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6.3: Funções trigonométricas inversas


Nas seções anteriores, avaliamos as funções trigonométricas em vários ângulos, mas às vezes precisamos saber qual ângulo produziria um seno, cosseno ou valor tangente específico. Para isso, precisamos de funções inversas. Lembre-se de que, para uma função um-para-um, se (f (a) = b ), então uma função inversa satisfaria (f ^ {- 1} (b) = a ).

Você provavelmente já está reconhecendo um problema - que as funções seno, cosseno e tangente não são funções um para um. Para definir uma inversa dessas funções, precisaremos restringir o domínio dessas funções para produzir uma nova função que seja um-para-um. Escolhemos um domínio para cada função que inclui o ângulo zero.

Nesses domínios restritos, podemos definir as funções seno inverso, cosseno inverso e tangente inversa.

FUNÇÕES INVERSAS DE SINE, COSINE E TANGENT e seus inversos

Para ângulos no intervalo ( left [- dfrac { pi} {2}, dfrac { pi} {2} right] ), se ( sin left ( theta right) = a ), então ( sin ^ {- 1} left (a right) = theta )

( sin ^ {- 1} left (x right) ) tem domínio [-1, 1] e intervalo ( left [- dfrac { pi} {2}, dfrac { pi} {2} right] )

O ( sin ^ {- 1} left (x right) ) às vezes é chamado de arco seno função, e notado ( arcsin left (a right) ).

Para ângulos no intervalo ( left [0, pi right] ), se ( cos left ( theta right) = a ), então ( cos ^ {- 1} left (a direita) = theta )

( cos ^ {- 1} left (x right) ) tem domínio [-1, 1] e intervalo ( left [0, pi right] )

O ( cos ^ {- 1} left (x right) ) às vezes é chamado de arco-cosseno função, e notado ( arccos left (a right) ).

Para ângulos no intervalo ( left (- dfrac { pi} {2}, dfrac { pi} {2} right) ), se ( tan left ( theta right) = a ), então ( tan ^ {- 1} left (a right) = theta )

( tan ^ {- 1} left (x right) ) tem domínio de todos os números reais e intervalo ( left (- dfrac { pi} {2}, dfrac { pi} {2 } certo))

O ( tan ^ {- 1} left (x right) ) às vezes é chamado de arco tangente função, e notado ( arctan left (a right) ).

Os gráficos das funções inversas são mostrados aqui:

Observe que a saída de cada uma dessas funções inversas é um (ângulo ).

Exemplo ( PageIndex {1} )

Avalie

  1. ( sin ^ {- 1} left ( dfrac {1} {2} right) )
  2. ( sin ^ {- 1} left (- dfrac { sqrt {2}} {2} right) )
  3. ( cos ^ {- 1} left (- dfrac { sqrt {3}} {2} right) )
  4. ( tan ^ {- 1} esquerda (1 direita) )

Solução

a) Avaliar ( sin ^ {- 1} left ( dfrac {1} {2} right) ) é o mesmo que perguntar qual ângulo teria um valor seno de ( dfrac {1} {2 } ). Em outras palavras, que ângulo ( theta ) satisfaria ( sin left ( theta right) = dfrac {1} {2} )?

Existem vários ângulos que satisfariam esta relação, como ( dfrac { pi} {6} ) e ( dfrac {5 pi} {6} ), mas sabemos que precisamos do ângulo no intervalo de ( sin ^ {- 1} left (x right) ), o intervalo ( left [- dfrac { pi} {2}, dfrac { pi} {2} right ] ), então a resposta será [ sin ^ {- 1} left ( dfrac {1} {2} right) = dfrac { pi} {6} nonumber ]

Lembre-se de que o inverso é um função então, para cada entrada, obteremos exatamente uma saída.

b) Avaliando ( sin ^ {- 1} left (- dfrac { sqrt {2}} {2} right) ), sabemos que ( dfrac {5 pi} {4} ) e ( dfrac {7 pi} {4} ) ambos têm um valor de seno de (- dfrac { sqrt {2}} {2} ), mas nenhum está no intervalo ( left [- dfrac { pi} {2}, dfrac { pi} {2} direita] ). Para isso, precisamos do ângulo negativo coterminal com ( dfrac {7 pi} {4} ). [ sin ^ {- 1} left (- dfrac { sqrt {2}} {2} right) = - dfrac { pi} {4} nonumber ]

c) Avaliando ( cos ^ {- 1} left (- dfrac { sqrt {3}} {2} right) ), estamos procurando um ângulo no intervalo ( left [0, pi right] ) com um valor de cosseno de (- dfrac { sqrt {3}} {2} ). O ângulo que satisfaz isso é [ cos ^ {- 1} left (- dfrac { sqrt {3}} {2} right) = dfrac {5 pi} {6} nonumber ]

d) Avaliando ( tan ^ {- 1} left (1 right) ), estamos procurando um ângulo no intervalo ( left (- dfrac { pi} {2}, dfrac { pi} {2} right) ) com um valor tangente de 1. O ângulo correto é [ tan ^ {- 1} left (1 right) = dfrac { pi} {4} nonumber ]

Exercício ( PageIndex {1} )

Avalie

  1. ( sin ^ {- 1} left (-1 right) )
  2. ( tan ^ {- 1} left (-1 right) )
  3. ( cos ^ {- 1} esquerda (-1 direita) )
  4. ( cos ^ {- 1} left ( dfrac {1} {2} right) )
Responder

a) (- dfrac { pi} {2} )

b) (- dfrac { pi} {4} )

c) ( pi )

d) ( dfrac { pi} {3} )

Exemplo ( PageIndex {2} )

Avalie ( sin ^ {- 1} left (0.97 right) ) usando sua calculadora.

Solução

Como a saída da função inversa é um ângulo, sua calculadora fornecerá um valor de grau se estiver no modo de graus e um valor em radianos se estiver no modo de radianos.

No modo radianos, [ sin ^ {- 1} (0,97) approx 1,3252 nonumber ]

No modo de graus, [ sin ^ {- 1} left (0.97 right) approx 75.93 {} ^ circ nonumber ]

Exercício

Avalie ( cos ^ {- 1} left (-0,4 right) ) usando sua calculadora.

Responder

[1.9823 text {ou} 113.578 mathrm {{} ^ circ} nonumber ]

Na Seção 5.5, trabalhamos com trigonometria em um triângulo retângulo para resolver os lados de um triângulo dado um lado e um ângulo adicional. Usando as funções trigonométricas inversas, podemos resolver os ângulos de um triângulo retângulo dados dois lados.

Exemplo ( PageIndex {3} )

Resolva o triângulo para o ângulo ( theta ).

Solução

Como conhecemos a hipotenusa e o lado adjacente ao ângulo, faz sentido usarmos a função cosseno.

[ cos left ( theta right) = dfrac {9} {12} nonumber ] Usando a definição do inverso,

[ theta = cos ^ {- 1} left ( dfrac {9} {12} right) nonumber ] Avaliando

[ theta approx 0,7227 text {, ou cerca de} 41,4096 mathrm {{} ^ circ} nonumber ]

Há momentos em que precisamos compor uma função trigonométrica com uma função trigonométrica inversa. Nestes casos, podemos encontrar valores exatos para as expressões resultantes

Exemplo ( PageIndex {4} )

Avalie ( sin ^ {- 1} left ( cos left ( dfrac {13 pi} {6} right) right) ).

Solução

a) Aqui, podemos avaliar diretamente o interior da composição.

[ cos left ( dfrac {13 pi} {6} right) = dfrac { sqrt {3}} {2} nonumber ]

Agora, podemos avaliar a função inversa como fizemos anteriormente.

[ sin ^ {- 1} left ( dfrac { sqrt {3}} {2} right) = dfrac { pi} {3} nonumber ]

Exercício ( PageIndex {3} )

Avalie ( cos ^ {- 1} left ( sin left (- dfrac {11 pi} {4} right) right) ).

Responder

[ sin left (- dfrac {11 pi} {4} right) = - dfrac { sqrt {2}} {2}. cos ^ {- 1} left (- dfrac { sqrt {2}} {2} right) = dfrac {3 pi} {4} nonumber ]

Exemplo ( PageIndex {5} )

Encontre um valor exato para ( sin left ( cos ^ {- 1} left ( dfrac {4} {5} right) right) ).

Solução

Começando com o interior, podemos dizer que existe algum ângulo então ( theta = cos ^ {- 1} left ( dfrac {4} {5} right) ), o que significa ( cos left) ( theta right) = dfrac {4} {5} ), e estamos procurando por ( sin left ( theta right) ). Podemos usar a identidade pitagórica para fazer isso.

[ sin ^ {2} left ( theta right) + cos ^ {2} left ( theta right) = 1 nonumber ] Usando nosso valor conhecido para cosseno
[ sin ^ {2} left ( theta right) + left ( dfrac {4} {5} right) ^ {2} = 1 nonumber ] Resolvendo para seno
[ sin ^ {2} left ( theta right) = 1- dfrac {16} {25} nonumber ]
[ sin left ( theta right) = pm sqrt { dfrac {9} {25}} = pm dfrac {3} {5} nonumber ]

Como sabemos que o cosseno inverso sempre dá um ângulo no intervalo ( left [0, pi right] ), sabemos que o seno desse ângulo deve ser positivo, então [ sin left ( cos ^ {- 1} left ( dfrac {4} {5} right) right) = sin ( theta) = dfrac {3} {5} nonumber ]

Exemplo ( PageIndex {6} )

Encontre um valor exato para ( sin left ( tan ^ {- 1} left ( dfrac {7} {4} right) right) ).

Solução

Embora pudéssemos usar um te semelhantechnique como no último exemplo, vamos demonstrar uma técnica diferente aqui. Por dentro, sabemos que existe um ângulo então ( tan left ( theta right) = dfrac {7} {4} ). Podemos imaginar isso como os lados opostos e adjacentes em um triângulo retângulo.

Usando o Teorema de Pitágoras, podemos encontrar a hipotenusa deste triângulo:

[4 ^ {2} + 7 ^ {2} = hipotenusa ^ {2} não número ]

[hipotenusa = sqrt {65} nonumber ]

Agora, podemos representar o seno do ângulo como o lado oposto dividido pela hipotenusa.

[ sin left ( theta right) = dfrac {7} { sqrt {65}} nonumber ]

Isso nos dá nossa composição desejada

[ sin left ( tan ^ {- 1} left ( dfrac {7} {4} right) right) = sin ( theta) = dfrac {7} { sqrt {65} } . enhum número]

Exercício ( PageIndex {4} )

Avalie ( cos left ( sin ^ {- 1} left ( dfrac {7} {9} right) right) ).

Responder

Seja ( theta = sin ^ {- 1} left ( dfrac {7} {9} right) ) então [ sin ( theta) = dfrac {7} {9} nonumber ]

Usando a identidade pitagórica, ( sin ^ {2} theta + cos ^ {2} theta = 1 ), então [ left ( dfrac {7} {9} right) ^ {2} + cos ^ {2} theta = 1 nonumber ]

Resolvendo, [ cos left ( sin ^ {- 1} left ( dfrac {7} {9} right) right) = cos left ( theta right) = dfrac {4 sqrt {2}} {9} nonumber ]

Também podemos encontrar composições envolvendo expressões algébricas

Exemplo ( PageIndex {7} )

Encontre uma expressão simplificada para ( cos left ( sin ^ {- 1} left ( dfrac {x} {3} right) right) ), para (- 3 le x le 3 ).

Solução

Nós sabemos que há um ângulo ( theta ) de modo que ( sin left ( theta right) = dfrac {x} {3} ). Usando o Teorema de Pitágoras,

[ sin ^ {2} left ( theta right) + cos ^ {2} left ( theta right) = 1 nonumber ] Usando nossa expressão conhecida para seno
[ left ( dfrac {x} {3} right) ^ {2} + cos ^ {2} left ( theta right) = 1 nonumber ] Resolvendo para cosseno
[ cos ^ {2} left ( theta right) = 1- dfrac {x ^ {2}} {9} nonumber ]
[ cos left ( theta right) = pm sqrt { dfrac {9-x ^ {2}} {9}} = pm dfrac { sqrt {9-x ^ {2}} } {3} nonumber ]

Como sabemos que o seno inverso deve dar um ângulo no intervalo ( left [- dfrac { pi} {2}, dfrac { pi} {2} right] ), podemos deduzir que o cosseno desse ângulo deve ser positivo. Isso nos dá

[ cos left ( sin ^ {- 1} left ( dfrac {x} {3} right) right) = dfrac { sqrt {9-x ^ {2}}} {3} enhum número]

Exercício ( PageIndex {5} )

Encontre uma expressão simplificada para ( sin left ( tan ^ {- 1} left (4x right) right) ), para (- dfrac {1} {4} le x le dfrac {1} {4} ).

Responder

Seja ( theta = tan ^ {- 1} left (4x right) ), então ( tan ( theta) = 4x ). Podemos representar isso em um triângulo como ( tan ( theta) = dfrac {4x} {1} ).

A hipotenusa do triângulo seria ( sqrt { left (4x right) ^ {2} +1} ). [ sin left ( tan ^ {- 1} left (4x right) right) = sin ( theta) = dfrac {4x} { sqrt {16x ^ {2} +1}} enhum número]

Tópicos importantes desta seção

  • Funções trigonométricas inversas: arco seno, arco cosseno e arco tangente
  • Restrições de domínio
  • Avaliando inversos usando valores de círculo unitário e a calculadora
  • Simplificando expressões numéricas envolvendo as funções trigonométricas inversas
  • Simplificando expressões algébricas envolvendo as funções trigonométricas inversas

Fórmulas trigonométricas inversas

Em trigonometria, aprendemos sobre as relações entre ângulos e lados em um triângulo retângulo. Da mesma forma, temos funções de trigonometria inversa. As funções trigonométricas básicas são sin, cos, tan, cosec, sec e cot. As funções trigonométricas inversas, por outro lado, são denotadas como sen -1 x, cos -1 x, cot -1 x, tan -1 x, cosec -1 x e sec -1 x. Neste artigo, vamos aprender as funções trigonométricas inversas com alguns exemplos resolvidos.


Anteriormente, aprendemos que em f(x) e f –1 (x) eram inversos, então f(f –1 (x)) = x e f –1 (f(x)) = x. O mesmo é verdadeiro para funções trigonométricas, com exceção. O domínio das funções inversas deve ser aplicado.

Composição de funções trigonométricas inversas

Se -1 ≤ x ≤ 1 e (- frac<π><2>) ≤ y ≤ ( frac<π><2> ), então sin (sin -1 (x)) = x e pecado -1 (pecado (y)) = y

Se -1 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ yπ, então cos (cos -1 (x)) = x e cos -1 (cos (y)) = y

Se x é um número real e (- frac<π><2>) ≤ y ≤ ( frac<π><2> ), então tan (tan –1 (x)) = x e tan -1 (tan (y)) = y

Lembre-se de ter cuidado para que o domínio e o intervalo da composição sejam mantidos. Trabalhe a composição de dentro para fora.

Exemplo 1: avaliar composições de funções de gatilho inverso

Avalie a) ( sin left ( arcsin frac <1> <2> right) ), b) ( cos left ( cos ^ <–1>frac<2π> <3> right) ), c) tan (arctan –10).

Solução
  1. ( sin left ( arcsin frac <1> <2> right) ): arcsin é a função interna, e o domínio de arcsin é -1 ≤ x ≤ 1. ( frac <1> <2> ) está neste domínio. ( arcsin left ( frac <1> <2> right) = frac<π><6> ), em seguida, localize ( sin left ( frac<π><6> right) = frac <1> <2> ). Portanto, ( sin left ( arcsin frac <1> <2> right) = frac<π><6>).
  2. ( cos left ( cos ^ <–1>frac<2π> <3> right) ): cos –1 é a função interna, e o domínio de cos –1 é –1 ≤ x ≤ 1. ( frac <2π> <3> approx 2 ), então ( frac <2π> <3> ) está fora do domínio e, portanto, não há solução para ( cos left ( cos ^ <–1>frac<2π> <3> right) ).
  3. tan (arctan –10): arctan é a função interna, e o domínio do arctan é qualquer número real. –10 é um número real, então tan (arctan –10) = –10.
Experimente 1

Avalie a) sin (sin –1 (0,345)) eb) ( cos left ( cos ^ <–1>–frac<2> <3> right) ).

Respostas

Exemplo 2: avaliar composições de funções de gatilho inverso

Avalie a) ( arcsin left ( sin frac<π><3> right) ), b) ( arccos left ( cos frac <5π> <4> right) ), ec) tan –1 (tan π).

Solução

( arcsin left ( sin frac<π><3> right) ): Trabalhe de dentro para fora. ( sin frac<π> <3> = frac < sqrt <3>> <2> ) então

(Lembre-se que o intervalo de arccos é 0 ≤ yπ.)

tan -1 (tan π): bronzeado π = 0 então

tan -1 (tan π)
= tan –1 (0)
= 0

(Lembre-se que o intervalo de tan –1 é (- frac<π><2>) ≤ y ≤ ( frac<π><2>).)

Experimente 2

Avalie a) ( arctan left ( tan frac <3π> <4> right) ) eb) sin –1 (sin (–0,354)).

Respostas

A composição das funções trigonométricas também pode ser resolvida usando triângulos retângulos. Use a função interna para desenhar um triângulo retângulo e, em seguida, use o triângulo para avaliar a função externa.

Usando um triângulo direito para resolver a composição de funções trigonométricas
  1. Desenhe um triângulo retângulo para representar a função interna. Dois lados devem ser rotulados.
  2. Use o Teorema de Pitágoras para resolver o outro lado.
  3. Use o triângulo para avaliar a função trigonométrica externa.

Exemplo 3: avaliar uma composição mista de funções trigonométricas

Avalie a) ( cos left ( arcsin frac <3> <5> right) ) eb) ( tan left ( cos ^ <–1> left (- frac <2 > <3> right) right) ).

Comece com a função interna, ( arcsin frac <3> <5> ). ( sin x = frac), então desenhe um triângulo retângulo no quadrante 1 e identifique o ângulo agudo pela origem. O lado oposto é 3 e a hipotenusa é 5. Veja Figura 2. Use o teorema de Pitágoras para encontrar o outro lado.

3 2 + b 2 = 5 2
b = 4

Agora avalie a função externa, cos, do ângulo.

Comece com a função interna, ( cos ^ <–1>left(–frac<2> <3> right) ) e desenhe um triângulo retângulo. Como a proporção dos lados é negativa, desenhe o triângulo no quadrante negativo da função trigonométrica inversa. Para cos –1, o quadrante negativo é o quadrante 2. Identifique o ângulo pela origem e o lado adjacente –2 e hipotenusa 3. Veja Figura 3. Use o teorema de Pitágoras para encontrar o outro lado.

(–2) 2 + b 2 = 3 2
(b = sqrt <5> )

Agora avalie a função externa, tan, do ângulo.

Experimente 3

Avalie ( sin left ( arctan left (- frac <12> <5> right) right) ).

Responder

Exemplo 4: Composição de funções trigonométricas usando x

Reescrever como uma expressão algébrica a) sin (arccos (x)) eb) tan (sin -1 (2x)).

Desenhe um triângulo retângulo e identifique os lados. A proporção dos lados é (x = frac<1> ). Dado que a função interna é ( arccos left ( frac<1> right) ), o lado adjacente é x e a hipotenusa é 1. Veja Figura 4. Use o teorema de Pitágoras para encontrar uma expressão para o terceiro lado.

x 2 + b 2 = 1 2
b 2 = 1 – x 2
(b = sqrt <1 - x ^ <2>> )

Agora avalie a função externa, seno.

Desenhe um triângulo retângulo e identifique os lados. A proporção dos lados é (2x = frac <2x> <1> ). Como a função interna é ( sin ^ <–1> left ( frac <2x> <1> right) ), o lado oposto é 2x e a hipotenusa é 1. Veja Figura 5. Use o teorema de Pitágoras para encontrar uma expressão para o terceiro lado.

uma 2 + (2x) 2 = 1 2
uma 2 + 4x 2 = 1
uma 2 = 1 – 4x 2
(a = sqrt <1 - 4x ^ <2>> )

Agora avalie a função externa, tangente.

Experimente 4

Reescrever como uma expressão algébrica: ( cos left ( arctan left ( frac<2> right) right) ).

Responder

6.3: Funções trigonométricas inversas

As funções trigonométricas inversas são as funções inversas das funções trigonométricas. Existem inversos do seno, cosseno, cossecante, tangente, cotangente e secante funções. Eles também são chamados de funções de arco, funções antitrigonométricas ou funções ciclométricas. Essas funções inversas em trigonometria são usadas para obter o ângulo com qualquer uma das razões de trigonometria. Vamos discutir cada função trigonométrica inversa em detalhes.

Arco seno

A função arco-seno é um inverso da função seno denotada por sen -1 x. Ele retorna o ângulo cujo seno corresponde ao número fornecido.

sinθ = (Oposto / Hipotenusa)

=> sin -1 (Oposto / Hipotenusa) = θ

O teorema do inverso do pecado é: d / dx sen -1 x = 1 / √ (1 & # 8211 x 2)

sin (θ) = x

agora,

f (x) = sin -1 x .. (eq1)

valor substituto de sin na eq (1)

f (sin (θ)) = θ

f '(sin (θ)) cos (θ) = 1 .. diferenciando a equação

nós sabemos isso,

sen 2 θ + cos 2 θ = 1

assim,

cos = √ (1 & # 8211 x 2)

f '(x) = 1 / √ (1 & # 8211 x 2)

agora,

d / dx sen -1 x = 1 / √ (1 & # 8211 x 2)

daí provado.

Arco-cosseno

a função arco-cosseno é o inverso da função seno denotada por cos -1. Ele retorna o ângulo cujo cosseno corresponde ao número fornecido.

cosθ = (hipotenusa / adjacente)

=> cos -1 (hipotenusa / adjacente) = θ

O teorema do cos inverso é: d / dx cos -1 (x) = -1 / √ (1 & # 8211 x 2)

cos (θ) = x

θ = arccos (x)

dx = dcos (θ) = −sin (θ) dθ .. diferencie a equação

agora,

nós sabemos isso,

sen 2 + cos 2 = 1

assim,

cos = √ (1 & # 8211 x 2)

−sin (θ) = −sin (arccos (x)) = -√ (1 & # 8211 x 2)

dθ / dx = −1 / sin (θ) = -1 / √ (1 & # 8211 x 2)

assim,

dθ / dx cos -1 (x) = -1 / √ (1 & # 8211 x 2)

daí provado.

Arco tangente

função arco tangente é o inverso da função tangente denotada por tan -1. Ele retorna o ângulo cuja tangente corresponde ao número fornecido.

tanθ = (Oposto / Adjacente)

=> tan -1 (Oposto / Adjacente) = θ

O teorema do inverso de tan é: d / dx tan -1 (x) = 1 / (1 + x 2)

tan (θ) = x

θ = arctan (x)

nós sabemos isso,

tan 2 θ + 1 = seg 2 θ

dx / dθ = sec 2 y .. diferenciando a função tan

dx / dθ = 1 + x 2

portanto,

dθ / dx = 1 / (1 + x 2)

daí provado.

Restringindo Domínios de Funções para Torná-los Invertíveis

  • ƒ: [−π / 2, π / 2] ⇒ [-1, 1] é definido como ƒ (x) = sin (x) e é uma bijeção, portanto o inverso existe. O inverso de sen -1 também é chamado de arco seno e as funções inversas também são chamadas de funções de arco.
  • ƒ: [- π / 2, π / 2] ⇒ [−1, 1] é definido como sinθ = x ⇔ sin -1 (x) = θ, θ pertence a [−π / 2, π / 2] e x pertence a [-1, 1].

Da mesma forma, restringimos os domínios de cos, tan, cot, sec, cosec para que sejam invertíveis.

Domínio e intervalo de funções inversas

Usando funções trigonométricas inversas com uma calculadora

Em uma calculadora científica, é possível encontrar funções trigonométricas inversas, bem como funções trigonométricas. Para encontrar funções trigonométricas de um ângulo, insira o ângulo escolhido em graus ou radianos. Abaixo da calculadora, seis funções trigonométricas aparecerão como seno, cosseno, tangente, cossecante, secante e cotangente. Da mesma forma, para encontrar funções trigonométricas inversas em uma calculadora científica, vá até o botão shift na calculadora e pressione-o, em seguida, selecione qualquer função trigonométrica padrão, como seno, cosseno, tangente, cossecante, secante e cotangente. Isso permitirá que você use funções trigonométricas inversas. Depois de selecionar a função trigonométrica, basta inserir seu parâmetro em radianos ou graus ou, no caso de funções inversas, insira os valores que estão dentro do domínio daquela função específica e a calculadora científica irá resolvê-lo.

Funções trigonométricas inversas

Funções periódicas:

Como as funções trigonométricas são periódicas, suas funções inversas são variadas para escrevê-las no formato padrão, usamos as equações fornecidas abaixo.

arco seno (x) = (-1) n arco sen x + πn

arccos (x) = ± arccos x + 2πn

arctan (x) = arctan (x) + πn

arccot ​​(x) = arccot ​​(x) + πn

onde n = 0, ± 1, ± 2,….

Substituindo funções trigonométricas em funções diferentes:

Derivadas das funções trigonométricas inversas:

d / dx sen -1 (x) = 1 / √ (1 & # 8211 x 2)

d / dx cos -1 (x) = -1 / √ (1 & # 8211 x 2)

d / dx tan -1 (x) = 1 / (1 + x 2)

d / dx cot -1 (x) = -1 / (1 + x 2)

Propriedades de diferentes funções trigonométricas

Conjunto 1: Propriedades do pecado

1) sin (θ) = x ⇔ sin -1 (x) = θ, θ ∈ [-π / 2, π / 2], x ∈ [-1, 1]

2) sin -1 (sin (θ)) = θ, θ ∈ [-π / 2, π / 2]

3) sin (sin -1 (x)) = x, x ∈ [-1, 1]

Conjunto 2: Propriedades de cos

4) cos (θ) = x ⇔ cos -1 (x) = θ, θ ∈ [0, π], x ∈ [-1, 1]

5) cos -1 (cos (θ)) = θ, θ ∈ [0, π]

6) cos (cos -1 (x)) = x, x ∈ [-1, 1]

Conjunto 3: Propriedades do bronzeado

7) tan (θ) = x ⇔ tan -1 (x) = θ, θ ∈ [-π / 2, π / 2], x ∈ R

8) tan -1 (tan (θ)) = θ, θ ∈ [-π / 2, π / 2]

9) tan (tan -1 (x)) = x, x ∈ R

Conjunto 4: Propriedades do berço

10) cot (θ) = x ⇔ cot -1 (x) = θ, θ ∈ [0, π], x ∈ R

11) cot -1 (cot (θ)) = θ, θ ∈ [0, π]

12) cot (cot -1 (x)) = x, x ∈ R

Conjunto 5: Propriedades de seg

13) sec (θ) = x ⇔ sec -1 (x) = θ, θ ∈ [0, π] & # 8211 <π / 2>, x ∈ (-∞, -1] ∪ [1, ∞)

14) sec -1 (sec (θ)) = θ, θ ∈ [0, π] & # 8211 <π / 2>

15) sec (sec -1 (x)) = x, x ∈ (-∞, -1] ∪ [1, ∞)

Conjunto 6: Propriedades de cosec

16) cosec (θ) = x ⇔ cosec -1 (x) = θ, θ ∈ [-π / 2, π / 2] & # 8211 <0>, x ∈ (-∞, -1] ∪ [1, ∞)

17) cosec -1 (cosec (θ)) = θ, θ ∈ [-π / 2, π] & # 8211 <0>

18) cosec (cosec -1 (x)) = x, x ∈ (-∞, -1] ∪ [1, ∞)

Conjunto 7: Outras fórmulas trigonométricas inversas

19) sen -1 (-x) = -sin -1 (x), x ∈ [-1, 1]

20) cos -1 (-x) = π & # 8211 cos -1 (x), x ∈ [-1, 1]

21) tan -1 (-x) = -tan -1 (x), x ∈ R

22) cot -1 (-x) = π & # 8211 cot -1 (x), x ∈ R

23) seg -1 (-x) = π & # 8211 seg -1 (x), x ∈ (-∞, -1] ∪ [1, ∞)

24) cosec -1 (-x) = -cosec -1 (x), x ∈ (-∞, -1] ∪ [1, ∞)

  • sen -1 (-1/2) = -sin -1 (1/2)
  • cos -1 (-1/2) = π -cos -1 (1/2)
  • tan -1 (-1) = π -tan -1 (1)
  • cot -1 (-1) = -cot -1 (1)
  • seg -1 (-2) = π-seg -1 (2)
  • cosec -1 (-2) = -cosec -1 (x)

Conjunto 8: Soma de duas funções trigonométricas

25) sin -1 (x) + cos -1 (x) = π / 2, x ∈ [-1, 1]

26) tan -1 (x) + cot -1 (x) = π / 2, x ∈ R

27) sec -1 (x) + cosec -1 (x) = π / 2, x ∈ (-∞, -1] ∪ [1, ∞)

sin -1 (x) + cos -1 (x) = π / 2, x ∈ [-1, 1]

deixe sin -1 (x) = y

agora,

x = sin y = cos ((π / 2) - y)

⇒ cos -1 (x) = (π / 2) - y = (π / 2) −sin -1 (x)

então, sen -1 (x) + cos -1 (x) = π / 2

tan -1 (x) + cot -1 (x) = π / 2, x ∈ R

Deixe tan -1 (x) = y

agora, cot (π / 2 - y) = x

⇒ cot -1 (x) = (π / 2 - y)

tan -1 (x) + cot -1 (x) = y + π / 2 - y

então, tan -1 (x) + cot -1 (x) = π / 2

Da mesma forma, podemos provar o teorema da soma de arcsec e arccosec também.

Conjunto 9: Conversão de funções trigonométricas

28) sin -1 (1 / x) = cosec -1 (x), x≥1 ou x≤ − 1

29) cos -1 (1 / x) = sec -1 (x), x ≥ 1 ou x ≤ −1

30) tan -1 (1 / x) = −π + cot -1 (x)

sin -1 (1 / x) = cosec -1 (x), x ≥ 1 ou x ≤ −1

deixe, x = cosec (y)

1 / x = sin (y)

⇒ sin -1 (1 / x) = y

⇒ sen -1 (1 / x) = cosec -1 (x)


6.3 Funções trigonométricas inversas

1 Capítulo 6 Funções periódicas Funções trigonométricas inversas Nesta seção, você irá: Objetivos de aprendizagem Compreender e usar as funções seno, cosseno e tangente inversas Encontrar o valor exato das expressões envolvendo as funções seno, cosseno e tangente inversas Usar uma calculadora para avaliar funções trigonométricas inversas Encontre valores exatos de funções compostas com funções trigonométricas inversas. Para qualquer triângulo retângulo, dado um outro ângulo e o comprimento de um lado, podemos descobrir quais são os outros ângulos e lados. Mas e se tivermos apenas dois lados de um triângulo retângulo? Precisamos de um procedimento que nos leve de uma proporção de lados a um ângulo. É aqui que a noção de uma função inversa de uma função trigonométrica entra em jogo. Nesta seção, exploraremos as funções trigonométricas inversas. Compreendendo e usando as funções seno, cosseno e tangente inversas Para usar as funções trigonométricas inversas, precisamos entender que uma função trigonométrica inversa desfaz o que a função trigonométrica original faz, como é o caso de qualquer outra função e sua inversa. Em outras palavras, o domínio da função inversa é o intervalo da função original, e vice-versa, conforme resumido na Figura Figura 6.54 Por exemplo, se f (x) = sin x, então escreveríamos f 1 (x) = sin 1 x. Esteja ciente de que sen 1 x não significa 1 senx. Os exemplos a seguir ilustram as funções trigonométricas inversas: Como sin & pi 6 = 1, então & pi 6 = sin 1 1. Como cos (& pi) = 1, então & pi = cos 1 (1). Como tan & pi 4 = 1, então & pi 4 = tan 1 (1). Nas seções anteriores, avaliamos as funções trigonométricas em vários ângulos, mas às vezes precisamos saber qual ângulo produziria um seno, cosseno ou valor tangente específico. Para isso, precisamos de funções inversas. Lembre-se de que, para uma função um-para-um, se f (a) = b, então uma função inversa satisfaria f 1 (b) = a. Lembre-se de que as funções seno, cosseno e tangente não são funções um-para-um. O gráfico de cada função falharia no teste da linha horizontal. Na verdade, nenhuma função periódica pode ser um-para-um porque cada saída em seu intervalo corresponde a pelo menos uma entrada em cada período, e há um número infinito de períodos. Como acontece com outras funções que não são um para um, precisaremos restringir o domínio de cada função para produzir uma nova função que seja um para um. Escolhemos um domínio para cada função que inclui o número 0. A Figura 6.55 mostra o gráfico da função seno limitada a & pi, & pi e o gráfico da função cosseno limitada a [0, & pi].

2 864 Capítulo 6 Funções Periódicas Figura 6.55 (a) Função seno em um domínio restrito de & pi, & pi (b) Função cosseno em um domínio restrito de [0, & pi] A Figura 6.56 mostra o gráfico da função tangente limitada a & pi, & pi . Figura 6.56 & pi, & pi Função tangente em um domínio restrito de Essas escolhas convencionais para o domínio restrito são um tanto arbitrárias, mas têm características úteis e importantes. Cada domínio inclui a origem e alguns valores positivos e, o mais importante, cada um resulta em uma função de um para um que é invertível. A escolha convencional para o domínio restrito da função tangente também tem a propriedade útil de se estender de uma assíntota vertical para a próxima, em vez de ser dividido em duas partes por uma assíntota. Nestes domínios restritos, podemos definir as funções trigonométricas inversas. A função seno inversa y = sin 1 x significa x = sin y. A função do seno inverso às vezes é chamada de função arco-seno e arco-seno notado. y = sin 1 x tem domínio [1, 1] e intervalo & pi, & pi A função cosseno inversa y = cos 1 x significa x = cos y. A função cosseno inversa às vezes é chamada de função arco-cosseno e arccos x notado. y = cos 1 x tem domínio [1, 1] e intervalo [0, & pi] A função tangente inversa y = tan 1 x significa x = tan y. A função tangente inversa às vezes é chamada de função arco tangente e arctan x notado. Este conteúdo está disponível gratuitamente em

3 Capítulo 6 Funções periódicas 865 y = tan 1 x tem domínio (,) e intervalo & pi, & pi Os gráficos das funções inversas são mostrados na Figura 6.57, Figura 6.58 e Figura Observe que a saída de cada uma dessas funções inversas é um número, um ângulo em radianos. Vemos que sin 1 x tem domínio [1, 1] e intervalo & pi, & pi, cos 1 x tem domínio [1,1] e intervalo [0, & pi], e tan 1 x tem domínio de todos os números reais e intervalo & pi , & pi. Para encontrar o domínio e o intervalo das funções trigonométricas inversas, mude o domínio e o intervalo das funções originais. Cada gráfico da função trigonométrica inversa é um reflexo do gráfico da função original sobre a reta y = x. Figura 6.57 A função seno e função seno inversa (ou arco cosseno) Figura 6.58 A função cosseno e função cosseno inversa (ou arco cosseno)

4 866 Capítulo 6 Funções periódicas Figura 6.59 A função tangente e a função tangente inversa (ou arco-tangente) Relações para seno inverso, cosseno e funções tangentes Para ângulos no intervalo & pi, & pi, se sin y = x, então sin 1 x = y . Para ângulos no intervalo [0, & pi], se cos y = x, então cos 1 x = y. Para ângulos no intervalo & pi, & pi, se tan y = x, então tan 1 x = y. Exemplo 6.4 Escrevendo uma relação para uma função inversa Dado sin 5 & pi, escreva uma relação envolvendo o seno inverso. Solução Use a relação para o seno inverso. Se sin y = x, então sin 1 x = y. Neste problema, x = ey = 5 & pi 1. sin 1 () 5 & pi Dado cos (0,5), escreva uma relação envolvendo o cosseno inverso. Este conteúdo está disponível gratuitamente em

5 Capítulo 6 Funções Periódicas 867 Encontrando o Valor Exato de Expressões Envolvendo as Funções Seno Inversa, Cosseno e Tangente Agora que podemos identificar funções inversas, aprenderemos a avaliá-las. Para a maioria dos valores em seus domínios, devemos avaliar as funções trigonométricas inversas usando uma calculadora, interpolando a partir de uma tabela ou usando alguma outra técnica numérica. Assim como fizemos com as funções trigonométricas originais, podemos fornecer valores exatos para as funções inversas quando estamos usando os ângulos especiais, especificamente & pi 6 (30), & pi 4 (45) e & pi (60), e seus reflexos em outros quadrantes. 3 Dado um valor de entrada especial, avalie uma função trigonométrica inversa. 1. Encontre o ângulo x para o qual a função trigonométrica original tem uma saída igual à entrada dada para a função trigonométrica inversa. Se x não estiver na faixa definida do inverso, encontre outro ângulo y que esteja na faixa definida e tenha o mesmo seno, cosseno ou tangente que x, dependendo de qual corresponde à função inversa fornecida. Exemplo 6.5 Avaliação de funções trigonométricas inversas para valores de entrada especiais Avalie cada um dos seguintes. uma. sin 1 1 b. pecado 1 c. cos 1 3 d. tan 1 (1) Solução a. Avaliar sin 1 1 é o mesmo que determinar o ângulo que teria um valor de seno de 1. Em outras palavras, qual ângulo x satisfaria sin (x) = 1? Existem vários valores que satisfariam essa relação, como & pi 6 e 5 & pi 6, mas sabemos que precisamos do ângulo no intervalo & pi, & pi, então a resposta será sen 1 1 = & pi. Lembre-se de que o inverso é uma função, portanto, para cada entrada, obteremos exatamente 6 uma saída. b. Para avaliar sen 1, sabemos que 5 & pi 4 e 7 & pi 4 ambos têm um valor de seno de, mas nenhum está no intervalo & pi, & pi. Para isso, precisamos do ângulo negativo coterminal com 7 & pi 4: sin 1 () = & pi 4. c. Para avaliar cos 1 3, estamos procurando um ângulo no intervalo [0, & pi] com um valor de cosseno de 3. O ângulo que satisfaz isso é cos 1 3 = 5 & pi 6.

6 868 Capítulo 6 Funções periódicas d. Avaliando tan 1 (1), estamos procurando um ângulo no intervalo & pi, & pi com um valor tangente de 1. O ângulo correto é tan 1 (1) = & pi Avalie cada um dos seguintes. uma. pecado 1 (1) b. tan 1 (1) c. cos 1 (1) d. cos 1 1 Usando uma calculadora para avaliar funções trigonométricas inversas Para avaliar funções trigonométricas inversas que não envolvem os ângulos especiais discutidos anteriormente, precisaremos usar uma calculadora ou outro tipo de tecnologia. A maioria das calculadoras científicas e aplicativos de emulação de calculadora têm teclas ou botões específicos para as funções de seno inverso, cosseno e tangente. Eles podem ser rotulados, por exemplo, SIN-1, ARCSIN ou ASIN. No capítulo anterior, trabalhamos com trigonometria em um triângulo retângulo para resolver os lados de um triângulo dado um lado e um ângulo adicional. Usando as funções trigonométricas inversas, podemos resolver os ângulos de um triângulo retângulo dados dois lados e podemos usar uma calculadora para encontrar os valores com várias casas decimais. Nestes exemplos e exercícios, as respostas serão interpretadas como ângulos e usaremos & theta como a variável independente. O valor exibido na calculadora pode ser em graus ou radianos, portanto, certifique-se de definir o modo apropriado para o aplicativo. Exemplo 6.6 Avaliando o seno inverso em uma calculadora Avalie sin 1 (0,97) usando uma calculadora. Solution Because the output of the inverse function is an angle, the calculator will give us a degree value if in degree mode and a radian value if in radian mode. Calculators also use the same domain restrictions on the angles as we are using. In radian mode, sin 1 (0.97) In degree mode, sin 1 (0.97) Note that in calculus and beyond we will use radians in almost all cases. 6.1 Evaluate cos 1 ( 0.4) using a calculator. This content is available for free at

7 Chapter 6 Periodic Functions 869 Given two sides of a right triangle like the one shown in Figure 6.60, find an angle. Figure If one given side is the hypotenuse of length h and the side of length a adjacent to the desired angle is given, use the equation &theta = cos 1 a h.. If one given side is the hypotenuse of length h and the side of length p opposite to the desired angle is given, use the equation &theta = sin 1 p h. 3. If the two legs (the sides adjacent to the right angle) are given, then use the equation &theta = tan 1 p a. Example 6.7 Applying the Inverse Cosine to a Right Triangle Solve the triangle in Figure 6.61 for the angle &theta. Figure 6.61 Solution Because we know the hypotenuse and the side adjacent to the angle, it makes sense for us to use the cosine function. cos &theta = 9 1 &theta = cos 1 ( 9 1 ) &theta 0.77 or about Apply definition of the inverse. Evaluate.

8 870 Chapter 6 Periodic Functions 6. Solve the triangle in Figure 6.6 for the angle &theta. Figure 6.6 Finding Exact Values of Composite Functions with Inverse Trigonometric Functions There are times when we need to compose a trigonometric function with an inverse trigonometric function. In these cases, we can usually find exact values for the resulting expressions without resorting to a calculator. Even when the input to the composite function is a variable or an expression, we can often find an expression for the output. To help sort out different cases, let f (x) and g(x) be two different trigonometric functions belonging to the set and let f 1 (y) and g 1 (y) be their inverses. Evaluating Compositions of the Form f(f(y)) and f(f(x)) For any trigonometric function, f f 1 (y) = y for all y in the proper domain for the given function. This follows from the definition of the inverse and from the fact that the range of f was defined to be identical to the domain of f 1. However, we have to be a little more careful with expressions of the form f 1 f (x). Compositions of a trigonometric function and its inverse sin(sin 1 x) = x for 1 x 1 cos(cos 1 x) = x for 1 x 1 tan(tan 1 x) = x for < x < sin 1 (sin x) = x only for &pi x &pi cos 1 (cos x) = x only for 0 x &pi tan 1 (tan x ) = x only for &pi < x < &pi Is it correct that sin 1 (sin x) = x? No. This equation is correct if x belongs to the restricted domain &pi, &pi, but sine is defined for all real input values, and for x outside the restricted interval, the equation is not correct because its inverse always returns a value in &pi, &pi. The situation is similar for cosine and tangent and their inverses. For example, sin 1 sin 3&pi 4 = &pi 4. This content is available for free at

9 Chapter 6 Periodic Functions 871 Given an expression of the form f 1 (f(&theta)) where f(&theta) = sin &theta, cos &theta, or tan &theta, evaluate. 1. If &theta is in the restricted domain of f, then f 1 ( f (&theta)) = &theta.. If not, then find an angle ϕ within the restricted domain of f such that f (ϕ) = f (&theta). Then f 1 f (&theta) = ϕ. Example 6.8 Using Inverse Trigonometric Functions Evaluate the following: 1. sin 1 sin &pi 3. sin 1 sin &pi 3 3. cos 1 cos &pi 3 4. cos 1 cos &pi 3 Solution a. &pi is in 3 &pi, &pi, so sin 1 sin &pi 3 = &pi 3. b. &pi is not in 3 &pi, &pi, but sin &pi 3 = sin &pi 3, so sin 1 sin &pi 3 = &pi 3. c. &pi 3 is in [0, &pi], so cos 1 cos &pi 3 = &pi 3. d. &pi 3 is not in [0, &pi], but cos &pi 3 = cos &pi 3 because cosine is an even function. e. &pi is in [0, &pi], so cos 1 3 cos &pi 3 = &pi Evaluate tan 1 tan &pi 8 and tan 1 tan 11&pi 9. Evaluating Compositions of the Form f(g(x)) Now that we can compose a trigonometric function with its inverse, we can explore how to evaluate a composition of a trigonometric function and the inverse of another trigonometric function. We will begin with compositions of the form f 1 g(x). For special values of x, we can exactly evaluate the inner function and then the outer, inverse function. However, we can find a more general approach by considering the relation between the two acute angles of a right triangle where one is &theta, making the other &pi &theta. Consider the sine and cosine of each angle of the right triangle in Figure 6.63.

10 87 Chapter 6 Periodic Functions Figure 6.63 relationships Right triangle illustrating the cofunction Because cos &theta = b c = sin &pi &theta, we have sin 1 (cos &theta) = &pi &theta if 0 &theta &pi. If &theta is not in this domain, then we need to find another angle that has the same cosine as &theta and does belong to the restricted domain we then subtract this angle from &pi. Similarly, sin &theta = a c = cos &pi &theta, so cos 1 (sin &theta) = &pi &theta if &pi &theta &pi. These are just the function- cofunction relationships presented in another way. Given functions of the form sin 1 (cos x) and cos 1 (sin x), evaluate them. 1. If x is in [0, &pi], then sin 1 (cos x) = &pi x.. If x is not in [0, &pi], then find another angle y in [0, &pi] such that cos y = cos x. 3. If x is in &pi, &pi, then cos 1 (sin x) = &pi x. sin 1 (cos x) = &pi y 4. If x is not in &pi, &pi, then find another angle y in &pi, &pi such that sin y = sin x. cos 1 (sin x) = &pi y Example 6.9 Evaluating the Composition of an Inverse Sine with a Cosine Evaluate sin 1 cos 13&pi 6 a. by direct evaluation. b. by the method described previously. Solution a. Here, we can directly evaluate the inside of the composition. cos( 13&pi 6 ) = cos(&pi 6 + &pi) = cos( &pi 6 ) = 3 Now, we can evaluate the inverse function as we did earlier. This content is available for free at

11 Chapter 6 Periodic Functions 873 b. We have x = 13&pi 6, y = &pi 6, and sin 1 3 = &pi 3 sin 1 cos 13&pi 6 = &pi &pi 6 = &pi Evaluate cos 1 sin 11&pi 4. Evaluating Compositions of the Form f(g(x)) To evaluate compositions of the form f g 1 (x), where f and g are any two of the functions sine, cosine, or tangent and x is any input in the domain of g 1, we have exact formulas, such as sin cos 1 x = 1 x. When we need to use them, we can derive these formulas by using the trigonometric relations between the angles and sides of a right triangle, together with the use of Pythagoras s relation between the lengths of the sides. We can use the Pythagorean identity, sin x + cos x = 1, to solve for one when given the other. We can also use the inverse trigonometric functions to find compositions involving algebraic expressions. Example 6.30 Evaluating the Composition of a Sine with an Inverse Cosine Find an exact value for sin cos Solution Beginning with the inside, we can say there is some angle such that &theta = cos 1 4 5, which means cos &theta = 4 5, and we are looking for sin &theta. We can use the Pythagorean identity to do this. sin &theta + cos &theta = 1 sin &theta + ( 4 5 ) = 1 sin &theta = Use our known value for cosine. Solve for sine. sin &theta = ± 9 5 = ± 3 5 Since &theta = cos is in quadrant I, sin &theta must be positive, so the solution is 3. See Figure

12 874 Chapter 6 Periodic Functions Figure 6.64 Right triangle illustrating that if cos &theta = 4 5, then sin &theta = 3 5 We know that the inverse cosine always gives an angle on the interval [0, &pi], so we know that the sine of that angle must be positive therefore sin cos = sin &theta = Evaluate cos tan Example 6.31 Evaluating the Composition of a Sine with an Inverse Tangent Find an exact value for sin tan Solution While we could use a similar technique as in Example 6.9, we will demonstrate a different technique here. From the inside, we know there is an angle such that tan &theta = 7. We can envision this as the opposite and adjacent 4 sides on a right triangle, as shown in Figure Figure 6.65 A right triangle with two sides known Using the Pythagorean Theorem, we can find the hypotenuse of this triangle. This content is available for free at

13 Chapter 6 Periodic Functions = hypotenuse hypotenuse = 65 Now, we can evaluate the sine of the angle as the opposite side divided by the hypotenuse. This gives us our desired composition. sin &theta = 7 65 sin tan = sin &theta = 7 65 = Evaluate cos sin Example 6.3 Finding the Cosine of the Inverse Sine of an Algebraic Expression Find a simplified expression for cos sin 1 x 3 for 3 x 3. Solution We know there is an angle &theta such that sin &theta = x 3. sin &theta + cos &theta = 1 Use the Pythagorean Theorem. 3 x + cos &theta = 1 Solve for cosine. cos &theta = 1 x 9 cos&theta = ± 9 x 9 = ± 9 x 3 Because we know that the inverse sine must give an angle on the interval &pi, &pi, we can deduce that the cosine of that angle must be positive. cos sin 1 x 3 = 9 x Find a simplified expression for sin tan 1 (4x) for 1 4 x 1 4.

14 876 Chapter 6 Periodic Functions Access this online resource for additional instruction and practice with inverse trigonometric functions. Evaluate Expressions Involving Inverse Trigonometric Functions ( Visit this website ( for additional practice questions from Learningpod. This content is available for free at

15 Chapter 6 Periodic Functions EXERCISES Verbal 106. Why do the functions f (x) = sin 1 x and g(x) = cos 1 x have different ranges? Since the functions y = cos x and y = cos 1 x are inverse functions, why is cos 1 cos &pi 6 not equal to &pi 6? Explain the meaning of &pi 6 = arcsin(0.5) Most calculators do not have a key to evaluate sec 1 (). Explain how this can be done using the cosine function or the inverse cosine function Why must the domain of the sine function, sin x, be restricted to &pi, &pi for the inverse sine function to exist? Discuss why this statement is incorrect: arccos(cos x) = x for all x. Determine whether the following statement is true or false and explain your answer: arccos( x) = &pi arccos x. Algebraic For the following exercises, evaluate the expressions sin sin 1 1 cos cos 1 tan 1 (1) tan 1 3 tan 1 ( 1) 10. tan tan For the following exercises, use a calculator to evaluate each expression. Express answers to the nearest hundredth cos 1 ( 0.4) arcsin(0.3) 14.

16 878 Chapter 6 Periodic Functions arccos cos 1 (0.8) tan 1 (6) For the following exercises, find the angle &theta in the given right triangle. Round answers to the nearest hundredth For the following exercises, find the exact value, if possible, without a calculator. If it is not possible, explain why sin 1 (cos(&pi)) tan 1 sin(&pi) cos 1 sin &pi 3 tan 1 sin &pi 3 sin 1 cos &pi tan 1 sin 4&pi 3 sin 1 sin 5&pi 6 tan 1 sin 5&pi cos sin sin cos This content is available for free at

17 Chapter 6 Periodic Functions sin tan cos tan cos sin 1 1 For the following exercises, find the exact value of the expression in terms of x with the help of a reference triangle. 14. tan sin 1 (x 1) 143. sin cos 1 (1 x) 144. cos sin 1 1 x cos tan 1 (3x 1) tan sin 1 x + 1 Extensions For the following exercises, evaluate the expression without using a calculator. Give the exact value sin 1 1 cos 1 + sin 1 3 cos 1 (1) cos 1 3 sin 1 + cos 1 1 sin 1 (0) For the following exercises, find the function if sin t = x x cos t sec t cot t cos sin 1 x x tan 1 x x + 1 Graphical Graph y = sin 1 x and state the domain and range of the function. Graph y = arccos x and state the domain and range of the function. Graph one cycle of y = tan 1 x and state the domain and range of the function. For what value of x does sin x = sin 1 x? Use a graphing calculator to approximate the answer. 157.

18 880 Chapter 6 Periodic Functions For what value of x does cos x = cos 1 x? Use a graphing calculator to approximate the answer. Real-World Applications 158. Suppose a 13-foot ladder is leaning against a building, reaching to the bottom of a second-floor window 1 feet above the ground. What angle, in radians, does the ladder make with the building? 159. Suppose you drive 0.6 miles on a road so that the vertical distance changes from 0 to 150 feet. What is the angle of elevation of the road? 160. An isosceles triangle has two congruent sides of length 9 inches. The remaining side has a length of 8 inches. Find the angle that a side of 9 inches makes with the 8-inch side Without using a calculator, approximate the value of arctan(10,000). Explain why your answer is reasonable. 16. A truss for the roof of a house is constructed from two identical right triangles. Each has a base of 1 feet and height of 4 feet. Find the measure of the acute angle adjacent to the 4-foot side The line y = 3 x passes through the origin in the x,y-plane. What is the measure of the angle that the line makes with 5 the positive x-axis? 164. The line y = 3 x passes through the origin in the x,y-plane. What is the measure of the angle that the line makes with 7 the negative x-axis? 165. What percentage grade should a road have if the angle of elevation of the road is 4 degrees? (The percentage grade is defined as the change in the altitude of the road over a 100-foot horizontal distance. For example a 5% grade means that the road rises 5 feet for every 100 feet of horizontal distance.) 166. A 0-foot ladder leans up against the side of a building so that the foot of the ladder is 10 feet from the base of the building. If specifications call for the ladder's angle of elevation to be between 35 and 45 degrees, does the placement of this ladder satisfy safety specifications? 167. Suppose a 15-foot ladder leans against the side of a house so that the angle of elevation of the ladder is 4 degrees. How far is the foot of the ladder from the side of the house? This content is available for free at

19 Chapter 6 Periodic Functions 881 CHAPTER 6 REVIEW KEY TERMS amplitude the vertical height of a function the constant A appearing in the definition of a sinusoidal function arccosine another name for the inverse cosine arccos x = cos 1 x arcsine another name for the inverse sine arcsin x = sin 1 x arctangent another name for the inverse tangent arctan x = tan 1 x inverse cosine function the function cos 1 x, which is the inverse of the cosine function and the angle that has a cosine equal to a given number inverse sine function the function sin 1 x, which is the inverse of the sine function and the angle that has a sine equal to a given number inverse tangent function the function tan 1 x, which is the inverse of the tangent function and the angle that has a tangent equal to a given number midline the horizontal line y = D, where D appears in the general form of a sinusoidal function periodic function a function f (x) that satisfies f (x + P) = f (x) for a specific constant P and any value of x phase shift the horizontal displacement of the basic sine or cosine function the constant C B sinusoidal function any function that can be expressed in the form f (x) = Asin(Bx C) + D or f (x) = Acos(Bx C) + D KEY EQUATIONS Sinusoidal functions f (x) = Asin(Bx C) + D f (x) = Acos(Bx C) + D Shifted, compressed, and/or stretched tangent function y = A tan(bx C) + D Shifted, compressed, and/or stretched secant function y = A sec(bx C) + D Shifted, compressed, and/or stretched cosecant function y = A csc(bx C) + D Shifted, compressed, and/or stretched cotangent function y = A cot(bx C) + D KEY CONCEPTS 6.1 Graphs of the Sine and Cosine Functions Periodic functions repeat after a given value. The smallest such value is the period. The basic sine and cosine functions have a period of &pi. The function sin x is odd, so its graph is symmetric about the origin. The function cos x is even, so its graph is symmetric about the y-axis.

20 88 Chapter 6 Periodic Functions The graph of a sinusoidal function has the same general shape as a sine or cosine function. In the general formula for a sinusoidal function, the period is P = &pi. See Example 6.1. B In the general formula for a sinusoidal function, A represents amplitude. If A > 1, the function is stretched, whereas if A < 1, the function is compressed. See Example 6.. The value C B in the general formula for a sinusoidal function indicates the phase shift. See Example 6.3. The value D in the general formula for a sinusoidal function indicates the vertical shift from the midline. See Example 6.4. Combinations of variations of sinusoidal functions can be detected from an equation. See Example 6.5. The equation for a sinusoidal function can be determined from a graph. See Example 6.6 and Example 6.7. A function can be graphed by identifying its amplitude and period. See Example 6.8 and Example 6.9. A function can also be graphed by identifying its amplitude, period, phase shift, and horizontal shift. See Example Sinusoidal functions can be used to solve real-world problems. See Example 6.11, Example 6.1, and Example Graphs of the Other Trigonometric Functions The tangent function has period &pi. f (x) = Atan(Bx C) + D is a tangent with vertical and/or horizontal stretch/compression and shift. See Example 6.14, Example 6.15, and Example The secant and cosecant are both periodic functions with a period of &pi. f (x) = Asec(Bx C) + D gives a shifted, compressed, and/or stretched secant function graph. See Example 6.17 and Example f (x) = Acsc(Bx C) + D gives a shifted, compressed, and/or stretched cosecant function graph. See Example 6.19 and Example 6.0. The cotangent function has period &pi and vertical asymptotes at 0, ± &pi, ± &pi. The range of cotangent is (, ), and the function is decreasing at each point in its range. The cotangent is zero at ± &pi, ± 3&pi. f (x) = Acot(Bx C) + D is a cotangent with vertical and/or horizontal stretch/compression and shift. See Example 6.1 and Example 6.. Real-world scenarios can be solved using graphs of trigonometric functions. See Example Inverse Trigonometric Functions An inverse function is one that undoes another function. The domain of an inverse function is the range of the original function and the range of an inverse function is the domain of the original function. Because the trigonometric functions are not one-to-one on their natural domains, inverse trigonometric functions are defined for restricted domains. For any trigonometric function f (x), if x = f 1 (y), then f (x) = y. However, f (x) = y only implies x = f 1 (y) if x is in the restricted domain of f. See Example 6.4. Special angles are the outputs of inverse trigonometric functions for special input values for example, &pi 4 = tan 1 (1) and &pi 6 = sin 1 1. See Example 6.5. This content is available for free at

21 Chapter 6 Periodic Functions 883 A calculator will return an angle within the restricted domain of the original trigonometric function. See Example 6.6. Inverse functions allow us to find an angle when given two sides of a right triangle. See Example 6.7. In function composition, if the inside function is an inverse trigonometric function, then there are exact expressions for example, sin cos 1 (x) = 1 x. See Example 6.8. If the inside function is a trigonometric function, then the only possible combinations are sin 1 (cos x) = &pi x if 0 x &pi and cos 1 (sin x) = &pi x if &pi x &pi. See Example 6.9 and Example When evaluating the composition of a trigonometric function with an inverse trigonometric function, draw a reference triangle to assist in determining the ratio of sides that represents the output of the trigonometric function. See Example When evaluating the composition of a trigonometric function with an inverse trigonometric function, you may use trig identities to assist in determining the ratio of sides. See Example 6.3. CHAPTER 6 REVIEW EXERCISES Graphs of the Sine and Cosine Functions For the following exercises, graph the functions for two periods and determine the amplitude or stretching factor, period, midline equation, and asymptotes f (x) = 3cos x f (x) = 1 4 sin x 170. f (x) = 3cos x + &pi f (x) = sin x &pi f (x) = 3sin x &pi f (x) = cos x 4&pi f (x) = 6sin 3x &pi f (x) = 100sin(50x 0) Graphs of the Other Trigonometric Functions For the following exercises, graph the functions for two periods and determine the amplitude or stretching factor, period, midline equation, and asymptotes f (x) = tan x f (x) = tan x &pi f (x) = 3tan(4x)

22 884 Chapter 6 Periodic Functions 179. f (x) = 0.cos(0.1x) For the following exercises, graph two full periods. Identify the period, the phase shift, the amplitude, and asymptotes f (x) = 1 3 sec x 181. f (x) = 3cot x 18. f (x) = 4csc(5x) 183. f (x) = 8sec 1 4 x 184. f (x) = 3 csc 1 x 185. f (x) = csc(x + &pi) For the following exercises, use this scenario: The population of a city has risen and fallen over a 0-year interval. Its population may be modeled by the following function: y = 1, ,000sin 0.68x), where the domain is the years since 1980 and the range is the population of the city What is the largest and smallest population the city may have? 187. Graph the function on the domain of [0, 40] What are the amplitude, period, and phase shift for the function? 189. Over this domain, when does the population reach 18,000? 13,000? 190. What is the predicted population in 007? 010? For the following exercises, suppose a weight is attached to a spring and bobs up and down, exhibiting symmetry Suppose the graph of the displacement function is shown in Figure 6.66, where the values on the x-axis represent the time in seconds and the y-axis represents the displacement in inches. Give the equation that models the vertical displacement of the weight on the spring. This content is available for free at

23 Chapter 6 Periodic Functions 885 Figure At time = 0, what is the displacement of the weight? 193. At what time does the displacement from the equilibrium point equal zero? 194. What is the time required for the weight to return to its initial height of 5 inches? In other words, what is the period for the displacement function? Inverse Trigonometric Functions For the following exercises, find the exact value without the aid of a calculator sin 1 (1) 196. cos tan 1 ( 1) 198. cos sin sin 1 cos &pi cos 1 tan 3&pi 4 0. sin sec 1 3 5

24 886 Chapter 6 Periodic Functions 03. cot sin tan cos sin cos 1 x x Graph f (x) = cos x and f (x) = sec x on the interval [0, &pi) and explain any observations. 07. Graph f (x) = sin x and f (x) = csc x and explain any observations. 08. Graph the function f (x) = 1 x 3! x3 + 5! x5 7! x7 on the interval [ 1, 1] and compare the graph to the graph of f (x) = sin x on the same interval. Describe any observations. CHAPTER 6 PRACTICE TEST For the following exercises, sketch the graph of each function for two full periods. Determine the amplitude, the period, and the equation for the midline. 09. f (x) = 0.5sin x 10. f (x) = 5cos x 11. f (x) = 5sin x 1. f (x) = sin(3x) 13. f (x) = cos x + &pi f (x) = 5sin 3 x &pi f (x) = 3cos 1 3 x 5&pi f (x) = tan(4x) 17. f (x) = tan x 7&pi f (x) = &picos(3x + &pi) 19. f (x) = 5csc(3x) 0. f (x) = &pisec &pi x This content is available for free at

25 Chapter 6 Periodic Functions f (x) = csc x + &pi 4 3 For the following exercises, determine the amplitude, period, and midline of the graph, and then find a formula for the function.. Give in terms of a sine function. 3. Give in terms of a sine function.

26 888 Chapter 6 Periodic Functions 4. Give in terms of a tangent function. For the following exercises, find the amplitude, period, phase shift, and midline. 5. y = sin &pi 6 x + &pi 3 6. y = 8sin 7&pi 6 x + 7&pi The outside temperature over the course of a day can be modeled as a sinusoidal function. Suppose you know the temperature is 68 F at midnight and the high and low temperatures during the day are 80 F and 56 F, respectively. Assuming t is the number of hours since midnight, find a function for the temperature, D, in terms of t. 8. Water is pumped into a storage bin and empties according to a periodic rate. The depth of the water is 3 feet at its lowest at :00 a.m. and 71 feet at its highest, which occurs every 5 hours. Write a cosine function that models the depth of the water as a function of time, and then graph the function for one period. For the following exercises, find the period and horizontal shift of each function. 9. g(x) = 3tan(6x + 4) 30. n(x) = 4csc 5&pi 3 x 0&pi Write the equation for the graph in Figure 6.67 in terms of the secant function and give the period and phase shift. This content is available for free at

27 Chapter 6 Periodic Functions 889 Figure If tan x = 3, find tan( x). 33. If sec x = 4, find sec( x). For the following exercises, graph the functions on the specified window and answer the questions. 34. Graph m(x) = sin(x) + cos(3x) on the viewing window [ 10, 10] by [ 3, 3]. Approximate the graph s period. 35. Graph n(x) = 0.0sin(50&pix) on the following domains in x : [0, 1] and [0, 3]. Suppose this function models sound waves. Why would these views look so different? 36. Graph f (x) = sin x x on 0.5, 0.5 and explain any observations. For the following exercises, let f (x) = 3 5 cos(6x). 37. What is the largest possible value for f (x)? 38. What is the smallest possible value for f (x)? 39. Where is the function increasing on the interval [0, &pi]? For the following exercises, find and graph one period of the periodic function with the given amplitude, period, and phase shift. 40. Sine curve with amplitude 3, period &pi 3, and phase shift (h, k) = &pi 4, 41. Cosine curve with amplitude, period &pi 6, and phase shift (h, k) = &pi 4, 3 For the following exercises, graph the function. Describe the graph and, wherever applicable, any periodic behavior, amplitude, asymptotes, or undefined points. 4. f (x) = 5cos(3x) + 4sin(x)

28 890 Chapter 6 Periodic Functions 43. f (x) = e sint For the following exercises, find the exact value. 44. sin tan cos cos 1 sin(&pi) 48. cos 1 tan 7&pi cos sin 1 (1 x) 50. cos 1 ( 0.4) 51. cos tan 1 x For the following exercises, suppose sin t = 5. tan t 53. csc t x x Given Figure 6.68, find the measure of angle &theta to three decimal places. Answer in radians. Figure 6.68 For the following exercises, determine whether the equation is true or false. 55. arcsin sin 5&pi 6 = 5&pi arccos cos 5&pi 6 = 5&pi 6 This content is available for free at

29 Chapter 6 Periodic Functions The grade of a road is 7%. This means that for every horizontal distance of 100 feet on the road, the vertical rise is 7 feet. Find the angle the road makes with the horizontal in radians.


6.3: Inverse Trigonometric Functions

The inverse trigonometric functions

The command restart cleans up Maple's memory completely. In this way we start with a clean worksheet.

In Maple the inverse trigonometric functions (see: Stewart, 1.6) are already built in.

Look at example 13 of 1.6:

Note the difference between arcsin(1/2) e arcsin(0.5) :

Also example 14 of 1.6 is no big deal for Maple:

The exercises 63 (a) and (b), 64 (a) and 66 (b) of 1.6 also don't lead to any difficulties:

Also the exercies 67 (a) and (b) and 68 (a) can be done without any problem:

Exercise 68 (b) leads to some more problems:

However, if we help Maple a little bit, then we succeed. We have: cos(2x)=1-2sin^2(x) . So:

& gt cos(2*arcsin(5/13))=1-2*(sin(arcsin(5/13)))^2

The exercises 69 up to and including 71 can be done without any problem:

Exercise 72 leads to a difficulty:

Again, if we help Maple a little bit, then we succeed. We have: sin(2x)=2sin(x)cos(x) . Hence:

& gt sin(2*arccos(x))=2*sin(arccos(x))*cos(arccos(x))

On the interval [-Pi/2,Pi/2] the functions y=sin(x) e y=arcsin(x) are each other inverses. The garphs are reflected in the line y=x .

Exercise 76 is also interesting:

For all x for which arcsin(x) exists, that is for -1<=x<=1 , we have: -Pi/2<=arcsin(x)<=Pi/2 . Then we have: sin(arcsin(x))=x . However, Maple also produces the value x for x outside the interval [-1,1] .

Although sin(x) exists for all values of x , arcsin(sin(x)) only equals x on the interval -Pi/2<=x<=Pi/2 .

In 3.6 of Stewart the derivatives of the inverse trigonometric functions are derived:

& gt diff(arcsin(x),x)diff(arccos(x),x)diff(arctan(x),x)

& gt D(arcsin)D(arccos)D(arctan)

The latter commands produce functions with the advantage, for instance, that you can compute values of the function easily:

This can also be done by differentiating the expression arcsin(x) em relação a x and then substitute the value 1/2 for x :

Still this can be simplified to 1/[2(1+x^2)] . Check:

This implies that the function f(x)=arctan(x)-2arctan(x-sqrt(1+x^2)) is constant (the derivative equals zero):

& gt f:=x->arctan(x)-2*arctan(x-sqrt(1+x^2))

Apparently we have: arctan(x)-2arctan(x-sqrt(1+x^2))=Pi/2 for all x . This is illustrated by the following graph:


Principal Value of Inverse Trigonometric Functions

Let us recall that the principal value of a inverse trigonometric function at a point x is the value of the inverse function at the point x , which lies in the range of principal branch. For instance, the principal value of cos −1 (√3/2) is π/6. Since π /6 ∈ [0, π].

When there are two values, one is positive and the other is negative such that they are numerically equal, then the principal value of the inverse trigonometric function is the positive one. Now, we list out the principal domain e range do trigonometric functions e a domain e range do funções trigonométricas inversas .


Example 4.12

Find the principal value of

Solução

(i) Let cosec -1 (-1) = y . Then, cosec y = -1

Desde o range of principal value branch of y= cosec -1 x is [- π / 2 , π / 2] <0>and


Thus, the principal value of cosec -1 (-1) is – π/2 .

(ii) Let y = sec -1 (-2) . Then, sec y = -2 .

By definition, the range of the principal value branch do y = sec -1 x is [0,π ] <π 2="">.

Let us find y in [0,π ] – <π / 2> such that sec y = -2 .

Now, cos y =- 1/2 = -cos π/3 = cos (π – π/3 ) = cos 2π/3 . Therefore, y = 2π/3 .

Since 2π/3 ∈ [0, π ] <π 2="">, the principal value of sec -1 (-2) is 2π/3 .

Example 4.13

Find the value of sec -1 (- 2√3 / 2)

Solução


Example 4.14

If cot -1 ( 1/7 ) = θ , find the value of cos θ .

Solução

By definition, cot −1 x ∈ (0, π ) .

Therefore, cot -1 (1/7) = θ implies cot θ ∈ (0,π ) .


But cot -1 ( 1/7 ) = θ implies cot θ = 1/7 and hence tan θ = 7 and θ is acute.

Using tan θ = 7/1 , we construct a right triangle as shown . Then, we have, cosθ = 1/ 5√2 .

Example 4.15

S how that , x > 1 .


Differentiating Inverse Trigonometric Functions

I seem to recall my professor forgetting how to deriving this. This is what I showed him:

Since #tany = x/1# and #sqrt(1^2 + x^2) = sqrt(1+x^2)# , #sec^2y = (sqrt(1+x^2)/1)^2 = 1+x^2#

I think he originally intended to do this:

#y=cot^(-1)x#
#cot y=x#
#-csc^2y (dy)/(dx)=1#
#(dy)/(dx)=-1/(csc^2y)#
#(dy)/(dx)=-1/(1+cot^2y)# using trig identity: #1+cot^2 theta=csc^2 theta#
#(dy)/(dx)=-1/(1+x^2)# using line 2: #cot y = x#

The trick for this derivative is to use an identity that allows you to substitute #x# back in for #y# because you don't want leave the derivative as an implicit function substituting #x# back in will make the derivative an explicit function.

Most people remember this
#f'(x)=1/>#
as one of derivative formulas however, you can derive it by implicit differentiation.

Let us derive the derivative.
Let #y=sin^<-1>x# .

By rewriting in terms of sine,
#siny=x#

By implicitly differentiating with respect to #x# ,
#cosy cdot /=1#

By dividing by #cosy# ,
#/=1/cosy#


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