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1.3 Equações Separáveis


Quando uma equação diferencial tem a forma (y '= f (x) ), podemos apenas integrar: (y = int f (x) dx + C ). Infelizmente, esse método não funciona mais para a forma geral da equação (y '= f (x, y) ). A integração de ambos os lados produz

[y = int f (x, y) dx + C ]

Observe a dependência de (y ) na integral.

1.3.1 Equações separáveis

Vamos supor que a equação seja separável. Ou seja, vamos considerar

[y '= f (x) g (y), ]

para algumas funções (f (x) ) e (g (y) ). Vamos escrever a equação na notação de Leibniz

[ frac {dy} {dx} = f (x) g (y) ]

Em seguida, reescrevemos a equação como

[ frac {dy} {g (y)} = f (x) dx ]

Agora, os dois lados parecem algo que podemos integrar. Nós obtemos

[ int frac {dy} {g (y)} = int f (x) dx + C ]

Se pudermos encontrar expressões de forma fechada para essas duas integrais, podemos, talvez, resolver para (y. )

Exemplo ( PageIndex {1} ):

Pegue a equação

[y '= xy ]

Primeiro observe que (y = 0 ) é uma solução, então assuma (y ne 0 ) de agora em diante. Escreva a equação como ( frac {dy} {dx} = xy, ) então

[ int frac {dy} {y} = int x dx + C. ]

Calculamos as antiderivadas para obter

[ ln left vert y right vert = frac {x ^ 2} {2} + C ]

Ou

[ left vert y right vert = e ^ { frac {x ^ 2} {2}} e ^ {C} = De ^ { frac {x ^ 2} {2}} ]

onde (D> 0 ) é alguma constante. Porque (y = 0 ) é uma solução e por causa do valor absoluto, podemos realmente escrever:

(y = De ^ { frac {x ^ 2} {2}} )

para qualquer número (D ) (incluindo zero ou negativo).

Nós verificamos:

[y '= Dxe ^ { frac {x ^ 2} {2}} = x left (De ^ { frac {x ^ 2} {2}} right) = xy ]

Devemos ser um pouco mais cuidadosos com esse método. Você pode estar preocupado por estarmos integrando duas variáveis ​​diferentes. Parecíamos estar fazendo uma operação diferente para cada lado. Vamos trabalhar esse método com mais rigor.

[ frac {dy} {dx} = f (x) g (y) ]

Reescrevemos a equação da seguinte maneira. Observe que (y = y (x) ) é uma função de (x ) e assim é ( frac {dy} {dx}! )

[ frac {1} {g (y)} frac {dy} {dx} = f (x) ]

Integramos ambos os lados em relação a (x. )

[ int frac {1} {g (y)} frac {dy} {dx} dx = int f (x) dx + C ]

Podemos usar a fórmula de mudança de variáveis.

[ int frac {1} {g (y)} dy = int f (x) dx + C ]

E nós terminamos.

É claro que às vezes podemos ficar presos mesmo se pudermos fazer a integração. Por exemplo, pegue a equação separável

[y '= frac {xy} {y ^ 2 + 1} ]

Separamos variáveis,

[ frac {y ^ 2 + 1} {y} dy = left (y + frac {1} {y} right) dy = x dx ]

Nós nos integramos para obter

[ frac {y ^ 2} {2} + ln left vert y right vert = frac {x ^ 2} {2} + C ]

ou talvez a expressão de aparência mais fácil (onde (D = 2C ))

[y ^ 2 + 2ln left vert y right vert = x ^ 2 + D ]

Não é fácil encontrar a solução explicitamente, pois é difícil resolvê-la para (y ). Portanto, deixamos a solução nesta forma e a chamamos de solução implícita. Ainda é fácil verificar se uma solução implícita satisfaz a equação diferencial. Neste caso, diferenciamos para obter

[y ' left (2y + frac {2} {y} right) = 2x ]

É simples ver que a equação diferencial é válida. Se você deseja calcular valores para (y ), pode ser complicado. Por exemplo, você pode representar graficamente (x ) como uma função de (y ) e, em seguida, virar o papel. Os computadores também são bons em alguns desses truques.

Notamos que a equação acima também tem a solução (y = 0 ). A solução geral é (y ^ 2 + 2ln left vert y right vert = x ^ 2 + C ) junto com (y = 0 ). Essas soluções remotas, como (y = 0 ), às vezes são chamadas soluções singulares.

Exemplo ( PageIndex {2} ):

Resolva (x ^ 2y '= 1 - x ^ 2 + y ^ 2 -x ^ 2y ^ 2 ), (y (1) = 0. )

Primeiro fatorar o lado direito para obter

[x ^ 2y '= esquerda (1- x ^ 2 direita) esquerda (1 + y ^ 2 direita) ]

Separamos variáveis, integramos e resolvemos para (y )

[ frac {y '} {1 + y ^ 2} = frac {1 - x ^ 2} {x ^ 2}, ]

[ frac {y '} {1 + y ^ 2} = frac {1} {x ^ 2} -1, ]

[ text {arctan} (y) = - frac {1} {x ^ 2} - x + C, ]

[y = tan left (- frac {1} {x} - x + C right) ]

Agora resolva para a condição inicial, (0 = tan (-2 + C) ) para obter (C = 2 ({ rm {~ ou ~}} 2 + pi, { rm {~ etc ~ }} dots) ). A solução que buscamos é, portanto,

[y = tan left (- frac {1} {x} - x + C right) ]

Exemplo ( PageIndex {3} ):

Bob fez uma xícara de café e Bob gosta de beber café apenas quando ele não queima a 60 graus. Inicialmente na hora (t = 0 ) minutos, Bob mediu a temperatura e o café estava em 89 graus Celsius. Um minuto depois, Bob mediu o café novamente e ele estava 85 graus. A temperatura da sala (a temperatura ambiente) é de 22 graus. Quando Bob deve começar a beber?

Seja (T ) a temperatura do café e seja (A ) a temperatura ambiente (ambiente). A lei de resfriamento de Newton afirma que a taxa na qual a temperatura do café está mudando é proporcional à diferença entre a temperatura ambiente e a temperatura do café. Isso é,

[ frac {dT} {dt} = k (A - T), ]

para alguma constante (k ). Para nossa configuração (A = 22 ), (T (0) = 89 ), (T (1) = 85 ). Separamos as variáveis ​​e integramos (deixe (C ) e (D ) denotar constantes arbitrárias)

[ frac {1} {T -A} frac {dT} {dt} = -k, ]

[ ln (T - A) = -kt + C, , , , , , left ( text {note que} T - A> 0 right) ]

[T - A = De ^ {- kt}, ]

[T = A + De ^ {- kt} ]

Ou seja, (T = 22 + De ^ {- kt} ). Colocamos na primeira condição: (89 = T (0) = 22 + D ) e, portanto, (D = 67 ). Portanto, (T = 22 + 67e ^ {- kt} ). A segunda condição diz (85 = T (1) = 22 + 67e ^ {- k} ). Resolvendo para (k ), obtemos (k = - ln frac {85-22} {67} aproximadamente 0,0616 ). Agora resolvemos para o tempo (t ) que nos dá uma temperatura de 60 graus. Ou seja, resolvemos (60 = 22 + 67e ^ {- 0,0616t} ) para obter (t = - frac { ln frac {60 -22} {67}} {0,0616} aproximadamente 9,21 ) minutos. Assim, Bob pode começar a beber o café pouco mais de 9 minutos a partir do momento em que Bob o preparou. Esse é provavelmente o tempo que levamos para calcular quanto tempo levaria.

Exemplo ( PageIndex {4} ):

Encontre a solução geral para (y '= - frac {xy ^ 2} {3} ) (incluindo soluções singulares).

Primeiro observe que (y = 0 ) é uma solução (uma solução singular). Então, suponha que (y ne 0 ) e escreva

[- frac {3} {y ^ 2} y '= x, ]

[ frac {3} {y} = frac {x ^ 2} {2} + C, ]

[y = frac {3} { frac {x ^ 2} {2} + C} = frac {6} {x ^ 2 + 2C}. ]


Assista o vídeo: EDO-003 Equações Diferenciais Separáveis (Outubro 2021).