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10: Geometria Analítica - Matemática


Neste capítulo, vamos investigar as figuras bidimensionais que são formadas quando um cone circular direito é interceptado por um plano. Começaremos estudando cada uma das três figuras criadas dessa maneira. Iremos desenvolver equações de definição para cada figura e, em seguida, aprender como usar essas equações para resolver uma variedade de problemas. As seções cônicas são formadas quando um plano cruza dois cones circulares direitos alinhados ponta a ponta e estendendo-se infinitamente em direções opostas, que também chamamos de cone. A maneira como cortamos o cone determinará o tipo de seção cônica formada na interseção. Um círculo é formado pelo corte de um cone com um plano perpendicular ao eixo de simetria do cone. Uma elipse é formada pelo corte de um único cone com um plano inclinado não perpendicular ao eixo de simetria.

  • 10.0: Prelúdio à Geometria Analítica
    Neste capítulo, investigaremos as figuras bidimensionais que são formadas quando um cone circular direito é interceptado por um plano. Vamos desenvolver equações de definição para cada figura e, em seguida, aprender como usar essas equações para resolver uma variedade de problemas.
  • 10.1: A Elipse
    Nesta seção, investigaremos a forma desta sala e suas aplicações no mundo real, incluindo a que distância duas pessoas no Statuary Hall podem ficar e ainda ouvir um ao outro sussurrar.
  • 10.2: A Hipérbole
    Na geometria analítica, uma hipérbole é uma seção cônica formada pela intersecção de um cone circular direito com um plano em um ângulo tal que as duas metades do cone se cruzam. Essa interseção produz duas curvas ilimitadas separadas que são imagens espelhadas uma da outra.
  • 10.3: A Parábola
    Como a elipse e a hipérbole, a parábola também pode ser definida por um conjunto de pontos no plano de coordenadas. Uma parábola é o conjunto de todos os pontos em um plano que estão à mesma distância de uma linha fixa, chamada de diretriz, e um ponto fixo (o foco) que não está na diretriz.
  • 10.4: Rotação dos eixos
    Nas seções anteriores deste capítulo, nos concentramos nas equações de forma padrão para seções cônicas não degeneradas. Nesta seção, mudaremos nosso foco para a equação da forma geral, que pode ser usada para qualquer cônica. A forma geral é definida como zero, e os termos e coeficientes são dados em uma ordem particular, conforme mostrado abaixo.
  • 10.5: Seções cônicas em coordenadas polares
    Nesta seção, aprenderemos como definir qualquer cônica no sistema de coordenadas polares em termos de um ponto fixo, o foco no pólo, e uma linha, a diretriz, que é perpendicular ao eixo polar.
  • 10.E: Geometria Analítica (exercícios)
  • 10.R: Geometria Analítica (revisão)

Miniatura: as seções cônicas também podem ser descritas por um conjunto de pontos no plano de coordenadas. Esta seção enfoca as quatro variações da forma padrão da equação para a elipse. Uma elipse é o conjunto de todos os pontos (x, y) (x, y) em um plano tal que a soma de suas distâncias de dois pontos fixos é uma constante. Cada ponto fixo é chamado de foco (plural: foci).


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Você recebe o seguinte diagrama, com vários pontos mostrados:

Encontre as coordenadas dos pontos (A ), (B ), (C ), (D ) e (E ).

No gráfico, podemos ler os valores (x ) e (y ) para cada ponto.

Você recebe o seguinte diagrama, com vários pontos mostrados:

Qual ponto está nas coordenadas ((3-5) )?

Para esta questão, devemos encontrar o ponto ((3-5) ).

Portanto, no gráfico podemos traçar os valores (x ) e (y ).

Portanto, o ponto (A ) está nas coordenadas: ((3-5) )

Você verá o diagrama a seguir, com 4 formas desenhadas.

Todas as formas são idênticas, mas cada forma usa uma convenção de nomenclatura diferente:

Qual forma usa a convenção de nomenclatura correta?

Lembramos que a convenção de nomenclatura correta para uma forma está em ordem alfabética, no sentido horário ou anti-horário em torno da forma.

No diagrama, podemos ver que apenas Forma Z segue esta convenção de nomenclatura.

Representam as seguintes figuras no plano cartesiano:

Triângulo (DEF ) com (D (12) ), (E (32) ) e (F (24) ).

Quadrilátero (GHIJ ) com (G (2-1) ), (H (02) ), (I (-2-2) ) e (J (1-3) ).

Quadrilátero (MNOP ) com (M (11) ), (N (-13) ), (O (-23) ) e (P (-41) ).

Quadrilátero (WXYZ ) com (W (1-2) ), (X (-1-3) ), (Y (2-4) ) e (Z (3-2) )

Você recebe o seguinte diagrama:

Calcule o comprimento da linha (AB ), corrija para 2 casas decimais.

A equação para distância é (d_ = sqrt <(x_B - x_A) ^ 2 + (y_B - y_A) ^ 2> ). Substituímos em (A (-4 text <1,5>) ) e (B ( text <3,5> - text <4,5>) ) e resolvemos:

A figura a seguir mostra dois pontos no plano cartesiano, (A ) e (B ).

A distância entre os pontos é ( text <8.4853> ). Calcule a coordenada ausente do ponto (B ).

A equação para distância é (d_ = sqrt <(x_B - x_A) ^ 2 + (y_B - y_A) ^ 2> ). Substituímos em (A (- texto <3> texto <2>) ) e (B (x- texto <4>) ):

Agora vamos reorganizar e resolver para o valor de (x ):

Agora temos uma escolha entre 2 valores para (x ). No diagrama, podemos ver que o valor apropriado para esta pergunta é ( text <3> ).

Você recebe o seguinte diagrama:

Calcule o gradiente ( (m )) da linha (AB ). As coordenadas são (A (-1- text <3,5>) ) e (B (2 text <2,5>) ) respectivamente.

Portanto, o gradiente, (m ), da linha (AB ) é ( text <2> ).

Você recebe o seguinte diagrama:

Você também foi informado de que a linha (AB ) tem um gradiente, (m ), de ( text <0,5> ).

Calcule a coordenada em falta do ponto (B ).

Você recebe o seguinte diagrama:

Você também foi informado de que a linha (AB ) tem um gradiente, (m ), de ( text <2> ).

Calcule a coordenada em falta do ponto (B ).

No diagrama, (A ) é o ponto ((- 61) ) e (B ) é o ponto ((03) ).

Encontre a equação da linha (AB ).

Primeiro encontramos o gradiente da linha:

Em seguida, notamos que o ponto (B ) encontra-se no eixo (y ) e também a interceptação (y ). Portanto (c = 3 ).

Portanto, a equação da linha (AB ) é: (y = frac <1> <3> x + 3 ).

Calcule o comprimento de (AB ).

Você recebe o seguinte diagrama:

Você também foi informado de que a linha (AB ) corre paralela à seguinte linha: (y = - text <1,5> x - text <4> ). O ponto (A ) está em ( left (-3 text <3,5> right) ).

Encontre a equação da linha (AB ).

Seja (y = - text <1,5> x - text <4> ) a linha (CD ).

Como a linha (AB ) é paralela à linha (CD ), (m_ = m_ = - text <1,5> ).

Agora podemos substituir no ponto conhecido ( (A )) e encontrar a interceptação (y ) da linha:

Portanto, a equação da linha (AB ) é: (y = - text <1,5> x - text <1> )

Você recebe o seguinte diagrama:

Você também foi informado de que a linha (AB ) corre paralela à seguinte linha: (y = x - 2 ).

Calcule a coordenada em falta do ponto (B (x3) ).

Uma vez que a linha (AB ) é paralela à linha (CD ), (m_ = m_ = 1).

Agora podemos substituir no ponto conhecido ( (A )) e encontrar a interceptação (y ) da linha:

começar y & amp = x + c -1 & amp = -2 + c c & amp = 1 end

Portanto, a equação da linha (AB ) é: (y = x + 1 ).

Finalmente, substituímos o valor conhecido do ponto (B ) na equação da linha (AB ):

começar y & amp = x + 1 3 & amp = x + 1 2 & amp = x end

Portanto, o ponto (B ) está em ((23) ).

Você recebe o seguinte diagrama:

Você também foi informado de que a linha (AB ) é perpendicular à seguinte linha: (y = - text <0,5> x - text <2> ).

Calcule a coordenada em falta do ponto (B ).

A forma geral de uma linha reta é: (y = mx + c ).

Seja a linha (CD ) (y = - text <0,5> x - 2 ).

A linha (AB ) é perpendicular à linha (CD ) e, portanto, (m_ = dfrac <-1><>>).

começar y & amp = mx + c y & amp = left ( frac <-1><>> right) x + c y & amp = left ( frac <-1> <- text <0,5 >> right) x + c y & amp = 2x + c end

Agora podemos substituir o ponto (A ) na equação para encontrar a interceptação (y ):

começar y & amp = text <2> x + c - text <4> & amp = ( text <2>) (- text <1>) + c c & amp = - text <2> fim

Em seguida, podemos substituir no ponto (B ) para encontrar a coordenada ausente:

começar y & amp = text <2> x - text <2> y & amp = ( text <2>) ( text <1>) - text <2> y & amp = text <0> fim

Portanto, a coordenada ausente é (B (10) ).

O gráfico aqui mostra a linha, (AB ). A linha tracejada azul é perpendicular a (AB ).

A equação da linha tracejada azul é (y = x + text <0,5> ). O ponto (A ) está em ((- text <5> text <3,5>) ).

Determine a equação da linha (AB ).

Seja a linha (CD ) a linha tracejada azul.

A linha (AB ) é perpendicular à linha (CD ) e, portanto, (m_ = dfrac <-1><>>).

começar y & amp = mx + c y & amp = left ( frac <-1><>> right) x + c y & amp = left ( frac <-1> <1> right) x + c y & amp = -x + c end

Agora podemos substituir o ponto (A ) na equação para encontrar a interceptação (y ):

Portanto, a equação da linha (AB ) é: (y = -x - text <1,5> ).

Você recebe o seguinte diagrama:

Você também fica sabendo que a linha (AB ) tem a seguinte equação: (y = - text <0,5> x - text <1,5> ).

Calcule a coordenada em falta do ponto (B ).

Podemos substituir o valor conhecido do ponto (B ) na equação dada para a linha (AB ):

Você recebe o seguinte diagrama:

Calcule as coordenadas do ponto médio ( (M )) entre o ponto (A (- text <2> - text <2,5>) ) e o ponto (B ( text <1> texto <3,5>) ) correto para 1 casa decimal.

(A (-23) ) e (B (26) ) são pontos no plano cartesiano. (C (ab) ) é o ponto médio de (AB ). Encontre os valores de (a ) e (b ).

Determine as equações das seguintes linhas retas:

passando por (P (5 5) ) e (Q (-2 12) ).

paralelo a (y = 3x +4 ) e passando por ((4 0) ).

passando por (F (2 1) ) e o ponto médio de (GH ) onde (G (-6 3) ) e (H (-2 -3) ).

No diagrama abaixo, os vértices do quadrilátero são (F (20) ), (G (15) ), (H (37) ) e (I (72) ).

Calcule os comprimentos dos lados de (FGHI ).

Para calcular os comprimentos dos lados, precisamos usar a fórmula da distância. Os quatro lados são (FG ), (GH ), (HI ) e (FI )

Os lados opostos de (FGHI ) são paralelos?

Queremos saber se (GH parallel FI ) e (FG parallel HI ). Podemos calcular o gradiente de cada um dos lados e depois comparar os gradientes.

Notamos que (m_ ne m_) e (m_ ne m_) portanto, os lados opostos não são paralelos.

As diagonais de (FGHI ) se dividem entre si?

Para determinar se as diagonais se cruzam, precisamos encontrar o ponto médio de (FH ) e (GI ).

Portanto (M_ ne M_) e as diagonais não se dividem entre si.

Você pode indicar que tipo de quadrilátero (FGHI ) é? Justifique sua resposta.

Este é um quadrilátero comum. Os lados opostos não são paralelos, as diagonais não se dividem entre si e nenhum dos lados tem o mesmo comprimento.

Considere um quadrilátero (ABCD ) com vértices (A (32) ), (B (45) ), (C (17) ) e (D (13) ).

Encontre os comprimentos dos lados do quadrilátero.

Para calcular os comprimentos dos lados, precisamos usar a fórmula da distância. Os quatro lados são (AB ), (BC ), (CD ) e (AD )

(ABCD ) é um quadrilátero com vértices (A (03) ), (B (43) ), (C (5-1) ) e (D (-1-1) ) .

Primeiro, desenhe um esboço do quadrilátero:

Para mostrar que (AD = BC ), precisamos usar a fórmula da distância para encontrar o comprimento de (AD ) e (BC ).

Portanto, os lados (AD ) e (BC ) são iguais.

Para mostrar que (AB parallel DC ), precisamos mostrar que (m_ = m_).

Os gradientes são iguais, portanto (AB DC paralelo ).

Que tipo de quadrilátero é (ABCD )?

Um trapézio isósceles com um par de lados opostos de comprimento igual e um par de lados opostos paralelos.

Mostre que as diagonais (AC ) e (BD ) não se dividem entre si.

Para mostrar isso, precisamos encontrar os pontos médios de (AC ) e (BD ).

(M_ ne M_), portanto, as diagonais não se dividem entre si.

(P ), (Q ), (R ) e (S ) são os pontos ((- 20) ), ((23) ), ((53) ) e ((- 3-3) ) respectivamente.

Podemos usar a fórmula da distância para mostrar que (SR = 2PQ ).

Uma vez que os gradientes são iguais (SR PQ paralelo ).

Precisamos calcular o comprimento de (PS ):

Precisamos calcular o comprimento de (QR ):

Que tipo de quadrilátero é (PQRS )? Justifique sua resposta.

Trapézio. Um par de lados opostos paralelos.

(EFGH ) é um paralelogramo com vértices (E (-12) ), (F (-2-1) ) e (G (20) ). Encontre as coordenadas de (H ) usando o fato de que as diagonais de um paralelogramo se dividem ao meio.

Como as diagonais se dividem, o ponto médio de (EG ) é igual ao ponto médio de (FH ). Podemos primeiro calcular o ponto médio de (EG ) uma vez que temos as coordenadas de (E ) e (G ). Podemos então usar esse ponto médio para nos ajudar a encontrar as coordenadas de (H ).

(PQRS ) é um quadrilátero com pontos (P (0-3) ), (Q (-25) ), (R (32) ) e (S (3-2) ) no plano cartesiano.

Primeiro, desenhe um esboço do quadrilátero:

(PQRS ) é um paralelogramo? Justifique sua resposta.

Precisamos calcular os gradientes de cada um dos lados para ver se os lados opostos são paralelos. Calculamos o gradiente de (PS ), portanto, só precisamos verificar os gradientes dos outros três lados. No entanto, olhando para o nosso esboço (PS ) não é paralelo a (QR ) (você pode verificar isso calculando o gradiente de (QR )).

Portanto, (PQRS ) não é um paralelogramo. Os lados opostos não são paralelos.

Considere o triângulo (ABC ) com vértices (A (13) ), (B (41) ) e (C (64) ).

Esboce o triângulo (ABC ) no plano cartesiano.

Mostre que (ABC ) é um triângulo isósceles.

Precisamos mostrar que os dois lados são iguais em comprimento. Portanto, calculamos o comprimento de cada um dos lados do triângulo.

Os dois lados do triângulo são iguais em comprimento, portanto ( triângulo ABC ) é isósceles.

Determine as coordenadas de (M ), o ponto médio de (AC ).

Determine o gradiente de (AB ).

Mostre que (D (7-1) ) está na linha que passa por (A ) e (B ).

Acabamos de calcular o gradiente de (AB ): (m_ = dfrac <-2> <3> ). Precisamos calcular o gradiente de (BD ) e (AD ):

Portanto, (A ), (B ) e (D ) são colineares.

Portanto, (D ) está na linha (AB ).

( triângulo PQR ) tem vértices (P (18) ), (Q (87) ) e (R (70) ). Mostre através do cálculo que ( triangle PQR ) é um triângulo isósceles em ângulo reto.

Em seguida, calcule o gradiente de cada um dos três lados do triângulo:

Agora podemos verificar (m_ vezes m_), (m_ vezes m_) e (m_ vezes m_). Assim que descobrirmos que um desses valores é igual a (- text <1> ), então provamos que o triângulo é retângulo.

Portanto, ( triangle PQR ) tem um ângulo reto, (PR perp QR ). O ângulo reto é (P hatR ).

Finalmente, calculamos os comprimentos dos lados (PQ ) e (RQ ) para mostrar que o triângulo é isósceles. Não precisamos calcular (PR ) porque esta é a hipotenusa do triângulo e deve ser maior que (PQ ) e (RQ ).

Portanto, (PQ = RQ ) e, portanto, ( triângulo PQR ) é um triângulo isósceles em ângulo reto.

( triângulo ABC ) tem vértices (A (-34) ), (B (3-2) ) e (C (-5-2) ). (M ) é o ponto médio de (AC ) e (N ) é o ponto médio de (BC ). Use ( triângulo ABC ) para provar o teorema do ponto médio usando métodos de geometria analítica.

O teorema do ponto médio afirma que a linha que une os pontos médios de dois lados de um triângulo é paralela ao terceiro lado e igual a metade do comprimento do terceiro lado. Portanto, precisamos mostrar que (MN paralelo BC ) e que (MN = frac <1> <2> BC ).

Precisamos calcular as coordenadas dos pontos médios (M ) e (N ):

Agora podemos mostrar que (MN parallel BC ):

Finalmente, podemos usar a fórmula da distância para mostrar que (MN = frac <1> <2> BC ):

Liste duas propriedades de um paralelogramo.

  • Ambos os pares de lados opostos são paralelos.
  • Ambos os pares de lados opostos têm o mesmo comprimento.
  • Ambos os pares de ângulos opostos são iguais.
  • Ambas as diagonais se dividem.

Os pontos (A (-2-4) ), (B (-41) ), (C (24) ) e (D (4-1) ) são os vértices de um quadrilátero. Mostre que o quadrilátero é um paralelogramo.

Precisamos mostrar que ambos os pares de lados opostos são paralelos. Portanto, precisamos calcular o gradiente de cada um dos lados:

começar m_ & amp = frac <1 + 4> <-4 + 2> & amp = frac <5> <-2> m_ & amp = frac <-1 - 4> <4 - 2> & amp = frac <-5> <2> portanto AB CD paralelo m_ & amp = frac <4 - 1> <2 + 4> & amp = frac <3> <6> = frac <1> <2> m_ & amp = frac <-1 + 4> <4 + 2> & amp = frac <3> <6> = frac <1> <2> portanto BC paralelo AD end

Portanto, (ABCD ) é um paralelogramo (2 pares opostos. Lados ( paralelo )).

O diagrama mostra um quadrilátero. Os pontos (B ) e (D ) têm as coordenadas ((26) ) e ((42) ) respectivamente. As diagonais de (ABCD ) se dividem em ângulos retos. (F ) é o ponto de intersecção da linha (AC ) com o eixo (y ).

Determine o gradiente de (AC ).

Como as diagonais se dividem entre si, sabemos disso (AC perp BD ). Portanto:

começar m_ vezes m_ & amp = -1 m_ times frac <6 - 2> <2 - 4> & amp = -1 m_ vezes -2 & amp = -1 m_ & amp = frac <1> <2> end

Mostre que a equação de (AC ) é dada por (2y = x + 5 ).

Acima, temos que (m = frac <1> <2> ).

Substitua o ponto (A ) na equação:

começar (0) & amp = frac <1> <2> (-5) + c 0 & amp = frac <-5> <2> + c portanto c & amp = frac <5> <2> portanto y & amp = frac <1> <2> x + frac <5> <2> portanto 2y & amp = x + 5 end

Determine as coordenadas de (C ).

Primeiro calculamos as coordenadas de (E ):

Agora podemos usar as coordenadas de (E ) para encontrar as coordenadas de (C ). Como (E ) é o ponto médio de (AC ), podemos usar a fórmula do ponto médio para encontrar (C ):

começar frac <-5 + x> <2> & amp = 3 -5 + x & amp = 6 x & amp = 11 frac <0 + y> <2> & amp = 4 y & amp = 8 fim

(A (4-1) ), (B (-6-3) ) e (C (-23) ) são os vértices de ( triângulo ABC ).

Encontre o comprimento de (BC ), corrija para 1 casa decimal.

Calcule o gradiente de (AC ).

Se (P ) tem coordenadas ((- 2619) ), mostre que (A ), (C ) e (P ) são colineares.

Da questão anterior, temos que (m_ = frac <-2> <3> ), portanto (m_ = m_).

Portanto, (A ), (C ) e (P ) são colineares.

Determine a equação da linha (BC ).

começar (-3) & amp = frac <3> <2> (-6) + c -3 & amp = -9 + c portanto c & amp = 6 portanto y & amp = frac <3> <2> x + 6 fim

A equação da linha (BC ) é (y = dfrac <3> <2> x + 6 ).

Mostre que ( triângulo ABC ) tem um ângulo reto.

Para um triângulo ter um ângulo reto, os gradientes de dois dos lados devem ser perpendiculares. Precisamos calcular (m_), (m_) e (m_).

Começaremos com (m_) e (m_) uma vez que temos esses valores das questões anteriores: (m_ = dfrac <-2> <3> ) e (m_ = dfrac <3> <2> ).

Podemos verificar se esses dois gradientes são perpendiculares:

Como o produto desses dois gradientes é (- text <1> ), (AC perp BC ).

Portanto, ( triângulo ABC ) tem um ângulo reto.

Dado o seguinte diagrama:

Se (E ) é o ponto médio de (AB ), encontre os valores de (a ) e (b ).

Portanto, (a = 1 ) e (b = frac <7> <2> ).

Encontre a equação da reta perpendicular a (BC ), que passa pela origem.

Primeiro calcule o gradiente de (BC ):

Agora podemos calcular o gradiente de (FG ):

Portanto, temos (y = dfrac <4> <3> x - c ). Como a linha passa pela origem, a interceptação (y ) é ( text <0> ).

Portanto, a equação da reta perpendicular a (BC ), que passa pela origem é: (y = dfrac <4> <3> x ).

Encontre as coordenadas do ponto médio da diagonal (BD ).

Portanto, mostre que (ABCD ) não é um paralelogramo.

O ponto médio de (BD ) não é o ponto médio de (AC ). Portanto, as diagonais do quadrilátero não se dividem entre si e (ABCD ) não é um paralelogramo.

Se (C ) puder ser movido, forneça suas novas coordenadas para que (ABCD ) seja um paralelogramo.

Usamos o ponto médio de (BD ) para encontrar as novas coordenadas (x ) e (y ) de (C ):

começar frac <5> <2> & amp = frac <-2 + x> <2> frac <10> <2> & amp = -2 + x x & amp = 7 1 & amp = frac <2 + y> <2> 2 & amp = 2 + y 0 & amp = y end

Portanto (C (70) ) tornaria (ABCD ) um paralelogramo.

Um triângulo tem vértices (A (-17) ), (B (84) ) e (C (5-5) ).

Calcule o gradiente de (AB ).

Prove que o triângulo é retângulo em (B ).

Para o triângulo ter um ângulo reto em (B ), (m_ times m_ = -1 ). Temos (m_) da questão anterior.

começar m_ & amp = frac <-5 - 4> <5 - 8> & amp = frac <-9> <-3> & amp = 3 portanto m_ vezes m_ & amp = 3 times frac <-1> <3> & amp = -1 end

Portanto, (BC perp AB ) e ( triângulo ABC ) é retângulo em (B ).

Determine o comprimento de (AB ).

Determine a equação da linha de (A ) ao ponto médio de (BC ).

Primeiro encontre o ponto médio de (BC ):

Agora podemos calcular o gradiente da linha:

começar (2) & amp = - (- 1) + c c & amp = 6 portanto y & amp = -x + 6 end

A equação da linha de (A ) ao ponto médio de (BC ) é (y = -x + 6 ).

Encontre a área do triângulo (ABC ).

Primeiro encontre o comprimento de (BC ):

Um quadrilátero tem vértices (A (05) ), (B (-3-4) ), (C (0-5) ) e (D (4k) ) onde (k geq 0 ).

O que (k ) deve ser para que (AD ) seja paralelo a (CD )?

Primeiro desenhamos um esboço. Notamos que (D ) está em algum lugar na linha (x = 4 ).

Para linhas paralelas (m_ = m_):

começar frac <4 - 0> & amp = frac <4 - 0> frac <4> & amp = frac <4> portanto k - 5 & amp = k + 5 0 & amp = 10 end

Portanto, não há valor de (k ) de forma que (AD ) seja paralelo a (DC ).

Podemos ver que isso deve ser verdade, pois (D ) é um ponto comum nas linhas (AD ) e (CD ), portanto (AD ) não pode ser paralelo a (CD ).

O que (k ) deve ser para que (CD = sqrt <52> )?

Mas (k geq 0 ), portanto (k = 1 )

No plano cartesiano, os três pontos (P (-34) ), (Q (7-1) ) e (R (3b) ) são colineares.

(y = - frac <1> <2> x + c ). Substituto (P (-34) ):

começar (4) & amp = - frac <1> <2> (-3) + c c & amp = frac <5> <2> portanto y & amp = - frac <1> <2> x + frac <5> <2> end


CURVAS DE PLANO ESPECIAIS

Área de um loop $ = frac<2>$

CICLÓIDE
Equações na forma paramétrica:
$ left < beginx = a ( phi- sin phi) y = a (1- cos phi) end certo. $

Comprimento do arco de um arco $ = 8a $

Esta é uma curva descrita por um ponto $ P $ em um círculo de raio $ a $ rolando ao longo do eixo $ x $.

HIPOCICLOIDE COM QUATRO CUSPS
Equação em coordenadas retangulares:
$ x ^ frac <2> <3> + y ^ frac <2> <3> = a ^ frac <2> <3> $

Equações na forma paramétrica:
$ left < beginx = a cos ^ 3 theta y = a sin ^ 3 theta end certo. $

Área limitada pela curva $ = frac <3 pi a ^ 2> <8> $

Comprimento do arco de toda a curva $ = 6a $

Esta é uma curva descrita por um ponto $ P $ em um círculo de raio $ frac <4> $ conforme ela rola no interior de um círculo de raio $ a $.

CARDIÓIDE
Equação: $ r = a (1+ cos theta) $

Área delimitada por uma curva $ = frac <3 pi a ^ 2> <2> $

Esta é a curva descrita por um ponto $ P $ de um círculo de raio $ a $ conforme rola do lado de fora de um círculo fixo de raio $ a $. A curva também é um caso especial do limacon de Pascal.

Esta é uma curva na qual uma corrente pesada uniforme seria suspensa se suspensa verticalmente nos pontos fixos $ A $ e $ B $.

ROSA DE TRÊS FOLHAS
Equação: $ r = a cos3 theta $

A equação $ r = a cos3 theta $ é uma curva semelhante obtida girando a curva no sentido anti-horário $ 30 ^ o $ ou $ frac < pi> <6> $ radianos.

Em geral, $ r = a cos n theta $ ou $ r = a sin n theta $ tem $ n $ folhas se $ n $ for ímpar.

ROSA DE QUATRO FOLHAS
Equação: $ r = a cos2 theta $

A equação $ r = a sin2 theta $ é uma curva semelhante obtida girando a curva no sentido anti-horário por $ 45 ^ o $ ou $ frac < pi> <4> $ radianos.

Em geral $ r = a cos n theta $ ou $ r = a sin n theta $ tem $ 2n $ folhas se $ n $ for par.

EPICICLOIDE
Equações paramétricas:
$ left < beginx = (a + b) cos theta-b cos left ( frac right) theta y = (a + b) sin theta-b sin left ( frac direita) theta end certo. $

Esta é uma curva descrita por um ponto $ P $ em um círculo de raio $ b $ conforme ela rola na parte externa de um círculo de raio $ a $. O cardióide é um caso especial de um epiciclóide.

HIPOCICLÓIDE GERAL
Equações paramétricas:
$ left < beginx = (a-b) cos phi + b cos left ( frac direita) phi y = (a-b) sin phi-b sin left ( frac direita) phi end certo. $

Esta é uma curva descrita por um ponto $ P $ em um círculo de raio $ b $ conforme ela rola do lado de fora de um círculo de raio $ a $.

TROCHOID
Equações paramétricas:
$ left < beginx = a phi-b sin phi y = a-b cos phi end certo. $

Esta é uma curva descrita por um ponto $ P $ à distância $ b $ do centro de um círculo de raio $ a $ conforme o círculo rola no eixo $ x $.
Se $ b a $, a curva é mostrada na Fig.11-11 e é chamada de prolate cycloid.
Se $ b = a $, a curva é uma ciclóide.

TRACTRIX
Equações paramétricas:
$ left < beginx = a ( ln cot frac <1> <2> phi- cos phi) y = a sin phi end certo. $

Esta é uma curva descrita pelo ponto final $ P $ de uma string esticada $ PQ $ de comprimento $ a $ conforme a outra extremidade $ Q $ é movida ao longo do eixo $ x $.

WHITCH DE AGNESI
Equação em coordenadas retangulares: $ y = frac <8a ^ 3>$

Equações paramétricas:
$ left < beginx = 2a cot theta y = a (1- cos2 theta) end certo. $

Na figura, a linha variável $ OA $ intercepta $ y = 2a $ e o círculo de raio $ a $ com centro $ (0, a) $ em $ A $ e $ B $ respectivamente. Qualquer ponto $ P $ no "qual" é localizado construindo linhas paralelas aos eixos $ x $ e $ y $ através de $ B $ e $ A $ respectivamente e determinando o ponto $ P $ de interseção.

FOLIUM OF DESCARTES
Equação em coordenadas retangulares:
$ x ^ 3 + y ^ 3 = 3axy $

Equação da assíntota: $ x + y + a = 0 $.

ENVOLVER DE UM CÍRCULO
Equações paramétricas:
$ left < beginx = a ( cos phi + phi sin phi) y = a ( sin phi- phi cos phi) end certo. $

Esta é uma curva descrita pelo ponto final $ P $ de uma corda conforme ela se desenrola de um círculo de raio $ a $ enquanto mantida esticada.

EVOLUIR DE UM ELLIPSE
Equação em coordenadas retangulares:
$ (ax) ^ frac <2> <3> + (por) ^ frac <2> <3> = (a ^ 2-b ^ 2) ^ frac <2> <3> $

Equações paramétricas:
$ left < beginax = (a ^ 2-b ^ 2) cos ^ 3 theta por = (a ^ 2-b ^ 2) sin ^ 3 theta end certo. $
Esta curva é o envelope das normais para a elipse $ frac+ frac=1$.

OVALS DE CASSINI
Equação polar: $ r ^ 4 + a ^ 4-2a ^ 2r ^ 2 cos2 theta = b ^ 4 $.

Esta é a curva descrita pelo ponto $ P $ tal que o produto de suas distâncias de dois pontos fixos [distância $ 2a $ um do outro] é uma constante $ b ^ 2 $.

A curva é como nas figuras de $ b a $ respectivamente.

Se $ b = a $, a curva é um lemniscata

LIMASCON DE PASCAL
Equação polar: $ r = b + a cos theta $

Seja $ OQ $ uma linha que une a origem $ O $ a qualquer ponto $ Q $ em um círculo de diâmetro $ a $ passando por $ O $. Então a curva é o locus de todos os pontos $ P $ tal que $ PQ = b $.


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Shifting the centre of a circle

Complete the following for each equation in the table below:

  • Write down the shifted equation (do not simplify).
  • Draw a rough sketch to illustrate the shift(s).
  1. Vertical shift: the graph is shifted ( ext<1>) unit up.
  2. Horizontal shift: the graph is shifted ( ext<2>) units to the right.
  3. Combined shifts: the graph is shifted ( ext<1>) unit up and ( ext<2>) units to the right.

The first example has been completed.

EquaçãoVertical shiftHorizontal shiftCombined shift
(y - 3x^ <2>= 0)((y - 1) - 3x^ <2>= 0)(y - 3(x - 2)^ <2>= 0)((y - 1) - 3(x - 2)^ <2>= 0)
(y - 5^ = 0)
(x^ <2>+ y^ <2>= 4)

Use the table to answer the following questions:

  1. Write down the general equation of a circle with centre ((00)).
  2. Write down the general equation of a circle with centre ((0b)).
  3. Write down the general equation of a circle with centre ((a0)).
  4. Write down the general equation of a circle with centre ((ab)).

Consider a circle in the Cartesian plane with centre at (C(x_<1> y_<1>)) and with a radius of (r) units. If (P(x_<2> y_<2>)) is any point on the circumference of the circle, we can use the distance formula to calculate the distance between the two points:

The distance (PC) is equal to the radius ((r)) of the circle:

If the coordinates of the centre of the circle are ((ab)), then the equation of a circle not centred on the origin is:

[(x_ <2>- a)^ <2>+ (y_ <2>- b)^2 = r^<2>]

Equation of a circle with centre at ((ab)):

If (P(xy)) is a point on a circle with centre (C(ab)) and radius (r), then the equation of the circle is:

A circle with centre ((00)) is a special case of the general equation:


You need to solve the two equations $ x + 2y + z - 1 = 0 2x + 3y - 2z + 2 = 0. $

Notice that, these are two equations in three variables, so you have a free variable say $z=t$, then we have

Solving the last system gives

Then the parametrized equation of the line is given by

The first plane has normal vector $egin121end$ and the second has normal vector $egin23-2end$ , so the line of intersection must be orthogonal to both of these. We know that the unique vector orthogonal to two linearly independent vectors $v_1,v_2$ is $v_1 imes v_2$ , so the direction vector of the line of intersection is $egin121end imes egin23-2end=egin-74-1end$ Next, we need to find a particular point on the line. Here, since a line that isn't parallel to any coordinate plane passes through all three, you can check if it é parallel to one by using the directional vector. Since here, the line passes through all three planes, we can try $y=0$ (since it passes through the $x-z$ plane) and solve the resulting system of linear equations: $eginx+z-1&=&02x-2z+2&=&0end$ giving $x=0, z=1$ , thus the line of intersection is $lbrace<egin-7t4t1-tend:tin Bbb R brace>$

While this problem has a great textbook answer, as @walcher explained, I don't think it's very elegant. This is because, the solution depends on picking an arbitrary point, which lacks geometric intuition. Ideally, we'd like this point to have some meaning, such as being close to the planes, or the line or etc.

For that, I'd like to remind you of a solution by John Krumm, which remains unnoticed by many. Let $mathbf

=$ and $mathbf=$ compose the plane $mathbf

=,mathbf

>$ . Let there be two planes $P_1$ and $P_2$ , for which we'd like to compute the intersecting line $mathbf$. It's trivial to compute the direction as the cross-product: $mathbf_d=mathbf_1 imes mathbf_2$

If we additionally desire that the resulting point $mathbf

$ is as close to the chosen point $mathbf

_0$ as possible, we could write a distance : $lVert mathbf

-mathbf

_0 Vert = (p_x-p_<0x>)^2 + (p_y-p_<0y>)^2 + (p_z-p_<0z>)^2$ Incorporating the other points in the similar fashion, and writing this constraint using Lagrange multipliers into an objective function results in: $J=lVert mathbf

-mathbf

_0 Vert+lambda(mathbf

-mathbf

_1)^2 + mu(mathbf

-mathbf

_2)^2$

Using the standard Lagrange framework (omitting the details), one establishes a nice matrix, in the form: $ mathbf= left[ <egin 2 & 0 & 0 & n_ <1x>& n_<2x> 0 & 2 & 0 & n_ <1y>& n_<2y> 0 & 0 & 2 & n_ <1z>& n_ <2z> n_ <1x>& n_ <1y>& n_ <1z>& 0 & 0 _ <2x>& n_ <2y>& n_ <2z>& 0 & 0 end > ight] $ This matrix can now be used in a system of linear equations to solve for the unknown point, $mathbf

$ , as well as the Lagrange multipliers, $$ .: $ mathbfleft[ <egin p_x p_y p_z lambda mu end > ight] = left[ <egin 2p_ <0x> 2p_ <0y> 2p_ <0z> mathbf

_1 cdot mathbf_1 mathbf

_2 cdot mathbf_2 end > ight] $ While the multipliers are not of particular interest they would be interesting for understanding configuration of points, or for different parameterizations.

I think this is a pretty neat approach giving a nice and simple method, with a geometrically interpretable results. I post the MATLAB code at my blog.


Analytic geometry

Like the elementary geometry explained in the book [6], the analytical geometry in this book is a geometry of three-dimensional space E. We use the symbol E for to denote the space that we observe in our everyday life. Despite being seem-ingly simple, even the empty space E possesses a . May 10, · An Introduction to Analytic Geometry and Calculus covers the basic concepts of analytic geometry and the elementary operations of calculus. This book is composed of 14 chapters and begins with an overview of the fundamental relations of the coordinate acudorplatinum.com Edition: 1.

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State of the union message

Native American occupation of Alcatraz

Second Foundation (Foundation Novels)

Subject index to Welsh periodicals.

Prince Bismarcks letters to his wife, his sister, and others

Occupational trends in health care industries, King County, 1965-1970

Three stars for Star Island

Bifurcation theory and nonlinear eigenvalue problems, 1967

Transport phenomena at elevated temperatures

Serbo-Croatian prose and verse

Establishing programs and priorities for the seismic rehabilitation of buildings

Prisoners paroled to the violent streets describe their lives to us

An analysis of two behavioral groups of grade three boys on selected perceptual-motor tasks and self-concept

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However, the examples will be oriented toward applications and so will take some thought. In the (x,y) coordinate system we normally write the x-axis horizontally, with positive numbers to the right of the origin, and the y-axis vertically, with positive numbers above.

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In classical mathematics, analytic geometry, also known as coordinate geometry or Cartesian geometry, is the study of geometry using a coordinate system.

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