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13.1E: Problemas de valor limite (exercícios) - matemática


Q13.1.1

1. Verifique se (B_ {1} ) e (B_ {2} ) são operadores lineares; ou seja, se (c_ {1} ) e (c_ {2} ) são constantes, então [B_ {i} (c_ {1} y_ {1} + c_ {2} y_ {2}) = c_ {1} B_ {i} (y_ {1}) + c_ {2} B_ {i} (y_ {2}), quad i = 1,2. nonumber ]

Q13.1.2

Em Exercícios 13.1.2-13.1.7 resolver o problema do valor limite.

2. (y '' - y = x ), (y (0) = - 2 ), (y (1) = 1 )

3. (y '' = 2-3x ), (y (0) = 0 ), (y (1) -y '(1) = 0 )

4. (y '' - y = x ), (y (0) + y '(0) = 3 ), (y (1) -y' (1) = 2 )

5. (y '' + 4y = 1 ), (y (0) = 3 ), (y ( pi / 2) + y '( pi / 2) = - 7 )

6. (y '' - 2y '+ y = 2e ^ {x} ), (y (0) -2y' (0) = 3 ), (y (1) + y '(1) = 6e )

7. (y '' - 7y '+ 12y = 4e ^ {2x} ), (y (0) + y' (0) = 8 ), (y (1) = - 7e ^ {2 } ) (ver Exemplo 13.1.5)

Q13.1.3

8. Enuncie uma condição em (F ) de modo que o problema do valor limite [y '' = F (x), quad y (0) = 0, quad y (1) -y '(1) = 0 nonumber ] tem uma solução e encontre todas as soluções.

9.

  1. Declare uma condição em (a ) e (b ) de modo que o problema do valor limite [y '' + y = F (x), quad y (a) = 0, quad y (b) = 0 tag {A} ] tem uma solução única para cada contínuo (F ), e encontre a solução pelo método usado para provar o Teorema 13.1.3
  2. No caso em que (a ) e (b ) não satisfazem a condição que você deu para (a), declare necessário e suficiente em (F ) de modo que (A) tenha uma solução e encontre todos soluções pelo método usado para provar o Teorema 13.1.4.

10. Siga as instruções em Exercício 13.1.9 para o problema do valor limite [y '' + y = F (x), quad y (a) = 0, quad y '(b) = 0. nonumber ]

11. Siga as instruções em Exercício 13.1.9 para o problema do valor limite [y '' + y = F (x), quad y '(a) = 0, quad y' (b) = 0. nonumber ]

Q13.1.4

Em Exercícios 13.1.12-13.1.15 encontre uma fórmula para a solução do problema de fronteira pelo método usado para provar o Teorema 13.1.3. Suponha que (a

12. (y '' - y = F (x) ), (y (a) = 0 ), (y (b) = 0 )

13. (y '' - y = F (x) ), (y (a) = 0 ), (y '(b) = 0 )

14. (y '' - y = F (x) ), (y '(a) = 0 ), (y' (b) = 0 )

15. (y '' - y = F (x) ), (y (a) -y '(a) = 0 ), (y (b) + y' (b) = 0 )

Q13.1.5

Em Exercícios 13.1.16-13.1.19 encontre todos os valores de ( omega ) de forma que o problema de contorno tenha uma solução única e encontre a solução pelo método usado para provar o Teorema 13.1.3. Para outros valores de ( omega ), encontre as condições em (F ) de modo que o problema tenha uma solução, e encontre todas as soluções pelo método usado para provar o Teorema 13.1.4.

16. (y '' + omega ^ {2} y = F (x) ), (y (0) = 0 ), (y ( pi) = 0 )

17. (y '' + omega ^ {2} y = F (x) ), (y (0) = 0 ), (y '( pi) = 0 )

18. (y '' + omega ^ {2} y = F (x) ), (y '(0) = 0 ), (y ( pi) = 0 )

19. (y '' + omega ^ {2} y = F (x) ), (y '(0) = 0 ), (y' ( pi) = 0 )

Q13.1.6

20. Seja ( {z_ {1}, z_ {2} } ) um conjunto fundamental de soluções de (Ly = 0 ). Dado que o problema do valor limite homogêneo [Ly = 0, quad B_ {1} (y) = 0, quad B_ {2} (y) = 0 nonumber ] tem uma solução não trivial, expresse-a explicitamente em termos de (z_ {1} ) e (z_ {2} ).

21. Se o problema do valor limite tem uma solução para cada contínuo (F ), encontre a função de Green para o problema e use-a para escrever uma fórmula explícita para a solução. Caso contrário, se o problema do valor de contorno não tiver uma solução para cada contínuo (F ), encontre uma condição necessária e suficiente em (F ) para que o problema tenha uma solução e encontre todas as soluções. Suponha que (a

  1. (y '' = F (x) ), (y (a) = 0 ), (y (b) = 0 )
  2. (y '' = F (x) ), (y (a) = 0 ), (y '(b) = 0 )
  3. (y '' = F (x) ), (y '(a) = 0 ), (y (b) = 0 )
  4. (y '' = F (x) ), (y '(a) = 0 ), (y' (b) = 0 )

22. Encontre a função de Green para o problema do valor de contorno [y '' = F (x), quad y (0) -2y '(0) = 0, quad y (1) + 2y' (1) = 0 tag {A} ] Em seguida, use a função de Green para resolver (A) com

  1. (F (x) = 1 ),
  2. (F (x) = x ), e
  3. (F (x) = x ^ {2} ).

23. Encontre a função de Green para o problema do valor limite [x ^ {2} y '' + xy '+ (x ^ {2} -1/4) y = F (x), quad y ( pi / 2) = 0, quad y ( pi) = 0, tag {A} ] dado que [y_ {1} (x) = frac { cos x} { sqrt {x}} quad text {e} quad y_ {2} (x) = frac { sin x} { sqrt {x}} nonumber ] são soluções da equação complementar. Em seguida, use a função de Green para resolver (A) com

  1. (F (x) = x ^ {3/2} ) e
  2. (F (x) = x ^ {5/2} ).

24. Encontre a função de Green para o problema do valor de contorno [x ^ {2} y '' - 2xy '+ 2y = F (x), quad y (1) = 0, quad y (2) = 0, tag {A} ] dado que ( {x, x ^ {2} } ) é um conjunto fundamental de soluções da equação complementar. Em seguida, use a função de Green para resolver (A) com

  1. (F (x) = 2x ^ {3} ) e
  2. (F (x) = 6x ^ {4} ).

25. Encontre a função de Green para o problema do valor de contorno [x ^ {2} y '' + xy'-y = F (x), quad y (1) -2y '(1) = 0, quad y '(2) = 0, tag {A} ] dado que ( {x, 1 / x } ) é um conjunto fundamental de soluções da equação complementar. Em seguida, use a função de Green para resolver (A) com

  1. (F (x) = 1 ),
  2. (F (x) = x ^ {2} ), e
  3. (F (x) = x ^ {3} ).

Q13.1.7

Em Exercícios 13.1.26-13.1.30 encontre as condições necessárias e suficientes em ( alpha, β, ρ ) e (δ ) para que o problema do valor de contorno tenha uma solução única para cada contínuo (F ) e encontre a função de Green.

26. (y '' = F (x) ), ( alpha y (0) + beta y '(0) = 0 ), ( rho y (1) + delta y' ( 1) = 0 )

27. (y '' + y = F (x) ), ( alpha y (0) + beta y '(0) = 0 ), ( rho y ( pi) + delta y '( pi) = 0 )

28. (y '' + y = F (x) ), ( alpha y (0) + beta y '(0) = 0 ), ( rho y ( pi / 2) + delta y '( pi / 2) = 0 )

29. (y '' - 2y '+ 2y = F (x) ), ( alpha y (0) + beta y' (0) = 0 ), ( rho y ( pi) + delta y '( pi) = 0 )

30. (y '' - 2y '+ 2y = F (x) ), ( alpha y (0) + beta y' (0) = 0 ), ( rho y ( pi / 2) + delta y '( pi / 2) = 0 )

Q13.1.8

31. Encontre as condições necessárias e suficientes em ( alpha ), ( beta ), ( rho ) e ( delta ) para o problema de valor de contorno [y '' - y = F (x), quad alpha y (a) + beta y '(a) = 0, quad rho y (b) + delta y' (b) = 0 tag {A} ] para ter uma solução única para cada (F ) contínuo e encontre a função de Green para (A). Suponha que (a

32. Mostre que as suposições do Teorema 13.1.3 implicam que a solução única de [Ly = F, quad B_ {1} (y) = k_ {1}, quad B_ {2} (y) = f_ { 2} nonumber ] is [y = int_ {a} ^ {b} G (x, t) F (t) , dt + frac {k_ {2}} {B_ {2}} (y_ {1}) y_ {1} + frac {k_ {1}} {B_ {1} (y_ {2})} y_ {2}. Não numérico ]


13.1E: Problemas de valor limite (exercícios) - matemática

Ok, finalmente é hora de resolver completamente uma equação diferencial parcial. Na seção anterior, aplicamos a separação de variáveis ​​a várias equações diferenciais parciais e reduzimos o problema à necessidade de resolver duas equações diferenciais ordinárias. Nesta seção, agora resolveremos essas equações diferenciais ordinárias e usaremos os resultados para obter uma solução para a equação diferencial parcial. Estaremos nos concentrando na equação do calor nesta seção e faremos a equação da onda e a equação de Laplace nas seções posteriores.

O primeiro problema que veremos será a distribuição da temperatura em uma barra com limites de temperatura zero. Faremos o trabalho em algumas etapas para que possamos tomar nosso tempo e ver como tudo funciona.

A primeira coisa que precisamos fazer é encontrar uma solução que satisfaça a equação diferencial parcial e as condições de contorno. Neste ponto, não vamos nos preocupar com a condição inicial. A solução que obteremos primeiro não irá satisfazer a grande maioria das condições iniciais, mas como veremos, pode ser usada para encontrar uma solução que irá satisfazer uma condição inicial suficientemente boa.

Ok, a primeira coisa que tecnicamente precisamos fazer aqui é aplicar a separação de variáveis. Mesmo que tenhamos feito isso na seção anterior, vamos recapitular aqui o que fizemos.

Primeiro, supomos que a solução terá a forma,

[Você saiu( direita) = varphi esquerda (x direita) G esquerda (t direita) ]

e inserimos isso na equação diferencial parcial e nas condições de contorno. Separamos a equação para obter uma função de apenas (t ) de um lado e uma função de apenas (x ) do outro lado e, em seguida, introduzimos uma constante de separação. Isso nos deixa com duas equações diferenciais ordinárias.

Fizemos tudo isso no Exemplo 1 da seção anterior e as duas equações diferenciais ordinárias são,

A equação dependente do tempo pode realmente ser resolvida a qualquer momento, mas uma vez que não sabemos o que ( lambda ) ainda é, vamos segurá-la. Observe também que, em muitos problemas, apenas o problema do valor limite pode ser resolvido neste ponto, então nem sempre espere ser capaz de resolver qualquer um deles neste ponto.

A equação espacial é um problema de valor limite e sabemos pelo nosso trabalho no capítulo anterior que ela só terá soluções não triviais (que queremos) para certos valores de ( lambda ), que lembraremos serem chamados autovalores. Assim que tivermos esses, podemos determinar as soluções não triviais para cada ( lambda ), ou seja, autofunções.

Agora, nós realmente resolvemos o problema espacial,

no Exemplo 1 da seção Autovalores e Autofunções do capítulo anterior para (L = 2 pi ). Então, como resolvemos isso uma vez para um (L ) específico e o trabalho não é muito diferente para um (L ) geral, não vamos dar muitas explicações aqui e se você precisa de um lembrete sobre como algo funciona ou por que fizemos algo, volte ao Exemplo 1 da seção Valores próprios e funções próprias para um lembrete.

Temos três casos para tratar, então vamos continuar.

( underline < lambda & gt 0> )
Neste caso, sabemos que a solução para a equação diferencial é,

A aplicação da primeira condição de contorno dá,

Agora, aplicando a segunda condição de contorno, e usando o resultado acima, é claro, dá,

[0 = varphi left (L right) = sin left ( certo)]

Agora, estamos atrás de soluções não triviais e isso significa que devemos ter,

[ sin left ( right) = 0 hspace <0.25in> Rightarrow hspace <0.25in> L sqrt lambda = n pi hspace <0.25in> n = 1,2,3, ldots ]

Os autovalores positivos e suas autofunções correspondentes deste problema de valor de contorno são, então,

Observe que não precisamos do () na autofunção, pois será apenas absorvido por outra constante que iremos pegar mais tarde.

( underline < lambda = 0> )
A solução para a equação diferencial neste caso é,

A aplicação das condições de contorno dá,

[0 = varphi left (0 right) = hspace <0.25in> 0 = varphi left (L right) = L hspace <0.25in> Rightarrow hspace <0.25in> = 0]

Portanto, neste caso, a única solução é a solução trivial e, portanto, ( lambda = 0 ) não é um autovalor para este problema de valor de contorno.

( underline < lambda & lt 0> )
Aqui, a solução para a equação diferencial é,

A aplicação da primeira condição de contorno dá,

e aplicando o segundo dá,

[0 = varphi left (L right) = sinh left ( > direita) ]

Então, estamos assumindo ( lambda & lt 0 ) e então (L sqrt <- lambda> ne 0 ) e isso significa ( sinh left ( > right) ne 0 ). Portanto, devemos ter ( = 0 ) e, portanto, só podemos obter a solução trivial neste caso.

Portanto, não haverá autovalores negativos para este problema de valor de contorno.

A lista completa de autovalores e autofunções para este problema são, então,

Agora vamos resolver a equação diferencial de tempo,

e observe que, embora agora saibamos ( lambda ), não vamos conectá-lo ainda para manter a bagunça no mínimo. No entanto, agora usaremos (< lambda _n> ) para nos lembrar que, na verdade, temos um número infinito de valores possíveis aqui.

Esta é uma equação diferencial linear simples (e separável) de 1ª ordem e, portanto, vamos permitir que você verifique se a solução é,

Ok, agora que resolvemos ambas as equações diferenciais ordinárias, podemos finalmente escrever uma solução. Observe, no entanto, que, de fato, encontramos infinitas soluções, uma vez que existem infinitas soluções (ou seja, autofunções) para o problema espacial.

Nossa solução de produto é, então,

Denotamos a solução do produto () para reconhecer que cada valor de (n ) produzirá uma solução diferente. Observe também que alteramos o (c ) na solução para o problema do tempo para () para denotar o fato de que provavelmente será diferente para cada valor de (n ) também e porque mantivemos o () com a autofunção, nós a teríamos absorvido no (c ) para obter uma única constante em nossa solução.

Então só temos isso. A função acima irá satisfazer a equação do calor e a condição de contorno de temperatura zero nas extremidades da barra.

O problema com essa solução é que ela simplesmente não satisfará quase todas as condições iniciais possíveis que poderíamos usar. Isso não significa, no entanto, que não haja pelo menos alguns que satisfará como o próximo exemplo ilustra.

  1. ( displaystyle f left (x right) = 6 sin left (< frac << pi x >>> right) )
  2. ( displaystyle f left (x right) = 12 sin left (< frac << 9 pi x >>> right) - 7 sin left (< frac << 4 pi x >>> right) )

Na verdade, isso é mais fácil do que parece. Tudo o que precisamos fazer é escolher (n = 1 ) e ( = 6 ) na solução do produto acima para obter,

e temos a solução de que precisamos. Esta é uma solução de produto para o primeiro exemplo e, portanto, satisfaz a equação diferencial parcial e as condições de contorno e irá satisfazer a condição inicial, pois inserir (t = 0 ) eliminará o exponencial.

Isso é quase tão simples quanto a primeira parte. Lembre-se do Princípio da Superposição de que se temos duas soluções para uma equação diferencial homogênea linear (que temos aqui), então a soma delas também é uma solução. Então, tudo o que precisamos fazer é escolher (n ) e () como fizemos na primeira parte para obter uma solução que satisfaça cada parte da condição inicial e, em seguida, somá-los. Fazer isso dá,

Deixaremos que você verifique se isso de fato satisfaz a condição inicial e as condições de contorno.

Então, vimos que nossa solução do primeiro exemplo irá satisfazer pelo menos um pequeno número de condições iniciais altamente específicas.

Agora, vamos estender um pouco a ideia que usamos na segunda parte do exemplo anterior para ver como podemos obter uma solução que irá satisfazer qualquer condição inicial suficientemente boa. O Princípio da Superposição, é claro, não se restringe a apenas duas soluções. Por exemplo, o seguinte também é uma solução para a equação diferencial parcial.

e observe que esta solução não irá apenas satisfazer as condições de contorno, mas também irá satisfazer a condição inicial,

Vamos estender isso ainda mais e considerar o limite como (M a infty ). Fazendo isso, nossa solução agora se torna,

Esta solução irá satisfazer qualquer condição inicial que possa ser escrita na forma,

[Você saiu( direita) = f esquerda (x direita) = soma limites_^ infty < sin left (< frac <>> direita)> ]

Isso ainda pode parecer muito restritivo, mas a série à direita deve parecer muito familiar para você depois do capítulo anterior. A série à esquerda é exatamente a série senoidal de Fourier que vimos naquele capítulo. Lembre-se também de que podemos escrever a série senoidal de Fourier para qualquer função suave por partes em (0 le x le L ).

Assim, desde que nossa condição inicial seja uniforme por partes após aplicar a condição inicial à nossa solução, podemos determinar o () como se estivéssemos encontrando a série senoidal de Fourier da condição inicial. Portanto, podemos proceder como fizemos naquela seção e usar a ortogonalidade dos senos para derivá-los ou podemos reconhecer que já fizemos esse trabalho e saber que os coeficientes são dados por,

Então, finalmente podemos resolver completamente uma equação diferencial parcial.

Não há realmente muito o que fazer aqui, já que fizemos a maior parte nos exemplos e na discussão acima.

Os coeficientes são dados por,

Se conectarmos, teremos a solução,

Isso quase parece anticlímax. Este foi um problema muito curto. Claro, parte disso aconteceu porque tínhamos uma condição inicial constante realmente simples e, portanto, a integral era muito simples. No entanto, não se esqueça de todo o trabalho que tivemos que colocar na discussão da série senoidal de Fourier, resolvendo problemas de valor de contorno, aplicando a separação de variáveis ​​e, em seguida, juntando tudo para chegar a este ponto.

Embora o exemplo em si seja muito simples, só foi simples por causa de todo o trabalho que tivemos de colocar para desenvolver as ideias que até nos permitiram fazer isso. Por ser "simples", muitas vezes é realmente obter essas soluções que não faremos mais com condições iniciais específicas. Em vez disso, vamos nos concentrar em simplesmente desenvolver as fórmulas que seríamos obrigados a avaliar a fim de obter uma solução real.

Então, dito isso, vamos passar para o próximo exemplo. Neste caso, vamos olhar novamente para a distribuição de temperatura em uma barra com limites perfeitamente isolados. Também não vamos mais dar passos. Faremos a solução completa como um único exemplo e terminaremos com uma solução que irá satisfazer qualquer condição inicial suave por partes.

Aplicamos a separação de variáveis ​​a esse problema no Exemplo 2 da seção anterior. Então, depois de assumir que nossa solução está na forma,

[Você saiu( direita) = varphi esquerda (x direita) G esquerda (t direita) ]

e aplicando a separação de variáveis ​​obtemos as seguintes duas equações diferenciais ordinárias que precisamos resolver.

Resolvemos o problema do valor de contorno no Exemplo 2 da seção de autovalores e autofunções do capítulo anterior para (L = 2 pi ), portanto, como no primeiro exemplo nesta seção, não vamos colocar muitas explicações em o trabalho aqui. Se você precisar de um lembrete de como isso funciona, volte ao capítulo anterior e revise o exemplo que trabalhamos lá. Vamos continuar com os três casos em que temos que trabalhar para esse problema.

( underline < lambda & gt 0> )
A solução para a equação diferencial é,

A aplicação da primeira condição de contorno dá,

[0 = frac <><> left (0 right) = sqrt lambda , hspace <0.25in> Rightarrow hspace <0.25in> = 0]

A segunda condição de contorno dá,

Lembre-se de que ( lambda & gt 0 ) e, portanto, só obteremos soluções não triviais se exigirmos isso,

[ sin left ( right) = 0 hspace <0.25in> Rightarrow hspace <0.25in> L sqrt lambda = n pi hspace <0.25in> n = 1,2,3, ldots ]

Os autovalores positivos e suas autofunções correspondentes deste problema de valor de contorno são, então,

( underline < lambda = 0> )
A solução geral é,

A aplicação da primeira condição de contorno dá,

Usando isso, a solução geral é então,

e observe que isso irá satisfazer trivialmente a segunda condição de contorno. Portanto ( lambda = 0 ) é um autovalor para este BVP e as autofunções correspondentes a este autovalor são,

( underline < lambda & lt 0> )
A solução geral aqui é,

A aplicação da primeira condição de contorno dá,

A segunda condição de contorno dá,

Sabemos que (L sqrt <- lambda> ne 0 ) e então ( sinh left ( > right) ne 0 ). Portanto, devemos ter ( = 0 ) e, portanto, este problema de valor limite não terá autovalores negativos.

Assim, a lista completa de autovalores e autofunções para este problema é então,

e observe que obtemos o autovalor (< lambda _ <, 0 >> = 0 ) e sua autofunção se permitirmos (n = 0 ) no primeiro conjunto e, portanto, usaremos o seguinte como nosso conjunto de autovalores e autofunções.

O problema de tempo aqui é idêntico ao primeiro problema que examinamos, então,

Nossas soluções de produto serão,

e a solução para esta equação diferencial parcial é,

Se aplicarmos a condição inicial a isso, obteremos,

[Você saiu( direita) = f esquerda (x direita) = soma limites_^ infty < cos left (< frac <>> direita)> ]

e podemos ver que isso nada mais é do que a série de cossenos de Fourier para (f left (x right) ) on (0 le x le L ) e então, novamente, poderíamos usar a ortogonalidade dos cossenos para derivar os coeficientes ou podemos lembrar que já fizemos isso no capítulo anterior e sabemos que os coeficientes são dados por,

O último exemplo que vamos trabalhar nesta seção é um pouco diferente dos dois primeiros. Vamos considerar a distribuição da temperatura em um fino anel circular. Consideraremos as superfícies laterais perfeitamente isoladas e também assumiremos que o anel é fino o suficiente para que a temperatura não varie com a distância do centro do anel.

Então, o que isso nos deixa? Vamos definir (x = 0 ) como mostrado abaixo e, em seguida, ser (x ) o comprimento do arco do anel medido a partir deste ponto.

Mediremos (x ) como positivo se movermos para a direita e negativo se movermos para a esquerda de (x = 0 ). Isso significa que no topo do anel nos encontraremos onde (x = L ) (se movermos para a direita) e (x = - L ) (se movermos para a esquerda). Fazendo isso, podemos considerar este anel como uma barra de comprimento 2 (L ) e a equação do calor que desenvolvemos anteriormente neste capítulo ainda se manterá.

No ponto do anel, consideramos que as duas "pontas" estão em contato térmico perfeito. Isso significa que nas duas extremidades a temperatura e o fluxo de calor devem ser iguais. Em outras palavras, devemos ter,

Se você se lembra da seção em que derivamos a equação do calor, chamamos essas condições de contorno periódicas. Portanto, o problema que precisamos resolver para obter a distribuição de temperatura neste caso é,

Aplicamos a separação de variáveis ​​a esse problema no Exemplo 3 da seção anterior. Então, se assumirmos que a solução está na forma,

[Você saiu( direita) = varphi esquerda (x direita) G esquerda (t direita) ]

obtemos as duas equações diferenciais ordinárias a seguir que precisamos resolver.

Como vimos com os dois problemas anteriores, já resolvemos um problema de valor limite como este na seção Valores próprios e funções próprias do capítulo anterior, Exemplo 3 para ser exato com (L = pi ). Então, se você precisar de um pouco mais de explicação sobre o que está acontecendo aqui, volte a este exemplo e você pode ver um pouco mais de explicação.

Novamente, temos três casos para tratar aqui.

( underline < lambda & gt 0> )
A solução geral para a equação diferencial é,

Aplicar a primeira condição de contorno e lembrar que o cosseno é uma função par e o seno é uma função ímpar nos dá,

Nesta fase, também não podemos dizer nada como () ou seno pode ser zero. Então, vamos aplicar a segunda condição de limite e ver o que obtemos.

[começar - sqrt lambda , sin left (<- L sqrt lambda> right) + sqrt lambda , cos left (<- L sqrt lambda> right) & = - sqrt lambda , sin left ( direita) + sqrt lambda , cos left ( right) sqrt lambda , sin left ( right) & = - sqrt lambda , sin left ( direita) 2 sqrt lambda , sin left ( direita) & = 0 fim]

Conseguimos algo semelhante. No entanto, observe que se ( sin left ( right) ne 0 ) então seríamos forçados a ter ( = = 0 ) e isso nos daria a solução trivial que não queremos.

Isso significa, portanto, que devemos ter ( sin left ( right) = 0 ) que por sua vez significa (a partir do trabalho em nossos exemplos anteriores) que os autovalores positivos para este problema são,

Agora, não há razão para acreditar que ( = 0 ) ou ( = 0 ). Tudo o que sabemos é que ambos não podem ser zero e isso significa que, de fato, temos dois conjuntos de autofunções para este problema correspondendo a autovalores positivos. Eles estão,

( underline < lambda = 0> )
A solução geral neste caso é,

A aplicação da primeira condição de contorno dá,

A solução geral é então,

e isso irá satisfazer trivialmente a segunda condição de contorno. Portanto ( lambda = 0 ) é um autovalor para este BVP e as autofunções correspondentes a este autovalor são,

( underline < lambda & lt 0> )
Para este caso final, a solução geral aqui é,

Aplicando a primeira condição de contorno e usando o fato de que o cosseno hiperbólico é par e o seno hiperbólico é ímpar dá,

Agora, neste caso, estamos assumindo que ( lambda & lt 0 ) e, portanto, (L sqrt <- lambda> ne 0 ). Esta curva nos diz que ( sinh left ( > right) ne 0 ). Portanto, devemos ter ( = 0).

Vamos agora aplicar a segunda condição de limite para obter,

Pela nossa suposição em ( lambda ), novamente não temos escolha aqui a não ser ter ( = 0 ) e, portanto, para este problema de valor de contorno, não há autovalores negativos.

Resumindo, então, temos os seguintes conjuntos de autovalores e autofunções e observe que fundimos o caso ( lambda = 0 ) no caso do cosseno, uma vez que pode estar aqui para simplificar um pouco as coisas.

O problema do tempo é novamente idêntico aos dois que já trabalhamos aqui e então temos,

Agora, este exemplo é um pouco diferente dos dois problemas de aquecimento anteriores que vimos. Nesse caso, temos, na verdade, duas soluções de produto possíveis diferentes que irão satisfazer a equação diferencial parcial e as condições de contorno. Eles estão,

O Princípio da Superposição ainda é válido, entretanto, a soma de qualquer um deles também será uma solução e, portanto, a solução para esta equação diferencial parcial é,

Se aplicarmos a condição inicial a isso, obteremos,

[Você saiu( direita) = f esquerda (x direita) = soma limites_^ infty < cos left (< frac <>> direita)> + soma limites_^ infty < sin left (< frac <>> direita)> ]

e assim como vimos nos dois exemplos anteriores, obtemos uma série de Fourier. A diferença desta vez é que obtemos a série Fourier completa para uma condição inicial suave por partes em (- L le x le L ). Conforme observado para os dois exemplos anteriores, poderíamos rederir fórmulas para os coeficientes usando a ortogonalidade dos senos e cossenos ou podemos lembrar o trabalho que já fizemos. Não há realmente nenhuma razão neste momento para refazer o trabalho já feito, então os coeficientes são dados por,

Observe que este é o motivo para configurar (x ) como fizemos no início deste problema. Uma série de Fourier completa precisa de um intervalo de (- L le x le L ) enquanto a série de seno e cossenos de Fourier que vimos nos primeiros dois problemas precisa de (0 le x le L ).

Ok, agora vimos três problemas de equação de calor resolvidos e, portanto, deixaremos esta seção. Você pode querer seguir e fazer os dois casos em que temos uma temperatura zero em um limite e um limite perfeitamente isolado no outro para ver se você conseguiu resolver esse processo.


Seja qualquer escala de tempo que seja um subconjunto de. O conceito de equações dinâmicas em escalas de tempo pode construir pontes entre equações diferenciais e diferenças. Este conceito não só nos dá uma abordagem unificada para estudar os problemas de valor limite em intervalos discretos com tamanho de passo uniforme e intervalos reais, mas também dá uma abordagem estendida para estudar em caso discreto com tamanho de passo não uniforme ou combinação de intervalos reais e discretos. Algumas definições básicas e teoremas em escalas de tempo podem ser encontrados em [1, 2].

Neste artigo, estudamos a existência de soluções positivas para o seguinte problema de valor de contorno não linear de quatro pontos com um operador -Laplaciano:

onde é um operador, isto é, para, onde,,, com:

a função e não desaparece de forma idêntica em qualquer subintervalo fechado de e,

é contínuo e satisfaz que existam tais que para.

Nos últimos anos, a existência de soluções positivas para problemas de valor de contorno não linear com -Laplacianos tem recebido grande atenção, uma vez que tem levado a várias aplicações matemáticas e físicas importantes [3, 4]. Em particular, para ou é linear, a existência de soluções positivas para problemas não lineares de valores de contorno singulares foi obtida [5, 6]. -Problemas laplacianos com dois, três e mcondições de contorno de ponto para equações diferenciais ordinárias e equações de diferença foram estudadas em [7-9] e suas referências. Recentemente, tem dado muita atenção à questão das soluções positivas de problemas de valor de contorno para equações dinâmicas de segunda ordem em escalas de tempo, ver [10–13]. Em particular, gostaríamos de mencionar alguns resultados de Agarwal e O'Regan [14], Chyan e Henderson [5], Song e Weng [15], Sun e Li [16] e Liu [17], que nos motivam considerar o problema do valor limite -Laplaciano em escalas de tempo.

O objetivo deste artigo é estabelecer alguns critérios simples para a existência de soluções positivas do -Laplacian BVP (1.1) - (1.2). Este artigo está organizado da seguinte forma. Na Seç˜ao 2 apresentamos primeiro a soluç˜ao e algumas propriedades da soluç˜ao do linear -Laplaciano BVP correspondente a (1.1) - (1.2). Conseqüentemente, definimos o espaço de Banach, o cone e o operador integral para provar a existência da solução de (1.1) - (1.2). Na Seção 3, apresentamos os teoremas do ponto fixo a fim de provar os principais resultados e obtemos a existência de pelo menos uma e duas soluções positivas para não linear -Laplaciano BVP (1.1) - (1.2). Finalmente, usando o método monótono, provamos a existência de soluções para -Laplacian BVP na Seção 4.


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Boundary Value Problems welcomes submissions to the article collection 'Partial Differential Equations in Applied Sciences'.

All manuscripts should be written to be accessible to a broad scientific audience, who are interested in partial differential equations and their applications in environmental phenomena, physical and engineering sciences. The covered topics include, but are not limited to, initial and boundary value problems, Navier-Stokes theory, minimizers for functionals of double phase with variable exponents, magnetohydrodynamics equations, Lie groups. Papers dealing with mathematical modeling and analysis for traveling waves, Boussinesq equations are welcome.

Deadline for submissions: 31 December 2021


Partial Differential Equations & Boundary Value Problems with Maple

Partial Differential Equations and Boundary Value Problems with Maple, Second Edition, presents all of the material normally covered in a standard course on partial differential equations, while focusing on the natural union between this material and the powerful computational software, Maple.

The Maple commands are so intuitive and easy to learn, students can learn what they need to know about the software in a matter of hours - an investment that provides substantial returns. Maple's animation capabilities allow students and practitioners to see real-time displays of the solutions of partial differential equations.

This updated edition provides a quick overview of the software w/simple commands needed to get started. It includes review material on linear algebra and Ordinary Differential equations, and their contribution in solving partial differential equations. It also incorporates an early introduction to Sturm-Liouville boundary problems and generalized eigenfunction expansions. Numerous example problems and end of each chapter exercises are provided.

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13.1E: Boundary Value Problems (Exercises) - Mathematics

> endstream endobj 684 0 obj 625 endobj 685 0 obj > stream 8Z7

Alikhanov, A.A.: On the stability and convergence of nonlocal difference schemes. Differ. Equ. 46(7), 949–961 (2010)

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Ashyralyev, A., Gercek, O.: Finite difference method for multipoint nonlocal elliptic-parabolic problems. Comput. Matemática. Appl. 60(7), 2043–2052 (2010)

Ashyralyev, A., Yurtsever, A.: On a nonlocal boundary value problem for semilinear hyperbolic-parabolic equations. Nonlinear Anal. Theory Methods Appl. 47(5), 3585–3592 (2001)

Gao, G.H., Sun, Z.Z.: Compact difference schemes for heat equation with Neumann boundary conditions (II). Numer. Methods Partial Differ. Equ. 29(5), 1459–1486 (2013)

Gordeziani, D., Avalishvili, G.: Investigation of the nonlocal initial boundary value problems for some hyperbolic equations. Hiroshima Math. J. 31(3), 345–366 (2001)

Gulin, A.V., Morozova, V.A.: On a family of nonlocal difference schemes. Differ. Equ. 45(7), 1020–1033 (2009)

Gulin, A.V., Ionkin, N.I., Morozova, V.A.: Stability of a nonlocal two-dimensional finite-difference problem. Differ. Equ. 37(7), 970–978 (2001)

Gushchin, A.K., Mikhailov, V.P.: On solvability of nonlocal problems for a second-order elliptic equation. Russ. Acad. Sci. Sb. Matemática. 81(1), 101–136 (1995)

Martin-Vaquero, J., Vigo-Aguiar, J.: A note on efficient techniques for the second-order parabolic equation subject to non-local conditions. Appl. Numer. Matemática. 59(6), 1258–1264 (2009)

Martin-Vaquero, J., Vigo-Aguiar, J.: On the numerical solution of the heat conduction equations subject to nonlocal conditions. Appl. Numer. Matemática. 59(10), 2507–2514 (2009)

Sun, Z.Z.: A high-order difference scheme for a nonlocal boundary-value problem for the heat equation. Comput. Methods Appl. Matemática. 1(4), 398–414 (2001)

Sun, Z.Z.: Compact difference schemes for heat equation with Neumann boundary conditions. Numer. Methods Partial Differ. Equ. 29, 1459–1486 (2013)

Wang, Y.: Solutions to nonlinear elliptic equations with a nonlocal boundary condition. Electron. J. Differ. Equ. 05, 227–262 (2002)

Yildirim, O., Uzun, M.: On the numerical solutions of high order stable difference schemes for the hyperbolic multipoint nonlocal boundary value problems. Appl. Matemática. Comput. 254, 210–218 (2015)

Zikirov, O.S.: On boundary-value problem for hyperbolic-type equation of the third order. Lith. Matemática. J. 47(4), 484–495 (2007)


Solving singular second order three-point boundary value problems using reproducing kernel Hilbert space method ☆

This paper investigates the numerical solutions of singular second order three-point boundary value problems using reproducing kernel Hilbert space method. It is a relatively new analytical technique. The solution obtained by using the method takes the form of a convergent series with easily computable components. However, the reproducing kernel Hilbert space method cannot be used directly to solve a singular second order three-point boundary value problem, so we convert it into an equivalent integro-differential equation, which can be solved using reproducing kernel Hilbert space method. Four numerical examples are given to demonstrate the efficiency of the present method. The numerical results demonstrate that the method is quite accurate and efficient for singular second order three-point boundary value problems.