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7.2.1: Conclusões da Fórmula de Representação - Matemática


Semelhante à teoria das funções de uma variável complexa, obtemos aqui resultados para funções harmônicas a partir da fórmula de representação, em particular de (7.2.5), (7.2.6). Lembramos que uma função (u ) é chamada harmônico if (u in C ^ 2 ( Omega) ) e
( triângulo u = 0 ) em ( Omega ).

Proposição 7.1. Suponha que (u ) seja harmônico em ( Omega ). Em seguida, (u in C ^ infty ( Omega) ).}

Prova. Seja ( Omega_0 subset subset Omega ) um domínio tal que (y in Omega_0 ). Segue das fórmulas de representação (7.2.5), (7.2.6), onde ( Omega: = Omega_0 ), que (D ^ lu (y) ) existem e são contínuos para todos (l ), uma vez que pode-se alterar a diferenciação com integração no lado direito das fórmulas de representação.

(Caixa)

Observação. Na verdade, uma função que é harmônica em ( Omega ) é até analítica real em ( Omega ), veja um exercício.

Proposição 7.2 (Fórmula do valor médio para funções harmônicas). Suponha que (u ) seja harmônico em ( Omega ). Então, para cada (B_ rho (x) subset subset Omega )
$$
u (x) = frac {1} { omega_n rho ^ {n-1}} int _ { parcial B_ rho (x)} u (y) dS_y.
$$

Prova. Considere o caso (n ge3 ). A afirmação segue de (7.2.6) onde ( Omega: = B_ rho (x) ) uma vez que (r = rho ) e
begin {eqnarray *}
int _ { parcial B_ rho (x)} frac {1} {r ^ {n-2}} frac { parcial u} { parcial n_y} dS_y & = & frac {1} { rho ^ {n-2}} int _ { parcial B_ rho (x)} frac { parcial u} { parcial n_y} dS_y
& = & frac {1} { rho ^ {n-2}} int_ {B_ rho (x)} triângulo u dy
&=&0.
end {eqnarray *}

(Caixa)

Lembramos que um domínio ( Omega in mathbb {R} ^ n ) é chamado de conectado se ( Omega ) não é a união de dois subconjuntos abertos não vazios ( Omega_1 ), ( Omega_2 ) de forma que ( Omega_1 cap Omega_2 = emptyset ). Um domínio em ( mathbb {R} ^ n ) está conectado se e somente se seu caminho estiver conectado.

Proposição 7.3 (Princípio máximo). Suponha que (u ) seja harmônico em um domínio conectado e atinja seu supremo ou mínimo em ( Omega ). Em seguida, (u equiv const. ) Em ( Omega ).

Prova. Considere o caso do supremo. Seja (x_0 in Omega ) de modo que
$$
u (x_0) = sup_ Omega u (x) =: M.
$$
Definir
( Omega_1: = {x in Omega: u (x) = M } ) e ( Omega_2: = {x in Omega: u (x) 0 ) tal que ( overline {B _ { rho_0} ( overline {x})} subconjunto Omega ) e (u (x) = M ) para todos (x in B _ { rho_0} ( overline {x}) ). Se não, então existe ( rho> 0 ) e ( widehat {x} ) tal que
(| widehat {x} - overline {x} | = rho ), (0 < rho < rho_0 ) e (u ( widehat {x}) $$
M = frac {1} { omega_n rho ^ {n-1}} int _ { parcial B_ rho ( overline {x})} u (x) dS
< frac {M} { omega_n rho ^ {n-1}} int _ { parcial B_ rho ( overline {x})} dS = M,
$$
o que é uma contradição. Portanto, o conjunto ( Omega_2 ) está vazio porque ( Omega_1 ) está aberto.

(Caixa)

Corolário. Assuma que ( Omega ) está conectado e limitado, e (u in C ^ 2 ( Omega) cap C ( overline { Omega}) ) é harmônico em ( Omega ). Então (u ) atinge seu mínimo e seu máximo no limite ( parcial Omega ).

Observação. O corolário anterior falha se ( Omega ) não for limitado, como mostram os contra-exemplos simples.


Bem-vindo à 7ª Matemática no BCMS!

Este site fornecerá links para itens que serão úteis para você, não importa se você está em matemática com o Sr. Mueller, Sra. Mooney ou Sra. Weise. Sinta-se à vontade para usar qualquer coisa que encontrar aqui para ajudar no seu aprendizado, mesmo que não tenha sido mencionado ou atribuído em sua aula.

Quer visitar um site que tem um monte de jogos de matemática especialmente para o ensino médio? Confira o site da Sra. Reilly-Harden & # 39s.

Padrões MN - Grau 7 e links para sites correspondentes que podem ser interessantes

Saiba que todo número racional pode ser escrito como a proporção de dois inteiros ou como um decimal final ou repetitivo. Reconheça que π não é racional, mas pode ser aproximado por números racionais, como 22/7 e 3,14.

Entenda que a divisão de dois inteiros sempre resultará em um número racional. Use essas informações para interpretar o resultado decimal de um problema de divisão ao usar uma calculadora.

Localize números racionais positivos e negativos em uma linha numérica, entenda o conceito de opostos e plote pares de números racionais positivos e negativos em uma grade de coordenadas.

GeoGebraTube: Fundamentos da linha numérica - Mova 2 números ao longo de uma linha numérica. Veja onde estão e como se comparam. O valor absoluto de um número é mostrado.

Compare números racionais positivos e negativos expressos em várias formas usando os símbolos & lt, & gt, =, ≤, ≥.

GeoGebraTube: Fundamentos da linha numérica - Mova 2 números ao longo de uma linha numérica. Veja onde estão e como se comparam. O valor absoluto de um número é mostrado.

Reconhecer e gerar representações equivalentes de números racionais positivos e negativos, incluindo frações equivalentes.

Adicionar, subtrair, multiplicar e dividir números racionais positivos e negativos que são inteiros, frações e decimais de terminação usam procedimentos eficientes e generalizáveis, incluindo algoritmos padrão que elevam números racionais positivos a expoentes de número inteiro.

Iluminações: Voltímetro - adição de números inteiros de 6 a -6.

GeoGebraTube: ACCESS Prealgebra - Multiplicação de inteiros de -10 a 10.

GeoGebraTube: Subtracting Integers - Subtração de inteiros de -10 a 10.

Youtube: Mathland! Life on the Numberline - Neste episódio, os números mostram adição. (Há uma série de experiências em Mathland.)

Youtube: Integer Rule Song - música simples que explica as regras de adição e subtração de inteiros

BCMS 7ª Série Matemática: Jogos e Atividades - Capítulo 1 - uma variedade de jogos e atividades para operações inteiras

Use contextos do mundo real e a relação inversa entre adição e subtração para explicar por que os procedimentos da aritmética com números racionais negativos fazem sentido.

Entenda que calculadoras e outras tecnologias de computação costumam truncar ou arredondar os números.

Resolver problemas em vários contextos envolvendo cálculos com números racionais positivos e negativos e expoentes inteiros positivos, incluindo computação simples e

BrainPop: Juros - Tim e Moby explicam os juros e a diferença entre juros simples e compostos.

Youtube: Super Base - Vídeo musical de colégio explicando as leis dos expoentes.

Use o raciocínio proporcional para resolver problemas envolvendo razões em vários contextos.

Scale Factor X - Um site de jogo de proporção e fator de escala.

Mundo real: Modelos e proporções em escala - Resolvendo proporções para encontrar informações relacionadas às viagens espaciais.

Demonstrar compreensão da relação entre o valor absoluto de um número racional e a distância em uma reta numérica. Use o símbolo para valor absoluto.

Entenda que uma relação entre duas variáveis, x e y, é proporcional se puder ser expressa na forma y / x = k ou y = kx. Distinguir relações proporcionais de outras relações, incluindo relações inversamente proporcionais (xy = k ou k / x = y).

Entenda que o gráfico de uma relação proporcional é uma reta que passa pela origem cuja inclinação é a taxa unitária (constante de proporcionalidade). Saiba como usar a tecnologia de gráficos para examinar o que acontece com uma linha quando a taxa unitária é alterada.

Representam relações proporcionais com tabelas, descrições verbais, símbolos, equações e gráficos que são traduzidos de uma representação para outra. Determine a taxa unitária (constante de proporcionalidade ou inclinação) dada qualquer uma dessas representações.

BCMS 7ª Série Matemática: Capítulo 10 vocabulário

BCMS 7ª Série Matemática: Taxas Unitárias

Resolva problemas de várias etapas envolvendo relações proporcionais em vários contextos.

Scale Factor X - Um site de jogo de proporção e fator de escala.

Use o conhecimento de proporções para avaliar a razoabilidade das soluções.

BCMS 7ª Série Matemática: Jogos e Atividades

Represente situações do mundo real ou matemáticas usando equações e desigualdades envolvendo variáveis ​​e números racionais positivos e negativos.

Iluminações: Balanço de pan - insira duas expressões e veja se e quando elas são iguais em um balanço de pan e em um gráfico.

Use propriedades de álgebra para gerar expressões numéricas e algébricas equivalentes contendo números racionais, símbolos de agrupamento e expoentes de números inteiros. As propriedades da álgebra incluem as leis associativas, comutativas e distributivas.

Avalie expressões algébricas contendo números racionais e expoentes de números inteiros em valores especificados de suas variáveis.

Aplicar a compreensão da ordem das operações e símbolos de agrupamento ao usar calculadoras e outras tecnologias.

Represente relacionamentos em vários contextos com equações envolvendo variáveis ​​e números racionais positivos e negativos. Use as propriedades de igualdade para resolver o valor de uma variável. Interprete a solução no contexto original.

Resolva equações resultantes de relações proporcionais em vários contextos.

Demonstrar uma compreensão da relação proporcional entre o diâmetro e a circunferência de um círculo e que a taxa unitária (constante de proporcionalidade) é π. Calcule a circunferência e a área dos círculos e setores dos círculos para resolver problemas em vários contextos.

Illuminations: Circle Tool - Mude o raio de um círculo e veja o que acontece com o diâmetro, a circunferência e a área. Compare as proporções. Resolver problemas.

GeoGebraTube: Visualize a área de um círculo - divida um círculo em setores, reorganize-os e veja que forma eles formam.

Calcule o volume e a área de superfície dos cilindros e justifique as fórmulas utilizadas.

Descreva as propriedades de similaridade, compare figuras geométricas para similaridade e determine fatores de escala.

Scale Factor X - Um site de jogo de proporção e fator de escala.

Aplique fatores de escala, proporções de comprimento e proporções de área para determinar comprimentos laterais e áreas de figuras geométricas semelhantes.

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Iluminações: Fator de escala - Altere os comprimentos laterais de um retângulo e observe a mudança nas relações do retângulo semelhante.

Use proporções e proporções para resolver problemas envolvendo desenhos em escala e conversões de unidades de medida.

Scale Factor X - Um site de jogo de proporção e fator de escala.

Represente graficamente e descreva traduções e reflexos de figuras em uma grade de coordenadas e determine as coordenadas dos vértices da figura após a transformação.

Projete experimentos simples e colete dados. Determine a média, a mediana e o intervalo para dados quantitativos e a partir dos dados representados em um display. Use essas quantidades para tirar conclusões sobre os dados, comparar diferentes conjuntos de dados e fazer previsões.

Youtube: Média, Mediana, Modo: Notas Musicais - música divertida para ajudar a lembrar qual é qual

Descreva o impacto que a inserção ou exclusão de um ponto de dados tem na média e na mediana de um conjunto de dados. Saiba como criar displays de dados usando uma planilha para examinar este impacto.

Iluminações: Média e Mediana - adicione pontos de dados a um conjunto de seus próprios dados e veja como a mediana e a média mudam.

Use o raciocínio com proporções para exibir e interpretar dados em gráficos circulares (gráficos de pizza) e histogramas. Escolha a exibição de dados apropriada e saiba como criá-la usando uma planilha ou outra tecnologia de gráfico.

Illuminations: Advanced Data Grapher - Use os dados fornecidos ou insira os seus próprios e faça um histograma, gráfico de caule e folha e outros gráficos.

Iluminações: Gráfico de dados - insira dados e crie um gráfico circular ou gráfico de linha.

Illuminations: Histogram Tool - Use os dados fornecidos ou insira os seus próprios e faça um histograma.

Use números aleatórios gerados por uma calculadora ou planilha ou tirados de uma tabela para simular situações envolvendo aleatoriedade, faça um histograma para mostrar o

resultados e compare os resultados com probabilidades conhecidas.

Illuminations: Adjustable Spinner - Crie um spinner com setores de tamanhos iguais e gire-o várias vezes. Compare a probabilidade teórica e a frequência relativa.

Calcule a probabilidade como uma fração do espaço amostral ou como uma fração da área. Expresse as probabilidades como porcentagens, decimais e frações.

Youtube: The Probability Song - vídeo para ajudar a lembrar o que é probabilidade

Youtube: The Monty Hall Problem - explicado em termos fáceis de entender

Use o raciocínio proporcional para tirar conclusões e prever frequências relativas de resultados com base em probabilidades.

Scale Factor X - Um site de jogo de proporção e fator de escala.

Youtube: Math, Math, Baby - um vídeo & quotdream sequence & quot que inclui muitos tópicos de matemática


Suponha que $ V $ seja um espaço vetorial sobre um campo $ k. ^ Dagger $ Se um $ A in mathrm(V) $ é diagonalizável, induz uma base própria $ $ para $ V $ com autovalores associados $ < lambda_i > $. Considere a ação herdada de $ A $ nas potências externas e simétricas $ Lambda ^ k (V) $ e $ S ^ k (V) $ respectivamente. Em particular, podemos caracterizar os pares próprios ou $ Lambda ^ k (A) $ e $ S ^ k (A) $ respectivamente como

v_ wedge cdots wedge v_) $ $ ( lambda_ cdots lambda_,

onde $ (i_1, cdots, i_k) $ e $ (j_1, cdots, j_k) $ são, respectivamente, sequências estritamente crescentes e não decrescentes de inteiros retiradas do conjunto de índices $ <1, cdots, n > $. Assim, obtemos as fórmulas de rastreamento

onde $ e_k $ é o $ k $ th polinômio simétrico elementar e $ h_k $ o $ k $ th polinômio simétrico homogêneo completo. Felizmente, os polinômios de soma de potência simétrica

Caso contrário, podemos usar a família de identidades do tipo Newton-Girard, a fim de definir recursivamente as fórmulas de rastreamento, conforme dado pela resposta de Draks na questão previamente vinculada

$ ^ dagger $ A característica não deve dividir $ n! $, onde $ n = dim V $. As conclusões aqui podem ser estendidas para $ A $ defeituosos considerando, por exemplo, continuidade após cuidar do caso de $ A $ diagonalizável na suposição de uma topologia subjacente.

Explicitamente, além do caso $ k = 2 $ na resposta do rattle, isso nos dá


Lit 2 Go

Smith, D. (1906). Artigo 2: Teoria dos Números. História da Matemática Moderna (Edição Lit2Go). Recuperado em 07 de julho de 2021, em https://etc.usf.edu/lit2go/103/history-of-modern-mathematics/1727/article-2-theory-of-numbers/

Smith, David Eugene. "Artigo 2: Teoria dos Números." História da Matemática Moderna. Edição Lit2Go. 1906. Web. https://etc.usf.edu/lit2go/103/history-of-modern-mathematics/1727/article-2-theory-of-numbers/>. 07 de julho de 2021.

David Eugene Smith, "Artigo 2: Teoria dos Números," História da Matemática Moderna, Lit2Go Edition, (1906), acessado em 07 de julho de 2021, https://etc.usf.edu/lit2go/103/history-of-modern-mathematics/1727/article-2-theory-of-numbers/.

A Teoria dos Números, 1 um estudo favorito entre os gregos, teve seu renascimento nos séculos dezesseis e dezessete nos trabalhos de Viete, Bachet de Meziriac e especialmente Fermat. No século XVIII, Euler e Lagrange contribuíram para a teoria e, no seu fechamento, o assunto começou a tomar forma científica por meio dos grandes trabalhos de Legendre (1798) e Gauss (1801). Com o último & rsquos Disquisitiones Arithmetic & aelig (1801), pode-se dizer que deu início à moderna teoria dos números. Esta teoria se divide em dois ramos, o que trata dos inteiros e se preocupa especialmente com (1) o estudo dos primos, das congruências e dos resíduos, e em particular com a lei da reciprocidade, e (2) a teoria das formas e a outra lidando com números complexos.

A Teoria dos Primes2 atraiu muitos investigadores durante o século XIX, mas os resultados foram mais detalhados do que gerais. Tch & eacutebichef (1850) foi o primeiro a chegar a quaisquer conclusões valiosas na maneira de determinar o número de primos entre dois limites dados. Riemann (1859) também deu uma fórmula bem conhecida para o limite do número de primos não excedendo um determinado número.

Pode-se dizer que a Teoria das Congruências começa com Gauss & rsquos Disquisitiones. Ele introduziu o simbolismo a & equiv b (mod c) e explorou a maior parte do campo. Tch & eacutebichef publicou em 1847 um trabalho em russo sobre o assunto e, na França, Serret fez muito para divulgar a teoria.

Além de resumir os trabalhos de seus predecessores na teoria dos números, e adicionar muitas contribuições originais e notáveis, a Legendre pode ser atribuído ao teorema fundamental que leva seu nome, a Lei da Reciprocidade dos Resíduos Quadráticos. Essa lei, descoberta por indução e enunciada por Euler, foi provada pela primeira vez por Legendre em seu Th & eacuteorie des Nombres (1798) para casos especiais. Independentemente de Euler e Legendre, Gauss descobriu a lei por volta de 1795 e foi o primeiro a dar uma prova geral. Para o assunto também contribuíram Cauchy, talvez o mais versátil dos matemáticos franceses do século Dirichlet, cujo Vorlesungen & uumlber Zahlentheorie, editado por Dedekind, é um Jacobi clássico, que introduziu o símbolo generalizado que leva seu nome Liouville, Zeller, Eisenstein, Kummer e Kronecker. A teoria foi estendida para incluir a reciprocidade cúbica e biquadrática, notadamente por Gauss, por Jacobi, que primeiro provou a lei da reciprocidade cúbica, e por Kummer.

A Gauss também se deve a representação dos números por formas quadráticas binárias. Cauchy, Poinsot (1845), Lebesque (1859, 1868) e notavelmente Hermite acrescentaram ao assunto. Na teoria das formas ternárias, Eisenstein foi um líder, e a ele e a H. J. S. Smith também se deve um notável avanço na teoria das formas em geral. Smith deu uma classificação completa das formas quadráticas ternárias e estendeu as pesquisas de Gauss & rsquos a respeito das formas quadráticas reais para formas complexas. As investigações sobre a representação dos números pela soma de 4, 5, 6, 7, 8 quadrados foram avançadas por Eisenstein e a teoria foi completada por Smith.

Na Alemanha, Dirichlet foi um dos mais zelosos trabalhadores na teoria dos números e foi o primeiro a dar palestras sobre o assunto em uma universidade alemã. Entre suas contribuições está a extensão do teorema de Fermat & rsquos em xn + yn = zn, que Euler e Legendre provaram para n = 3, 4, Dirichlet mostrando que x5 + y5 & ne az5. Entre os escritores franceses posteriores estão Borel Poincar & eacute, cujas memórias são numerosas e valiosas Curtume, e Stieltjes. Entre os principais contribuintes da Alemanha estão Kronecker, Kummer, Schering, Bachmann e Dedekind. Na Áustria, Stolz & rsquos Vorlesungen & uumlber allgemeine Arithmetik (188586), e na Inglaterra Mathews & rsquo Teoria dos Números (Parte I, 1892) estão entre as obras gerais mais eruditas. Genocchi, Sylvester e J.W. L. Glaisher também contribuiu para a teoria.

1 Cantor, M., Geschichte der Mathematik, Vol. III, p. 94 Smith, H. J. S., Relatório sobre a teoria dos números Collected Papers, Vol. I Stolz, O., Gr & oumlssen und Zahien, Leipzig. 1891.

2 Brocard, H., Sur la fr & eacutequence et la totalit & eacute des nombres premiers Nouvelle Correspondence de Math & eacutematiques, Vols. V e VI dão história recente a 1879.

Esta coleção de literatura infantil faz parte da Educational Technology Clearinghouse e é financiada por várias doações.


Trazendo uma lente culturalmente responsiva para a aula de matemática

Um projeto de matemática do ensino médio dá aos alunos a chance de aplicar as habilidades que aprenderam em sala de aula a um assunto que lhes interessa.

Ao contrário da crença popular, a matemática é mais do que apenas números, fórmulas algébricas e algoritmos antigos. Pode servir como um veículo para ajudar nossos alunos a dar sentido ao mundo em que vivemos, mas eventos atuais e questões do mundo real geralmente foram integrados apenas em disciplinas como inglês, ciências e estudos sociais - matemática foi considerada sua própria pequena ilha.

Depois de anos procurando por planos de aula e recursos que me ajudariam a preencher a lacuna entre matemática e questões do mundo real, decidi criar meu próprio projeto de unidade para fazer isso. Fiz uma pesquisa com meus alunos da sétima série para encontrar o tópico certo e criei um projeto de três semanas que se concentrava na interseção entre a aplicação da lei e as comunidades de cor em Boston. Outros tópicos de interesse para eles incluem imigração, pobreza, falta de moradia, poluição e a criação de mais empregos para jovens em nossa economia - há muitas possibilidades para esse tipo de trabalho.

Um processo de 4 etapas para conectar a matemática às vidas dos alunos

1. Selecionando o tópico ou problema: Comecei com a ideia de que o tema deveria ser relevante para a composição racial e cultural de meus alunos e para as comunidades em que viviam. A melhor maneira de selecionar o tópico é perguntar o que realmente importa para eles. Meus alunos, que eram predominantemente afro-americanos e latinos, escolheram o tópico da brutalidade policial porque os impactou pessoalmente.

Se você tentar isso, escolher o tópico certo garantirá um alto nível de envolvimento do aluno durante todo o projeto. Você pode criar uma pesquisa de interesse ou questionário para fornecer a seus alunos para que eles possam compartilhar em detalhes os tópicos do mundo real que gostariam de explorar - isso pode funcionar melhor do que inicialmente pedir-lhes que discutam ideias como uma classe inteira, já que leva alguns pressão fora.

Depois de determinar o tópico, escreva-o como uma pergunta de foco aberto que seus alunos trabalharão para responder ao longo do projeto. Para o tópico da brutalidade policial, trabalhei com meus alunos para formular a questão principal: “As forças policiais mais diversificadas podem evitar instâncias de discriminação racial?”

2. Coleta de informações básicas: A próxima grande questão para um professor de matemática é: "Quais dados específicos são necessários para responder de forma eficaz à questão principal?" Uma vez que os alunos irão explorar o tópico através de lentes matemáticas, você precisará considerar quais pontos de dados quantitativos eles podem estudar para tirar suas próprias conclusões sobre o tópico.

Esses pontos de dados - estatísticas, representações gráficas, diagramas geométricos ou relações funcionais, por exemplo - devem não apenas estar disponíveis para contextualização dentro do escopo do tópico, mas também acessíveis aos seus alunos para que eles possam aplicar as habilidades matemáticas apropriadas. Meu projeto destacou estatísticas nacionais de parada e revista, dados populacionais e dados demográficos de policiais como pontos de dados que ajudariam a responder à questão principal.

Além dos dados quantitativos que seus alunos usarão em seus trabalhos de matemática, eles precisam de dados qualitativos - reportagens, livros, etc. - para compreender mais profundamente o problema que estão explorando. Na minha opinião, reunir essas informações é a etapa mais difícil do processo, porque você tem que compartimentar seus preconceitos pessoais, que podem influenciar a forma como seus alunos pensam sobre o assunto. Você precisa apresentar as múltiplas perspectivas que as pessoas têm sobre o problema para que seus alunos tenham as informações necessárias para construir um conhecimento prévio e desenvolver seu próprio pensamento sobre o assunto.

As fontes primárias são as fontes de informação mais confiáveis ​​para usar porque são originais e foram escritas ou criadas durante o tempo do problema. Exemplos de fontes primárias incluem manuscritos, livros, artigos de jornais, documentos históricos, vídeos, fotografias e entrevistas. Em outras palavras - e eles provavelmente perguntarão - os alunos não devem usar a Wikipedia.

3. Identificar habilidades matemáticas e conectá-las aos padrões: Depois de identificar os pontos de dados apropriados, você desejará determinar as habilidades matemáticas específicas que seus alunos usarão para analisar os pontos de dados e construir argumentos matemáticos.

As habilidades matemáticas devem ser adequadas ao desenvolvimento para o nível de ensino que você ensina: reconhecendo que nossa unidade de definição de perfil racial estava fortemente focada em conceitos estatísticos, eu determinei que os alunos poderiam analisar os pontos de dados usando habilidades como conversões entre números racionais (decimais, frações e percentuais), medidas de tendência central (média, mediana e moda) e tabelas de frequência bidirecionais.

Em seguida, você precisará alinhar as habilidades matemáticas que identificou com os padrões acadêmicos apropriados para o seu estado, sejam eles os Padrões Estaduais do Núcleo Comum ou os padrões acadêmicos do seu estado. Identifique os padrões que melhor se alinham com as habilidades matemáticas que você espera que seus alunos dominem para esta lição.

4. Determinando o produto final do trabalho: Finalmente, ao pensar sobre o produto que seus alunos irão produzir, você precisa levar em consideração suas diversas necessidades acadêmicas. Se você ensina em um ambiente de sala de aula inclusiva, recomendo fortemente que colabore com o professor de educação especial nesta etapa. Eles podem ajudá-lo a criar uma versão com suporte ou modificada do produto de trabalho final que seja apropriada para o desenvolvimento de cada aluno que recebe suporte educacional.

Para este projeto, dei aos alunos três opções para o produto final. Eles poderiam participar de um seminário socrático para toda a turma e dialogar uns com os outros, fornecendo evidências textuais e estatísticas que apoiariam sua resposta à questão em foco. A segunda opção era escrever uma carta ao comissário de polícia para expressar suas preocupações em torno da questão do perfil racial pela aplicação da lei em Boston, incluindo dados relevantes para apoiar seu argumento. A opção final foi escrever um artigo expondo seu argumento, com evidências estatísticas para apoiá-lo e pelo menos duas soluções que eles achavam que resolveriam o problema. Meus alunos optaram por um seminário socrático para toda a classe.

Em última análise, o produto final deve fornecer vários pontos de acesso para os diversos alunos em sua classe e permitir que eles demonstrem melhor o domínio das habilidades matemáticas e seu conhecimento do tópico.


  • Tipos de números: inteiros naturais, racionais, irracionais
  • Valor de lugar, arredondamento, algarismos significativos
  • Fatores e números primos, GCF e LCM
  • Poderes, frações e decimais
  • Poderes
  • Leis de índices
  • Operações de índices / logaritmos
  • Leis dos logaritmos
  • Operações
  • Base e
  • Mudança de base
  • Equações logarítmicas
  • Calculadora científica
  • Expressões algébricas
  • Operações de expressões algébricas
  • Fatoração de expressões algébricas
  • Expressões quadráticas
  • Solução de equações
  • linear
  • quadrático
  • cúbico e polinomial
  • Frações Parciais
  • Equações simultâneas

- linear com 2 incógnitas - linear com 3 incógnitas - linear e quadrático

  • Transposição de fórmulas
  • Avaliação de polinômios
  • Divisão de polinômios, resto e teorema do fator
  • Escala
  • Desenho plano de figuras básicas
  • Desenho de sólidos
  • Sequências, progressões aritméticas e geométricas
  • Series
  • Solução de problemas relacionados a juros simples e compostos
  • Séries convergentes
  • Linear
  • Quadrático
  • Exponencial
  • Solução de equações

- medida em radianos - minutos e segundos

  • Razões trigonométricas e seus recíprocos
  • Ângulos de elevação e depressão
  • Regra senoidal
  • Regra de cosseno
  • Solução de triângulos
  • Gráficos de funções trigonométricas
  • Fórmula do ângulo composto
  • Derivação da fórmula de ângulo duplo
  • Equações trigonométricas básicas

- fórmula - fórmula de meio ângulo - regra tangente - fórmula do fator - outras equações trigonométricas - equações paramétricas - fórmula de Heron

  • Latitudes e longitudes
  • O equador e o meridiano de Greenwich
  • Distância entre dois pontos ao longo de pequenos e grandes círculos
  • Tempo entre longitude
  • Velocidade
  • Equações polares
  • Conversão de cartesiano em polar e vice-versa
  • Gráficos de equações polares
  • Definições de locus em relação a pontos, retas, planos, elipses, parábola, hipérbole
  • Unidades de medida
  • Perímetro e áreas de figuras regulares
  • Volume de sólidos regulares
  • Áreas de superfície de sólidos regulares
  • Área de figuras irregulares
  • Área e volumes usando o teorema de Pappus
  • Definição de termos - permutação e combinação
  • notação fatorial
  • Resolvendo problemas envolvendo permutações e combinações
  • Expansão binomial:

- triângulo pascal - teorema binomial - série de potências usando teorema binomial - raízes dos números pelo teorema binomial - aplicar teorema binomial a aproximações


Análise Complexa

IV.F Produtos Infinitos, Frações Parciais e Aproximações

Uma maneira natural de escrever uma função meromórfica é em termos de seus zeros e pólos. Por exemplo, porque sin π z tem zeros nos inteiros, esperamos ser capazes de "fatorá-lo" no produto. Na verdade, Euler escreveu a seguinte expansão do produto:

Com uma análise complexa, pode-se justificar tais expansões com rigor.

A questão da convergência de um produto infinito é facilmente resolvida. Ao tomar logaritmos, pode-se reduzi-lo a uma questão de convergência de uma soma. Por exemplo, o produto

converge absolutamente se e somente se a soma ∑ m = 1 ∞ | log (1 + a m) | converge absolutamente. Desde | log (1 + a m) | é aproximadamente ¦umam¦, o produto converge absolutamente se e somente se a série ∑ m = 1 ∞ | a m | converge absolutamente.

O teorema a seguir nos permite construir uma função inteira com um conjunto prescrito de zeros.

Teorema do produto de Weierstrass.

Deixar (umaj : j = 1, 2, ...) seja uma sequência de números complexos diferentes de zero em que nenhum número complexo ocorre infinitamente muitas vezes. Suponha que o conjunto <umaj> não tem ponto limite (finito) no plano complexo. Então existe uma função inteira f(z) com um zero de multiplicidade m em 0, zeros no conjunto <umaj> com a multiplicidade correta e nenhum outro zeros. Esta função pode ser escrita na forma

A partir desse teorema, podemos derivar a seguinte representação de uma função meromórfica.

Uma função meromórfica no plano complexo é o quociente de duas funções inteiras. As duas funções inteiras podem ser escolhidas de forma que não tenham zeros comuns.

Em particular, pode-se pensar em funções meromórficas como generalizações de funções racionais.

O função gama Ɣ (z) é uma função útil que pode ser definida por uma fórmula de produto. De fato,

Outra equação funcional útil é a Fórmula de Legendre

As funções racionais podem ser representadas como frações parciais, assim como as funções meromórficas.

Mittag-Leffler e teorema # x27s.

Deixe <bj : j = 1, 2, ...> seja um conjunto de números complexos sem ponto limite finito no plano complexo, e seja pj(z) receber polinômios com termos constantes zero, um para cada ponto bj. Então, existem funções meromórficas no plano complexo com pólos em bm com partes singulares pj(1/zbj) Essas funções têm a forma

Tomando derivados logarítmicos e integrando, pode-se derivar o teorema do produto de Weierstrass & # x27s do teorema de Mittag-Leffler & # x27s.

Dois exemplos de expansões de fração parcial de funções meromórficas são

O teorema de aproximação de Runge & # x27s diz que uma função analítica em uma região limitada Ω com buracos pode ser uniformemente aproximada por uma função racional cujos pólos estão nos buracos. O teorema de Runge & # x27s pode ser provado usando uma fórmula integral de Cauchy & # x27s para conjuntos compactos.

Teorema de aproximação de Runge & # x27s.

Deixar f(z) ser uma função analítica em uma região Ω no plano complexo deixe K seja um subconjunto compacto de Ω. Seja ε & gt 0 um dado número real positivo (pequeno). Então existe uma função racional r(z) com todos os seus pólos do lado de fora K de tal modo que


Funções matemáticas e trigonométricas (referência)

Para obter informações detalhadas sobre uma função, clique em seu nome na primeira coluna.

Observação: Os marcadores de versão indicam a versão do Excel em que uma função foi introduzida. Essas funções não estão disponíveis em versões anteriores. Por exemplo, um marcador de versão de 2013 indica que esta função está disponível no Excel 2013 e todas as versões posteriores.

Retorna o valor absoluto de um número

Retorna o arco cosseno de um número

Retorna o cosseno hiperbólico inverso de um número

Função ACOT

Retorna o arco-tangente de um número

Função ACOTH

Retorna o arco-cotangente hiperbólico de um número

Retorna o agregado em uma lista ou banco de dados

Função ÁRABE

Converte um número romano em árabe, como um número

Retorna o arco seno de um número

Retorna o seno hiperbólico inverso de um número

Retorna o arco tangente de um número

Retorna o arco tangente das coordenadas xey

Retorna a tangente hiperbólica inversa de um número

Função BASE

Converte um número em uma representação de texto com a raiz fornecida (base)

Arredonda um número para o inteiro mais próximo ou para o múltiplo de significância mais próximo

Função CEILING.MATH

Arredonda um número para cima, para o inteiro mais próximo ou para o múltiplo de significância mais próximo

Arredonda um número para o inteiro mais próximo ou para o múltiplo de significância mais próximo. Independentemente do sinal do número, o número é arredondado para cima.

Retorna o número de combinações para um determinado número de objetos

Função COMBINA

Devolve o número de combinações com repetições para um determinado número de itens

Retorna o cosseno de um número

Retorna o cosseno hiperbólico de um número

Função COT

Retorna a cotangente de um ângulo

Função COTH

Retorna a cotangente hiperbólica de um número

Função CSC

Retorna a cossecante de um ângulo

Função CSCH

Retorna a cossecante hiperbólica de um ângulo

Função DECIMAL

Converte uma representação de texto de um número em uma determinada base em um número decimal

Converte radianos em graus

Arredonda um número para o inteiro par mais próximo

Devoluções e elevado à potência de um determinado número

Retorna o fatorial de um número

Retorna o duplo fatorial de um número

Arredonda um número para baixo, em direção a zero

Função FLOOR.MATH

Arredonda um número para baixo, para o inteiro mais próximo ou para o múltiplo de significância mais próximo

Arredonda um número para baixo para o inteiro mais próximo ou para o múltiplo significativo mais próximo. Independentemente do sinal do número, o número é arredondado para baixo.

Retorna o maior divisor comum

Arredonda um número para baixo para o inteiro mais próximo

Função ISO.CEILING

Devolve um número arredondado para o inteiro mais próximo ou para o múltiplo significativo mais próximo

Retorna o mínimo múltiplo comum

Retorna o logaritmo natural de um número

Retorna o logaritmo de um número para uma base especificada

Retorna o logaritmo de base 10 de um número

Retorna o determinante da matriz de uma matriz

Retorna a matriz inversa de uma matriz

Retorna o produto da matriz de duas matrizes

Retorna o resto da divisão

Retorna um número arredondado para o múltiplo desejado

Retorna o multinomial de um conjunto de números

Função MUNIT

Retorna a matriz de unidade ou a dimensão especificada

Arredonda um número para cima até o inteiro ímpar mais próximo

Retorna o resultado de um número elevado a uma potência

Retorna a parte inteira de uma divisão

Converte graus em radianos

Retorna um número aleatório entre 0 e 1

Retorna uma matriz de números aleatórios entre 0 e 1. No entanto, você pode especificar o número de linhas e colunas a serem preenchidas, os valores mínimo e máximo e se deseja retornar números inteiros ou valores decimais.

Retorna um número aleatório entre os números que você especificar

Converte um algarismo arábico em romano, como texto

Arredonda um número para um determinado número de dígitos

Arredonda um número para baixo, em direção a zero

Arredonda um número para cima, longe de zero

Função SEC

Retorna a secante de um ângulo

Função SECH

Retorna a secante hiperbólica de um ângulo

Retorna a soma de uma série de potências com base na fórmula

Devolve o sinal de um número

Retorna o seno do ângulo dado

Retorna o seno hiperbólico de um número

Retorna uma raiz quadrada positiva

Retorna a raiz quadrada de (número * pi)

Retorna um subtotal em uma lista ou banco de dados

Adiciona as células especificadas por um determinado critério

Adiciona as células em um intervalo que atende a vários critérios

Retorna a soma dos produtos dos componentes da matriz correspondentes

Devolve a soma dos quadrados dos argumentos

Devolve a soma da diferença dos quadrados dos valores correspondentes em duas matrizes

Retorna a soma da soma dos quadrados dos valores correspondentes em duas matrizes

Retorna a soma dos quadrados das diferenças dos valores correspondentes em duas matrizes

Retorna a tangente de um número

Retorna a tangente hiperbólica de um número

Trunca um número em um inteiro

Importante: Os resultados calculados das fórmulas e de algumas funções de planilha do Excel podem ser ligeiramente diferentes entre um PC com Windows que usa arquitetura x86 ou x86-64 e um PC com Windows RT que usa arquitetura ARM. Saiba mais sobre as diferenças.


Tipos de frações contínuas - finitas e infinitas

Existem dois tipos de frações continuadas:

UMA fração contínua finita é uma representação geral de um número real x x x na forma

Um fração contínua infinita é uma representação geral de um número real x x x na forma

é simplesmente o limite (se existir) da sequência de frações contínuas truncadas

As frações contínuas têm muitas propriedades bonitas relacionadas à aproximação racional, com inúmeras aplicações, incluindo soluções para a equação de Pell.


Aprendizagem matemática na primeira infância: caminhos para a excelência e equidade (2009)

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Abaixo está o texto lido por máquina não corrigido deste capítulo, com o objetivo de fornecer aos nossos próprios mecanismos de pesquisa e mecanismos externos um texto pesquisável de cada livro altamente rico e representativo do capítulo. Por ser um material NÃO CORRIGIDO, considere o texto a seguir como um substituto útil, mas insuficiente para as páginas oficiais do livro.

9 Conclusões e recomendações Nas últimas décadas, tem havido um foco crescente na importância do período pré-escolar - entre as idades de 3 e 5 anos - em fornecer às crianças as oportunidades de que precisam para começar com sucesso na escolaridade formal. Muitos formuladores de políticas estão agora empenhados em implementar a pré-escola pública universal devido à crescente evidência de que a pré-escola de alta qualidade pode ajudar a amenizar as desigualdades nas oportunidades educacionais e começar a resolver as lacunas de desempenho. A importância de apoiar a alfabetização nesses ambientes da primeira infância é amplamente aceita, mas pouca atenção é dada à matemática. No entanto, pesquisas sobre a capacidade das crianças de aprender matemática, quando combinadas com evidências de que o sucesso inicial em matemática está vinculado a sucessos posteriores em matemática e leitura, deixa claro que a alfabetização básica consiste em leitura e matemática. As melhorias na educação matemática na primeira infância podem fornecer às crianças os recursos educacionais básicos que são essenciais para o sucesso escolar. Além disso, a crescente importância da ciência e da tecnologia na vida cotidiana e para o sucesso em muitas carreiras destaca a necessidade de uma base sólida em matemática. Historicamente, a matemática tem sido vista por muitos como sem importância ou inadequada em termos de desenvolvimento para as experiências de aprendizagem de crianças pequenas. No entanto, a pesquisa sintetizada neste relatório deixa claro que essas crenças são infundadas. No curso do desenvolvimento normal, as crianças desenvolvem ideias e habilidades matemáticas essenciais que incluem contar, adicionar e subtrair, descobrir que é mais (ou menos) trabalhar com formas movendo, combinando e comparando-as para aprender algumas de suas propriedades experimentando e rotulando espacial termos (por exemplo, acima, abaixo) 331

332 APRENDIZAGEM DE MATEMÁTICA NA PRIMEIRA INFÂNCIA e compreensão da medição do comprimento como o número de unidades de comprimento que perfaz o total, bem como representa e comunica a compreensão da matemática aos outros. Baseando-se em uma revisão abrangente da pesquisa, este relatório apresenta as áreas críticas que devem ser o foco da educação matemática inicial de crianças pequenas, explora até que ponto elas estão atualmente incorporadas aos ambientes da primeira infância e identifica o mudanças necessárias para melhorar a qualidade das experiências em matemática para crianças pequenas. O comitê descreve essas áreas críticas da matemática em termos de caminhos de ensino-aprendizagem que podem ser usados ​​para promover o aprendizado ideal. Esse caminho descreve as habilidades e o conhecimento que são fundamentais para o aprendizado posterior e apresenta uma sequência provável de etapas em direção a uma maior competência. Pode-se observar atentamente ao longo do caminho para avaliar o que as crianças serão capazes de fazer a seguir e para projetar atividades instrucionais que as ajudem a percorrer o caminho. A noção de tais caminhos de ensino-aprendizagem é um pressuposto para as conclusões e recomendações deste relatório. Para garantir que todas as crianças entrem na escola primária com a base matemática de que precisam para o sucesso, o comitê recomenda uma grande iniciativa nacional em matemática na primeira infância. O sucesso de tal iniciativa requer que pais, professores da primeira infância, formuladores de políticas e comunidades reconceituem a maneira como pensam e entendem a matemática das crianças pequenas. O sistema de educação infantil (por exemplo, força de trabalho, programas e políticas para a primeira infância) precisará trabalhar de forma coerente em direção a esse objetivo. Além disso, famílias e comunidades também devem adotar esse objetivo se quiserem seriamente melhorar a educação matemática das crianças. Neste capítulo, o comitê resume as principais conclusões do relatório organizadas em torno dos capítulos, articula as principais recomendações que fluem dessas conclusões e estabelece uma agenda para pesquisas futuras. COMPETÊNCIA E POTENCIAL PARA APRENDER MATEMÁTICA DAS CRIANÇAS A revisão do comitê da pesquisa sobre desenvolvimento com bebês e crianças pequenas demonstra que o conhecimento e as competências relevantes para a matemática estão presentes desde a primeira infância. Desde a infância, os bebês são curiosos sobre seu mundo e são capazes de pensar sobre ele de maneiras matemáticas. O conhecimento dos números pré-verbais é compartilhado por humanos de diversas origens culturais, bem como por outras espécies. Por exemplo, aos 10 meses de idade, os bebês podem distinguir um conjunto de dois itens de um conjunto de três itens e, com o tempo, são capazes de distinguir o número de itens em conjuntos com números maiores. Construindo sobre esta base, as crianças continuam

CONCLUSÕES E RECOMENDAÇÕES 333 para expandir seus conhecimentos e competência e desfrutar de suas primeiras experiências informais com matemática, como contar brinquedos espontaneamente, perguntar com entusiasmo quem tem mais ou apontar formas. Conclusão 1: As crianças pequenas têm capacidade e interesse em aprender matemática significativa. Aprender essa matemática enriquece suas experiências intelectuais e sociais atuais e estabelece as bases para o aprendizado posterior. O conhecimento e as competências adquiridas por meio de experiências cotidianas fornecem um ponto de partida para a aprendizagem da matemática. A curiosidade natural de bebês e crianças pequenas inicialmente desperta seu interesse em compreender o mundo de uma perspectiva matemática, e os adultos e as comunidades que os educam e cuidam também fornecem experiências que servem de base para o aprendizado futuro da matemática. Os ambientes cotidianos das crianças são ricos em oportunidades de aprendizagem de matemática, por exemplo, usando palavras relacionais, como mais que / menos que, e contando e classificando objetos por forma ou tamanho. Essas experiências matemáticas básicas e cotidianas podem ser construídas para levar as crianças mais adiante em sua compreensão dos conceitos matemáticos. Conclusão 2: As crianças aprendem matemática, em parte, por meio de experiências cotidianas em casa e no ambiente mais amplo, começando no primeiro ano de vida. As crianças precisam de ricas interações matemáticas e orientação, tanto em casa quanto na escola, para estarem bem preparadas para os desafios que encontrarão na escola formal. Pais, outros cuidadores e professores podem desempenhar um papel fundamental na organização das experiências de aprendizagem que apóiam a matemática, porque podem expor as crianças a ambientes matematicamente ricos e envolvê-las em atividades matemáticas. Por exemplo, pais e responsáveis ​​podem ensinar as crianças a ver e nomear pequenas quantidades, contar e apontar formas no mundo: “Aqui estão dois biscoitos. Você tem um em cada mão. Essas bolachas são quadradas. ”Uma maneira importante de aprimorar o aprendizado de matemática de crianças pequenas é por meio do apoio e da instrução de adultos que estão conectados e estendem seus conhecimentos matemáticos preexistentes. Por exemplo, uma situação em que uma criança insiste em ter "mais" ursinhos de pelúcia do que seu colega oferece uma oportunidade para o adulto envolver a criança com uma questão matemática (por exemplo, quem tem mais e como você pode descobrir ?). Neste caso, o adulto pode usar várias idéias matemáticas importantes para ajudar a criança a entender quem tem mais ursos, como usar a lista de palavras numéricas para contar, correspondência de contagem de 1 para 1, cardinalidade (ou seja, saber o total

334 APRENDENDO MATEMÁTICA NA PRIMEIRA INFÂNCIA (número de itens no conjunto) e comparando o número de ursos nos dois conjuntos. Esses tipos de oportunidades de aprendizagem de matemática ajudam as crianças a aprender a matematizar ou a se envolver em processos que envolvem o foco nos aspectos matemáticos de uma situação cotidiana, aprender a representar e elaborar um modelo da situação e usar esse modelo para resolver problemas. Conclusão 3: As crianças precisam de apoio e instrução de adultos para construir e ampliar seus conhecimentos iniciais e aprender a enfocar e elaborar os aspectos matemáticos de situações cotidianas - para matematizar. O comitê estava ciente da influência que as variações contextuais e de desenvolvimento têm nas oportunidades de aprendizagem das crianças e na qualidade de seus ambientes educacionais, tanto dentro quanto fora da sala de aula. Compreender as diferenças individuais no desenvolvimento das crianças - por exemplo, nas funções executivas ou nas oportunidades de aprender matemática em seus ambientes cotidianos - é fundamental para apoiar o desenvolvimento de competências em matemática. Embora todas as crianças precisem de uma ampla exposição à matemática, existe uma ampla gama de variações individuais em todos os domínios de aprendizagem. Isso afeta os tipos de experiências de aprendizagem e instrução de que cada criança precisa. A necessidade de apoiar a educação matemática na primeira infância de maneiras que sejam apropriadas para diversos alunos e contextos é um tema em toda a discussão do comitê sobre matemática na primeira infância. Conclusão 4: Devido à variação individual, que está relacionada a uma combinação de experiências anteriores, oportunidades de aprender e habilidade inata, algumas crianças precisam de um suporte mais amplo em matemática do que outras. É importante compreender as fontes das diferenças observadas na competência das crianças e não confundir uma fonte de variação individual com outra. Por exemplo, o baixo desempenho pode ser atribuído a um déficit na capacidade de uma criança de aprender matemática, quando na verdade resulta de outros fatores, como a falta de oportunidades da criança de aprender matemática ou dificuldades decorrentes de aspectos linguísticos e culturais barreiras entre professor e criança. As oportunidades de explorar a matemática da vida cotidiana diferem dependendo da origem das crianças, incluindo seu status socioeconômico (SES) e grupo cultural. O conhecimento e as habilidades em matemática variam dentro e entre grupos culturais devido a uma variedade de fatores, incluindo a linguagem e a relativa ênfase dada à matemática. Fatores culturais, linguísticos e socioeconômicos interagem de maneiras complexas que são difíceis de separar.

CONCLUSÕES E RECOMENDAÇÕES 335 O comitê estava particularmente preocupado com o ensino e a aprendizagem da matemática para crianças de origens socioeconômicas baixas, devido aos desafios específicos que enfrentam e que podem ter um impacto em seus conhecimentos e competências em matemática. Por exemplo, eles podem ser mais propensos a frequentar escolas com menos recursos e ter menos suporte para matemática em casa. Assim, embora crianças com muito baixo e alto conhecimento e competência em matemática sejam encontradas em todos os grupos de SES, aquelas com baixo SES precisarão de atenção especial. É importante ressaltar que fornecer às crianças um ensino de matemática de alta qualidade pode ajudar a amenizar as desigualdades sistemáticas nos resultados educacionais e nas oportunidades de carreira posteriores. Conclusão 5: Crianças pequenas em grupos socioeconômicos mais baixos ingressam na escola, em média, com menos conhecimento e habilidade em matemática do que seus pares de nível socioeconômico mais alto. A escolaridade formal não tem tido sucesso em fechar essa lacuna para crianças de baixo status socioeconômico. Além de necessitarem de apoio educacional em matemática, as evidências indicam que as crianças pequenas também precisam ser apoiadas em seu desenvolvimento socioemocional como parte integrante de sua educação. Especificamente, durante os primeiros anos de educação, as crianças desenvolvem competências gerais e abordagens de aprendizagem que incluem sua capacidade de regular suas emoções e comportamento, focar sua atenção e comunicar-se efetivamente com os outros. Por sua vez, a aprendizagem da matemática pode ajudar a promover o desenvolvimento dessas competências gerais. Conclusão 6: Todo aprendizado, incluindo o aprendizado de matemática, é facilitado quando crianças pequenas também estão desenvolvendo habilidades para regular sua própria aprendizagem, o que inclui regular emoções e comportamento, focalizar sua atenção e comunicar-se efetivamente com os outros. MATEMÁTICA FUNDAMENTAL E ALCANÇÁVEL PARA CRIANÇAS Com base em evidências de pesquisas sobre o conhecimento e competência das crianças durante a primeira infância, bem como no consenso estabelecido da comunidade matemática da primeira infância (ver, por exemplo, o Currículo Focal do NCTM Pontos), o comitê identificou duas áreas da matemática nas quais focar: (1) número, incluindo número inteiro, operações e relações, e (2) geometria, pensamento espacial e medição. Em cada uma dessas áreas, o comitê oferece orientações sobre os caminhos de ensino-aprendizagem com base no que se sabe da pesquisa de desenvolvimento e da sala de aula. A progressão de cada criança ao longo desses caminhos de ensino-aprendizagem da matemática é uma função de seu próprio nível de desenvolvimento.

336 APRENDIZAGEM DE MATEMÁTICA NA PRIMEIRA INFÂNCIA, bem como oportunidades e experiências, incluindo instrução. Os caminhos de ensino-aprendizagem podem fornecer a base para o currículo e podem ser usados ​​pelos professores para avaliar onde cada criança está ao longo do caminho. Embora seja verdade que crianças pequenas são mais competentes em matemática do que muitos professores da primeira infância, pais e o público em geral acreditam, há limites para o que eles podem fazer em matemática. O comitê manteve isso em mente durante todo o processo de estudo e, portanto, os caminhos de ensino-aprendizagem apresentados neste relatório são fundamentais e alcançáveis. A primeira área de conteúdo é o número, incluindo número inteiro, operações e relações. Trabalhar com números (por exemplo, aprender a contar) é o objetivo principal de muitos programas para a primeira infância, no entanto, quando dada a oportunidade, as crianças são capazes de demonstrar competência em atividades matemáticas mais sofisticadas relacionadas a números inteiros, operações e relações . Por exemplo, a cardinalidade - saber quantos estão em um conjunto - é uma parte importante do aprendizado dos números pelas crianças. Relações e operações são extensões do número de compreensão. O núcleo de relações consiste em habilidades como a construção de relações maior, menor e igual a. O núcleo de operações inclui adição e subtração. A segunda grande área de conteúdo é geometria, pensamento espacial e medição. A matemática básica das crianças envolve geometria ou aprender sobre espaço e formas em duas ou três dimensões (por exemplo, aprender a reconhecer formas em muitas orientações, tamanhos e formas diferentes). Uma compreensão fundamental da forma começa com experiências nas quais as crianças vêem vários exemplos e não exemplos e entendem atributos de formas que são matematicamente relevantes, bem como aqueles (por exemplo, orientação, tamanho) que não são. À medida que as crianças progridem no caminho de ensino-aprendizagem, elas precisam de oportunidades para discutir e descrever formas e, com base nessas experiências, ganham habilidades para combinar formas em imagens e, eventualmente, aprender a desmontar e juntar formas para criar novas formas . As crianças pequenas também precisam de atividades instrucionais que envolvam orientação espacial e visualização espacial. Por exemplo, eles podem usar representações mentais de seu ambiente e, com base na representação, modelar relacionamentos entre objetos em seu ambiente. É importante ressaltar que o conhecimento das crianças sobre medição ajuda-as a conectar número e geometria porque a medição envolve cobrir o espaço e quantificar essa cobertura. Posteriormente, as crianças podem comparar comprimentos medindo objetos com unidades manipuláveis, como cubos de centímetros. O número é particularmente importante para o sucesso posterior na matemática escolar, uma vez que o número e os conceitos relacionados constituem a maioria do conteúdo de matemática coberto nas séries posteriores. No entanto, é importante ressaltar que conceitos relacionados a número (e relações e operações) também podem ser explorados por meio da geometria e medição. Além disso, geometria

CONCLUSÕES E RECOMENDAÇÕES 337 e medição fornecem contextos ricos nos quais as crianças podem aprofundar suas habilidades de raciocínio matemático. Conclusão 7: Duas áreas amplas de conteúdo matemático são particularmente importantes como foco para o ensino de matemática nos primeiros anos: (1) número (que inclui número inteiro, operações e relações) e (2) geometria, pensamento espacial e medição. No contexto dessas áreas de conteúdo central, as crianças pequenas devem se envolver em processos de pensamento gerais e específicos que sustentam todos os níveis da matemática. Estes incluem os processos gerais de representação, resolução de problemas, raciocínio, conexão e comunicação, bem como os processos mais específicos de unitização, decomposição e composição, relacionamento e ordenação, procura de padrões e estruturas e organização e classificação de informações. Em outras palavras, as crianças devem aprender a matematizar seu mundo: enfocando os aspectos matemáticos de uma situação cotidiana, aprendendo a representar e elaborar os aspectos quantitativos e espaciais de uma situação para criar um modelo matemático da situação e usando esse modelo para resolver problemas. Conclusão 8: No contexto de cada uma dessas áreas de conteúdo, as crianças devem se envolver em processos de pensamento matemático geral e específico, conforme descrito acima e no Capítulo 2. O SISTEMA DE EDUCAÇÃO DA PRIMEIRA INFÂNCIA O “sistema de entrega” da educação infantil, € que educa e cuida das crianças antes do ingresso no jardim de infância, tem uma grande diversidade e é mais bem caracterizado como uma colcha de retalhos mal costurada de diferentes tipos de programas e provedores que variam amplamente na medida em que se articulam e atuam em sua educação missões ou são explicitamente concebidos para fornecer serviços de educação. Os tipos de programas variam de amigos e parentes que cuidam das crianças em casa por meio de arranjos informais, a grandes centros com professores que oferecem um currículo estruturado. Essa diversidade no sistema de educação da primeira infância caracteriza os arranjos de educação e cuidados de crianças pequenas nos Estados Unidos hoje. Cerca de 40 por cento das crianças pequenas passam o dia em um ambiente doméstico, seja com um dos pais ou algum outro adulto responsável (esta porcentagem inclui crianças em cuidados parentes e não familiares em casa, bem como crianças que não têm qualquer educação inicial regular e arranjos de cuidados), e cerca de 60 por cento estão em algum tipo de cuidados baseados em centros (isso inclui crianças em ambientes não baseados no Head Start e Head Start baseados em centros). Dependendo do tipo de ambiente, diferentes regulamentos relativos à educação

338 APRENDIZAGEM MATEMÁTICA NA PRIMEIRA INFÂNCIA padrões ou expectativas cacionais podem estar em vigor, os quais, por sua vez, influenciam a natureza e a qualidade das experiências de aprendizagem das crianças pequenas, de um ambiente a outro. Cada vez mais, os formuladores de políticas estão se concentrando em como fornecer educação pré-escolar de alta qualidade para mais crianças, especialmente para aquelas cujas famílias não podem pagar por isso. Vários estados estão adotando a educação pré-escolar financiada pelo estado para fornecer educação infantil e cuidados para essas crianças. Em todos os ambientes, é necessário aumentar a quantidade e a qualidade do tempo dedicado à matemática. Os ambientes formais com uma agenda educacional representam a maior oportunidade para implementar um conjunto coerente e sequenciado de experiências de aprendizagem em matemática.Por esse motivo, o comitê concentrou sua atenção no tipo de currículo e instrução que pode ser implementado em centros e pré-escolas. O comitê deu atenção mais limitada a como aumentar o apoio à matemática em ambientes informais. Essas abordagens são discutidas na seção "Além do Sistema de Educação". Currículo e Instrução Tendo traçado uma visão para caminhos ideais de ensino-aprendizagem em matemática na primeira infância, o comitê voltou-se para a base de evidências relacionadas ao currículo e instrução. O comitê examinou primeiro até que ponto o conteúdo e as experiências de aprendizagem incorporados nos caminhos de ensino-aprendizagem estão representados nos currículos atuais e nas salas de aula da pré-escola. Em seguida, o comitê explorou o que se sabe sobre o ensino eficaz da matemática para crianças pequenas e o que pode ser necessário fazer para melhorar a prática existente. O comitê procurou evidências para abordar dois conjuntos de questões: O que se sabe sobre a quantidade de instrução matemática disponível atualmente para crianças em ambientes pré-escolares e de que qualidade? O que se sabe sobre os melhores métodos de ensino e currículo eficaz para ensinar matemática para crianças pequenas? Embora existam poucos dados sistemáticos, o comitê foi capaz de identificar algumas fontes úteis. Conduzimos análises originais dos documentos de padrões relativos à primeira infância para 49 estados e aqueles relativos ao jardim de infância para os 10 estados com as maiores populações de estudantes. Com base nessas análises, o comitê conclui: Conclusão 9: Os padrões do estado atual para a primeira infância não incluem, em média, muita matemática. Quando a matemática é incluída, há um padrão de ampla variação entre os estados do conteúdo coberto. Embora os padrões representem uma ampla orientação dos estados em relação ao conteúdo apropriado para ambientes de primeira infância, eles não fornecem um

CONCLUSÕES E RECOMENDAÇÕES 339 janela sobre o que realmente ocorre nas salas de aula. Para o último, o comitê examinou dados de um estudo em larga escala de instrução em pré-escolas financiadas pelo estado, retirado de 11 estados, bem como vários estudos de currículo em pequena escala. Os resultados mostram que, quando as atividades matemáticas são incorporadas às salas de aula da primeira infância, muitas vezes são apresentadas como parte de um currículo integrado ou embutido, no qual o ensino da matemática é secundário em relação a outros objetivos de aprendizagem. Esse tipo de integração ocorre quando, por exemplo, um livro de histórias tem algum conteúdo matemático, mas não é projetado para trazer a matemática para o primeiro plano, um professor conta ou faz aritmética simples durante a hora do lanche, ou aponta as ideias matemáticas que as crianças podem encontrar enquanto brincam com blocos. No entanto, os dados sugerem que a forte dependência de atividades matemáticas integradas ou incorporadas pode contribuir para que muito pouco tempo seja gasto com matemática nas salas de aula da primeira infância. Além disso, o tempo gasto pode ser em atividades nas quais a integridade e a profundidade da matemática são questionáveis. Poucas abordagens de currículo abrangente para a primeira infância oferecem instrução matemática suficientemente focada para que as crianças progridam ao longo dos caminhos de ensino-aprendizagem recomendados pelo comitê. Conclusão 10: A maioria dos programas para a primeira infância gasta pouco tempo focado em matemática, e a maior parte dele é de baixa qualidade educacional. Muitas oportunidades são perdidas para aprender matemática ao longo do dia pré-escolar. As evidências examinadas pelo comitê sugerem que o tempo de instrução focado na matemática é potencialmente mais eficaz do que a matemática incorporada. Evidências emergentes de alguns estudos de currículos de matemática rigorosos mostram que crianças que vivenciam atividades matemáticas focadas nas quais o ensino de matemática é o objetivo principal têm maiores ganhos em matemática e relatam gostar mais de matemática do que aquelas que não o fazem. Além disso, esses estudos indicam que um currículo planejado e sequenciado pode apoiar o desenvolvimento matemático de crianças pequenas de uma maneira sensível e responsiva. Oportunidades suplementares para usar a matemática durante o jogo matemático, jogo sociodramático e com materiais concretos (por exemplo, blocos, quebra-cabeças, manipuladores, software de computador interativo) podem fornecer às crianças a oportunidade de "praticar" a matemática em um contexto significativo e envolvente. Conclusão 11: A aprendizagem de matemática das crianças pode ser melhorada se elas experimentarem um currículo planejado e sequenciado que use os caminhos de ensino-aprendizagem baseados em pesquisa descritos neste relatório, bem como experiências integradas de matemática (por exemplo, matemática no contexto de um livro de histórias) que estendem o pensamento matemático por meio de brincadeiras, exploração, atividades criativas e prática.

340 APRENDIZAGEM DE MATEMÁTICA NA PRIMEIRA INFÂNCIA Currículos eficazes de matemática usam uma variedade de abordagens instrucionais, como uma combinação de atividades individuais, de pequenos grupos e de todo o grupo com foco na matemática que movem as crianças ao longo dos caminhos de ensino-aprendizagem baseados em pesquisas descritos neste relatório. Além disso, em todos esses contextos, o ensino intencional melhora a aprendizagem matemática das crianças. O ensino intencional varia de atividades guiadas pelo professor a feedback responsivo que desenvolve e amplia a compreensão da criança. Também é importante envolver as crianças em conversas matemáticas - uma discussão entre adultos e crianças que se concentra em conceitos matemáticos, como quantos objetos estão em um conjunto ou como chegar a uma resposta - pois isso facilita seu desenvolvimento matemático, aumentando o conexões que fazem entre conceitos matemáticos, palavras e ideias. Deve-se observar que o comitê não endossa nenhum modelo ou currículo específico, em vez disso, esperamos transmitir que os princípios baseados em pesquisa descritos neste relatório devem orientar as escolhas sobre o desenvolvimento do currículo e ensino de matemática na primeira infância. Conclusão 12: Currículos de matemática iniciais eficazes usam uma variedade de abordagens instrucionais e incorporam o ensino intencional. As evidências também indicam que a instrução é mais eficaz quando pode se basear em informações sobre o nível atual de compreensão da criança. Essa instrução responsiva pode ser realizada quando os professores sabem como usar a avaliação formativa para orientar a instrução. A avaliação formativa é um componente importante do que os professores precisam saber para orientar efetivamente as crianças ao longo dos caminhos de ensino-aprendizagem da matemática. Conclusão 13: A avaliação formativa fornece aos professores informações sobre os conhecimentos e habilidades atuais das crianças para orientar a instrução e é um elemento importante para o ensino eficaz da matemática. As evidências dos estudos da educação infantil indicam que qualquer abordagem do currículo e da pedagogia é mais eficaz se realizada no contexto de um ambiente de aprendizagem positivo. Relações positivas entre as crianças e seus professores são um aspecto fundamental da educação de alta qualidade na primeira infância. Nesse tipo de sala de aula, as crianças têm um ambiente seguro e acolhedor que promove o aprendizado e as interações positivas entre professores e colegas. Conclusão 14: A aprendizagem da matemática com sucesso requer um ambiente de aprendizagem positivo que envolva totalmente as crianças e promova o seu entusiasmo pela aprendizagem.

CONCLUSÕES E RECOMENDAÇÕES 341 Força de trabalho e desenvolvimento profissional A força de trabalho da primeira infância - aqueles que desempenham funções instrucionais e não instrucionais em ambientes de primeira infância - é fundamental para apoiar o desenvolvimento acadêmico, social, emocional e físico de crianças pequenas. Essa força de trabalho consiste em pessoas que desempenham uma variedade de funções, estão localizadas em uma variedade de ambientes e possuem uma ampla variedade de experiências em educação e treinamento. Cerca de 24 por cento dos trabalhadores da primeira infância estão em ambientes baseados em centros, 28 por cento estão em ambientes domiciliares regulamentados e cerca de 48 por cento trabalham em arranjos informais de cuidado fora de ambos os sistemas. Embora a maioria dos profissionais da primeira infância trabalhe em ambientes informais de cuidado, a maioria das crianças está em ambientes baseados em centros. Mesmo em um único ambiente, os indivíduos desempenham diferentes funções, como professor líder, professor assistente, ajudante de sala de aula ou administrador do programa. O nível e o tipo de treinamento podem variar de acordo com a função e o ambiente. Por exemplo, os provedores de cuidados infantis familiares podem ter pouco ou nenhum treinamento específico na educação da primeira infância, um assistente de professores pode ter alguns cursos formais e os professores líderes baseados em centros podem ter um diploma universitário de 4 anos (ou mesmo pós-graduação) com especialização em primeira infância. Essa diversidade de funções e experiências educacionais cria desafios para atender às necessidades da força de trabalho relacionadas ao apoio à matemática na primeira infância. Indivíduos em funções diferentes provavelmente precisam de diferentes tipos de conhecimento e treinamento para apoiar a matemática das crianças. Dependendo do nível de educação, também é provável que haja diferenças no conhecimento individual de matemática, do desenvolvimento das crianças em matemática e de como apoiar a aprendizagem da matemática. Além disso, o campo da primeira infância tem historicamente colocado grande ênfase no ensino de sua força de trabalho para apoiar o desenvolvimento social e emocional das crianças, dando menos atenção ao desenvolvimento cognitivo e aos domínios acadêmicos. Na verdade, as atividades acadêmicas, como a aprendizagem da matemática, podem ser um contexto em que o desenvolvimento socioemocional floresce. Em grande parte, a forte ênfase no desenvolvimento socioemocional na primeira infância é baseada em interpretações errôneas das teorias de desenvolvimento cognitivo, ou seja, a noção de crianças pequenas engajadas em pensamentos mais abstratos, como matemática, era considerada incompatível com o desenvolvimento e aprendizagem de crianças em idade pré-escolar. A pesquisa em matemática da primeira infância refutou essa noção, mas a ideia ainda é difundida no campo e continua a ser um desafio na passagem da pesquisa para a prática. Conclusão 15: Muitos trabalhadores da primeira infância não estão cientes do que as crianças pequenas são capazes de fazer em matemática e podem não reconhecer seu potencial para aprender matemática.

342 APRENDIZAGEM DE MATEMÁTICA NA PRIMEIRA INFÂNCIA O desenvolvimento profissional, que normalmente fornece treinamento para aqueles que já estão na força de trabalho, pode ser um mecanismo vital para fornecer aos professores habilidades e conhecimentos novos ou atualizados de que precisam e para alcançar aqueles na força de trabalho que têm pouco ou nenhum treinamento formal. Com base em estudos no nível K-12, abordagens eficazes para o desenvolvimento profissional em serviço em matemática são contínuas, baseadas na teoria, vinculadas a um currículo, integradas ao trabalho e fornecidas pelo menos parcialmente no local por um instrutor experiente que dá aos professores tempo para reflexão. O comitê analisou dados emergentes de estudos conduzidos em contextos de primeira infância que apóiam essas descobertas. Esses estudos indicam que o desenvolvimento profissional focado na compreensão da progressão do desenvolvimento das crianças em matemática no contexto de uma sequência curricular baseada em pesquisa pode melhorar a eficácia instrucional dos professores. Um esforço para fornecer desenvolvimento profissional aos professores é um componente importante para melhorar o ensino com sucesso, mas a mudança sustentável também exigirá a colaboração de administradores, professores e pais. Conclusão 16: A formação contínua de professores e outros funcionários para apoiar o ensino e a aprendizagem da matemática é essencial para a implementação eficaz da educação matemática na primeira infância. O desenvolvimento profissional útil exigirá um esforço sustentado que envolva ajudar os professores a (a) compreender a matemática necessária, os caminhos de ensino-aprendizagem cruciais e os princípios do ensino e currículo intencionais e (b) aprender como implementar um currículo. As evidências revisadas pelo comitê sobre a preparação formal de educadores da primeira infância (cursos realizados como parte de um associado ou graduação) indicam que há poucas oportunidades para aprender sobre o desenvolvimento das crianças em matemática ou como ensinar matemática para a primeira infância . Para preparar melhor os educadores da primeira infância em matemática, são necessários cursos e materiais adicionais em cursos existentes que cobrem o desenvolvimento das crianças em matemática e pedagogia matemática. Além disso, os sistemas de licenciamento e credenciamento exercem uma grande influência sobre o conteúdo e a experiência dos programas de educação inicial na primeira infância, e poucos incorporam requisitos matemáticos. Conclusão 17: A preparação inicial dos educadores da primeira infância geralmente inclui poucas oportunidades de aprender sobre o desenvolvimento matemático das crianças ou como apoiá-lo. Requisitos de licenciamento e certificação para professores e programas de credenciamento são ambos pontos de alavancagem em potencial para aumentar a quantidade de atenção dada ao apoio à matemática.

CONCLUSÕES E RECOMENDAÇÕES 343 Além dos desafios já delineados em relação aos diversos treinamentos e configurações da força de trabalho, atrair e reter indivíduos qualificados para trabalhar na primeira infância é difícil devido à baixa remuneração, falta de benefícios e altas taxas de rotatividade no campo. Esta situação apresenta um desafio adicional para projetar experiências pré-serviço e em serviço que podem melhorar o conhecimento dos educadores da primeira infância sobre como apoiar a aprendizagem de matemática das crianças pequenas. Conclusão 18: Melhorar os requisitos de treinamento e conhecimento para professores da primeira infância apresentará desafios significativos, a menos que as questões existentes de recrutamento, remuneração, benefícios e alta rotatividade também sejam abordadas. ALÉM DO SISTEMA DE EDUCAÇÃO Um número significativo (cerca de 40 por cento) das crianças não frequenta centros, mas, em vez disso, são educadas e cuidadas por um dos pais, parente ou outro adulto em casa. Os pais ou outros cuidadores atuam como os primeiros professores das crianças. As evidências revisadas pelo comitê indicam que eles podem desempenhar um papel fundamental na formação da aprendizagem matemática inicial das crianças por meio de atividades como o incentivo à brincadeira com blocos e outras formas de manipulação, ensino de palavras numéricas, jogar jogos de contagem e tabuleiro, classificar, classificar, escrever e assistir a programas educacionais de televisão enquanto conversam com as crianças sobre o que estão assistindo. A conversa sobre matemática tem se mostrado uma forma particularmente eficaz para os adultos apoiarem o desenvolvimento de ideias matemáticas. Na verdade, falar de matemática desde a infância está relacionado ao conhecimento matemático das crianças no início da pré-escola. Além disso, os ambientes de aprendizagem informal, como bibliotecas, museus e centros comunitários, têm o potencial de ser recursos que os pais e responsáveis ​​podem usar para envolver as crianças em atividades matemáticas. Conclusão 19: As famílias podem aumentar o desenvolvimento de conhecimentos e habilidades matemáticas à medida que definem expectativas e proporcionam ambientes estimulantes. As evidências indicam, no entanto, que as famílias de baixo SES têm menos probabilidade do que as famílias de grupos socioeconômicos mais elevados de se envolverem em práticas que promovam a competência em linguagem e matemática. Embora muitos tipos de programas educacionais tenham sido elaborados para promover o uso dessas práticas com pais de baixo NSE, há poucas evidências sobre as qualidades que tornam esses esforços bem-sucedidos. Programas educacionais para pais baseados em modelos que colocam os pais no papel tradicional de alunos

344 APRENDIZAGEM DE MATEMÁTICA NA PRIMEIRA INFÂNCIA aprender com “especialistas” têm dificuldade em sustentar a participação da família por tempo suficiente para ter sucesso. Conclusão 20: Os programas educacionais para os pais têm o potencial de aprimorar as experiências matemáticas fornecidas pelos pais. No entanto, há poucas evidências sobre como projetar esses programas para torná-los eficazes. Os recursos disponíveis para pais e outros cuidadores, bem como aqueles disponíveis em ambientes educacionais informais (por exemplo, bibliotecas, museus, centros comunitários) também podem ser um mecanismo eficaz para apoiar a aprendizagem de matemática das crianças. A programação e o software educacional da televisão, por exemplo, podem ensinar matemática às crianças. O comitê revisou pesquisas sobre software e programas educacionais, bem como modelos de programas baseados na comunidade que promovem matemática, e conclui: Conclusão 21: Dado o conteúdo matemático apropriado e suporte adulto, a mídia (por exemplo, televisão, software de computador) como bem como oportunidades de aprendizagem baseadas na comunidade (por exemplo, museus, bibliotecas, centros comunitários) podem envolver e educar crianças pequenas em matemática. Esses recursos podem fornecer oportunidades adicionais de aprendizagem de matemática para crianças pequenas, especialmente aquelas que podem não ter acesso a programas de educação infantil de alta qualidade. RECOMENDAÇÕES Como as conclusões do comitê deixam claro, há muito trabalho a ser feito para fornecer às crianças as oportunidades de aprendizagem em matemática de que precisam. Portanto, o comitê acredita que é extremamente importante começar um esforço nacional intensivo para aumentar as oportunidades de aprender matemática em ambientes de primeira infância para garantir que todas as crianças entrem na escola com os fundamentos matemáticos de que precisam para o sucesso acadêmico. Os princípios baseados em pesquisa e os caminhos de ensino-aprendizagem de matemática descritos neste relatório também podem reduzir a disparidade nos resultados educacionais entre crianças com origens de baixo nível socioeconômico e seus pares com maior nível socioeconômico. A pesquisa até agora sobre como crianças pequenas aprendem conceitos-chave em matemática tem implicações claras para a prática, mas essas descobertas não são amplamente conhecidas ou implementadas por educadores da primeira infância ou mesmo por aqueles que ensinam educadores da primeira infância. Este relatório se concentrou em sintetizar e traduzir essa base de evidências em uma forma utilizável que possa ser usada para orientar um esforço nacional. Assim, o comitê recomenda:

CONCLUSÕES E RECOMENDAÇÕES 345 Recomendação 1: Uma iniciativa nacional coordenada de matemática para a primeira infância deve ser posta em prática para melhorar o ensino e a aprendizagem da matemática para todas as crianças de 3 a 6 anos. Uma série de recomendações específicas de ação seguem-se dessa recomendação abrangente. As etapas específicas e os indivíduos ou organizações que devem estar envolvidos em sua execução são descritos abaixo. Recomendação 2: Experiências de matemática em cenários de primeira infância devem se concentrar em (1) número (que inclui número inteiro, operações e relações) e (2) geometria, relações espaciais e medição, com mais tempo de aprendizagem de matemática dedicado a número do que para os outros tópicos. Os objetivos do processo matemático devem ser integrados nessas áreas de conteúdo. As crianças devem entender os conceitos e aprender as habilidades exemplificadas nas trajetórias de ensino-aprendizagem descritas neste relatório. Em ambas as áreas de conteúdo, tempo suficiente deve ser dedicado à instrução para permitir que as crianças se tornem proficientes com os conceitos e habilidades delineadas nos caminhos de ensino-aprendizagem.Além disso, os objetivos gerais e específicos do processo matemático (ver Capítulo 2) devem ser integrados ao conteúdo para permitir que as crianças façam conexões entre ideias matemáticas e aprofundem suas habilidades de raciocínio matemático. Esse novo enfoque de conteúdo exigirá que todos os envolvidos repensem como veem e entendem a matemática que é aprendida na primeira infância. Metas, programas, currículos e desenvolvimento profissional de aprendizagem na primeira infância precisarão ser informados e adaptados aos caminhos de ensino-aprendizagem baseados em pesquisa apresentados neste relatório. Portanto, o comitê recomenda: Recomendação 3: Todos os programas para a primeira infância devem fornecer currículos e instrução de matemática de alta qualidade, conforme descrito neste relatório. Cada um dos programas para a primeira infância precisará implementar um currículo cuidadosamente planejado que inclua uma sequência de atividades matemáticas orientadas pelo professor, bem como experiências focadas na criança e apoiadas pelo professor. Esses currículos devem se basear em modelos de ensino apropriados para crianças pequenas e apoiar seu desenvolvimento emocional e social, bem como seu desenvolvimento cognitivo. Como observado anteriormente, currículos de matemática eficazes usam uma variedade de abordagens instrucionais e devem incorporar oportunidades para que as crianças estendam seu pensamento matemático por meio de brincadeiras, exploração, atividades criativas e prática. Os programas precisarão revisar, revisar e alinhar seus padrões existentes

346 APRENDIZAGEM DE MATEMÁTICA NA PRIMEIRA INFÂNCIA dardos, desenvolvimento profissional, currículo e materiais para a concretização das trajetórias de ensino-aprendizagem para a educação matemática na primeira infância apresentadas neste relatório. É especialmente importante que as crianças que vivem na pobreza recebam essas experiências de alta qualidade para que comecem a primeira série em pé de igualdade com as crianças de origens mais favorecidas. Isso significa que a implementação de nossas recomendações por programas que atendem crianças economicamente desfavorecidas, como o Head Start e programas para a primeira infância com financiamento público, é particularmente urgente. Para fazer as mudanças recomendadas, os programas para a primeira infância precisarão de diretrizes políticas explícitas para fazê-lo. Para encorajar isso, o comitê recomenda: Recomendação 4: Os estados devem desenvolver ou revisar seus padrões ou diretrizes de aprendizagem na primeira infância para refletir os caminhos de ensino-aprendizagem descritos neste relatório. Dados os novos conhecimentos e perspectivas que este relatório oferece, é importante que os estados revisem seus padrões e diretrizes de aprendizagem e desenvolvimento inicial para garantir que eles reflitam uma ênfase apropriada na matemática inicial. Para tanto, pedimos a todos os estados que examinem suas diretrizes de aprendizagem e desenvolvimento na primeira infância, primeiro, para determinar se é dada ênfase suficiente à importância da matemática para o desenvolvimento de crianças pequenas e, em segundo lugar, para garantir que o conteúdo matemático se concentre em (1) número (incluindo número inteiro, operações e relações) e (2) geometria, pensamento espacial e medição. Recomendação 5: os desenvolvedores de currículos e editores devem basear seus materiais nos princípios e caminhos de ensino-aprendizagem descritos neste relatório. Os professores e os programas para a primeira infância precisam de materiais apropriados para apoiar o desenvolvimento e a aprendizagem matemática das crianças. Os desenvolvedores de currículo e editores que produzem materiais para currículo, instrução e avaliação devem revisá-los e atualizá-los para que reflitam os princípios articulados neste relatório. O sucesso desse esforço geral precisará se concentrar em alcançar a força de trabalho da primeira infância existente e os educadores em formação, para fornecer-lhes as habilidades e o conhecimento de que precisam para ensinar matemática. Assim, fazemos várias recomendações relacionadas aos professores e à força de trabalho. Recomendação 6: Um componente essencial de uma iniciativa nacional coordenada de matemática da primeira infância é o fornecimento de desenvolvimento profissional para professores em serviço da primeira infância que os ajude

CONCLUSÕES E RECOMENDAÇÕES 347 (a) compreender a matemática necessária, os caminhos de ensino-aprendizagem cruciais e os princípios do ensino e currículo intencionais e (b) aprender como implementar um currículo. Aplicar o conhecimento teórico dos professores a um currículo com forte componente de matemática oferece a oportunidade de obter feedback e refletir sobre as práticas instrucionais que realmente estarão implementando em sala de aula. O desenvolvimento profissional também deve se concentrar nas crenças dos professores sobre a matemática das crianças, as atividades e recursos em sala de aula que podem promover o desenvolvimento matemático das crianças e seu conhecimento das práticas de avaliação vinculadas ao currículo. Todas essas áreas importantes devem ser incluídas no desenvolvimento profissional ministrado por um formador de professores altamente qualificado. Para implementar o ensino de matemática de alta qualidade, o comitê também recomenda que os educadores da primeira infância sejam ensinados a usar uma gama de estratégias de ensino eficazes em uma variedade de formatos, incluindo todo o grupo, pares / pequenos grupos e exploração e prática de trabalho individual e atividades lúdicas e focadas. Esforços sérios para melhorar a preparação de professores da primeira infância precisarão incluir o licenciamento / certificação estadual, credenciamento e reconhecimento e sistemas de credenciamento que avaliem a competência dos professores e a qualidade do programa. A matemática da primeira infância descrita neste relatório deve ser refletida nos componentes centrais desses sistemas e programas. Recomendação 7: Os requisitos de cursos e práticas para educadores da primeira infância devem ser alterados para refletir uma maior ênfase na matemática das crianças, conforme descrito no relatório. Essas mudanças também devem ser feitas e aplicadas por organizações para a primeira infância que supervisionam o credenciamento, o credenciamento e o reconhecimento dos programas de desenvolvimento profissional de professores. O comitê também reconhece a necessidade de ir além do sistema formal de educação infantil para alcançar famílias e comunidades - ambas com forte impacto na aprendizagem de crianças pequenas. Um componente importante para alcançar todas as crianças precisará incluir estratégias destinadas às crianças que estão em outros ambientes, como lares ou creches familiares. Recomendação 8: As parcerias para a educação da primeira infância devem ser formadas entre os programas familiares e comunitários, de modo que estejam equipados para trabalhar juntos na promoção da matemática infantil. Por exemplo, programas de apoio e educação familiar, como o Programa Head Start Family and Community Partnerships, devem incluir informações

348 APRENDIZAGEM DE MATEMÁTICA NA PRIMEIRA INFÂNCIA mação que orienta as famílias e as comunidades sobre por que devem fazê-lo e como podem ajudar as crianças a desenvolver ideias e habilidades matemáticas essenciais. Além disso, os profissionais que trabalham com famílias devem receber treinamento voltado para o conhecimento e as habilidades matemáticas iniciais, bem como ter acesso a programas e recursos para atividades matemáticas domiciliares. Para tanto, é necessário desenvolver mais recursos que possam apoiar a matemática em ambientes informais e por meio da mídia e da tecnologia. Recomendação 9: Há necessidade de mais programação informal, recursos curriculares, software e outras mídias que possam ser usados ​​para apoiar a aprendizagem de matemática de crianças pequenas em ambientes como casas, centros comunitários, bibliotecas e museus. PESQUISA FUTURA Em seu trabalho, o comitê conduziu uma revisão abrangente das evidências existentes relacionadas ao desenvolvimento e aprendizagem da matemática na primeira infância. Conforme observado, determinamos que a base de evidências é robusta o suficiente para orientar uma importante iniciativa nacional em matemática inicial. No entanto, permanecem lacunas na base de conhecimento sobre a educação matemática infantil. Achamos que é fundamental que a base de pesquisa continue avançando em uma série de áreas-chave descritas a seguir. Implicações para alunos de inglês. Cada vez mais, as salas de aula da primeira infância atendem a um número significativo de crianças cuja língua materna não é o inglês. Essas crianças terão as mesmas expectativas de realizações futuras que as crianças cuja língua materna é o inglês. Até o momento, poucas pesquisas publicadas investigaram o ensino e a aprendizagem de matemática com crianças em idade pré-escolar que estão aprendendo inglês simultaneamente. O comitê recomenda a realização de pesquisas que possam ajudar a identificar os melhores métodos para aprimorar o aprendizado matemático de crianças pequenas que falam uma língua materna diferente do inglês. Pesquisa sobre o papel dos professores no fornecimento de instrução eficaz. Nos últimos anos, os pesquisadores fizeram progressos na compreensão do processo de ensino da matemática no nível do ensino fundamental. Esta pesquisa enfatiza o papel do conhecimento e habilidade dos professores, incluindo seu conhecimento de matemática, sua compreensão do pensamento e aprendizagem matemática das crianças e seu conhecimento do conteúdo pedagógico (ou seja, seu conhecimento de como estruturar a sala de aula e currículo e se envolver crianças em atividades para que a matemática seja acessível). No entanto, tem havido muito menos atenção a questões semelhantes em contextos de primeira infância. A pesquisa é necessária para determinar até que ponto os resultados da pesquisa em

CONCLUSÕES E RECOMENDAÇÕES 349 as séries mais altas se aplicam ao ensino de matemática na primeira infância e o que pode ser exclusivo da primeira infância. Avaliação dos currículos. No curso de nossa revisão da matemática da primeira infância, ficou claro que muitos dos currículos disponíveis não foram avaliados rigorosamente quanto à eficácia. É necessária uma pesquisa de currículo de alta qualidade que monitore a eficácia dos currículos durante a implementação, usando as teorias e modelos instrucionais que foram originalmente usados ​​para orientar o desenvolvimento do currículo. Esta pesquisa também deve considerar como a diversidade nas origens das crianças e entre os ambientes de aprendizagem influencia a implementação e a eficácia. Para atingir esses objetivos, o comitê recomenda que a pesquisa e o desenvolvimento de currículos passem por fases: desde as primeiras análises de pesquisas relevantes até a criação de materiais de aprendizagem para ajudar as crianças ao longo dos caminhos de ensino-aprendizagem neste relatório, até os ciclos de avaliação inicial e, finalmente à avaliação confirmatória usando designs rigorosos, com todas as fases integrando metodologias quantitativas e qualitativas. Pesquisas desse tipo ajudarão a garantir que os programas para a primeira infância possam fazer escolhas informadas e baseadas em evidências entre os currículos. Preparação eficaz de professores. Muitas das pesquisas recentes sobre a preparação de educadores da primeira infância têm se concentrado em se o bacharelado é um marcador eficaz para a competência dos professores. Embora esta linha de investigação tenha sido útil na identificação de algumas das habilidades dos professores que estão relacionadas aos resultados positivos da aprendizagem infantil, a pesquisa na área precisa ir além do B.A./non-B.A. distinção. O comitê recomenda que as pesquisas sobre a eficácia dos professores da primeira infância enfoquem o conteúdo e a qualidade dos programas de formação de professores, e não se os professores têm ou não um diploma de bacharel. Envolvimento dos pais. Não está claro por que famílias com baixo nível socioeconômico muitas vezes não participam de atividades educacionais e o que pode ser feito para promover seu envolvimento nesses programas. Portanto, o comitê recomenda a realização de melhores estudos descritivos que examinem o que os pais entendem sobre o apoio à aprendizagem da matemática de seus filhos e como promover o envolvimento dos pais nesses esforços. Além disso, se os pais têm conhecimento sobre como apoiar o desenvolvimento matemático de seus filhos, mas não estão colocando esse conhecimento em prática, é importante que a pesquisa examine os obstáculos que os impedem de promover ativamente a matemática na primeira infância. Intervenções para crianças com dificuldades de aprendizagem em matemática. A exploração de dificuldades de aprendizagem ou deficiências em matemática é uma área nascente

350 APRENDIZAGEM DE MATEMÁTICA NA PRIMEIRA CRIANÇA de pesquisas que precisam ser ampliadas. É necessária uma exploração mais aprofundada para entender melhor quais competências numéricas iniciais são preditivas de sucesso futuro em matemática. Essa pesquisa pode ajudar a identificar crianças em risco de dificuldades de aprendizagem ou deficiências em matemática durante os anos pré-escolares, desenvolver intervenções direcionadas a essas crianças e testar sua eficácia.


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