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2.3: Mais do que 2D - Matemática


Em mais de duas dimensões usamos uma definição semelhante, baseada no fato de que todos os autovalores da matriz de coeficientes têm o mesmo sinal (para uma equação elíptica), têm sinais diferentes (hiperbólicos) ou um deles é zero (parabólico). Isso tem a ver com o comportamento ao longo das características, conforme discutido a seguir.

Deixe-me dar um exemplo um pouco mais complexo

[x ^ 2 frac { parcial ^ 2 u} { parcial x ^ 2} + y ^ 2 frac { parcial ^ 2 u} { parcial y ^ 2} + z ^ 2 frac { parcial ^ 2 u} { parcial z ^ 2} +2 xy frac { parcial ^ 2 u} { parcial x parcial y} +2 xz frac { parcial ^ 2 u} { parcial x parcial z } +2 yz frac { partial ^ 2 u} { partial y partial z} = 0. ]

A matriz associada a esta equação é [ left ( begin {array} {lll} x ^ 2 & xy & xz xy & y ^ 2 & yz xz & yz & z ^ 2 end {array} certo)]

Se avaliarmos seu polinômio característico, descobrimos que é [ lambda ^ 2 (x ^ 2-y ^ 2 + z ^ 2- lambda) = 0. ] Uma vez que tem sempre (para todos (x, y , z )) dois valores próprios zero esta é uma equação diferencial parabólica.

Características e Classificação

Um ponto-chave para classificar equações dessa maneira não é que gostemos muito das seções cônicas, mas que as equações se comportam de maneiras muito diferentes se olharmos para os três casos diferentes. Escolha o caso representativo mais simples para cada classe e observe as linhas de propagação.


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