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2.5E: Equações Exatas (Exercícios) - Matemática


Q2.5.1

Em Exercícios 2.5.1-2.5.17 determine quais equações são exatas e resolva-as.

1. (6x ^ 2y ^ 2 , dx + 4x ^ 3y , dy = 0 )

2. ((3y cos x + 4xe ^ x + 2x ^ 2e ^ x) , dx + (3 sin x + 3) , dy = 0 )

3. (14x ^ 2y ^ 3 , dx + 21 x ^ 2y ^ 2 , dy = 0 )

4. ((2x-2y ^ 2) , dx + (12y ^ 2-4xy) , dy = 0 )

5. ((x + y) ^ 2 , dx + (x + y) ^ 2 , dy = 0 )

6. ((4x + 7y) , dx + (3x + 4y) , dy = 0 )

7. ((- 2y ^ 2 sin x + 3y ^ 3-2x) , dx + (4y cos x + 9xy ^ 2) , dy = 0 )

8. ((2x + y) , dx + (2y + 2x) , dy = 0 )

9. ((3x ^ 2 + 2xy + 4y ^ 2) , dx + (x ^ 2 + 8xy + 18y) , dy = 0 )

10. ((2x ^ 2 + 8xy + y ^ 2) , dx + (2x ^ 2 + xy ^ 3/3) , dy = 0 )

11. ({ left ({1 over x} + 2x right) , dx + left ({1 over y} + 2y right) , dy = 0} )

12. ((y sin xy + xy ^ 2 cos xy) , dx + (x sin xy + xy ^ 2 cos xy) , dy = 0 )

13. ({{x , dx over (x ^ 2 + y ^ 2) ^ {3/2}} + {y , dy over (x ^ 2 + y ^ 2) ^ {3/2 }} = 0} )

14. ( left (e ^ x (x ^ 2y ^ 2 + 2xy ^ 2) + 6x right) , dx + (2x ^ 2ye ^ x + 2) , dy = 0 )

15. ( left (x ^ 2e ^ {x ^ 2 + y} (2x ^ 2 + 3) + 4x right) , dx + (x ^ 3e ^ {x ^ 2 + y} -12y ^ 2) , dy = 0 )

16. ( left (e ^ {xy} (x ^ 4y + 4x ^ 3) + 3y right) , dx + (x ^ 5e ^ {xy} + 3x) , dy = 0 )

17. ((3x ^ 2 cos xy-x ^ 3y sin xy + 4x) , dx + (8y-x ^ 4 sin xy) , dy = 0 )

Q2.5.2

Em Exercícios 2.5.18-2.5.22 resolver o problema do valor inicial.

18. ((4x ^ 3y ^ 2-6x ^ 2y-2x-3) , dx + (2x ^ 4y-2x ^ 3) , dy = 0, quad y (1) = 3 )

19. ((- 4y cos x + 4 sin x cos x + sec ^ 2x) , dx + (4y-4 sin x) , dy = 0, quad y ( pi / 4) = 0 )

20. ((y ^ 3-1) e ^ x , dx + 3y ^ 2 (e ^ x + 1) , dy = 0, quad y (0) = 0 )

21. (( sin x-y sin x-2 cos x) , dx + cos x , dy = 0, quad y (0) = 1 )

22. ((2x-1) (y-1) , dx + (x + 2) (x-3) , dy = 0, quad y (1) = - 1 )

Q2.5.3

23. Resolva a equação exata [(7x + 4y) , dx + (4x + 3y) , dy = 0. Nonumber ] Trace um campo de direção e algumas curvas integrais para esta equação no retângulo [ {- 1 le x le1, -1 le y le1 }. Nonumber ]

24. Resolva a equação exata [e ^ x (x ^ 4y ^ 2 + 4x ^ 3y ^ 2 + 1) , dx + (2x ^ 4ye ^ x + 2y) , dy = 0. Nonumber ] Plote a campo de direção e algumas curvas integrais para esta equação no retângulo [ {- 2 le x le2, -1 le y le1 }. nonumber ]

25. Trace um campo de direção e algumas curvas integrais para a equação exata [(x ^ 3y ^ 4 + x) , dx + (x ^ 4y ^ 3 + y) , dy = 0 nonumber ] no retângulo ( {- 1 le x le 1, -1 le y le1 } ). (Ver Exercício 2.5.37 (a)).

26. Trace um campo de direção e algumas curvas integrais para a equação exata [(3x ^ 2 + 2y) , dx + (2y + 2x) , dy = 0 nonumber ] no retângulo ( {- 2 le x le 2, -2 le y le2 } ). (Veja Eexercício 2,5.37 (b)).

27.

  1. Resolva a equação exata [(x ^ 3y ^ 4 + 2x) , dx + (x ^ 4y ^ 3 + 3y) , dy = 0 tag {A} ] implicitamente.
  2. Para quais escolhas de ((x_0, y_0) ) o Teorema 2.3.1 implica que o problema do valor inicial [(x ^ 3y ^ 4 + 2x) , dx + (x ^ 4y ^ 3 + 3y) , dy = 0, quad y (x_0) = y_0, tag {B} ] tem uma solução única em um intervalo aberto ((a, b) ) que contém (x_0 )?
  3. Trace um campo de direção e algumas curvas integrais para (A) em uma região retangular centrada na origem. Qual é o intervalo de validade da solução de (B)?

28.

  1. Resolva a equação exata [(x ^ 2 + y ^ 2) , dx + 2xy , dy = 0 tag {A} ] implicitamente.
  2. Para quais escolhas de ((x_0, y_0) ) o Teorema 2.3.1 implica que o problema do valor inicial [(x ^ 2 + y ^ 2) , dx + 2xy , dy = 0, quad y ( x_0) = y_0, tag {B} ] tem uma solução única (y = y (x) ) em algum intervalo aberto ((a, b) ) que contém (x_0 )?
  3. Plote um campo de direção e algumas curvas integrais para (A). A partir do gráfico determine, o intervalo ((a, b) ) de b, as propriedades de monotonicidade (se houver) da solução de (B), e ( lim_ {x para a +} y (x) ) e ( lim_ {x para b-} y (x) ).

29. Encontre todas as funções (M ) de forma que a equação seja exata.

  1. (M (x, y) , dx + (x ^ 2-y ^ 2) , dy = 0 )
  2. (M (x, y) , dx + 2xy sin x cos y , dy = 0 )
  3. (M (x, y) , dx + (e ^ x-e ^ y sin x) , dy = 0 )

30. Encontre todas as funções (N ) de forma que a equação seja exata.

  1. ((x ^ 3y ^ 2 + 2xy + 3y ^ 2) , dx + N (x, y) , dy = 0 )
  2. (( ln xy + 2y sin x) , dx + N (x, y) , dy = 0 )
  3. ((x sin x + y sin y) , dx + N (x, y) , dy = 0 )

31. Suponha que (M, N, ) e suas derivadas parciais sejam contínuas em um retângulo aberto (R ), e (G ) seja uma antiderivada de (M ) em relação a (x ) ; ou seja, [{ parcial G over partial x} = M. nonumber ] Mostre que se (M_y ne N_x ) em (R ) então a função [N - { parcial G over partial y} nonumber ] não é independente de (x ).

32. Prove: Se as equações (M_1 , dx + N_1 , dy = 0 ) e (M_2 , dx + N_2 , dy = 0 ) são exatas em um retângulo aberto (R ), o mesmo acontece com a equação [(M_1 + M_2) , dx + (N_1 + N_2) , dy = 0. não numérico ]

33. Encontre as condições nas constantes (A ), (B ), (C ) e (D ) de modo que a equação [(Ax + By) , dx + (Cx + Dy) , dy = 0 nonumber ] é exato.

34. Encontre as condições nas constantes (A ), (B ), (C ), (D ), (E ) e (F ) tais que a equação [( Ax ^ 2 + Bxy + Cy ^ 2) , dx + (Dx ^ 2 + Exy + Fy ^ 2) , dy = 0 nonumber ] é exato.

35. Suponha que (M ) e (N ) sejam contínuos e tenham derivadas parciais contínuas (M_y ) e (N_x ) que satisfaçam a condição de exatidão (M_y = N_x ) em um retângulo aberto ( R ). Mostre que se ((x, y) ) está em (R ) e [F (x, y) = int ^ x_ {x_0} M (s, y_0) , ds + int ^ y_ { y_0} N (x, t) , dt, nonumber ] então (F_x = M ) e (F_y = N ).

36. Com base nas premissas de Exercício 2.5.35, mostre que [F (x, y) = int ^ y_ {y_0} N (x_0, s) , ds + int ^ x_ {x_0} M (t, y) , dt. nonumber ]

37. Use o método sugerido por Exercício 2.5.35, com ((x_0, y_0) = (0,0) ), para resolver essas equações exatas:

  1. ((x ^ 3y ^ 4 + x) , dx + (x ^ 4y ^ 3 + y) , dy = 0 )
  2. ((x ^ 2 + y ^ 2) , dx + 2xy , dy = 0 )
  3. ((3x ^ 2 + 2y) , dx + (2y + 2x) , dy = 0 )

38. Resolva o problema do valor inicial [y '+ {2 over x} y = - {2xy over x ^ 2 + 2x ^ 2y + 1}, quad y (1) = - 2. nonumber ]

39. Resolva o problema do valor inicial [y '- {3 over x} y = {2x ^ 4 (4x ^ 3-3y) over3x ^ 5 + 3x ^ 3 + 2y}, quad y (1) = 1. nonumber ]

40. Resolva o problema do valor inicial [y '+ 2xy = -e ^ {- x ^ 2} left ({3x + 2ye ^ {x ^ 2} over2x + 3ye ^ {x ^ 2}} right) , quad y (0) = - 1. nonumber ]

41. Reescreva a equação separável [h (y) y '= g (x) tag {A} ] como uma equação exata [M (x, y) , dx + N (x, y) , dy = 0. tag {B} ] Mostre que aplicar o método desta seção a (B) produz as mesmas soluções que seriam obtidas aplicando o método de separação de variáveis ​​a (A)

42. Suponha que todas as derivadas parciais secundárias de (M = M (x, y) ) e (N = N (x, y) ) sejam contínuas e (M , dx + N , dy = 0 ) e (- N , dx + M , dy = 0 ) são exatos em um retângulo aberto (R ). Mostre que (M_ {xx} + M_ {yy} = N_ {xx} + N_ {yy} = 0 ) em (R ).

43. Suponha que todas as derivadas parciais secundárias de (F = F (x, y) ) sejam contínuas e (F_ {xx} + F_ {yy} = 0 ) em um retângulo aberto (R ). (Diz-se que uma função com essas propriedades é harmônico; Veja também Exercício 2.5.42.) Mostre que (- F_y , dx + F_x , ​​dy = 0 ) é exato em (R ) e, portanto, há uma função (G ) tal que (G_x = -F_y ) e (G_y = F_x ) em (R ). (Uma função (G ) com esta propriedade é considerada um conjugado harmônico desligado).)

44. Verifique se as funções a seguir são harmônicas e encontre todos os seus conjugados harmônicos. (Ver Exercício 2.5.43.)

  1. (x ^ 2-y ^ 2 )
  2. (e ^ x cos y )
  3. (x ^ 3-3xy ^ 2 )
  4. ( cos x cosh y )
  5. ( sin x cosh y )

Identificação de constantes na equação de segundo grau

O primeiro passo para resolver equações completas de segundo grau é identificar as constantes corretamente. Como já dissemos, constantes são os números que vão na frente de x ao quadrado, xe o termo que não contém x.

Nesse caso, diante de x ao quadrado, não há nada, portanto a = 1.

Na frente de x existe um 5, então b = 5.

E o termo que não carrega x é 4, então c = 4.

Lembre-se que quando não há nada na frente das incógnitas é porque elas são multiplicadas por 1, ou seja, significa que há um 1 na frente.

Vejamos outro exemplo:


Agora, se notarmos, a equação é um pouco diferente, mas é causa de muitos erros se não tivermos cuidado. Vejamos por quê:

Na forma geral, não há menos sinais:

Portanto, devemos transformar nossa equação de modo que seja da mesma maneira que a forma geral das equações completas de segundo grau:

Agora temos da mesma forma, onde nenhum sinal de menos aparece e, em seguida, a, b e c são obtidos como no primeiro caso:

Quando tivermos mais prática, identificaremos as constantes diretamente, sem precisar transformar nossa equação, mas para começar é uma maneira muito boa de evitar erros.


Exemplo 1

Mostre que a equação diferencial $ frac = - frac$ para $ A, B, C in mathbb$ é exato e resolve esta equação diferencial.

Primeiro reescrevemos esta equação diferencial na forma $ M (x, y) + N (x, y) frac = 0$ :

Temos que $ M (x, y) = Ax + By $ e $ N (x, y) = Bx + Cy $. A derivada parcial de $ M $ em relação a $ y $ e a derivada parcial de $ N $ em relação a $ x $ são:

Na verdade, essa equação diferencial é exata e, portanto, existe uma função $ psi (x, y) $ tal que:

Da primeira equação, $ frac < partial psi> < partial x> = Ax + By $, integramos em relação a $ x $ e obtemos:

Agora diferenciamos parcialmente em relação a $ y $ e obtemos:

Já sabemos que $ frac < partial psi> < partial y> = N (x, y) = Bx + Cy $. Portanto $ h '(y) = Cy $ e então $ h (y) = int Cy : dy = frac<2> $. Portanto, a solução para nossa equação diferencial é:


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Considere a equação $ y '' + 3y '+ 2y = 0 $. Podemos converter isso em um par de equações de primeira ordem, introduzindo $ v = dy / dx $. Então $ dv / dx = d ^ 2y / dx ^ 2 $ e a equação se torna $ begin y '' + 3y '+ 2y = 0 & frac + 3v + 2y = 0 & frac = -3v-2y & end $ Com isso, vemos que a equação de segunda ordem $ y '' + 3y '+ 2y = 0 $ é o mesmo que o sistema de primeira ordem $ begin frac& = v frac & = -3v-2y end $ Se você tiver valores iniciais na equação original, basta convertê-los em valores iniciais para o sistema fazendo a mesma substituição. Esta técnica de conversão de uma equação de segunda ordem em um sistema de primeira ordem funciona para equações gerais, não apenas equações lineares. Se tivermos o problema do valor inicial $ displaystyle frac= f (x, y, y ') $, $ y (0) = y_0 $, $ y' (0) = y_1 $, então isso pode ser convertido para o sistema de primeira ordem $ begin frac& = v, qquad & y (0) = y_0 frac& = f (x, y, v), qquad & v (0) = y_1 end $ Também podemos converter equações de ordem superior em sistemas de primeira ordem fazendo substituições múltiplas. Considere a equação de terceira ordem $ y '' '+ y' '- 2y' + xy = e ^ x $. Deixando $ v = dy / dx $ e $ w = dv / dx = d ^ 2y / dx ^ 2 $ obtemos $ begin frac& = v frac& = w frac& = e ^ x-xy + 2v-w end $ A técnica de usar a iteração de Picard para mostrar que um "bom" problema de valor inicial de primeira ordem tem uma solução se aplica a sistemas de primeira ordem também. Você apenas tem que fazer a integral na iteração de Picard com valor vetorial. Você pode ver a prova do seguinte teorema em Matemática 540.

Teorema Se $ f (x, t_0, t_1, ldots, t_n) $ e todas as suas primeiras derivadas parciais são contínuas em $ (- h, h) times (y_0-h, y_0 + h) times (y_1-h, y_1 + h) times cdots times (y_-h, y_+ h) $ para algum $ h> 0 $, então há um $ epsilon> 0 $ tal que o problema do valor inicial $ frac= f (x, y, y ', ldots, y ^ <(n-1)>), qquad y (0) = y_0, quad y' (0) = y_1, quad ldots quad, y ^ <(n-1)> = y_ $ tem uma solução única para $ x in (- epsilon, epsilon) $ (observe que esta declaração afirma a existência e a exclusividade da solução para o problema do valor inicial).

Método de Euler

Assim como nas equações de primeira ordem, muitas vezes não seremos capazes de encontrar soluções explícitas para equações de ordem superior e desejaremos encontrar aproximações numéricas. Fazemos isso convertendo as equações de ordem superior em sistemas de primeira ordem e, em seguida, usando as mesmas técnicas que usamos no capítulo anterior. A diferença é que agora iremos aplicá-los a todas as diferentes equações de primeira ordem no sistema de uma vez. Começamos com o método de Euler. Como antes, esse método é adequado para implementação em uma planilha. Usaremos o exemplo $ y '' + 3y '+ 2y = 0, qquad y (0) = 1, quad y' (0) = 0. $ Abra o Excel (ou sua planilha favorita se você estiver trabalhando em seu próprio computador). Começaremos rotulando as colunas para acompanhar o que vai aonde. Insira x na célula A1, dy / dx na célula B1, dv / dx na célula C1, y na célula D1, v = y 'na célula E1 eh na célula H1. Em seguida, coloque os valores iniciais e o tamanho do passo nos pontos iniciais apropriados com 0 na célula A2, 1 na célula D2, 0 na célula E2 e 0,1 na célula H2. Em seguida, coloque as fórmulas com = A2 + $ H $ 2 na célula A3, = E2 na célula B3, = -3 * E2-2 * D2 na célula C3, = D2 + $ H $ 2 * B3 na célula D3 e = E2 + $ H $ 2 * C3 na célula E3. Agora você tem a coluna x definida para adicionar o tamanho do passo h conforme você desce cada linha, as colunas dy / dx e dv / dx para calcular as inclinações com base nos valores iniciais x, y e v = y ', e os colunas y e v = y 'para adicionar h vezes dy / dx eh vezes dv / dx aos valores anteriores de ye v, respectivamente. Agora clique e arraste para selecionar as células A3..E3 e, em seguida, clique no pequeno quadrado no canto inferior direito da caixa ao redor dessas células e arraste-o para baixo por cerca de 20 linhas ou mais para copiar as fórmulas para baixo e automatizar os cálculos.

Observe que os valores aproximados da função de solução $ y (x) $ estão contidos na coluna y que é a coluna D, não a última coluna do quadro. Portanto, aqui vemos $ y (0,5) aproximadamente 0,8533 $ para este problema de valor inicial. Uma vez que esta é uma boa equação homogênea linear de coeficiente constante, podemos encontrar o valor exato é $ y = 2e ^ <-x> -e ^ <-2x> $, portanto, poderemos verificar nosso trabalho. Na célula F1 da planilha, insira y exato e na célula G1 insira rel error (que significa erro relativo). Então, na célula F2, insira = 2 * exp (-A2) -exp (-2 * A2) e na célula G2 insira = (F2-D2) / F2. Será conveniente clicar com o botão direito do mouse na célula G2 e Formatar células como porcentagem, pois o erro relativo é uma porcentagem. Agora clique e arraste para selecionar as células F2 e G2 e arraste essas fórmulas para baixo. Isso mostrará o quão precisa é a aproximação produzida pelo método de Euler.

O método de Euler não é particularmente preciso, embora funcione bem o suficiente neste problema com um erro relativo de cerca de 1% (problemas com decaimento exponencial tendem a funcionar melhor que crescimento exponencial). Podemos melhorar a aproximação dando passos menores. Se você alterar a célula H2 para 0,05 para cortar o tamanho do passo pela metade, descobrirá que o erro no valor de $ y (0,5) $ foi cortado para cerca de 0,43%. É claro que você teve que realizar 10 etapas de tamanho 0,05 para chegar a 0,5, enquanto foram necessárias apenas 5 etapas de tamanho 0,1. Então você faz o dobro do trabalho, mas corta o erro pela metade. Este é o padrão padrão para o método de Euler, assim como era para as equações de primeira ordem.

Naturalmente, você pode usar essa técnica para lidar com outras equações. A única coisa que você precisa editar é a fórmula para dv / dx na coluna C. Não se esqueça de copiar a fórmula editada em toda a coluna.

O método de Euler aprimorado

Assim como nas equações de primeira ordem, podemos obter mais precisão com o método de Euler aprimorado. Como antes, você pode usar qualquer ferramenta que achar mais apropriada, mas a mais simples provavelmente é a planilha. Configuramos as coisas de forma semelhante ao método de Euler, mas com algumas colunas extras agora para os cálculos extras. Insira x na célula A1, dy / dx esquerdo na célula B1, dv / dx esquerdo na célula C1, til y na célula D1, til v na célula E1, dy / dx direito na célula F1, dv / dx direito na célula G1, y na célula H1, v = y 'na célula I1 e h na célula L1. Em seguida, insira os valores iniciais 0 na célula A2, 1 na célula H2, 0 na célula I2 e 0,1 na célula L2. Em seguida, insira as fórmulas = A2 + $ L $ 2 na célula A3, = I2 na célula B3, = -3 * I2-2 * H2 na célula C3, = H2 + $ L $ 2 * B3 na célula D3, = I2 + $ L $ 2 * C3 na célula E3, = E3 na célula F3, = -3 * E3-2 * D3 na célula G3, = H2 + $ L $ 2 * (B3 + F3) / 2 na célula H3, e = I2 + $ L $ 2 * (C3 + G3) / 2 na célula I3. Agora clique e arraste para selecionar A3..I3 e copie a fórmula para baixo na planilha para repetir os cálculos até onde você quiser.

Como antes, podemos configurar colunas para os valores exatos e o erro relativo para ver o quão preciso este método é para este problema. Entre na célula J1 e na célula K1. Insira as fórmulas = 2 * exp (-A2) -exp (-2 * A2) na célula J2 e = (J2-H2) / J2 na célula K2. Como antes, parecerá melhor se você definir o formato das células na coluna K como Porcentagem.

Observe que o método de Euler aprimorado é duas vezes mais trabalhoso do que o método de Euler original, pois você realiza uma etapa de melhoria extra a cada linha. Por outro lado, o erro para $ y (0,5) $ agora é de apenas 0,21%, o que é melhor do que o erro de -0,43% que obtivemos fazendo o dobro do trabalho com um tamanho de passo menor com o método de Euler original. Podemos melhorar ainda mais a precisão de nossa aproximação usando um tamanho de etapa menor de $ h = 0,05 $. O resultado desse cálculo está errado em apenas 0,05% do valor verdadeiro. Embora reduzir pela metade o tamanho do passo (portanto, dobrar o trabalho) reduziu o erro para o método de Euler pela metade, ele reduz o erro no método de Euler aprimorado por cerca de um fator de 4. Novamente, este é o mesmo padrão que você viu para as equações de primeira ordem . E, claro, você pode aplicar este método para outras equações apenas editando as fórmulas para dv / dx nas colunas C e G.

Discussão Final

Podemos estender as técnicas de Runge-Kutta e Runge-Kutta-Feldman para equações de ordem superior, convertendo-as em sistemas de primeira ordem da mesma forma que estendemos o método de Euler e o método de Euler aprimorado aqui. As mesmas compensações serão aplicadas. Os métodos RK e RKF são mais precisos e preferidos para cálculos cuidadosos. Mas para situações em que um tempo de execução rápido é mais importante do que a precisão precisa, você pode escolher usar o método de Euler ou o método de Euler aprimorado.


2.5E: Equações Exatas (Exercícios) - Matemática

  1. Maneiras de fazer um número por meio da adição
  2. Equações de adição de equilíbrio
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  5. Adição de dois números de 3 dígitos
  6. Adição de 3 números
  7. Adição de 3 números de dois dígitosComplete a frase de adição sComentários abaixo
  8. Maneiras de fazer um número por meio da adição
  9. Maneiras de fazer um número adicionando 2
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  18. Adicione números de 1 a 2 dígitos
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  3. Esquerda, Meio e Direita
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  5. Posições internas e externas
  6. Posições acima e abaixo
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  7. Compare com grupos diferentes
  8. Compare em um grupo misto
  9. Compare grupos de objetos
  1. Exercícios de adição, subtração e divisão de ampAnálise
  2. Maneiras de fazer um número por meio de adição e subtração de amp
  3. Vocabulário - Soma ou diferença
  4. Dez a menos e dez a mais que os números dados
  5. Encontre o sinal entre colchetes + ou - que torna a equação correta
  6. Adição e subtração de amplificadores de dezenas
  7. Fatos rápidos sobre adição e subtração
  1. Combine partes de figuras congruentes
  2. Formas congruentes
  3. Calcule o perímetro das figuras
  4. Calcule a área de quadrados e retângulos de amplificação
  5. Identifique formas com simetria
  6. Escolha entre estar aberto ou fechado para as formas
  7. Relacionar superfícies sólidas com superfícies planas
  8. Comparando formas
  9. Identificando formas semelhantes
  1. Compras - o suficiente ou menos dinheiro
  2. Dinheiro gasto
  3. Combine os valores monetários com seus nomes em USD
  4. Comparar quantias de dinheiro - USD
  5. Soma moedas - USD
  6. Centavos e níquels - Identificando moedas USD
  7. Penny, Dime e Quarter - Identificando moedas USD
  1. Division Snakes & amp Ladders
  2. Estimation Snakes & amp Ladders
  3. Cobras de multiplicação e escadas de amplificação
  4. Place Value Snakes & amp Ladders
  1. Comparação acima de 100
  2. Comparações Tic Tac Toe
  3. Contando a dois, três e cincos
  4. Tic Tac Toe da Divisão
  5. Estimativa - mais próximo de dez - cem
  6. Estimativas até a centena mais próxima
  7. Números pares e ímpares
  8. Operações Mistas
  9. Jogo da velha de multiplicação
  10. Números ordinais
  11. Coloque valores até mil
  12. Valores de lugar
  13. Números Romanos / Árabes
  14. Números de ortografia

Jogos Suplementares
(criado com ferramentas de terceiros)

  1. Adição com colchetes - basquete
  2. Adição com colchetes - jogo de duelo
  3. Adição com colchetes - jogo de nivelamento
  4. Adição com suportes - andar na prancha
  5. Equações de equilíbrio - basquete
  6. Equações de equilíbrio - jogo de futebol
  7. Equações de equilíbrio - jogo de nivelamento
  8. Equações de equilíbrio - MCQ
  9. Equações de equilíbrio - andar na prancha
  10. Jogo de basquete da divisão
  11. Jogo de duelo de divisão
  12. Jogo de futebol da divisão
  13. Jogo de nivelamento da divisão
  14. Divisão MCQ
  15. Divisão anda na prancha
  16. Estimativa de basquete
  17. Professor de estimativa
  18. Estimativa de jogo de futebol
  19. Jogo de avaliador de estimativa
  20. Estimativa MCQ
  21. Estimativa Ande na prancha
  22. Jogo de basquete de operações mistas
  23. Jogo de duelo de operações mistas
  24. Jogo de futebol de operações mistas
  25. Jogo de nivelamento de operações mistas
  26. Operações mistas MCQ
  27. Operações mistas andam na prancha
  28. Jogo de duelo de multiplicação
  29. Professor de aventura de multiplicação
  30. Jogo de futebol de multiplicação
  31. Jogo de nivelamento de multiplicação
  32. Multiplicação MCQ
  33. Jogo classificador de frases de multiplicação
  34. Jogo de duelo de Multiplicação de Frases
  35. Jogo de futebol Multiplicação Frase
  36. Sentença de multiplicação MCQ
  37. Frase de multiplicação Ande na prancha
  38. Multiplicação ande na prancha

Prática Matemática

  1. Soletrar números até 100
  2. Soletrar números até 1000
  3. Identifique os números ordinais e cardinais amplificadores
  4. Converter algarismos árabes em romanos
  5. Escolha entre números pares ou ímpares
  6. Número de linhas até 1000
  1. Alto ou baixo
  2. Longo ou curto
  3. Mais leve ou mais pesado
  4. Capacidade - pode conter mais ou menos
  1. Posição de números pares e ímpares
  2. Teste de números ordinais - usando a posição dos objetos
  3. Sequência numérica
  4. Aprenda a soletrar números
  5. Identifique os números pares e ímpares
  6. Teste de conversão de algarismos árabes em romanos
  1. Representando números contra números de 1 a 3
  2. Combine números com fotos e figuras
  3. Contando formas até 3
  4. Contando pontos até 3
  5. Contando animais até 3
  6. Conte até 3 digitando letras
  1. Representando números até 5
  2. Contar formas até 5
  3. Conte objetos até 5
  4. Contar pontos até 5
  5. Conte pontos até 3
  6. Conte e represente números até 5
  1. Representando números até 10
  2. Contar formas até 10
  3. Conte objetos até 10
  4. Conte pontos até 10
  5. Conte até 10 usando marcas de contagem
  6. Número da linha até 10
  7. Qual número vem entre, antes ou depois
  8. Nomes de números até 10
  9. Conte até 10 digitando
  10. Complete o questionário de sequência numérica
  1. Conte as formas até 20
  2. Conte objetos até 20
  3. Conte pontos até 20
  4. Conte até 20 usando marcas de contagem
  5. Soletrando números até 20
  6. Determine os números que vêm antes, depois ou entre até 20
  7. Número da linha até 20
  8. Conte digitando até 20
  1. Objetos com a mesma estrutura, mas de certa forma diferente
  2. Identifique objetos semelhantes
  3. Classifique por cor
  4. Formas iguais e diferentes

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Charles Cohn Varsity Tutors LLC
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Os matemáticos não são as pessoas que acham a matemática fácil; são as pessoas que gostam de como ela é misteriosa, intrigante e difícil. Você é um matemático?

Comentário gravado na página "Iniciante do Dia" de 26 de março por Julie Reakes, The English College, Dubai:

& quotÉ ótimo ter um iniciador cronometrado e que concentra totalmente a atenção de todos. Eu disse a eles com antecedência que faria 10 e, em seguida, registraria suas porcentagens. & Quot

Comentário registrado na página 'Starter of the Day' de 2 de abril pela Sra. Wilshaw, Dunsten Collage, Essex:

& quotEste site foi brilhante. Minha classe e eu realmente gostamos de fazer as atividades. & Quot

A cada mês é publicado um boletim informativo contendo detalhes das novas adições ao site da Transum e um novo quebra-cabeça do mês.

O boletim informativo é então duplicado como um podcast que está disponível nas principais redes de distribuição. Você pode ouvir o podcast enquanto se desloca, faz exercícios ou relaxa.

As notícias de última hora da Transum estão disponíveis no Twitter @Transum e, se isso não bastasse, também há uma página da Transum no Facebook.

Atividade em destaque

Nove Dígitos

Organize os dígitos fornecidos de um a nove para fazer três números de forma que dois deles somam o terceiro. Este é um ótimo quebra-cabeça para praticar métodos padrão de caneta e papel de adição e subtração de números de três dígitos.


2.5E: Equações Exatas (Exercícios) - Matemática

O Global Positioning System (GPS) é um sistema mundial de radionavegação formado por uma constelação de 24 satélites, cada um em sua própria órbita 11.000 milhas náuticas acima da Terra, e cinco estações terrestres que garantem que os satélites estão funcionando corretamente. Cada um dos satélites GPS leva 12 horas para orbitar a Terra.

O GPS usa esses satélites como pontos de referência para calcular posições com precisão de apenas alguns metros. Na verdade, com formas avançadas de GPS, você pode fazer medições com mais de um centímetro! Cada satélite é equipado com um relógio preciso para permitir a transmissão de sinais acoplados a uma mensagem de tempo precisa. A unidade terrestre recebe o sinal do satélite, que viaja à velocidade da luz. Mesmo nessa velocidade, o sinal leva uma quantidade mensurável de tempo para chegar ao receptor. A diferença entre a hora em que o sinal é enviado e a hora em que é recebido, multiplicada pela velocidade da luz, permite ao receptor calcular a distância até o satélite. Aqui está um gráfico para ilustrar a funcionalidade completa.

Os receptores GPS foram miniaturizados para apenas alguns circuitos integrados e, portanto, estão se tornando muito econômicos. E isso torna a tecnologia acessível a praticamente todos. Hoje em dia, o GPS está chegando a carros, barcos, aviões, equipamentos de construção, equipamentos de cinema, máquinas agrícolas e até mesmo laptops. Em breve, o GPS se tornará quase tão básico quanto o telefone.

Como funciona?

Veja como o GPS funciona em cinco etapas:

A base do GPS é a "triangulação" de satélites.

Para "triangular", um receptor GPS mede a distância usando o tempo de viagem dos sinais de rádio.

Para medir o tempo de viagem, o GPS precisa de um tempo muito preciso.

Junto com a distância, você precisa saber exatamente onde os satélites estão no espaço.

Finalmente, você deve corrigir quaisquer atrasos que o sinal experimente enquanto viaja pela atmosfera. Você também deve corrigir as diferenças de relógio entre o receptor GPS e os satélites.

A etapa de triangulação é algo assim. Você tem em mãos o seu confiável receptor GPS. O que o GPS pode fazer é medir com precisão a sua distância de qualquer um de vários satélites. Do Satélite 1, seu dispositivo (unidade GPS) mede sua distância do satélite a 11.000 milhas de distância, então você só pode localizar-se em um círculo na terra que é o locus de todos os pontos 11.000 milhas do Agora do Satélite 2 (seu A unidade GPS mede sua distância do satélite a 12.000 milhas. Agora você está localizado na interseção das esferas centradas nos satélites e dos respectivos raios. A interseção das esferas é um círculo. Em seguida, obtenha a distância de um terceiro satélite () nos permite localizar na interseção das três esferas e essa interseção é de dois pontos (um círculo interceptado por uma esfera são dois pontos, em geral). Um dos pontos é onde você está. O outro ponto raramente está na superfície do planeta e, por isso, calculando um pouco, você pode eliminar essa possibilidade e selecionar sua localização. É assim que se faz isso. Mas há pequenos detalhes e eles residem no cálculo dessas distâncias.



Outra visão da mesma situação mostra as esferas centradas nos satélites. Na imagem abaixo, o planeta Terra é o pequeno círculo em direção ao meio da interseção das esferas.

Esta é a maneira fácil de ver que as observações de quatro satélites podem fornecer a posição exata.

* Em cada evento, sua posição está no locus dos pontos de resultado.

Agora, a maioria das unidades de GPS busca e determina medições de até seis satélites. Isso só pode melhorar a precisão usando métodos de mínimos quadrados. Aqui está um link para mais informações sobre os mínimos quadrados.

Como exatamente a distância é calculada?

Agora sabemos que, se tivermos as localizações dos satélites e as distâncias de nós, podemos determinar com precisão nossa posição. Mas precisamos saber como a distância é calculada. Na verdade, existem algumas maneiras. Aqui estão alguns métodos para calcular distância.

Medição direta com uma "régua".

Distâncias inferidas medindo ângulos em triângulos.

Medição de distância usando a velocidade da luz (tempo de propagação da luz).

Como mencionado acima, os métodos de GPS estão relacionados à medição do tempo de propagação da luz, mas não diretamente. Como medir a distância pela luz? Existem alguns métodos. First, distance can be measured directly by sending a pulse and measuring how it takes to travel between two points. This most common method is to reflect the signal and the time between when the pulse was transmitted and when the reflected signal returns. Such systems, called bi-directional, are used in radar and satellite laser ranging that require single millimeter accuracy. They require a clock capable of timing accuracy of seconds (3 picoseconds). The clock stability need is . A clock with this longtime stability would gain or lose 0.03 seconds in a year. Such equipment is expensive, costing for satellites about $1m. More on this later.

Back to the GPS

If we know the transit time of a signal and the speed of propagation of the signal, then we can determine the distance or range. Since the GPS receiver clock is not perfectly sychronized with the satellite clock, the ranges are in error. For that reason they are called pseudoranges . We must determine the time offset between the clocks to accurately measure the distances.

Assuming we have the distances from four satellites and we know , are the exact postions of the satellites, we must then solve the following system equations where the .

where is the speed of light and is the receiver clock offset time. The receiver clock offset is the difference between GPS time and internal receiver time. Obviously, a key portion of all this is that there is just one clock offset time. This means the all the satellites must have perfectly synchronized clocks, and this is just one of the tasks of the control sites. The unknowns above are and . Let us reiterate: if the clocks of the GPS receiver and the satellite were perfectly synchronized, the time offset would be zero.

The GPS receiver is not just a fine electronic mechanism, it can do a whole lot of mathematics as well. Wow and they put it in such a small package!

Still more math

Just how is that system solved? It is multivariate and nonlinear. There are numerous methods that have been designed for just such systems. Most notably is the famous Newton's method. We have provided a link to the basics of the Newton's method for functions of one variable. In a nutshell. To solve the equation , make an initial guess , compute . Then replace in the expression with and compute and continue in this manner. That is, we compute

and continue to do so until the value of is sufficiently close to zero.

In the general multivariate case the same equation works, but has a slightly different look. Deixar

be the sytem to be solved., where and are column vectors and Each function is a function of each of the variables. Define the Jacobian matrix

If is some starting vector, then the Newton iterations are

where is the inverse matrix of

Convergence problems for Newton's method are legend. However, if we have a good starting value, then Newton's method often converges rapidly. You can see more about this in our one dimensional treatment.

Sources of position location error

There are many sources of error in GPS measurement. Among them are the atmosphere, ionosphere, satellite orbit errors, receiver noise, multipath ambiguities, and satellite clock errors.

A number of other corrections and tricks are required to obtain precise distances. Sometimes GPS units use dual frequency transmission, in part because ionospheric errors that are inherent in all observations can be modelled and significantly reduced by combining satellite observations made on two different frequencies and observations on two frequencies allow for faster ambiguity resolution times.

Until recently, another source of error was intentionally created. However, as of August 2000, the Selective Availability of the signal, an intentional degradation of the signal, was turned off. Therefore, accuracies of the horizontal position is in the 5-7 meter range.

Optical systems

With optical systems, a flat reflector does not work because of the obvious need that the light signal be exactly perpendicular to the ranging mirror. So, what is commonly used is a corner cube reflector, as shown below.

An alternative method to measure distance is to measure the phase difference between the incoming and outgoing continuous wave. Such a device is called an interferometer .

The mathematics behind this is elementary trigonometry. Suppose the outgoing signal is given by

and also the lagged signal . The incoming signal is of the same frequency but out of phase. Thus we receive the signal

When the signal returned it is multiplied (beating) by the outgoing signal to obtain

We apply the trig identities

to obtain

The terms and oscillate at twice the frequency of the original signal. By averaging over product over a period long compared to we obtain zero. The remaining terms are the sine and cosine of the phase.

Do we have the distance now? Não exatamente. If the distance is less than 1 wavelength, then the answer is unique. If the distance is more than 1 wavelength, then we need to number of integer cycles. Surveying instruments use this and make phase difference measurements at multiple frequencies, then solve the resulting system of equations to determine the distance.

Referências

GPS technology: http://www.trimble.com/gps/ http://www-gpsg.mit.edu/

GPS basics http://www-gpsg.mit.edu/

fGPS Land Navigation : A Complete Guidebook for Backcountry Users of the NAVSTAR Satellite System by Michael Ferguson, Randy Kalisek, Leah Tucker, Glassford Publishing ISBN: 0965220257, 1997

GPS for Everyone : How the Global Positioning System Can Work for You by L. Casey Larijani ,Amer Interface Corp ISBN: 0965966755 , 1998

The Global Positioning System and GIS : An Introduction by Michael Kennedy Bk&CD ROM edition Ann Arbor Pr Inc ISBN: 1575040174, 1996

The GPS Manual : Principles & Applications, Steve Dye, Frank Baylin, Baylin/Gale Productions ISBN: 0917893298, 1997

GPS Instant Navigation : A Practical Guide from Basics to Advanced Techniques by Kevin Monahan, Don Douglass, Fine Edge Productions ISBN: 0938665480, 1998

Exercícios

Show that the corner cube reflector reflects light by radians when the corner is radians. What is the angle of reflection when the angle of the corner is radians?

Suppose you have the phase angle pertaining to exactly two different frequency reflections. How can this help you better obtain the distance between the GPS and the satellite?

Explain why solving the system

given the positions of and distances from three satellites does not yield the unique, exact GPS receiver position. There are after all, three equations and three unknowns. Note there is no time offset in this situation.

One way to solve the system above is by squaring both sides and computing differences of pairs of equations and solving the resulting system. Show that with four satellite distances, we can convert the system to a linear system for the three unknowns and

What is the linear system?


Sec 2.7 Exercise: Matlab Code for Euler’s Method

Here is a cleaned-up version of the Matlab script we developed in class on Monday implementing Euler’s method.

You should “step through” this code and make sure you understand what’s happening at each step (i.e., copy and paste the code line-by-line into the Matlab command window and examine what variables are created at each step).

As written below, the code does the computations for Example 3 in Section 2.7 of Boyce and DiPrima, i.e., for the initial value problem y’ = 4 – t – 2y, y(0) =1, with h = 0.1. You change edit the code so it computes the Euler approximation for different h. You should be able to recreate the results in Table 2.7.3. (For this, I would recommend creating saving the code below as an m-file, commenting out the line which set h, set h from the command line, and then run the script.)

Then you should try to change the code so it computes the Euler approximation for other initial value problems (such as Exercises 1, 3 or 11–again, try to recreate the numbers in the solutions).

A further exercise would be to plot the direction field for the differential equation on the same graph as the Euler approximation and exact solution. Recall that Matlab code for producing direction fields can be found here.


%This script implements Euler's method
%for Example 2 in Sec 2.7 of Boyce & DiPrima


%For different differential equations y'=f(t,y), update in two places:
%(1) within for-loop for Euler approximations
%(2) the def'n of the function phi for exact solution (if you have it)

%also update step size h initial conditions t0,y0 endpt t_end


%set parameters for Euler's method:
h = 0.1 %step size


%set initial conditions
t0 = 0
y0 = 1


%end point
t_end = 5


%calculate number of steps
n = (t_end-t0)/h


%t and y will be arrays containing Euler results
t(1) = t0
y(1) = y0


for k=1:n
yprime(k+1) = 4 - t(k) +2*y(k) %UPDATE: RHS is diff eqn for y'(t[k], y[k])
t(k+1) = t(k) + h
y(k+1) = y(k) + yprime(k+1)*h
end


%transpose t and y into column vectors
tvalues = t'
yvalues = y'


%UPDATE: create function phi for exact solution
phi = @(t) (-7/4) + 0.5*t + (11/4)*exp(2*t)


%plot Euler approximation and exact solution
plot(t,y)
hold on
fplot(phi,[t0,t_end])


%put values for t, Euler approximation, exact solution into single matrix
results = [tvalues yvalues phi(tvalues)]