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7.3E: Soluções em série perto de um ponto comum I (exercícios)


Q7.2.1

Em Exercícios 7.2.1-7.2.8 encontre a série de potências em (x ) para a solução geral.

1. ((1 + x ^ 2) y '' + 6xy '+ 6y = 0 )

2. ((1 + x ^ 2) y '' + 2xy'-2y = 0 )

3. ((1 + x ^ 2) y '' - 8xy '+ 20y = 0 )

4. ((1-x ^ 2) y '' - 8xy'-12y = 0 )

5. ((1 + 2x ^ 2) y '' + 7xy '+ 2y = 0 )

6. ({(1 + x ^ 2) y '' + 2xy '+ {1 over4} y = 0} )

7. ((1-x ^ 2) y '' - 5xy'-4y = 0 )

8. ((1 + x ^ 2) y '' - 10xy '+ 28y = 0 )

Q7.2.2

9.

  1. Encontre a série de potências em (x ) para a solução geral de (y '' + xy '+ 2y = 0 ).
  2. Para várias opções de (a_0 ) e (a_1 ), use o software de equações diferenciais para resolver o problema do valor inicial [y '' + xy '+ 2y = 0, quad y (0) = a_0, quad y '(0) = a_1, tag {A} ] numericamente em ((- 5,5) ).
  3. Para (r ) fixo no gráfico ( {1,2,3,4,5 } ) [T_N (x) = sum_ {n = 0} ^ N a_nx ^ n nonumber ] e a solução obtida em (a) em ((- r, r) ). Continue aumentando (N ) até que não haja diferença perceptível entre os dois gráficos.

10. Siga as instruções do exercício [exercício: 7.2.9} para a equação diferencial [y '' + 2xy '+ 3y = 0. Nonumber ]

Q7.2.3

Em Exercícios 7.2.11-7.2.13 encontre (a_ {0}, ..., a_ {N} ) para (N ) pelo menos (7 ) na solução de série de potências (y = sum _ {n = 0} ^ { infty} a_ {n} x ^ {n} ) do problema do valor inicial.

11. ((1 + x ^ 2) y '' + xy '+ y = 0, quad y (0) = 2, quad y' (0) = - 1 )

12. ((1 + 2x ^ 2) y '' - 9xy'-6y = 0, quad y (0) = 1, quad y '(0) = - 1 )

13. ((1 + 8x ^ 2) y '' + 2y = 0, quad y (0) = 2, quad y '(0) = - 1 )

Q7.2.4

14. Faça o próximo experimento para várias escolhas de números reais (a_0 ), (a_1 ) e (r ), com (0

  1. Use o software de equações diferenciais para resolver o problema do valor inicial [(1-2x ^ 2) y '' - xy '+ 3y = 0, quad y (0) = a_0, quad y' (0) = a_1, tag {A} ] numericamente em ((- r, r) ).
  2. Para (N = 2 ), (3 ), (4 ),…, compute (a_2 ),…, (a_N ) na solução de série de potências (y = sum_ {n = 0} ^ infty a_nx ^ n ) de (A), e gráfico [T_N (x) = sum_ {n = 0} ^ N a_nx ^ n nonumber ] e a solução obtida em (a) em ((- r, r) ). Continue aumentando (N ) até que não haja diferença perceptível entre os dois gráficos.

15. Faça (a) e (b) para vários valores de (r ) em ((0,1) ):

  1. Use o software de equações diferenciais para resolver o problema do valor inicial [(1 + x ^ 2) y '' + 10xy '+ 14y = 0, quad y (0) = 5, quad y' (0) = 1, tag {A} ] numericamente em ((- r, r) ).
  2. Para (N = 2 ), (3 ), (4 ),…, compute (a_2 ),…, (a_N ) na solução de série de potências (y = sum_ {n = 0} ^ infty a_nx ^ n ) de (A), e gráfico [T_N (x) = sum_ {n = 0} ^ N a_nx ^ n nonumber ] e a solução obtida em (a) em ((- r, r) ). Continue aumentando (N ) até que não haja diferença perceptível entre os dois gráficos. O que acontece com o (N ) necessário como (r to1 )?
  3. Experimente (a) e (b) com (r = 1,2 ). Explique seus resultados.

Q7.2.5

Em Exercícios 7.2.16-7.2.20 encontre a série de potências em (x-x_ {0} ) para a solução geral.

16. (y '' - y = 0; quad x_0 = 3 )

17. (y '' - (x-3) y'-y = 0; quad x_0 = 3 )

18. ((1-4x + 2x ^ 2) y '' + 10 (x-1) y '+ 6y = 0; quad x_0 = 1 )

19. ((11-8x + 2x ^ 2) y '' - 16 (x-2) y '+ 36y = 0; quad x_0 = 2 )

20. ((5 + 6x + 3x ^ 2) y '' + 9 (x + 1) y '+ 3y = 0; quad x_0 = -1 )

Q7.2.6

Em Exercícios 7.2.21-7.2.26 encontre (a_ {0}, ... a_ {N} ) para (N ) pelo menos (7 ) na série de potências (y = sum_ {n = 0} ^ { infty} a_ {n} (x-x_ {0}) ^ {n} ) para a solução do problema do valor inicial. Considere (x_ {0} ) como o ponto onde as condições iniciais são impostas.

21. ((x ^ 2-4) y '' - xy'-3y = 0, quad y (0) = - 1, quad y '(0) = 2 )

22. (y '' + (x-3) y '+ 3y = 0, quad y (3) = - 2, quad y' (3) = 3 )

23. ((5-6x + 3x ^ 2) y '' + (x-1) y '+ 12y = 0, quad y (1) = - 1, quad y' (1) = 1 )

24. ((4x ^ 2-24x + 37) y '' + y = 0, quad y (3) = 4, quad y '(3) = - 6 )

25. ((x ^ 2-8x + 14) y '' - 8 (x-4) y '+ 20y = 0, quad y (4) = 3, quad y' (4) = - 4 )

26. ((2x ^ 2 + 4x + 5) y '' - 20 (x + 1) y '+ 60y = 0, quad y (-1) = 3, quad y' (- 1) = - 3 )

Q7.2.7

27.

  1. Encontre uma série de potências em (x ) para a solução geral de [(1 + x ^ 2) y '' + 4xy '+ 2y = 0. tag {A} ]
  2. Use (a) e a fórmula [{1 over1-r} = 1 + r + r ^ 2 + cdots + r ^ n + cdots quad (-1
  3. Mostre que a expressão obtida em (b) é na verdade a solução geral de (A) em ((- infty, infty) ).

28. Use o Teorema 7.2.2 para mostrar que a série de potências em (x ) para a solução geral de [(1+ alpha x ^ 2) y '' + beta xy '+ gamma y = 0 nenhum número ]

é [y = a_0 sum ^ infty_ {m = 0} (- 1) ^ m left [ prod ^ {m-1} _ {j = 0} p (2j) right] {x ^ { 2m} over (2m)!} + A_1 sum ^ infty_ {m = 0} (- 1) ^ m left [ prod ^ {m-1} _ {j = 0} p (2j + 1) direita] {x ^ {2m + 1} over (2m + 1)!}. não numérico ]

29. Use Exercício 7.2.28 para mostrar que todas as soluções de [(1+ alpha x ^ 2) y '' + beta xy '+ gamma y = 0 nonumber ]

são polinômios se e somente se [ alpha n (n-1) + beta n + gamma = alpha (n-2r) (n-2s-1), nonumber ]

onde (r ) e (s ) são inteiros não negativos.

30.

  1. Use o Exercício [exercício: 7.2.28} para mostrar que a série de potências em (x ) para a solução geral de [(1-x ^ 2) y '' - 2bxy '+ alpha ( alpha + 2b- 1) y = 0 nonumber ] é (y = a_0y_1 + a_1y_2 ), onde [y_ {1} = sum_ {m = 0} ^ { infty} left [ prod_ {j = 0} ^ {m-1} (2j- alpha) (2j + alpha + 2b-1) right] frac {x ^ {2m}} {(2m)!} nonumber ] e [y_ {2} = sum_ {m = 0} ^ { infty} left [ prod_ {j = 0} ^ {m-1} (2j + 1- alpha) (2j + alpha + 2b) right] frac { x ^ {2m + 1}} {(2m + 1)!} não numérico ]
  2. Suponha que (2b ) não seja um inteiro ímpar negativo e (k ) seja um inteiro não negativo. Mostre que (y_1 ) é um polinômio de grau (2k ) tal que (y_1 (-x) = y_1 (x) ) se ( alpha = 2k ), enquanto (y_2 ) é um polinômio de grau (2k + 1 ) tal que (y_2 (-x) = - y_2 (-x) ) se ( alpha = 2k + 1 ). Conclua que se (n ) é um número inteiro não negativo, então há um polinômio (P_n ) de grau (n ) tal que (P_n (-x) = (- 1) ^ nP_n (x) ) e [(1-x ^ 2) P_n '' - 2bxP_n '+ n (n + 2b-1) P_n = 0. tag {A} ]
  3. Mostre que (A) implica que [[(1-x ^ 2) ^ b P_n ']' = - n (n + 2b-1) (1-x ^ 2) ^ {b-1} P_n, não numérico ] e use isso para mostrar que se (m ) e (n ) são inteiros não negativos, então [[(1-x ^ {2}) ^ {b} P_ {n} '] P_ {m } - [(1-x ^ {2}) ^ {b} P_ {m} '] P_ {n} = [m (m + 2b-1) -n (n + 2b-1)] (1-x ^ {2}) ^ {b-1} P_ {m} P_ {n} tag {B} ]
  4. Agora suponha (b> 0 ). Use (B) e integração por partes para mostrar que se (m ne n ), então [ int _ {- 1} ^ 1 (1-x ^ 2) ^ {b-1} P_m (x) P_n (x) , dx = 0. nonumber ] (Dizemos que (P_m ) e (P_n ) são ortogonal em ((-1,1)) com relação à função de ponderação ((1-x ^ 2) ^ {b-1} ).)

31.

  1. Usar Exercício 7.2.28 para mostrar que a série de potências em (x ) para a solução geral da equação de Hermite [y '' - 2xy '+ 2 alpha y = 0 nonumber ] é (y = a_0y_1 + a_1y_1 ), onde [y_ {1} = sum_ {m = 0} ^ { infty} left [ prod_ {j = 0} ^ {m-1} (2j- alpha) right] frac {2 ^ { m} x ^ {2m}} {(2m)!} nonumber ] e [y_ {2} = sum_ {m = 0} ^ { infty} left [ prod_ {j = 0} ^ { m-1} (2j + 1- alpha) right] frac {2 ^ {m} x ^ {2m + 1}} {(2m + 1)!} nonumber ]
  2. Suponha que (k ) seja um número inteiro não negativo. Conclua que se (n ) é um número inteiro não negativo, então há um polinômio (P_n ) de grau (n ) tal que (P_n (-x) = (- 1) ^ nP_n (x) ) e [P_n '' - 2xP_n '+ 2nP_n = 0. tag {A} ]
  3. Mostre que (A) implica que [[e ^ {- x ^ 2} P_n ']' = - 2ne ^ {- x ^ 2} P_n, nonumber ] e use isso para mostrar que se (m ) e (n ) são inteiros não negativos, então [[e ^ {- x ^ 2} P_n ']' P_m- [e ^ {- x ^ 2} P_m ']' P_n = 2 (mn) e ^ { -x ^ 2} P_mP_n. tag {B} ]
  4. Use (B) e integração por partes para mostrar que se (m ne n ), então [ int _ {- infty} ^ infty e ^ {- x ^ 2} P_m (x) P_n (x) , dx = 0. nonumber ] (Dizemos que (P_m ) e (P_n ) são ortogonal em ((- infty, infty) ) com relação à função de ponderação (e ^ {- x ^ 2} ).)

32. Considere a equação [ left (1+ alpha x ^ 3 right) y '' + beta x ^ 2y '+ gamma xy = 0, tag {A} ] e deixe (p ( n) = alpha n (n-1) + beta n + gamma ). (O caso especial (y '' - xy = 0 ) de (A) é a equação de Airy.)

  1. Modifique o argumento usado para provar o Teorema [thmtype: 7.2.2} para mostrar que [y = sum_ {n = 0} ^ infty a_nx ^ n nonumber ] é uma solução de (A) se e somente se (a_2 = 0 ) e [a_ {n + 3} = - {p (n) over (n + 3) (n + 2)} a_n, quad n ge0. nonumber ]
  2. Mostre de (a) que (a_n = 0 ) a menos que (n = 3m ) ou (n = 3m + 1 ) para algum número inteiro não negativo (m ), e que [ begin {alinhado} a_ {3m + 3} & = & - {p (3m) over (3m + 3) (3m + 2)} a_ {3m}, quad m ge 0, text {and} a_ {3m + 4} & = & - {p (3m + 1) over (3m + 4) (3m + 3)} a_ {3m + 1}, quad m ge0, end {alinhado} nonumber ] onde (a_0 ) e (a_1 ) podem ser especificados arbitrariamente.
  3. Conclua de (b) que a série de potências em (x ) para a solução geral de (A) é [ begin {array} {l} y = {a_0 sum ^ infty_ {m = 0} (- 1) ^ m left [ prod ^ {m-1} _ {j = 0} {p (3j) over3j + 2} right] {x ^ {3m} over3 ^ mm!}} [ 4pt] qquad {+ a_1 sum ^ infty_ {m = 0} (- 1) ^ m left [ prod ^ {m-1} _ {j = 0} {p (3j + 1) over3j + 4} right] {x ^ {3m + 1} over3 ^ mm!}}. end {array} nonumber ]

Q7.2.8

Em Exercícios 7.2.33-7.2.37 use o método de Exercício 7.2.32 para encontrar a série de potências em (x ) para a solução geral.

33. (y '' - xy = 0 )

34. ((1-2x ^ 3) y '' - 10x ^ 2y'-8xy = 0 )

35. ((1 + x ^ 3) y '' + 7x ^ 2y '+ 9xy = 0 )

36. ((1-2x ^ 3) y '' + 6x ^ 2y '+ 24xy = 0 )

37. ((1-x ^ 3) y '' + 15x ^ 2y'-63xy = 0 )

Q7.2.9

38. Considere a equação [ left (1+ alpha x ^ {k + 2} right) y '' + beta x ^ {k + 1} y '+ gamma x ^ ky = 0, tag {A} ] onde (k ) é um número inteiro positivo, e deixe (p (n) = alpha n (n-1) + beta n + gamma ).

  1. Modifique o argumento usado para provar o Teorema 7.2.2 para mostrar que [y = sum_ {n = 0} ^ infty a_nx ^ n nonumber ] é uma solução de (A) se e somente se (a_n = 0 ) para (2 le n le k + 1 ) e [a_ {n + k + 2} = - {p (n) over (n + k + 2) (n + k + 1) } a_n, quad n ge0. nonumber ]
  2. Mostre de (a) que (a_n = 0 ) a menos que (n = (k + 2) m ) ou (n = (k + 2) m + 1 ) para algum número inteiro não negativo (m ) , e que [ begin {alinhado} a _ {(k + 2) (m + 1)} & = & - {p left ((k + 2) m right) over (k + 2) (m +1) [(k + 2) (m + 1) -1]} a _ {(k + 2) m}, quad m ge 0, text {e} a _ {(k + 2 ) (m + 1) +1} & = & - {p left ((k + 2) m + 1 right) over [(k + 2) (m + 1) +1] (k + 2) (m + 1)} a _ {(k + 2) m + 1}, quad m ge0, end {alinhado} nonumber ] onde (a_0 ) e (a_1 ) podem ser especificados arbitrariamente.
  3. Conclua de (b) que a série de potências em (x ) para a solução geral de (A) é [ begin {array} {l} y = a_0 { sum ^ infty_ {m = 0} (- 1) ^ m left [ prod ^ {m-1} _ {j = 0} {p left ((k + 2) j right) over (k + 2) (j + 1) -1} right] {x ^ {(k + 2) m} over (k + 2) ^ mm!}} qquad + a_1 { sum ^ infty_ {m = 0} (- 1) ^ m esquerda [ prod ^ {m-1} _ {j = 0} {p esquerda ((k + 2) j + 1 direita) over (k + 2) (j + 1) +1} direita] {x ^ {(k + 2) m + 1} over (k + 2) ^ mm!}}. end {array} nonumber ]

Q7.2.10

Em Exercícios 7.2.39-7.2.44 use o método de Exercício 7.2.38 para encontrar a série de potências em (x ) para a solução geral.

39. ((1 + 2x ^ 5) y '' + 14x ^ 4y '+ 10x ^ 3y = 0 )

40. (y '' + x ^ 2y = 0 )

41. (y '' + x ^ 6y '+ 7x ^ 5y = 0 )

42. ((1 + x ^ 8) y '' - 16x ^ 7y '+ 72x ^ 6y = 0 )

43. ((1-x ^ 6) y '' - 12x ^ 5y'-30x ^ 4y = 0 )

44. (y '' + x ^ 5y '+ 6x ^ 4y = 0 )


Notas sobre Diffy Qs: Equações Diferenciais para Engenheiros

Nota: 1 ou 1,5 aula, §8.2 em [EP], §5.2 e §5.3 em [BD]

Suponha que temos uma ODE homogênea de segunda ordem linear da forma

Suponha que (p (x) text <,> ) (q (x) text <,> ) e (r (x) ) sejam polinômios. Tentaremos uma solução do formulário

e resolva para o (a_k ) para tentar obter uma solução definida em algum intervalo em torno de (x_0 text <.> )

O ponto (x_0 ) é chamado de ponto comum if (p (x_0) not = 0 text <.> ) Ou seja, as funções

são definidos para (x ) próximo a (x_0 text <.> ) Se (p (x_0) = 0 text <,> ) então dizemos que (x_0 ) é um ponto singular. Manipular pontos singulares é mais difícil do que pontos comuns e, portanto, agora nos concentramos apenas em pontos comuns.

Exemplo 7.2.1.

Vamos começar com um exemplo muito simples

Vamos tentar uma solução de série de potências perto de (x_0 = 0 text <,> ) que é um ponto comum. Cada ponto é um ponto comum na verdade, pois a equação é um coeficiente constante. Já sabemos que devemos obter exponenciais ou o seno e cosseno hiperbólico, mas vamos fingir que não sabemos isso.

Se diferenciarmos, o termo (k = 0 ) é uma constante e, portanto, desaparece. Portanto, obtemos

Diferenciamos mais uma vez para obter (agora o termo (k = 1 ) desaparece)

Reindexamos a série (substitua (k ) por (k + 2 )) para obter

Agora, inserimos (y ) e (y '' ) na equação diferencial

Como (y '' - y ) é suposto ser igual a 0, sabemos que os coeficientes da série resultante devem ser iguais a 0. Portanto,

A equação acima é chamada de Relação de recorrência para os coeficientes da série de potências. Não importava o que (a_0 ) ou (a_1 ) era. Eles podem ser arbitrários. Mas uma vez que escolhemos (a_0 ) e (a_1 text <,> ) então todos os outros coeficientes são determinados pela relação de recorrência.

Vamos ver quais devem ser os coeficientes. Primeiro, (a_0 ) e (a_1 ) são arbitrários. Então,

Portanto, para (k text <,> ) que é (k = 2n text <,> ) mesmo, temos

e para (k text <,> ) ímpar que é (k = 2n + 1 text <,> ) temos

Vamos escrever a série

Reconhecemos as duas séries como o seno e cosseno hiperbólico. Portanto,

Claro, em geral não seremos capazes de reconhecer a série que aparece, já que normalmente não haverá nenhuma função elementar que corresponda a ela. Nesse caso, ficaremos satisfeitos com a série.

Exemplo 7.2.2.

Deixe-nos fazer um exemplo mais complexo. Considerar Equação de Airy 1 :

próximo ao ponto (x_0 = 0 text <.> ) Observe que (x_0 = 0 ) é um ponto comum.

Diferenciamos duas vezes (como acima) para obter

Colocamos (y ) na equação

Nós reindexamos para tornar as coisas mais fáceis de somar

Novamente (y '' - xy ) deve ser 0, então (a_2 = 0 text <,> ) e

Saltamos em etapas de três. Primeiro, uma vez que (a_2 = 0 ) devemos ter, (a_5 = 0 text <,> ) (a_8 = 0 text <,> ) (a_ <11> = 0 text <, > ) etc. Em geral, (a_ <3n + 2> = 0 text <.> )

As constantes (a_0 ) e (a_1 ) são arbitrárias e obtemos

Para (a_k ) onde (k ) é um múltiplo de (3 text <,> ) que é (k = 3n ), notamos que

Para (a_k ) onde (k = 3n + 1 text <,> ) notamos

Em outras palavras, se escrevermos a série para (y text <,> ), ela terá duas partes

e escreva a solução geral para a equação como (y (x) = a_0 y_1 (x) + a_1 y_2 (x) text <.> ) Se conectarmos (x = 0 ) na série de potências para (y_1 ) e (y_2 text <,> ) encontramos (y_1 (0) = 1 ) e (y_2 (0) = 0 text <.> ) Da mesma forma, (y_1 ' (0) = 0 ) e (y_2 '(0) = 1 text <.> ) Portanto (y = a_0 y_1 + a_1 y_2 ) é uma solução que satisfaz as condições iniciais (y (0) = a_0 ) e (y '(0) = a_1 text <.> )

Figura 7.3. As duas soluções (y_1 ) e (y_2 ) para a equação de Airy.

As funções (y_1 ) e (y_2 ) não podem ser escritas em termos das funções elementares que você conhece. Veja a Figura 7.3 para o gráfico das soluções (y_1 ) e (y_2 text <.> ) Essas funções têm muitas propriedades interessantes. Por exemplo, eles são oscilatórios para (x ) negativo (como soluções para (y '' + y = 0 )) e para (x ) positivo eles crescem sem limites (como soluções para (y '' -y = 0 )).

Às vezes, uma solução pode acabar sendo um polinômio.

Exemplo 7.2.3.

Vamos encontrar uma solução para o chamado Equação de ordem de Hermite (n ) 2 :

Vamos encontrar uma solução em torno do ponto (x_0 = 0 text <.> ) Tentamos

Nós diferenciamos (como acima) para obter

Agora nos conectamos à equação

Esta relação de recorrência realmente inclui (a_2 = -na_0 ) (que vem de (2a_2 + 2na_0 = 0 )). Novamente (a_0 ) e (a_1 ) são arbitrários.

Vamos separar os coeficientes pares e ímpares. Nós encontramos isso

Vamos escrever as duas séries, uma com as potências pares e outra com as ímpares.

Observamos que se (n ) é um inteiro par positivo, então (y_1 (x) ) é um polinômio, pois todos os coeficientes na série além de um certo grau são zero. Se (n ) for um número inteiro ímpar positivo, então (y_2 (x) ) é um polinômio. Por exemplo, se (n = 4 text <,> ) então

Subseção 7.2.1 Exercícios

Nos exercícios a seguir, quando solicitado a resolver uma equação usando métodos de séries de potências, você deve encontrar os primeiros termos da série e, se possível, encontrar uma fórmula geral para o (k ^ < text> ) coeficiente.

Exercício 7.2.1.

Use métodos de série de potências para resolver (y '' + y = 0 ) no ponto (x_0 = 1 text <.> )

Exercício 7.2.2.

Use métodos de série de potências para resolver (y '' + 4xy = 0 ) no ponto (x_0 = 0 text <.> )

Exercício 7.2.3.

Use métodos de série de potências para resolver (y '' - xy = 0 ) no ponto (x_0 = 1 text <.> )

Exercício 7.2.4.

Use métodos de série de potências para resolver (y '' + x ^ 2y = 0 ) no ponto (x_0 = 0 text <.> )

Exercício 7.2.5.

Os métodos funcionam para outros pedidos além do segundo pedido. Experimente os métodos desta seção para resolver o sistema de primeira ordem (y'-xy = 0 ) no ponto (x_0 = 0 text <.> )

Exercício 7.2.6. Equação de ordem de Chebyshev (p ).

Resolva ((1-x ^ 2) y '' - xy '+ p ^ 2y = 0 ) usando métodos de série de potências em (x_0 = 0 text <.> )

Para qual (p ) existe uma solução polinomial?

Exercício 7.2.7.

Encontre uma solução polinomial para ((x ^ 2 + 1) y '' - 2xy '+ 2y = 0 ) usando métodos de série de potências.

Exercício 7.2.8.

Use métodos de série de potências para resolver ((1-x) y '' + y = 0 ) no ponto (x_0 = 0 text <.> )

Use a solução da parte a) para encontrar uma solução para (xy '' + y = 0 ) em torno do ponto (x_0 = 1 text <.> )

Exercício 7.2.101.

Use métodos de série de potências para resolver (y '' + 2 x ^ 3 y = 0 ) no ponto (x_0 = 0 text <.> )

(a_2 = 0 text <,> ) (a_3 = 0 text <,> ) (a_4 = 0 text <,> ) relação de recorrência (para (k geq 5 )): (a_k = frac <- 2 a_> text <,> ) então:
(y (x) = a_0 + a_1 x - frac <10> x ^ 5 - frac <15> x ^ 6 + frac <450> x ^ <10> + frac <825> x ^ <11> - frac <47250> x ^ <15> - frac <99000> x ^ <16> + cdots )

Exercício 7.2.102.

(desafiante) Os métodos de série de potências também funcionam para equações não homogêneas.

Use métodos de série de potências para resolver (y '' - x y = frac <1> <1-x> ) no ponto (x_0 = 0 text <.> ) Dica: Lembre-se da série geométrica.

Agora resolva a condição inicial (y (0) = 0 text <,> ) (y '(0) = 0 text <.> )

a) (a_2 = frac <1> <2> text <,> ) e para (k geq 1 ) temos (a_k = frac <>+ 1> text <,> ) então
(y (x) = a_0 + a_1 x + frac <1> <2> x ^ 2 + frac <6> x ^ 3 + frac <12> x ^ 4 + frac <3> <40> x ^ 5 + frac <30> x ^ 6 + frac <42> x ^ 7 + frac <5> <112> x ^ 8 + frac <72> x ^ 9 + frac <90> x ^ <10> + cdots )
b) (y (x) = frac <1> <2> x ^ 2 + frac <1> <6> x ^ 3 + frac <1> <12> x ^ 4 + frac <3> <40> x ^ 5 + frac <1> <15> x ^ 6 + frac <1> <21> x ^ 7 + frac <5> <112> x ^ 8 + frac <1> <24 > x ^ 9 + frac <1> <30> x ^ <10> + cdots )

Exercício 7.2.103.

Tente resolver (x ^ 2 y '' - y = 0 ) em (x_0 = 0 ) usando o método de série de potências desta seção ( (x_0 ) é um ponto singular). Você pode encontrar pelo menos uma solução? Você pode encontrar mais de uma solução?

Aplicando o método desta seção diretamente, obtemos (a_k = 0 ) para todos (k ) e, portanto, (y (x) = 0 ) é a única solução que encontramos.


Python: dicas do dia

Como faço para passar uma variável por referência?

Os argumentos são passados ​​por atribuição. A lógica por trás disso é dupla:

  1. o parâmetro passado é na verdade uma referência a um objeto (mas a referência é passada por valor)
  2. alguns tipos de dados são mutáveis, mas outros não
  • Se você passar um objeto mutável para um método, o método obtém uma referência para esse mesmo objeto e você pode alterá-lo para o seu deleite, mas se você religar a referência no método, o escopo externo não saberá nada sobre isso, pronto, a referência externa ainda apontará para o objeto original.
  • Se você passar um objeto imutável para um método, ainda não poderá religar a referência externa e nem mesmo poderá transformar o objeto.

Para deixar ainda mais claro, vamos dar alguns exemplos.

Lista - um tipo mutável

Vamos tentar modificar a lista que foi passada para um método:

Visto que o parâmetro passado é uma referência para outer_list, não uma cópia dele, podemos usar os métodos de lista mutante para alterá-lo e ter as alterações refletidas no escopo externo.

Agora vamos ver o que acontece quando tentamos alterar a referência que foi passada como parâmetro:

Como o parâmetro the_list foi passado por valor, atribuir uma nova lista a ele não teve nenhum efeito que o código fora do método pudesse ver. O the_list era uma cópia da referência outer_list, e tínhamos o ponto the_list para uma nova lista, mas não havia como alterar para onde o outer_list apontava.

String - um tipo imutável

É imutável, então não há nada que possamos fazer para alterar o conteúdo da string
Agora, vamos tentar mudar a referência

Novamente, como o parâmetro the_string foi passado por valor, atribuir uma nova string a ele não teve nenhum efeito que o código fora do método pudesse ver. A the_string era uma cópia da referência outer_string, e tínhamos the_string apontando para uma nova string, mas não havia como alterar para onde a outer_string apontava.

Espero que isso esclareça um pouco as coisas.

EDITAR: Foi notado que isso não responde à pergunta que @David fez originalmente, "Há algo que eu possa fazer para passar a variável por referência real?". Vamos trabalhar nisso.

Como podemos contornar isso?

Como mostra a resposta de @Andrea, você pode retornar o novo valor. Isso não muda a forma como as coisas são passadas, mas permite que você obtenha as informações que deseja de volta:

Se você realmente quisesse evitar o uso de um valor de retorno, poderia criar uma classe para conter seu valor e passá-lo para a função ou usar uma classe existente, como uma lista:


Equações diferenciais elementares e problemas de valor limite 11e, como seus predecessores, é escrito do ponto de vista do matemático aplicado, cujo interesse em equações diferenciais pode às vezes ser bastante teórico, às vezes intensamente prático e, freqüentemente, em algum ponto intermediário. Os autores buscaram combinar uma exposição sólida e precisa (mas não abstrata) da teoria elementar de equações diferenciais com um material considerável sobre métodos de solução, análise e aproximação que se mostraram úteis em uma ampla variedade de aplicações. Embora a estrutura geral do livro permaneça inalterada, algumas mudanças notáveis ​​foram feitas para melhorar a clareza e a legibilidade do material básico sobre equações diferenciais e suas aplicações. Além de explicações expandidas, a 11ª edição inclui novos problemas, figuras atualizadas e exemplos para ajudar a motivar os alunos.

O programa é destinado principalmente a alunos de graduação em matemática, ciências ou engenharia, que normalmente fazem um curso sobre equações diferenciais durante o primeiro ou segundo ano de estudo. O principal pré-requisito para se envolver com o programa é um conhecimento prático de cálculo, obtido a partir de uma sequência normal de dois ou três semestres ou seu equivalente. Alguma familiaridade com matrizes também será útil nos capítulos sobre sistemas de equações diferenciais.


7 exercícios para força espiritual

1. Passe mais tempo amando e encorajando a família / amigos.

Pense em seus relacionamentos por um momento. Isso retrata um quadro que você gostaria de melhorar?

Alguns dos melhores momentos da vida podem ser com a família, mas outros podem não ser tão memoráveis. Não se apegue às memórias negativas & # 8211, elas são um fardo demais para suportar. Libere-os e saiba que eles serão atendidos por você. Você deve ser feliz e aproveitar a vida, especialmente os momentos felizes com aqueles de quem você é próximo. Quando você está focado em estar espiritualmente centrado, você está sempre divinamente protegido. Alguns pensamentos negativos podem surgir e tentar derrubá-lo, mas você pode confiar na sua força espiritual, deixando que ela fale por você & # 8211 como um guarda-costas!

Dê a este momento com sua família ou amigos a atenção e o amor que ele merece. Quando seu coração se abre para seus entes queridos dessa forma, novos padrões e pensamentos se desenvolvem em você. A partir desses novos pensamentos, você pode construir a base para relacionamentos mais saudáveis.

Aja para mostrar às pessoas importantes o quanto você as aprecia. Pode ser tão simples quanto um telefonema ou e-mail para aquecer o coração de alguém. Isso poderia até mudar toda a sua vida.

2. Vá para fora o máximo possível.

Sair é vital para construir sua força espiritual. Uma maior conexão com a natureza e a Terra os coloca em alinhamento com a verdadeira energia viva. Ele o conecta diretamente ao divino, permitindo que a energia positiva seja canalizada para você e através de você. Aproveite o sol e deixe-o brilhar em seu rosto (sua glândula pineal é, na verdade, sensível à luz). Você pode fazer isso mais criando o hábito de comer ao ar livre ou até mesmo dar uma caminhada para assistir ao nascer ou pôr do sol.

À medida que você passa mais tempo ao ar livre, preste atenção às imagens e sons da natureza. Sinta a energia do vento quando ele passa por você e sinta o cheiro do ambiente. Você foi feito para ser satisfeito por meio de seus sentidos, e a natureza pode fazer isso de várias maneiras.

3. Reduza distrações (TV, rádio, Internet, jornal)

A mídia pode preencher sua mente com milhares de anúncios, episódios e eventos que estão longe de serem vitais para viver sua melhor vida. Quando você reduz a absorção de participar dessas atividades, há muito menos estímulos fabricados sendo alimentados e seu cérebro tem a chance de ficar em silêncio. Esses momentos de silêncio dão a você a oportunidade de fortalecer sua conexão espiritual e aqueles ao seu redor.

E se você não está pronto para desistir dessas coisas ou reduzir sua ingestão (nós entendemos), apenas tente aguçar seu foco no que você deseja ver (como Poder de positividade), ao invés do que você não deseja.

4. Observe seus pensamentos sobre as pessoas ao seu redor.

É muito importante enviar energia positiva para os outros, bem como se abrir para recebê-la você mesmo. Não há espaço nesta vida para julgar os outros, pois você pode ser julgado por outros por suas próprias ações. Focar na dor, fofoca, medo ou tristeza não serve a ninguém.

A energia que você envia aos outros pode ajudá-los a superar seus desafios ou tropeçar, tropeçar e cair. Seja gentil com todas as pessoas. Veja o que há de bom (e de Deus) neles e ajude a tentar amplificar essa voz para ajudar a levá-los a seus melhor vida. Você pode não ter ideia do tipo de batalha que eles estão travando agora & # 8211, a energia que você lhes envia é muito importante.

5. Dê um passo de fé

Esteja confiante para permanecer firme em face da adversidade. Saiba que o Divino está à sua volta e que um grande avanço está reservado para você, além de seus desafios. Pode haver forças que têm um investimento em impedi-lo de receber sua melhor vida, mas quando você decidir se levantar ou falar, sabendo que sua fé é maior do que o seu medo, a ilusão de medo que está tentando mantê-lo para baixo diminuirá e eventualmente desaparecerá.

Você se torna mais forte e mais sábio quando dá um passo de fé. As aulas trazidas por todas as pessoas e situações com as quais entramos em contato são nossos professores E nossos exames & # 8211 aproveite para tirar um A +!

6. Prestar serviço aos outros

A história mostra que as pessoas mais espiritualmente fortes, pacíficas e amorosas se concentravam em servir aos outros. Jesus, Buda, Madre Teresa, Gandhi ... a lista continua. Existe verdadeiro poder e paz no serviço por si só. Reserve um tempo para ajudar alguém que precisa ou compartilhe um contato com quem puder. Você não tem que ser especial para ser o ponto de virada na vida de alguém & # 8217 cada pessoa que você encontra é trazida a você por um motivo específico. Sirva a situação e sua força espiritual certamente crescerá.

7. Faça da oração / meditação um hábito.

A observância regular dos ajudantes e guias “invisíveis”, anjos ou quem quer que você chame ao seu redor, causará uma mudança em você. Um ótimo exercício para obter força espiritual é praticar ou meditar (como preferir) pelo menos duas vezes ao dia.

A oração ou meditação geralmente tem um início formal como “Querido Deus”, “Querido Pai Celestial” ou “Ó Grande Espírito de Cura”. Outras religiões têm rituais específicos, como a religião muçulmana recitando “A Abertura” em uma postura específica. Pode ser praticado de várias maneiras e posições, mas no final tudo ajudará a aumentar sua força espiritual e conduzi-lo à sua melhor vida. Ao orar / meditar, sente-se calmamente e permita que o divino entre em você para fortalecer e iluminar seu espírito. Mantenha seus pedidos no tempo positivo, concentrando-se na cura em vez da doença ou enfermidade, na abundância em vez da escassez e assim por diante. Se você reconhecer a energia negativa, você reivindicará propriedade sobre ela e permitirá que ela permaneça em sua vida. Inunde-o com o positivo!


The Activity Series

As reações de substituição única ocorrem apenas quando o elemento que está fazendo a substituição é mais reativo do que o elemento que está sendo substituído. Portanto, é útil ter uma lista de elementos em ordem de sua reatividade relativa. O série de atividades é uma lista de elementos em ordem decrescente de sua reatividade. Como os metais substituem outros metais, enquanto os não metais substituem outros não metais, cada um deles tem uma série de atividades separada. A tabela ( PageIndex <1> ) abaixo é uma série de atividades dos metais mais comuns, e a tabela ( PageIndex <2> ) é uma série de atividades dos halogênios.

Para uma reação de substituição única, um determinado elemento é capaz de substituir um elemento que está abaixo dele na série de atividades. Isso pode ser usado para prever se uma reação ocorrerá. Suponha que pequenos pedaços de níquel metálico foram colocados em duas soluções aquosas separadas: uma de nitrato de ferro (III) e uma de nitrato de chumbo (II). Olhando para a série de atividades, vemos que o níquel está abaixo do ferro, mas acima do chumbo. Portanto, o metal níquel será capaz de substituir o chumbo em uma reação, mas não será capaz de substituir o ferro.

[ ce left (s right) + ce left (aq right) rightarrow ce left (aq right) + ce esquerda (s direita) ]

[ ce left (s right) + ce left (aq right) rightarrow text]

Nas descrições que acompanham a série de atividades dos metais, um determinado metal também é capaz de sofrer as reações descritas a seguir naquela seção. Por exemplo, o lítio irá reagir com a água fria, substituindo o hidrogênio. Ele também vai reagir com o vapor e com os ácidos, pois isso requer um menor grau de reatividade.

Use a série de atividades para prever se as seguintes reações ocorrerão. Caso contrário, escreva ( text). Se a reação ocorrer, escreva os produtos da reação e equilibre a equação.

  1. ( ce left (s right) + ce left (aq right) rightarrow )
  2. ( ce left (s right) + ce left (aq right) rightarrow )

Exemplo ( PageIndex <1A> )

( ce left (s right) + ce left (aq right) rightarrow )

Exemplo ( PageIndex <1B> )

( ce left (s right) + ce left (aq right) rightarrow )

Como o alumínio está acima do zinco, ele é capaz de substituí-lo e uma reação ocorrerá. Os produtos da reação serão nitrato de alumínio aquoso e zinco sólido. Tome cuidado ao escrever as fórmulas corretas para os produtos antes de equilibrar a equação. O alumínio adota uma carga de (+ 3 ) em um composto iônico, então a fórmula para o nitrato de alumínio é ( ce). A equação balanceada é:

(2 ce esquerda (s direita) + 3 ce left (aq right) rightarrow 2 ce left (aq right) + 3 ce left (s right) )

Como a prata está abaixo do hidrogênio, ela não é capaz de substituir o hidrogênio em uma reação com um ácido.

( ce left (s right) + ce left (aq right) rightarrow text)

Use a série de atividades para prever os produtos, se houver, de cada equação.


Soluções NCERT para Matemática da Classe 10, Capítulo 3 Par de Equações Lineares em Duas Variáveis ​​Ex 3.7

Soluções NCERT para Matemática da Classe 10, Capítulo 3 Par de Equações Lineares em Duas Variáveis ​​Ex 3.7 são parte das Soluções NCERT para Matemática da Classe 10. Aqui, fornecemos Soluções NCERT para Matemática da Classe 10, Capítulo 3 Par de Equações Lineares em Duas Variáveis, Exercício 3.7

Ex 3.7 Classe 10 - Questão 1 de Matemática.
A idade dos dois amigos Ani e Biju difere em 3 anos. O pai de Ani, Dharam, tem o dobro da idade de Ani e Biju tem o dobro da idade de sua irmã Cathy. As idades de Cathy e Dharam diferem em 30 anos. Encontre as idades de Ani e Biju.
Solução:
Sejam as idades de Ani e Biju x anos e y anos, respectivamente.
Se Ani for mais velho que Biju
x & # 8211 y = 3
Se Biju for mais velho que Ani
y & # 8211 x = 3
-x + y = 3 [Dado]

Subtraindo a equação (i) da equação (ii), obtemos:
3x & # 8211 57
⇒ x = 19
Colocando x = 19 na equação (i), obtemos
19-y = 3
⇒ y = 16
Novamente subtraindo a equação (iv) da equação (iii), obtemos
3x = 63
⇒ x = 21
Colocando x = 21 na equação (iii), obtemos
21 -y = -3
⇒ y = 24
Portanto, a idade de Ani & # 8217s é 19 ou 21 anos e a idade de Biju & # 8217s é 16 ou 24 anos.

Ex 3.7 Classe 10 - Questão 2 de Matemática.
Um diz: & # 8220Dê-me cem, amigo! Então, ficarei duas vezes mais rico do que você & # 8221. O outro responde: & # 8220Se você me der dez, serei seis vezes mais rico que você & # 8221. Diga-me qual é o valor de seu (respectivo) capital?
Solução:
Let the two friends have ₹ x and ₹ y.
According to the first condition:
One friend has an amount = ₹(x + 100)
Other has an amount = ₹ (y – 100
∴ (x + 100) =2 (y – 100)
⇒ x + 100 = 2y – 200
⇒ x – 2y = -300 …(i)
According to the second condition:
One friend has an amount = ₹(x – 10)
Other friend has an amount =₹ (y + 10)
∴ 6(x – 10) = y + 10
⇒ 6x – 60 = y + 10
⇒ 6x-y = 70 …(ii)
Multiplying (ii) equation by 2 and subtracting the result from equation (i), we get:
x – 12x = – 300 – 140
⇒ -11x = -440
⇒ x = 40
Substituting x = 40 in equation (ii), we get
6 x 40 – y = 70
⇒ -y = 70- 24
⇒ y = 170
Thus, the two friends have ₹ 40 and ₹ 170.

Ex 3.7 Class 10 Maths Question 3.
A train covered a certain distance at a uniform speed. If the train would have been 10 km/h faster, it would have taken 2 hours less than the scheduled time. And, if the train were slower by 10 km/h, it would have taken 3 hours more than the scheduled time. Find the distance covered by the train.
Solução:
Let the original speed of the train be x km/h
and the time taken to complete the journey be y hours. ‘
Then the distance covered = xy km

Case I: When speed = (x + 10) km/h and time taken = (y – 2) h
Distance = (x + 10) (y – 2) km
⇒ xy = (x + 10) (y – 2)
⇒ 10y – 2x = 20
⇒ 5y – x = 10
⇒ -x + 5y = 10 …(i)

Case II: When speed = (x – 10) km/h and time taken = (y + 3) h
Distance = (x – 10) (y + 3) km
⇒ xy = (x – 10) (y + 3)
⇒ 3x- 10y = 30 …(ii)
Multiplying equation (i) by 3 and adding the result to equation (ii), we get
15y – 10y = 30 f 30
⇒ 5y = 60
⇒ y = 12
Putting y = 12 in equation (ii), we get
3x- 10 x 12= 30
⇒ 3x = 150
⇒ x = 50
∴ x = 50 and y = 12
Thus, original speed of train is 50 km/h and time taken by it is 12 h.
Distance covered by train = Speed x Time
= 50 x 12 = 600 km.

Ex 3.7 Class 10 Maths Question 4.
The students of a class are made to stand in rows. If 3 students are extra in a row, there would be 1 row less. If 3 students are less in a row, there would be 2 rows more. Find the number of students in the class.
Solução:
Let the number of rows be x and the number of students in each row be y.
Then the total number of students = xy
Case I: When there are 3 more students in each row
Then the number of students in a row = (y + 3)
and the number of rows = (x – 1)
Total number of students = (x – 1) (y + 3)
∴ (x – 1) (y + 3) = xy
⇒ 3x -y =3 …(i)
Case II: When 3 students are removed from each row
Then the number of students in each row = (y-3)
and the number of rows = (x + 2)
Total number of students = (x + 2) (y – 3)
∴ (x + 2) (y – 3) = xy
⇒ -3x + 2y = 6 …(ii)
Adding the equations (i) and (ii), we get
-y + 2y = 3 + 6
⇒ y = 9
Putting y = 9 in the equation (ii), we get
-3x + 18 = 6
⇒ x = 4
∴ x = 4 and y = 9
Hence, the total number of students in the class is 9 x 4 = 36.

Ex 3.7 Class 10 Maths Question 5.
In a ∆ABC, ∠C = 3 ∠B = 2(∠A + ∠B). Find the three angles.
Solução:
Let ∠A = x° and ∠B = y°.
Then ∠C = 3∠B = (3y)°.
Now ∠A + ∠B + ∠C = 180°
⇒ x + y + 3y = 180°
⇒ x + 4y = 180° …(i)
Also, ∠C = 2(∠A + ∠B)
⇒ 3y – 2(x + y)
⇒ 2x – y = 0° …(ii)
Multiplying (ii) by 4 and adding the result to equation (i), we get:
9x = 180°
⇒ x = 20°
Putting x = 20 in equation (i), we get:
20 + 4y = 180°
⇒ 4y = 160°
⇒ y = (frac < 160 >< 40 >) = 40°
∴ ∠A = 20°, ∠B = 40° and ∠C = 3 x 40° = 120°.

Ex 3.7 Class 10 Maths Question 6.
Draw the graphs of the equations 5x – y = 5 and 3x – y = 3. Determine the coordinates of the vertices of the triangle formed by these lines and the y-axis.
Solução:
5x – y = 5 …(i)
3x-y = 3 …(ii)
For graphical representation:
From equation (i), we get: y = 5x – 5
When x = 0, then y -5
When x = 2, then y = 10 – 5 = 5
When x = 1, then y = 5 – 5 = 10
Thus, we have the following table of solutions:

From equation (ii), we get:
⇒ y = 3x – 3
When x = 0, then y = -3
When x = 2, then y = 6 – 3 = 3
When x = 1, then y = 3 – 3 = 0
Thus, we have the following table of solutions:

Plotting the points of each table of solutions, we obtain the graphs of two lines intersecting each other at a point C(1, 0).

The vertices of ΔABC formed by these lines and the y-axis are A(0, -5), B(0, -3) and C(1, 0).

Ex 3.7 Class 10 Maths Question 7.
Solve the following pairs of linear equations:

Solução:
(eu) The given equations are
px + qy = p – q …(1)
qx – py = p + q …(2)
Multiplying equation (1) byp and equation (2) by q and then adding the results, we get:
x(p 2 + q 2 ) = p(p – q) + q(p + q)

(ii) The given equations are
ax + by = c …(1)
bx – ay = 1 + c …(2)
Multiplying equation (1) by b and equation (2) by a, we get:
abx + b 2 y = cb …(3)
abx + a 2 y = a(1+ c) …(4)
Subtracting (3) from (4), we get:

(iii) The given equations may be written as: bx – ay = 0 …(1)
ax + by = a 2 + b 2 …(2)
Multiplying equation (1) by b and equation (2) by a, we get:
b 2 x + aby = 0 ….(3)
a 2 x + aby = a(a 2 + b 2 ) …..(4)
Adding equation (3) and equation (4), we get:
(a 2 + b 2 )x = a (a 2 + b 2 ) a(a 2 + b 2 )

(iv) The given equations may be written as:
(a – b)x + (a + b)y = a 2 – 2ab – b 2 …(1)
(a + b)x + (a + b)y = a 2 + b 2 …(2)
Subtracting equation (2) from equation (1), we get:
(a – b)x – (a + b)x
= (a 2 – 2ab – b 2 ) – (a 2 + b 2 )
⇒ x(a – b- a-b) = a 2 – 2ab – b 2 – a 2 – b 2
⇒ -2bx = -2ab – 2b 2
⇒ 2bx = 2b 2 + 2ab

(v) The given equations may be written as:
76x – 189y = -37 …(1)
-189x + 76y = -302 …(2)
Multiplying equation (1) by 76 and equation (2) by 189, we get:
5776x – 14364y = -2812 …(3)
-35721x + 14364y = -57078 …(4)
Adding equations (3) and (4), we get:
5776x – 35721x = -2812 – 57078
⇒ – 29945x = -59890
⇒ x = 2
Putting x = 2 in equation (1), we get:
76 x 2 – 189y = -37
⇒ 152 – 189y = -37
⇒ -189y = -189
⇒ y = 1
Thus, x = 2 and y = 1 is the required solution.

Ex 3.7 Class 10 Maths Question 8.
ABCD is a cyclic quadrilateral (see figure). Find the angles of the cyclic quadrilateral.

Solução:

NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 3 Pairs of Linear Equations in Two Variables (Hindi Medium) Ex 3.7














NCERT Solutions for Class 10 Maths

We hope the NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter Pair of Linear Equations in Two Variables Ex 3.7, help you. If you have any query regarding NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 3 Pair of Linear Equations in Two Variables Exercise 3.7, drop a comment below and we will get back to you at the earliest.


Exercícios

Question 1. Which ruler first established his or her capital at Delhi?
Responder:


Delhi first became the capital of a kingdom under the Tomar Rajputs.

Question 2. What was the language of administration under the Delhi Sultans?
Responder:the language of administration under the Delhi Sultans Persian.

Question 3. In whose region did the Sultanate reach its farthest extent?
Answer:Under the regions of Aluaddin Khalji and Muhammad Tughluq the Sultanate reached its farthest extent.

Question 4. From which country did Ibn Battuta travel to India?
Answer. Ibn Battuta travel to India from the Morocco Africa..


2 $20,000 × .756144 = 15,

b. Cash flow stream A has a higher present value ($109,857) than cash flow stream B ($91,273) because cash flow stream A has larger cash flows in the early years. So stream A gets more of the $150,000 sooner. Although both cash flow streams total $150,000 on an undiscounted basis, the large early-year cash flows of stream A result in its higher present value.

*Note: You could also solve this problem using the CF and NPV registers on the calculator. See the solution to Problem 4 for an example of how to compute the present value of an uneven stream of cash flows with the calculator.

P3. Assume that you just won the state lottery. Your prize can be taken either in the form of $40,000 at the end of each of the next 25 years or as a single payment of $500,000 paid immediately.

uma. If you expect to be able to earn 5 percent annually on your investments over the next 25 years (i.e. 5 percent is the appropriate discount rate), ignoring taxes and other considerations, which alternative should you take? Assume that your only decision criteria is selecting the option with the highest present value. b. Would your decision in part (a) be altered if you could earn 7 percent rather than 5 percent on your investments over the next 25 years?

A3. uma. Finding the present value of this annuity on the calculator: N= I/Y= PMT=40,

P4. Calculate the present value of the following uneven stream of cash flows. Assume an 8 percent discount rate.

End of Year Cash Flow 1 $10, 2 10, 3 10, 4 12, 5 12, 6 12, 7 12, 8 15, 9 15, 10 15,

Using the Calculator: For this uneven stream of cash flows, you’ll have to use the CF and NPV registers. First, you can do it as follows, which is the long way: CF0= C01=10, C02=10, C03=10, C04=12, C05=12, C06=12, C07=12, C08=15, C09=15, C10=15, I = 8 Solve for NPV = 79,877.91 = PV This PV is a little higher than what we calculated by hand because of rounding.

Second, you can also do it as follows, which is the short way. Make sure to clear the CF register by hitting CF, then hit 2nd, then hit CLR WORK (CE/E) before starting this: CF0= C01=10, F01= C02=12, F02= C03=15, F03= I = 8 Solve for NPV = 79,877.91 = PV

P5. You plan to invest $2,000 in an individual retirement arrangement (IRA) today that pays a stated annual interest rate of 8 percent, which is expected to apply to all future years. uma. How much will you have in the account at the end of 10 years if interest is compounded as follows? (1) Annually (2) Semiannually (3) Monthly

b. What is the effective annual rate (EAR) for each compounding frequency in part a?

A5. uma. (1) Annual Compounding (2) Semiannual Compounding FV 10 = $2,000  (1.08) 10 FV 10 = $2,000  (1+0.08/2)2* FV 10 = $4,317.85 FV 10 = $2,000  (1+0.04) 20 FV 10 = $4,382.

(3) Monthly Compounding FV 10 = $2,000  (1+0.08/12)12* FV 10 = $4,439.

b. (1) Annual Compounding (2) Semiannual Compounding EAR = (1 + .08/1) 1 –1 EAR = (1 + .08/2) 2 - EAR = (1 + .08) 1 - 1 EAR = (1 + .04) 2 - 1 EAR = (1.08) – 1 EAR = (1.0816) - 1 EAR = .08 = 8% EAR = .0816 = 8.16%

(3) Monthly Compounding EAR = (1 + .08/12) 12 – 1 EAR = 0.083 = 8.3%

P6. To supplement your planned retirement in exactly 42 years, you estimate that you need to accumulate $1 million by the end of 42 years from today. You plan to make equal annual end-of-year deposits into an account paying 4 percent annual interest. uma. How large must the annual deposits be to create the $1 million amount by the end of 42 years? b. If you can afford to deposit only $5,000 per year into the account, how much will you have accumulated by the end of the forty-second year?


Índice

1. First-Order Differential Equations
1.1 Differential Equations and Mathematical Models
1.2 Integrals as General and Particular Solutions
1.3 Slope Fields and Solution Curves
1.4 Separable Equations and Applications
1.5 Linear First-Order Equations
1.6 Substitution Methods and Exact Equations

2. Mathematical Models and Numerical Methods
2.1 Population Models
2.2 Equilibrium Solutions and Stability
2.3 Acceleration--Velocity Models
2.4 Numerical Approximation: Euler's Method
2.5 A Closer Look at the Euler Method
2.6 The Runge--Kutta Method

3. Linear Systems and Matrices
3.1 Introduction to Linear Systems
3.2 Matrices and Gaussian Elimination
3.3 Reduced Row-Echelon Matrices
3.4 Matrix Operations
3.5 Inverses of Matrices
3.6 Determinants
3.7 Linear Equations and Curve Fitting

4. Vector Spaces
4.1 The Vector Space R3
4.2 The Vector Space Rn and Subspaces
4.3 Linear Combinations and Independence of Vectors
4.4 Bases and Dimension for Vector Spaces
4.5 Row and Column Spaces
4.6 Orthogonal Vectors in Rn
4.7 General Vector Spaces

5. Higher-Order Linear Differential Equations
5.1 Introduction: Second-Order Linear Equations
5.2 General Solutions of Linear Equations
5.3 Homogeneous Equations with Constant Coefficients
5.4 Mechanical Vibrations
5.5 Nonhomogeneous Equations and Undetermined Coefficients
5.6 Forced Oscillations and Resonance

6. Eigenvalues and Eigenvectors
6.1 Introduction to Eigenvalues
6.2 Diagonalization of Matrices
6.3 Applications Involving Powers of Matrices

7. Linear Systems of Differential Equations
7.1 First-Order Systems and Applications
7.2 Matrices and Linear Systems
7.3 The Eigenvalue Method for Linear Systems
7.4 A Gallery of Solution Curves of Linear Systems
7.5 Second-Order Systems and Mechanical Applications
7.6 Multiple Eigenvalue Solutions
7.7 Numerical Methods for Systems

8. Matrix Exponential Methods
8.1 Matrix Exponentials and Linear Systems
8.2 Nonhomogeneous Linear Systems
8.3 Spectral Decomposition Methods

9. Nonlinear Systems and Phenomena
9.1 Stability and the Phase Plane
9.2 Linear and Almost Linear Systems
9.3 Ecological Models: Predators and Competitors
9.4 Nonlinear Mechanical Systems

10. Laplace Transform Methods
10.1 Laplace Transforms and Inverse Transforms
10.2 Transformation of Initial Value Problems
10.3 Translation and Partial Fractions
10.4 Derivatives, Integrals, and Products of Transforms
10.5 Periodic and Piecewise Continuous Input Functions

11. Power Series Methods
11.1 Introduction and Review of Power Series
11.2 Power Series Solutions
11.3 Frobenius Series Solutions
11.4 Bessel Functions

Appendix A: Existence and Uniqueness of Solutions
Appendix B: Theory of Determinants

APPLICATION MODULES

The modules listed below follow the indicated sections in the text. Most provide computing projects that illustrate the corresponding text sections. Many of these modules are enhanced by the supplementary material found at the new Expanded Applications website.

1.3 Computer-Generated Slope Fields and Solution Curves
1.4 The Logistic Equation
1.5 Indoor Temperature Oscillations
1.6 Computer Algebra Solutions
2.1 Logistic Modeling of Population Data
2.3 Rocket Propulsion
2.4 Implementing Euler's Method
2.5 Improved Euler Implementation
2.6 Runge-Kutta Implementation
3.2 Automated Row Operations
3.3 Automated Row Reduction
3.5 Automated Solution of Linear Systems
5.1 Plotting Second-Order Solution Families
5.2 Plotting Third-Order Solution Families
5.3 Approximate Solutions of Linear Equations
5.5 Automated Variation of Parameters
5.6 Forced Vibrations and Resonance
7.1 Gravitation and Kepler's Laws of Planetary Motion
7.3 Automatic Calculation of Eigenvalues and Eigenvectors
7.4 Dynamic Phase Plane Graphics
7.5 Earthquake-Induced Vibrations of Multistory Buildings
7.6 Defective Eigenvalues and Generalized Eigenvectors
7.7 Comets and Spacecraft
8.1 Automated Matrix Exponential Solutions
8.2 Automated Variation of Parameters
9.1 Phase Portraits and First-Order Equations
9.2 Phase Portraits of Almost Linear Systems
9.3 Your Own Wildlife Conservation Preserve