo quando (q = 0 ) e um mínimo quando (q = p ). Se (q = 0 ) então ( nabla f ) e você apontar na mesma direção. Se (q = p ) então você e ( nabla f ) apontam em direções opostas. Isso prova 2 e 3.

Exemplo ( PageIndex {2} )

Suponha que uma colina tenha altitude

[w (x, y) = x ^ 2 - y. ]

Encontre a direção que é a subida mais íngreme e a descida mais íngreme no ponto ((2,3) ).

Solução

Nós achamos

[ nabla w = langle 2x, -y rangle = langle 4, -3 rangle. ]

Portanto, a subida mais íngreme é na direção

[ langle 4, -3 rangle ]

enquanto a descida mais íngreme está na direção

[- langle 4, -3 rangle = langle -4,3 rangle. ]

As curvas de gradiente e nível

Se (f ) é diferenciável em ((a, b) ) e ( nabla f ) é diferente de zero em ((a, b) ) então ( nabla ) é perpendicular ao nível curva através de ((a, b) ).


Gradiente

FX = gradiente (F) retorna o gradiente numérico unidimensional do vetor F. A saída FX corresponde a ∂F/∂x, que são as diferenças no x direção (horizontal). O espaçamento entre os pontos é considerado 1.

[FX, FY] = gradiente (F) retorna o x e y componentes do gradiente numérico bidimensional da matriz F. A saída adicional FY corresponde a ∂F/∂y, que são as diferenças no y (direção vertical. O espaçamento entre os pontos em cada direção é considerado 1.

[FX, FY, FZ. FN] = gradiente (F) retorna os N componentes do gradiente numérico de F, onde F é uma matriz com N dimensões.

[___] = gradiente (F, h) usa h como um espaçamento uniforme entre os pontos em cada direção. Você pode especificar qualquer um dos argumentos de saída nas sintaxes anteriores.

[___] = gradiente (F, hx, hy. hN) especifica N parâmetros de espaçamento para o espaçamento em cada dimensão de F.


Capítulo 1.2: Gradiente descendente com matemática.

Esta história, quero falar sobre um famoso algoritmo de aprendizado de máquina chamado Gradiente descendente que é usado para otimizar os algoritmos de inclinação da máquina e como funciona, incluindo a matemática.

Do capítulo 1, sabemos que precisamos atualizar m e b valores, nós os chamamos pesos no aprendizado de máquina. Vamos alias b e m como - θ0 e θ1 (teta 0 e teta 1), respectivamente.

Primeira vez, pegamos valores aleatórios para θ0 e θ1, e nós calculamos y

y = θ0 + θ1 * X
No aprendizado de máquina, dizemos hipótese então h (X) = θ0 + θ1 * X

h (X) = y, mas este y não é o valor real em nosso conjunto de dados, isso é y previsto a partir de nossa hipótese.

Por exemplo, digamos que nosso conjunto de dados é algo como abaixo e tomamos valores aleatórios que são 1 e 0.5 para θ0 e θ1 respectivamente.

A partir disso, calculamos o erro que é

acabamos de calcular o erro para um ponto de dados em nosso conjunto de dados, precisamos repetir isso para todos os pontos de dados em nosso conjunto de dados e somar todos os erros em um erro que é chamado Função de Custo ‘J (θ) ' no aprendizado de máquina.


Argumentos de entrada

Matriz de entrada F & # 8212 vetor | matriz | matriz multidimensional

Matriz de entrada, especificada como vetor, matriz ou matriz multidimensional.

Tipos de dados: solteiro | Duplo
Suporte para número complexo: sim

H & # 8212 Espaçamento uniforme entre pontos 1 (padrão) | escalar

Espaçamento uniforme entre pontos em todas as direções, especificado como escalar.

Exemplo: [FX, FY] = gradiente (F, 2)

Tipos de dados: solteiro | Duplo
Suporte para número complexo: sim

Hx, hy, hN & # 8212 Espaçamento entre pontos (como entradas separadas) 1 (padrão) | escalares | vetores

Espaçamento entre pontos em cada direção, especificado como entradas separadas de escalares ou vetores. O número de entradas deve corresponder ao número de dimensões da matriz de F. Cada entrada pode ser um escalar ou vetor:

Um escalar especifica um espaçamento constante nessa dimensão.

Um vetor especifica as coordenadas dos valores ao longo da dimensão correspondente de F. Nesse caso, o comprimento do vetor deve corresponder ao tamanho da dimensão correspondente.

Exemplo: [FX, FY] = gradiente (F, 0,1,2)

Exemplo: [FX, FY] = gradiente (F, [0,1 0,3 0,5], 2)

Exemplo: [FX, FY] = gradiente (F, [0,1 0,3 0,5], [2 3 5])

Tipos de dados: solteiro | Duplo
Suporte para número complexo: sim


Gradiente é outra palavra para "inclinação". Quanto mais alto o gradiente de um gráfico em um ponto, mais íngreme é a linha nesse ponto. Um gradiente negativo significa que a linha se inclina para baixo.

O vídeo abaixo é um tutorial sobre Gradientes.

Encontrando o gradiente de um gráfico de linha reta

Freqüentemente, é útil ou necessário descobrir qual é o gradiente de um gráfico. Para um gráfico de linha reta, escolha dois pontos no gráfico. O gradiente da linha = (mudança na coordenada y) / (mudança na coordenada x).

Neste gráfico, o gradiente = (mudança na coordenada y) / (mudança na coordenada x) = (8-6) / (10-6) = 2/4 = 1/2

Podemos, é claro, usar isso para encontrar a equação da reta. Como a linha cruza o eixo y quando y = 3, a equação deste gráfico é y = ½x + 3.

Encontrando o gradiente de uma curva

Para encontrar o gradiente de uma curva, você deve desenhar um esboço preciso da curva. No ponto em que você precisa saber o gradiente, desenhe um tangente para a curva. Uma tangente é uma linha reta que toca a curva em apenas um ponto. Você então encontra o gradiente desta tangente.

Encontre o gradiente da curva y = x² no ponto (3, 9).

Gradiente da tangente = (mudança em y) / (mudança em x)
= (9 - 5)/ (3 - 2.3)
= 5.71

Observação: este método dá apenas uma resposta aproximada. Quanto melhor for o seu gráfico, mais perto estará a sua resposta da resposta correta. Se o seu gráfico for perfeito, você deverá obter uma resposta 6 para a pergunta acima.

Duas linhas são paralelo se eles têm o mesmo gradiente.

As linhas y = 2x + 1 ey = 2x + 3 são paralelas, porque ambas têm um gradiente de 2.

Linhas perpendiculares (HIGHER TIER)

Duas linhas são perpendiculares se uma estiver em ângulo reto com a outra - em outras palavras, se as duas linhas se cruzarem e o ângulo entre as linhas for de 90 graus.

Se duas linhas são perpendiculares, então seus gradientes se multiplicam para dar -1.

Encontre a equação de uma reta perpendicular a y = 3 - 5x.

Esta linha tem gradiente -5. Uma linha perpendicular terá que ter um gradiente de 1/5, porque então (-5) × (1/5) = -1. Qualquer linha com gradiente 1/5 será perpendicular à nossa linha, por exemplo, y = (1/5) x.


Soluções de artigos anteriores | Edexcel | AS & # 038 A nível | Matemática | Core Mathematics 1 (C1-6663 / 01) | Ano 2014 | Junho | Q # 10

Uma curva com a equação y = f (x) passa pelo ponto (4,25).

uma. encontre f (x) simplificando cada termo.

b. Encontre uma equação da normal à curva no ponto (4, 25).

Dê sua resposta na forma ax + by + c = 0, onde a, bec são números inteiros a serem encontrados.

Recebemos as coordenadas de um ponto da curva (4,25).

Precisamos encontrar a equação de y em termos de x, isto é, f (x).

Podemos encontrar a equação da curva de sua derivada por meio da integração

Regra para integração de é:

Regra para integração de é:

Regra para integração de é:

Se um ponto encontra-se na curva , podemos descobrir o valor de . Substituímos valores de e na equação obtida a partir da integração da derivada da curva, ou seja, .

Portanto, substituindo as coordenadas do ponto (4,25) na equação acima

Portanto, a equação da curva C é

Precisamos encontrar a equação da normal à curva no ponto (4,25).

Para encontrar a equação da linha, precisamos das coordenadas dos dois pontos da linha (forma de dois pontos da equação da linha) ou das coordenadas de um ponto da linha e da inclinação da linha (forma do ponto-inclinação da equação da linha )

Já temos coordenadas de um ponto da normal (4,25). Portanto, precisamos da inclinação da normal para escrever sua equação.

Se uma linha é normal para a curva , então o produto de suas inclinações e nesse ponto (onde a linha é normal à curva) é

Podemos encontrar a inclinação normal da curva no ponto (4,25) se tivermos a inclinação da curva no mesmo ponto.

Precisamos encontrar o gradiente da curva C no ponto P (4,25).

O gradiente (inclinação) da curva em um ponto específico é a derivada da equação da curva nesse ponto específico.

Gradiente (inclinação) da curva em um ponto particular pode ser encontrado substituindo as coordenadas x desse ponto na expressão pelo gradiente da curva

Portanto, precisamos .

Nós já recebemos isso

Para gradiente da curva nos pontos (4,25), substitua em derivada da equação da curva.


Calculadora de conversão de inclinação percentual em graus

de Jon R 30 de abril de 2017 ->

Converta a porcentagem de inclinação em graus de um ângulo com esta Calculadora de conversão de porcentagem de inclinação.

Por cento em graus

Como você converte porcentagem de inclinação em graus?

Para converter, use esta fórmula de porcentagem para graus:
Graus = Tan -1 (Inclinação Percent / 100)


Exemplo: Com uma porcentagem de inclinação de 43%, os graus seriam:

Calculado, dá um ângulo de 23,27 graus.

Às vezes, a inclinação é referida como inclinação, ângulo, elevação, inclinação ou inclinação. Muitas profissões diferentes usam inclinação para descrever um ângulo. Por exemplo, na construção, você pode se referir à inclinação de um telhado ou ao grau de uma laje. Ambos se referem a ângulos. Isso pode confundir as pessoas quando elas tentam pensar em graus e porcentagem de inclinação. Por exemplo, conforme você se aproxima de um ângulo de 90 graus, a porcentagem da inclinação aumenta para o infinito. Há uma bela ilustração em Wikipedia isso ajuda a ilustrar este ponto.

Essa conversão também é útil ao representar gráficos de estatísticas. Ao converter porcentagens em graus, você pode ilustrar os dados em um gráfico de pizza. Pode haver variações diferentes de gráficos de pizza, mas, em sua essência, todos eles servem ao propósito de discernir facilmente diferentes porcentagens.

Como você pode imaginar, a conversão de porcentagens em graus de um ângulo é muito importante em muitos aspectos da engenharia. Este artigo de Greenbelt Consulting pode ajudá-lo a compreender melhor os graus, porcentagem de inclinação e gradiente em engenharia.


O valor mínimo

Na mesma figura, se desenharmos uma tangente no ponto verde, sabemos que se estamos nos movendo para cima, estamos nos afastando dos mínimos e vice-versa. Além disso, a tangente nos dá uma noção da inclinação da encosta.

A inclinação no ponto azul é menos acentuada do que no ponto verde, o que significa que levará muito menor degraus para atingir o mínimo do ponto azul do que do ponto verde.


Exemplos

Gradiente de Vetor

Calcule o gradiente de um vetor monotonicamente crescente.

Gráfico de contorno do campo vetorial

Calcule o gradiente 2-D de x e - x 2 - y 2 em uma grade.

Trace as linhas de contorno e vetores na mesma figura.

Aproximação de Função Linear

Use o gradiente em um ponto específico para aproximar linearmente o valor da função em um ponto próximo e compará-lo com o valor real.

A equação para aproximação linear de um valor de função é

f (x) ≈ f (x 0) + (∇ f) x 0 ⋅ (x - x 0).

Ou seja, se você souber o valor de uma função f (x 0) e a inclinação da derivada (∇ f) x 0 em um determinado ponto x 0, então você pode usar esta informação para aproximar o valor da função em um ponto próximo f (x) = f (x 0 + ϵ).

Calcule alguns valores da função seno entre -1 e 0,5. Em seguida, calcule o gradiente.

Use o valor da função e a derivada em x = 0,5 para prever o valor de sin (0,5005).

Calcule o valor real para comparação.

Calcular gradiente no ponto especificado

Encontre o valor do gradiente de uma função multivariada em um ponto especificado.

Considere a função multivariada f (x, y) = x 2 y 3.

Calcule o gradiente na grade.

Extraia o valor do gradiente no ponto (1, -2). Para fazer isso, primeiro obtenha os índices do ponto com o qual deseja trabalhar. Em seguida, use os índices para extrair os valores de gradiente correspondentes de fx e fy.

O valor exato do gradiente de f (x, y) = x 2 y 3 no ponto (1, -2) é

(∇ f) (1, - 2) = 2 x y 3 i ˆ + 3 x 2 y 2 j ˆ = - 1 6 i ˆ + 1 2 j ˆ.


Argumentos de entrada

Matriz de entrada F & # 8212 vetor | matriz | matriz multidimensional

Matriz de entrada, especificada como vetor, matriz ou matriz multidimensional.

Tipos de dados: solteiro | Duplo
Suporte para número complexo: sim

H & # 8212 Espaçamento uniforme entre pontos 1 (padrão) | escalar

Espaçamento uniforme entre pontos em todas as direções, especificado como escalar.

Exemplo: [FX, FY] = gradiente (F, 2)

Tipos de dados: solteiro | Duplo
Suporte para número complexo: sim

Hx, hy, hN & # 8212 Espaçamento entre pontos (como entradas separadas) 1 (padrão) | escalares | vetores

Espaçamento entre pontos em cada direção, especificado como entradas separadas de escalares ou vetores. O número de entradas deve corresponder ao número de dimensões da matriz de F. Cada entrada pode ser um escalar ou vetor:

Um escalar especifica um espaçamento constante nessa dimensão.

Um vetor especifica as coordenadas dos valores ao longo da dimensão correspondente de F. Nesse caso, o comprimento do vetor deve corresponder ao tamanho da dimensão correspondente.

Exemplo: [FX, FY] = gradiente (F, 0,1,2)

Exemplo: [FX, FY] = gradiente (F, [0,1 0,3 0,5], 2)

Exemplo: [FX, FY] = gradiente (F, [0,1 0,3 0,5], [2 3 5])

Tipos de dados: solteiro | Duplo
Suporte para número complexo: sim


Assista o vídeo: How to: Freeflow Gradient (Outubro 2021).