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6.1: Conjunto de Problemas


EXERCÍCIO ( PageIndex {1} )

Considere o (C ^ {r} ), (r ge 1 ), campo vetorial autônomo em ( mathbb {R} ^ 2 ):

( ponto {x} = f (x) ),

com fluxo

( phi_ {t} ( cdot) ),

e seja (x = bar {x} ) denotar um ponto de equilíbrio do tipo sela hiperbólica para este campo vetorial. Denotamos as variedades locais estáveis ​​e instáveis ​​deste ponto de equilíbrio por:

(W_ {loc} ^ {s} ( bar {x}) ), (W_ {loc} ^ {u} ( bar {x}) ),

respectivamente. As variedades global estável e instável de ( bar {x} ) são definidas por:

(W ^ {s} ( bar {x}) equiv cup_ {t le 0} phi_ {t} (W_ {loc} ^ {s} ( bar {x})) ),

(W ^ {u} ( bar {x}) equiv cup_ {t ge 0} phi_ {t} (W_ {loc} ^ {s} ( bar {x})) ),

(a) Mostre que (W ^ {s} ( bar {x}) ) e (W ^ {u} ( bar {x}) ) são conjuntos invariantes.

(b) Suponha que (p in W ^ {s} ( bar {x}) ), mostre que ( phi_ {t} (p) rightarrow bar {x} ) a uma taxa exponencial como (t rightarrow infty ).

(c) Suponha que (p in W ^ {u} ( bar {x}) ), mostre que ( phi_ {t} (p) rightarrow bar {x} ) a uma taxa exponencial como (t rightarrow - infty ).

EXERCÍCIO ( PageIndex {2} )

Considere o (C ^ {r}, r ge 1 ), campo vetorial autônomo em ( mathbb {R} ^ 2 ) tendo um ponto de sela hiperbólico. Suas variedades estáveis ​​e instáveis ​​podem se cruzar em um ponto isolado (que não é um ponto fixo do campo vetorial), como mostrado na figura 2?

EXERCÍCIO ( PageIndex {3} )

Considere o seguinte campo vetorial autônomo no plano:

( dot {x} = alpha x ),

[ dot {y} = beta y + gamma x ^ {n + 1}, label {6,42} ]

onde ( alpha <0 ), ( beta> 0 ), ( gamma ) é um número real e n é um número inteiro positivo.

  1. Mostre que a origem é um ponto de sela hiperbólico.
  2. Calcule e esboce os subespaços estáveis ​​e instáveis ​​da origem.
  3. Mostre que os subespaços estáveis ​​e instáveis ​​são invariantes sob a dinâmica linearizada.
  4. Mostre que o fluxo gerado por este campo vetorial é dado por:

    (x (t, x_ {0}) = x_ {0} e ^ { alpha t} ),

    (y (t, x_ {0}, y_ {0}) = e ^ { beta t} (y_ {0} - frac { gamma x_ {0} ^ {n + 1}} { alpha ( n + 1) - beta}) + ( frac { gamma x_ {0} ^ {n + 1}} { alpha (n + 1) - beta}) e ^ { alpha (n + 1) t} )

  5. Calcule as variedades globais estáveis ​​e instáveis ​​da origem do fluxo.
  6. Mostre que as variedades globais estáveis ​​e instáveis ​​que você calculou são invariantes.
  7. Esboce as variedades globais estáveis ​​e instáveis ​​e discuta como elas dependem de g e n.

EXERCÍCIO ( PageIndex {4} )

Suponha que ( dot {x} = f (x), x in mathbb {R} ^ n ) seja um campo vetorial (C ^ r ) com um ponto fixo hiperbólico, (x = x_ {0 } ), com uma órbita homoclínica. Descreva a órbita homoclínica em termos das variedades estável e instável de (x_ {0} ).

EXERCÍCIO ( PageIndex {5} )

Suponha que ( dot {x} = f (x), x in mathbb {R} ^ n ) seja um campo vetorial (C ^ r ) com pontos fixos hiperbólicos, (x = x_ {0} ) e (x_ {1} ), com uma órbita heteroclínica conectando (x_ {0} ) e (x_ {1} ). Descreva a órbita heteroclínica em termos das variedades estável e instável de (x_ {0} ) e (x_ {1} ).


Assista o vídeo: Conjuntos: Resolução de PROBLEMAS Aula 6 de 6 (Outubro 2021).