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6.2: Transformadas de derivados e EDOs - Matemática


6.2.1 Transformadas de derivados

Vejamos como a transformada de Laplace é usada para equações diferenciais. Primeiro, vamos tentar encontrar a transformada de Laplace de uma função que é uma derivada. Suponha que (g (t) ) seja uma função diferenciável de ordem exponencial, ou seja, (| g (t) | leq Me ^ {ct} ) para algum (M ) e (c ) . Então ( mathcal {L} {g (t) } ) existe, e o que é mais, ( lim_ {t rightarrow infty} e ^ {- st} g (t) = 0 ) quando (s> c ). Então

[ mathcal {L} {g '(t) } = int_0 ^ { infty} e ^ {- st} g' (t) dt = left [e ^ {- st} g (t) right] _ {t = 0} ^ { infty} - int_0 ^ { infty} (- s) e ^ {- st} g (t) dt = -g (0) + s mathcal {L} {g (t) }. ]

Repetimos este procedimento para derivadas superiores. Os resultados estão listados na Tabela 6.2. O procedimento também funciona para funções suaves por partes, ou seja, funções que são contínuas por partes com uma derivada contínua por partes. O fato de a função ser de ordem exponencial é usado para mostrar que os limites que aparecem acima existem. Não vamos nos preocupar muito com esse fato.

Tabela 6.2: Transformadas de Laplace das derivadas ( (G (s) = mathcal {L} {g (t) } ) como de costume).
(f (t) ) ( mathcal {L} {f (t) } = F (s) )
(g '(t) ) (sG (s) -g (0) )
(g '' (t) ) (s ^ 2G (s) -sg (0) -g '(0) )
(g '' '(t) ) (s ^ 3G (s) -s ^ 2g (0) -sg '(0) -g' '(0) )

6.2.2 Resolvendo ODEs com a transformada de Laplace

Observe que a transformação de Laplace transforma a diferenciação em multiplicação por (s ). Vejamos como aplicar esse fato às equações diferenciais.

Exemplo ( PageIndex {1} ):

Pegue a equação

[x '' (t) + x (t) = cos (2t), ~~~~~~~ x (0) = 0, ~~~~~~~ x '(0) = 1. ]

Tomaremos a transformada de Laplace de ambos os lados. Por (X (s) ) iremos, como de costume, denotar a transformada de Laplace de (x (t) ).

[ mathcal {L} {x '' (t) + x (t) } = mathcal {L} { cos (2t) }, s ^ 2X (x) -sx (0 ) + x '(0) + X (s) + frac {s} {s ^ 2 + 4}. ]

Nós conectamos as condições iniciais agora - o que torna os cálculos mais simplificados - para obter

[s ^ 2X (s) - 1 + X (s) = dfrac {s} {s ^ 2 + 4}. ]

Resolvemos para (X (s) ),

[X (s) = dfrac {s} {(s ^ 2 + 1) (s ^ 2 + 4)} + dfrac {1} {s ^ 2 + 1}. ]

Usamos frações parciais (exercício) para escrever

[X (s) = dfrac {1} {3} dfrac {s} {s ^ 2 + 1} - dfrac {1} {3} dfrac {s} {s ^ 2 + 4} + dfrac {1} {s ^ 2 + 1}. ]

Agora tome a transformada inversa de Laplace para obter

[x (t) = dfrac {1} {3} cos (t) - dfrac {1} {3} cos (2t) + sin (t). ]

O procedimento para equações de coeficientes constantes lineares é o seguinte. Tomamos uma equação diferencial ordinária na variável de tempo (t ). Aplicamos a transformada de Laplace para transformar a equação em uma equação algébrica (não diferencial) no domínio da frequência. Todos os (x (t) ), (x '(t) ), (x' '(t) ), e assim por diante, serão convertidos em (X (s) ), (sX (s) -x (0) ), (s ^ 2X (s) - sx (0) - x '(0) ) e assim por diante. Resolvemos a equação para (X (s) ). Então, tomando a transformação inversa, se possível, encontramos (x (t) ).

Deve-se notar que, uma vez que nem toda função tem uma transformada de Laplace, nem toda equação pode ser resolvida dessa maneira. Além disso, se a equação não for um coeficiente constante linear ODE, então, aplicando a transformada de Laplace, podemos não obter uma equação algébrica.

6.2.3 Usando a função Heaviside

Antes de passarmos para equações mais gerais do que aquelas que poderíamos resolver antes, queremos considerar a função de Heaviside. Consulte a Figura 6.1 para ver o gráfico.

[u (t) = left { begin {array} {cc} 0 & { rm {if ~}} t <0, 1 & { rm {if ~}} t geq 0. end {array} right. ]

Figura 6.1: Gráfico da função Heaviside (etapa da unidade) (u (t) ).

Esta função é útil para reunir funções ou cortar funções. Mais comumente, é usado como (u (t-a) ) para alguma constante (a ). Isso apenas desloca o gráfico para a direita em (a ). Ou seja, é uma função que é 0 quando (

[f (t) = left { begin {array} {cc} 0 & { rm {if ~}} t < pi, sin t & { rm {if ~}} t geq pi. ]

Usando a função Heaviside, (f (t) ) pode ser escrito como

[f (t) = u (t- pi) sin t ]

Da mesma forma, a função degrau que é 1 no intervalo ([1,2) ) e zero em todos os outros lugares pode ser escrita como

[u (t-1) - u (t-2). ]

A função Heaviside é útil para definir funções definidas por partes. Se você deseja definir (f (t) ) de modo que (f (t) = t ) quando (t ) está em ([0,1] ), (f (t) = -t +2 ) quando (t ) está em ([1,2) ) e (f (t) = 0 ) caso contrário, você pode usar a expressão

[f (t) = t left (u (t) -u (t-1) right) + (-t + 2) left (u (t-1) -u (t-2) right ). ]

Portanto, é útil saber como a função de Heaviside interage com a transformada de Laplace. Já vimos isso

[ mathcal {L} {u (t-a) } = dfrac {e ^ {- as}} {2}. ]

Mudança de propriedade

Isso pode ser generalizado em uma propriedade de deslocamento ou segunda propriedade de deslocamento.

[ mathcal {L} {f (t-a) u (t-a) } = e ^ {- as} mathcal {L} {f (t) }. ]

Exemplo ( PageIndex {2} ):

Suponha que a função de força não seja periódica. Por exemplo, suponha que tenhamos um sistema massa-mola

[x '' (t) + x (t) = f (t), ~~~~~~ x (0) = 0, ~~~~~~~ x '(0) = 0, ]

onde (f (t) = 1 ) if (1 le t <5 ) e zero caso contrário. Poderíamos imaginar um sistema massa-mola, onde um foguete é disparado por 4 segundos começando em (t = 1 ). Ou talvez um circuito RLC, onde a tensão é elevada a uma taxa constante por 4 segundos, começando em (t = 1 ), e então mantida estável novamente começando em (t = 5 ).

Podemos escrever (f (t) = u (t-1) - u (t-5) ). Transformamos a equação e inserimos as condições iniciais como antes para obter

[s ^ 2X (s) + X (s) = dfrac {e ^ {- s}} {s} - dfrac {e ^ {- 5s}} {s}. ]

Resolvemos (X (s) ) para obter

[X (s) = dfrac {e ^ {- s}} {s (s ^ 2 + 1)} - dfrac {e ^ {- 5s}} {s (s ^ 2 + 1)}. ]

Deixamos isso como um exercício para o leitor mostrar que

[ mathcal {L} ^ {- 1} left { dfrac {1} {s (s ^ 2 + 1)} right } = 1 - cos t. ]

Em outras palavras ( mathcal {L} {1- cos t } = frac {1} {s (s ^ 2 + 1)} ). Então, usando (6.2.14), encontramos

[ mathcal {L} ^ {- 1} left { frac {e ^ {- s}} {s (s ^ 2 + 1)} right } = mathcal {L} ^ {- 1 } {e ^ {- s} mathcal {L} {1- cos t } } = (1- cos (t-1)) u (t-1). ]

similarmente

[ mathcal {L} ^ {- 1} left { frac {e ^ {- 5s}} {s (s ^ 2 + 1)} right } = mathcal {L} ^ {- 1 } {e ^ {- 5s} mathcal {L} {1- cos t } } = (1- cos (t-5)) u (t-5). ]

Portanto, a solução é

[x (t) = left (1 - cos (t-1) right) u (t-1) - left (1- cos (t-5) right) u (t-5) . ]

O gráfico desta solução é dado na Figura 6.2.

Figura 6.2: Gráfico de (x (t) ).

6.2.4 Funções de transferência

A transformada de Laplace leva ao seguinte conceito útil para estudar o comportamento em estado estacionário de um sistema linear. Suponha que temos uma equação da forma

[Lx = f (t), ]

onde (L ) é um operador diferencial de coeficiente constante linear. Então (f (t) ) é geralmente considerado como uma entrada do sistema e (x (t) ) é considerado como a saída do sistema. Por exemplo, para um sistema massa-mola, a entrada é a função de força e a saída é o comportamento da massa. Gostaríamos de ter uma maneira conveniente de estudar o comportamento do sistema para diferentes entradas.

Suponhamos que todas as condições iniciais sejam zero e tomemos a transformada de Laplace da equação, obtemos a equação

[A (s) X (s) = F (s). ]

Resolvendo a razão ( frac {X (s)} {F (s)} ) obtemos a chamada função de transferência (H (s) = frac {1} {A (s)} ) .

[H (s) = dfrac {X (s)} {F (s)} ]

Em outras palavras, (X (s) = H (s) F (s) ). Obtemos uma dependência algébrica da saída do sistema com base na entrada. Agora podemos estudar facilmente o comportamento de estado estacionário do sistema, dados diferentes entradas, simplesmente multiplicando pela função de transferência.

Exemplo ( PageIndex {3} ):

Dado (x '' + omega_0 ^ 2x = f (t) ), vamos encontrar a função de transferência (assumindo que as condições iniciais são zero).

Primeiro, pegamos a transformada de Laplace da equação.

[s ^ 2X (s) + omega_0 ^ 2X (s) = F (s). ]

Agora resolvemos para a função de transferência ( frac {X (s)} {F (s)} ).

[H (s) = frac {X (s)} {F (s)} = frac {1} {s ^ 2 + omega_0 ^ 2}. ]

Vamos ver como usar a função de transferência. Suponha que temos a entrada constante (f (t) = 1 ). Portanto, (F (s) = frac {1} {s} ), e

[X (s) = H (s) F (s) = frac {1} {s ^ 2 + omega_0 ^ 2} frac {1} {s}. ]

Tomando a transformada de Laplace inversa de (X (s) ), obtemos

[x (t) = frac {1- cos ( omega_0 t)} { omega_0 ^ 2}. ]

6.2.5 Transformadas de integrais

Uma característica das transformadas de Laplace é que ela também é capaz de lidar facilmente com equações integrais. Ou seja, equações nas quais aparecem integrais em vez de derivadas de funções. A propriedade básica, que pode ser comprovada aplicando a definição e fazendo a integração por partes, é

[ mathcal {L} left { int_0 ^ t f ( tau) , d tau right } = dfrac {1} {s} F (s). ]

Às vezes é útil (por exemplo, para calcular a transformação inversa) escrever isso como

[ int_0 ^ t f ( tau) , d tau = mathcal {L} ^ {- 1} left { dfrac {1} {s} F (s) right }. ]

Exemplo ( PageIndex {4} ):

Para calcular ( mathcal {L} ^ {- 1} left { dfrac {1} {s (s ^ 2 + 1)} right } ) podemos prosseguir aplicando esta regra de integração.

[ mathcal {L} ^ {- 1} left { dfrac {1} {2} dfrac {1} {s ^ 2 + 1} right } = int_0 ^ t mathcal {L} ^ {- 1} left { dfrac {1} {s ^ 2 + 1} right } = int_0 ^ t sin tau , d tau = 1 - cos t. ]

Exemplo ( PageIndex {5} ):

Uma equação contendo uma integral da função desconhecida é chamada de equação integral. Por exemplo, pegue

[t ^ 2 = int _0 ^ t e ^ { tau} x ( tau) , d tau ]

onde desejamos resolver para (x (t) ). Aplicamos a transformação de Laplace e a propriedade shifting para obter

[ dfrac {2} {s ^ 3} = dfrac {1} {s} mathcal {L} {e ^ tx (t) } = dfrac {1} {s} X (s-1 ), ]

onde (X (s) = mathcal {L} {x (t) } ). Desse modo

[X (s-1) = dfrac {2} {s ^ 2} ] ou [X (s) = dfrac {2} {(s + 1) ^ 2}. ]

Usamos a propriedade shifting novamente para obter

[x (t) = 2e ^ {- t} t. ]


6.2: Transformadas de derivados e EDOs - Matemática

Aulas em vídeo para equações diferenciais ordinárias, MATH 3301
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Uma pequena lista de links de interesse:
Direction Field Plotter John Polking, Rice University.
Plotador de campo de inclinação. Soluções para muitos problemas em Boyce, 7ª ed, capítulos 1,2,3,7,9,10, David Schmidt em RPI
Informações sobre o curso na primavera de 2013 Sujeito a alterações
Um guia para regras básicas de escrita matemática
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ODE no MIT. Vídeo das palestras de Arthur Mattuck e Haynes Miller, mathlets de Huber Hohn, no Massachussette Institute of Technology. Inclui transcrição, ferramentas, exames, etc.
Ferramentas ODE na JHU. Ferramentas Java para um curso ODE ministrado por Chikako Mese na John Hopkins University.
Equações diferenciais interativas Addison Wesley Pearson conjunto de miniaplicativos para ODE.
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Software de campo de direção. Oscilador Harmônico Eric Woolgar, Universidade de Alberta. Gráfico da solução de IVP ay "+ por '+ cy = 0, y (0), y' (0).
Damped Pendulum J. Feldman, UBC.
Parametric Resonance J. Feldman, UBC.
Uma demonstração do método de Euler J. Feldman, UBC.
Evolução com um fator aleatório Paul Garrett, U Minnesota.
Solucionador de equações diferenciais para algumas equações famosas com seleções de RHS de uma variedade de entradas.
Solucionador de equações comuns simbólicas Robert Marik e Miroslava Tihlarikova.
Solucionador de sistema de equações diferenciais ordinárias. Jens Langer, Jurgen Arndt, Felix Kramer. Universidade Técnica de Dresden.
IODE: Illinoise ODE UIUC código matlab para ODEs.
Equações diferenciais com problemas de valor limite. software, lição de casa, livemath de Selwyn Hollis. Use o Internet Explorer e instale o plugin LiveMath. Ou primeiro certifique-se de que o plugin funciona para o seu navegador.
Demonstração do pêndulo não linear
Solucionador gráfico para ODEs de segunda ordem. suas variáveis ​​são t, u, v = u '.
Texto:% s:
Equações de diferença para equações diferenciais Dan Sloughter.
Notas sobre equações diferenciais Robert E. Terrell, Cornell.
Notes on Diffy Qs: Differential Equations for Engineers Jiri Lebel, U Wiskonsin Madison.
Notas ODE por Paul Dawkins.
Matemática Aplicada Saun Mauch. Seção IV, capítulos 14-24.
Uma lista de textos online em equações diferenciais
Projetos:
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ODEs baseados em Maple na U South Carolina Doug Meade.
Com base em Maple, homenageia ODEs na U South Carolina Doug Meade.
ODEs baseados no Mathematica em U Manchester Gray, Mezzino, Pinsky.
Projetos ODE para Biologia e Química
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Analisador de funções.
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Wolfram Integrator.
Uma calculadora básica.
Software para download:
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applets de física Walter Fendt
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miniaplicativos de física Scott Schneider, LTU.
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Dicas de uso:
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Você pode querer ler sobre velocidade no Windows Media Player.
2- Os vídeos anteriores à Seção 2.4 estão um tanto instáveis.
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Análise:
Estude o folheto e seu texto de cálculo para revisar as regras básicas de diferenciação e integração.
Introdução, revisão do cálculo 65MB. 90 min.
Vá para cálculo um e outros tópicos para obter mais detalhes.
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Seção de estudo 1.1
Modelagem de uma queda. Como surge uma equação diferencial. Objeto em queda na presença de atrito com o ar. V '= g- (c / m) V, V = velocidade, g = constante de gravidade, c constante de arrasto, m massa. 11 MB.16 min.
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Campo de direção, solução de equilíbrio. Representação gráfica de uma equação diferencial de primeira ordem y '= f (t, y), traçando um segmento de reta com inclinação m = f (t, y) no ponto (t, y) no plano de coordenadas de t e y. Por enquanto, todos os exemplos são simples, onde t não aparece explicitamente. 23 MB.27 min.
Use o plotter de campo de direção de John Polking, Rice University para ajudá-lo a desenhar os campos de direção. Aguarde um minuto para que ele carregue o aplicativo, clique no botão DFIELD e preencha a caixa de entrada para x '= f (t, x).
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Comportamento de longo prazo da solução Encontrar o comportamento assintótico da solução usando o campo de direção. Exemplo y '= y (y-3). 14 MB. 23 min.
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Modelagem de uma mistura. Um problema de mistura. Uma solução contendo uma substância dissolvida entra em um tanque, é misturada e a solução misturada sai do tanque. Modele e desenvolva a equação diferencial que governa a quantidade de substância dissolvida no tanque. 19 MB. 25 min.
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Seção de estudo 1.3
Classificação das equações diferenciais a serem carregadas
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Seção de estudo 2.1
Método do fator de integração 1. Resolvendo equações lineares de primeira ordem y '+ p (t) y = g (t). Defina m = exp (int (p)), então y = [int (mg) + C] / m. Exemplo simples dado y '+ 3y = exp (t). Parte do áudio foi perdida. 29 MB. 35 min.
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Seção de estudo 2.2
Equações separáveis ​​y '= f (t, y), f é o produto ou razão uma função de t e outra função de y. 20 MB. 25 min.
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Equações homogêneas y '= f (t, y), onde f é homogêneo de ordem zero, o que significa que pode ser escrito em termos de y / t, ou f (st, sy) = f (t, y) para todos os valores de s. Pode ser convertido em separável usando v = y / t. 10 MB. 17 min.
Outro exemplo de solução homogênea de ordem zero de (x ^ 2-2xy-y ^ 2) y '= (x ^ 2 + 2xy-y ^ 2).
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Seção de estudo 2.3
Modelagem de um problema de mistura Mix com volume variável, uso do método do fator de integração e condição inicial. 34 MB. 42 min.
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Seção de estudo 2.4
Domínio de Existência para Equações Não Lineares Influência da condição inicial no intervalo de existência. 26 MB. 32 min.
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Domínio de existência para equações lineares. Unicidade para equações lineares e não lineares. Dois exemplos de problemas. 40 MB. 42 min.
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Seção de estudo 2.5
Equações diferenciais autônomas e dinâmica populacional, Parte 1 Descrição qualitativa da solução de y '= (a-by) y, pontos críticos, linha de fase, soluções de equilíbrio, soluções estáveis, não estáveis, semi-estáveis, capacidade de suporte. 20 MB. 22 min.
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Equações diferenciais autônomas e dinâmica populacional, Parte 2 Revisão da terminologia: pontos críticos, linha de fase, curvas integrais, soluções de equilíbrio, soluções estáveis, não estáveis, semi-estáveis, determinação através do gráfico de sinais de f (y), translação horizontal de um curva integral produz outra curva integral, curvas integrais não colidem. 20 MB. 22 min.
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Equações diferenciais autônomas e dinâmica populacional, Parte 3 Equações paramétricas, análise do gráfico de f (y) vs y, pontos críticos onde df / dy 0 indica instabilidade, df / dy = 0 requer análise adicional, poderes evan de fatores indicam semi-estável e os poderes ímpares podem ser estáveis ​​(cruzando para baixo) ou instáveis ​​(cruzando para cima). 20 MB. 22 min.
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Equações diferenciais autônomas e dinâmica populacional, Parte 4 Modelo Schaefer para população com colheita proporcional à população, rendimento, rendimento ótimo. 20 MB. 22 min.
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Equações diferenciais autônomas e dinâmica populacional, Parte 5 O ponto de inflexão das curvas integrais y (t) está no máximo ou mínimo do gráfico de f (y) em relação a y, que é tipicamente onde df / dy = 0. 20 MB. 22 min.
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Seção de estudo 2.6
Método de Euler Solução aproximada da equação de primeira ordem y '= f (t, y) por uma sequência de linhas retas. 30 MB. 42 min.
Euler Applet de David Protas, CSU Northridge. Digite sua função.
Euler Applet de Huber Hohn, MIT. Escolha de função fixa.
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Seção de estudo 3.1
Equações diferenciais de segunda ordem Introdução, forma geral, linear / não linear, coeficiente constante / coeficiente variável, homogêneo / não homogêneo, condições iniciais, IVP, linearidade, princípio de superposição, 30 MB. 32 min.
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Estude raízes complexas e raízes repetidas
Edição 8 Seção 3.4, 3.5
Edição 9 Seção 3.3, 3.4
2ª ordem, homogêneo, coeficiente constante EDO Equação característica, classificação de raízes, duas raízes reais distintas, raízes repetidas, raízes complexas, formulário de euler, 30 MB. 32 min.
Seção de estudo 3.4, 3.5
2ª ordem, homogêneo, coeficiente constante EDO Equação característica, classificação de raízes, duas raízes reais distintas, raízes repetidas, raízes complexas, formulário de euler, 30 MB. 32 min.
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Estudo de redução de pedido
Edição 8 Seção 3.5
Edição 9 Seção 3.4
Método de redução de ordem y = V * solução conhecida, substitua em ODE para obter uma nova ODE onde V está faltando, use W = V 'para obter uma ODE de primeira ordem, obtenha W, integre para obter V, obtenha y. 30 MB. 32 min.
Método de estudo de coeficiente indeterminado
outro exemplo de redução de ordem, uma solução dada, Problema 28 Page 173 Resolva (x-1) y "- x y '+ y = 0, y_1 = e ^ x
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Método de estudo de coeficientes indeterminados
Edição 8 Seção 3.6
Edição 9 Seção 3.5
Método de coeficientes indeterminados, parte a Aplicável a equações não homogêneas onde o termo de origem é a soma dos produtos de polinômios, exponenciais e senoidais. 30 MB. 32 min.
Método de coeficientes indeterminados, parte b Mais exemplos. 40 MB. 32 min.
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Opcional
Método de Estudo de Variação de Parâmetros
Edição 8 Seção 3.7
Edição 9 Seção 3.6
Variação dos parâmetros duas soluções da equação não homogênea correspondente são dadas, encontramos a solução da equação não homogênea, Exemplo Problema 5 Resolva y "+ y = tan t, 0 a.
3- No tempo 32:50 em vez de escrever S + 1, escrevo S-1. O erro continua até o final do vídeo. O problema é corrigido e refeito no próximo vídeo.
Tópico 1: Laplace [exp (at) f (t)], vários exemplos.
Tópico 2: Decomposição parcial da fração.
Tópico 3: Conclusão dos quadrados.
Transformada de Laplace Como encontrar a transformada de laplace inversa em alguns casos básicos. Caso geral de 2ª ordem.
Exemplo 1: Um termo linear dividido por um quadrático. Quadrático é irredutível, ou seja, as raízes são complexas.
Exemplo 2: Um quadrático dividido por um cúbico.
Exemplo 3: Transformada de Laplace da solução de ay "+ por" + cy = g (t), y_0, y'_0.
Extra:
Calculadora de transformação de Laplace. Xiao Gang, WIMS, França.
Laplace Transform in Wikipedia.
Calculadora de transformação inversa de Laplace. Apenas funções racionais.
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Estudo da transformação de Laplace
Edição 8 Seção 6.2
Edição 9 Seção 6.2
Laplace Transform Laplace [t sin (at)], Laplace [(- t) ^ n f (t)] = F ^ (n) (s), Laplace transform of step / switch / Heaviside function u_c (t)
Estudo da transformação de Laplace
Edição 8 Seção 6.3
Edição 9 Seção 6.3
Laplace Transforme a entrada externa com switch e atraso, Laplace [u_3 (t) (t-3) ^ 2], escrevendo funções multissetoriais ou definidas por partes com abordagem de adição e exclusão.
Correções:
Às 6:00, escrevo y = x ^ 2. Deve ser y = t ^ 2.
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Estudo da transformação de Laplace
Edição 8 Seção 6.3
Edição 9 Seção 6.3
Transformação de Laplace Transformada de Laplace de uma função definida por partes, reformatando funções incorporando atraso artificial
Correções:
O cursor não funcionou corretamente nesta gravação.
No tempo de 4:35 a 5:35. Escrevo y (0), deve ser f (0), também y '(0) deve ser f' (0) e y "(0) deve ser f" (0).
Às 14:48 escrevo um extra (t-2). É corrigido às 15:40.
Às 22:30 escrevo F (t), deve ser F (s).
Transformada de Laplace Dois problemas básicos, 13 e 21 de 6.2.
Laplace Transform um exemplo de encontrar Laplace [y (t)] para IVP com função de forçante descontínua, problema 24 de 6.2.
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Estudo da transformação de Laplace
Edição 8 Seção 6.3
Edição 9 Seção 6.3
Laplace Transforme uma revisão.
Laplace Transforme uma revisão.
Início das palestras ODE para 2011
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No WMP 11, um clique em fastforward fornece velocidade 1.4, que provavelmente é tudo que você precisa, mas você pode clicar em "Jogando agora", escolha "Melhorias", escolha "Configurações de velocidade de reprodução" e ajuste o fator de aceleração como desejar.
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Análise:
Estude o folheto e seu texto de cálculo para revisar as regras básicas de diferenciação e integração.
Introdução, revisão do cálculo 65MB. 90 min.
E refresque sua mente com uma amostra de fórmulas de diferenciação e integração.
Vá para o cálculo um para obter mais detalhes.
Comece a estudar 1.1
Introdução ao Ordinary Differential Euations (ODEs) ODE como uma relação entre uma função e sua derivada. Semelhanças entre um campo de direção e um campo magnético.
Campo de direção, software DField, conexão com a física
Use o plotter de campo de direção de John Polking, Rice University para ajudá-lo a desenhar os campos de direção. Aguarde um minuto para que ele carregue o aplicativo, clique no botão DFIELD e preencha a caixa de entrada para x '= f (t, x). Ele usa x em vez de nosso y mais tradicional.
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6.2: Transformadas de derivados e EDOs - Matemática

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O estudo de equações diferenciais é um tópico tão extenso que mesmo um breve levantamento de seus métodos e aplicações geralmente ocupa um curso completo.

Em matemática, uma equação diferencial ordinária (abreviada como ODE) é uma equação que contém uma função de uma variável independente e suas derivadas. As derivadas são comuns porque as derivadas parciais só se aplicam a funções de muitas variáveis ​​independentes.

O assunto das EDOs é sofisticado (mais ainda com os PDEs), principalmente devido às várias formas que as EDOs podem assumir e como podem ser integradas. Equações diferenciais lineares são aquelas com soluções que podem ser adicionadas e multiplicadas por coeficientes, e a teoria das equações diferenciais lineares é bem definida e compreendida, e soluções exatas de forma fechada podem ser obtidas. Em contraste, os EDOs que não têm soluções aditivas são não lineares, e encontrar as soluções é muito mais sofisticado porque raramente é possível representá-los por funções elementares na forma fechada - em vez disso, as soluções exatas (ou "analíticas") estão em série ou forma integral. Como uma alternativa para a solução analítica exata, métodos gráficos e numéricos (manualmente ou no computador) podem ser usados ​​para gerar soluções aproximadas. As propriedades de tais soluções aproximadas podem produzir informações muito úteis, que muitas vezes são suficientes na ausência da solução analítica exata.

Equações diferenciais ordinárias (EDOs) surgem em muitos contextos diferentes em toda a matemática e ciências (sociais e naturais) de uma forma ou de outra, porque ao descrever as mudanças matematicamente, a maneira mais precisa usa diferenciais e derivados (relacionados, embora não sejam exatamente os mesmos). Uma vez que várias diferenciais, derivadas e funções tornam-se inevitavelmente relacionadas entre si por meio de equações, uma equação diferencial é o resultado, descrevendo fenômenos dinâmicos, evolução e variação. Freqüentemente, as grandezas são definidas como a taxa de variação de outras grandezas (derivadas do tempo), ou gradientes de grandezas, que é como elas entram nas equações diferenciais.

Os campos matemáticos específicos incluem geometria e mecânica analítica. Os campos científicos incluem grande parte da física e astronomia (mecânica celeste), geologia (modelagem do clima), química (taxas de reação), biologia (doenças infecciosas, variação genética), ecologia e modelagem populacional (competição populacional), economia (tendências de estoque, taxas de juros e as mudanças de preços de equilíbrio de mercado).

Muitos matemáticos estudaram equações diferenciais e contribuíram para o campo, incluindo Newton, Leibniz, a família Bernoulli, Riccati, Clairaut, d’Alembert e Euler.


6.2: Transformadas de derivados e EDOs - Matemática

Engenharia Matemática Avançada

Semana 1: Equações diferenciais ordinárias de primeira ordem separáveis, EDOs exatas, Redução para a forma exata, Determinação de fatores de integração para não exatidão, problemas de valor inicial, EDOs lineares, Equação de Bernoulli, EDOs homogêneas, EDOs não homogêneas, Dinâmica populacional, Equação de Verhulst, Picard Teoremas de existência e unicidade, condição de Lipschitz

Semana 2: ODEs lineares de segunda ordem ODEs lineares homogêneos, ODEs não homogêneos com segunda ordem, Redução de ordem e base, operadores diferenciais, modelagem de oscilações livres (sistema de mola de massa - superamortecimento, amortecimento crítico, subamortecimento), equações de Euler-Cauchy, existência e Unicidade de Soluções, Wronskian, Método de Coeficientes Indeterminados, Modelagem de Oscilações Forçadas (Sistema Mass-Spring - Oscilações forçadas amortecidas, Oscilações forçadas não amortecidas - ressonância), Solução por Variação de Parâmetros, ODEs Lineares de Ordem Superior ODEs lineares homogêneos, Raízes reais distintas, Raízes complexas simples, raízes reais múltiplas, raízes complexas múltiplas, EDOs lineares não homogêneas, Método de coeficientes indeterminados, Método de variação de parâmetros

Semana 3: Sistemas de EDOs, valores próprios e vetores próprios, Conversão de uma ODE de enésima ordem em um sistema, Teoria básica de sistemas de EDOs, Sistemas de coeficientes constantes e método do plano de fase, Métodos qualitativos, Trajetórias, 5 Tipos de pontos críticos do sistema (nó impróprio, nó adequado, ponto de sela, centro, ponto espiral), nó degenerado, Critérios para pontos críticos, Estabilidade (estável, instável e atraente e pontos críticos estáveis), Métodos qualitativos para sistemas não lineares, Linearização de sistemas não lineares, Pêndulo Livre Não Amortecido e linearização, Linearização do pêndulo amortecido, EDOs lineares não homogêneos, Método dos coeficientes indeterminados, Método de variação dos parâmetros

Semana 4: Soluções em série de ODEs Método de série de potências, intervalo de convergência, raio de convergência, equações de Legendre, polinômios de Legendre, método de Frobenius, equações de Bessel, funções de Bessel,

Semana 5: Funções de Bessel do segundo tipo, Problemas de Sturm-Liouville, Funções ortogonais, Expansões de função autônoma ortogonal.

Semana 6-7: Transformadas de Laplace, transformada inversa, s-shifting, transformadas de derivadas e integrais, Unit step function, t-shifting, Impulsos curtos, função Delta de Dirac, Frações parciais, Convolução, Equações integrais, Diferenciação e integração de transformadas, Sistemas de EDOs , Transformada de Laplace: fórmulas gerais.

Semana 8: Álgebra linear, independência linear, posto, espaço vetorial, determinantes de segunda e terceira ordem, inverso de uma matriz, eliminação de Gauss-Jordan, espaços vetoriais, espaços de produto interno, transformações lineares

Semana 9: Problemas de autovalores de matriz, autovalores, autovetor, matrizes skew-simétricas e ortogonais, autobases, diagonalização, formas quadráticas

Semana 10: Cálculo diferencial vetorial, gradiente, divergência, ondulação de um campo vetorial, produto escalar, produto vetorial, campos vetoriais, derivadas direcionais, curvas, comprimento do arco

Semana 11: Cálculo vetorial integral, integrais de linha, independência de caminho de integrais de linha, integrais duplos, teorema de Green no plano, integrais de superfície, integrais triplos, teorema de divergência de Gauss, teorema de Stokes.

Semana 12-13: Série de Fourier, integrais e transformadas.

Semana 13-14: Equações diferenciais parciais, equação de onda, solução de D Alembert da equação de onda, equação de calor e solução por série de Fourier, equação de calor e solução por ntegrais e transformadas de Fourier, membrana retangular, série dupla de Fourier, laplaciano em coordenadas polares, circular Membrana, Série Fourier-Bessel, Solução de PDEs por Transformadas de Laplace


6.2: Transformadas de derivados e EDOs - Matemática


Décima Edição de Matemática de Engenharia Avançadan
Buku ini diterbitkan tahun 2011 por JOHN WILEY & amp SONS, INC. Adalah buku edisi Sepuluh.

Judul: Décima Edição de Matemática de Engenharia Avançada
Oleh: Erwin Kreyszig, et al
Penerbit: JOHN WILEY & amp SONS, INC.
Tahun: 2011
Jumlah Halaman: 1283 hal.

ERWIN KREYSZIG
Professor de matemática da Ohio State University
Columbus, Ohio & # 8217
Em colaboração com
HERBERT KREYSZIG
Nova Iorque, Nova Iorque
EDWARD J. NORMINTON
Professor Associado de Matemática Carleton University
Ottawa, Ontário

Buku ini memberikan petunjuk yang komprehensif, menyeluruh, dan dari rekayasa atualizado
matematika. Hal ini dimaksudkan untuk memperkenalkan mahasiswa teknik, fisika, matematika,
ilmu komputer, dan yang terkait bidang matematika terapan yang paling relevan para memecahkan masalah praktis. Sebuah kursus dalam kalkulus dasar adalah satu-satunya prasyarat. (Namun, penyegaran singkat dari kalkulus dasar bagi siswa disertakan di bagian dalam dan di Lampiran 3.)
Subyek diatur menjadi tujuh bagian sebagai berikut:
A. Persamaan Diferensial Biasa (Odes) dalam Bab 1-6
B. Aljabar Linear. Cálculo vetorial. Lihat Bab 7-10
C. Analisis Fourier. Persamaan Diferensial Parsial (PDE). Lihat Bab 11 dan 12
D. Analisis Kompleks dalam Bab 13-18
E. Analisis Numérica dalam Bab 19-21
F. Otimização, Grafik dalam Bab 22 dan 23
G. Probabilitas, Statistik dalam Bab 24 dan 25.
Ini diikuti oleh lima lampiran: 1. Referensi, 2. Jawaban Ganjil-bernomor Masalah, 3. Bahan auxiliar (lihat juga di dalam buku), 4. Bukti Tambahan, 5. Tabel Fungsi. Hal ini ditunjukkan dalam sebuah diagrama blok pada halaman berikutnya.
Bagian-bagian dari buku ini diupayakan independen. Selain itu, masing-masing bab disimpan se-independen mungkin. (Jika demikian diperlukan, prasyarat-ke tingkat individu bagian sebelumnya bab-jelas dinyatakan pada pembukaan setiap bab.) Buku ini telah membantu untuk membuka jalan bagi pengembangan rekayasa matematika. Edisi baru akan mempersiapkan siswa untuk tugas-tugas saat ini dan masaodel dengan pendekatan moderno untuk daerah yang tercantum di atas. Buku ini menyediakan materi dan alat pembelajaran bagi siswa untuk mendapatkan dasar yang baik matematika teknik yang akan membantu mereka dalam karir mereka dan dalam studi lebih lanjut.

PARTE A Equações diferenciais ordinárias (EDOs) 1
CAPÍTULO 1 ODEs de primeira ordem 2

1.1 Conceitos básicos. Modelagem 2
1.2 Significado geométrico de y_ _ ƒ (x, y). Campos de direção, método 9 de Euler e # 8217s
1.3 ODEs separáveis. Modelagem 12
1.4 ODEs exatos. Fatores Integrantes 20
1.5 ODEs lineares. Equação de Bernoulli. Dinâmica da População 27
1.6 Trajetórias ortogonais. 36 opcional
1.7 Existência e singularidade de soluções para problemas de valor inicial 38
Capítulo 1 Perguntas e problemas de revisão 43
Resumo do Capítulo 1 44
CAPÍTULO 2 ODEs lineares de segunda ordem 46
2.1 ODEs Lineares Homogêneos de Segunda Ordem 46
2.2 ODEs lineares homogêneos com coeficientes constantes 53
2.3 Operadores diferenciais. 60 opcional
2.4 Modelagem de Oscilações Livres de um Sistema de Massa & # 8211Spring 62
2.5 Equações de Euler e # 8211Cauchy 71
2.6 Existência e exclusividade das soluções. Wronskian 74
2.7 ODEs não homogêneos 79
2.8 Modelagem: Oscilações forçadas. Ressonância 85
2.9 Modelagem: Circuitos Elétricos 93
2.10 Solução por variação dos parâmetros 99
Capítulo 2 Perguntas e problemas de revisão 102
Resumo do Capítulo 2 103
CAPÍTULO 3 ODEs Lineares de Ordem Superior 105
3.1 ODEs Lineares Homogêneos 105
3.2 ODEs lineares homogêneos com coeficientes constantes 111
3.3 ODEs lineares não homogêneos 116
Capítulo 3 Perguntas e problemas de revisão 122
Resumo do Capítulo 3 123
CAPÍTULO 4 Sistemas de EDOs. Plano de fase. Métodos Qualitativos 124
4.0 Para referência: Noções básicas de matrizes e vetores 124
4.1 Sistemas de EDOs como modelos em aplicações de engenharia 130
4.2 Teoria Básica de Sistemas de EDOs. Wronskian 137
4.3 Sistemas de coeficiente constante. Método de plano de fase 140
4.4 Critérios para pontos críticos. Estabilidade 148
4.5 Métodos qualitativos para sistemas não lineares 152
4.6 Sistemas lineares não homogêneos de ODEs 160
Capítulo 4 Perguntas e problemas de revisão 164
Resumo do Capítulo 4 165
CAPÍTULO 5 Soluções em série de EDOs. Funções Especiais 167
5.1 Método da Série de Potência 167
5.2 Equação de Legendre e # 8217s. Polinômios de Legendre Pn (x) 175
5.3 Método Extended Power Series: Método Frobenius 180
5.4 Equação de Bessel e # 8217s. Funções de Bessel J_ (x) 187
5.5 Funções de Bessel de Y_ (x). Solução Geral 196
Capítulo 5 Perguntas e problemas de revisão 200
Resumo do Capítulo 5 201
CAPÍTULO 6 Transformações de Laplace 203
6.1 Transformada de Laplace. Linearidade. Primeiro Teorema de Mudança (s-Shifting) 204
6.2 Transformadas de Derivados e Integrais. ODEs 211
6.3 Função de Etapa da Unidade (Função de Heaviside). Segundo Teorema da Mudança (t-Shifting) 217
6.4 Impulsos curtos. Função Delta de Dirac & # 8217s. Frações Parciais 225
6.5 Convolução. Equações integrais 232
6.6 Diferenciação e integração de transformadas. ODEs com coeficientes variáveis ​​238
6.7 Sistemas de ODEs 242
6.8 Transformada de Laplace: Fórmulas Gerais 248
6.9 Tabela de Transformadas de Laplace 249
Capítulo 6 Revisão de Perguntas e Problemas 251
Resumo do Capítulo 6 253


PARTE B Álgebra Linear. Vector Calculus 255
CAPÍTULO 7 Álgebra Linear: Matrizes, Vetores, Determinantes. Sistemas Lineares 256
7.1 Matrizes, Vetores: Adição e Multiplicação Escalar 257
7.2 Multiplicação de Matriz 263
7.3 Sistemas Lineares de Equações. Eliminação de Gauss 272
7.4 Independência Linear. Classificação de uma matriz. Espaço Vetorial 282
7.5 Soluções de Sistemas Lineares: Existência, Singularidade 288
7.6 Para Referência: Determinantes de Segunda e Terceira Ordem 291
7.7 Determinantes. Cramer & # 8217s Regra 293
7.8 Inverso de uma matriz. Gauss & # 8211Jordan Elimination 301
7.9 Espaços vetoriais, espaços internos de produto. Transformações lineares. 309 opcional
Capítulo 7 Revisão de Perguntas e Problemas 318
Resumo do Capítulo 7 320
CAPÍTULO 8 Álgebra Linear: Problemas de valores próprios da matriz 322
8.1 O problema do valor próprio da matriz. Determinando Valores Próprios e Vectores Próprios 323
8.2 Algumas aplicações de problemas de valor próprio 329
8.3 Matrizes simétricas, assimétricas e ortogonais 334
8.4 Eigenbases. Diagonalização. Formas Quadráticas 339
8.5 Matrizes e formulários complexos. 346 opcional
Capítulo 8 Perguntas e problemas de revisão 352
Resumo do Capítulo 8 353
CAPÍTULO 9 Cálculo diferencial vetorial. Grad, Div, Curl 354
9.1 Vetores em 2-Espaço e 3-Espaço 354
9.2 Produto Interno (Produto Interno) 361
9.3 Produto vetorial (produto cruzado) 368
9.4 Funções vetoriais e escalares e seus campos. Cálculo vetorial: derivados 375
9.5 Curvas. Comprimento do arco. Curvatura. Torção 381
9.6 Revisão do cálculo: funções de várias variáveis. Opcional 392
9.7 Gradiente de um campo escalar. Derivada direcional 395
9.8 Divergência de um campo vetorial 402
9.9 Ondulação de um campo vetorial 406
Capítulo 9 Revisar Perguntas e Problemas 409
Resumo do Capítulo 9 410
CAPÍTULO 10 Cálculo Vector Integral. Teoremas Integrais 413
10.1 Integrais de linha 413
10.2 Independência de Caminho de Integrais de Linha 419
10.3 Revisão do cálculo: Integrais duplos. Opcional 426
10.4 Teorema de Green & # 8217s no Plano 433
10.5 Superfícies para Integrais de Superfície 439
10.6 Integrais de superfície 443
10.7 Integrais triplos. Teorema da Divergência de Gauss 452
10.8 Outras aplicações do Teorema da Divergência 458
10.9 Teorema de Stokes e # 8217s 463
Capítulo 10 Perguntas e problemas de revisão 469
Resumo do Capítulo 10 470

PARTE C Análise de Fourier. Equações diferenciais parciais (PDEs) 473
CAPÍTULO 11 Análise de Fourier 474

11.1 Série Fourier 474
11.2 Período Arbitrário. Funções pares e ímpares. Expansões de meio intervalo 483
11.3 Oscilações Forçadas 492
11.4 Aproximação por polinômios trigonométricos 495
11.5 Problemas de Sturm e # 8211Liouville. Funções Ortogonais 498
11.6 Série ortogonal. Série Generalizada de Fourier 504
11,7 Fourier Integral 510
11,8 Fourier Cosine e Sine Transforms 518
11.9 Transformada de Fourier. Transformadas discretas e rápidas de Fourier 522
11,10 Tabelas de transformações 534
Capítulo 11 Perguntas e problemas de revisão 537
Resumo do Capítulo 11 538
CAPÍTULO 12 Equações Diferenciais Parciais (PDEs) 540
12.1 Conceitos Básicos de PDEs 540
12.2 Modelagem: Corda Vibrante, Equação Onda 543
12.3 Solução por separação de variáveis. Uso da Série Fourier 545
12.4 Solução de D & # 8217Alembert & # 8217s da Equação de Onda. Características 553
12.5 Modelagem: Fluxo de calor de um corpo no espaço. Equação de Calor 557
12.6 Equação de Calor: Solução por Série de Fourier. Problemas constantes de calor bidimensional. Dirichlet
Problema 558
12.7 Equação de calor: modelagem de barras muito longas. Solução de Fourier Integrals and Transforms 568
12.8 Modelagem: Membrana, Equação de Onda Bidimensional 575
12.9 Membrana retangular. Double Fourier Series 577
12.10 Laplaciano em coordenadas polares. Membrana Circular. Fourier & # 8211Bessel Series 585
12.11 Equação de Laplace e # 8217s em coordenadas cilíndricas e esféricas. Potencial 593
12.12 Solução de PDEs por Laplace Transforms 600
Capítulo 12 Perguntas e problemas de revisão 603
Resumo do Capítulo 12 604

PARTE D Análise Complexa 607
CAPÍTULO 13 Números e funções complexas. Diferenciação Complexa 608

13.1 Números Complexos e Sua Representação Geométrica 608
13.2 Forma polar de números complexos. Poderes e raízes 613
13.3 Derivado. Função Analítica 619
13.4 Cauchy e # 8211 Equações de Riemann. Laplace & # 8217s Equação 625
13.5 Função Exponencial 630
13.6 Funções trigonométricas e hiperbólicas. Euler & # 8217s Fórmula 633
13.7 Logaritmo. Potência geral. Valor Principal 636
Capítulo 13 Perguntas e problemas de revisão 641
Resumo do Capítulo 13 641
CAPÍTULO 14 Integração Complexa 643
14.1 Integral de Linha no Plano Complexo 643
14.2 Teorema Integral de Cauchy & # 8217s 652
14.3 Cauchy & # 8217s Fórmula Integral 660
14,4 Derivados de funções analíticas 664
Capítulo 14 Perguntas e problemas de revisão 668
Resumo do Capítulo 14 669
CAPÍTULO 15 Power Series, Taylor Series 671
15.1 Sequências, Séries, Testes de Convergência 671
15,2 Power Series 680
15.3 Funções fornecidas pelo Power Series 685
15.4 Taylor e Maclaurin Série 690
15.5 Convergência uniforme. Opcional 698
Capítulo 15 Revisar Perguntas e Problemas 706
Resumo do Capítulo 15 706
CAPÍTULO 16 Laurent Series. Integração de Resíduos 708
16.1 Laurent Series 708
16.2 Singularidades e zeros. Infinity 715
16.3 Método de Integração de Resíduos 719
16.4 Integração de Resíduos de Integrais Reais 725
Capítulo 16 Perguntas e problemas de revisão 733
Resumo do Capítulo 16 734
CAPÍTULO 17 Mapeamento Conformal 736
17.1 Geometria de Funções Analíticas: Mapeamento Conforme 737
17.2 Transformações Fracionárias Lineares (Transformações de Möbius) 742
17.3 Transformações Fracionárias Lineares Especiais 746
17.4 Mapeamento Conformal por Outras Funções 750
17.5 Superfícies de Riemann. Opcional 754
Capítulo 17 Revisar questões e problemas 756
Resumo do Capítulo 17 757
CAPÍTULO 18 Análise Complexa e Teoria do Potencial 758
18.1 Campos eletrostáticos 759
18.2 Uso de mapeamento conformal. Modelagem 763
18.3 Problemas de calor 767
18.4 Fluxo de Fluido 771
18.5 Poisson & # 8217s Fórmula Integral para Potenciais 777
18.6 Propriedades gerais das funções harmônicas. Teorema da Unicidade para o Problema de Dirichlet 781
Capítulo 18 Revisar Perguntas e Problemas 785
Resumo do Capítulo 18 786

PARTE E Análise Numérica 787
Software 788
CAPÍTULO 19 Numéricos em Geral 790

19.1 Introdução 790
19.2 Solução de Equações por Iteração 798
19.3 Interpolação 808
19.4 Interpolação Spline 820
19.5 Integração Numérica e Diferenciação 827
Capítulo 19 Revisar Perguntas e Problemas 841
Resumo do Capítulo 19 842
CAPÍTULO 20 Álgebra Linear Numérica 844
20.1 Sistemas Lineares: Eliminação de Gauss 844
20.2 Sistemas Lineares: Fatoração LU, Inversão de Matriz 852
20.3 Sistemas Lineares: Solução por Iteração 858
20.4 Sistemas Lineares: Mal-Condicionamento, Normas 864
20.5 Método dos Mínimos Quadrados 872
20.6 Problemas de valor próprio da matriz: Introdução 876
20.7 Inclusão de valores próprios da matriz 879
20.8 Método de potência para valores próprios 885
20.9 Tridiagonalização e Fatoração QR 888
Capítulo 20 Perguntas e problemas de revisão 896
Resumo do Capítulo 20 898
CAPÍTULO 21 Numéricos para ODEs e PDEs 900
21.1 Métodos para ODEs 901 de primeira ordem
21.2 Métodos de várias etapas 911
21.3 Métodos para sistemas e ODEs de ordem superior 915
21.4 Métodos para PDEs elípticos 922
21.5 Neumann e problemas mistos. Limite Irregular 931
21.6 Métodos para PDEs parabólicos 936
21.7 Método para PDEs hiperbólicas 942
Capítulo 21 Revisar Perguntas e Problemas 945
Resumo do Capítulo 21 946

PARTE F Otimização, Gráficos 949
CAPÍTULO 22 Otimização irrestrita. Programação Linear 950
22.1 Conceitos básicos. Otimização irrestrita: Método de descida mais íngreme 951
22.2 Programação Linear 954
22.3 Método Simplex 958
22.4 Método Simplex: Dificuldades 962
Capítulo 22 Perguntas e problemas de revisão 968
Resumo do Capítulo 22 969
CAPÍTULO 23 Gráficos. Otimização Combinatória 970
23.1 Gráficos e digrafos 970
23.2 Problemas do caminho mais curto. Complexidade 975
23.3 Princípio de Bellman e # 8217s. Dijkstra & # 8217s Algorithm 980
23.4 Árvores de menor amplitude: Algoritmo ganancioso 984
23.5 Árvores de menor amplitude: Algoritmo 988 de Prim & # 8217s
23,6 Fluxos nas Redes 991
23.7 Fluxo Máximo: Ford & # 8211Fulkerson Algorithm 998
23.8 Gráficos bipartidos. Problemas de Atribuição 1001
Capítulo 23 Revisar Perguntas e Problemas 1006
Resumo do Capítulo 23 1007

PARTE G Probabilidade, Estatística 1009
Software 1009
CAPÍTULO 24 Análise de dados. Teoria da Probabilidade 1011

24.1 Representação de dados. Média. Spread 1011
24.2 Experimentos, resultados, eventos 1015
24,3 Probabilidade 1018
24,4 Permutações e Combinações 1024
24.5 Variáveis ​​aleatórias. Distribuições de probabilidade 1029
24.6 Média e Variância de uma Distribuição 1035
24,7 Distribuições Binomial, Poisson e Hipergeométrica 1039
24,8 Distribuição Normal 1045
24,9 Distribuições de várias variáveis ​​aleatórias 1051
Capítulo 24 Perguntas e problemas de revisão 1060
Resumo do Capítulo 24 1060
CAPÍTULO 25 Estatística Matemática 1063
25.1 Introdução. Amostragem Aleatória 1063
25.2 Estimativa de Ponto dos Parâmetros 1065
25.3 Intervalos de confiança 1068
25.4 Testando hipóteses. Decisões 1077
25,5 Controle de Qualidade 1087
25.6 Amostragem de Aceitação 1092
25.7 Qualidade de ajuste. _ 2-Teste 1096
25,8 Testes Não Paramétricos 1100
25.9 Regressão. Ajustando linhas retas. Correlação 1103
Capítulo 25 Perguntas e problemas de revisão 1111
Resumo do Capítulo 25 1112
APÊNDICE 1 Referências A1
APÊNDICE 2 Respostas para Odd-Numbered Pro
manchas A4
APÊNDICE 3 Material Auxiliar A63
A3.1 Fórmulas para funções especiais A63
A3.2 Derivados Parciais A69
A3.3 Sequências e Série A72
A3.4 Grad, Div, Curl, _2 em coordenadas curvilíneas A74
APÊNDICE 4 Provas Adicionais A77
APÊNDICE 5 Tabelas A97
ÍNDICE I1
CRÉDITOS DE FOTO P1


6.2: Transformadas de derivados e EDOs - Matemática

MA201 Matemática III (3-1-0-8)

Análise complexa: Números complexos e propriedades elementares Limites de funções complexas, continuidade e diferenciação, equações de Cauchy-Riemann, funções analíticas e harmônicas, funções analíticas elementares, anti-derivadas e integrais de linha (contorno), teorema de Cauchy-Goursat, fórmula integral de Cauchy & # x27s, Morera & # Teorema de x27s, teorema de Liouville & # x27s, teorema fundamental da álgebra e princípio de módulo máximo Série de potências, série de Taylor, zeros de funções analíticas, singularidades e séries de Laurent, teorema de Rouche & # x27s e princípio de argumento, resíduos, Cauchy & # x27s teorema de resíduos e aplicações, Transformações e aplicações de Mobius.

Equações diferenciais parciais: Série de Fourier, série de Fourier de meio intervalo, transformadas de Fourier, transformadas de seno e cosseno finitos Equações diferenciais parciais de primeira ordem, soluções de PDEs lineares e quase-lineares de primeira ordem, método das características Classificação de PDEs de segunda ordem, forma canônica Problemas de valor inicial e limite envolvendo equação de onda e equação de condução de calor, problemas de valor de contorno envolvendo a equação de Laplace e soluções por método de separação de variáveis ​​Problemas de valor de contorno inicial em coordenadas não retangulares.

Laplace e transformações de Laplace inversas, propriedades, convoluções Solução de EDOs e

PDEs por transformada de Laplace Solução de PDEs por transformada de Fourier.

[1] J. W. Brown e R. V. Churchill, Complex Variables and Applications, 7ª Edição, McGraw Hill, 2004.

[2] I. N. Sneddon, Elements of Partial Differential Equations, McGraw Hill, 1957.

[3] E. Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics, 10ª Edição, Wiley, 2015.

[1] J. H. Mathews e R. W. Howell, Complex Analysis for Mathematics and Engineering, 3rd Edition, Narosa, 1998.

[2] S. J. Farlow, Equações Diferenciais Parciais para Cientistas e Engenheiros, Dover Publications, 1993.

[3] K. Sankara Rao, Introdução às Equações Diferenciais Parciais, 3ª Edição, Prentice Hall of India, 2011.


6.2: Transformadas de derivados e EDOs - Matemática

Espera-se que os alunos que fazem cursos de matemática no nível 2000 ou superior sejam competentes em programação de computadores usando linguagens como BASIC, C, FORTRAN ou PASCAL. Esta competência pode ser obtida por meio da conclusão do CSCI 1110.

Salvo indicação em contrário, os cursos são oferecidos a cada outono, primavera e verão I e II.

1010. Fundamentals of Algebra. 3 horas. Operações algébricas básicas, equações lineares e inequações, polinômios, expressões racionais, fatoração, expoentes e radicais e equações quadráticas. Pré-requisito (s): consentimento do departamento. Os alunos não podem se inscrever neste curso se tiverem crédito em qualquer outro curso de matemática da UNT. O crédito neste curso não preenche nenhum requisito de graduação. Passe / não passe apenas.

1100 (1314). Faculdade álgebra. 3 horas. Sistemas de equações quadráticas envolvendo variação quadrática, proporção e progressões de proporção o teorema binomial desigualdades teoria dos números complexos das equações determinantes frações parciais. Pré-requisito (s): dois anos de álgebra do ensino médio e um ano de geometria, ou consentimento do departamento.

1190 (1325). Matemática com ênfase em aplicativos de negócios. 3 horas. Desigualdades lineares e sistemas de desigualdades lineares, programação linear, matrizes, derivadas e integrais. Pré-requisito (s): MATH 1100.

1600. College Math with Calculus. 5 horas. (302) Um curso de matemática aplicada projetado para majores não científicos. Todos os tópicos são motivados por aplicativos do mundo real. Equações, gráficos, funções, funções exponenciais e logarítmicas matemática de sistemas financeiros de equações lineares e desigualdades, probabilidade de programação linear, variáveis ​​aleatórias e distribuições de probabilidade, amostragem e o teorema do limite central cálculo diferencial básico com aplicações. Pré-requisito (s): dois anos de álgebra no ensino médio e aprovação do departamento ou MATH 1100.

1650. Pré-cálculo. 5 horas. Um curso preparatório para cálculo. Funções trigonométricas, seus gráficos e aplicações a seções cônicas, funções exponenciais e logarítmicas e seus gráficos gráficos para funções polinomiais e racionais discussão geral das funções e suas propriedades. Pré-requisito (s): MATH 1100.

1680 (1342). Probabilidade elementar e estatística. 3 horas. Um curso introdutório para atender alunos de qualquer área que desejam aplicar inferência estatística. Estatística descritiva, probabilidade elementar, estimativa, teste de hipóteses e pequenas amostras. Pré-requisito (s): MATEMÁTICA 1100. Oferecido no outono, primavera, verão I.

1710 (2413). Cálculo I. 4 horas. Limites e continuidade, diferenciação de derivadas e integrais e integração de aplicações de funções polinomiais, racionais e algébricas, incluindo inclinação, velocidade, extremos, área, volume e trabalho. Pré-requisito (s): MATH 1650.

1720 (2414). Calculus II. 3 horas. Diferenciação e integração de funções trigonométricas, exponenciais, logarítmicas e transcendentais técnicas de integração de funções formas indeterminadas áreas integrais impróprias e comprimento de arco em coordenadas polares série infinita série de potências Teorema de Taylor. Pré-requisito (s): MATEMÁTICA 1710.

1780. Introdução à análise estatística. 3 horas. Probabilidade, variáveis ​​aleatórias discretas e contínuas, distribuições amostrais, estimativas pontuais, intervalos de confiança, testes de hipóteses, testes qui-quadrado, regressão e correlação. Pré-requisito (s): MATEMÁTICA 1710. Oferecido no outono, primavera, verão II.

2090. Estrutura e aplicações do sistema numérico. 3 horas. Probabilidade e estatística da geometria da teoria dos números, lógica e teoria dos conjuntos. Para alunos que desejam lecionar no ensino fundamental. Pré-requisito (s): MATH 1100.

2510. Análise Real I. 3 horas. Introdução às provas matemáticas através da análise real. Os tópicos incluem conjuntos, relações, tipos de provas, continuidade e topologia da linha real. Pré-requisito (s): MATEMÁTICA 1720. Oferecido no outono, primavera, verão I.

2520. Análise Real II. 3 horas. Continuação de 2510. Os tópicos incluem derivadas, integrais, limites de sequências de funções, séries de Fourier e uma introdução à análise multivariável. Pré-requisito (s): MATH 2510 e 2700 (podem ser usados ​​simultaneamente). Oferecido no outono, primavera, verão II.

2700. Álgebra Linear e Geometria Vetorial. 3 horas. Espaços vetoriais sobre o campo de número real aplicações a sistemas de equações lineares e geometria analítica em E n, transformações lineares, matrizes, determinantes e autovalores. Pré-requisito (s): MATEMÁTICA 1720. Oferecido no outono, primavera, verão I.

2730. Cálculo multivariável. 3 horas. Vetores e geometria analítica em derivados parciais e direcionais de 3 espaços extremos integrais duplos e triplos e aplicações em coordenadas cilíndricas e esféricas. Pré-requisito (s): MATEMÁTICA 1720. Oferecido no outono, primavera, verão II.

2770. Discrete Mathematical Structures. 3 horas. Lógica matemática introdutória, indução matemática, relações e funções, combinatória, técnicas de contagem, gráficos e árvores e teoria de autômatos finitos. Pré-requisito (s): MATH 1710 e CSCI 1100 (podem ser usados ​​simultaneamente). Oferecido outono, primavera, verão I.

2900-2910. Problemas especiais. 1-3 horas cada. Pode ser repetido por crédito.

3010. Seminar in Problem-Solving Techniques. 1 hora. Técnicas de resolução de problemas envolvendo coeficientes binomiais, elementares
teoria dos números, geometria euclidiana, propriedades dos polinômios e cálculo. Pode ser repetido por crédito.

3130. Provas matemáticas. 3 horas. Axiomas das provas de números reais dos fatos básicos da aritmética. O raciocínio lógico cuidadoso é enfatizado. Pré-requisito (s): MATEMÁTICA 1650 e 2090. Oferecido no outono, primavera, verão I.

3140. Tópicos de Matemática Básica. 3 horas. Conceitos matemáticos contemporâneos fundamentais para professores em potencial ou em serviço. Pré-requisito (s): MATEMÁTICA 2510 ou 3130. Oferecido no outono, verão II.

3150. Tópicos em geometria. 3 horas. Conceitos contemporâneos fundamentais de geometria introdutória para futuros professores ou professores em serviço do ensino fundamental. Pré-requisito (s): MATEMÁTICA 2510 ou 3130. Oferecido na primavera, verão II.

3350. Introdução à análise numérica. 3 horas. Descrição e análise matemática dos métodos de resolução de problemas de natureza matemática no computador. Raízes de equações, sistemas de equações lineares, interpolação e aproximação polinomial, aproximação de mínimos quadrados, solução numérica de equações diferenciais ordinárias. Pré-requisito (s): MATEMÁTICA 2700 e habilidade de programação de computador. Oferecido outono, primavera, verão I.

3400. Teoria dos Números. 3 horas. Factorizações, congruências, reciprocidade quadrática, campos finitos, formas quadráticas, equações diofantinas. Pré-requisito (s): MATEMÁTICA 3510. Oferta no outono.

3410. Equações diferenciais I. 3 horas. Teorema de existência-unicidade de equações de primeira ordem, equações lineares, separação de variáveis, equações lineares de ordem superior, sistemas de equações lineares, soluções de séries e soluções numéricas. Pré-requisito (s): MATH 1720 e MATH 2700.Oferecido outono, primavera, verão I.

3420. Equações diferenciais II. 3 horas. Equações diferenciais ordinárias decorrentes de equações diferenciais parciais por meio do método de separação de variáveis ​​de características para PDEs de primeira ordem problemas de valor de contorno para EDOs estudo comparativo de equação de calor, equação de onda e equação de Laplace por separação de variáveis ​​e métodos numéricos tópicos adicionais em solução numérica de EDOs. Pré-requisito (s): MATEMÁTICA 2700 e 3410. Oferecido na primavera, verão II.

3510. Introdução à Álgebra Abstrata I. 3 horas. Grupos, anéis, domínios integrais, anéis polinomiais e campos. Pré-requisito (s): MATEMÁTICA 2520. Oferecido no outono, verão II.

3520. Abstract Algebra II. 3 horas. Tópicos de teoria da codificação, formas quadráticas, teoria de Galois, álgebra multilinear, teoria de grupo avançada e teoria de anel avançada. Pré-requisito (s): MATEMÁTICA 3510. Primavera oferecida.

3740. Vector Calculus. 3 horas. Teoria das funções com valores vetoriais no espaço euclidiano. Derivada como a melhor aproximação de transformação linear para uma função. Divergência, gradiente, ondulação. Campos de vetor, integrais de caminho, integrais de superfície. Extremos restritos e multiplicadores de Lagrange. Teorema da função implícita. Matrizes Jacobianas. Teoremas de Green, Stokes e Gauss (divergência) no espaço euclidiano. Formas diferenciais e uma introdução à geometria diferencial. Pré-requisito (s): MATEMÁTICA 2700. Oferta no outono.

4060. Fundamentos da geometria. 3 horas. Seleções em geometria sintética, analítica, projetiva, euclidiana e não euclidiana. Pré-requisito (s): MATEMÁTICA 2520. Oferecido na primavera, verão II.

4100. Análise de Fourier. 3 horas. Teoria abrangente das transformadas de Fourier, séries de Fourier e transformadas discretas de Fourier, com ênfase nas interconexões. O cálculo das transformadas de Fourier. Formalismo algébrico do operador. Hartley se transforma. FFT e outros algoritmos rápidos. Aritmética de alta precisão. Introdução às funções generalizadas (distribuições temperadas). Aplicações ao processamento de sinais, probabilidade e equações diferenciais. Pré-requisito (s): MATEMÁTICA 3410. Primavera oferecida.

4200. Sistemas dinâmicos. 3 horas. Dinâmica unidimensional. Teoria de Sarkovskii, rotas para o caos, dinâmica simbólica, dinâmica de dimensão superior, atratores, bifurcações, mapas quadráticos, conjuntos de Julia e Mandelbrot. Pré-requisito (s): MATEMÁTICA 2520. Oferta no outono.

4430. Introdução à teoria dos grafos. 3 horas. Introdução à combinatória através da teoria dos grafos. Os tópicos introduzidos incluem conectividade, fatoração, grafos hamiltonianos, fluxos de rede, números de Ramsey, coloração de grafos, automorfismos de grafos e o Teorema de Enumeração de Plya. As conexões com a ciência da computação são enfatizadas. Pré-requisito (s): MATEMÁTICA 2510 ou 2770. Oferecido no outono.

4450. Introdução à Teoria das Matrizes. 3 horas. Ortogonalidade de similaridade de congruência (Hermitiana), matrizes com elementos polinomiais e polinômios mínimos. Teorema de Cayley-Hamilton bilinear e formas quadráticas autovalores. Pré-requisito (s): MATEMÁTICA 2700. Oferecido na primavera, verão II.

4500. Introdução à topologia. 3 horas. Conectividade de topologia de conjuntos de pontos, compactação, funções contínuas e espaços métricos. Pré-requisito (s): MATEMÁTICA 2520. Oferecido na primavera, verão II.

4520. Introdução às funções de uma variável complexa. 3 horas. Álgebra de números complexos e funções analíticas de representação geométrica, funções elementares e mapeamento de integrais de linha real, resíduos de séries de potências de integração complexa, pólos, mapeamento conformado e aplicações. Pré-requisito (s): MATEMÁTICA 2730. Oferecido no outono, verão I.

4610. Probabilidade. 3 horas. Análise combinatória, probabilidade, probabilidade condicional, independência, variáveis ​​aleatórias, expectativa, funções geradoras e teoremas limite. Pré-requisito (s): MATEMÁTICA 2730. Oferecido no outono, verão I.

4650. Estatísticas. 3 horas. Distribuições de amostragem, estimativa de ponto, estimativa de intervalo, teste de hipótese, testes de qualidade de ajuste, regressão e correlação, análise de variância e métodos não paramétricos. Pré-requisito (s): MATEMÁTICA 4610. Oferecido na primavera, verão II.

4900-4910. Problemas especiais. 1-3 horas cada.


6.2: Transformadas de derivados e EDOs - Matemática

Use as transformações de Laplace para resolver equações diferenciais

E aqui vem o recurso de transformações de Laplace úteis que uma derivada no espaço "t" será apenas um múltiplo da transformação original no espaço "s".

É exatamente isso que vamos fazer:

Aplique a Transformação de Laplace a todos os termos de um D.E .:

Os derivados desaparecem, em vez disso, múltiplos da função (transformada)!

A melhor maneira de mostrar isso é por meio de um exemplo:

Exemplo: D.E. não homogêneo de 2ª ordem. com valores iniciais:

Isso deve parecer bastante familiar: é um LDE de 2ª ordem, não homogêneo, os coeficientes são constantes espere um momento - por que existem condições iniciais?

Resposta: bem - uma pequena queda desse método - ele é bom apenas para resolver problemas de valor inicial. Mas muitas vezes podemos viver com isso de forma bastante feliz - já que na vida profissional devemos resolver problemas específicos - quase ninguém está mais interessado em soluções gerais.

Vamos começar nosso procedimento (e é isso: apenas um procedimento que você tem que seguir passo a passo, e você terá sucesso!)

Etapa 1: Laplace transforma todos os termos do D.E .:

(Quase) não é necessário pensar aqui: pegue a equação diferencial - que estaria em nosso exemplo, e aplique o teorema a cada termo da equação separadamente (podemos fazer isso porque a transformada de Laplace é - linear):

onde estão as transformadas de Laplace e

Esta nova equação no espaço "s" é chamada de "Equação subsidiária"

Podemos classificar os termos e ver, é claro, que no espaço "s" das transformadas de Laplace, nossa antiga equação diferencial não contém mais derivadas: terminamos com uma equação algébrica simples embaraçosa para Y (s).

Observe que y (0) ey '(0) não são mais funções, mas apenas nossos valores iniciais - é aqui que nossos valores iniciais estão entrando!

Como eu disse, o próximo passo será constrangedoramente fácil: temos que resolver a equação subsidiária para Y (s). Vamos fazer isso:

Etapa 2: Resolva a equação subsidiária

ou, com (função de transferência)

Para deixar este procedimento parecer estruturado (e sua vida um pouco mais complicada, podemos chamar o denominador desta expressão de "função de transferência" e chamá-lo de Q (s). Em seguida, podemos escrever nosso D.E. em apenas uma linha, como

Viva! Bem, realmente parece muito melhor agora. No entanto, a simplicidade desta equação torna-se totalmente clara quando lembramos que são apenas números .

Na verdade, são constantes muito especiais .

Certo, são nossas condições iniciais!

Para manter o seguinte o mais simples possível (não se preocupe, podemos torná-lo arbitrariamente complicado mais tarde), definimos as condições iniciais neste exemplo iguais a zero:

Neste caso particular, nossa função de transferência Q acaba sendo muito simples:

Para: e então (mas só então)

(mas apenas para essas condições iniciais - pense no motivo disso!)

A função de transferência tem até um significado real mensurável em aplicações: é a relação entre as transformadas das amplitudes de saída e entrada de um circuito elétrico, por exemplo:

Fisicamente, isso significa (por exemplo, para um circuito elétrico) que

Q aqui descreve a transferência de energia colocada no sistema para a energia que sai do sistema.

Mas voltemos ao nosso problema: embora tenhamos encontrado uma solução para Y (s), ainda estamos no espaço "s"! Nossa solução, entretanto, é necessária no mundo real do espaço "t".

A questão agora é transformar nossa solução Y (s) de volta em uma solução real y (t):

3ª e última etapa: Use, por exemplo frações parciais para reduzir

em termos simples que podem ser consultados em tabelas

Isso parece simples, mas às vezes acaba sendo um processo bastante doloroso! No entanto, neste curso, na maioria das vezes, frações parciais podem ser encontradas com relativa facilidade.

Você entendeu o procedimento até agora? Você pode querer voltar à primeira etapa e ler novamente .

No entanto, também podemos demonstrá-lo com outro exemplo mais específico:

Isso é realmente simples - temos um LDE de segunda ordem com coeficientes constantes, a = 0, b = 1 e nosso r (t) = t

Etapa 1: transformar esta equação não é difícil, usamos a definição para a transformação da segunda derivada para o lado esquerdo da equação e procuramos a transformação para "t":

e finalmente resolvê-lo para Y

e reescrever nossa solução em frações parciais.

Agora temos. O que resta fazer é transformar de volta essas expressões simples (use uma tabela, por exemplo):

Etapa 3: transfira de volta por consulta de tabela:

E assim prosseguimos, termo a termo. Feito. Nossa solução é

Tente você mesmo e teste esta solução para este problema específico. Só para ter certeza de que funciona!

Muito bem, mais uma vez todo o procedimento, desta vez como um diagrama (inicie no canto superior esquerdo e siga as setas):


Cursos

1. Matemática 2 Matemática Prática. Habilidades matemáticas básicas na vida cotidiana. Pré-requisitos: Nenhum. 3h (lec) 3u.

2. Matemática 10 Matemática, Cultura e Sociedade. Apreciação da beleza e do poder da matemática através do exame de sua natureza, desenvolvimento e utilidade, e sua relação com a cultura e a sociedade. Pré-requisitos: Nenhum. 3 h. (lec) 3 u.

3. Matemática 11 Álgebra da faculdade. Equações lineares soluções algébricas e gráficas das equações quadráticas expoentes e radicais números complexos determinantes da expansão binomial progressões soluções das equações, várias equações em várias variáveis. Pré-requisito: Escola de álgebra de um ano. 3 h. (lec) 3 u. O curso não será oferecido a partir de AY 2020-2021.

4. Matemática 14 Trigonometria plana. Gráficos logarítmicos das funções trigonométricas - as soluções triangulares gerais de números complexos de equações trigonométricas, trigonométricas inversas, exponenciais e logarítmicas. Pré-requisito: Um ano de álgebra do ensino médio e geometria plana. 3 h. (lec) 3 u. O curso não será oferecido a partir de AY 2020-2021.

5. Matemática 17 Álgebra e trigonometria. Define e numera a álgebra de números como desigualdades de sistema lógico, valores absolutos e funções de sistemas de coordenadas e gráficos de funções circulares, lineares, quadráticas e polinomiais, aplicações de funções exponenciais e logarítmicas das funções circulares a ângulos. Pré-requisito: Um ano de álgebra do ensino médio para cada um. 5 h. (lec) 5 u. O curso não será oferecido a partir de AY 2020-2021.

6. Matemática 20 Pré-cálculo: Funções e seus gráficos. Define e numera a álgebra de números como desigualdades de sistema lógico, valores absolutos e funções de sistemas de coordenadas e gráficos de funções circulares, lineares, quadráticas e polinomiais, aplicações de funções exponenciais e logarítmicas das funções circulares a ângulos. Pré-requisito: Álgebra do Ensino Médio / equiv. 4 h. (lec). Sem crédito.

7. Matemática 21 Análise Elementar I. Limites e derivadas de continuidade de funções algébricas e transcendentais (exponencial, logarítmica, trigonométrica, hiperbólica e seus inversos) aplicações de derivadas antiderivadas e integrais definidas Teorema Fundamental de aplicações de Cálculo da integral definida. Pré-requisito: Cálculo Básico do Ensino Médio ou Matemática 20 / equiv. 4 h. (lec) 4 u.

8. Matemática 22 Análise Elementar II. Técnicas de integração, equações paramétricas integrais impróprias e linhas de coordenadas polares no espaço, planos, superfícies cilíndricas, superfícies de revolução e vetores de superfícies quádricas e sequências e séries de funções com valor vetorial. Pré-requisito: Matemática 21 / equiv. 4 h. (lec) 4 u.

9. Matemática 23 Análise Elementar III. Limites de funções de várias variáveis ​​e continuidade de funções de derivadas parciais de várias variáveis ​​e as derivadas direcionais diferenciais totais extremos relativos e absolutos de funções de várias variáveis ​​duplas e triplas A partir de julho de 2020 aplicações integrais de múltiplos campos vetoriais integrais de linha e integrais de superfície. Pré-requisitos: Matemática 22 / equiv. 4 h. (lec) 4 u.

10. Matemática 30 Cálculo intermediário e aplicações. Técnicas de integração, sequências de cálculo multivariadas e introdução de séries a aplicações de matrizes em economia, negócios, ciências da vida e sociais. Pré-requisitos: Matemática 21 / equiv. 3 h. (lec) 3 u.

11. Matemática 40 Álgebra Linear. Matrizes de transformações lineares de espaços vetoriais eigenvalues ​​formas canônicas aplicações de ortogonalidade. Pré-requisitos: Matemática 22 / equiv ou Matemática 30 / equiv. 3 h. (lec) 3 u.

12. Matemática 53 Análise elementar I. Funções e seus limites de gráficos e continuidade as derivadas derivadas de funções algébricas e trigonométricas funções exponenciais e logarítmicas funções inversas antiderivadas e integrais definidas teorema fundamental de aplicações de cálculo da integral definida. Pré-requisito: Matemática 17 / equiv. 5 h. (lec) 5 u. O curso não será oferecido a partir de AY 2020-2021.

13. Matemática 54 Análise Elementar II. Aplicações de métodos de integração do plano integral definido e equações paramétricas de vetores de coordenadas polares de geometria analítica sólida. Seqüências e séries de potências. Pré-requisitos: Matemática 53 / equiv. 5 h. (lec) 5 u. O curso não será oferecido a partir de AY 2020-2021.

14. Matemática 55 Análise Elementar III. Diferenciação parcial equações diferenciais de séries infinitas de integrais múltiplos. Pré-requisito: Matemática 54 / equiv. 3 h (lec) 3 u. O curso não será oferecido a partir de AY 2020-2021.

15. Matemática 60 Pré-cálculo. Operações algébricas, funções, analíticas, geometria, trigonometria, matrizes. Pré-requisitos: nenhum. 5 h. (lec) 5 u. O curso não será oferecido a partir de AY 2020-2021.

16. Matemática 63 Cálculo I. As funções de uma única variável limitam a continuidade da derivada e das derivadas integrais de Riemann de aplicações de funções algébricas, trigonométricas e trigonométricas inversas de coordenadas polares. Pré-requisitos: Matemática 60 / equiv. 5 h. (lec) 5 u. O curso não será oferecido a partir de AY 2020-2021.

17. Matemática 64 Cálculo II. As técnicas de funções exponenciais, logarítmicas e hiperbólicas de vetores de integração e funções vetoriais valiosas integrais impróprios para aplicações de séries infinitas de potências. Pré-requisito: Matemática 63 / equiv. 5 h. (lec) 5 u. O curso não será oferecido a partir de AY 2020-2021.

18. Matemática 65 Cálculo III. Cálculo de várias variáveis ​​e séries de Fourier. Pré-requisito: Matemática 64. 3 h. (lec). 3 u. O curso não será oferecido a partir de AY 2020-2021.

19. Matemática 100 Introdução ao Cálculo. Limita aplicações de integrais derivados. Pré-requisitos: matemática 17 ou COI. 4 h. (lec) 4 u. O curso não será oferecido a partir de AY 2020-2021.

20. Matemática 108 Fundamentos da Matemática Abstrata. Métodos de cálculo proposicional e predicado de álgebra de prova de relações de conjuntos e funções de conjuntos finitos e infinitos. Pré-requisitos: Math 21 / equiv ou COI. 4 h. (lec) 4 u.

21. Matemática 109 Conceitos Fundamentais de Matemática. Álgebra de conjuntos e métodos lógicos de funções de prova e relações, natureza lógica e estrutura da matemática, introdução à teoria dos números, álgebra e geometria de números complexos. Pré-requisito: Permanente no segundo ano. 3 h. (lec) 3 u. O curso não será oferecido a partir de AY 2020-2021. Em julho de 2020

22. Matemática 110.1 Álgebra abstrata I. Grupos, grupos de homomorfismo de grupo, grupos de permutação, grupos de fatores, anéis, homomorfismo de anel, ideais, introdução de domínios integrais a campos, campo de quociente. Pré-requisitos: Math 108 / equiv ou COI. 3 h. (lec) 3 u.

23. Matemática 110.2 Álgebra Abstrata II. Matrizes de transformações lineares de espaços vetoriais diagonalizabilidade autovalores e autovetores matrizes normais de espaços de produto interno. Pré-requisito: Matemática 110.1. 3 h. (lec) 3 u.

24. Matemática 110.3 Álgebra abstrata III. Anéis polinomiais e extensões de campo de fatoração, campos de divisão, campos finitos, automorfismos de campo - introdução à teoria de Galois. Pré-requisito: Matemática 110.1. 3 h. (lec) 3 u.

25. Matemática 117 Teoria Elementar dos Números. Propriedades de soluções de teorema de fatoração única de divisibilidade de inteiros de raízes primitivas de sistemas de resíduos de congruências e as soluções de lei de reciprocidade quadrática de equações diofantinas. Pré-requisitos: Math 108 / equiv ou COI. 3 h. (lec) 3 u.

26. Matemática 122 Equações diferenciais e aplicações. Equações diferenciais ordinárias de primeira ordem (EDOs) homogêneos e não homogêneos sistemas ODEs lineares de segunda ordem de soluções de séries de equações lineares de ODEs análise de estabilidade de EDOs não lineares Laplace transforma aplicações de EDOs. Pré-requisitos: Matemática 22 / equiv ou Matemática 30 / equiv. 3 h. (lec) 3 u.

27. Matemática 123.1 Cálculo avançado I. O ponto do sistema de número real define sequências de topologia de limites de números reais e continuidade a derivada as sequências integrais de Riemann de convergência uniforme de funções. Pré-requisitos: Math 23 / equiv e Math 108 / equiv ou COI. 3 h. (lec) 3 u.

28. Matemática 123.2 Cálculo Avançado II. Séries de números reais, séries de funções dão poder à topologia de serie de R! limites e continuidade e diferenciabilidade de funções de várias variáveis ​​teoremas de função implícita e inversa de integração múltipla transformações integrais impróprias. Pré-requisito: Math 123.1. 3 h. (lec) 3 u.

29. Matemática 126 Análise Real. Propriedades de números reais integrais de funções escalonadas Teoremas de convergência integral de Lebesgue funções mensuráveis ​​conjuntos mensuráveis ​​tópicos selecionados. Pré-requisito: Math 123.1. 3 h. (lec) 3 u.

30. Math 128 Complex Analysis. Números complexos e funções analíticas de propriedades e as equações de Cauchy-Riemann representação de séries de potência de funções analíticas integração complexa Fórmula integral de Cauchy e suas conseqüências singularidades, séries de Laurent e aplicações de resíduos para integrais definidas. Pré-requisitos: Math 123.1 / equiv. 3 h. (lec) 3 u.

31. Matemática 131 Teoria Elementar dos Conjuntos. Axiomas da Teoria dos Conjuntos relações e funções números naturais, números cardinais e ordenações e ordinais do Axioma da Escolha. Pré-requisito: Matemática 110.1. 3 h. (lec) 3 u. Este curso é proposto para a abolição.

32. Matemática 133 Introdução à Modelagem Matemática. Visão geral da modelagem matemática modelos discretos ajuste de modelos lineares de programação linear e modelos contínuos não lineares de otimização de métodos numéricos de modelos contínuos. Pré-requisitos: CS 11 / equiv e Math 122 / equiv. 3 h. (lec) 3 u.

33. Matemática 140 Introdução às Geometrias Modernas. Desenvolvimento de geometrias modernas geometrias finitas transformações geométricas geometrias projetivas geometrias não euclidianas. Pré-requisitos: Math 108 / equiv ou COI. 3 h. (lec) 3 u. Em julho de 2020

34. Math 142 Elementary Topology. Funções contínuas de espaços topológicos e axiomas de separação de compacidade e conectividade de homeomorfismos. Pré-requisitos: Math 123.1 ou COI. 3 h. (lec) 3 u.

35. Matemática 146 Introdução à geometria diferencial. Cálculo de topologia elementar de várias curvas variáveis ​​e teoremas de superfícies das formas diferenciais de Stokes e Gauss. Pré-requisitos: Math 23 / equiv e Math 140 / equiv ou COI. 3 h. (lec) 3 u.

36. Matemática 147 Introdução à geometria algébrica. Variedades projetivas de curvas algébricas e elípticas. Pré-requisitos: Math 110.1 e Math 140. 3 h. (lec) 3 u.

37. Matemática 148 Introdução à Geometria Projetiva. Planos e espaços projetivos. Pré-requisitos: Math 110.1 e Math 140. 3 h. (lec) 3 u.

38. Matemática 150.1 Estatística Matemática I.Distribuições de probabilidade de probabilidade combinatória distribuições conjuntas e condicionais de variáveis ​​aleatórias distribuições de funções de variáveis ​​aleatórias funções geradoras de momento de expectativa matemática distribuições de amostragem. Pré-requisitos: Matemática 23 / equiv e Stat 101 / equiv. 3 h. (lec) 3 u.

39. Matemática 150.2 Estatística Matemática II. Estimativa de distribuições limitantes de testes de parâmetros de regressão de hipóteses e análise de correlação de aplicações de variância. Pré-requisito: Math 150.1. 3 h. (lec) 3 u.

40. Math 157 Discrete Mathematical Structures. Fundamentos da teoria dos conjuntos, relações algébricas, algoritmos combinatórios, estruturas algébricas e suas aplicações em ciência da computação. Pré-requisito: Matemática 54. 3 h. (lec) 3 u. O curso não será oferecido a partir de AY 2020-2021.

41. Matemática 158 Introdução à Matemática Discreta. Permutações e combinações binomiais e coeficientes multinomiais o Princípio de Inclusão e Exclusão de gráficos e suas famílias de propriedades de gráficos, distância e conectividade de gráficos, tópicos selecionados em matemática discreta. Pré-requisitos: Math 108 / equiv ou COI. 3 h. (lec) 3 u.

42. Matemática 162 Teoria do Interesse. Juros simples compostos de juros, cronogramas de amortização de anuidades de juros contínuos e títulos de fundos de amortização e outros tópicos especiais de títulos. Pré-requisitos: Matemática 22 / equiv ou Matemática 30 / equiv. 3 h. (lec) 3 u.

43. Math 164 Mathematics of Life Contingencies. Teoria matemática de contingências de vida envolvendo funções de uma única vida, mortalidade, anuidades vitalícias e reservas de seguros, fator de despesas teoria da população. Pré-requisitos: Math 150.1 / equiv e Math 164 / equiv. 3 h. (lec) 3 u.

44. Math 166 Mathematics of Finance. Ações a termo de imunização do mercado de títulos e opções de futuros, incluindo preços binomiais e gregos de preços Black-Scholes de opções, swaps e hedging e estratégias de investimento. Pré-requisito: Matemática 162. 3 h. (lec) 3 u.

45. Matemática 171 Introdução à Análise Numérica. Solução de análise de erros de uma única equação não linear solução de sistemas de equações solução de séries de equações diferenciais ordinárias. Pré-requisitos: Math 122 / equiv e Math 110.2 / equiv. 3 h. (lec) 3 u.

46. ​​Math 180.1 Operations Research I. Introdução à programação linear os métodos simplex análise de sensibilidade da dualidade programação inteira programação não linear. Math 40 / equiv. 3 h. (lec) 3 u.

47. Math 180.2 Pesquisa Operacional II. Revisão da teoria da probabilidade Modelos estocásticos - introdução das cadeias de Markov à teoria das filas - introdução aos jogos de simulação, substituição e teoria da confiabilidade. Pré-requisitos: Math 180.1 e Math 150.1. 3 h. (lec) 3 u.

48. Matemática 190 Introdução à Pesquisa Matemática e Redação. Princípios básicos e melhores práticas de pesquisa matemática e escrita. Pré-requisito: Junior Standing. 2 h. (lec) 2 u.

49. Matemática 196 Seminário de Graduação. Pré-requisito: Junior Standing. 1 u. O curso não será oferecido a partir de AY 2020-2021.

50. Matemática 197 Tópicos Especiais. Pré-requisitos: COI. 3 u. (pode ser feito no máximo três vezes, desde que os tópicos sejam tópicos diferentes a serem especificados)

51. Tese de Graduação em Matemática 200. Pré-requisitos: Posição sênior. 3 u.

1. Conceitos e técnicas de matemática 201 em álgebra abstrata. Grupos, anéis e homomorfismo. Pré-requisito: Math 109 / COI. 3 h. (lec) 3 u.

2. Matemática 202.1 Análise I. Números reais, sequências de números reais e limites, continuidade de funções, derivadas, integral de Riemann. Pré-requisitos: COI. 3 h. (lec) 3 u.

3. Matemática 202.2 Análise II. Espaço euclidiano n-dimensional, funções de várias variáveis, derivadas parciais, integrais múltiplas, funções de valores complexos e suas derivadas. Pré-requisito: Math 202.1. 3 h. (lec) 3 u.

4. Matrizes e aplicações do Math 203. Sistemas lineares de equações e matrizes, operações matriciais, determinantes, espaços vetoriais, transformações lineares, autovalores, autovetores, aplicações. Pré-requisitos: COI. 3 h. (lec) 3 u.

5. Matemática 204 Geometria Clássica e Moderna. Geometrias finitas, geometrias euclidiana e não euclidiana, geometria projetiva, transformações geométricas. Pré-requisitos: COI. 3 h. (lec) 3 u.

6. Matemática 205 Conceitos e métodos em probabilidade e estatística. Estatística descritiva, probabilidade e distribuição de probabilidade, teoria da amostragem, estimativa e teste de hipótese, correlação linear e análise de regressão. Pré-requisitos: COI. 3 h. (lec) 3 u.

7. Matemática 208 História e Desenvolvimento dos Conceitos Fundamentais da Matemática. Pré-requisitos: COI. 3 h. (lec) 3 u.

8. Matemática 209.1 Tópicos selecionados em matemática aplicada. Pré-requisitos: COI. 3 h. (lec) 3 u.

9. Matemática 209.2 Tópicos selecionados em matemática discreta. Pré-requisito: Matemática 201. 3 h. (lec) 3 u

10. Matemática 210.1 Álgebra Moderna I. Semigrupos e grupos agrupam grupos de campos com operadores. Tópicos selecionados. Pré-requisitos: COI. 3 h. (lec) 3 u.

11. Matemática 210.2 Álgebra Moderna II. Uma continuação da Matemática 210.1. Pré-requisito: Math 210.1. 3 h. (lec) 3 u.

12. Matemática 211 Álgebra Linear. Espaços vetoriais, teorema de mapeamentos lineares de módulos de Hamilton-Cayley sobre domínios ideais principais Jordan forma canônica, forma canônica racional formas bilineares, produtos internos lei da inércia, teorema espectral formas multilineares produtos tensores. Pré-requisitos: Matemática 110.2 / 114 / COI. 3 h. (lec) 3 u.

13. Matemática 212 Teoria dos Grupos. Pré-requisitos: COI. 3 h. (lec) 3 u. Este curso é proposto para a abolição.

14. Matemática 213 Teoria dos Anéis. Pré-requisitos: COI. 3 h. (lec) 3 u. Este curso é proposto para a abolição.

15. Matemática 214 Teoria das Matrizes. Pré-requisitos: COI. 3 h. (lec) 3 u.

16. Math 216 Lie Groups e Lie Algebras. Grupos de Lie de matriz clássica, álgebras de Lie de grupos de Lie, álgebras nilpotentes e solúveis, álgebras semisimples, representações. Pré-requisito: Math 210.1. 3 h. (lec) 3 u.

17. Matemática 217 Teoria dos Números. Congruências Lineares, Teoremas de Euler e de Wilson, Resíduos Quadráticos, Lei da Reciprocidade Quadrática, Símbolos de Jacobi e Kronocker, Equação de Polian, Binário Positivo e Formas Quadráticas Ternárias. Teoria das somas de dois e três quadrados. Pré-requisitos: COI. 3 h. (lec) 3 u.

18. Matemática 218 Teoria dos Números Algébricos. Campos de números algébricos inteiros algébricos básicos e discriminantes teorema fundamental sobre a decomposição de classes ideais ideais teorema de Minkowski as unidades de fórmula de classe último teorema de Fermat. Tópicos selecionados. Pré-requisitos: COI. 3 h. (lec) 3 u.

19. Matemática 220.1 Teoria das funções de uma variável real I. Lebesgue e outras teorias de medida de diferenciação de integrais. Pré-requisitos: Math 123.1, COI. 3 h. (lec) 3 u

20. Matemática 220.2 Teoria das funções de uma variável real II. Continuação da matemática 220.1. Tópicos selecionados. Pré-requisito: Math 220.1. 3 h. (lec) 3 u.

21. Matemática 221 Equações diferenciais parciais. Equações de primeira e segunda ordem. Função de Green. Problemas de valor limite. Pré-requisitos: COI. 3 h. (lec) 3 u.

22. Matemática 222 Teoria da Aproximação. Teorema de Taylor, teorema de aproximação de Weierstrass, aproximação em espaços de Hilbert, Série de Fourier e transformada de Fourier, teoremas diretos e inversos, interpolação algébrica e trigonométrica, teoria de amostragem de Whittaker-Shannon, análise de wavelet. Pré-requisitos: Math 220.1 / COI. 3 h. (lec) 3 u.

23. Teoria de controle matemática 224. Elementos do cálculo das variações. Teoria de controle ótimo ingênua Análise funcional Teoria de controle ótimo generalizado O princípio do máximo de Pontrjagin para controles de vibração Problemas de pesquisa. Pré-requisitos: Math 126, 142 / COI. 3 h. (lec) 3 u.

24. Matemática 227 Cálculo da variação. Equações de Euler. Condições de Legendre. Condições de Jacobi. Problemas isoperimétricos. Métodos de Lagrange. Princípio de Dirichlet. Pré-requisitos: COI. 3 h. (lec) 3 u.

25. Matemática 228 Teoria das funções de uma variável complexa. Funções analíticas teoria da função geométrica continuação analítica Teorema do Mapeamento de Riemann. Pré-requisitos: COI. 3 h. (lec) 3 u.

26. Matemática 229 Análise Funcional. Operadores lineares, funcionais lineares, espaços lineares topológicos, espaços normados, espaços de Hilbert, equações funcionais, medidas de Radon, equações diferenciais parciais distributivas e lineares e análise espectral. Pré-requisito: Math 220.1. 3 h. (lec) 3 u.

27. Math 235 Mathematics in Population Biology. Modelos populacionais contínuos e discretos para espécies únicas, modelos para populações em interação, modelos evolutivos, dinâmica de doenças infecciosas. Pré-requisito: Matemática 121.1 / equiv / COI. 3 h. (lec) 3 u.

28. Math 236 Mathematics in Biological Processes. Osciladores e interruptores biológicos, osciladores perturbados e acoplados, difusão de reação, cinética enzimática, quimiotaxia, modelos de sistemas circadianos, redes celulares acopladas. Pré-requisitos: COI. 3 h. (lec) 3 u.

29. Math 240 Geometric Crystallography. Isometrias, grupos de frisos, grupos cristalográficos, reticulados e sub-redes invariantes, grupos finitos de isometrias, classes geométricas e aritméticas de cristais. Pré-requisitos: Math 210.1 / equiv. 3 h. (lec) 3 u.

30. Matemática 241 Geometria Hiperbólica. Transformações de Moebius, plano hiperbólico e métrica hiperbólica, geometria das geodésicas, trigonometria hiperbólica, grupos de isometrias no plano hiperbólico. Pré-requisitos: Math 210.1 / equiv. 3 h. (lec) 3 u.

31. Math 242 General Topology. A teoria da convergência dos espaços métricos dos espaços topológicos baseia-se nos axiomas da contagem dos subespaços homeomorfismos Tópicos selecionados. Pré-requisitos: COI. 3 h. (lec) 3 u.

32. Matemática 243 Topologia Algébrica. Homotopia, grupo fundamental, homologia singular, complexos simpliciais, teoremas de grau e ponto fixo. Pré-requisito: Matemática 242. 3 h. (lec) 3 u.

33. Matemática 246 Geometria diferencial. Teoria clássica de curvas e superfícies. Mapeamentos de superfícies. Estruturas diferenciais. Grupos de mentiras e feixes de quadros. Pré-requisito: Math 123.2 / COI. 3 h. (lec) 3 u.

34. Matemática 247 Geometria Algébrica. O espaço projetivo geral. Colineação e correlações em um espaço projetivo. Variedades algébricas. Curvas planas. Transformação quadrática de sistemas de curvas planas. Pré-requisitos: COI. 3 h. (lec) 3 u.

35. Matemática 249 Tópicos selecionados em geometria e topologia. Pré-requisitos: COI. 3 h. (lec) 3 u. (tópico a ser especificado para fins de registro)

36. Math 250 Probability Theory. Variáveis ​​aleatórias, leis dos grandes números, distribuições de probabilidade especiais, teorema do limite central, cadeias de Markov, processo de Poisson, martingales. Pré-requisitos: Math 220.1 / COI. 3 h. (lec) 3 u.

37. Math 255 Mathematics of Decision Making. Algumas aplicações de estatísticas Bayesianas, uso de experimentos em problemas de decisão, tomada de decisão e compartilhamento de risco. Pré-requisito: Matemática 155. 3 h. (lec) 3 u. Este curso é proposto para a abolição.

38. Math 258 Combinatorial Mathematics. Permutações e combinações. Gerando funções. Princípio de inclusão e exclusão. Relações de recorrência. Ocupação. Matrizes de zeros e uns. Partições. Quadrados latinos ortogonais. Projetos combinatórios. Pré-requisitos: COI. 3 h. (lec) 3 u.

39. Matemática 260 Teoria e Prática Atuarial. Teoria da vida múltipla, teoria do decréscimo múltiplo, aplicações da teoria do decréscimo múltiplo, teoria do risco, teoria da ruína e introdução à teoria da credibilidade. Pré-requisito: Math 164 / COI. 3 h. (lec) 3 u.

40. Math 261 Survival and Loss Models. Função de taxa de risco, análise de vários modelos de sobrevivência e perda, teoria da credibilidade. Pré-requisito: Math 164 / COI. 3 h. (lec) 3 u.

41. Matemática 262.1 Ciência Atuarial I. Prêmios brutos e participações de ativos, valores não confiscados, análise de despesas, distribuição de excedentes, avaliação de passivos, processo de desenvolvimento de produtos, introdução à contabilidade de seguro de vida. Pré-requisito: Math 261 / COI. 3 h. (lec) 3 u.

42. Matemática 262.2 Ciências Atuariais II. Seleção de riscos, resseguro, introdução à análise de investimentos e gestão financeira, código de seguros, princípios atuariais em ramos especiais de seguros. Pré-requisitos: Math 262.1 / COI. 3 h. (lec) 3 u.

43. Matemática 265 Cálculo Estocástico. Expectativas condicionais, martingales, movimento browniano, integral de Ito, fórmula de Ito, equação diferencial estocástica, teorema de Girsanov, aplicações em finanças matemáticas. Pré-requisitos: Math 150.1 / COI. 3 h. (lec) 3 u.

44. Math 266 Mathematical Finance. Modelo de precificação de ativos binomial, opções vanilla, opções exóticas, opções americanas, probabilidades de arbitragem, lucros e perdas, taxas de juros estocásticas. Pré-requisito: Matemática 265 / COI. 3 h. (lec) 3 u.

45. Matemática 271.1 Análise Numérica I. Representação de ponto flutuante, números de condição, métodos iterativos para resolver sistemas de equações lineares e não lineares, integração numérica, álgebra linear numérica. Pré-requisito: Math 171 / COI. 3 h. (lec) 3 u.

46. ​​Matemática 271.2 Análise Numérica II. Métodos numéricos para equações diferenciais ordinárias, métodos de diferença finita para equações de diferenças parciais, métodos numéricos para leis de conservação, métodos multi-grade. Pré-requisitos: Matemática 271.1 / COI. 3 h. (lec) 3 u.

47. Math 272 Automata Theory. Autômatos de estados finitos. Expressões regulares, decomposição de autómatos finitos e sua realização. Máquinas de Turing. Introdução às linguagens formais. Pré-requisitos: COI. 3 h. (lec) 3 u. Este curso é proposto para a abolição.

48. Matemática 276 Introdução à Simulação de Computador. Introdução à simulação computacional de sistemas teóricos e processos em tempo real. Exemplos de simulação para a resolução de problemas teóricos e práticos em vários campos de aplicação. Pré-requisitos: COI. 3 h. (lec) 3 u. Este curso é proposto para a abolição.

49. Programação Linear do Math 280. Método simplex, dualidade, geometria de programas lineares, programação paramétrica, decomposição e variáveis ​​de limite superior. Pré-requisito: Matemática 40 / equiv. 3 h. (lec) 3 u. O pré-requisito foi proposto para revisão, de Math 114 e Math 180.2 para Math 40 / equiv.

50. Math 281 Nonlinear Programming. Propriedades de conjuntos e funções convexas. Otimização irrestrita. Teorema de Kuhn-Tucker. Multiplicadores de Lagrange. Teoremas do ponto de sela. Algoritmos. Pré-requisitos: COI. 3 h. (lec) 3 u.

51. Math 282 Programação Inteira e Otimização Combinatória. Aplicações de programação inteira. Algoritmos de plano de corte duplo e primário convergentes. Métodos de limite de ramificação. Unimodularidade total e o problema de transporte. Aplicações da teoria dos grafos à programação matemática. Pré-requisitos: Matemática 280 / equiv. 3 h. (lec) 3 u.

52. Matemática 283 Programação Dinâmica Aplicada. Problemas de decisão determinística Métodos analíticos e computacionais Aplicações a problemas de substituição de equipamento, alocação de recursos, programação, pesquisa e encaminhamento. Pré-requisito: GS / COI. 3 h. (lec) 3u.

53. Matemática 285 Introdução à Otimização Estocástica. Teoria da probabilidade e aplicações à classificação por cadeias de Markov de tempo discreto e contínuo, métodos algébricos de estados, processos de nascimento e morte, teoria da renovação, teoremas de limite. Pré-requisitos: Math 114, 150,1. 3 h. (lec) 3 u.

54. Math 286 Finite Graphs and Networks. Teoria básica dos grafos e aplicações para fluxos de problemas de caminhos ótimos em problemas combinatórios de rede. Pré-requisito: Math 285 / COI. 3 h. (lec) 3 u.

55. Math 288 Otimização Numérica. Métodos de tipo de descida determinística, métodos de otimização estocástica, implementação numérica. Pré-requisitos: Matemática 271.1 / COI. 3 h. (lec) 3 u.

56. Artigo de Pesquisa Matemática 290 em Matemática Universitária. Pré-requisitos: COI. 3 h. (lec) 3 u.

57. Math 294 Independent Study. Pode ser creditado uma vez no M.S. Programas de Matemática / Matemática Aplicada e duas vezes no Ph.D. Programa de matemática. 3 u.

58. Projeto Especial do Math 295. Pré-requisitos: COI. 3 u.

59. Seminário de Graduação em Matemática 296. Pré-requisitos: COI. 1 u.

60. Tópicos especiais de matemática 297. Pré-requisitos: COI. 3 h. (lec) 3 u. (pode ser feito no máximo três vezes o tópico a ser especificado para fins de registro)


Cursos de pós-graduação abertos à graduação

Os alunos qualificados podem fazer determinados cursos de matemática no Centro de Ciência de Dados (CDS) e na Escola de Pós-Graduação em Artes e Ciências (GSAS), desde que obtenham permissão do diretor de estudos de graduação ou vice-presidente de assuntos de graduação. Alguns desses cursos estão listados abaixo. Os alunos devem consultar o Boletim GSAS e os sites do CDS e do Departamento de Matemática para os pré-requisitos, pontos por curso e descrições. Se esses cursos forem usados ​​para o cumprimento dos requisitos do bacharelado, nenhum crédito de pós-graduação avançado será permitido para eles no CNS ou GSAS.

CENTRO DE DATA SCIENCE

Introdução à Ciência de Dados
DS-GA 1001, 1002

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA (MÉTODOS ESTATÍSTICOS E MATEMÁTICOS)

Computação em Finanças
MATH-GA 2041

Computação Científica
MATH-GA 2043

Métodos Computacionais para Finanças
MATH-GA 2045

Modelagem Econométrica Avançada e Big Data
MATH-GA 2046

Computação Científica em Finanças
MATH-GA 2048

Topologia I
MATH-GA 2310

Geometria Diferencial I
MATH-GA 2350

Equações diferenciais ordinárias
MATH-GA 2470

Equações diferenciais parciais I
MATH-GA 2490

Fluid Dynamics
MATH-GA 2702

Análise Estocástica Aplicada
MATH-GA 2704

Análise de série temporal e arbitragem estatística
MATH-GA 2707

Negociação Algorítmica e Estratégias Quantitativas
MATH-GA 2708

Mecânica
MATH-GA 2710

Gestão de Risco e Portfólio com Econometria
MATH-GA 2751


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