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8.8: Uma Breve Tabela de Transformadas de Laplace - Matemática


Tabela ( PageIndex {1} )
( displaystyle f (t) ) ( displaystyle F (s) )
1 ( displaystyle 1 over s ) ( displaystyle (s> 0) )
( displaystyle t ^ n ) ( displaystyle n! over s ^ {n + 1} ) ( displaystyle (s> 0) )
( ( displaystyle n = mbox {inteiro}> 0 ))
( displaystyle t ^ p, ; p> -1 ) ( displaystyle Gamma (p + 1) over s ^ {(p + 1)} ) ( displaystyle (s> 0) )
( displaystyle e ^ {at} ) ( displaystyle 1 over s-a ) ( displaystyle (s> a) )
( displaystyle t ^ ne ^ {at} ) ( displaystyle n! over (s-a) ^ {n + 1} ) ( displaystyle (s> 0) )
( ( displaystyle n = text {inteiro}> 0 ))
( displaystyle cos omega t ) ( displaystyle frac {s} {s ^ {2} + omega ^ {2}} ) ( displaystyle (s> 0) )
( displaystyle sin omega t ) ( displaystyle omega over s ^ 2 + omega ^ 2 ) ( displaystyle (s> 0) )
( displaystyle e ^ { lambda t} cos omega t ) ( displaystyle s - lambda over (s- lambda) ^ 2 + omega ^ 2 ) ( displaystyle (s> lambda) )
( displaystyle e ^ { lambda t} sin omega t ) ( displaystyle omega over (s- lambda) ^ 2 + omega ^ 2 ) ( displaystyle (s> lambda) )
( displaystyle cosh bt ) ( displaystyle s over s ^ 2-b ^ 2 ) ( displaystyle (s> | b |) )
( displaystyle sinh bt ) ( displaystyle b over s ^ 2-b ^ 2 ) ( displaystyle (s> | b |) )
( displaystyle t cos omega t ) ( displaystyle s ^ 2- omega ^ 2 over (s ^ 2 + omega ^ 2) ^ 2 ) ( displaystyle (s> 0) )
( displaystyle t sin omega t ) ( displaystyle 2 omega s over (s ^ 2 + omega ^ 2) ^ 2 ) ( displaystyle (s> 0) )
( displaystyle sin omega t - omega t cos omega t ) ( displaystyle 2 omega ^ 3 over (s ^ 2 + omega ^ 2) ^ 2 ) ( displaystyle (s> 0) )
( displaystyle omega t - sin omega t ) ( displaystyle omega ^ 3 over s ^ 2 (s ^ 2 + omega ^ 2) ^ 2 ) ( displaystyle (s> 0) )
( displaystyle frac {1} {t} sin omega t ) ( displaystyle arctan left ({ omega over s} right) ) ( displaystyle (s> 0) )
( displaystyle e ^ {at} f (t) ) ( displaystyle F (s-a) )
( displaystyle t ^ kf (t) ) ( displaystyle (-1) ^ {k} F ^ {(k)} (s) )
( displaystyle f ( omega t) ) ( displaystyle frac {1} { omega} F left ( frac {s} { omega} right), quad omega> 0 )
( displaystyle u (t- tau) ) ( displaystyle e ^ {- tau s} over s ) ( displaystyle (s> 0) )
( displaystyle u (t- tau) f (t- tau) , ( tau> 0) ) ( displaystyle e ^ {- tau s} F (s) )
( displaystyle displaystyle { int ^ t_o f ( tau) g (t- tau) , d tau} ) ( displaystyle F (s) cdot G (s) )
( displaystyle delta (t-a) ) ( displaystyle e ^ {- as} ) ( displaystyle (s> 0) )

O que é a transformação de Laplace? Fórmula, propriedades, condições e aplicações

A matemática desempenha um papel decisivo para compreender o comportamento e o funcionamento de elétrico e sistemas eletrônicos. Polinômios, Álgebra, Probabilidade, Integrações e Diferenciações etc ... formam uma parte significativa das ferramentas usadas para resolver os sistemas. Com a crescente complexidade dos sistemas, métodos muito sofisticados são necessários. As equações diferenciais são usadas principalmente para definir os sistemas de controle. Essas equações são simples de resolver. Mas a complexidade surge ao resolver equações diferenciais de ordem superior. Para resolver essas equações diferenciais complexas de ordem superior, o método matemático que provou ser eficaz é Laplace Transform. Como essa transformação é amplamente empregada, é útil saber o que realmente significa e como funcionam.


8.8: Uma Breve Tabela de Transformadas de Laplace - Matemática

1 Departamento de Matemática, Faculdade de Educação Básica, PAAET, Shaamyia, Kuwait

2 M. S. Software Engg, SITE, V. I. T. University, Vellore, Índia

Email: * [email protected], [email protected]

Copyright & cópia 2013 Fethi Bin Muhammad Belgacem, Rathinavel Silambarasan. Este é um artigo de acesso aberto distribuído sob a Licença de Atribuição Creative Commons, que permite o uso irrestrito, distribuição e reprodução em qualquer meio, desde que o trabalho original seja devidamente citado.

Recebido em 22 de fevereiro de 2013, revisado em 28 de abril de 2013, aceito em 5 de maio de 2013

Palavras-chave: Laplace Transform Natural Transform Transform Sumudu

Neste artigo, a definição da transformada de Laplace é implementada sem recorrer aos métodos de decomposição Adomiana nem de perturbação de homotopia. Mostramos que a referida transformação pode ser calculada simplesmente por diferenciação da função original. Vários resultados analíticos conseqüentes são dados. A simplicidade e eficácia do método são ilustradas através de muitos exemplos com gráficos Maple mostrados e tabelas de transformação são fornecidas. Finalmente, uma nova representação de série infinita relacionada às transformadas de Laplace de funções trigonométricas é proposta.

Os métodos de transformadas integrais têm sido usados ​​com grande vantagem na resolução de equações diferenciais. As limitações da técnica da série de Fourier foram superadas pela ampla cobertura da transformada de Fourier para funções, que não precisa ser periódica [1]. A variável complexa na transformada de Fourier é substituída por uma única variável para obter a conhecida transformada de Laplace [1-8], uma ferramenta favorita na resolução de problemas de valor inicial (PIV). A equação integral definida por Léonard Euler foi nomeada pela primeira vez como Laplace por Spitzer em 1878. No entanto, as primeiras aplicações de transformação de Laplace foram estabelecidas por Bateman em 1910 para resolver o decaimento radioativo de Rutherford, e Bernstein em 1920 com funções teta. Para uma função real com variável a transformada de Laplace, designada pelo operador, , dando origem a uma função em, , na metade direita do plano complexo, é definido por,

Embora nos concentremos completamente na transformada de Laplace, neste artigo, muitas das ideias aqui derivam de trabalhos recentes sobre a transformada de Sumudu e estudos e observações que conectam a transformada de Laplace com a transformada de Sumudu por meio da Dualidade Laplace-Sumudu (LSD) para e a Dualidade Laplace Sumudu Bilateral (BLSD) para [9-16]. Na verdade, considerando o - transformada de Laplace de dois lados multiplicada,

fazendo a alteração do parâmetro s com na equação acima, obtemos a transformada de Sumudu de dois lados,

Aqui, as constantes e pode ser finito (ou) infinito, e é baseado na natureza de limite exponencial exigida em no conjunto de domínio

Enquanto análises sobre as propriedades da transformada de Sumudu, tabelas de transformação e muitas de suas aplicações físicas podem ser encontradas em [9-12,14,16], investigações, aplicações e tabelas de transformação decorrentes da transformada Natural podem ser encontradas em [ 17-21]. Esta nova transformada integral combina as transformações de Sumudu (unilateral) e de Laplace (unilateral) por,

Obviamente, tomando, , na transformação natural, leva à transformação de Laplace, e tomando, , resulta na transformação de Sumudu unilateral. Notamos que enquanto o Natural pode ser bilateral como Sumudu e Bilateral Laplace, quando a variável é escolhido positivo na definição, ambos e a variável, , deve ser positivo também, pois isso deve corrigir um erro de definição de Transformação Natural unilateral relacionado que aparece em nossos artigos [17,18].

A essência deste trabalho é resolver a equação integral de Laplace uma vez por diferenciação e por integração por partes. Dividido em duas seções principais, este artigo na Seção 2 explica as várias propriedades de deslocamento múltiplas conectadas com a transformada de Laplace apenas diferenciando a função original. A nova representação em série infinita de funções trigonométricas relacionadas com a transformada de Laplace é provada na Seção 3. Em conseqüência de nossas formulações e derivações, três tabelas são fornecidas no final da Seção 3, encerradas com observações finais e orientações para algum trabalho futuro. As tabelas estão cobrindo respectivamente os períodos de derivativos para a função E (na Tabela 1), 21 entradas de expansões de série trignométrica (na Tabela 2) e 16 propriedades principais de transformada de Laplace, conforme geradas pela Proposição 3 (na Tabela 3). Os Exemplos 1, 2 e 3 no corpo do texto da Seção 2, bem como o Exemplo 6 e a Entrada 17 da Tabela de transformação 2 na Seção 3, recebem, respectivamente, gráficos de Maple (ver Figuras 1-5), mostrando tanto o tempo função chamada no exemplo correspondente e sua transformação de Laplace resultante.

2. Transformadas de Laplace por diferenciação de função

Conforme afirmado anteriormente na introdução, um objetivo final nosso, entre outros, é calcular a transformada de Laplace de por diferenciação simples em vez de integração usual. Mostramos que podemos fazer isso, sem recorrer aos métodos de Adomian nem homotopia, ADM e HPM, como foi feito em [22,23]. Junto com a definição da série Laplace abaixo, algumas propriedades elementares são provadas.

Definição A transformada de Laplace (doravante designada como F (s)) da ordem exponencial e função contínua seccionalmente, é definido por,

(1)

Observação Observamos que, a partir da tradicional transformação de Laplace, tomando, para que

e

, para que

. Agora usando

e na integração de Bernoulli por partes,

e notando para n ≥ 0 a Equação (1) segue.

Não se pode escolher u = e & # 8722 st e para resolver a equação integral de Laplace por partes? A resposta detalhada com análise é dada na Seção 3. Para simplificar, usamos a seguir.

Resultados de Múltiplos Turnos e Periodicidade

Teorema 1 A transformada de Laplace de derivado de, em relação a é definido por,

Prova. O LHS da equação acima é

, substituindo Equation

(1) para, a prova está concluída.

Tabela 1 . Cálculos da função de período.

Mesa 2 . Nova representação em série infinita de funções trigonométricas.

Tabela 3 . Propriedades da transformada de Laplace com relação à Proposição 3.

Teorema 2 A transformada de Laplace de antiderivada de f (t), no domínio em relação a, É dado por,

Prova. Aplicando a Equação (1) em e realizando os cálculos usuais, produz o RHS da equação acima e prova o teorema.

Teorema 3 para, a transformada de Laplace da função, É dado por,

(a) (b)

Figura 1 . Gráfico do exemplo 1. (a) (b).

(a) (b)

Figura 2 . Gráfico do exemplo 2 com a = 1, b = 2. (a) (b).

Prova. Da teoria da transformada de Laplace

, quando

(2)

Quando na Equação (2),

(a) (b)

Figura 3 . Gráfico do exemplo 3. (a) (b).

(a) (b)

Figura 4. Gráfico do exemplo 6 com a = 5. (a) (b).

(3)

Quando na Equação (2),

(4)

Finalmente, para o inteiro não negativo, após simplifi-

(a) (b)

Figura 5. Gráfico da entrada 17 da Tabela 2 e sua transformada de Laplace. (uma) (b) .

que produz o resultado do Teorema 3.

Teorema 4 A transformada de Laplace da função

, para, é,

Prova. Substituindo a Equação (1) por em

e após os cálculos usuais, segue o Teorema 4.

Exemplo 1 Como uma aplicação do Teorema 3, a transformada de Laplace de, Onde

, denota a primeira ordem do tipo uma função de Bessel, é calculado da seguinte forma, (gráfico mostrado na Figura 1),

Agora substituindo as derivadas acima na Equação (3), e depois de aplicar ambos os limites, e

para,

Os teoremas de deslocamento múltiplo a seguir são úteis no tratamento de equações diferenciais e integrais com coeficientes polinomiais.

Exemplo 2 A transformada de Laplace de é calculado tomando,

(Figura 2), quando no Teorema 4,

Teorema 5 Let quando o derivada da função, em relação a é deslocado por, então a transformada de Laplace é dada por,

(5)

Prova. A prova é simples, temos

Onde

é dado pelo Teorema 1.

Teorema 6 Para inteiros não negativos i e, quando o derivada da função, em relação a é deslocado com, então a transformada de Laplace é dada por,

(6)

Prova. O LHS da equação acima é

e são dados pelo Teorema 1, e após cálculos apropriados, a prova é calculada.

Teorema 7 para, a transformação de Laplace do antiderivada da função em relação a no intervalo mudou com, É dado por,

Prova. A aplicação do Teorema 2 em LHS produz o RHS da Equação acima.

Teorema 8 A transformada de Laplace do antiderivada da função em relação a no intervalo mudou com É dado por,

Prova. Calculando a soma no RHS da Equação no Teorema 2 em relação a no domínio, vezes, produz a prova.

Estabelecemos agora os seguintes resultados Teorema 9 para, a transformação de Laplace do derivado de em relação a É dado por,

(7)

Prova. Substituindo o Teorema 3 em

.

Teorema 10 A transformada de Laplace do

derivado em relação a do para inteiros não negativos, e É dado por,

(8)

Prova. Substituindo o Teorema 4 em

.

Exemplo 3 Considere a função, , então pegando produz os derivados esperados,

e,. Próximo, para no Teorema 11,

Teorema 11 Para inteiros não negativos e, a transformação de Laplace do antiderivada em relação a no domínio do, É dado por,

Prova. A partir da propriedade da transformada de Laplace, o LHS da equação acima é em que o Teorema 3 é substituído e simplificado.

Teorema 12 A transformada de Laplace do antiderivada em relação a no domínio do

, Onde, , É dado por,

Prova. A prova é direta onde multiplicamos ao Teorema 4.

Exemplo 4 Considere a função, , que a transformação de Laplace podemos encontrar tomando, produzindo, e,

Agora, desde o teorema acima, para temos,

Do Teorema 5 ao Teorema 12, não há restrição para inteiros positivos e, o que significa que ambos podem ser iguais (ou) diferentes e qualquer um dos números inteiros pode ser menor que (ou) maior que um ao outro.

O Teorema 5 e o Teorema 9 variam apenas nos coeficientes, que é a ordem da derivada, o mesmo vale para o Teorema 6 e Teorema 10, novamente o Teorema 7 e o Teorema 11 variam apenas nos coeficientes, que é a ordem dos anti-derivada, da mesma forma para os Teoremas 8 e 12. Portanto, temos as seguintes proposições, respectivamente.

Proposição 1 Se a função e os seus derivado em relação a vá para zero como, então,

(9)

(10)

(11)

(12)

Os seguintes teoremas relacionados ao valor inicial e final, convolução e periodicidade da função podem ser facilmente verificados por meio da teoria da transformada de Laplace convencional.

Teorema 13 Deixe a função, ser transformável em Laplace, então,

(13)

(14)

Teorema 14 A transformada de Laplace da convolução de duas funções, e, , É dado por,

Teorema 15 A transformada de Laplace da função periódica com ponto final de modo a , É dado por,

Prova. Escrevendo a Equação (1) como,

Agora substituindo na segunda série infinita da equação acima, de modo que os limites muda para e por ter e depois de reorganizar e avaliar completa a prova.

Exemplo 5 O retificador de onda senoidal completa é dado pela função, com o período.

Usando o Teorema 15, a transformada de Laplace do retificador de onda senoidal completa é calculada usando as entradas da coluna 5 da Tabela 1,

3. Transformações de Laplace por integração por peças

A transformação de Laplace de é calculado substituindo na transformada integral de Laplace, agora tomando e avaliar por partes dá

. Por outro lado, para calcular a transformada de Laplace de, nós levamos e e depois de leads de avaliação. Aqui também podemos pegar u =

e novamente dá a mesma transformada de Laplace. Portanto, nesta seção, resolvemos a equação integral de Laplace tomando, , ee integração por partes. Abaixo, os subscritos em digamos representa a ordem de integração na variável .

Sujeito a algumas restrições, geralmente temos a Proposta 3 A transformada de Laplace de uma função trigonométrica serializável de Taylor, , É dado por,

Prova. Agora, para que Próximo, leva a

Substituindo e na fórmula de Bernoulli de integração contínua por partes e observando é positivo para todos dá a proposição 3.

Exemplo 6 A transformada de Laplace de com um número inteiro não negativo, a, é calculado simplesmente integrando a função. Para agora,

e,. Além disso, tendo em vista a Proposição 3, ao aplicar os limites superior e inferior nas antiderivadas acima, obtemos.

e, de onde obtemos, (função e sua transformada de Laplace na Figura 4)

Concordamos que constantes e polinômios não podem ser transformados por Laplace com a Proposição 3, uma vez que a integração contínua de constantes e polinômios em relação a não converge para qualquer lugar quando e.

3.1. Nova representação de série infinita para funções trigonométricas

Na Proposição 3, as limitações de ser função trigonométrica serializável de Taylor é aceitável apenas do ponto de vista teórico, a partir da avaliação da transformada de Laplace das funções trigonométricas vice-versa da Definição da Seção 2 e da Proposição 3. Por outro lado, mostramos sob quais condições a Proposição 3 existe? Definitivamente, a resposta seria encontrar a transformada de Laplace inversa da Proposição 3.

Para simplificar, reescrever a Proposta 3 é semelhante a avaliar os limites e representar, , na Proposição 3. A transformada de Laplace da função trigonométrica serializável de Taylor é simplesmente definido por,

A transformada de Laplace inversa da Proposição 3 seria a mesma que a transformada de Laplace inversa da equação acima e, portanto, é suficiente encontrar a transformada de Laplace inversa de.

Para começar, quando em a transformada inversa de Laplace de seria que é a função delta de Dirac [2], uma vez que,.

De novo quando em a transformada de Laplace inversa de s é dada pela primeira derivada da função delta de Dirac em relação a,. Em particular, os leitores são convidados a considerar a relação conectada com a função delta de Dirac, mas no contexto da transformação de Sumudu (ver Equações (2.19), (2.20), (4.18) e (4.20) em [9]). Em geral, a transformada inversa de Laplace de É dado por

, desde. Em todos os casos até a n-ésima derivada, o teorema do valor inicial é indefinido para e conduz, naturalmente, ao estudo de funções generalizadas (ver [2], e referências nele para mais detalhes).

Provamos a transformada de Laplace inversa de funções singulares que satisfazem o teorema de Tauber (valor inicial) na seguinte proposição onde as funções trigonométricas são representadas em novas séries infinitas, onde os coeficientes são calculados pela integração da função, [24].

Proposição 4 A condição necessária para a existência da Proposição 3 (e, portanto, a equação acima) é que, a função trigonométrica serializável de Taylor pode ser expresso como,

Prova. Obtendo a transformada inversa de Laplace de

(15)

Em [14] a Dualidade Laplace Sumudu Bilateral (BLSD) foi estabelecida. a transformada inversa de Laplace de é dado por (ver Equação (5.10) em [14]),

(16)

Desse modo, aqui o

é o primeiro tipo de função de Bessel de ordem zero. E esta função particular irá desempenhar o papel principal nas transformadas integrais exponenciais kernel (ver Equações (30) a (35) em [20]). E a transformação de Laplace é obtida em relação a, uma vez que v e são independentes, a permissibilidade de intercâmbio ou ordem de integração é considerada a favor. Embora a função não dá significado (pois se torna zero quando avaliado), mas de acordo com o ponto de vista da transformada de Laplace (integral), isso vale a pena (ver Teorema 5.1. Equação (5.8) em [14]). Tendo,

(17)

A transformada de Laplace da primeira derivada de

em relação a é e com a ajuda das Equações (16) e (17),

(18)

Portanto, a transformada inversa de Laplace de é

. Em geral, a partir da transformação de Laplace do derivada de função em relação a,

(19)

(20)

Finalmente, das Equações (19) e (20),

(21)

Uma vez que a segunda parte do lado direito da Equação (21) é zero,

(22)

Substituindo a Equação (22) na Equação (15) por completa a prova da Proposição 4.

Assim, a função da Equação (20) satisfaz o teorema do valor inicial (ao contrário da função delta de Dirac) que é zero. Para concretizar ideias, damos o seguinte exemplo.

Exemplo 7 Considere a função, então

, , ,

,

, e,

. Aplicando a proposição 4, como t tende a zero, todos os e

e desde é o fator comum,

, a função, , pode ser escrito na nova série infinita como,

Da Equação (22), é interessante notar que a transformada de Laplace da integral de derivado de com respeito a t, no domínio em relação a v, é simplesmente a potência s a ordem da derivada de.

Junto com a função, , à luz desta nova proposição 4 de série infinita, a Tabela 2 fornece todas as novas expansões de série infinita de funções trigonométricas básicas. O fator extra na série infinita de entradas 5, 6, 9, 10, 14, 16, 20 e 21 são comuns para todos durante a integração. Além disso, a seguinte expressão é facilmente derivada da função de Bessel,

Portanto, a transformada de Laplace de pode ser calculado por meio de,

A entrada 17 da Tabela 2 tem a seguinte transformação de Laplace (mostrada na Figura 5),

3.2. Propriedades de LaplaceTransform em vista da proposição 3

A transformada de Laplace de funções de deslocamento múltiplo pode ser facilmente derivada com a ajuda da Proposição 3. Uma vez que a derivação das várias propriedades é direta e semelhante aos teoremas da Seção 2.1, fornecemos diretamente a transformada de Laplace de funções de deslocamento, com base na Proposição 3 na Tabela 3 onde ei são inteiros não negativos.

Exemplo 8 A transformada de Laplace da função, , é obtido simplesmente integrandoportanto, , ,

,.

Quando, , na entrada 3 da Tabela 3,

Portanto, quando, e,

e produzindo,

Exemplo 9 A transformada de Laplace de é calculado integrando o custo. Agora, , ,

e,

. Para agora, , e,

e,.

Finalmente, com na entrada 4 da Tabela 3,

Exemplo 10 A transformada de Laplace de,

é calculado. Para, , depois de tomar limites, nós obtemos, Portanto, aplicando a fórmula com, , na entrada 11 da Tabela 3,

Conseqüentemente, temos,

É importante notar que com relação às entradas 5 e 9 (e entradas 6 e 10) da Tabela 3, a proposição 1 Equação (9) (e Equação (10)) é verdadeira. Da mesma forma com relação às entradas 7 e 11 (e entradas 8 e 12) da Tabela 3, a proposição 2 Equação (11) (e Equação (12)) permanece a mesma.

3.3. Considerações Finais e Trabalho Futuro

No que diz respeito à Seção 2, quando a função é Laplace transformada por diferenciação, então o Laplace inverso é automaticamente um processo de integração. Tendo trabalhado com vários exemplos, nossos métodos propostos levam a soluções exatas. Uma questão em aberto restante é a de definir o inverso para a transformada de Laplace usando ferramentas e processos semelhantes aos da Proposição 3. Mas, em vista do conceito da Seção 2 acima, Laplace e a transformada inversa de Laplace são os respectivos processos recíprocos de diferenciação e integração da função.

Se sim, então com a Proposição 3, a transformada de Laplace inversa será o processo de diferenciação. Por exemplo, considere a função, sua transformada de Laplace pela Proposição 3 é dada por

que dá. Portanto, para encontrar a função original, ao igualar os coeficientes de potências idênticas de com a proposição 3, obtemos Como os subscripts denotam a ordem de integração. Agora, diferenciando vezes, deve-se obter a série infinita da função, custo conforme entrada 4 da Tabela 2.

Como parte de alguns trabalhos futuros a esse respeito, pretendemos seguir os esquemas de trabalho deste artigo e estabelecer tabelas mais abrangentes, como foi feito para a transformada de Sumudu em [10] e para a transformada Natural em [17]. Com isso dito, talvez seja uma pesquisa digna, em um futuro próximo, colocar todos os aspectos considerados na estrutura e aplicações da teoria de reprodução de kernels [25].

Os autores desejam reconhecer e agradecer ao Conselho Editorial da AM, bem como ao Comitê de Subsídios SCRIP, por ajudar a custear a maior parte (75%) das despesas de processamento deste artigo. Agradecemos também aos revisores e à equipe do AM pelos comentários construtivos que ajudaram a melhorar o fluxo estrutural do artigo.


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8.8: Uma Breve Tabela de Transformadas de Laplace - Matemática

Aqui está um conjunto de problemas de atribuição para o capítulo Transformadas de Laplace das notas sobre Equações Diferenciais. Observe que esses problemas não têm soluções disponíveis. Elas são destinadas principalmente a instrutores que podem querer um conjunto de problemas a serem atribuídos para entrega. Ter soluções disponíveis (ou mesmo apenas respostas finais) anularia o propósito dos problemas.

Se você estiver procurando por alguns problemas de prática (com soluções disponíveis), verifique os Problemas de prática. Lá você encontrará um conjunto de problemas que devem lhe dar um pouco de prática.

Aqui está uma lista de todas as seções para as quais os problemas de atribuição foram escritos, bem como uma breve descrição do material coberto nas notas para aquela seção específica.

A definição - nesta seção, fornecemos a definição da transformada de Laplace. Também calcularemos algumas transformações de Laplace usando a definição.

Transformadas de Laplace - nesta seção, apresentamos a maneira como normalmente calculamos as transformadas de Laplace, que evita a necessidade de usar a definição. Discutimos a tabela de transformadas de Laplace usada neste material e trabalhamos uma variedade de exemplos que ilustram o uso da tabela de transformadas de Laplace.

Transformadas inversas de Laplace - Nesta seção, fazemos a pergunta oposta da seção anterior. Em outras palavras, dada uma transformada de Laplace, que função tínhamos originalmente? Mais uma vez, trabalhamos com uma variedade de exemplos que ilustram como usar a tabela de transformadas de Laplace para fazer isso, bem como algumas das manipulações da transformada de Laplace fornecidas que são necessárias para usar a tabela.

Funções de etapa - Nesta seção, apresentamos a etapa ou função de Heaviside. Ilustramos como escrever uma função por partes em termos de funções de Heaviside. Também trabalhamos uma variedade de exemplos mostrando como pegar as transformadas de Laplace e as transformadas de Laplace inversas que envolvem funções de Heaviside. Também derivamos as fórmulas para obter a transformada de Laplace de funções que envolvem funções de Heaviside.

Resolvendo IVPs 'com transformações de Laplace - Nesta seção, examinaremos como usar as transformadas de Laplace para resolver IVPs. Os exemplos nesta seção são restritos a equações diferenciais que poderiam ser resolvidas sem o uso da transformada de Laplace. A vantagem de começar com esse tipo de equação diferencial é que o trabalho tende a ser menos complicado e sempre podemos checar nossas respostas se quisermos.

Coeficiente não constante de IVP - Nesta seção, daremos uma breve visão geral do uso de transformadas de Laplace para resolver alguns coeficiente de não constante IVP. Não trabalhamos muitos exemplos nesta seção. Trabalhamos apenas alguns para ilustrar como o processo funciona com as transformações de Laplace.

IVP's com funções Step - Esta é a seção onde a razão para usar as transformações de Laplace realmente se torna aparente. Usaremos transformações de Laplace para resolver IVPs que contêm funções de Heaviside (ou etapa). Sem as transformações de Laplace, resolvê-las envolveria muito trabalho. Embora não trabalhemos com um desses exemplos sem as transformadas de Laplace, mostramos o que estaria envolvido se tentássemos resolver um dos exemplos sem usar as transformadas de Laplace.

Função Delta de Dirac - Nesta seção, introduzimos a função Delta de Dirac e derivamos a transformada de Laplace da função Delta de Dirac. Trabalhamos com alguns exemplos de resolução de equações diferenciais envolvendo funções Delta de Dirac e, ao contrário de problemas com funções de Heaviside, nossa única opção real para este tipo de equação diferencial é usar as transformadas de Laplace. Também fornecemos uma boa relação entre as funções de Heaviside e Dirac Delta.

Integral de convolução - Nesta seção, fornecemos uma breve introdução à integral de convolução e como ela pode ser usada para obter transformadas de Laplace inversas. Também ilustramos seu uso na resolução de uma equação diferencial em que a função de força (ou seja, o termo sem um y) não é conhecido.

Tabela de Transformadas de Laplace - Esta seção é a tabela de Transformadas de Laplace que usaremos no material. Fornecemos a maior variedade possível de transformações de Laplace, incluindo algumas que não são frequentemente fornecidas nas tabelas de transformações de Laplace.


Tabela das transformações de Laplace e Z

Todas as funções de domínio de tempo são implicitamente = 0 para t & lt0 (ou seja, são multiplicadas por etapa de unidade).

u (t) é mais comumente usado para representar a função degrau, mas u (t) também é usado para representar outras coisas. Escolhemos gamma (& gamma (t)) para evitar confusão (e porque no domínio de Laplace (& Gamma (s)) ele se parece um pouco com uma entrada de etapa).

atan é a função arco tangente (tan -1). A função atan pode fornecer resultados incorretos (normalmente a função é escrita de forma que o resultado esteja sempre nos quadrantes I ou IV). Para garantir a precisão, use uma função que corrija isso. Na maioria das linguagens de programação, a função é atan2. Também tome cuidado ao usar graus e radianos conforme apropriado.


A transformada de Laplace de uma função f (t) < displaystyle f (t)> pode ser obtida usando a definição formal da transformada de Laplace. No entanto, algumas propriedades da transformada de Laplace podem ser usadas para obter a transformada de Laplace de algumas funções mais facilmente.

Edição de Linearidade

e é, portanto, considerado um operador linear.

Edição Time Shifting

Edição de deslocamento de frequência

A transformada de Laplace unilateral toma como entrada uma função cujo domínio do tempo é os reais não negativos, razão pela qual todas as funções do domínio do tempo na tabela abaixo são múltiplos da função de passo de Heaviside, você(t) .

As entradas da tabela que envolvem um atraso de tempo τ são obrigados a ser causais (o que significa que τ & gt 0). Um sistema causal é um sistema onde a resposta ao impulso h(t) é zero para todo o tempo t antes de t = 0. Em geral, a região de convergência dos sistemas causais não é a mesma dos sistemas anticausais.


Laplace ez transformadas

15.11 Exercícios

Usando a definição da transformada de Laplace

Encontre as transformações de Laplace do seguinte usando a Tabela 15.1: (a)

Encontre as transformadas Laplace inversas do seguinte usando tabelas: (a)

Encontre as transformações de Laplace do seguinte usando as propriedades da transformação: (a)

Encontre as transformadas Laplace inversas do seguinte usando as propriedades da transformação: (a)

Encontre as transformadas Laplace inversas usando frações parciais: (a)

Em cada caso, resolva a equação diferencial dada usando as transformadas de Laplace: (a)

Um capacitor de capacitância C em um circuito RC, como na Figura 15.7, é carregado de modo que inicialmente seu potencial é V0. No t = 0, ele começa a descarregar. Sua carga q é então descrito pela equação diferencial

Figura 15.7. Um circuito RC para o exercício 15.8.

Usando as transformadas de Laplace, encontre a carga no capacitor no momento t depois que o interruptor foi fechado.

Encontre a resposta de um sistema com zero condições iniciais para uma entrada de f (t) = 2e −3t , dado que a resposta ao impulso do sistema é h(t) = 1/2 (e -t - e −2t ).

A resposta ao impulso de um sistema é dada por h(t) = 3e −4 t . Find the system's step response, that is, the response of the system to an input of the step function, você(t).

Use the result that Y(s) = H(s)F(s) where Y is the Laplace transform of the system output, F(s) the Laplace transform of the input and H(s) the system transfer function to show that the step response can be found by

Given that the step response of a system is

find the system's transfer function and

find its response to an input of e −t .

A system has a known impulse response of h(t) = e −t sin(2t) Find the input function f (t) that would produce an output of

A system has transfer function

Find its steady state response to a single frequency input of e j5t

Find the steady-state response to an input of cos(5t) and sin(5t).

Using the definition of the z transform

Find z transforms of the following using Table 15.2 : (a)

Find inverse z transforms of the following using Table 15.2 : (a)

z 2 + z ( sin ( 1 ) − cos ( 1 ) ) z 2 − 2 z cos ( 1 ) + 1

Find z transforms of the following using the properties of the transform: (a)

Find inverse z transforms of the following using the properties of the transform: (a)

Find inverse z transforms using partial fractions (a)

In each case solve the given difference equation using z transforms, n ≥ 0 (a)

y n + y n − 1 = n , where y − 1 = 0

Find the response of a system with zero initial conditions, to an input of fn = 2(0.3) n , given that the impulse response of the system is hn = (0.1) n + (−0.5) n .

The impulse response of a discrete system is given by hn=(0.8) n . Find the system's step response, that is, the response of the system to an input of the step function, vocên.

Use the result that y(z) =H(z)F(z), where Yis the z transform of the system output, F (z) is the z transform of the input and H (z) is the system transfer function to show that the step response can be found by

Given that the step response of a discrete system is

find the system's transfer functions and

find its response to an input of 6(0.5) n .

A system has a known impulse response of hn = (0.5)n. Find the input function fn that would produce an output of 2(0.5) n + 2n −2un given zero initial conditions.

A system has transfer function H (z) = z/ (10z −3) (i)

find its steady state response to a single frequency input of e j5i

find the steady state response to an input of cos(5n) and sin(5n).


2 respostas 2

Let $widetilde(x,s) = int_<0>^e^<-ts>phi(x,t)dt$ be the Laplace transform of $phi(x,t)$. As you said we have the following ODE for $widetilde(x,s)$: $ dfrac(x,s)>>^2> -swidetilde(x,s)- frac = 0 $ The general solution is simply: $ widetilde(x,s)=Ae^x>+Be^<-sqrtx> -frac $ where $A$ and $B$ are two arbitrary constant that need two condition to be determined. The first condition is a physical one: the solution must be limited in time and so $A=0$. The second condition is that: $phi(0, t) = e^<-t>, t > 0 .$ Now the Laplace transform of $phi(0,t)$ is simply $widetilde(0,s)=frac<1><1+s>$ and so we have $B = frac<1>$. Finally we have that the Laplace transform of our $phi(x,s)$ is: $ widetilde(x,s)=frac<>x>> - frac $


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