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3.E: Identidades (Exercícios) - Matemática


Estes são exercícios de casa para acompanhar o mapa de texto "Trigonometria Elementar" de Corral. Este é um texto sobre trigonometria elementar, projetado para alunos que concluíram os cursos de álgebra e geometria do ensino médio. Embora projetado para estudantes universitários, também pode ser usado em escolas de ensino médio. Os tópicos tradicionais são cobertos, mas uma abordagem mais geométrica é feita do que o normal. Além disso, alguns métodos numéricos (por exemplo, o método secante para resolver equações trigonométricas) são discutidos.

3.1 Exercícios

3.1.1 Mostramos que (; sin ; theta ~ = ~ pm , sqrt {1 ~ - ~ cos ^ 2 ; theta} ; ) para todos ( theta ). Dê um exemplo de um ângulo ( theta ) tal que ( sin ; theta ~ = ~ - sqrt {1 ~ - ~ cos ^ 2 ; theta} ; ).

3.1.2 Mostramos que (; cos ; theta ~ = ~ pm , sqrt {1 ~ - ~ sin ^ 2 ; theta} ; ) para todos ( theta ). Dê um exemplo de ângulo ( theta ) tal que ( cos ; theta ~ = ~ - sqrt {1 ~ - ~ sin ^ 2 ; theta} ; ).

3.1.3 Suponha que você receba um sistema de duas equações da seguinte forma:
[ nonumber begin {align *}
A , cos ; phi ~ & = ~ B , nu_1 ~ - ~ B nu_2 ; cos ; theta nonumber
A , sin ; phi ~ & = ~ B , nu_2 ; sin ; theta ~.
end {align *} ]
Mostre que (; A ^ 2 ~ = ~ B ^ 2 left ( nu_1 ^ 2 ~ + ~ nu_2 ^ 2 ~ - ~ 2 nu_1 nu_2 ; cos theta right) ).

Para os Exercícios 4-16, prove a identidade fornecida.

3.1.4 ( cos ; theta ~ tan ; theta ~ = ~ sin ; theta )

3.1.5 ( sin ; theta ~ cot ; theta ~ = ~ cos ; theta )

3.1.6 ( dfrac { tan ; theta} { cot ; theta} ~ = ~ tan ^ 2 ; theta )

3.1.7 ( dfrac { csc ; theta} { sin ; theta} ~ = ~ csc ^ 2 ; theta )

3.1.8 ( dfrac { cos ^ 2 ; theta} {1 ~ + ~ sin ; theta} ~ = ~ 1 ~ - ~ sin ; theta )

3.1.9 ( dfrac {1 ~ - ~ 2 ; cos ^ 2 ; theta} { sin ; theta ~ cos ; theta} ~ = ~ tan ; theta ~ - ~ cot ; theta )

3.1.10 ( sin ^ 4 ; theta ~ - ~ cos ^ 4 ; theta ~ = ~ sin ^ 2 ; theta ~ - ~ cos ^ 2 ; theta )

3.1.11 ( cos ^ 4 ; theta ~ - ~ sin ^ 4 ; theta ~ = ~ 1 ~ - ~ 2 ; sin ^ 2 ; theta )

3.1.12 ( dfrac {1 ~ - ~ tan ; theta} {1 ~ + ~ tan ; theta} ~ = ~
dfrac { cot ; theta ~ - ~ 1} { cot ; theta ~ + ~ 1} )

3.1.13 ( dfrac { tan ; theta ~ + ~ tan ; phi} { cot ; theta ~ + ~ cot ; phi} ~ = ~
tan ; theta ~ tan ; phi )

3.1.14 ( dfrac { sin ^ 2 ; theta} {1 ~ - ~ sin ^ 2 ; theta} ~ = ~ tan ^ 2 ; theta )

3.1.15 ( dfrac {1 ~ - ~ tan ^ 2 ; theta} {1 ~ - ~ cot ^ 2 ; theta} ~ = ~ 1 ~ - ~ sec ^ 2 ; theta )

3.1.16 ( sin ; theta ~ = ~ pm , dfrac { tan ; theta} { sqrt {1 ~ + ~
tan ^ 2 ; theta}} qquad ) (Dica: Resolva para (; sin ^ 2 theta ; ) no Exercício 14.)

3.1.17 Às vezes, as identidades podem ser provadas por métodos geométricos. Por exemplo, para provar a identidade no Exercício 16, desenhe um ângulo agudo ( theta ) em QI e escolha o ponto ((1, y) ) em seu lado terminal, como na Figura 3.1.2. O que deve ser (y ) igual? Use isso para provar a identidade de ( theta ) agudo. Explique os ajustes que você precisaria fazer na Figura 3.1.2 para provar a identidade de ( theta ) nos outros quadrantes. A identidade é mantida se ( theta ) estiver em qualquer um dos eixos?


Figura 3.1.2

3.1.18 Semelhante ao Exercício 16, encontre uma expressão para ( cos ; theta ) apenas em termos de ( tan ; theta ).

3.1.19 Encontre uma expressão para ( tan ; theta ) apenas em termos de ( sin ; theta ) e uma apenas em termos de ( cos ; theta ).

3.1.20 Suponha que um ponto com coordenadas ((x, y) = (a ; ( cos ; psi ; - ; epsilon), a sqrt {1 - epsilon ^ 2} ~ sin ; psi) ) é uma distância (r> 0 ) da origem, onde (a> 0 ) e (0 < epsilon <1 ). Use (; r ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 ) para mostrar que (; r = a ; (1 ; - ; epsilon ; cos ; psi) ; ). (Nota: Estas coordenadas surgem no estudo das órbitas elípticas dos planetas.)

3.1.21 Mostre que cada função trigonométrica pode ser colocada em termos da função seno.


3.2 Exercícios

3.2.1 Verifique as fórmulas de adição 3.12 e 3.13 para (A = B = 0 ^ circ ).

Para os Exercícios 2 e 3, encontre os valores exatos de ( sin ; (A + B) ), ( cos ; (A + B) ) e ( tan ; (A + B ) ).

3.2.2 ( sin ; A = frac {8} {17} ), ( cos ; A = frac {15} {17} ), ( sin ; B = frac {24 } {25} ),
( cos ; B = frac {7} {25} )

3.2.3 ( sin ; A = frac {40} {41} ), ( cos ; A = frac {9} {41} ), ( sin ; B = frac {20 } {29} ),
( cos ; B = frac {21} {29} )

3.2.4 Use (75 ^ circ = 45 ^ circ + 30 ^ circ ) para encontrar o valor exato de (; sin ; 75 ^ circ ).

3.2.5 Use (15 ^ circ = 45 ^ circ - 30 ^ circ ) para encontrar o valor exato de (; tan ; 15 ^ circ ).

3.2.6 Prove a identidade (; sin ; theta + cos ; theta = sqrt {2} ; sin ; ( theta + 45 ^ circ) ; ). Explique por que isso mostra que
[ enhum número
- sqrt {2} ~ le ~ ; sin ; theta ~ + ~ cos ; theta ~ le ~ sqrt {2}
]
para todos os ângulos ( theta ). Para o qual ( theta ) entre (0 ^ circ ) e (360 ^ circ ) seria (; sin ; theta ; + ; cos ; theta ; ) ser o maior?

Para os Exercícios 7 a 14, prove a identidade fornecida.

3.2.7 ( cos ; (A + B + C) ; = ; cos ; A ~ cos ; B ~ cos ; C ; - ;
cos ; A ~ sin ; B ~ sin ; C ; - ; sin ; A ~ cos ; B ~ sin ; C ; - ; sin ; A ~ sin ; B ~ cos ; C )

3.2.8 ( tan ; (A + B + C) ~ = ~ dfrac { tan ; A ; + ; tan ; B ; + ; tan ; C ; - ;
tan ; A ~ tan ; B ~ tan ; C} {1 ; - ; tan ; B ~ tan ; C ; - ; tan ; A ~ tan ; C ; - ;
tan ; A ~ tan ; B} )

3.2.9 ( cot ; (A + B) ~ = ~ dfrac { cot ; A ~ cot ; B ; - ; 1} { cot ; A ; + ; cot ; B} )

3.2.10 ( cot ; (AB) ~ = ~ dfrac { cot ; A ~ cot ; B ; + ; 1} { cot ; B ; - ; cot ; A} )

3.2.11 ( tan ; ( theta + 45 ^ circ) ~ = ~ dfrac {1 ; + ; tan ; theta} {1 ; - ; tan ; theta} )

3.2.12 ( dfrac { cos ; (A + B)} { sin ; A ~ cos ; B} ~ = ~ cot ; A ; - ; tan ; B )

3.2.13 ( cot ; A ~ + ~ cot ; B ~ = ~ dfrac { sin ; (A + B)} { sin ; A ~ sin ; B} )

3.2.14 ( dfrac { sin ; (A-B)} { sin ; (A + B)} ~ = ~
dfrac { cot ; B ; - ; cot ; A} { cot ; B ; + ; cot ; A} )

3.2.15 Generalize Exercício 6: Para qualquer (a ) e (b ), (- sqrt {a ^ 2 + b ^ 2} ; le ; a ; sin ; theta ; + ; b ; cos ; theta ; le ; sqrt {a ^ 2 + b ^ 2} ; ) para todos ( theta ).

3.2.16 Continuando o Exemplo 3.12, use a lei de Snell para mostrar que o Coeficiente de Fresnel de transmissão de polarização s
[ tag {3.22}
t_ {1 ; 2 ; s} ~ = ~ frac {2 ; n_1 ~ cos ; theta_1} {n_1 ~ cos ; theta_1 ~ + ~ n_2 ~ cos ; theta_2}
]
pode ser escrito como:
[ enhum número
t_ {1 ; 2 ; s} ~ = ~ frac {2 ; cos ; theta_1 ~ sin ; theta_2} { sin ; ( theta_2 + theta_1)}
]

3.2.17 Suponha que duas linhas com inclinações (m_1 ) e (m_2 ), respectivamente, se cruzem em um ângulo ( theta ) e não sejam perpendiculares (ou seja, ( theta ne 90 ^ circ )), como na figura à direita. Mostra isso
[ enhum número
tan ; theta ~ = ~ left | frac {m_1 ~ - ~ m_2} {1 ~ + ~ m_1 ; m_2} certo | ~.
]

(Dica: Use o Exemplo 1.26 da Seção 1.5.)

3.2.18 Use o Exercício 17 para encontrar o ângulo entre as linhas (y = 2x + 3 ) e (y = -5x-4 ).

3.2.19 Para qualquer triângulo ( triângulo , ABC ), mostre que (; cot ; A ~ cot ; B ~ + ~ cot ; B ~ cot ; C ~ + ~
cot ; C ~ cot ; A ~ = ~ 1 ).
(Dica: use o Exercício 9 e (C = 180 ^ circ - (A + B) ).)

3.2.20 Para quaisquer ângulos positivos (A ), (B ) e (C ) tais que (A + B + C = 90 ^ circ ), mostre que
[ enhum número
tan ; A ~ tan ; B ~ + ~ tan ; B ~ tan ; C ~ + ~ tan ; C ~ tan ; A ~ = ~ 1 ~.
]

3.2.21 Prove a identidade (; sin ; (A + B) ~ cos ; B ~ - ~ cos ; (A + B) ~ sin ; B ~ = ~ sin ; A ) . Observe que o lado direito depende apenas de (A ), enquanto o lado esquerdo depende de (A ) e (B ).

3.2.22 Um segmento de reta de comprimento (r> 0 ) da origem ao ponto ((x, y) ) forma um ângulo ( alpha ) com o eixo (x ) positivo, de modo que ((x, y) = (r ; cos ; alpha, r ; sin ; alpha) ), como na figura abaixo. Quais são as novas coordenadas do ponto final ((x ', y') ) após uma rotação no sentido anti-horário por um ângulo ( beta ; )? Sua resposta deve ser em termos de (r ), ( alpha ) e ( beta ).


3.3 Exercícios

Para os Exercícios 1-8, prove a identidade fornecida.

3.3.1 ( cos ; 3 theta ~ = ~ 4 ; cos ^ 3 ; theta ~ - ~ 3 ; cos ; theta )

3.3.2 ( tan ; tfrac {1} {2} theta ~ = ~ csc ; theta ~ - ~ cot ; theta )

3.3.3 ( dfrac { sin ; 2 theta} { sin ; theta} ~ - ~ dfrac { cos ; 2 theta} { cos ; theta} ~ = ~ sec ; theta )

3.3.4 ( dfrac { sin ; 3 theta} { sin ; theta} ~ - ~ dfrac { cos ; 3 theta} { cos ; theta} ~ = ~ 2 )

3.3.5 ( tan ; 2 theta ~ = ~ dfrac {2} { cot ; theta ; - ; tan ; theta} )

3.3.6 ( tan ; 3 theta ~ = ~ dfrac {3 ; tan ; theta ; - ; tan ^ 3 ; theta} {1 ; - ; 3 ; tan ^ 2 ; theta} )

3.3.7 ( tan ^ 2 ; tfrac {1} {2} theta ~ = ~ dfrac { tan ; theta ; - ; sin ; theta} { tan ; theta ; + ; sin ; theta} )

3.3.8 ( dfrac { cos ^ 2 ; psi} { cos ^ 2 ; theta} ~ = ~ dfrac {1 ; + ; cos ; 2 psi} {1 ; + ;
cos ; 2 theta} )

3.3.9 Alguns livros de trigonometria costumavam alegar incorretamente que (; sin ; theta ~ + ~ cos ; theta ~ = ~ sqrt {1 ; + ; sin ; 2 theta} ) era uma identidade. Dê um exemplo de um ângulo específico ( theta ) que tornaria essa equação falsa. É (; sin ; theta ~ + ~ cos ; theta ~ = ~ pm ; sqrt {1 ; + ; sin ; 2 theta} ) uma identidade? Justifique sua resposta.

3.3.10 Preencha o restante da tabela abaixo para os ângulos (0 ^ circ < theta <720 ^ circ ) em incrementos de (90 ^ circ ), mostrando ( theta ), ( tfrac {1} {2} theta ), e os sinais ( (+ ) ou (- )) de ( sin ; theta ) e ( tan ; tfrac {1 } {2} theta ).

3.3.11 Em geral, qual é o maior valor que (; sin ; theta ~ cos ; theta ; ) pode assumir? Justifique sua resposta.

Para os Exercícios 12-17, prove a identidade dada para qualquer triângulo retângulo ( triangle , ABC ) com (C = 90 ^ circ ).

3.3.12 ( sin ; (A-B) ~ = ~ cos ; 2B )

3.3.13 ( cos ; (A-B) ~ = ~ sin ; 2A )

3.3.14 ( sin ; 2A ~ = ~ dfrac {2 ; ab} {c ^ 2} )

3.3.15 ( cos ; 2A ~ = ~ dfrac {b ^ 2 - a ^ 2} {c ^ 2} )

3.3.16 ( tan ; 2A ~ = ~ dfrac {2 ; ab} {b ^ 2 - a ^ 2} )

3.3.17 ( tan ; tfrac {1} {2} A ~ = ~ dfrac {c - b} {a} ~ = ~ dfrac {a} {c + b} )

3.3.18 Continuando o Exercício 20 da Seção 3.1, pode-se mostrar que
[ begin {align *}
r ; (1 ; - ; cos ; theta) ~ & = ~ a ; (1 ; + ; epsilon) , (1 ; - ; cos ; psi) ~, ~ text {e}
r ; (1 ; + ; cos ; theta) ~ & = ~ a ; (1 ; - ; epsilon) , (1 ; + ; cos ; psi) ~,
end {align *} ]
onde ( theta ) e ( psi ) estão sempre no mesmo quadrante. Mostre que (; tan ; tfrac {1} {2} theta ~ = ~ sqrt { frac {1 ; + ; epsilon} {1 ; - ; epsilon}} ~ tan ; tfrac {1} {2} psi ; ).


3.4 Exercícios

3.4.1 Prove a fórmula 3.38.

3.4.2 Prove a fórmula 3.39.

3.4.3 Prove a fórmula 3.40.

3.4.4 Prove a fórmula 3.41.

3.4.5 Prove a fórmula 3.42.

3.4.6 Prove a fórmula 3.44.

3.4.7 Prove a segunda equação de Mollweide: Para qualquer triângulo ( triangle , ABC ), (~ dfrac {a + b} {c} ~ = ~ dfrac { cos ; tfrac {1} {2} ( AB)} { sin ; tfrac {1} {2} C} ).

3.4.8 Continuando o Exemplo 3.21, use a lei de Snell para mostrar que o Coeficiente de Fresnel de reflexão de p-polarização
[ tag {3,46}
r_ {1 ; 2 ; p} ~ = ~ frac {n_2 ~ cos ; theta_1 ~ - ~ n_1 ~ cos ; theta_2} {n_2 ~ cos ; theta_1 ~ + ~
n_1 ~ cos ; theta_2}
]
pode ser escrito como:
[
r_ {1 ; 2 ; p} ~ = ~ frac { tan ; ( theta_1 - theta_2)} { tan ; ( theta_1 + theta_2)}
]
3.4.9 Existe uma forma mais geral para a potência instantânea (p (t) = v (t) ; i (t) ) em um circuito elétrico do que a do Exemplo 3.22. A tensão (v (t) ) e a corrente (i (t) ) podem ser dadas por
[ begin {align *}
v (t) ~ & = ~ V_m ; cos ; ( omega t + theta) ~,
i (t) ~ & = ~ I_m ; cos ; ( omega t + phi) ~,
end {align *} ]
onde ( theta ) é chamado de ângulo de fase. Mostre que (p (t) ) pode ser escrito como
[
p (t) ~ = ~ tfrac {1} {2} , V_m ; I_m ; cos ; ( theta - phi) ~ + ~
tfrac {1} {2} , V_m ; I_m ; cos ; (2 omega t + theta + phi) ~.
]

Para os Exercícios 10-15, prove a identidade ou desigualdade dada para qualquer triângulo ( triangle , ABC ).

3.4.10 ( sin ; A ; + ; sin ; B ; + ; sin ; C ~ = ~
4 ; cos ; tfrac {1} {2} A ~ cos ; tfrac {1} {2} B ~ cos ; tfrac {1} {2} C ) (Dica: Exemplo de mímica 3.18 usando (( sin ; A ; + ; sin ; B) ; + ; ( sin ; C ; - ; sin ; (A + B + C)) ).)

3.4.11 ( cos ; A ; + ; cos ; (B-C) ~ = ~ 2 ; sin ; B ~ sin ; C )

3.4.12 ( sin ; 2A ; + ; sin ; 2B ; + ; sin ; 2C ~ = ~ 4 ; sin ; A ~ sin ; B ~ sin ; C ) (Dicas: Grupo ( sin ; 2B ) e ( sin ; 2C ) juntos, use a fórmula de ângulo duplo para ( sin ; 2A ), use o Exercício 11.)

3.4.13 ( dfrac {ab} {a + b} ~ = ~ dfrac { sin ; A ; - ; sin ; B} { sin ; A ; + ; sin ; B } )

3.4.14 ( cos ; tfrac {1} {2} A ~ = ~ sqrt { dfrac {s ; (sa)} {bc}} ~~ ) e (~~ sin ; tfrac {1} {2} A ~ = ~ sqrt { dfrac {(sb) ; (sc)} {bc}} ; ), ; onde (s = tfrac {1} {2} ( a + b + c) $ ) (Dica: Use a Lei dos Cossenos para mostrar que (2bc ; (1 + cos ; A) ~ = ~ 4s ; (s-a) ).)

3.4.15 ( tfrac {1} {2} ; ( sin ; A ; + ; sin ; B) ~ le ~
sin ; tfrac {1} {2} (A + B) ) (Dica: mostre isso ( sin ; tfrac {1} {2} (A + B) ; - ;
tfrac {1} {2} ; ( sin ; A ; + ; sin ; B) ; ge ; 0 ).)

3.4.16 No Exemplo 3.20, cujos ângulos (A ), (B ), (C ) fornecem o valor máximo de ( cos ; A ; + ; cos ; B ; + ; cos ; C ; )?


Matemática 8 (MYP 3) (3ª edição)

Matemática 8 (MYP 3) terceira edição foi projetada e escrita para a estrutura de matemática do International Baccalaureate Middle Years Program (IB MYP), fornecendo uma cobertura completa do conteúdo e das expectativas delineadas.

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Ano de publicação: 2021
Contagem de páginas: 496
ISBN: 978-1-922416-32-2 (9781922416322)
ISBN online: 978-1-922416-33-9 (9781922416339)

Matemática 8 (MYP 3) (3ª edição)

CONTEXTOS GLOBAIS 9
1 NÚMERO 11
UMA Operações com números negativos 13
B Notação expoente 15
C Fatores 17
D Números primos e compostos 17
E Maior fator comum 19
F Múltiplos 20
G Ordem de operações 22
H Solução de problemas 25
Revisão do conjunto 1A 27
Revisão do conjunto 1B 28
2 DIAGRAMAS DE SETS E VENN 29
UMA Jogos 30
B Complemento de um conjunto 32
C Cruzamento e união 34
D Diagramas venn 36
E Números nas regiões 40
F Resolução de problemas com diagramas de Venn 42
Revisão do conjunto 2A 43
Revisão do conjunto 2B 45
3 NUMEROS REAIS 47
UMA Frações 48
B Frações iguais 51
C Adicionando e subtraindo frações 52
D Multiplicando frações 54
E Dividindo frações 56
F Números decimais 57
G Arredondamento de números decimais 58
H Somando e subtraindo números decimais 59
eu Multiplicando e dividindo por potências de $ 10 $ 60
J Multiplicando números decimais 61
K Divisão de números decimais 62
eu Raízes quadradas 64
M Raízes cúbicas 65
N Números racionais 66
O Números irracionais 69
Revisão do conjunto 3A 71
Revisão do conjunto 3B 73
4 EXPRESSÕES ALGEBRAICAS 75
UMA Notação do produto 76
B Notação expoente 77
C Expressões de escrita 78
D Generalizando aritmética 80
E Substituição algébrica 81
F A linguagem da álgebra 84
G Coletando termos semelhantes 86
H Produtos algébricos 87
eu Frações algébricas 88
J Multiplicando frações algébricas 89
K Dividindo frações algébricas 90
eu Fatores algébricos comuns 91
Revisão do conjunto 4A 92
Revisão do conjunto 4B 93
5 PERCENTAGEM 95
UMA Conversão de porcentagens em decimais e frações 96
B Conversão de decimais e frações em porcentagens 98
C Expressando uma quantidade como uma porcentagem de outra 99
D Encontrar uma porcentagem de uma quantidade 100
E O método unitário para percentagens 101
F Aumento ou diminuição percentual 103
G Encontrando uma mudança percentual 106
H Encontrando o valor original 108
eu Lucros e perdas 109
J Desconto 111
K IVA e GST 113
Revisão do conjunto 5A 114
Conjunto de revisão 5B 115
6 LEIS DA ALGEBRA 117
UMA Leis expoentes 118
B Leis de expansão 122
C A lei do expoente zero 124
D A lei do expoente negativo 126
E A lei distributiva 128
F Fatoração 132
Revisão do conjunto 6A 134
Conjunto de revisão 6B 135
7 EQUAÇÕES 137
UMA Soluções de uma equação 138
B Manter o equilíbrio 140
C Operações inversas 142
D Fluxogramas algébricos 145
E Resolvendo equações 146
F Equações com uma incógnita repetida 150
G Equações de potência 153
Revisão do conjunto 7A 156
Revisão do conjunto 7B 157
8 LINHAS E ÂNGULOS 159
UMA Ângulos 160
B Linhas paralelas e perpendiculares 162
C Propriedades do ângulo 163
D Linhas cortadas por uma transversal 164
Revisão do conjunto 8A 166
Revisão do conjunto 8B 167
9 GEOMETRIA PLANA 169
UMA Círculos 170
B Triângulos 172
C Teoremas do triângulo 174
D Triângulos isósceles 177
E Quadriláteros 181
F Soma do ângulo de um quadrilátero 184
G Soma angular de um polígono com lados $ n $ 186
Revisão do conjunto 9A 189
Revisão do conjunto 9B 191
10 ALGEBRA: FORMULAS 193
UMA Máquinas de processamento de números 194
B Encontrando a fórmula 196
C Substituindo em fórmulas 198
D Padrões geométricos 201
E Problemas práticos 204
Revisão do conjunto 10A 206
Revisão do conjunto 10B 208
11 MEDIÇÃO: COMPRIMENTO E ÁREA 211
UMA Comprimento 212
B Perímetro 215
C Circunferência 218
D Área 222
E Fórmulas de área 224
F A área de um círculo 228
G Áreas de figuras compostas 231
Revisão do conjunto 11A 236
Revisão do conjunto 11B 238
12 MEDIÇÃO: ÁREA DE SUPERFÍCIE, VOLUME E CAPACIDADE 241
UMA Superfície 242
B Área de superfície de um cilindro 244
C Área de superfície de uma esfera 247
D Volume 248
E Volume de um sólido de seção transversal uniforme 250
F Volume de um sólido cônico 254
G Volume de uma esfera 256
H Capacidade 257
eu Volume e capacidade de conexão 258
Revisão do conjunto 12A 260
Revisão do conjunto 12B 261
13 TEMPO 263
UMA Unidades de tempo 264
B Cálculos de tempo 268
C $ 24 $ - hora 271
D Fusos horários 273
Revisão do conjunto 13A 276
Revisão do conjunto 13B 277
14 GEOMETRIA COORDENADA 279
UMA O plano cartesiano 280
B Linhas retas 284
C Gradiente 288
D A forma gradiente-interceptada de uma linha 292
E Representando graficamente uma linha a partir de sua forma gradiente de interceptação 294
F A interceptação de $ x $ de uma linha 295
G Representar graficamente uma linha a partir de seus eixos intercepta 297
H Encontrar a equação a partir do gráfico de uma linha 297
Revisão do conjunto 14A 299
Revisão do conjunto 14B 301
15 RAZÃO 303
UMA Razão 304
B Razões iguais 306
C Termos mais baixos 307
D Proporções 310
E Usando proporções para dividir quantidades 311
F Diagramas de escala 313
Revisão do conjunto 15A 318
Conjunto de revisão 15B 319
16 TAXAS E GRÁFICOS DE LINHA 321
UMA Cotações 322
B Velocidade 325
C Densidade 327
D Taxas de conversão 330
E Gráficos de linha 332
Revisão do conjunto 16A 336
Revisão do conjunto 16B 337
17 PROBABILIDADE 339
UMA Probabilidade 340
B Espaço amostral 342
C Probabilidade teórica 343
D Eventos independentes 347
E Probabilidade experimental 350
F Probabilidades de dados tabulados 352
G Probabilidades de tabelas bidirecionais 353
H Probabilidades de diagramas de Venn 356
eu Expectativa 357
Revisão do conjunto 17A 359
Revisão do conjunto 17B 361
18 ESTATISTICAS 363
UMA Coleção de dados 364
B Dados categóricos 367
C Dados numéricos 372
D Dados agrupados 374
E Parcelas de caule e folha 376
F Medidas de centro e propagação 378
G Medidas de centro e propagação de uma tabela de frequência 383
Revisão do conjunto 18A 385
Revisão do conjunto 18B 388
19 CONGRUÊNCIA E SIMILARIDADE 391
UMA Congruência 392
B Triângulos congruentes 394
C Prova usando congruência 400
D Ampliações e reduções 402
E Similaridade 404
F Triângulos semelhantes 408
G Solução de problemas 411
Revisão do conjunto 19A 414
Revisão do conjunto 19B 416
20 PITÁGORA E TEOREMA # 39 419
UMA Teorema de Pitágoras 421
B Solução de problemas 425
C O inverso do teorema de Pitágoras 427
Revisão do conjunto 20A 429
Revisão do conjunto 20B 430
21 SOLUÇÃO DE PROBLEMAS 431
UMA Escrevendo problemas como equações 432
B Resolução de problemas com álgebra 433
C Solução por pesquisa 436
D Solução trabalhando para trás 438
E Problemas diversos 440
F Pensamento lateral 442
Revisão do conjunto 21A 448
Revisão do conjunto 21B 449
RESPOSTAS 451
ÍNDICE 494

Autores

Michael Haese

Michael se formou em Ciências na Universidade de Adelaide, com especialização em Infecção e Imunidade e Matemática Aplicada. Ele estudou fluxo de calor laminar como parte de suas honras em Matemática Aplicada e concluiu o doutorado em fluxos de fluidos de alta velocidade em 2001. Ele é o editor principal da Haese Mathematics desde 2008.

O que o motiva a escrever livros de matemática?

Minha paixão é pela educação como um todo, e não apenas pela matemática. Na Austrália, acho que é muito fácil dar a educação como garantida, porque ela é vista como um direito, mas com muito pouco reconhecimento pela responsabilidade que vem com ela. Porém, quanto mais viajo para lugares onde o acesso à educação é limitado, mais vejo crianças que tratam isso como um privilégio e maior é a diferença em suas vidas. Mas, no que diz respeito à matemática, cresci com os livros didáticos de matemática em pedaços na mesa da cozinha, então acho que isso continua uma tradição.

O que você pretende alcançar por escrito?

  • Quero escrever para o aluno diretamente, para que ele possa aprender o máximo possível com o texto diretamente. O livro deles está lá mesmo quando o professor não está.
  • Portanto, quero escrever usando uma linguagem fácil de entender. Claro, a matemática tem suas palavras grandes, e elas são importantes e sempre as usamos. Mas as palavras ao redor deles devem ser o mais simples possível, para que o significado dos termos possa ser explicado adequadamente aos alunos de ESL (Inglês como Segunda Língua).
  • Eu quero tornar a matemática mais viva e real, não colocando-a em contextos "mundo-real" inventados que são na verdade simplificados demais e falsos, mas sim através de sua história e sua relação com outros assuntos.

O que te interessa fora da matemática?

Muitas coisas! Cavalos, hipismo e desenho de pistas, alpacas, badminton, corrida, arte, história, fé, leitura, caminhada, fotografia.

Mark Humphries

Mark é Bacharel em Ciências (com distinção), com especialização em Matemática Pura, e Bacharel em Economia, ambos concluídos na Universidade de Adelaide. Ele estudou criptografia de chave pública com o título de Honras em Matemática Pura. Ele começou na empresa em 2006 e atualmente é o gerente de redação da Haese Mathematics.

O que despertou seu interesse em matemática? Como isso me levou a trabalhar na Haese Mathematics?

Sempre gostei da estrutura e do estilo da matemática. Tem uma precisão de que gosto. Na verdade, passo uma quantidade excessiva do meu tempo de lazer lendo sobre matemática! Para ser justo, tendo a ler mais sobre a história da matemática e como vários quebra-cabeças matemáticos e lógicos funcionam, então é um pouco diferente do que faço no trabalho.

Como fui parar na Haese Mathematics?

Eu estava fazendo um doutorado e percebi que o que realmente queria fazer era colocar meu conhecimento em prática. Eu queria passar para outras pessoas todas essas coisas interessantes sobre matemática. Mandei um e-mail para Haese Mathematics (Publicações Haese e Harris, como eram conhecidas na época), declarando que estava interessado em trabalhar para eles. Por acaso, seu sucesso com a primeira série de livros do International Baccalaureate significava que eles estavam procurando contratar mais pessoas na época. Eu me considero muito sortudo!

Quais são algumas coisas interessantes que você pode fazer no trabalho?

No dia a dia, é um desafio (mas divertido!) Elaborar perguntas interessantes para os livros. Quero que os alunos tenham perguntas que despertem sua curiosidade e os façam pensar sobre matemática de uma maneira diferente. Prefiro escrever perguntas que exijam que os alunos demonstrem que entendem um conceito, em vez de depender da memorização mecânica.

Quando um programa de estudos novo ou revisado é lançado para um currículo para o qual escrevemos, muito trabalho é dedicado a conceber uma estrutura para o livro que aborde o programa. O processo de identificar quais conceitos precisam ser ensinados, organizar esses conceitos em uma ordem que faça sentido do ponto de vista do ensino e, finalmente, obter e escrever o material que aborda esses conceitos é muito complexo & ndash, mas muito gratificante quando você mantém o produto acabado em suas mãos, direto da impressora.

O que te interessa fora da matemática?

Além das atividades recreativas matemáticas já mencionadas, toco um pouco de violão e gosto de jogar badminton e basquete em nível social.


Função Gamma

Computação Simbólica

Recomenda-se que cálculos simbólicos de integrais exponenciais sejam realizados usando a função definida como E 1 (x). Em maple e mathematica, um comando para avaliar E n (x), Eq. (9.52), está disponível. Em maple, é Ei (n, x) em mathematica é ExpIntegralE [n, x]. A função E 1 pode, portanto, ser obtida a partir desses comandos, definindo n = 1. Ambas as linguagens também contêm quantidades correspondentes a Ei (x), ou seja, Ei (x) e ExpIntegralEi [x]. Eles não são sinônimos de E 1 (x) e não podem ser usados ​​quando E 1 é pretendido.

Exemplo 9.6.1 Computação Simbólica, Integral Exponencial

A função que você obtém depende se Ei é chamada com um ou dois argumentos.

Aqui, ExpIntegralE e ExpIntegralEi devem ser chamados com os números corretos de argumentos. ▪


3.E: Identidades (Exercícios) - Matemática

Os percentis são medidas que dividem um grupo de dados em 100 partes.
Os percentis são valores que dividem os seus dados em percentagens da mesma forma que os quartis os dividem em quartes. Cada percentil é referido pela porcentagem com a qual ele divide os dados. então 10º percentil é o valor que é 10% do caminho através dos dados.

Em geral, o k-ésimo percentil é o valor k% do caminho através dos dados. Geralmente é denotado por Pk

  • P é o percentil de interesse
  • i é a localização do percentil
  • N é o número no conjunto de dados

Etapa 3. Determine a localização por (a) ou (b)

uma. Se i for um número inteiro, o P-percentil é a média do valor na i-ésima localização e o valor na (i + 1) -ésima localização.
b. Se i não for um número inteiro, o valor do percentil PTh está localizado na parte do número inteiro de i + 1

Determine o 30º percentil dos seguintes oito números 1 2 4 3 5 3 5 2 6

Etapa 1. Organize os dados em uma matriz de ordem crescente: 1 2 2 3 3 4 5 5 6
Etapa 2. Calcule a localização do percentil:
Etapa 3. Determine a localização: Como i não é um número inteiro, a etapa 3 (b) é usada. O valor de i + 1 é 2,4 + 1 ou 3,4. A parte do número inteiro de 3,4 é 3. O 30º percentil está localizado como o terceiro valor. O terceiro valor é 2, então 2 é o 30º percentil.

  • L é o limite inferior da classe que contém Pk
  • f é a frequência da classe que contém Pk
  • h é a largura da classe contendo Pk
  • C é a frequência cumulativa da classe anterior à classe que contém Pk

Aqui, a frequência cumulativa apenas maior do que a classe que contém Pk (K = 1,2,99)


Identidades Algébricas

Um identidade algébrica é uma igualdade que vale para qualquer valor de suas variáveis.

Como uma identidade vale para todos os valores de suas variáveis, é possível substituir instâncias de um lado da igualdade pelo outro lado da igualdade. Por exemplo, devido à identidade acima, podemos substituir qualquer instância de (x + y) 2 (x + y) ^ 2 (x + y) 2 por x 2 + 2 xy + y 2 x ^ 2 + 2xy + y ^ 2 x 2 + 2 xy + y 2 e vice-versa.

O uso inteligente de identidades oferece atalhos para muitos problemas, tornando a álgebra mais fácil de manipular. Abaixo estão listas de algumas identidades algébricas comuns.

Conteúdo


Expanda as expressões algébricas usando identidades

Use este lote de planilhas para impressão para aprimorar suas habilidades na aplicação de identidades algébricas para expandir as expressões algébricas. Cada seção oferece dois níveis de dificuldade além das expressões cúbicas. Expanda as expressões algébricas na forma padrão (a + b) 2, (ab) 2, (a + b) (ab), (x + a) (x + b), (a + b + c) 2, quadrático expressões, expressões cúbicas e muito mais. Os exercícios são selecionados para alunos da 8ª série e do ensino médio. Adquira algumas dessas planilhas gratuitamente!

Expanda as expressões algébricas envolvendo variáveis ​​simples e multivariáveis ​​usando (a + b) 2 ou (a-b) 2 nessas planilhas da 8ª série.

Nível: fácil, moderado (3 planilhas cada)

Este lote de planilhas representa expressões algébricas como um produto de dois binômios. Aplique a fórmula (a + b) (a-b) = a 2 - b 2, para expandir cada expressão algébrica.

Nível: fácil, moderado (3 planilhas cada)

Use nossos recursos para prática extensiva para determinar o produto de dois binômios, cujos primeiros termos são iguais e os segundos termos são diferentes. Compare a expressão com a identidade (x + a) (x + b) = x 2 + (a + b) x + ab para expandir a expressão algébrica dada.

Nível: fácil, moderado (3 planilhas cada)

Dê aos alunos do ensino médio um salto na expansão do quadrado de um trinômio com essas planilhas para impressão. Desenvolva as habilidades de aplicação da identidade (a + b + c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2 (ab + bc + ca) para expandir as expressões.

Nível: fácil, moderado (3 planilhas cada)

Fortaleça suas habilidades algébricas usando as identidades (a + b) 3 e (a-b) 3 para expandir o conjunto de expressões algébricas incluídas nesta incrível série de planilhas em PDF.

As expressões algébricas apresentadas nesta compilação de planilhas estão na forma (a + b) (a 2 - ab + b 2) e (a-b) (a 2 + ab + b 2). Aplique a soma dos cubos ou a diferença da identidade dos cubos para determinar o produto.

Essas planilhas de álgebra para impressão apresentam expressões algébricas na forma de identidades quadradas. Observe a expressão e aplique a identidade adequada para expandir a expressão.

Nível: fácil, moderado (3 planilhas cada)

Explore este lote de PDFs de planilhas desafiadoras para aprender como aplicar identidades de cubo para expandir as expressões algébricas. Ele fornece aos alunos uma boa base para aprender identidades algébricas.


Matemática FSC ICS Parte 1 Exercícios resolvidos Notas

Olá alunos intermediários, vocês estão procurando notas de solução de matemática intermediária da parte 1 do FSC-ICS, então Minha equipe criou um aplicativo para vocês
O aplicativo é muito fácil de usar, os melhores recursos são off-line, não há necessidade de conexão com a Internet ao usar este aplicativo e, mais do que isso, você pode manter este aplicativo a qualquer momento em qualquer lugar em seu telefone inteligente, sem necessidade de carregar cópias impressas
Capítulos bem estruturados, fáceis de navegar e fáceis de encontrar a solução da questão

Possui lista de 14 unidades fornecidas abaixo

Capítulo 01: Sistema Numérico
Capítulo 02: Conjuntos, funções e grupos
Capítulo 03: Matrizes e Determinantes
Capítulo 04: Equações quadráticas
Capítulo 05: Frações Parciais
Capítulo 06: Sequências e Séries
Capítulo 07: Permutação, Combinação e Probabilidade
Capítulo 08: Indução Matemática e Teorema Binomial
Capítulo 09: Fundamentos da Trigonometria
Capítulo 10: Identidades trigonométricas
Capítulo 11: Funções trigonométricas e seus gráficos
Capítulo 12: Aplicação da trigonometria
Capítulo 13: Funções trigonométricas inversas
Capítulo 14: Soluções de equação trigonométrica

Você só precisa baixar este aplicativo,
Se você tiver alguma dúvida ou pergunta, por favor, deixe-me saber, obrigado


Matemática Discreta

Matemática Discreta: Uma Introdução Aberta é um livro-texto gratuito e de código aberto apropriado para um curso de graduação de primeiro ou segundo ano para majores em matemática, especialmente aqueles que irão lecionar. Desde a primavera de 2013, o livro tem sido usado como livro-texto principal ou recurso suplementar em mais de 75 faculdades e universidades em todo o mundo (consulte a lista de adoções parciais). O texto é endossado pela Open Textbook Initiative do American Institute of Mathematics e é bem revisado na Open Textbook Library.

Esta 3ª edição traz muitas melhorias, incluindo quase 100 novos exercícios, uma nova seção sobre árvores no capítulo de teoria dos grafos e exposição aprimorada por toda parte. As edições anteriores continuarão disponíveis indefinidamente. Algumas vezes por ano, o texto é atualizado com uma nova "impressão" para corrigir erros. Veja a lista de erratas para mais informações.

Novo para o outono de 2019: Conjuntos de trabalhos de casa online estão disponíveis através do Edfinity ou como conjuntos WeBWorK do autor. Exercícios adicionais foram adicionados desde a primavera de 2020.

Entre em contato com o autor com comentários e sugestões, ou se você decidir usar o livro em um curso que está ministrando.

Pegue o livro

O livro inteiro está disponível gratuitamente como um e-book on-line interativo. Isso deve funcionar bem em todos os tamanhos de tela, incluindo smartphones. Dicas e soluções para exemplos e exercícios são ocultados, mas facilmente revelados clicando em seus links. Alguns exercícios também permitem que você entre e verifique seu trabalho, então você pode tentar várias vezes sem estragar a resposta.

Para uso offline, uma versão pdf gratuita, adequada para leitura em um tablet ou computador, está disponível para download. Deve ser pesquisável e fácil de navegar usando links incorporados. Dicas e soluções (quando disponíveis) podem ser acessadas clicando no número do exercício, e clicando no número da sugestão ou solução o levará de volta ao exercício.

Se você preferir uma cópia física, uma versão impressa de baixo custo do texto está disponível na Amazon. Isso deve ser mais barato do que imprimir o livro inteiro e encaderná-lo você mesmo. Os números das páginas correspondem à versão em pdf.

Fonte PreTeXt (e LaTeX)

Os arquivos de origem deste livro estão disponíveis no GitHub.

Recursos do instrutor

Se você estiver usando o livro em uma aula que está ministrando, os recursos do instrutor estão disponíveis mediante solicitação. Basta entrar em contato com o autor. Você também pode solicitar conjuntos de tarefas de casa WeBWorK se tiver acesso a um servidor WeBWorK (caso contrário, considere usar o Edfinity de preço razoável).

Sobre o livro

O texto começou como um conjunto de notas de aula para o curso de matemática discreta da University of Northern Colorado. Este curso serve como uma introdução aos tópicos de matemática discreta e como o curso de "introdução às provas" para os alunos de matemática. O curso é geralmente ministrado com uma grande quantidade de investigação do aluno e este texto foi escrito para ajudar a facilitar isso.

Four main topics are covered: counting, sequences, logic, and graph theory. Along the way, proofs are introduced, including proofs by contradiction, proofs by induction, and combinatorial proofs. An introductory chapter covering mathematical statements, sets, and functions helps students gain familiarity with the language of mathematics, and two additional topics (generating functions and number theory) are also included.

  • 473 exercises, including 275 with solutions and another 109 with hints. Exercises range from easy to quite involved, with many problems suitable for homework.
  • Investigate! activities throughout the text to support active, inquiry based learning.
  • A full index and list of symbols.
  • Consistent and helpful page layout and formatting (i.e., examples are easy to identify, important definitions and theorems in boxes, etc.).

About the author

Oscar Levin is an associate professor at the University of Northern Colorado. He has taught mathematics at the college level for over 10 years and received multiple teaching awards. He received his Ph.D. in mathematical logic from the University of Connecticut in 2009.

License

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Discrete Mathematics: An Open Introduction by Oscar Levin is licensed under a Creative Commons Attribution-ShareAlike 4.0 International License. You are free to download, use, print, and even sell this work as you wish to. You can also modify the text as much as you like (create a custom edition for your students, for example), as long as you attribute the parts of the text you use to the author.

If you are interested in using parts of the book combined with another text with a similar but different license (GFDL, for example), please reach out to get permission to modify the license.


Sometimes we can hear about combinatorial proofs of a problem and sometimes we hear about proofs based upon formal ou symbolic methods. Combinatorial proofs typically search for bijections between known finite sets and the objects we like to count and going this way we try to get a deeper understanding about the underlying structure of these objects. On the other hand symbolic methods are based upon different types of generating functions. With the help of these functions many counting problems can be easily solved by rather simple algebraic methods using formal, finite operations and without considering limits or other analytic means.

One classic providing an enormous amount of combinatorial proofs is Richard P. Stanleys Enumerative Combinatorics Volume $1$ and $2$ . You was asking for more than one proof of a structure and you will be satisfied. Por exemplo. example $6.19$ of Volume $2$ gives you $66$ different sets of the famous Catalan Numbers $frac<1>inom<2n>$ at hand. You will find there many wonderful examples with combinatorial proofs.

Some other prior classic is Advanced Combinatorics $(1974)$ from Louis Comtet. This book is also a great guide through the landscape of combinatorics. It contains many particular problems with combinatorial proofs.

These two books are my recommendation for combinatorial proofs. I'd like to add some more hints to complete the (my) picture:

The book Combinatorial Identities from John Riordan ( $1968$ ) is a wonderful classic with thousands of binomial identities which are systematically organised. But it does not typically provide combinatorial proofs. It's a great reference to search for different classes of combinatorial identities.

If you also consider to have a look at the other, formal side then H.Wilf's book Generatingfunctionology is the perfect, easily accessible starter to see the power of formal series.

A great book, presumably playing in the same league as Stanleys Enumerative Combinatorics é Analytic Combinatorics from Philippe Flajolet and Robert Sedgewick. Here you will not only find a definitive reference of symbolic methods in Combinatorics (first part of the book), but also how the great power of complex analysis can be used to get information about asymptotic behaviour, singularity analysis of generating functions and many other beautiful things.

The guiding theme for all these references is: Read it, analyse it (at least partly) and have fun :-)


3.E: Identities (Exercises) - Mathematics

NCERT Solutions for Class 8 Maths consists of the chapter-wise solutions of all the problems provided in the NCERT textbook for Class 8 Mathematics. GeeksforGeeks has created a detailed chapter-wise solution for the NCERT book of class 8 that contains problems on various topics like Rational Numbers, Linear Equations, Quadrilaterals, Data Handling, and many more. Each chapter in this solution thoroughly covers every exercise along with a detailed step-by-step explanation of the solutions.

Chapter 1: Rational Numbers

The chapter Rational numbers mainly discuss the characteristics of all the real numbers, integers, whole numbers, rational numbers, and natural numbers. This chapter consists of two exercises only in which the problems in Exercise 1.1 are related to the properties of the rational numbers (closure, commutativity, associativity, etc). However, in Exercise 1.2 the problems are related to the advanced concepts of the rational number like the representation of rational numbers on a number line and to determine any numbers of rational number between any two rational numbers.

Chapter 2: Linear Equations in One Variable

The linear equations in one variable deal with the expression defined in one variable only and its algebraic operations. This chapter contains six different exercises that have problems based on the linear equations in one variable and its application. Exercises 2.1, 2.2, 2.3, and 2.4 are designed to determine the solution of the linear equation. However, Exercises 2.5 and 2.6 are based on the topic e quations reducible to the linear form.

Chapter 3: Understanding Quadrilaterals

This chapter covers all types of quadrilaterals such as polygonal shapes like square, rectangle, triangle, pentagon, hexagon, etc. In total, this chapter contains four exercises in which Exercise 3.1 covers the problems on the definition of various polygons and their properties, Exercise 3.2 is based on the concept of the Angle sum property of a polygon. However, Exercise 3.3 covers the elements and the properties of quadrilaterals like trapezium, kite, and parallelogram, and Exercise 3.4 is designed to learn some special types of parallelogram like square, rectangle, and rhombus.

Chapter 4: Practical Geometry

The chapter practical geometry helps to learn the construction of quadrilateral when different parameters of it are known. This chapter contains a total of five exercises only in which Exercise 4.1 covers the problem for the case when the lengths of four sides and a diagonal are given. Similarly, E xercises 4.2, 4.3 , and 4.4 are based on the topics when two diagonals and three sides are known, two adjacent sides and three angles are given and three sides and two included angles are provided. However, Exercise 4.5 contains problems based on some special cases.

Chapter 5: Data Handling

Data handling is a method of organizing data or information systematically using diagrams like bar graphs, pictographs, pie charts, and histograms. This chapter consists of only three exercises. Exercise 5.1 is based on the basic concept of representing, organizing, and grouping the data provided while Exercise 5.2 helps to make a pie chart for the given data. Moreover, Exercise 5.3 coves the topic that helps to understand the basic concept of probability.

Chapter 6: Squares and Square Roots

As the name of the chapter says, Squares and square roots this chapter gives the knowledge of the concept to determine the squares and square root of a number. The different properties and the pattern followed to find a square number are discussed in four exercises. Exercises 6.1 and 6.2 are based on the basic idea of the square numbers and different ways to determine them. Though Exercises 6.4 and 6.5 are focused on the concept of the determination of the square root of a number.

Chapter 7: Cubes and Cube roots

Again, as the title of the chapter suggest that Cubes and Cube roots this chapter helps to understand the concept to determine the cubes and cube root of a number. The different patterns followed to find a cube and cube root of a number are discussed in only two exercises. Exercises 7.1 contains the problem to determine whether the given number is a perfect cube or not. And Exercises 7.2 focused on the idea of the cube root and the determination of the cube root of a number.

Chapter 8: Comparing Quantities

This chapter gives a basic understanding of the topics such as increased and decreased percentage, market price, selling price, cost price, discount, and discount price, profit or loss, interest, etc. Total there are three exercises in this chapter, Exercise 8.1 based on the topics ratios and percentage, and Exercises 8.2 and 8.3 covers a wide range of concepts such as percentage, profit or loss, tax, and compound interest.

Chapter 9: Algebraic Expressions and Identities

Chapter 10: Visualising Solid Shapes

This chapter provides the understanding of different solids shapes when visualized in different dimensions and various terms used to describe their properties. The chapter explains this in three different exercises. Here exercises 10.1 and 10.2 are based on the concept of the visualisation of different solid shapes at different positions and the mapping spaces around the observer. Though, Exercise 10.3 discussed the terms like faces, edges, vertices, and relation between them, related to a solid shape.

Chapter 11: Mensuration

Mensuration is the chapter that deals with the measurement or the calculations related to determine the area, perimeter, volume of various geometrical figures like square, cube, rectangle, cuboid, cylinder, and triangle, etc. This chapter consists of only four exercises in which Exercises 11.1 and 11.2 deal with problems related to the areas of different geometrical shapes, combination of shapes, and every-day life examples. However, Exercises 11.3 and 11.4 discussed the terminology related to 3-Dimensional shapes.

Chapter 12: Exponents and Powers

The chapter Exponents and powers cover the primary concepts such as laws of exponents and their applications. This chapter consists of only two exercises, Exercise 12.1 is specifically based on the laws of exponents, and Exercise 12.2 deals with the problems using the applications of power to write large numbers in exponents and vice-versa.

Chapter 13: Direct and Inverse Proportions

This chapter gives a detailed explanation of inverse and direct proportions through problems discussed in two exercises. In which Exercise 13.1 contains problems to determine the direct proportions between any quantity and Exercise 13.2 deals with the questions from the indirect inverse.

Chapter 14: Factorisation

This chapter comprises the problems on the factors of natural numbers and algebraic expressions, factorisation by regrouping terms, factorisation using identities, division of algebraic expressions. The chapter includes four exercises out of which exercises 14.1 and 14.2 are based on the topic factorisations and their application while exercises 14.3 and 14.4 emphasize the division of algebraic expressions.

Chapter 15: Introduction to Graphs

This chapter is all about the basic understanding of the graphs, kinds of graphs, etc. It is mainly explained using three exercises, Exercise 15.1 deals with problems from introduction to graphs and terminology related to it while, problems in Exercises 15.2 and 15.3 provided emphasis on the construction of different types of graphs and their applications.

Chapter 16: Playing with Numbers

All the above-mentioned chapters basically helped to learn about various kinds of numbers and their different properties likewise in this chapter the concept of numbers is discussed in a more general way. This chapter includes two exercises only, Exercise 16.1 and 16.2 which contains fun activities, puzzles, etc. such as divisibility tests to determine any missing number in a series of numbers.


Assista o vídeo: Perder Medidas e Afinar a Cintura - Aula de AeroHiit #3 (Outubro 2021).