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10.1: Teoria Center Manifold


Este capítulo é sobre variedades centrais, redução dimensional e estabilidade de pontos fixos de campos vetoriais autônomos. Começamos com um exemplo motivacional.

Exemplo ( PageIndex {29} )

Considere o seguinte campo vetorial autônomo linear em ( mathbb {R} ^ {c} times mathbb {R} ^ s ):

( ponto {x} = Ax ),

[ dot {y} = Por, (x, y) in mathbb {R} times mathbb {R}, label {10.1} ]

onde A é uma matriz (c times c ) de números reais com autovalores com parte real zero e B é uma matriz (s times s ) de números reais com autovalores com parte real negativa. Suponha que estejamos interessados ​​na estabilidade do ponto fixo não hiperbólico (x, y) = (0, 0). Então, essa questão é determinada pela natureza da estabilidade de x = 0 no campo vetorial de dimensão inferior:

[ dot {x} = Ax, x in mathbb {R} ^ c. label {10.2} ]

Isso decorre da natureza dos autovalores de B e das propriedades de que x e y são desacopladas em (10) e que é linear. Mais precisamente, a solução de (10) é dada por:

[ begin {pmatrix} {x (t, x_ {0})} & {y (t, y_ {0})} end {pmatrix} = begin {pmatrix} {e ^ {At} x_ {0 }} & {e ^ {Bt} y_ {0}} end {pmatrix}. label {10.3} ]

Partindo do pressuposto de que as partes reais dos autovalores de B têm partes reais negativas, segue-se que:

[ lim_ {t rightarrow infty} e ^ {Bt} y_ {0} = 0. ]

Na verdade, 0 é aproximado a uma taxa exponencial no tempo. Portanto, segue-se que a estabilidade, ou estabilidade assintótica, ou instabilidade de x = 0 para (10.2) implica estabilidade, ou estabilidade assintótica, ou instabilidade de (x, y) = (0, 0) para (10).

É natural perguntar se esse procedimento de redução dimensional se aplica a sistemas não lineares. Isso pode parecer improvável, uma vez que, em geral, os sistemas não lineares são acoplados e o princípio de superposição dos sistemas lineares não é válido. No entanto, veremos que não é esse o caso.

Variedades invariantes levam a uma forma de desacoplamento que resulta em um procedimento de redução dimensional que dá, essencialmente, o mesmo resultado obtido para este exemplo linear motivacional. Este é o tópico da teoria da variedade central que desenvolveremos agora.

Começamos descrevendo a configuração. É importante perceber que ao aplicar esses resultados a um campo vetorial, eles devem estar da seguinte forma.

( ponto {x} = Ax + f (x, y) ),

[ dot {y} = Por + g (x, y), (x, y) in mathbb {R} ^ c times mathbb {R} ^ s, label {10.4} ]

onde as matrizes A e B têm as seguintes propriedades:

  1. Matriz (c times c ) de números reais com autovalores com zero partes reais,
  2. Matriz (s times s ) de números reais com autovalores com partes reais negativas,

e f e g são funções não lineares. Ou seja, são de ordem dois ou superior em x e y, o que é expresso nas seguintes propriedades:

[f (0, 0) = 0, Df (0, 0) = 0 ]

[g (0, 0) = 0, Dg (0, 0) = 0, rótulo {10.5} ]

e eles são (C ^ r ), (r ) tão grandes quanto necessário (explicaremos o que isso significa quando usarmos explicitamente essa propriedade posteriormente).

Com esta configuração (x, y) = (0, 0) é um ponto fixo para (10.4) e estamos interessados ​​em suas propriedades de estabilidade.

A linearização de (10.4) sobre o ponto fixo é dada por:

( ponto {x} = Ax ),

[ dot {y} = Por, (x, y) in mathbb {R} ^ {c} times mathbb {R} ^ {s}, label {10.6} ]

O ponto fixo é não hiperbólico. Tem um c subespaço central invariante dimensional e um s subespaço estável invariante dimensional dado por:

[E ^ c = {(x, y) in R ^ {c} vezes R ^ {s} | y = 0}, label {10.7} ]

[E ^ s = {(x, y) in R ^ {c} vezes R ^ {s} | x = 0}, rótulo {10.8} ]

respectivamente.

Para o sistema não linear (10.4) existe uma dimensão s, (C ^ r ) passando pela origem e tangente a (E ^ s ) na origem. Além disso, as trajetórias na variedade estável local herdam seu comportamento das trajetórias em (E ^ s ) sob a dinâmica linearizada no sentido de que se aproximam da origem a uma taxa exponencial no tempo.

Da mesma forma, há uma variedade de centro local c dimensional (C ^ r ) que passa pela origem e é tangente a (E ^ c ) são a origem. Portanto, a variedade central tem a forma:

[W ^ {c} (0) = {(x, y) in mathbb {R} ^ c times mathbb {R} ^ s | y = h (x), h (0) = 0, Dh (0) = 0}, rótulo {10.9} ]

que é válido em uma vizinhança da origem, ou seja, para | x | suficientemente pequeno.

Ilustramos a geometria na Fig. 10.1.

A aplicação da teoria da variedade central para analisar o comportamento de trajetórias próximas à origem é baseada em três teoremas:

  • existência da variedade central e do campo vetorial restrito à variedade central,
  • estabilidade da origem restrita à variedade central e sua relação com a estabilidade da origem no espaço de fase dimensional completo,
  • obter uma aproximação do distribuidor central.

Teorema 5: Existência e Dinâmica Restrita

Existe uma variedade central (C ^ r ) de (x, y) = (0, 0) para (10.4). A dinâmica de (10.4) restrita à variedade central é dada por:

[ ponto {u} = Au + f (u, h (u)), u in mathbb {R} ^ c, label {10.10} ]

para | u | suficientemente pequeno.

Uma questão natural que surge da afirmação deste teorema é "por que usamos a variável''u 'quando parecia que' x 'seria a variável mais natural para usar nesta situação"? Compreender a resposta a esta pergunta fornecerá alguns insights e compreensão da natureza das soluções próximas à origem e da geometria das variedades invariantes próximas à origem. A resposta é que "x e y já são usados ​​como variáveis ​​para descrever os eixos coordenados na Equação ref {10.4}. Não queremos confundir um ponto na variedade central com um ponto no eixo coordenado. Um ponto no variedade central é denotada por (x, h (x)). A coordenada u denota uma representação paramétrica de pontos ao longo da variedade central. Além disso, queremos comparar as trajetórias da Equação ref {10.10} com as trajetórias da Equação ref { 10.4}. Isso será confuso se x for usado para denotar um ponto na variedade do centro. No entanto, ao calcular a variedade do centro e ao considerar a (ou seja, Equação ref {10.10}), é tradicional usar a coordenada 'x' , ou seja, a coordenada que descreve os pontos no subespaço central. Isso não causa ambigüidades, pois podemos nomear uma coordenada como quisermos. No entanto, causaria ambigüidades ao comparar trajetores na Equação ref {10.4} com trajetórias na Equação ref { 10.10}, como fazemos no próximo teorema.

Teorema 6

  1. Suponha que a solução zero da Equação ref {10.10} seja estável (assintoticamente estável) (instável), então a solução zero de (10.4) também é estável (assintoticamente estável) (instável).
  2. Suponha que a solução zero da Equação ref {10.10} seja estável. Então, se (x (t), y (t)) é uma solução de (10.4) com (x (0), y (0)) suficientemente pequeno, então há uma solução (u (t) ) da Equação ref {10.10} tal que (t rightarrow infty )

(x (t) = u (t) + mathcal {O} (e ^ {- gamma t}) ),

[y (t) = h (u (t)) + mathcal {O} (e ^ {- gamma t}), label {10.11} ]

onde ( gamma> 0 ) é uma constante.

A parte i) deste teorema diz que as propriedades de estabilidade da origem na variedade central implicam nas mesmas propriedades de estabilidade da origem nas equações dimensionais completas. A parte ii) fornece resultados muito mais precisos para o caso em que a origem é estável. Ele diz que trajetórias começando em condições iniciais suficientemente próximas da origem se aproximam assintoticamente de uma trajetória na variedade central.

Agora gostaríamos de calcular a variedade central para que possamos usar esses teoremas em exemplos específicos. Em geral, não é possível calcular a variedade central. Porém, é possível aproximar isso com "precisão suficientemente alta" para que possamos verificar os resultados de estabilidade do Teorema 6 podem ser confirmados. Vamos mostrar como isso pode ser feito. A ideia é derivar uma equação que a variedade central deve satisfazer e, em seguida, desenvolver uma solução aproximada para essa equação.

Desenvolvemos essa abordagem passo a passo.

A variedade central é realizada como o gráfico de uma função,

[y = h (x), x in mathbb {R} ^ c, y in mathbb {R} ^ s, label {10.12} ]

ou seja, qualquer ponto ((x_ {c}, y_ {c}) ), suficientemente próximo da origem, que está na variedade central satisfaz (y_ {c} = h (x- {c}) ). Além disso, a variedade central passa pela origem (h (0) = 0) e é tangente ao subespaço central na origem (Dh (0) = 0).

A invariância da variedade central implica que o gráfico da função h (x) também deve ser invariante em relação à dinâmica gerada por (10.4). Diferenciar (10.12) em relação ao tempo mostra que (( dot {x}, dot {y}) ) em qualquer ponto da variedade central satisfaz

[ dot {y} = Dh (x) dot {x}. label {10.13} ]

Esta é apenas a manifestação analítica do fato de que a invariância de uma superfície em relação a um campo vetorial implica que o campo vetorial deve ser tangente à superfície.

Agora usaremos essas propriedades para derivar uma equação que deve ser satisfeita pela variedade do centro local.

O ponto de partida é lembrar que qualquer ponto da variedade do centro local obedece à dinâmica gerada por. Substituindo y = h (x) em dá:

[ ponto {x} = Ax + f (x, h (x)), label {10.14} ]

[ dot {y} = Bh (x) + g (x, h (x)), (x, y) in mathbb {R} ^ c times mathbb {R} ^ s. label {10.15} ]

Substituindo e na condição de invariância ( dot {y} = Dh (x) dot {x} ) dá:

[Bh (x) + g (x, h (x)) = Dh (x) (Ax + f (x, h (x))), rótulo {10.16} ]

ou

[Dh (x) (Ax + f (x, h (x))) - Bh (x) -g (x, h (x)) equiv mathcal {N} (h (x) = 0. etiqueta {10.17} ]

Esta é uma equação para h (x). Por construção, a solução implica a invariância do gráfico de h (x), e buscamos uma solução que satisfaça as condições adicionais h (0) = 0 e Dh (0) = 0. O resultado básico na aproximação da variedade do centro é dado pelo seguinte teorema.

Teorema 7: Aproximação

Seja ( phi: mathbb {R} ^ c rightarrow mathbb {R} ^ s ) um mapeamento (C ^ 1 ) com

( phi (0) = 0, D _ { phi} (0) = 0 ),

de tal modo que

( mathcal {N} ( phi (x)) = mathcal {O} (| x | ^ {q}) ) como (x rightarrow 0 ),

para algum q> 1. Então

(| h (x) - phi (x) | = mathcal {O} (| x | ^ {q}) ) como (x rightarrow 0 ).

O teorema afirma que se pudermos encontrar uma solução aproximada de (10.17) com um determinado grau de precisão, então essa solução aproximada é na verdade uma aproximação da variedade do centro local, com o mesmo grau de precisão6.

Agora consideramos alguns exemplos que mostram como esses resultados são aplicados.

Exemplo ( PageIndex {30} )

Consideramos o seguinte campo vetorial autônomo no plano:

( ponto {x} = x ^ {2} y-x ^ 5 ),

[ dot {y} = -y + x ^ 2, (x, y) in mathbb {R] ^ 2, label {10.18} ].

ou, em forma de matriz:

[ begin {pmatrix} { dot {x}} { dot {y}} end {pmatrix} = begin {pmatrix} {0} & {0} {0} & {- 1 } end {pmatriz} begin {pmatrix} {x} {y} end {pmatrix} + begin {pmatrix} {x ^ {2} yx ^ 5} {x ^ 2} end { pmatrix}, label {10.19} ]

Estamos interessados ​​em determinar o natural da estabilidade de (x, y) = (0, 0). O Jacobiano associado à linearização sobre este ponto fixo é:

( begin {pmatrix} {0} & {0} {0} & {- 1} end {pmatrix} ),

que é não hiperbólica e, portanto, a linearização não é suficiente para determinar a estabilidade.

O campo vetorial está na forma de (10.4)

( ponto {x} = Ax + f (x, y) ),

[ dot {y} = Por + g (x, y), (x, y) in mathbb {R} times mathbb {R}, label {10.20} ]

Onde

[A = 0, B = 1, f (x, y) = x ^ {2} y-x ^ 5, g (x, y) = x ^ 2. label {10.21} ]

Assumimos um centro múltiplo da forma:

[y = h (x) = ax ^ 2 + bx ^ 3 + mathcal {O} (x ^ 4), label {10.22} ]

que satisfaz h (0) = 0 ("passa pela origem") e Dh (0) = 0 (tangente a (E ^ {c} ) na origem). Uma variedade de centro desse tipo exigirá que o campo vetorial seja pelo menos (C ^ 3 ) (portanto, o significado da frase (C ^ r ), r tão grande quanto necessário).

Substituir esta expressão na equação para a variedade central (10.17) (usando (10.21)) dá:

[(2ax + 3b ^ {2} + mathcal {O} (x ^ 3)) (ax ^ 4 + bx ^ 5 + mathcal {O} (x ^ 6) -x ^ 5) + ax ^ 2 + bx ^ 3 + mathcal {O} (x ^ 4) -x ^ 2 = 0. label {10.23} ]

Para que essa equação seja satisfeita, os coeficientes em cada potência de x devem ser zero. Por meio da terceira ordem, isso dá:

(x ^ 2: a - 1 = 0 Rightarrow a = 1 ),

[x ^ 3: b = 0. rótulo {10.24} ]

Substituir esses valores em (10.22) dá a seguinte expressão para a variedade central por meio da terceira ordem:

[y = x ^ 2 + mathcal {O} (x ^ 4). label {10.25} ]

Portanto, o campo vetorial restrito à variedade central é dado por:

[ dot {x} = x ^ 4 + mathcal {O} (x ^ 5). label {10.26} ]

Portanto, para x suficientemente pequeno, ( dot {x} ) é positivo para (x ne 0 ) e, portanto, a origem é instável. Ilustramos o fluxo próximo à origem na Fig. 10.2.

Exemplo ( PageIndex {31} )

Consideramos o seguinte campo vetorial autônomo no plano:

( ponto {x} = xy ),

[ dot {y} = y + x ^ 3, (x, y) in mathbb {R} ^ 2, label {10.27} ]

Portanto, o campo vetorial restrito à variedade central é dado por:

[ dot {x} = x ^ 4 + mathcal {O} (x ^ 5). label {10.35} ]

Já que ( dot {x} ) é positivo para x suficientemente pequeno. a origem é instável. 10.3.


Análise dinâmica do sistema de um modelo de Dirac-Born-Infeld: uma perspectiva do centro múltiplo

Neste artigo, apresentamos a dinâmica cosmológica de um fluido perfeito e o componente de Energia Escura do Universo, onde nosso modelo de energia escura é o modelo Dirac-Born-Infeld (DBI) teórico das cordas. Assumimos que o potencial do campo escalar e o fator de dobra da região da garganta empenada do espaço compacto na dimensão extra para o modelo DBI são ambos exponenciais por natureza. No fundo do Universo Friedman – Robertson – Walker – Lemaître espacialmente plano, as equações de campo de Einstein para a energia escura DBI reduzem-se a um sistema de sistema dinâmico autônomo. Em seguida, realizamos uma análise dinâmica do sistema para este sistema. Nossa análise é motivada pela abordagem da variedade invariante da dinâmica matemática. Nesse método, é possível chegar a uma conclusão definitiva mesmo quando os pontos críticos de um sistema dinâmico são de natureza não hiperbólica. Uma vez que encontramos o conjunto completo de pontos críticos para esse sistema, a análise do manifold central garante que nossa investigação desse modelo não deixe pedra sobre pedra. Encontramos alguns resultados interessantes, como que para alguns pontos críticos existem situações em que existem soluções de dimensionamento. Finalmente, apresentamos vários planos de fase e diagramas de estabilidade topologicamente diferentes e discutimos o cenário cosmológico correspondente.

Esta é uma prévia do conteúdo da assinatura, acesso através de sua instituição.


Bifurcações locais, manifolds centrais e formas normais em sistemas dinâmicos de dimensão infinita

Uma extensão de diferentes palestras ministradas pelos autores, Local Bifurcations, Center Manifolds e Normal Forms in Infinite Dimensional Dynamical Systems fornece ao leitor uma visão abrangente desses tópicos.

Começando com os problemas de bifurcação mais simples surgindo para equações diferenciais ordinárias em uma e duas dimensões, este livro descreve várias ferramentas da teoria de sistemas dinâmicos de dimensão infinita, permitindo ao leitor tratar problemas de bifurcação mais complicados, como bifurcações surgindo em diferencial parcial equações. A atenção se restringe ao estudo das bifurcações locais com foco na redução da variedade central e na teoria da forma normal, dois métodos amplamente utilizados nas últimas décadas.

Através do uso de exemplos e exercícios passo a passo, uma série de aplicações possíveis são ilustradas e permitem que o leitor menos familiarizado use este método de redução verificando algumas suposições claras. Escrito por especialistas reconhecidos no campo da teoria da variedade central e da forma normal, este livro fornece um texto de nível de graduação muito necessário na teoria da bifurcação, variedades centrais e teoria da forma normal. Ele vai agradar a estudantes de graduação e pesquisadores que trabalham na teoria dos sistemas dinâmicos.

'Este livro se baseia em versões do teorema da variedade central que se aplicam a sistemas dinâmicos de dimensão infinita. O Capítulo 4 do livro é distinto em sua apresentação de formas normais para bifurcações em sistemas "reversíveis". São sistemas em que existe uma simetria que inverte a orientação do tempo. Quando essa simetria é um reflexo, ela leva a sistemas que têm grandes famílias de órbitas periódicas porque as trajetórias para frente e para trás que começam no subespaço devem se encontrar se retornarem a este subespaço. Este é um assunto complexo e este livro o torna muito mais acessível do que nunca. Quanto a grande parte do trabalho de Iooss ao longo de sua carreira, este livro dá muitos exemplos concretos de problemas descritos por PDEs com um excelente equilíbrio entre a teoria e as aplicações dessa teoria '(SIAM Review, dezembro de 2011)

“Este livro se baseia em versões do teorema da variedade central que se aplicam a sistemas dinâmicos de dimensão infinita. … Este é um assunto complexo e este livro o torna muito mais acessível do que nunca. Quanto a grande parte do trabalho de Iooss ao longo de sua carreira, este livro dá muitos exemplos concretos de problemas descritos por PDEs com um excelente equilíbrio entre a teoria e as aplicações dessa teoria. ”(John Guckenheimer, SIAM Review, Vol. 53 (4), 2011 )


Teorema do Manifold Center.

Considere um sistema dinâmico de tempo contínuo definido por begin ponto= f (x), x in mathbb R ^ (1) fim onde f é suficientemente suave, $ f (0) = 0 $. Sejam os autovalores da matriz Jacobiana A avaliada no ponto de equilíbrio $ x_0 = 0 $ $ lambda_1,. , lambda_n $. Suponha que o equilíbrio não seja hiperbólico e que haja, portanto, autovalores com parte real zero. Suponha que haja $ n _ + $ autovalores (contando multiplicidades) com $ Re ( lambda) & gt0 $, $ n_0 $ autovalores com $ Re ( lambda) = 0 $, e $ n _- $ autovalores com $ Re ( lambda) & lt0 $. Deixe $ T ^ c $ denotar o autoespaço linear de A correspondendo à união dos valores próprios $ n_0 $ no eixo imaginário. Seja $ varphi ^ t $ denotar o fluxo associado com (1).

Teorema do Manifold Central:

Há uma variedade invariante $ n_0 $ -dimensional e uniforme definida localmente $ W_^ c (0) $ de (1) que é tangente a $ T ^ c $ em $ x = 0 $. O manifold $ W_^ c $ é chamado de coletor central. Além disso, existe uma vizinhança U de $ x_0 = 0 $, tal que se $ varphi ^ tx in U $ para todo $ t geq 0 $ ($ t leq 0 $), então $ varphi ^ tx rightarrow W_^ c (0) $ para $ t rightarrow + infty $ ($ t rightarrow - infty $).

Minha pergunta se refere ao sistema de tempo contínuo suave que depende suavemente de um parâmetro: begin ponto= f (x, alpha), x in mathbb R ^, alpha in mathbb R (2) end Ainda é válido o Teorema do Manifold Center para o sistema (2)? Se o sistema (2) não tem autovalores imaginários ($ Re ( lambda) = 0 $), podemos dizer que não há variedade central?


Aplicação da teoria do manifold central para a regulação de uma viga flexível

Khajepour, A., Golnaraghi, M. F. e Morris, K. A. (1 de abril de 1997). "Aplicação da teoria do manifold central à regulação de uma viga flexível." COMO EU. J. Vib. Acoust. Abril de 1997 119 (2): 158–165. https://doi.org/10.1115/1.2889697

Neste artigo, consideramos o problema de regulação de um feixe de parâmetro concentrado flexível. O controlador é um mecanismo de massa-mola-painel ativo / passivo que é livre para deslizar ao longo da viga. Neste problema, as equações planta / controlador são acopladas e não lineares, e as equações linearizadas do sistema têm dois modos incontroláveis ​​associados a um par de autovalores imaginários puros. Como resultado, as técnicas de controle linear, bem como a maioria das técnicas de controle não linear convencionais, não podem ser aplicadas. Em estudos anteriores, Golnaraghi (1991) e Golnaraghi et al. (1994) uma estratégia de controle baseada em ressonância interna foi desenvolvida para transferir a energia oscilatória da viga para o cursor, onde era dissipada através do amortecimento do controlador. Embora esses estudos tenham fornecido uma compreensão muito boa da estratégia de controle, o método analítico foi baseado em técnicas de perturbação e tinha muitas limitações. A maior parte do trabalho foi baseada em técnicas numéricas e tentativa e erro. Neste artigo, usamos a teoria da variedade central para abordar as deficiências dos estudos anteriores e estender o trabalho para uma lei de controle mais geral. A técnica é baseada na redução da dimensão do sistema e na simplificação das não linearidades usando técnicas de variedades centrais e formas normais, respectivamente. As equações simplificadas são usadas para investigar a estabilidade e desenvolver uma relação para o controlador ótimo / frequências naturais da planta em que ocorre a transferência máxima de energia. Uma das principais contribuições deste trabalho é a eliminação da tentativa e erro e a inclusão do amortecimento na relação ótima de frequência.


Ligação entre a medição baseada na teoria da prontidão organizacional para a mudança e as lições aprendidas conduzindo pesquisas focadas na melhoria da qualidade

As organizações têm diferentes níveis de prontidão para implementar mudanças no processo de atendimento ao paciente. O Projeto de Implementação de Enfermeiros de Telemedicina em Hipertensão para Veteranos (HTN-IMPROVE) é um exemplo de inovação que busca aprimorar o atendimento aos pacientes com hipertensão. Descrevemos a ligação entre a prontidão organizacional para a mudança (ORC), avaliada no início do projeto, e as barreiras e facilitadores que ocorrem durante o processo de implementação de uma inovação na atenção primária. Cada um dos três centros médicos do Veterans Affairs forneceu uma enfermeira em meio período e implementou um programa de autogestão por telefone para pacientes com hipertensão não controlada. No início do programa, avaliamos o ORC e ​​os fatores associados ao ORC. Com base no consenso do centro médico e dos parceiros de pesquisa, enumeramos as barreiras e facilitadores do processo de implementação. A barreira primária do ORC era o comprometimento de longo prazo da enfermagem em fornecer recursos contínuos ao programa. Três barreiras relacionadas incluíram a necessidade de abordar: (1) demandas organizacionais concorrentes, (2) mecanismos diferentes para integrar novas intervenções na carga de trabalho existente e (3) métodos para encaminhar pacientes para programas de apoio à doença e autogerenciamento. Antes da implementação completa, no entanto, as partes interessadas identificaram um alto nível de compromisso para conduzir intervenções realizadas por enfermeiros usando plenamente suas habilidades. Houve também um compromisso significativo da equipe central de implementação e um desejo de melhorar os resultados dos pacientes. Esses facilitadores foram observados durante a implantação do HTN-IMPROVE. Conforme demonstrado pela ligação entre as barreiras e os facilitadores da implementação antecipada através da avaliação do ORC e ​​o que foi realmente observado durante o processo de implementação, este projeto demonstra a utilidade prática da avaliação do ORC antes de embarcar na implementação de novas inovações clínicas significativas.

Palavras-chave: entrega de serviços de saúde pesquisa veteranos de inovação organizacional hipertensão.


Dissecando o motor EcoBoost da Ford

Os motores Ford EcoBoost combinam turboalimentação e injeção direta para melhorar a economia de combustível e reduzir as emissões sem sacrificar o desempenho. O que poderia dar errado?

O objetivo é construir um veículo de baixas emissões, com boa economia de combustível, que tenha um desempenho tão bom que o motorista se esqueça que está dirigindo um veículo de baixas emissões com boa economia de combustível. Para conseguir isso, precisamos extrair cada bit de eficiência de cada centímetro cúbico de um motor de pequeno deslocamento. Isso é o que os engenheiros da Ford tentaram com seus motores EcoBoost. Eles conseguiram 179 cv de seu 1.5L de 4 cilindros e 365 cv de um 3.5L V6. O EcoBoost também está disponível em outros sabores - um 2.7L V6, um 2.3L, 2.0L e 1.6L de 4 cilindros e um 1.0L de 3 cilindros.

O EcoBoost é um motor de injeção direta turboalimentado a gasolina (GTDI) que incorpora três tecnologias de economia de combustível e aprimoramento de desempenho em um projeto de motor - indução de ar forçada via turboalimentação, injeção direta de combustível de alta pressão e comando de came variável.

Em um motor GTDI, o combustível é entregue ao compartimento do motor por uma bomba de combustível de baixa pressão, usando um sistema de combustível sem retorno. O combustível então passa por uma bomba de combustível de alta pressão acionada mecanicamente, montada no topo da cabeça do cilindro e acionada por um lóbulo de eixo de comando de quatro lados. O combustível viaja através de um trilho de combustível de aço inoxidável a pressões entre 65 e 2150 psi, dependendo da demanda, e então para os injetores de combustível, que injetam o combustível diretamente nas câmaras de combustão.

O ar de admissão entra pelo filtro de ar e é comprimido pelo lado do compressor do turbocompressor. O ar comprimido muito quente é forçado através do refrigerador de ar de admissão (CAC) - porque como todos sabemos, o ar frio é mais denso, o que significa que queima de forma mais eficiente do que o ar quente - então passa pelo corpo do acelerador para o coletor de admissão, passando pelo válvulas de admissão e na câmara de combustão.

Após a combustão, o escapamento é empurrado para um coletor de escapamento de câmara dupla, que incorpora um espaço de ar entre o escapamento e o compartimento do motor. Isso mantém o escapamento mais quente, o que torna a operação do turboalimentador mais eficiente e ajuda a manter o compartimento do motor mais frio. Os gases quentes de exaustão em expansão viajam para o lado da turbina do turbocompressor, girando o rotor a velocidades de até 200.000 rpm, que por sua vez gira o lado do compressor do turbocompressor. Essa é a inicialização básica do motor GTDI.

Não houve muitas mudanças feitas no mecanismo de base para acomodar GTDI. Eles têm eixos de comando de válvulas duplos (DOHCs) em quatro válvulas por cilindro, que são governados por comando de comando variável (VCT). As cabeças dos cilindros são de alumínio e todos os motores EcoBoost, exceto o 1.0L e o 2.7L, têm blocos de alumínio, razão pela qual a Ford faz de tudo para evitar danos ao motor devido ao superaquecimento.

A taxa de compressão é um modesto 10: 1 para todos os motores GTDI, exceto 2.0L, que é 9.3: 1, e 2.3L, que é 9.5: 1. A compressão mais baixa é necessária em motores de ar forçado para evitar a detonação. A 15 psi de turbo boost ao nível do mar, um motor com uma taxa de compressão de 10: 1 tem uma taxa de compressão efetiva de cerca de 20: 1. Essa proporção flerta com o limite de detonação. A compressão mais alta pode levar à pré-ignição da mistura ar-combustível, causando uma detonação desagradável.

Uma preocupação que está se tornando um problema com todos os motores GTDI é o acúmulo excessivo de carbono na parte traseira das válvulas de admissão. Isso causa falhas na ignição de difícil diagnóstico, especialmente quando o motor está frio, e também pode criar uma marcha lenta irregular. Uma razão para isso é o sincronismo da válvula.

Quando a válvula de exaustão abre no curso de exaustão sob condições de impulso, a válvula de admissão abre ligeiramente para permitir a entrada de ar forçado na câmara de combustão. Este impulso de ar fresco forçado auxilia na evacuação da exaustão do cilindro. Durante essa sobreposição, uma pequena quantidade de gases de combustão pode passar furtivamente pelas válvulas de admissão, causando o acúmulo de carbono na parte de trás das válvulas. A injeção direta de combustível piora esta condição porque o combustível não é pulverizado diretamente sobre a válvula de admissão para limpá-la, a injeção direta pulveriza o combustível diretamente na câmara de combustão.

Outro contribuidor para esse problema é o sistema PCV. Além dos vapores normais do cárter que entram na entrada do sistema PCV, esses vapores também podem entrar na entrada do turbocompressor. Uma válvula de retenção na mangueira de vácuo PCV desvia os vapores do cárter para a mangueira de baixa pressão do turbocompressor sob condições de impulso. Isso evita o refluxo do ar de admissão pressurizado através da válvula PCV e para o cárter.

A única maneira segura de diagnosticar o acúmulo excessivo de carbono é examinar as válvulas com um boroscópio. Portanto, se você estiver diagnosticando uma falha de ignição fantasma em um motor GTDI, especialmente se estiver mais frio e depois de eliminar os suspeitos do costume, abra o boroscópio.

Conforme você começa a ver mais motores GTDI em sua loja, é provável que você ouça reclamações sobre a fumaça preta do tubo de escape. A fumaça preta durante a partida inicial, e especialmente durante o primeiro evento de aceleração a frio, é considerada normal. Isso se deve à estratégia de injeção de pulso duplo usada durante um evento de inicialização a frio. O cenário ideal de partida a frio é uma mistura rica o suficiente para acomodar um motor frio, mas pobre o suficiente para permitir que os conversores catalíticos atinjam rapidamente a temperatura de operação. Durante a inicialização a frio em um motor GTDI, os injetores emitem um pequeno spray no movimento descendente do ciclo de admissão e, em seguida, outro spray no topo do ciclo, bem no pistão. A forma do pistão força o combustível em direção à vela de ignição, permitindo uma boa mistura de partida a frio sem criar uma condição rica. Isso tende a causar alguns sopros pretos no tubo de escape. Se os compensadores de combustível não indicam uma condição rica, é normal.

O motor 1.0L EcoBoost GTDI usa uma correia dentada banhada em óleo, então não entre em pânico ao ver uma correia molhada de óleo. Ao fazer a manutenção de correias de distribuição ou correntes em qualquer um dos motores GTDI de 4 cilindros da Ford, não afrouxe o parafuso da polia do virabrequim sem primeiro travar o virabrequim e os eixos de comando com as ferramentas especiais. As polias não são chaveadas e travam no eixo quando apertadas. Se eles forem afrouxados sem travar os eixos, as molas das válvulas irão girar os eixos de comando, possivelmente causando danos ao motor.

Aqui está uma descrição de uma frase do que um turbocompressor faz: "Os turbocompressores aumentam a eficiência do motor fornecendo ar fresco comprimido para as câmaras de combustão por meio de um compressor de ar centrífugo que é alimentado por gases de escape em expansão." Há um turboalimentador nos motores Ford de 3 e 4 cilindros e dois nos modelos V6, um para cada margem. Os turbos GTDI são resfriados por óleo do motor, líquido de arrefecimento e ar. Os rolamentos são lubrificados com óleo do motor.

Os turboalimentadores GTDI são montados diretamente ou, em algumas aplicações, integrados aos coletores de escapamento. Os turbos estando tão perto das câmaras de combustão permitem que eles atinjam a velocidade máxima mais rapidamente. Isso, junto com os rotores de baixa inércia que acionam a turbina, permite uma rápida reação do turbo e virtualmente nenhum turbo lag. Mas a localização dos turbos cria alguns problemas. Eles ficam quentes. Eles também são vulneráveis ​​a danos causados ​​por pedaços de carbono soltos que podem voar para fora do cilindro, razão pela qual você nunca deve realizar um serviço de indução em um motor GTDI. O excesso de calor criado pelo limpador e a quebra de pedaços ásperos de carbono estão matando turbos. A Ford está trabalhando em um sistema de limpeza por indução aprovado.

A saída do turbocompressor deve ser regulada para evitar pressão de entrada excessiva ou overboost. O módulo de controle do trem de força (PCM) controla o fluxo de exaustão para os turbos usando uma válvula de descarga montada no turbocompressor, que direciona o fluxo de exaustão ao redor do turboalimentador quando necessário. A wastegate é aberta por um diafragma operado por vácuo do motor ou pressão de turbo, dependendo da aplicação. O PCM usa um sensor de MAP montado no coletor de admissão para monitorar a pressão de turbo. Então, usando um solenóide de válvula reguladora de válvula de descarga, ele comanda o diafragma para mover uma válvula tipo gatilho que redireciona o fluxo de exaustão ao redor do turbo. A válvula é mantida na posição fechada pela pressão da mola. Uma haste rosqueada conecta o diafragma à válvula e, embora a haste tenha uma porca de ajuste, ela não é ajustável. A haste vem de fábrica com uma gaiola pintada sobre a porca de ajuste. If the cage is missing, or if the paint is disturbed, someone has tried to adjust it, and the entire turbo must be replaced, since the wastegate and rod are not serviced separately.

During quick throttle releases, intake air from the high-pressure turbocharger outlet is redirected to the low-pressure turbocharger inlet by the turbocharger bypass valve (TCBV). This recirculating of airflow prevents loud air sounds that are caused by the backup of intake air through the turbocharger. When the TCBV is stuck closed, the air sound during a quick deceleration can be pretty loud, and will often generate a customer complaint. Depending on the application, the TCBV will be operated by an electric motor or by engine vacuum.

Most issues with turbocharger control will set a DTC, but not all. I recently serviced an Explorer with the 3.5L GTDI that would lose power on acceleration at about 40 mph. There were no DTCs stored in the PCM, so I proceeded with a visual inspection, which is your most valuable tool in all diagnoses. The vacuum hose from the air intake to the TCBV was cracked and leaking, causing intake air to bypass the turbochargers during a time when boost air was needed the most. Since then I’ve seen a few of these hoses that were soft and cracked. Be sure to check this when diagnosing a loss of power on a GTDI engine.

Here are some tips for diagnosing turbocharger noise concerns. An air turbulence sound or a whoosh! noise during throttle tip-in on a V6 GTDI engine could be caused by turbocharger imbalance, meaning that both turbos are not operating evenly in relation to each other. Check the paint on the wastegate rods to ensure that no one has messed with the adjustment, then proceed with wastegate diagnosis. Other noise concerns include a whistling sound or a hissing sound. A whistle is usually caused by a leak in the low-pressure side of the turbo a hiss is normally a high-pressure leak, past the turbo.

Before performing any diagnosis on a GTDI engine, visually inspect all air intake and vacuum hose connections. The smallest air leak can cause driveability issues and set DTCs. During your visual inspection, you might notice oil residue around the turbo. This is normal due to the PCV system. Oil leaking, draining or puddling is not normal.

A few more things about the turbos. The only change in the evaporative emissions system to accommodate GTDI is a check valve positioned between the intake manifold and the canister purge valve to prevent boost pressure from entering the vapor canister.

There’s a screen located in the turbocharger oil supply line. Always replace it when replacing a turbo that has failed, and if you remove the air inlet or outlet hose from the turbo, cover the opening with a shop rag. The smallest piece of debris can launch that turbo.

The 1.5L GTDI uses a water-cooled CAC. Coolant is circulated through the cooler by an electric coolant pump. This auxiliary cooling system is filled through the same degas bottle as the engine cooling system, and a bleeder valve is provided above the cooler.

Due to the lack of intake manifold vacuum during boost, a mechanical vacuum pump is used to accommodate the brake power booster. The vacuum pump is mounted on the back of the cylinder head and is camshaft-driven. The 2011 and 2012 F-150s use an electrical pump mounted on the left side of the radiator support, behind the headlight. These electric pumps do go bad and make a lot of noise when they do.

What about the DI part of GTDI, high-pressure direct fuel injection? One of the biggest advantages of fuel being injected directly into the combustion chamber is that it doesn’t vaporize in the intake manifold or stick to the walls of the intake ports. Instead, the fuel is atomized by intake air as it enters the combustion chamber.

The low-pressure pump is primed by the activation of the interior lamp circuit. So when you open the door, the low-pressure pump turns on for a couple of seconds to establish fuel pressure. When the PCM receives an engine start signal, it sends a 65V boost to the
fuel injectors to give them a kick start, then modulates voltage as needed. Since the high-pressure pump is mechanical, it starts working as soon as the engine starts turning.

A steel line supplies fuel to the fuel
rail from the high-pressure pump. While there’s no service port in the high-pressure side of the fuel system, some models do supply a service port on the low-pressure side. The best way to determine fuel pressures is by monitoring parameters for the fuel pressure sensor, which is located on the low-pressure side, and the fuel rail pressure (FRP) sensor, which is mounted on the high-pressure side. High pressure is controlled by a fuel volume regulator, which is pulse-modulated by the PCM, mounted on the high-pressure pump.

Both the low-pressure and high-pressure sides of the fuel system work together, and each will react to the other in case of a malfunction. We serviced a 1.6L Escape with a loss of power through the entire range, from tip-in to top speed. It ran like it was going uphill against a head wind. First thing I noticed was that low fuel pressure was about 10 psi above specification. Then I discovered that this was because high fuel pressure was running drastically below specification. The PCM was boosting low pressure in an attempt to compensate for the decreased high pressure. So when monitoring fuel pressures, be aware that an out-of-spec value on one side could be due to a fault on the other side.

Ford does not recommend backprobing the fuel injector harness plug while the engine is running, as this can damage the PCM. If you have an inoperative injector, check both wires from the injector to the PCM for an open or short. Check resistance across the two pins at the injector it should be 1 to 2 ohms. Don’t try to bench-test a GTDI fuel injector. Remember, it takes 65V to get those things started.

There’s a tappet located under the high-pressure pump that rests on the camshaft lobe and engages the pump. Be sure to check the tappet and camshaft lobe for wear when replacing the pump. Don’t forget to remove the tappet when replacing a cylinder head or engine and place it in the new one. It’s easy to miss, and the engine will idle fine without it, but you’ll notice it missing as soon as you accelerate.

Naquela tap, tap you hear coming from an idling GTDI engine is not a valve tap but normal operation of the high-pressure pump. A rubber noise suppressor is fitted over the pump at the factory to help suppress the noise. Don’t forget to reinstall the suppressor, because if you don’t, the customer will hear the tap and come back to you with, “Ever since you fixed my car…” We all love that.

The EcoBoost GTDI engines use a basic coil-on-plug ignition system, with one exception. The coil driver is integrated into the coil, rather than the PCM. This means that the coil harness plug contains three wires, a power circuit that’s hot in Start and Run, a ground circuit and a trigger circuit from the PCM. The PCM grounds the trigger wire, which switches the driver to fire the coil. It’s important that you don’t unplug these coils while the engine is running, as this can damage the PCM. It’s best to pull the coil from the spark plug and install a spark tester to see if you’re getting spark. If there’s no spark, swap coils with another cylinder to see if the misfire follows.

All GTDI engines use twin independent variable cam timing (Ti-VCT) to adjust timing on both intake and exhaust cams, except for the 3.5L engine that’s not in the F-150 these use intake phase shifting (IPS) controlling only the intake camshaft. VCT systems use oil pressure-controlled actuators to rotate the camshafts to advance or retard engine timing based on operating conditions. Besides providing reduced emissions and increased engine power, Ti-VCT also allows for the elimination of the EGR valve. This is accomplished by controlling the overlap between the intake valve opening and the exhaust valve closing, allowing a small amount of exhaust gases to be pulled into the cylinder during the intake stroke.

The Ti-VCT actuators are mounted to the front of each camshaft, and the timing chain or timing belt is mounted to the actuator. The actuator is moved by oil pressure, which is regulated by a PCM-controlled solenoid. When the flow of oil is shifted from one side of the actuator to the other, the differential change in oil pressure rotates the camshaft to an advanced or retarded position. The PCM uses crankshaft position (CKP) and camshaft position (CMP) sensor values to determine engine timing. If the PCM detects a concern with the Ti-VCT system—usually an open in the solenoid circuit or incorrect actual engine timing in relation to desired engine timing—it will move the actuators to the default position and set a DTC.

Since Ti-VCT is dependent on oil pressure, it’s critical that engine oil pressure is within specs for the system to work properly. When diagnosing a problem with Ti-VCT that’s not a circuit issue, check oil pressure first. Low oil pressure can cause noisy actuators, noisy chains and incorrect actual engine timing. Check for oil sludge, even if oil pressure is within specs. Sludge can clog the small oil passages that feed the actuators, resulting in a malfunction.

I recently serviced a 1.6L GTDI engine with various Ti-VCT performance DTCs. I first checked oil pressure, which was within specs. During disassembly, I found small pieces of filter material clogging the intake VCT actuator that had broken loose from an aftermarket no-name oil filter. The pieces were small and made up a sort of paper-oil mud. It didn’t affect engine operation in any other way it just clogged up the Ti-VCT. Be sure to check oil pressure and oil condition before beginning Ti-VCT diagnosis.

The cooling system on the GTDI engine uses various tricks to control coolant flow through the engine. To allow engine components to warm up quicker, the 1.6L GTDI engine utilizes a coolant shutoff solenoid valve that controls coolant flow through the engine block during a cold start. The valve shuts down all coolant to the engine until the warm-up phase is over, then reopens, allowing normal coolant flow. During a cold start with ambient temperature below 60°F, the shutoff valve remains open to provide cabin heat to the driver. To check if the shutoff valve is stuck closed, remove the degas bottle cap and look for flow. If you see no flow in the degas bottle on a warm engine, the shutoff valve is not opening.

Coolant flow to the turbochargers is supplied through a line that branches off from the engine cooling system in all EcoBoost GTDI engines except the 1.0L, which uses a separate electric coolant pump to feed the turbos. The 1.0L also uses two thermostats to better control coolant flow through the engine.

To control airflow through the radiator and a/c condenser, some models use an active grille configuration. The grille is a series of blinds located in front of the a/c condenser and is controlled by the PCM via an electric actuator. The blinds can close completely to stop airflow, or allow partial flow by opening, in 6° increments, all the way to fully open. The PCM uses engine temperature, ambient temperature, vehicle speed and a/c pressures to determine the position of the active grille. If the actuator doesn’t move to the position desired by the PCM, it will set a DTC. The problem is that the blinds don’t always move with the actuator, whether due to road debris, ice or a crash. Always check the blinds for damage or contamination when diagnosing an engine overheat or an a/c efficiency concern. I recently replaced an active grille because a body shop wired the broken blinds shut to keep them from rattling.

In case of overheating, Ford EcoBoost GTDI engines will enter failure mode. At the start of an overheat event, the PCM will turn on warning indicators, set the cooling fans on high and start shutting down cylinders to try to cool the engine. A P1299 (cylinder head overtemperature protection active) will store in the PCM, and the vehicle will idle, but not accelerate. The engine will remain in failure mode until the DTC is cleared, even when the engine cools down.

As long as we refuse to sell our souls to electric cars and still demand good fuel economy plus a little zoom in our morning commute, turbocharged engines and direct fuel injection are most likely the future for passenger cars and light trucks. After all, who doesn’t like horsepower?


A proof of the Kuramoto conjecture for a bifurcation structure of the infinite-dimensional Kuramoto model

The Kuramoto model is a system of ordinary differential equations for describing synchronization phenomena defined as coupled phase oscillators. In this paper, a bifurcation structure of the infinite-dimensional Kuramoto model is investigated. A purpose here is to prove the bifurcation diagram of the model conjectured by Kuramoto in 1984 if the coupling strength $K$ between oscillators, which is a parameter of the system, is smaller than some threshold $_ $ , the de-synchronous state (trivial steady state) is asymptotically stable, while if $K$ exceeds $_ $ , a non-trivial stable solution, which corresponds to the synchronization, bifurcates from the de-synchronous state. One of the difficulties in proving the conjecture is that a certain non-selfadjoint linear operator, which defines a linear part of the Kuramoto model, has the continuous spectrum on the imaginary axis. Hence, the standard spectral theory is not applicable to prove a bifurcation as well as the asymptotic stability of the steady state. In this paper, the spectral theory on a space of generalized functions is developed with the aid of a rigged Hilbert space to avoid the continuous spectrum on the imaginary axis. Although the linear operator has an unbounded continuous spectrum on a Hilbert space, it is shown that it admits a spectral decomposition consisting of a countable number of eigenfunctions on a space of generalized functions. The semigroup generated by the linear operator will be estimated with the aid of the spectral theory on a rigged Hilbert space to prove the linear stability of the steady state of the system. The center manifold theory is also developed on a space of generalized functions. It is proved that there exists a finite-dimensional center manifold on a space of generalized functions, while a center manifold on a Hilbert space is of infinite dimension because of the continuous spectrum on the imaginary axis. These results are applied to the stability and bifurcation theory of the Kuramoto model to obtain a bifurcation diagram conjectured by Kuramoto.


Linkage between theory-based measurement of organizational readiness for change and lessons learned conducting quality improvement-focused research

Organizations have different levels of readiness to implement change in the patient care process. The Hypertension Telemedicine Nurse Implementation Project for Veterans (HTN-IMPROVE) is an example of an innovation that seeks to enhance delivery of care for patients with hypertension. We describe the link between organizational readiness for change (ORC), assessed as the project began, and barriers and facilitators occurring during the process of implementing a primary care innovation. Each of 3 Veterans Affairs medical centers provided a half-time nurse and implemented a nurse-delivered, telephone-based self-management support program for patients with uncontrolled hypertension. As the program was starting, we assessed the ORC and factors associated with ORC. On the basis of consensus of medical center and research partners, we enumerated implementation process barriers and facilitators. The primary ORC barrier was unclear long-term commitment of nursing to provide continued resources to the program. Three related barriers included the need to address: (1) competing organizational demands, (2) differing mechanisms to integrate new interventions into existing workload, and (3) methods for referring patients to disease and self-management support programs. Prior to full implementation, however, stakeholders identified a high level of commitment to conduct nurse-delivered interventions fully using their skills. There was also a significant commitment from the core implementation team and a desire to improve patient outcomes. These facilitators were observed during the implementation of HTN-IMPROVE. As demonstrated by the link between barriers to and facilitators of implementation anticipated though the evaluation of ORC and what was actually observed during the process of implementation, this project demonstrates the practical utility of assessing ORC prior to embarking on the implementation of significant new clinical innovations.

Keywords: delivery of health care health services research hypertension organizational innovation veterans.


Engine RPM Limits

There are two engine rpm limits that are important to consider. These are the rpm levels for continuous safe cruising and the maximum rpm that the short block can safely handle. The specific maximum rpm is determined by:

Onde:
R = Rod strength
M = mass of reciprocating parts
S = Stroke
ILF = Inertial loading factor
F = Factor of safety

For a reciprocating mass consisting of 830 gm. for piston, pin, and rings plus the rod. small end weight as noted ( i.e.. 1252 gm. for 541000 rod), the following chart lists the maximum rpm limits for a factor of safety of 2.0 : 1.


Stock 541000 Early forged 532294 RA V 545855 63 SD 529238 455 SD 485225
Rod Small End Wt. 422 gm. 422 gm. 411 gm. 422 gm. 355 gm.
Stroke
2.840 in. 7267 rpm 7438 rpm 8574 rpm 8886 rpm 9624 rpm
3.250 6670 6828 7869 8156 8834
3.375 6572 6727 7754 8036 8704
3.563 6310 6458 7444 7716 7357
3.750 6116 6260 7216 7479 8103
4.000 5881 6019 6939 7191 7789
4.210 5700 5835 6727 6970 7549

If your piston, pin and rings weigh a different amount than the reference mass, the rpm limit is changed by the square root of the reference mass divided by the actual mass. Example: piston, pin and ring assembly weight is 730 gm.

If you run your engine at a higher rpm than that listed in the table, then the factor of safety will be reduced by tht square of the ratio of the listed rpm divided by the actual rpm. Example: 3.75" stroke with stock rods run at 6400 rpm.

If the ratio of the rpm's is less than 0.7071. the resultant factor of safety will be less than 1.0, which indicates that the stress level exceeds the rod strength and the rod will probably break immediately. At factors of safety between 1.0 and 2.0. the expected life is correspondingly less than maximum. For cruising. the exact rpm is not as critical. If you observe a cruise limit of 2500 fpm mean piston speed you will have no problems. Main bearing diameter also has an effect on maximum engine rpm limits. A large bearing diameter allows a large crankshaft cross-section which means greater strength, but it also means increased oil pump pressure to overcome the centrifugal force of the oil in the main journal. Figure 6 below shows the minimum oil pressure for any rpm .


Assista o vídeo: Center manifold theory, computing center manifolds (Outubro 2021).