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9.2: Conjunto de Problemas - Matemática


Exercício ( PageIndex {1} )

Considere o seguinte campo vetorial autônomo no plano:

( ponto {x} = mu x-3y-x (x ^ 2 + y ^ 2) ^ 3 ),

( dot {y} = 3x + mu y-y (x ^ 2 + y ^ 2) ^ 3 ),

onde ( mu ) é um parâmetro. Analise possíveis bifurcações em (x, y) = (0, 0) para ( mu ) em uma vizinhança de zero. (Dica: use coordenadas polares.)

Exercício ( PageIndex {2} )

Esses exercícios são do livro de Marsden e McCracken8. Considere os seguintes campos vetoriais expressos em coordenadas polares, ou seja, ((r, theta) in mathbb {R} ^ {+} times mathcal {S} ^ 1 ), dependendo de um parâmetro ( mu ). Analise a estabilidade da origem e a estabilidade de todas as órbitas periódicas bifurcadas em função de ( mu ).

(uma)

( dot {r} = -r (r- mu) ^ 2 ),

( ponto { theta} = 1 ).

(b)

( ponto {r} = r ( mu-r ^ 2) (2 mu-r ^ 2) ^ 2 ),

( theta { theta} = 1 ).

(c)

( dot {r} = r (r + mu) (r- mu) ),

( ponto { theta} = 1 ).

(d)

( dot {r} = mu r (r ^ 2-μ) ),

( ponto { theta} = 1 ).

(e)

( dot {r} = - mu ^ {2} r (r + mu) ^ 2 (r- mu) ^ 2 ),

( ponto { theta} = 1 ).

Exercício ( PageIndex {3} )

Considere o seguinte campo vetorial:

( dot {x} = mu x- frac {x ^ 3} {2} + frac {x ^ 5} {4}, x in mathbb {R} )

onde ( mu ) é um parâmetro. Classifique todas as bifurcações de equilíbrios e, no processo de fazer isso, determine todos os equilíbrios e seu tipo de estabilidade.


Assista o vídeo: Zadanie 9b - matura z matematyki Logarytmy zestaw 1 (Outubro 2021).