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2.5: Teoria de Hamilton-Jacobi - Matemática


A equação não linear (2.4.1) da seção anterior em mais uma dimensão é

$$
F (x_1, ldots, x_n, x_ {n + 1}, z, p_1, ldots, p_n, p_ {n + 1}) = 0.
]

O conteúdo do Hamilton1-Jacobi2 teoria é a teoria do caso especial

begin {equation}
label {nonlinearham}
F equiv p_ {n + 1} + H (x_1, ldots, x_n, x_ {n + 1}, p_1, ldots, p_n) = 0,
end {equation}

eu. e., a equação é linear em (p_ {n + 1} ) e não depende de (z ) explicitamente.

Observação. Formalmente, pode-se escrever a equação (2.4.1)

$$ F (x_1, ldots, x_n, u, u_ {x_1}, ldots, u_ {x_n}) = 0 ]

como uma equação do tipo ( ref {nonlinearham}). Defina (x_ {n + 1} = u ) e busque (u ) implicitamente de

$$ phi (x_1, ldots, x_n, x_ {n + 1}) = const., ]

onde ( phi ) é uma função que é definida por uma equação diferencial.

Suponha que ( phi_ {x_ {n + 1}} não = 0 ), então

begin {eqnarray *}
0 & = & F (x_1, ldots, x_n, u, u_ {x_1}, ldots, u_ {x_n})
& = & F (x_1, ldots, x_n, x_ {n + 1}, - frac { phi_ {x_1}} { phi_ {x_ {n + 1}}}, ldots, - frac { phi_ {x_n}} { phi_ {x_ {n + 1}}})
& = &: G (x_1, ldots, x_ {n + 1}, phi_1, ldots, phi_ {x_ {n + 1}}).
end {eqnarray *}

Suponha que (G _ { phi_ {x_ {n + 1}}} não = 0 ), então

$$ phi_ {x_ {n + 1}} = H (x_1, ldots, x_n, x_ {n + 1}, phi_ {x_1}, ldots, phi_ {x_ {n + 1}}). ]

As equações características associadas a ( ref {nonlinearham}) são

begin {eqnarray *}
x_ {n + 1} '( tau) & = & F_ {p_ {n + 1}} = 1
x_k '( tau) & = & F_ {p_k} = H_ {p_k}, qquad k = 1, ldots, n
z '( tau) & = & sum_ {l = 1} ^ {n + 1} p_lF_ {p_l} = sum_ {l = 1} ^ np_lH_ {p_l} + p_ {n + 1}
& = & sum_ {l = 1} ^ np_lH_ {p_l} -H
p '_ {n + 1} ( tau) & = & - F_ {x_ {n + 1}} - F_zp_ {n + 1}
& = & - F_ {x_ {n + 1}}
p_k '( tau) & = & - F_ {x_k} -F_zp_k
& = & - F_ {x_k}, qquad k = 1, ldots, n.
end {eqnarray *}

Defina (t: = x_ {n + 1} ), então podemos escrever a equação diferencial parcial ( ref {nonlinearham}) como

begin {equation}
label {hamjac}
u_t + H (x, t, nabla_xu) = 0
end {equation}
e (2n ) das equações características são
begin {eqnarray}
label {charhj1}
x '(t) & = & nabla_pH (x, t, p)
label {charhj2}
p '(t) & = & - nabla_xH (x, t, p).
end {eqnarray}
Aqui está

$$ x = (x_1, ldots, x_n), p = (p_1, ldots, p_n). ]

Seja (x (t), p (t) ) uma solução de ( ref {charhj1}) e ( ref {charhj2}), então segue (p_ {n + 1} '(t) ) e (z '(t) ) das equações características

begin {eqnarray *}
p '_ {n + 1} (t) & = & - H_t
z '(t) & = & p cdot nabla_pH-H.
end {eqnarray *}

Definição. A função (H (x, t, p) ) é chamada Função de hamilton, equação ( ref {nonlinearham}) Equação de Hamilton-Jacobi e o sistema ( ref {charhj1}), ( ref {charhj2}) sistema canônico para H.

Há uma interação interessante entre a equação de Hamilton-Jacobi e o sistema canônico. De acordo com a teoria anterior, podemos construir uma solução da equação de Hamilton-Jacobi usando soluções do sistema canônico. Por outro lado, obtém-se das soluções da equação de Hamilton-Jacobi também soluções do sistema canônico de equações diferenciais ordinárias.

Definição.
Uma solução ( phi (a; x, t) ) da equação de Hamilton-Jacobi, onde (a = (a_1, ldots, a_n) ) é uma (n ) - tupla de parâmetros reais, é chamado de integral completo da equação de Hamilton-Jacobi se
$$
det ( phi_ {x_ia_l}) _ {i, l = 1} ^ n not = 0.
]

Observação. Se (u ) é uma solução da equação de Hamilton-Jacobi, então também (u + const. )

Teorema 2.4 (Jacobi). Presumir

$$ u = phi (a; x, t) + c, c = const., phi in C ^ 2 mbox {em seus argumentos}, $$

é uma integral completa. Em seguida, obtém-se resolvendo de

$$ b_i = phi_ {a_i} (a; x, t) $$

com respeito a (x_l = x_l (a, b, t) ), onde (b_i i = 1, ldots, n ) recebem constantes reais e, em seguida, definindo

$$ p_k = phi_ {x_k} (a; x (a, b; t), t) $$

uma família de 2n parâmetros de soluções do sistema canônico.

Prova. Deixar

$$ x_l (a, b; t), l = 1, ldots, n, ]

ser a solução do sistema acima. A solução existe porque ( phi ) é uma integral completa por suposição. Definir

$$ p_k (a, b; t) = phi_ {x_k} (a; x (a, b; t), t), k = 1, ldots, n. ]

Mostraremos que (x ) e (p ) resolve o sistema canônico. Diferenciando ( phi_ {a_i} = b_i ) com respeito a (t ) e a equação de Hamilton-Jacobi ( phi_t + H (x, t, nabla_x phi) = 0 ) com respeito a (a_i ), obtemos para (i = 1, ldots, n )

begin {eqnarray *}
phi_ {ta_i} + sum_ {k = 1} ^ n phi_ {x_ka_i} frac { parcial x_k} { parcial t} & = & 0
phi_ {ta_i} + sum_ {k = 1} ^ n phi_ {x_ka_i} H {p_k} & = & 0.
end {eqnarray *}
Como ( phi ) é uma integral completa, segue-se para (k = 1, ldots, n )

$$ frac { partial x_k} { partial t} = H_ {p_k}. ]

Ao longo de uma trajetória, i. e., onde (a, b ) são fixos, é ( frac { parcial x_k} { parcial t} = x_k '(t) ). Desse modo

$$ x_k '(t) = H_ {p_k}. ]

Agora diferenciamos (p_i (a, b; t) ) com respeito a (t ) e ( phi_t + H (x, t, nabla_x phi) = 0 ) com respeito a (x_i ), e obter

begin {eqnarray *}
p_i '(t) & = & phi_ {x_it} + sum_ {k = 1} ^ n phi_ {x_ix_k} x_k' (t)
0 & = & phi_ {x_it} + sum_ {k = 1} ^ n phi_ {x_ix_k} H_ {p_k} + H_ {x_i}
0 & = & phi_ {x_it} + sum_ {k = 1} ^ n phi_ {x_ix_k} x_k '(t) + H_ {x_i}
end {eqnarray *}

Conclui-se finalmente que (p_i '(t) = - H_ {x_i} ).

(Caixa)

Exemplo 2.5.1: Problema de Kepler

O movimento de um ponto de massa em um campo central ocorre em um plano, digamos o ((x, y) ) - plano, veja a Figura 2.5.1, e satisfaz o sistema de equações diferenciais ordinárias de segunda ordem

$$ x '' (t) = U_x, y '' (t) = U_y, ]

Onde

$$ U (x, y) = frac {k ^ 2} { sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}}. ]

Aqui assumimos que (k ^ 2 ) é uma constante positiva e que o ponto de massa é atraído pela origem. No caso de ser pressionado, deve-se substituir (U ) por (- U ). Veja Landau e Lifschitz [12], Vol 1, por exemplo, sobre a física relacionada.

Figura 2.5.1: Movimento em um campo central

Definir

$$ p = x ', q = y' ]

e

$$ H = frac {1} {2} (p ^ 2 + q ^ 2) -U (x, y), ]

então

begin {eqnarray *}
x '(t) & = & H_p, y' (t) = H_q
p '(t) & = & - H_x, q' (t) = - H_y.
end {eqnarray *}
A equação de Hamilton-Jacobi associada é
begin {equation *}
phi_t + frac {1} {2} ( phi_x ^ 2 + phi_y ^ 2) = frac {k ^ 2} { sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}}.
end {equação *}
que está em coordenadas polares ((r, theta) )
begin {equation}
label {keplerhj}
phi_t + frac {1} {2} ( phi_r ^ 2 + frac {1} {r ^ 2} phi_ theta ^ 2) = frac {k ^ 2} {r}.
end {equation}
Agora vamos buscar uma integral completa de ( ref {keplerhj}) fazendo o ansatz
begin {equation}
label {ansatzhj}
phi_t = - alpha = const. phi_ theta = - beta = const.
end {equation}
e obter de ( ref {keplerhj}) que
$$
phi = pm int_ {r_0} ^ r sqrt {2 alpha + frac {2k ^ 2} { rho} - frac { beta ^ 2} { rho ^ 2}} d rho + c (t, theta).
$$
De ansatz ( ref {ansatzhj}) segue
$$
c (t, theta) = - alpha t- beta theta.
$$
Portanto, temos uma família de soluções de dois parâmetros
$$
phi = phi ( alpha, beta; theta, r, t)
$$
da equação de Hamilton-Jacobi. Esta solução é uma integração completa, veja um exercício.
De acordo com o teorema do conjunto de Jacobi
$$
phi_ alpha = -t_0, phi_ beta = - theta_0.
$$
Então
$$
t-t_0 = - int_ {r_0} ^ r frac {d rho} { sqrt {2 alpha + frac {2k ^ 2} { rho} - frac { beta ^ 2} { rho ^ 2}}}.
$$
A função inversa (r = r (t) ), (r (0) = r_0 ), é a coordenada (r ) dependendo do tempo (t ), e
$$
theta- theta_0 = beta int_ {r_0} ^ r frac {d rho} { rho ^ 2 sqrt {2 alpha + frac {2k ^ 2} { rho} - frac { beta ^ 2} { rho ^ 2}}}.
$$
A substituição ( tau = rho ^ {- 1} ) produz
begin {eqnarray *}
theta- theta_0 & = & - beta int_ {1 / r_0} ^ {1 / r} frac {d tau} { sqrt {2 alpha + 2k ^ 2 tau- beta ^ 2 tau ^ 2}}
& = & - arcsin Bigg ( frac { frac { beta ^ 2} {k ^ 2} frac {1} {r} -1} { sqrt {1+ frac {2 alpha beta ^ 2} {k ^ 4}}} Bigg)
+
arcsin Bigg ( frac { frac { beta ^ 2} {k ^ 2} frac {1} {r_0} -1} { sqrt {1+ frac {2 alpha beta ^ 2} { k ^ 4}}} Bigg).
end {eqnarray *}
Definir
$$
theta_1 = theta_0 + arcsin Bigg ( frac { frac { beta ^ 2} {k ^ 2} frac {1} {r_0} -1} { sqrt {1+ frac {2 alpha beta ^ 2} {k ^ 4}}} Bigg)
$$
e
$$
p = frac { beta ^ 2} {k ^ 2}, epsilon ^ 2 = sqrt {1+ frac {2 alpha beta ^ 2} {k ^ 4}},
$$
então
$$
theta- theta_1 = - arcsin left ( frac { frac {p} {r} -1} { epsilon ^ 2} right).
$$
Segue-se
$$
r = r ( theta) = frac {p} {1- epsilon ^ 2 sin ( theta- theta_1)},
$$
que é a equação polar das seções cônicas. Ele define uma elipse se (0 le epsilon <1 ), uma parábola se ( epsilon = 1 ) e uma hipérbole se ( epsilon> 1 ), consulte a Figura 2.5.2 para o caso de uma elipse, onde a origem do sistema de coordenadas é um dos pontos focais da elipse.

Figura 2.5.2: O caso de uma elipse

Para outra aplicação do teorema de Jacobi, veja Courant e Hilbert [4], Vol. 2, pp. 94, onde geodésicas em um elipsóide são estudadas.

1Hamilton, William Rowan, 1805--1865

2 Jacobi, Carl Gustav, 1805--1851


2.5: Teoria de Hamilton-Jacobi - Matemática

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Editor de edição especial

O rápido desenvolvimento da tecnologia, comunicação, organização industrial, integração econômica e comércio internacional tem estimulado o aparecimento de diferentes afirmações práticas na descrição da interação do agente, com base na teoria dos jogos. Uma abordagem estratégica para a tomada de decisões é muito útil em muitas áreas, como barganha, alocação de recursos, pesca, competição e cooperação, controle de poluição, rede e sistemas móveis competitivos. As principais ferramentas na análise de modelos de jogos são os métodos matemáticos. Em jogos dinâmicos, a equação de Hamilton-Jacobi-Bellman e o princípio do máximo de Pontryagin são muito úteis. A teoria dos jogos dinâmicos tem muitas aplicações em muitos campos, incluindo biologia, ciência da computação, ecologia, economia e gestão. Nos jogos de rede, o resultado das interações entre os agentes é definido por uma determinada rede. Jogos de rede são jogos em gráficos - modelos teóricos de grafos são muito importantes neste campo. Essa direção na teoria dos jogos apareceu em conexão com o surgimento de novas tecnologias de informação. Em primeiro lugar, é a Internet global, comunicações móveis, computação distribuída e em nuvem e redes sociais. Em jogos de roteamento, os jogadores escolhem canais de transferência de informações com larguras de banda limitadas. O equilíbrio, aqui, é o resultado da aplicação da teoria de otimização. As redes sociais parecem levar a muitas novas formulações de problemas teóricos dos jogos. Os usuários dessas redes estão unidos em comunidades, formando redes de diferentes topologias. Uma análise da estrutura de tal gráfico é importante por si só, mas também é importante para ser capaz de avaliar os resultados das interações teóricas do jogo de equilíbrio em tais redes. O espectro de abordagens matemáticas na teoria dos jogos é muito amplo.

Esta edição especial contém artigos que cobrem a ampla gama de métodos matemáticos usados ​​na teoria dos jogos, incluindo avanços recentes em áreas de alto potencial para trabalhos futuros, bem como novos desenvolvimentos em resultados clássicos. Será do interesse de qualquer pessoa que faça pesquisas teóricas em teoria dos jogos ou trabalhe em uma de suas inúmeras aplicações.

Prof. Dr. Vladimir Mazalov
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Problema inverso para equações de Hamilton-Jacobi

onde $ u_0 in C ^ <0,1> ( mathbb^ n) $ e o hamiltoniano $ H: mathbb^ n rightarrow mathbb$ é assumido para satisfazer as seguintes hipóteses:

Aqui, o desconhecido $ u $ é uma função $ [0, T] times mathbb^ n longrightarrow mathbb$, e a desigualdade $ H_(p) & gt0 $ significa que a matriz hessiana de $ H $ em $ p $ é definida positiva. O estudo das equações de Hamilton-Jacobi surge no contexto da teoria de controle ótimo e cálculo de variações, onde a função de valor satisfaz, em um sentido fraco, uma equação de Hamilton-Jacobi. Nesse contexto, as equações de Hamilton-Jacobi têm aplicações nos mais diversos campos, como economia, física, finanças matemáticas, fluxo de tráfego e óptica geométrica.

Nosso objetivo neste tutorial é estudar o problema de design inverso associado a (HJ). Mais precisamente, para um dado função alvo $ u_T $ e a Horizonte temporal $ T & gt0 $, queremos construir todos os condições iniciais $ u_0 $ tal que a solução de viscosidade de (HJ) coincide com $ u_T $ no tempo $ T $.

O estudo deste problema também pode ser motivado considerando a seguinte questão:

Dada uma observação da solução para (HJ) no tempo $ T & gt0 $, podemos construir todos os dados iniciais possíveis que concordam com a observação no tempo $ T $?

Para este propósito, para um $ T & gt0 $ fixo, definimos o seguinte operador não linear, que associa a qualquer condição inicial $ u_0 $, a função $ u (T, cdot) $, onde $ u $ é a solução de viscosidade de ( HJ):

O problema de projeto inverso que estamos considerando é então reduzido a, para $ u_T $ e $ T & gt0 $ dados, caracterizar todas as condições iniciais $ u_0 $ satisfazendo $ S_T ^ + u_0 = u_T $.

Acessibilidade do alvo

A primeira coisa que se nota ao abordar esse problema é que nem todos os alvos Lipschitz são alcançáveis. De fato, como é bem conhecido, a solução de viscosidade para (HJ) é sempre uma função semiconcava (ver [2,4]). Portanto, uma condição necessária óbvia (mas não suficiente) para a alcançabilidade de $ u_T $ é que ela deve ser uma função semiconcava. Consulte as Figuras 1 e 2 para alguns exemplos de alvos inacessíveis nas dimensões 1 e 2, respectivamente. Observe que, em particular, não são funções semiconcavas.

Figura 1: Duas funções de destino inalcançáveis ​​na dimensão 1.

Em seguida, começamos nosso estudo caracterizando o conjunto de alvos que são alcançáveis. Em outras palavras, para um dado $ u_T $ e $ T & gt0 $, pretendemos determinar se existe ou não pelo menos uma condição inicial $ u_0 $ satisfazendo $ S_T ^ + u_0 = u_T $. O candidato natural é aquele obtido pela inversão do tempo na equação, considerando $ u_T $ como condição terminal. Aqui, temos que considerar a classe de soluções de viscosidade reversa, para a qual o problema do valor terminal associado a (HJ) está bem colocado (ver por exemplo [1]).

Em seguida, definimos o operador reverso do seguinte modo:

que associa a qualquer condição terminal $ u_T $, a função $ w (0, cdot) $, ou seja, a solução única de viscosidade reversa no tempo $, com a condição terminal $ u_T $.

Figura 2: Duas funções de destino inacessíveis na dimensão 2.

Vamos apresentar, para um destino $ u_T $ e um horizonte de tempo $ T & gt0 $, o conjunto

das condições iniciais $ u_0 $ satisfazendo $ S_T ^ + u_0 = u_T $. Dizemos que um alvo $ u_T $ é alcançável para o horizonte de tempo $ T $ if $ I_T (u_T) neq emptyset $. Podemos dizer de forma equivalente que $ u_T $ é um observação admissível no momento $ T & gt0 $.

Aqui damos um resultado que identifica o conjunto de alvos alcançáveis ​​(ou observações admissíveis) no tempo $ T $, com os pontos fixos do operador de composição $ S_T ^ + circ S_T ^ - $.

Teorema 1: Deixe $ H $ satisfazer (2), $ u_T in C ^ <0,1> ( mathbb^ n) $ e $ T & gt0 $. Então, o conjunto $ I_T (u_T) $ não é vazio se e somente se $ S_T ^ + left (S_T ^ - u_T right) = u_T. $

Em outras palavras, um alvo é alcançável se e somente se a condição inicial $ tilde_0: = S_T ^ - u_T $, obtido pela aplicação do operador de retrocesso, satisfaz $ tilde_0 em I_T (u_T) $. Ou equivalentemente, uma observação $ u_T $ no tempo $ T $ é admissível se e somente se $ S_T ^ + left (S_T ^ - u_T right) = u_T. $

Projeção no conjunto de alvos alcançáveis

No caso da observação $ u_T $ no momento $ T $ é não admissível, talvez devido aos efeitos do ruído ou a erros nas medições, podemos realmente projetá-lo no conjunto de observações admissíveis aplicando o operador $ S_T ^ + circ S_T ^ - $. Para um dado $ u_T in C ^ <0,1> ( mathbb^ n) $, definimos esta projeção da seguinte forma:

Observe que $ I_T (u_T ^ ast) neq emptyset $ para qualquer $ u_T em C ^ <0,1> ( mathbb^ n) $. Na verdade, $ tilde_0: = S_T ^ - u_T in I_T (u_T ^ ast) $ por definição.

Vídeo 1: Projeção dos exemplos da Figura 1 no conjunto de observações admissíveis nos tempos $ T = 0,3 $ e $ T = 0,8 $ respectivamente.

Nos Vídeos 1 e 2, observamos como os exemplos das Figuras 1 e 2 são projetados sobre o conjunto de alvos alcançáveis. Lembramos que a projeção é obtida resolvendo o problema (HJ) para trás no tempo e para a frente. Observe que, quando o tempo retrocede, a solução é semiconvexa, enquanto na resolução direta torna-se semiconcava. Veja [1,4] para os resultados clássicos relativos a este efeito de regularização e [2] para a definição e propriedades das funções semiconvexas e semiconvexas.

Vídeo 2: Projeção dos exemplos da Figura 2 sobre o conjunto de observações admissíveis no tempo $ T = 1 $.

Construção de dados iniciais

Uma vez projetada a observação $ u_T $ no conjunto de alvos alcançáveis ​​no tempo $ T $, procedemos à construção de todos os dados iniciais $ u_0 $ que satisfaçam $ S_T ^ + u_0 = u_T ^ ast $. Esta construção está contida no trabalho recente [3], e se lê da seguinte forma:

Teorema 2: Deixe $ H $ satisfazer (2) e $ T & gt0 $. Seja $ u_T in C ^ <0,1> ( mathbb^ n) $ e definir as funções

Então, para qualquer $ u_0 in C ^ <0,1> ( mathbb^ n) $, as duas declarações a seguir são equivalentes:

  1. $ u_0 em I_T (u_T ^ ast) $
  2. $ u_0 (x) geq tilde_0 (x), forall x in mathbb^ n quad text quad u_0 (x) = tilde_0 (x), para todos os x em X_T (u_T ^ ast), $

onde $ X_T (u_T ^ ast) $ é o subconjunto de $ mathbb^ n $ dado por

Diante desse resultado, observamos que, para uma dada observação admissível $ u_T ^ ast $ no tempo $ T $, a construção dos dados iniciais possíveis pode ser realizada após a obtenção dos dois seguintes ingredientes:

  • a função $ til_0 = S_T ^ - u_T ^ ast $, obtido como a solução de viscosidade reversa para (HJ) com a condição terminal $ u_T ^ ast $
  • e o conjunto $ X_T (u_T ^ ast) subset mathbb^ n $, que pode ser deduzido dos pontos de diferenciabilidade de $ u_T ^ ast $.

Nas Figuras 3 e 4 abaixo, podemos ver o esquema de construção de todos os dados iniciais para a projeção $ u_T ^ ast = S_T ^ + (S_T ^ - u_T) $ das observações não admissíveis na Figura 1. Observe que todos os dados iniciais em $ I_T (u_T ^ ast) $ devem coincidir com $ tilde_0 $ na região vermelha, enquanto na região preta, eles devem ser maiores ou iguais a $ til_0$.

Figura 3: Esquema de reconstrução para o alvo admissível obtido no Vídeo 1 à esquerda. Figura 4: Esquema de reconstrução para o alvo admissível obtido no Vídeo 1 à direita.

Uma consequência importante do Teorema 2 é que os dados iniciais em $ I_T (u_T ^ ast) $ não são únicos sempre que $ X_T (u_T ^ ast) neq mathbb^ n $. Na verdade, o conjunto $ I_T (u_T ^ ast) $ pode ser dado da seguinte maneira:

No caso dos exemplos ilustrados nas Figuras 3 e 4, podemos ver nos vídeos 3 abaixo, exemplos de diferentes condições iniciais cuja solução coincide com $ u_T ^ ast $ no tempo $ T $. Esses exemplos foram gerados aleatoriamente adicionando a $ til_0 $ a não negativa uma função de Lipschitz desaparecendo em $ X_T (u_T ^ ast) $.

Vídeo 3: Exemplos de dados iniciais $ u_0 in I_T (u_T ^ ast) $ para os esquemas de reconstrução representados nas Figuras 3 e 4.

Uma possível interpretação deste resultado de reconstrução é que o datum inicial só pode ser reconstruído na região $ X_T (u_T ^ ast) $, onde é determinado exclusivamente por $ til_0 $, enquanto na região $ mathbb^ n setminus X_T (u_T ^ ast) $, apenas um limite inferior pode ser deduzido. Nesta última região, podemos dizer que a informação dos dados iniciais foi parcialmente perdida após o intervalo de tempo $ [0, T] $. No caso de soluções suaves (quando existem), temos exclusividade para trás, ou seja, $ I_T (u_T) $ é vazio ou um singleton (ver [1]). Neste caso, é válido que $ X_T (u_T) = mathbb^ n $.

A seguir, vemos os esquemas de reconstrução dos exemplos representados no Vídeo 2, que correspondem à projeção sobre o conjunto de observações admissíveis de $ u_T $ da Figura 2. Observe a diferente estrutura do conjunto $ mathbb^ n setminus X_T (u_T ^ ast) $ (região branca no gráfico à direita) na área circundante de saliências e poços de $ u_T ^ ast $.

  • Perto de uma saliência, o conjunto onde $ u_T ^ ast $ não é diferenciável é um ponto isolado, e então, ele produz uma bola para o conjunto $ mathbb^ n setminus X_T (u_T ^ ast) $.
  • Perto de um poço, $ u_T ^ ast $ não é diferenciável em uma circunferência. Isso produz um anel para o conjunto $ mathbb^ n setminus X_T (u_T ^ ast) $.

Evolução de $ X_T (u_T) $

Como vimos na seção anterior, dada uma observação admissível $ u_T $ da solução no tempo $ T $, o dado inicial só pode ser reconstruído em uma região $ X_T (u_T) $, enquanto em sua complementar, apenas um menor limite pode ser obtido. Aqui, estamos interessados ​​no papel que $ T $ desempenha nesta questão de reconstrução. Para tanto, fixamos um dado inicial $ u_0 $ e a seguir, para cada $ T & gt0 $, construímos o conjunto $ X_T (u_T) $, onde $ u_T: = S_T ^ + u_0 $.

Nosso objetivo é observar como $ X_T (u_T) $ evolui à medida que aumentamos $ T $, ou em outras palavras, queremos saber quais informações de $ u_0 $ podem ser recuperadas quando a solução é observada no tempo $ T $. Como vemos nos vídeos a seguir, $ X_T (u_T) $ fica menor à medida que aumentamos $ T $, o que significa que menos informação do datum inicial pode ser recuperada se a observação for feita após um longo intervalo de tempo.

Na Figura 7, fixamos dois dados iniciais na dimensão 1.

Figura 7: Dois dados iniciais na dimensão 1.

A seguir, podemos ver no Vídeo 4, como o esquema de reconstrução para $ u_0 $ (à esquerda na Figura 7) evolui à medida que aumentamos o tempo de observação. Para $ T $ small, muito pouca informação é perdida, no entanto, para $ T $ large, $ X_T (u_T) $ intersecta apenas a região não positiva de $ u_0 $ e, portanto, as duas saliências não podem mais ser reconstruídas.

Vídeo 4: Evolução do alvo e o esquema de reconstrução para o datum inicial à esquerda na Figura 7.

No Vídeo 5, vemos a evolução do esquema de reconstrução para $ u_0 $ à direita da Figura 7. Neste caso, $ u_0 $ é constituído de dois poços, no entanto, se a observação for feita no tempo $ T $ grande o suficiente , apenas o poço mais profundo pode ser identificado.

Vídeo 5: Evolução do alvo e o esquema de reconstrução para o datum inicial à direita na Figura 7.

Terminamos esta postagem do blog com três exemplos no caso bidimensional. Aqui temos os três exemplos de dados iniciais que consideramos.

Figura 8: Três dados iniciais na dimensão 2.

No Vídeo 6, vemos a evolução do esquema de reconstrução para nosso primeiro exemplo bidimensional. Nesse caso, $ u_0 $ tem um poço e uma saliência. Observamos que, à medida que aumentamos o tempo de observação $ T $, a região branca, que corresponde a $ mathbb^ n setminus X_T (u_T) $ torna-se cada vez maior. Isso corresponde ao fato de que, quando a observação é feita após um longo intervalo de tempo, menos informação do datum inicial pode ser recuperada. Além disso, se olharmos para $ u_T ^ ast $ e $ tilde_0 $ nos dois primeiros gráficos, vemos que o relevo desaparece por $ T $ grande o suficiente. Isso implica que, após um longo intervalo de tempo, a saliência não pode ser reconstruída.

Vídeo 6: Evolução do esquema de reconstrução para o primeiro datum inicial na Figura 8.

No Vídeo 7, vemos a evolução do esquema de reconstrução para o segundo exemplo na Figura 8. Aqui, o datum inicial tem duas saliências de altura diferente, mas a mesma forma e tamanho em seu suporte. Observe que, quando $ T $ é grande o suficiente, as duas saliências parecem iguais e, portanto, não podemos adivinhar qual delas era mais alta com $ t = 0 $. Na verdade, apenas a forma de seu suporte pode ser reconstruída.

Vídeo 7: Evolução do esquema de reconstrução para o segundo datum inicial na Figura 8.

No Vídeo 8, vemos a evolução do esquema de reconstrução para o terceiro exemplo na Figura 8. Aqui, o datum inicial tem dois poços de diferentes profundidades. Observamos o mesmo comportamento do Vídeo 5, onde apenas as informações do poço mais profundo são preservadas por $ T $ grande o suficiente.

Vídeo 8: Evolução do esquema de reconstrução para o terceiro datum inicial na Figura 8.

Referências

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UM MÉTODO DE TRANSFORMAÇÃO PARA RESOLVER A EQUAÇÃO HAMILTON – JACOBI – BELLMAN PARA UM PROBLEMA DE ALOCAÇÃO OPTIMAL ESTOCÁSTICA DINÂMICA RESTRITADA

Propomos e analisamos um método baseado na transformação de Riccati para resolver a equação evolucionária de Hamilton-Jacobi-Bellman decorrente do problema de alocação ótima estocástica dinâmica. Mostramos como a equação totalmente não linear de Hamilton – Jacobi – Bellman pode ser transformada em uma equação parabólica quase-linear cuja função de difusão é obtida como a função de valor de um certo problema de otimização convexa paramétrica. Embora a função de difusão não precise ser suficientemente suave, somos capazes de provar a existência e a singularidade e derivar limites úteis de soluções suaves de Hölder clássicas. Além disso, construímos um esquema numérico iterativo totalmente implícito com base na aproximação de volumes finitos da equação governante. Uma solução numérica é comparada a uma solução semi-explícita de ondas viajantes por meio da razão de convergência do método. Calculamos estratégias ótimas para um problema de investimento de portfólio motivado pelo índice alemão DAX 30 como um exemplo da aplicação do método.


Separação de variáveis ​​para equações diferenciais

S. Rauch-Wojciechowski, K. Marciniak, em Encyclopedia of Mathematical Physics, 2006

Abordagem construtiva para separabilidade de sistemas integráveis ​​de Liouville

Na abordagem construtiva da separabilidade, considera-se simultaneamente todas as equações de Hamilton-Jacobi que seguem de um conjunto de n, integrais funcionalmente independentes, comutação H1(x, y), …, Hn(x, y), <Heu, Hj> = 0, que define um sistema integrável Liouville (Sklyanin 1995).

Começa-se com as equações de separação, um conjunto de n ODEs desacoplados para as funções Ceu<xeu, α) dependendo de uma variável xeu e paramétrico αR n :

Suponha que a dependência de αeu é essencial (ou seja, que det (∂feu/∂αj) ≠ 0) para que possamos resolver eqns [25] w.r.t. αeu de modo a αeu = Heu(x, y) para algumas funções Heu. Se as funções Ceu(xeu, α) resolver [25] identicamente w.r.t. x e α, então a função W x, α = ∑ i = 1 n W i x i, α é simultaneamente uma solução separável aditivamente de eqns [25] e das equações

desde a resolução de [25] w.r.t. α é uma operação puramente algébrica. Podemos tratar eqns [26] como um conjunto de variáveis ​​separáveis ​​simultaneamente (nas variáveis ​​canônicas (x, y)) Equações de Hamilton-Jacobi relacionadas aos hamiltonianos Heu. Suponha agora que

ou seja, aquele C é uma integral completa para [26]. Então os hamiltonianos Heu(x, y) = αeu Poisson-comuta desde αeu podem ser tratadas como novas variáveis ​​canônicas obtidas pela transformação canônica (x, y) → (β, α) dado por

Assim, qualquer w.r.t. solucionável α conjunto de relações de separação [25] define um sistema integrável de Liouville.

Se realizarmos uma transformação canônica de (x, y) para novas variáveis ​​(q, p), então o novo conjunto de hamiltonianos comutáveis ​​H ˜ i (q, p) = H i (x (q, p), y(q, p)) também é chamado de separável.

O principal problema para qualquer conjunto de hamiltonianos comutáveis ​​H ˜ i (q, p) é decidir se existe uma transformação canônica (q, p) → (x, y) para as variáveis ​​de separação (x, y) de modo que as equações de Hamilton-Jacobi relacionadas [26] são separáveis ​​simultaneamente. Uma resposta a este problema é conhecida por hamiltonianos integráveis ​​solucionáveis ​​através do método da curva espectral (Sklyanin 1995) e por toda a classe de hamiltonianos naturais discutidos anteriormente.

Esta abordagem traz uma perspectiva nova e mais ampla para o mecanismo clássico de separabilidade declarado no teorema de Stäckel. Ele contém a maioria de todos os sistemas hamiltonianos separáveis ​​conhecidos. Por exemplo, se especificarmos as relações de separação [25] para serem afins em αeu,

então [27] são chamadas de condições de separabilidade Stäckel generalizadas. Para recuperar a forma explícita de hamiltonianos Hk = αk, basta resolver as relações [27] w.r.t. αk. Foi provado que os hamiltonianos de Stäckel em [27] constituem uma cadeia quase bi-hamiltoniana. Se especificarmos relações adicionais [27], assumindo que as funções fik não dependa de yeu e funções geu são quadráticos em yeu, então obtemos as condições clássicas de separabilidade de Stäckel (ver Teorema 1)

que pode ser resolvido por αk produzindo

que fornecem os chamados sistemas Benenti associados a tensores Killing conformes e sistemas de pares de cofator.

Relações [27], com geu(xeu, yeu) dependendo exponencialmente do momento y, contêm vários sistemas bem conhecidos, como a rede de Toda periódica, a cadeia de curativos KdV e o sistema Ruijsenaar-Schneider. Relações com geu cúbico em momentos y produzir fluxos estacionários da hierarquia de Boussinesq e sistemas integráveis ​​na álgebra de loop sl (3).


Equações diferenciais parciais, segunda edição

Publicação: Estudos de Pós-Graduação em Matemática
Ano de Publicação 1998: Volume 19
ISBNs: 978-0-8218-4974-3 (impresso) 978-1-4704-1144-2 (online)
DOI: http://dx.doi.org/10.1090/gsm/019
Revisão da MathSciNet: MR2597943
MSC: Primário 35-01

Este volume não faz parte desta coleção online.

Este texto apresenta um levantamento abrangente de técnicas modernas no estudo teórico de equações diferenciais parciais (PDE), com particular ênfase em equações não lineares. A exposição é dividida em três partes: 1) fórmulas de representação para soluções, 2) teoria para equações diferenciais parciais lineares e 3) teoria para equações diferenciais parciais não lineares.

Estão incluídos tratamentos completos do método das características, métodos de energia, regularidade para equações elípticas, parabólicas e hiperbólicas de segunda ordem, princípios máximos, o cálculo multidimensional das variações, soluções de viscosidade das equações de Hamilton-Jacobi, ondas de choque e critérios de entropia para conservação leis e muito mais. O autor também resume em apêndices a base matemática relevante necessária.

Enquanto ele retrabalhou e simplificou muito da teoria clássica, o autor enfatiza principalmente a interação moderna entre percepções analíticas funcionais e estimativas do tipo de cálculo dentro do contexto dos espaços de Sobolev. O tratamento de todos os tópicos é completo e independente. O amplo escopo e a clara exposição do livro o tornam um texto adequado para um curso de pós-graduação no PDE.

Alunos de pós-graduação e pesquisadores matemáticos interessados ​​em PDEs.

Índice

Parte I: Fórmulas de Representação para Soluções

  • Capítulo 2. Quatro importantes equações diferenciais parciais lineares
  • Capítulo 3. PDE não linear de primeira ordem
  • Capítulo 4. Outras maneiras de representar soluções

Parte II: Teoria para equações diferenciais parciais lineares

  • Capítulo 5. Espaços de Sobolev
  • Capítulo 6. Equações elípticas de segunda ordem
  • Capítulo 7. Equações de evolução linear

Parte III: Teoria para equações diferenciais parciais não lineares


Referências

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Hamilton-Jacobi equations: Method of characteristics

In Cannarsa-Sinestrari's book 'Semiconcave Functions, Hamilton-Jacobi Equations, and Optimal Control' there is a proof, via the Method of Characteristics, of global-in-time existence of classical solutions to the Cauchy problem
$u_t +H(Du)=0 quad extquad mathbb^n imes(0,infty), u = g quad extquad mathbb^n imes$ under the assumption that both H and g are $C^2$ and convex.
As far as I can see the proof is flawed: It uses a previous theorem where $Dg$ is assumed bounded, without re-stating that assumption (and $g$ convex with $Dg$ bounded is a bit restrictive). In the proof of that theorem, the assumption is used to prove properness of the map one wishes to prove is a diffeomorphism (via the Hadamard-Caccioppoli Theorem note, in Lions's book, 'Generalized Solutions of Hamilton-Jacobi Equations', which contains a proof of the same theorem above, the necessity of properness is ignored a couple of times).

Question: Does anyone know a reference to a correct proof only under the assumption that $H$ and $g$ are $C^2$ and convex? (If one adds the assumption (??) that the map $x + DH(Dg(x))$ is proper (which holds if $Dg$ is bounded), then the Cannarsa-Sinestrari proof is correct).

Of course, the example $H(p)=p^2, g(x)=x^2$ shows that boundedness of $Dg$ is not needed, and I expect the result é verdadeiro.


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