Artigos

3.3: Equações trigonométricas


Na seção anterior sobre identidades trigonométricas, trabalhamos com equações que seriam verdadeiras para todos os valores de um determinado ângulo ( theta. ) Essas são mais ou menos como as equações algébricas cujo conjunto de solução é "todos os números reais", como ( 2 x + 10 = ) (2 (x + 1) +8. ) Nesta seção, resolveremos as equações trigonométricas cujo conjunto de solução envolve apenas certos valores para o ângulo em questão. Devido à natureza cíclica dos ângulos com os quais estamos trabalhando, frequentemente haverá um número infinito de soluções, embora nem todos sejam "números reais".

Exemplo 1
Aqui está um exemplo. Suponha que consideremos a equação ( sin x = 0,5. ) Quer usemos tecnologia, uma tabela ou raciocínio para resolver esta equação, é claro que uma solução é (30 ^ { circ}. ) No entanto, lembre-se desde o início do Capítulo 2 que a função seno é positiva no quadrante ( Pi ). Isso significa que um segundo ângulo do quadrante com um ângulo de referência de (30 ^ { circ} ) também tem um seno igual a (0,5. ) Lembre-se do diagrama ASTC do Capítulo 2:

Portanto, a função seno é positiva nos quadrantes I e ( Pi ). Isso significa que além de uma solução de (30 ^ { circ}, ), há outra solução no quadrante ( Pi ). Como mencionado acima, esta solução do segundo quadrante tem um ângulo de referência de (30 ^ { circ} )

Para encontrar este ângulo, simplesmente subtraímos (180 ^ { circ} -30 ^ { circ} = 150 ^ { circ} )
No quadrante ( Pi, ), subtraímos o ângulo de referência de (180 ^ { circ} )
No quadrante ( Pi ), adicionamos o ângulo de referência a (180 ^ { circ} )

No quadrante ( Pi V ), subtraímos o ângulo de referência de (360 ^ { circ} )
Portanto, as soluções para a equação ( sin x = 0,5 ) entre (0 ^ { circ} ) e (360 ^ { circ} ) são (x = 30 ^ { circ}, 150 ^ { circ} ) Neste capítulo, consideraremos principalmente as soluções com esta restrição:
[0 ^ { circ} leq x <360 ^ { circ}
] As infinitas soluções para esta equação podem ser expressas como:
[30 ^ { circ} + n cdot 360 ^ { circ} text {e} 150 ^ { circ} + n cdot 360 ^ { circ}
]

Vejamos outro exemplo:
Exemplo 2
Encontre todas as soluções da equação fornecida para (0 ^ { circ} leq x <360 ^ { circ} )
( tan x = 4 )
Usando uma calculadora para encontrar ( tan ^ {- 1} (4), ) descobrimos que ele retorna uma resposta de (x approx 75,96 ^ { circ} ) Portanto, esta é a solução para a equação que encontra-se no QuadrantI. A função tangente também é positiva no quadrante ( Pi ), então também devemos considerar o ângulo do terceiro quadrante com um ângulo de referência de (75,96 ^ { circ} )

No quadrante ( Pi ), adicionamos o ângulo de referência a (180 ^ { circ} )
(180 ^ { circ} +75,96 ^ { circ} = 255,96 ^ { circ}, ) então nossas soluções para esta equação são (x approx 75,96 ^ { circ}, 255,96 ^ { circ} )
Freqüentemente, as calculadoras são programadas para retornar um valor de ângulo que não esteja entre (0 ^ { circ} leq x <360 ^ { circ} )

Exemplo 3
Encontre todas as soluções da equação fornecida para (0 ^ { circ} leq x <360 ^ { circ} )
( sin x = -0,25 )
Resolver isso em uma calculadora de TI geralmente retornaria um valor de (- 14,5 ^ { circ}. ) No entanto, (- 14,5 ^ { circ} ) claramente não está entre (0 ^ { circ} ) e (360 ^ { circ} ), então precisamos usar essas informações para encontrar as soluções que estão entre (0 ^ { circ} ) e (360 ^ { circ} )

Com a calculadora retornando um valor de (- 14,5 ^ { circ}, ) sabemos que o ângulo de referência para todas as respostas será (14,5 ^ { circ}. ) Sabendo disso, podemos dizer que o seno é negativo nos quadrantes III e IV, então precisaremos de ângulos nesses quadrantes com ângulos de referência de (14,5 ^ { circ} )

No quadrante ( Pi ), adicionaremos (180 ^ { circ} ) ao ângulo de referência: (180 ^ { circ} +14,5 ^ { circ} = 194,5 ^ { circ} )
No quadrante ( Pi ), subtrairemos o ângulo de referência de (360 ^ { circ}: 360 ^ { circ} -14,5 ^ { circ} = 345,5 ^ { circ} )
Portanto, (x approx 194,5 ^ { circ}, 345,5 ^ { circ} )

Algumas equações trigonométricas não têm soluções com números reais. A equação ( sin x = 2 ) não tem soluções com números reais. Lembre-se de que a proporção do seno foi originalmente definida como a proporção do lado oposto ao ângulo da hipotenusa. A hipotenusa é sempre o lado mais longo de um triângulo retângulo, então não há como a função seno ser maior que 1 se estivermos trabalhando com ângulos de valor real. No entanto, da mesma forma que os números complexos são usados ​​para resolver equações como (x ^ {2} = - 7, ), ângulos com valores complexos podem ser usados ​​para resolver equações como ( sin x = 2 ) We não entrarei nisso aqui, no entanto, há uma maneira relativamente direta de resolver essas equações.
Se você encontrar uma equação como ( cos x = 3 ) e estiver resolvendo os valores de (x ) (0 ^ { circ} leq x <360 ^ { circ}, ), então o correto a resposta é "nenhuma solução" ou "nenhuma solução real". No entanto, lembre-se de que a função tangente pode assumir qualquer valor entre (- infty ) e ( infty )

Exemplo 4
Resolver uma equação que inclui uma função trigonométrica recíproca envolve simplesmente a etapa extra de encontrar a recíproca:
Encontre todas as soluções da equação fornecida para (0 ^ { circ} leq x <360 ^ { circ} )
( sec x = 12 )
O truque aqui é redefinir a equação para que possamos usar os valores pré-programados de uma calculadora para encontrar a solução.
Se ( sec x = 12 ) então ( cos x = frac {1} {12}. ) Encontrando ( cos ^ {- 1} left ( frac {1} {12} direita) ) fornece uma solução de (x approx 85,2 ^ { circ} )
O cosseno e a secante são ambos positivos no quadrante ( Pi mathrm {V} ), então também queremos um quarto ângulo do quadrante cujo ângulo de referência é (85,2 ^ { circ} )

No quadrante ( Pi ), vamos subtrair o ângulo de referência de (360 ^ { circ} )
[ begin {array} {c}
360 ^ { circ} -85,2 ^ { circ} approx 274,8 ^ { circ}
x approx 85,2 ^ { circ}, 274,8 ^ { circ}
end {array}
]

Exemplo 5
Resolver uma equação trigonométrica quadrática frequentemente envolve o uso da fórmula quadrática:
Encontre todas as soluções da equação fornecida para (0 ^ { circ} leq x <360 ^ { circ} )
(2 sin ^ {2} x- sin x-2 = 0 )
Usando a fórmula quadrática, chegamos a valores aproximados para ( sin x ) de ( sin x approx-0.7808,1.2808 )
A solução ( sin x approx-1.2808 ) não produz soluções reais, então vamos nos concentrar em resolver ( sin x approx-0.7808 )
Encontrar ( sin ^ {- 1} (- 0,7808) ) nos dá uma resposta de ( approx-51,3 ^ { circ}. ) Isso significa que nossas respostas estarão nos quadrantes III e IV com ângulos de referência de (51,3 ^ { circ}. ) No quadrante III, diremos (180 ^ { circ} +51,3 ^ { circ} approx 231,3 ^ { circ}. ) No quadrante ( mathrm {IV} ), vamos subtrair o ângulo de referência de (360 ^ { circ}: 360 ^ { circ} -51,3 ^ { circ} approx 308,7 ^ { circ} )
( mathrm {So}, x approx 231,3 ^ { circ}, 308,7 ^ { circ} )

Exercícios 3.3
Encontre todas as soluções para (0 ^ { circ} leq x <360 ^ { circ} ) Arredonde todas as medidas de ângulo para o (10 ​​^ { text {th}} ) mais próximo de um grau.
1. ( cos x-0,75 = 0 )
2. ( sin x + 0,432 = 0 )
3. (3 sin x-5 = 0 )
4. ( sin x-4 = 0 )
5. (3 seg x + 8 = 0 )
6. (4 csc x + 9 = 0 )
7. (3-5 sin x = 4 sin x + 1 )
8. (4 cos x-5 = cos x-3 )
9. (3 tan ^ {2} x + 2 tan x = 0 )
10. (4 cos ^ {2} x- cos x = 0 )
11. (3 cos ^ {2} x + 5 cos x-2 = 0 )
12. (2 cot ^ {2} x-7 cot x + 3 = 0 )
13. (2 tan ^ {2} x- tan x-10 = 0 )
14. (2 sin ^ {2} x + 5 sin x + 3 = 0 )
15. (2 cos ^ {2} x-5 cos x-5 = 0 )
16. (3 sin ^ {2} x- sin x-1 = 0 )


NCERT Books for Class 11 Maths Chapter 3 Trigonometric Functions

Livro NCERT da classe 11 de funções trigonométricas: Se você está procurando os melhores livros de Matemática da Classe 11, os livros NCERT podem ser uma ótima escolha para começar sua preparação. NCERT Books for Class 11 Maths Chapter 3 Trigonometric Functions podem ser de extrema utilidade para os alunos compreenderem os conceitos de uma forma simples. A 11ª aula de Matemática NCERT Books PDF Provided irá ajudá-lo durante a sua preparação para os exames escolares, bem como os exames competitivos.

NCERT Class 11th Maths Chapter 3 Books lhe dará informações autênticas e você pode confiar nelas durante sua preparação. Tente praticar os papéis anteriores e as questões de amostra anexadas nos livros da classe NCERT 11th Maths Capítulo 3 Funções trigonométricas para resolver as questões em seu exame facilmente.


Tabela de equações de trigonometria de aprendizagem:

O acima indica a tabela trigonométrica. Aqui estamos tendo o valor para o valor das funções trigonométricas 0 o, 30 o, 45 o, 60 o o. e 90

Problemas de aprendizagem de equações trigonométricas:

Resolva a equação trigonométrica 2sin x & # 8211 1 = 0

Aqui vamos aprender a equação trigonométrica simples 2sin x & # 8211 1 = 0

Da tabela acima, obtemos x = 30 o

Sabemos a Seção 2 x = 1 + tan 2 x

Conecte-o à equação trigonométrica acima

1 + tan 2 x & # 8211 2 tan x -4 = 4 & # 8211 4

x = tan -1 (3) e x = tan -1 (-1)

Com o problema acima, aprendemos como resolver as equações trigonométricas torcidas.

Estou planejando escrever mais postagens sobre gráficos senoidais com o exemplo, Nomeie quatro tipos de quadriláteros. Continue checando meu blog.


Trigonometria

As três funções trigonométricas básicas ocorrem com tanta frequência como denominador de uma fração que é conveniente dar nomes aos seus recíprocos. Definimos três novas funções trigonométricas como segue.

Definição 8.47. Mais três funções.

Se ( theta ) é um ângulo na posição padrão e (P (x, y) ) é um ponto no lado do terminal, então definimos as seguintes funções.

Podemos encontrar valores exatos para todas as seis funções trigonométricas em um determinado ângulo se soubermos o valor de qualquer uma delas.

Exemplo 8.48.

Se ( sec theta = 3 text <,> ) e (- dfrac < pi> <2> le theta le 0 text <,> ) encontre valores exatos para os outros cinco funções trigonométricas.

Porque (- dfrac < pi> <2> le theta le 0 text <,> ) desenhamos um triângulo de referência no quarto quadrante, como mostrado à direita. Porque ( sec theta = 3 = dfrac <3> <1> text <,> ) rotulamos a perna horizontal com (x = 1 ) e a hipotenusa com (r = 3 text < .> )

A partir do teorema de Pitágoras, encontramos (y = - sqrt <8> = -2 sqrt <2> text <.> ) Agora podemos calcular os valores das seis razões trigonométricas.

Ponto de verificação 8.49.

Se ( csc theta = 4 text <,> ) e (90 degrees le theta le 180 degrees text <,> ) encontre valores exatos para as outras cinco funções trigonométricas.

Ao comparar as definições de secante, cossecante e cotangente com as três funções trigonométricas básicas, encontramos as seguintes relações.

Funções trigonométricas recíprocas.

As calculadoras não têm chaves para as funções secante, cossecante e cotangente. Em vez disso, calculamos seus valores como recíprocos.

Exemplo 8.50.

Use uma calculadora para aproximar ( sec 47 degrees ) para três casas decimais.

Com a calculadora no modo de graus, digite

( qquad qquad qquad ) 1 ÷ COS 47) ENTRAR

para obter ( sec 47 degrees approx 1,466 text <.> ) Ou podemos calcular ( cos 47 degrees ) primeiro, e então usar a chave recíproca:

( qquad qquad qquad ) COS 47) ENTER ( small boxed> ) ENTER

Ponto de verificação 8.51.

Use uma calculadora para aproximar ( csc 132 degree ) para três casas decimais.

Claro, também podemos avaliar as funções trigonométricas recíprocas para ângulos em radianos ou para números reais. Assim, por exemplo,

Em particular, os valores exatos para as funções trigonométricas recíprocas dos ângulos especiais são facilmente obtidos.

Valores exatos para ângulos especiais
( theta ) ( sec theta ) ( sec theta ) ( cot theta )
(0) (1) Indefinido Indefinido
( dfrac < pi> <6> ) ( dfrac <2 sqrt <3>> <3> ) (2) ( sqrt <3> )
( dfrac < pi> <4> ) ( sqrt <2> ) ( sqrt <2> ) (1)
( dfrac < pi> <3> ) (2) ( dfrac <2 sqrt <3>> <3> ) ( dfrac <1> < sqrt <3>> )
( dfrac < pi> <2> ) Indefinido (1) (0)
Cuidado 8.52.

As funções recíprocas não são iguais às funções trigonométricas inversas!

Por exemplo, ( sec 0,8 ) não é igual a ( cos ^ <-1> (0,8) text <.> ) Lembre-se de que (

) é um ângulo, ou seja, o ângulo cujo cosseno é 0,8, enquanto (

) é o recíproco do cosseno de 0,8 radianos, ou ( dfrac <1> < cos 0,8> text <.> ) Você pode verificar em sua calculadora se

Cada uma das funções recíprocas é indefinida quando seu denominador é igual a zero. Por exemplo, a secante é indefinida quando ( cos theta = 0 text <,> ) ou quando ( theta ) é um múltiplo ímpar de (90 graus texto <.> )

Exemplo 8.53.

Para quais ângulos a cossecante é indefinida?

A cossecante é indefinida quando seu denominador, ( sin theta text <,> ) é igual a zero e ( sin theta = 0 ) quando ( theta ) é um múltiplo de (180 grau text <.> ) Em radianos, ( csc theta ) é indefinido se ( theta ) é um múltiplo de ( pi text <.> )

Ponto de verificação 8.54.

Para quais ângulos a cotangente é indefinida? Dê suas respostas em graus e em radianos.

Múltiplos de (180 graus text <,> ) ou múltiplos de ( pi text <.> )

Nota 8.55.

Embora ( tan dfrac < pi> <2> ) seja indefinido, ( cot dfrac < pi> <2> = 0 text <.> )

Aplicação da subseção aos triângulos retos

No Capítulo 2, definimos três razões trigonométricas para um ângulo agudo, a saber, seno, cosseno e tangente. Quando tomamos os recíprocos dessas proporções, obtemos expressões para a secante, cossecante e cotangente.

Razões trigonométricas recíprocas.

Se ( theta ) é um dos ângulos agudos em um triângulo retângulo,

Embora possamos expressar qualquer relação entre os lados de um triângulo retângulo usando seno, cosseno e tangente, às vezes é mais conveniente usar uma das funções recíprocas.

Exemplo 8.56.

O comprimento, (L text <,> ) da sombra projetada por um mastro em um dia ensolarado depende da altura, (h text <,> ) do mastro e do ângulo, ( theta text <,> ) que os raios do sol fazem com o solo.

  1. Escreva uma expressão para o comprimento, (L text <,> ) da sombra projetada por um mastro de altura (h ) quando o sol faz um ângulo de ( theta ) em relação ao solo.
  2. Encontre o comprimento (com aproximação de 0,01 metro) da sombra projetada por um mastro de 3 metros quando o sol faz um ângulo de (20 graus ) do solo.
  1. Na figura, vemos que ( dfrac= cot theta text <,> ) ou (L = h cot theta text <.> )
  2. Substituindo ( alert <3> ) por (h ) e ( alert <20 degree> ) por ( theta text <,> ), encontramos
Ponto de verificação 8.57.

A área (A ) de um polígono regular com (n ) lados com perímetro (L ) satisfaz

Consulte a figura à direita mostrando (n = 6 ) para provar esta fórmula nas etapas a seguir.

  1. Encontre uma expressão para o ângulo ( theta ) em termos de (n text <.> )
  2. Encontre uma expressão para a base do triângulo mostrado.
  3. Encontre uma expressão para a altura do triângulo.
  4. Escreva uma expressão para a área do triângulo e, a seguir, para a área de todo o polígono.
  1. ( displaystyle theta = dfrac < pi>)
  2. ( displaystyle b = dfrac)
  3. ( displaystyle h = dfrac<2n>cot dfrac)
  4. ( displaystyle A_T = dfrac<4n^2>cot dfrac,

Gráficos de subseção das funções recíprocas

Podemos obter gráficos das funções trigonométricas recíprocas traçando pontos, como fizemos para as funções seno, cosseno e tangente. No entanto, é mais esclarecedor construir esses gráficos como os recíprocos das três funções básicas.

Exemplo 8.58.

Use o gráfico de (y = cos x ) para construir um gráfico de (f (x) = sec x text <.> )

Considere o gráfico de (y = cos x ) mostrado à esquerda abaixo.

cos x = 0 text <,> ) então ( sec x ) é indefinido nesses (x ) - valores, e inserimos assíntotas verticais nesses (x ) - valores para iniciar nosso gráfico de (y = sec x text <,> ) como mostrado à direita abaixo.

Para encontrar alguns pontos no gráfico, olhamos os pontos no gráfico de (y = cos x text <.> ) Em cada valor (x ), a coordenada (y ) - do ponto no gráfico de (y = sec x ) é o recíproco de ( cos x text <.> )

Por exemplo, em (x = 0 ) e (x = 2 pi text <,> ) temos ( cos x = 1 text <,> ) então ( sec x = frac <1> <1> = 1 text <.> ) Assim, traçamos os pontos ((0,1) ) e ((2 pi, 1) ) no gráfico de (f (x) = sec x text <.> ) Da mesma forma, em (x = - pi ) e (x = pi text <,> ) ( cos x = -1 text <,> ) então o valor de ( sec x ) é ( frac <1> <-1> = -1 text <,> ) e traçamos os pontos ((- pi, -1) ) e (( pi, -1) ) no gráfico de (f (x) = sec x text <.> )

Finalmente, notamos que os valores de ( cos x ) estão diminuindo em direção a (0 ) conforme (x ) aumenta de (0 ) para ( dfrac < pi> <2> text <,> ) então o gráfico de (f (x) = sec x ) aumenta em direção a ( infty ) no mesmo intervalo.

Por argumentos semelhantes, preenchemos o gráfico de (f (x) = sec x ) entre cada uma das assíntotas verticais, para produzir o gráfico abaixo.

Ponto de verificação 8.59.

Use o gráfico de (y = tan x ) para esboçar um gráfico de (g (x) = cot x text <.> )

Os gráficos das três novas funções são mostrados abaixo, com (x ) em radianos. Observe que a função secante é indefinida em múltiplos ímpares de ( dfrac < pi> <2> text <,> ) os valores nos quais ( cos x = 0 text <.> ) A cossecante é undefined where ( sin x = 0 text <,> ) ou seja, em múltiplos de ( pi text <.> ) A cotangente também é indefinida em múltiplos de ( pi text <,> ) porque ( tan x = 0 ) nesses valores.

Exemplo 8.60.

Indique o domínio e o alcance da função secante.

Como o cosseno é definido para todos os números reais, o domínio da secante inclui todos os números reais, exceto os valores em que o cosseno é zero. Esses valores são os múltiplos ímpares de ( dfrac < pi> <2> text <,> ) ou seja, ( dfrac < pi> <2>,

ldots text <,> ) e seus opostos.

Como o intervalo do cosseno consiste em todos os (y ) - valores com (- 1 le y le 1 text <,> ), o intervalo da secante inclui os recíprocos desses valores, a saber (y ge 1 ) e (y le -1 text <.> )

Ponto de verificação 8.61.

Enuncie o domínio e o intervalo das funções cossecante e cotangente.

Domínio da cossecante: todos os números reais, exceto múltiplos inteiros de ( pi text <> ) Intervalo da cossecante: ((- infty, -1] cup [1, infty) )

Domínio da cotangente: todos os números reais, exceto múltiplos inteiros de ( pi text <> ) Faixa da cotangente: todos os números reais

Subseção Resolvendo Equações

A partir do gráfico da função secante, podemos ver que a equação ( sec theta = k ) tem duas soluções entre (0 ) e (2 pi ) se (k ge 1 ) ou (k le -1 text <,> ) mas nenhuma solução para (- 1 lt k lt 1 text <.> ) O mesmo é verdade para a função cossecante: a equação ( csc theta = k ) não tem solução para (- 1 lt k lt 1 text <.> )

Exemplo 8.62.

) para ( theta ) entre (0 ) e (2 pi text <.> )

Tomamos o recíproco de cada lado da equação para obter

Como ( dfrac < sqrt <3>> <2> ) é um dos valores especiais, reconhecemos que uma das soluções é ( theta = dfrac < pi> <3> text <. > ) O seno e a cossecante também são positivos no segundo quadrante, então a segunda solução é ( pi - dfrac < pi> <3> = dfrac <2 pi> <3> text <. > )


Exemplo de prato de exemplo

Nem sempre é aparente que os três ângulos para especificar uma rotação não são independentes um do outro e devem ser aplicados em uma determinada ordem. Por exemplo, imagine que estamos apontando uma antena parabólica. O azimute e a elevação são independentes um do outro, por exemplo, podemos apontar para o sul e, em seguida, elevar pela inclinação necessária, ou podemos definir a elevação e, em seguida, virar e apontar para o sul. Porém, há um terceiro ângulo, podemos girar em torno da linha para o satélite, para alinhar corretamente com o sinal horizontal e verticalmente polarizado do satélite, este terceiro ângulo é dependente dos outros, então não podemos escapar desse problema.

Quando os ângulos são pequenos, eles são quase independentes uns dos outros, por exemplo, se estamos mirando em uma pequena área do céu.


Exemplos resolvidos em equações trigonométricas

Verifique suas respostas com estas calculadoras, conforme aplicável.

Para alunos ACT
O ACT é um exame cronometrado. $ 60 $ perguntas por $ 60 $ minutos
Isso significa que você deve resolver cada questão em um minuto.
Algumas perguntas normalmente levam menos de um minuto para serem resolvidas.
Algumas perguntas geralmente levam mais de um minuto para serem resolvidas.
O objetivo é maximizar seu tempo. Você usa o tempo economizado nessas questões que você resolveu em menos de um minuto, para resolver as questões que levarão mais de um minuto.
Então, você deve tentar resolver cada questão corretamente e oportuno.
Então, não é apenas resolver uma questão corretamente, mas resolvê-la corretamente na hora certa.
Certifique-se de tentar todas as questões ACT.
Não há penalidade "negativa" para qualquer resposta errada.

Para alunos JAMB e CMAT
Calculadoras não são permitidas. Assim, as questões são resolvidas de uma forma que não requer calculadora.

Para alunos WASSCE
Qualquer questão rotulada WASCCE é uma questão para o WASCCE General Mathematics
Qualquer pergunta rotulada WASSCE: FM é uma pergunta para o WASSCE Further Mathematics / Elective Mathematics

Para alunos GCSE
Todo o trabalho é mostrado para satisfazer (e realmente exceder) o mínimo para atribuição de notas de método.
Calculadoras são permitidas para algumas perguntas. Calculadoras não são permitidas para algumas perguntas.

Para alunos do NSC
Para as perguntas:
Qualquer espaço incluído em um número indica uma vírgula usada para separar os dígitos. separando múltiplos de três dígitos por trás.
Qualquer vírgula incluída em um número indica um ponto decimal.
Para as Soluções:
Decimais são usados ​​apropriadamente em vez de vírgulas
As vírgulas são usadas para separar os dígitos de forma adequada.

Resolva as equações trigonométricas
Determine as soluções específicas das equações trigonométricas nos intervalos especificados
Verifique suas soluções
Escreva a solução geral das equações trigonométricas
Indique as razões de cada etapa
Mostrar todo o trabalho
A menos que especificado ou implícito de outra forma, apenas o valores exatos são autorizadas.

(1.) AGIR Para todos os valores reais de $ x $, qual das seguintes equações é verdadeira?

$ F. : : Sin (7x) + cos (7x) = 7 [3ex] G. : : Sin (7x) + cos (7x) = 1 [3ex] H . : : 7 sin (7x) + 7 cos (7x) = 14 [3ex] J. : : Sin ^ 2 (7x) + cos ^ 2 (7x) = 7 [3ex] K. : : Sin ^ 2 (7x) + cos ^ 2 (7x) = 1 $

Esta pergunta deve levar no máximo $ 5 $ segundos.
Eles estão simplesmente pedindo seu conhecimento de identidades trigonométricas.

$ F. : : Sin (7x) + cos (7x) = 7. NÃO [3ex] G. : : Sin (7x) + cos (7x) = 1. NÃO [3ex] H. : : 7 sin (7x) + 7 cos (7x) = 14. NÃO [3ex] J. : : Sin ^ 2 (7x) + cos ^ 2 ( 7x) = 7. NÃO [3ex] K. : : Sin ^ 2 (7x) + cos ^ 2 (7x) = 1. Pitagórico : : Identidade. SIM $

(2.) Determine todas as soluções de $ 4 sin theta + 5 = 3 $ no intervalo $ [0, 360 ^ circ) $


$ 4 sin theta + 5 = 3 [3ex] 4 sin theta = 3 - 5 [3ex] 4 sin theta = -2 [3ex] sin theta = - dfrac <2> <4> [5ex] sin theta = - dfrac <1> <2> [5ex] Argumento = theta [3ex] theta = sin ^ <-1> esquerda (- dfrac <1> <2> direita) [5ex] theta = 210 ^ circ, 330 ^ circ. : Unidade : : Círculo : : Trig [3ex] 210 = 210 * dfrac < pi> <180> = dfrac <7 pi> <6> [5ex] 330 = 330 * dfrac < pi> <180> = dfrac <11 pi> <6> [5ex] theta = dfrac <7 pi> <6>, dfrac <11 pi> <6> [5ex] underline [3ex] theta = 210 + 360k. coterminal : : ângulo s [3ex] theta = 330 + 360k. coterminal : : ângulo s [3ex] $ Verificar
$ underline [3ex] theta = 210 ^ circ [3ex] [3ex] 4 sin theta + 5 [3ex] = 4 * sin210 + 5 [5ex] = 4 * - dfrac <1> <2> + 5 [5ex] = -2 + 5 [3ex] = 3 [3ex] $ $ theta = 330 ^ circ [3ex] 4 sin teta + 5 [3ex] = 4 * sin 330 + 5 [3ex] = 4 * - dfrac <1> <2> + 5 [5ex] = -2 + 5 [3ex] = 3 $ $ underline [3ex] 3 $

(3.) Determine todas as soluções de $ 2 sin beta - sqrt <3> = 0 $ no intervalo $ [0, 2 pi) $


$ 2 sin beta - sqrt <3> = 0 [3ex] 2 sin beta = sqrt <3> [3ex] sin beta = dfrac < sqrt <3>> < 2> [5ex] Argumento = beta [3ex] beta = sin ^ <-1> left ( dfrac < sqrt <3>> <2> right) [5ex] beta = 60 ^ circ, 120 ^ circ. Unidade : : Círculo : : Trig [3ex] 60 = 60 * dfrac < pi> <180> = dfrac < pi> <3> [5ex] 120 = 120 * dfrac < pi> <180> = dfrac <2 pi> <3> [5ex] underline [3ex] beta = dfrac < pi> <3> + 2 pi k. coterminal : : angle s [5ex] beta = dfrac <2 pi> <3> + 2 pi k. coterminal : : ângulo s [5ex] $ Verificar
$ underline [3ex] beta = dfrac < pi> <3> [5ex] 2 sin beta - sqrt <3> [3ex] = 2 * sin dfrac < pi> < 3> - sqrt <3> [5ex] = 2 * dfrac < sqrt <3>> <2> - sqrt <3> [5ex] = sqrt <3> - sqrt <3 > [3ex] = 0 [3ex] $ $ beta = dfrac <2 pi> <3> [5ex] 2 sin beta - sqrt <3> [3ex] = 2 * sin dfrac <2 pi> <3> - sqrt <3> [5ex] = 2 * dfrac < sqrt <3>> <2> - sqrt <3> [5ex ] = sqrt <3> - sqrt <3> [3ex] = 0 $ $ underline [3ex] 0 $

(4.) AGIR Quais são os valores de $ theta $, entre $ theta $ e $ 2 pi $, quando $ tan theta = -1 $?


$ tan theta = -1 [3ex] Argumento = theta [3ex] Suponha que : : tan theta = 1 [3ex] theta = tan ^ <-1> (1 ) = 45 ^ circ = 45 * dfrac < pi> <180> = dfrac < pi> <4> [5ex] Mas : : tan theta = -1 [3ex] tan : : é : : negativo : : em : : 2º : : e : : 4º : : quadrantes [3ex] - tan esquerdo ( dfrac <4> right) = tan left ( pi - dfrac < pi> <4> right). 2º : : Quadrante : : Identidade [5ex] = tan left ( dfrac <4 pi> <4> - dfrac < pi> <4> right) [5ex] = tan left ( dfrac <4 pi - pi> <4> right) [5ex] = tan left ( dfrac <3 pi> <4> right) [5ex ] Além disso, [3ex] - tan left ( dfrac < pi> <4> right) = tan left (2 pi - dfrac < pi> <4> right). 4º : : Quadrante : : Identidade [5ex] = tan left ( dfrac <8 pi> <4> - dfrac < pi> <4> right) [5ex] = tan left ( dfrac <8 pi - pi> <4> right) [5ex] = tan left ( dfrac <7 pi> <4> right) [5ex ] theta = dfrac <3 pi> <4>, : dfrac <7 pi> <4> [5ex] $ Verificar
$ underline [3ex] tan theta [3ex] theta = dfrac <3 pi> <4> [5ex] tan left ( dfrac <3 pi> <4> right) = -1 [5ex] $ $ theta = dfrac <7 pi> <4> [5ex] tan left ( dfrac <7 pi> <4> right) = -1 $ $ underline [3ex] -1 $

(5.) AGIR Se ^ circ le x ^ circ le 90 ^ circ $, e $ 2 sin ^ 2x ^ circ - 1 = 0 $,
então $ x ^ circ = $?

$ A. : : 0 ^ circ [3ex] B. : : 30 ^ circ [3ex] C. : : 45 ^ circ [3ex] D. : : 60 ^ circ [3ex] E. : : 90 ^ circ $


$ 2 sin ^ 2x ^ circ - 1 = 0 [3ex] 2 sin ^ 2x ^ circ = 1 [3ex] sin ^ 2x ^ circ = dfrac <1> <2> [3ex] sin x = pm sqrt < dfrac <1> <2>> [5ex] Argumento = x [3ex] sqrt < dfrac <1> <2>> = dfrac < sqrt <1>> < sqrt <2>> [5ex] = dfrac <1> < sqrt <2>> [5ex] = dfrac <1> < sqrt <2>> * dfrac < sqrt <2>> < sqrt <2>> [5ex] = dfrac < sqrt <2>> <2> [5ex] rightarrow sin x = pm dfrac < sqrt <2>> <2> [5ex] x = sin ^ <-1> left (- dfrac < sqrt <2>> <2> right) : : OR : : x = sin ^ <-1> left ( dfrac < sqrt <2>> <2> right) [5ex] x = -45 ^ circ : : OR : : x = 45 ^ circ [3ex] Porque : : 0 ^ circ le x ^ circ le 90 ^ circ [3ex] x = 45 ^ circ [3ex] $ Verificar
$ underline [3ex] 2 sin ^ 2x ^ circ - 1 [3ex] x = 45 ^ circ [3ex] 2 sin ^ 2 (45) - 1 [3ex] 2 * ( sin 45) ^ 2 - 1 [3ex] sin 45 = dfrac < sqrt <2>> <2> [5ex] ( sin 45) ^ 2 = left ( dfrac < sqrt < 2 >> <2> right) ^ 2 [5ex] ( sin 45) ^ 2 = dfrac < sqrt <2> ^ 2> <2 ^ 2> [5ex] ( sin 45) ^ 2 = dfrac <2> <4> = dfrac <1> <2> [5ex] = 2 * dfrac <1> <2> - 1 [5ex] = 1 - 1 [ 3ex] = 0 $ $ underline [3ex] 0 $

(6.) AGIR Quais são os valores de $ theta $, entre $ e $ 360 ^ circ $, quando $ tan theta = -1 $?

$ A. : : 225 ^ circ : : e : : 315 ^ circ : : somente [3ex] B. : : 135 ^ circ : : e : : 315 ^ circ : : apenas [3ex] C. : : 135 ^ circ : : e : : 225 ^ circ : : apenas [3ex] D. : : 45 ^ circ : : e : : 135 ^ circ : : apenas [3ex] E. : : 45 ^ circ, : 135 ^ circ , : 225 ^ circ, : : e : : 315 ^ circ $


$ tan theta = -1 [3ex] Argumento = theta [3ex] Suponha que : : tan theta = 1 [3ex] theta = tan ^ <-1> (1 ) = 45 ^ circ = 45 * dfrac < pi> <180> = dfrac < pi> <4> [5ex] Mas : : tan theta = -1 [3ex] tan : : é : : negativo : : em : : 2º : : e : : 4º : : quadrantes [3ex] - tan 45 = tan ( 180 - 45). 2º : : Quadrante : : Identidade [3ex] = tan 135 [3ex] Além disso, [3ex] - tan 45 = tan (360 - 45). 4º : : Quadrante : : Identidade [3ex] = tan 315 [3ex] theta = 135 ^ circ, : 315 ^ circ [5ex] $ Verificar
$ underline [3ex] tan theta [3ex] theta = 135 ^ circ [3ex] tan 135 = -1 [3ex] $ $ theta = 315 ^ circ [3ex ] tan 315 = -1 $ $ underline [3ex] -1 $

(7.) Determine todas as soluções de $ sin alpha - cos alpha = 0 $ no intervalo $ [0, 2 pi) $

Isso não é simples. Ele tem duas funções - a função seno e a função cosseno.
O que fazemos para expressá-lo em termos de apenas uma função?

$ sin alpha - cos alpha = 0 [3ex] Quadrado : : ambos : : lados [3ex] ( sin alpha - cos alpha) ^ 2 = 0 ^ 2 [3ex] ( sin alpha - cos alpha) ( sin alpha - cos alpha) = 0 [3ex] sin ^ 2 alpha - sin alpha cos alpha - sin alpha cos alpha + cos ^ 2 alpha = 0 [3ex] sin ^ 2 alpha + cos ^ 2 alpha - 2 sin alpha cos alpha = 0 [ 3ex] sin ^ 2 alpha + cos ^ 2 alpha = 1. Pitagórica : : Identidade [3ex] 1 - 2 sin alpha cos alpha = 0 [3ex] 1 = 2 sin alpha cos alpha [3ex] 2 sin alpha cos alpha = 1 [3ex] 2 sin alpha cos alpha = sin2 alpha. Duplo : : Ângulo : : Fórmula [3ex] sin2 alpha = 1 [3ex] Argumento = 2 alpha [3ex] portanto intervalo = [0, 4 pi) [3ex] 2 alpha = sin ^ <-1> (1) [3ex] sin ^ <-1> (1) = 90 ^ circ. Unidade : : Círculo : : Trig [5ex] Além disso, : : com base : : em : : [0, 4 pi) = [0, 4 * 180 ^ circ) = [0, 720 ^ circ) [3ex] sin ^ <-1> (1) = 90 + 360 (1). coterminal ângulo s [3ex] sin ^ <-1> (1) = 90 + 360 [3ex] sin ^ <-1> (1) = 450 ^ circ [3ex] portanto 2 alpha = 90, : : 2 alpha = 450 [5ex] alpha = dfrac <90> <2>, : : alpha = dfrac <450> <2> [ 5ex] alpha = 45 ^ circ, 225 ^ circ [3ex] 45 ^ circ = 45 * dfrac < pi> <180> = dfrac < pi> <4> [5ex] 225 ^ circ = 225 * dfrac < pi> <180> = dfrac <5 pi> <4> [5ex] alpha = dfrac < pi> <4>, dfrac <5 pi> <4> [5ex] $ Verificar

$ underline [3ex] sin alpha - cos alpha [3ex] alpha = dfrac < pi> <4> [5ex] sin alpha = sin dfrac < pi> < 4> = dfrac < sqrt <2>> <2> [5ex] cos alpha = cos dfrac < pi> <4> = dfrac < sqrt <2>> <2> [5ex] = dfrac < sqrt <2>> <2> - dfrac < sqrt <2>> <2> [5ex] = 0 [5ex] $ $ alpha = dfrac < 5 pi> <4> [5ex] sin alpha = sin dfrac <5 pi> <4> = - dfrac < sqrt <2>> <2> [5ex] cos alpha = cos dfrac <5 pi> <4> = - dfrac < sqrt <2>> <2> [5ex] = - dfrac < sqrt <2>> <2> - - dfrac < sqrt <2>> <2> [5ex] = - dfrac < sqrt <2>> <2> + dfrac < sqrt <2>> <2> [5ex] = 0 $ $ underline [3ex] 0 $

$ underline [3ex] alpha = dfrac < pi> <4> + 2 pi k. coterminal : : angle s [5ex] alpha = dfrac <5 pi> <4> + 2 pi k. coterminal : : angle s $

(8.) Determine todas as soluções de $ cos alpha + sqrt <3> sin alpha = 1 $ no intervalo $ [0, 2 pi] $

Isso não é simples. Ele tem duas funções - a função cosseno e a função seno.
O que fazemos para expressá-lo em termos de apenas uma função?

$ cos alpha + sqrt <3> sin alpha = 1 [3ex] sqrt <3> sin alpha = 1 - cos alpha [3ex] Quadrado : : ambos : : lados [3ex] ( sqrt <3> sin alpha) ^ 2 = (1 - cos alpha) ^ 2 [3ex] ( sqrt <3>) ^ 2 * sin ^ 2 alpha = (1 - cos alpha) (1 - cos alpha) [3ex] 3 sin ^ 2 alpha = 1 - cos alpha - cos alpha + cos ^ 2 alpha [3ex] 3 sin ^ 2 alpha = 1 - 2 cos alpha + cos ^ 2 alpha [3ex] sin ^ 2 alpha + cos ^ 2 alpha = 1. Pitagórica : : Identidade [3ex] sin ^ 2 alpha = 1 - cos ^ 2 alpha [3ex] 3 (1 - cos ^ 2 alpha) = 1 - 2 cos alpha + cos ^ 2 alpha [3ex] 3 - 3 cos ^ 2 alpha = 1 - 2 cos alpha + cos ^ 2 alpha [3ex] 0 = 1 - 2 cos alpha + cos ^ 2 alpha - 3 + 3 cos ^ 2 alpha [3ex] 1 - 2 cos alpha + cos ^ 2 alpha - 3 + 3 cos ^ 2 alpha = 0 [3ex] 4 cos ^ 2 alpha - 2 cos alpha - 2 = 0 [3ex] Divida : : todos : : termos : : por : : 2 [3ex ] 2 cos ^ 2 alpha - cos alpha - 1 = 0 [3ex] Let : : cos alpha = p [3ex] 2p ^ 2 - p - 1 = 0 [ 3ex] 2p ^ 2 + p - 2p - 1 = 0 [3ex] p (2p + 1) - 1 (2p + 1) = 0 [3ex] (2p + 1) (p - 1) = 0 [3ex] 2p + 1 = 0 : : : OR : : : p - 1 = 0 [3ex] 2p = -1 : : : OR : : : p = 1 [3ex] p = - dfrac <1> <2> : : : OR : : : p = 1 [3ex] Substituir : : voltar [3ex ] rightarrow cos alpha = - dfrac <1> <2> [3ex] alpha = cos ^ <-1> left (- dfrac <1> <2> right) [ 5ex] alpha = 120 ^ circ, 240 ^ circ. Unidade : : Círculo : : Trig [3ex] rightarrow cos alpha = 1 [3ex] alpha = cos ^ <-1> (1) [3ex] alpha = 0 ^ circ, 360 ^ circ. Unidade : : Círculo : : Trig [3ex] $ Verificar

$ underline [3ex] cos alpha + sqrt <3> sin alpha [3ex] alpha = 120 [5ex] cos alpha = cos 120 = - dfrac <1> <2 > [5ex] sin alpha = sin 120 = dfrac < sqrt <3>> <2> [5ex] sqrt <3> sin alpha = sqrt <3> * dfrac < sqrt <3>> <2> = dfrac <3> <2> [5ex] = - dfrac <1> <2> + dfrac <3> <2> [5ex] = - dfrac <1> <2> + dfrac <3> <2> [5ex] = dfrac <-1 + 3> <2> [5ex] = - dfrac <2> <2> [5ex] = 1 [3ex] SIM [3ex] $ $ alpha = 240 [5ex] cos alpha = cos 240 = - dfrac <1> <2> [5ex] ] sin alpha = sin 240 = - dfrac < sqrt <3>> <2> [5ex] sqrt <3> sin alpha = sqrt <3> * - dfrac < sqrt <3>> <2> = - dfrac <3> <2> [5ex] = - dfrac <1> <2> + - dfrac <3> <2> [5ex] = - dfrac <1> <2> - dfrac <3> <2> [5ex] = dfrac <-1 - 3> <2> [5ex] = - dfrac <4> <2> [5ex] = -2 [3ex] Externo : root [3ex] NÃO [3ex] $ $ alpha = 0 [3ex] cos alpha = cos 0 = 1 [3ex] sin alpha = sin 0 = 0 [3ex] sqrt <3> sin alpha = sqrt <3> * 0 = 0 [3ex] = 1 + 0 [5ex ] = 1 [3ex] SIM [3ex] $ $ alpha = 360 [3ex] cos alpha = cos 360 = 1 [3ex] sin alpha = sin 360 = 0 [3ex] sqrt <3> sin alpha = sqrt <3> * 0 = 0 [3ex] = 1 + 0 [5ex] = 1 [3ex] SIM $ $ underline [3ex] 1 $

$ underline [3ex] alpha = 120 ^ circ = 120 * dfrac < pi> <180> = dfrac <2 pi> <3> [5ex] alpha = 0 ^ circ = 120 * dfrac < pi> <180> = 0 [5ex] alpha = 360 ^ circ = 360 * 120 * dfrac < pi> <180> = 2 pi [5ex] sublinhado [3ex] alpha = 0 + 2 pi k = 2 pi k. coterminal : : angle s [3ex] alpha = dfrac <2 pi> <3> + 2 pi k. coterminal : : angle s $

(9.) Determine todas as soluções de $ 6 cos ^ 2 theta = 3 $ no intervalo $ [0, 2 pi) $


$ 6 cos ^ 2 theta = 3 [3ex] cos ^ 2 theta = dfrac <3> <6> = dfrac <1> <2> [5ex] cos theta = pm sqrt < dfrac <1> <2>> [5ex] Argumento = theta [3ex] sqrt < dfrac <1> <2>> = dfrac < sqrt <1>> < sqrt <2>> [5ex] = dfrac <1> < sqrt <2>> [5ex] = dfrac <1> < sqrt <2>> * dfrac < sqrt <2 >> < sqrt <2>> [5ex] = dfrac < sqrt <2>> <2> [5ex] rightarrow cos theta = pm dfrac < sqrt <2>> <2> [5ex] theta = cos ^ <-1> left ( dfrac < sqrt <2>> <2> right) [5ex] theta = 45 ^ circ, 315 ^ circ. Unidade : : Círculo : : Trig [3ex] 45 = 45 * dfrac < pi> <180> = dfrac < pi> <4> [5ex] 315 = 315 * dfrac < pi> <180> = dfrac <7 pi> <4> [5ex] theta = cos ^ <-1> left (- dfrac < sqrt <2>> <2> direita) [5ex] theta = 135 ^ circ, 225 ^ circ. Unidade : : Círculo : : Trig [3ex] 135 = 135 * dfrac < pi> <180> = dfrac <3 pi> <4> [5ex] 225 = 225 * dfrac < pi> <180> = dfrac <5 pi> <4> [5ex] theta = dfrac < pi> <4>, dfrac <3 pi> <4>, dfrac <5pi> <4>, dfrac <7 pi> <4> [5ex] underline [3ex] beta = dfrac < pi> <4> + 2 pi k. coterminal : : angle s [5ex] beta = dfrac <3 pi> <4> + 2 pi k. coterminal : : angle s [5ex] beta = dfrac <5 pi> <4> + 2 pi k. coterminal : : angle s [5ex] beta = dfrac <7 pi> <4> + 2 pi k. coterminal : : ângulo s [5ex] $ Verificar
$ underline [3ex] 6 cos ^ 2 theta [3ex] theta = dfrac < pi> <4> [5ex] cos theta = cos dfrac < pi> <4> = dfrac < sqrt <2>> <2> [5ex] cos ^ 2 theta = left ( dfrac < sqrt <2>> <2> right) ^ 2 = dfrac <( sqrt <2>) ^ 2> <2 ^ 2> = dfrac <2> <4> = dfrac <1> <2> [5ex] = 6 * dfrac <1> <2> [5ex] = 3 [3ex] $ $ theta = dfrac <3 pi> <4> [5ex] cos theta = cos dfrac <3 pi> <4> = - dfrac < sqrt <2>> <2> [5ex] cos ^ 2 theta = left (- dfrac < sqrt <2>> <2> right) ^ 2 = dfrac <(- sqrt <2>) ^ 2> <2 ^ 2> = dfrac <2> <4> = dfrac <1> <2> [5ex] = 6 * dfrac <1> <2> [5ex] = 3 [3ex] $ $ theta = dfrac <5 pi> <4> [5ex] cos theta = cos dfrac <5 pi> <4> = dfrac < sqrt <2>> <2> [5ex] cos ^ 2 theta = left ( dfrac < sqrt <2>> <2> right) ^ 2 = dfrac <( sqrt < 2>) ^ 2> <2 ^ 2> = dfrac <2> <4> = dfrac <1> <2> [5ex] = 6 * dfrac <1> <2> [5ex] = 3 [3ex] $ $ theta = dfrac <7 pi> <4> [5ex] cos theta = cos dfrac <7 pi> <4> = - dfrac < sqrt <2>> <2> [5ex] cos ^ 2 theta = left (- dfrac < sqrt <2>> <2> right) ^ 2 = dfrac <(- sqrt < 2>) ^ 2> <2 ^ 2> = dfrac <2> <4> = dfrac <1> <2> [5ex] = 6 * dfrac <1> <2> [5ex] = 3 $ $ underline [3ex] 3 $

(10.) Determine todas as soluções de $ cos alpha - sqrt <3> sin alpha = 1 $ no intervalo $ [0, 2 pi] $

Isso não é simples. Ele tem duas funções - a função cosseno e a função seno.
O que fazemos para expressá-lo em termos de apenas uma função?

$ cos alpha - sqrt <3> sin alpha = 1 [3ex] - sqrt <3> sin alpha = 1 - cos alpha [3ex] Quadrado : : ambos : : lados [3ex] (-1 * sqrt <3> sin alpha) ^ 2 = (1 - cos alpha) ^ 2 [3ex] (-1) ^ 2 * ( sqrt <3>) ^ 2 * sin ^ 2 alpha = (1 - cos alpha) (1 - cos alpha) [3ex] 1 * 3 * sin ^ 2 alpha = 1 - cos alpha - cos alpha + cos ^ 2 alpha [3ex] 3 sin ^ 2 alpha = 1 - 2 cos alpha + cos ^ 2 alpha [3ex] sin ^ 2 alpha + cos ^ 2 alpha = 1. Pitagórica : : Identidade [3ex] sin ^ 2 alpha = 1 - cos ^ 2 alpha [3ex] 3 (1 - cos ^ 2 alpha) = 1 - 2 cos alpha + cos ^ 2 alpha [3ex] 3 - 3 cos ^ 2 alpha = 1 - 2 cos alpha + cos ^ 2 alpha [3ex] 0 = 1 - 2 cos alpha + cos ^ 2 alpha - 3 + 3 cos ^ 2 alpha [3ex] 1 - 2 cos alpha + cos ^ 2 alpha - 3 + 3 cos ^ 2 alpha = 0 [3ex] 4 cos ^ 2 alpha - 2 cos alpha - 2 = 0 [3ex] Divida : : todos : : termos : : por : : 2 [3ex ] 2 cos ^ 2 alpha - cos alpha - 1 = 0 [3ex] Let : : cos alpha = p [3ex] 2p ^ 2 - p - 1 = 0 [ 3ex] 2p ^ 2 + p - 2p - 1 = 0 [3ex] p (2p + 1) - 1 (2p + 1) = 0 [3ex] (2p + 1) (p - 1) = 0 [3ex] 2p + 1 = 0 : : : OR : : : p - 1 = 0 [3ex] 2p = -1 : : : OR : : : p = 1 [3ex] p = - dfrac <1> <2> : : : OR : : : p = 1 [3ex] Substituir : : voltar [3ex ] rightarrow cos alpha = - dfrac <1> <2> [3ex] alpha = cos ^ <-1> left (- dfrac <1> <2> right) [ 5ex] alpha = 120 ^ circ, 240 ^ circ. Unidade : : Círculo : : Trig [3ex] rightarrow cos alpha = 1 [3ex] alpha = cos ^ <-1> (1) [3ex] alpha = 0 ^ circ, 360 ^ circ. Unidade : : Círculo : : Trig [3ex] $ Verificar

$ underline [3ex] cos alpha - sqrt <3> sin alpha [3ex] alpha = 120 [5ex] cos alpha = cos 120 = - dfrac <1> <2 > [5ex] sin alpha = sin 120 = dfrac < sqrt <3>> <2> [5ex] sqrt <3> sin alpha = sqrt <3> * dfrac < sqrt <3>> <2> = dfrac <3> <2> [5ex] = - dfrac <1> <2> - dfrac <3> <2> [5ex] = - dfrac <1> <2> - dfrac <3> <2> [5ex] = dfrac <-1 - 3> <2> [5ex] = - dfrac <4> <2> [5ex] = -2 [3ex] Estranho : root [3ex] NÃO [3ex] $ $ alpha = 240 [5ex] cos alpha = cos 240 = - dfrac <1> <2> [5ex] sin alpha = sin 240 = - dfrac < sqrt <3>> <2> [5ex] sqrt <3> sin alpha = sqrt <3> * - dfrac < sqrt <3>> <2> = - dfrac <3> <2> [5ex] = - dfrac <1> <2> - - dfrac <3> <2> [5ex] = - dfrac <1> <2> + dfrac <3> <2> [5ex] = dfrac <-1 + 3> <2> [5ex] = - dfrac <2> <2> [5ex] = 1 [3ex] SIM [3ex] $ $ alpha = 0 [3ex] cos alpha = cos 0 = 1 [3ex] sin alpha = sin 0 = 0 [3ex] sqrt <3> sin alpha = sqrt <3> * 0 = 0 [3ex] = 1 - 0 [5ex ] = 1 [3ex] SIM [3ex] $ $ alpha = 360 [3ex] cos alpha = cos 360 = 1 [3ex] sin alpha = sin 360 = 0 [3ex] sqrt <3> sin alpha = sqrt <3> * 0 = 0 [3ex] = 1 - 0 [5ex] = 1 [3ex] SIM $ $ underline [3ex] 1 $

$ underline [3ex] alpha = 240 ^ circ = 240 * dfrac < pi> <180> = dfrac <4 pi> <3> [5ex] alpha = 0 ^ circ = 120 * dfrac < pi> <180> = 0 [5ex] alpha = 360 ^ circ = 360 * 120 * dfrac < pi> <180> = 2 pi [5ex] underline [3ex] alpha = 0 + 2 pi k = 2 pi k. coterminal : : angle s [3ex] alpha = dfrac <4 pi> <3> + 2 pi k. coterminal : : angle s $

(11.) Determine todas as soluções de $ 2 cos ^ 2 theta + 3 cos theta = -1 $ no intervalo $ [0, 2 pi] $

$ 2 cos ^ 2 theta + 3 cos theta = -1 [3ex] Let : : cos theta = p [3ex] 2p ^ 2 + 3p = -1 [3ex ] 2p ^ 2 + 3p + 1 = 0 [3ex] 2p ^ 2 + 2p + p + 1 = 0 [3ex] 2p (p + 1) + 1 (p + 1) = 0 [3ex ] p + 1 = 0 : : : OR : : : 2p + 1 = 0 [3ex] p = -1 : : : OR : : : 2p = -1 [3ex] p = -1 : : : OR : : : p = - dfrac <1> <2> [5ex] Substituir : : voltar [3ex] seta direita cos theta = -1 theta = cos ^ <-1> (-1) [3ex] theta = 180 ^ circ. Unidade : : Círculo : : Trig [3ex] rightarrow cos theta = - dfrac <1> <2> [5ex] theta = cos ^ <-1> left ( - dfrac <1> <2> right) [5ex] theta = 120 ^ circ, 240 ^ circ. Unidade : : Círculo : : Trig [3ex] $ Verificar

$ underline [3ex] 2 cos ^ 2 theta + 3 cos theta [3ex] theta = 180 [3ex] cos theta = cos 180 = -1 [3ex] cos ^ 2 theta = ( cos 180) ^ 2 = (-1) ^ 2 = 1 [3ex] = 2 (1) + 3 (-1) [3ex] = 2 - 3 [3ex ] = -1 [3ex] SIM [3ex] $ $ theta = 120 [3ex] cos theta = cos 120 = - dfrac <1> <2> [3ex] cos ^ 2 theta = ( cos 120) ^ 2 = left (- dfrac <1> <2> right) ^ 2 = dfrac <1> <4> [3ex] = 2 left ( dfrac <1> <4> right) + 3 left (- dfrac <1> <2> right) [3ex] = dfrac <1> <2> - dfrac <3> <2 > [3ex] = dfrac <1 - 3> <2> [5ex] = - dfrac <2> <2> [5ex] = -1 [3ex] SIM [3ex ] $ $ theta = 240 [3ex] cos theta = cos 240 = - dfrac <1> <2> [3ex] cos ^ 2 theta = ( cos 240) ^ 2 = left (- dfrac <1> <2> right) ^ 2 = dfrac <1> <4> [3ex] = 2 left ( dfrac <1> <4> right) + 3 esquerda (- dfrac <1> <2> direita) [3ex] = dfrac <1> <2> - dfrac <3> <2> [3ex] = dfrac <1 - 3> <2> [5ex] = - dfrac <2> <2> [5ex] = -1 [3ex] SIM $ $ underline [3ex] -1 $

$ underline [3ex] alpha = 180 ^ circ = pi [5ex] alpha = 120 ^ circ = 120 * dfrac < pi> <180> = dfrac <2 pi> <3> [5ex] alpha = 240 ^ circ = 240 * dfrac < pi> <180> = dfrac <4 pi> <3> [5ex] underline [3ex] alpha = pi + 2 pi k. coterminal : : ângulo s [3ex] alpha = dfrac <2 pi> <3> + 2 pi k. coterminal : : angle s [5ex] alpha = dfrac <4 pi> <3> + 2 pi k. coterminal : : angle s $

(12.) Determine todas as soluções de $ sqrt <2> sin theta = 2 sin ^ 2 theta $ no intervalo $ [0, 2 pi) $

$ sqrt <2> sin theta = 2 sin ^ 2 theta [3ex] 2 sin ^ 2 theta = sqrt <2> sin theta [3ex] 2 sin ^ 2 theta - sqrt <2> sin theta = 0 [3ex] Let : : sin theta = p [3ex] 2p ^ 2 - p sqrt <2> = 0 [ 3ex] p (2p - sqrt <2>) = 0 [3ex] p = 0 : : : OR : : : 2p - sqrt <2> = 0 [3ex] p = 0 : : : OR : : : 2p = sqrt <2> [3ex] p = 0 : : : OR : : : p = dfrac < sqrt <2>> <2> [5ex] Substituir : : voltar [3ex] rightarrow sin theta = 0 theta = sin ^ <-1> (0) [3ex] theta = 0 ^ circ, 180 ^ circ. Unidade : : Círculo : : Trig [3ex] rightarrow sin theta = dfrac < sqrt <2>> <2> [5ex] theta = sin ^ <-1> left ( dfrac < sqrt <2>> <2> right) [5ex] theta = 45 ^ circ, 135 ^ circ. Unidade : : Círculo : : Trig [3ex] $ Verificar

$ underline [3ex] sqrt <2> sin theta [3ex] theta = 0 [5ex] sin theta = sin 0 = 0 [3ex] = sqrt <2> * 0 [5ex] = 0 [3ex] SIM [3ex] $ $ theta = 180 [5ex] sin theta = sin 180 = 0 [3ex] = sqrt <2 > * 0 [5ex] = 0 [3ex] SIM [3ex] $ $ theta = 45 [5ex] sin theta = sin 45 = dfrac < sqrt <2>> <2> [5ex] = sqrt <2> * dfrac < sqrt <2>> <2> [5ex] = dfrac <2> <2> [5ex] = 1 [3ex] SIM [3ex] $ $ theta = 135 [5ex] sin theta = sin 135 = dfrac < sqrt <2>> <2> [5ex] = sqrt < 2> * dfrac < sqrt <2>> <2> [5ex] = dfrac <2> <2> [5ex] = 1 [3ex] SIM $ $ underline [3ex] 2 sin ^ 2 theta [3ex] theta = 0 [5ex] sin theta = sin 0 = 0 [3ex] sin ^ 2 theta = ( sin theta) ^ 2 = 0 ^ 2 = 0 [3ex] = 2 * 0 [3ex] = 0 [3ex] SIM [3ex] $ $ theta = 180 [5ex] sin theta = sin 180 = 0 [3ex] sin ^ 2 theta = ( sin theta) ^ 2 = 0 ^ 2 = 0 [3ex] = 2 * 0 [3ex] = 0 [3ex] SIM [3ex] $ $ theta = 45 [5ex] sin theta = sin 45 = dfrac < sqrt <2>> <2> [3ex] sin ^ 2 theta = ( sin theta) ^ 2 [3ex] sin ^ 2 theta = left ( dfrac < sqrt <2>> <2> right) [5ex] sin ^ 2 theta = dfrac <( sqrt <2>) ^ 2> <2 ^ 2> [5ex] sin ^ 2 theta = dfrac <2> <4> = dfrac <1 > <2> [5ex] = 2 * dfrac <1> <2> [3ex] = 1 [3ex] SIM [3ex] $ $ theta = 135 [5ex] sin theta = sin 135 = dfrac < sqrt <2>> <2> [3ex] sin ^ 2 theta = ( sin theta) ^ 2 [3ex] sin ^ 2 theta = left ( dfrac < sqrt <2>> <2> right) [5ex] sin ^ 2 theta = dfrac <( sqrt <2>) ^ 2> <2 ^ 2> [5ex] sin ^ 2 theta = dfrac <2> <4> = dfrac <1> <2> [5ex] = 2 * dfrac <1> <2> [3ex] = 1 [3ex] SIM $

$ underline [3ex] alpha = 0 ^ circ = 0 * dfrac < pi> <180> = 0 [5ex] alpha = 45 ^ circ = 45 * dfrac < pi> <180> = dfrac < pi> <4> [5ex] alpha = 135 ^ circ = 135 * dfrac < pi> <180> = dfrac <3 pi> <4> [5ex] alpha = 180 ^ circ = pi [5ex] underline [3ex] alpha = 0 + 2 pi k = 2 pi k. coterminal : : angle s [3ex] alpha = dfrac < pi> <4> + 2 pi k. coterminal : : angle s [5ex] alpha = dfrac <3 pi> <4> + 2 pi k. coterminal : : ângulo s [5ex] alpha = pi + 2 pi k. coterminal : : angle s $

(13.) Determine todas as soluções de $ 6 cos beta - 6 sin beta = 3 sqrt <6> $ no intervalo $ [0, 2 pi) $

Isso não é simples. Ele tem duas funções - a função cosseno e a função seno.
O que fazemos para expressá-lo em termos de apenas uma função?

$ 6 cos beta - 6 sin beta = 3 sqrt <6> [3ex] Divide : : each : : term : : by : : 3. Simplifique [3ex] 2 cos beta - 2 sin beta = sqrt <6> [3ex] 2 ( cos beta - sin beta) = sqrt <6> [3ex] ] Quadrado : : ambos : : lados [3ex] 2 ^ 2 * ( cos beta - sin beta) ^ 2 = ( sqrt <6>) ^ 2 [3ex] 4 [( cos beta - sin beta) ( cos beta - sin beta)] = 6 [3ex] 4 ( cos ^ 2 beta - sin beta cos beta - sin beta cos beta + sin ^ 2 beta) = 6 [3ex] 4 ( cos ^ 2 beta + sin ^ 2 beta - 2 sin beta cos beta) = 6 [3ex] cos ^ 2 beta + sin ^ 2 beta = 1. Pitagórico : : Identidade [3ex] 2 sin beta cos beta = sin2 beta. Duplo : : Ângulo : : Fórmula [3ex] 4 (1 - 2 sin 2 beta) = 6 [3ex] 4 - 4 sin 2 beta = 6 [3ex] 4 - 6 = 4 sin 2 beta [3ex] -2 = 4 sin 2 beta [3ex] 4 sin 2 beta = -2 [3ex] sin2 beta = - dfrac <2> <4> [5ex] sin2 beta = - dfrac <1> <2> [5ex] Argumento = 2 beta [3ex] portanto intervalo = [0, 4 pi ) [3ex] 2 beta = sin ^ <-1> left (- dfrac <1> <2> right) [5ex] sin ^ <-1> left (- dfrac <1> <2> right) = 210 ^ circ, 330 ^ circ. Unidade : : Círculo : : Trig [3ex] Baseado : : em : : [0, 4 pi) = [0, 4 * 180 ^ circ) = [0, 720 ^ circ) [3ex] sin ^ <-1> (1) = 210 + 360 (1). coterminal ângulo s [3ex] sin ^ <-1> (1) = 210 + 360 [3ex] sin ^ <-1> (1) = 570 ^ circ [3ex] Além disso, : : sin ^ <-1> (1) = 330 + 360 (1). coterminal ângulo s [3ex] sin ^ <-1> (1) = 330 + 360 [3ex] sin ^ <-1> (1) = 690 ^ circ [3ex] portanto 2 beta = 210, : : 2 beta = 330, : : 2 beta = 570, : : 2 beta = 690 [3ex] beta = dfrac <210> <2 >, : : beta = dfrac <330> <2>, : : beta = dfrac <570> <2>, : : beta = dfrac <690> <2> [5ex] beta = 105 ^ circ, 165 ^ circ, 285 ^ circ, 345 ^ circ [3ex] 105 ^ circ = 105 * dfrac < pi> <180> = dfrac <7 pi> <12> [5ex] 165 ^ circ = 165 * dfrac < pi> <180> = dfrac <11 pi> <12> [5ex] 285 ^ circ = 285 * dfrac < pi> <180> = dfrac <19 pi> <12> [5ex] 345 ^ circ = 345 * dfrac < pi> <180> = dfrac <23 pi > <12> [5ex] beta = dfrac <7 pi> <12>, dfrac <11 pi> <12>, dfrac <19 pi> <12>, dfrac <23 pi> <12> [5ex] $ Verificar

$ underline [3ex] 6 cos beta - 6 sin beta = 6 ( cos beta - sin beta) [3ex] beta = 105 ^ circ [3ex] cos beta = cos105 = dfrac < sqrt <2> - sqrt <6>> <4>. Especial : : Ângulos : : Crianças [5ex] sin beta = sin105 = dfrac < sqrt <2> + sqrt <6>> <4>. Especial : : Ângulos : : Crianças [5ex] cos beta - sin beta = dfrac < sqrt <2> - sqrt <6>> <4> - left ( dfrac < sqrt <2> + sqrt <6>> <4> right) [5ex] cos beta - sin beta = dfrac < sqrt <2> - sqrt <6> - ( sqrt <2> + sqrt <6>)> <4> [5ex] cos beta - sin beta = dfrac < sqrt <2> - sqrt <6> - sqrt <2 > - sqrt <6>> <4> [5ex] cos beta - sin beta = dfrac <-2 sqrt <6>> <4> = dfrac <- sqrt <6> > <2> [5ex] = 6 left (- dfrac < sqrt <6>> <2> right) [5ex] = 3 * - sqrt <6> [3ex] = -3 sqrt <6> [3ex] Externo : : root [3ex] NO [3ex] $ $ beta = 165 ^ circ [3ex] cos beta = cos165 = dfrac <- sqrt <6> - sqrt <2>> <4>. Especial : : Ângulos : : Crianças [5ex] sin beta = sin165 = dfrac < sqrt <6> - sqrt <2>> <4>. Especial : : Ângulos : : Crianças [5ex] cos beta - sin beta = dfrac <- sqrt <6> - sqrt <2>> <4> - left ( dfrac < sqrt <6> - sqrt <2>> <4> right) [5ex] cos beta - sin beta = dfrac <- sqrt <6> - sqrt <2> - ( sqrt <6> - sqrt <2>)> <4> [5ex] cos beta - sin beta = dfrac <- sqrt <6> - sqrt <2> - sqrt <6> + sqrt <2>> <4> [5ex] cos beta - sin beta = dfrac <-2 sqrt <6>> <4> = dfrac <- sqrt <6>> <2> [5ex] = 6 left (- dfrac < sqrt <6>> <2> right) [5ex] = 3 * - sqrt <6> [ 3ex] = -3 sqrt <6> [3ex] Externo : : root [3ex] NO [3ex] $ $ beta = 285 ^ circ [3ex] cos beta = cos285 = dfrac < sqrt <6> - sqrt <2>> <4>. Especial : : Ângulos : : Crianças [5ex] sin beta = sin285 = dfrac <- sqrt <2> - sqrt <6>> <4>. Especial : : Ângulos : : Crianças [5ex] cos beta - sin beta = dfrac < sqrt <6> - sqrt <2>> <4> - left ( dfrac <- sqrt <2> - sqrt <6>> <4> right) [5ex] cos beta - sin beta = dfrac < sqrt <6> - sqrt <2> - (- sqrt <2> - sqrt <6>)> <4> [5ex] cos beta - sin beta = dfrac < sqrt <6> - sqrt <2> + sqrt <2> + sqrt <6>> <4> [5ex] cos beta - sin beta = dfrac <2 sqrt <6>> <4> = dfrac < sqrt <6> > <2> [5ex] = 6 left ( dfrac < sqrt <6>> <2> right) [5ex] = 3 * sqrt <6> [3ex] = 3 sqrt <6> [3ex] SIM [3ex] $ $ beta = 345 ^ circ [3ex] cos beta = cos345 = dfrac < sqrt <2> + sqrt <6 >> <4>. Especial : : Ângulos : : Crianças [5ex] sin beta = sin345 = dfrac < sqrt <2> - sqrt <6>> <4>. Especial : : Ângulos : : Crianças [5ex] cos beta - sin beta = dfrac < sqrt <2> + sqrt <6>> <4> - left ( dfrac < sqrt <2> - sqrt <6>> <4> right) [5ex] cos beta - sin beta = dfrac < sqrt <2> + sqrt <6> - ( sqrt <2> - sqrt <6>)> <4> [5ex] cos beta - sin beta = dfrac < sqrt <2> + sqrt <6> - sqrt <2 > + sqrt <6>> <4> [5ex] cos beta - sin beta = dfrac <2 sqrt <6>> <4> = dfrac < sqrt <6>> < 2> [5ex] = 6 left ( dfrac < sqrt <6>> <2> right) [5ex] = 3 * sqrt <6> [3ex] = 3 sqrt < 6> [3ex] SIM $ $ underline [3ex] 3 sqrt <6> $

$ underline [3ex] alpha = 285 ^ circ = dfrac <19 pi> <12> [5ex] alpha = 345 ^ circ = dfrac <23 pi> <12> [5ex ] underline [3ex] alpha = dfrac <19 pi> <12> + 2 pi k. coterminal : : angle s [5ex] alpha = dfrac <23 pi> <12> + 2 pi k. coterminal : : angle s $

(14.) Determine todas as soluções de $ cos alpha + sqrt <3> sin alpha = 1 $ no intervalo $ [0, 2 pi] $

Isso não é simples. Ele tem duas funções - a função cosseno e a função seno.
O que fazemos para expressá-lo em termos de apenas uma função?

$ cos alpha + sqrt <3> sin alpha = 1 [3ex] sqrt <3> sin alpha = 1 - cos alpha [3ex] Quadrado : : ambos : : lados [3ex] ( sqrt <3> sin alpha) ^ 2 = (1 - cos alpha) ^ 2 [3ex] ( sqrt <3>) ^ 2 * sin ^ 2 alpha = (1 - cos alpha) (1 - cos alpha) [3ex] 3 sin ^ 2 alpha = 1 - cos alpha - cos alpha + cos ^ 2 alpha [3ex] 3 sin ^ 2 alpha = 1 - 2 cos alpha + cos ^ 2 alpha [3ex] sin ^ 2 alpha + cos ^ 2 alpha = 1. Pitagórica : : Identidade [3ex] sin ^ 2 alpha = 1 - cos ^ 2 alpha [3ex] 3 (1 - cos ^ 2 alpha) = 1 - 2 cos alpha + cos ^ 2 alpha [3ex] 3 - 3 cos ^ 2 alpha = 1 - 2 cos alpha + cos ^ 2 alpha [3ex] 0 = 1 - 2 cos alpha + cos ^ 2 alpha - 3 + 3 cos ^ 2 alpha [3ex] 1 - 2 cos alpha + cos ^ 2 alpha - 3 + 3 cos ^ 2 alpha = 0 [3ex] 4 cos ^ 2 alpha - 2 cos alpha - 2 = 0 [3ex] Divida : : todos : : termos : : por : : 2 [3ex ] 2 cos ^ 2 alpha - cos alpha - 1 = 0 [3ex] Let : : cos alpha = p [3ex] 2p ^ 2 - p - 1 = 0 [ 3ex] 2p ^ 2 + p - 2p - 1 = 0 [3ex] p (2p + 1) - 1 (2p + 1) = 0 [3ex] (2p + 1) (p - 1) = 0 [3ex] 2p + 1 = 0 : : : OR : : : p - 1 = 0 [3ex] 2p = -1 : : : OR : : : p = 1 [3ex] p = - dfrac <1> <2> : : : OR : : : p = 1 [3ex] Substituir : : voltar [3ex ] rightarrow cos alpha = - dfrac <1> <2> [3ex] alpha = cos ^ <-1> left (- dfrac <1> <2> right) [ 5ex] alpha = 120 ^ circ, 240 ^ circ. Unidade : : Círculo : : Trig [3ex] rightarrow cos alpha = 1 [3ex] alpha = cos ^ <-1> (1) [3ex] alpha = 0 ^ circ, 360 ^ circ. Unidade : : Círculo : : Trig [3ex] $ Verificar

$ underline [3ex] cos alpha + sqrt <3> sin alpha [3ex] alpha = 120 [5ex] cos alpha = cos 120 = - dfrac <1> <2 > [5ex] sin alpha = sin 120 = dfrac < sqrt <3>> <2> [5ex] sqrt <3> sin alpha = sqrt <3> * dfrac < sqrt <3>> <2> = dfrac <3> <2> [5ex] = - dfrac <1> <2> + dfrac <3> <2> [5ex] = - dfrac <1> <2> + dfrac <3> <2> [5ex] = dfrac <-1 + 3> <2> [5ex] = - dfrac <2> <2> [5ex] = 1 [3ex] SIM [3ex] $ $ alpha = 240 [5ex] cos alpha = cos 240 = - dfrac <1> <2> [5ex] ] sin alpha = sin 240 = - dfrac < sqrt <3>> <2> [5ex] sqrt <3> sin alpha = sqrt <3> * - dfrac < sqrt <3>> <2> = - dfrac <3> <2> [5ex] = - dfrac <1> <2> + - dfrac <3> <2> [5ex] = - dfrac <1> <2> - dfrac <3> <2> [5ex] = dfrac <-1 - 3> <2> [5ex] = - dfrac <4> <2> [5ex] = -2 [3ex] Externo : : root [3ex] NÃO [3ex] $ $ alpha = 0 [3ex] cos alpha = cos 0 = 1 [3ex] sin alpha = sin 0 = 0 [3ex] sqrt <3> sin alpha = sqrt <3> * 0 = 0 [3ex] = 1 + 0 [ 5ex] = 1 [3ex] SIM [3ex] $ $ alpha = 360 [3ex] cos alpha = cos 360 = 1 [3ex] sin alpha = sin 360 = 0 [3ex] sqrt <3> sin alpha = sqrt <3> * 0 = 0 [3ex] = 1 + 0 [5ex] = 1 [3ex] SIM $ $ underline [3ex] 1 $

$ underline [3ex] alpha = 120 ^ circ = 120 * dfrac < pi> <180> = dfrac <2 pi> <3> [5ex] alpha = 0 ^ circ = 120 * dfrac < pi> <180> = 0 [5ex] alpha = 360 ^ circ = 360 * 120 * dfrac < pi> <180> = 2 pi [5ex] sublinhado [3ex] alpha = 0 + 2 pi k = 2 pi k. coterminal : : ângulo s [3ex] alpha = dfrac <2 pi> <3> + 2 pi k. coterminal : : angle s $

(15.) Determine todas as soluções de $ cos ( pi + theta) + sin left ( theta - dfrac < pi> <2> right) = 1 $ no intervalo $ [0, 2 pi) $

Isso não é simples. Ele tem duas funções - a função cosseno e a função seno.
Como o expressamos em termos de apenas uma função?
Vamos aplicar as fórmulas de soma e diferença primeiro

$ cos ( pi + theta) + sin left ( theta - dfrac < pi> <2> right) = 1 [5ex] cos ( pi + theta) = cos pi cos theta - sin pi sin theta. Adição : : Fórmula [3ex] cos pi = -1 : : e : : sin pi = 0. Unidade : : Círculo : : Trig [3ex] rightarrow cos ( pi + theta) = -1 * cos theta - 0 * sin theta = - cos theta - 0 = - cos theta [3ex] sin left ( theta - dfrac < pi> <2> right) = sin theta cos dfrac < pi> <2> - cos theta sin dfrac < pi> <2>. Diferença : : Fórmula [5ex] cos dfrac < pi> <2> = 0 : : e : : sin dfrac < pi> <2> = 1. Unidade : : Círculo : : Trig [5ex] rightarrow sin left ( theta - dfrac < pi> <2> right) = sin theta * 0 - cos theta * 1 = 0 - cos theta = - cos theta [5ex] cos ( pi + theta) + sin left ( theta - dfrac < pi> <2> right) = 1 [5ex] rightarrow - cos theta + - cos theta = 1 [3ex] - cos theta - cos theta = 1 [3ex] -2 cos theta = 1 [5ex] cos theta = - dfrac <1> <2> [5ex] theta = cos ^ <-1> <- dfrac <1> <2>> [ 5ex] theta = 120 ^ circ, 240 ^ circ [3ex] $ Verificar

$ underline [3ex] cos ( pi + theta) + sin left ( theta - dfrac < pi> <2> right) [5ex] pi = 180 ^ circ [ 3ex] dfrac < pi> <2> = dfrac <180> <2> = 90 ^ circ [5ex] theta = 120 ^ circ [3ex] = cos (180 + 120) + sin (120 - 90) [3ex] = cos 300 + sin 30 [3ex] = dfrac <1> <2> + dfrac <1> <2>. Unidade : : Círculo : : Trig [5ex] = 1 [3ex] SIM [3ex] $ $ theta = 240 ^ circ [3ex] = cos (180 + 240 ) + sin (240 - 90) [3ex] = cos 420 + sin 150 [3ex] coterminal : : ângulo : : de : : 420 = 420 - 360 = 60 [3ex] = cos 60 + sin 150 [3ex] = dfrac <1> <2> + dfrac <1> <2>. Unidade : : Círculo : : Trig [5ex] = 1 [3ex] SIM $ $ underline [3ex] 1 $

$ underline [3ex] beta = 120 ^ circ = 120 * dfrac < pi> <180> = dfrac <2 pi> <3> [5ex] beta = 240 ^ circ = 240 * dfrac < pi> <180> = dfrac <4 pi> <3> [5ex] underline [3ex] beta = dfrac <2 pi> <3> + 2 pi k. coterminal : : angle s [5ex] beta = dfrac <4 pi> <3> + 2 pi k. coterminal : : angle s $

(16.) Determine todas as soluções de $ cot beta + sqrt <3> = csc beta $ no intervalo le beta lt 2 pi $

O intervalo de le beta lt 2 pi $ significa $ [0, 2 pi) $
Isso não é simples. Ele tem duas funções - a função cotangente e a função cossecante.
Como o expressamos em termos de apenas uma função?

$ cot beta + sqrt <3> = csc beta [3ex] Quadrado : : ambos : : lados [3ex] ( cot beta + sqrt <3>) ^ 2 = ( csc beta) ^ 2 [3ex] ( cot beta + sqrt <3>) ( cot beta + sqrt <3>) = csc ^ 2 beta [3ex ] cot ^ 2 beta + sqrt <3> cot beta + sqrt <3> cot beta + ( sqrt <3>) ^ 2 = csc ^ 2 beta [3ex] cot ^ 2 beta + 2 sqrt <3> cot beta + 3 = csc ^ 2 beta [3ex] csc ^ 2 beta = 1 + cot ^ 2 beta. Pitagórica : : Identidade [3ex] cot ^ 2 beta + 2 sqrt <3> cot beta + 3 = 1 + cot ^ 2 beta [3ex] cot ^ 2 beta - cot ^ 2 beta + 2 srt <3> cot beta + 3 - 1 = 0 [3ex] 2 sqrt <3> cot beta + 2 = 0 [3ex] 2 sqrt <3> cot beta = -2 [3ex] cot beta = - dfrac <2> <2 sqrt <3>> [5ex] cot beta = - dfrac <1 > < sqrt <3>> [5ex] cot beta = - dfrac <1> < sqrt <3>> * dfrac < sqrt <3>> < sqrt <3>> [5ex] cot beta = - dfrac < sqrt <3>> <3> [5ex] beta = cos ^ <-1> left (<- dfrac < sqrt <3>> <3>> direita) [5ex] beta = 120 ^ circ, 300 ^ circ. Unidade : : Círculo : : Trig [3ex] $ Verificar

$ underline [3ex] cot beta + sqrt <3> [3ex] beta = 120 ^ circ [5ex] cot beta = cot 120 = - dfrac < sqrt <3> > <3> [5ex] = - dfrac < sqrt <3>> <3> + sqrt <3> [5ex] = - dfrac < sqrt <3>> <3> + dfrac <3 sqrt <3>> <3> [5ex] = dfrac <- sqrt <3> + 3 sqrt <3>> <3> [5ex] = dfrac <2 sqrt <3>> <3> [3ex] SIM [3ex] $ $ beta = 300 ^ circ [5ex] cot beta = cot 300 = - dfrac < sqrt <3> > <3> [5ex] = - dfrac < sqrt <3>> <3> + sqrt <3> [5ex] = - dfrac < sqrt <3>> <3> + dfrac <3 sqrt <3>> <3> [5ex] = dfrac <- sqrt <3> + 3 sqrt <3>> <3> [5ex] = dfrac <2 sqrt <3>> <3> [3ex] LHS ne RHS [3ex] NO $ $ underline [3ex] csc beta [3ex] beta = 120 ^ circ [3ex] = csc 120 [3ex] = dfrac <2 sqrt <3>> <3> [3ex] SIM [3ex] $ $ beta = 300 ^ circ [3ex] = csc 300 [3ex] = - dfrac <2 sqrt <3>> <3> [5ex] RHS ne LHS [3ex] NO $

$ underline [3ex] beta = 120 ^ circ = 120 * dfrac < pi> <180> = dfrac <2 pi> <3> [5ex] underline [3ex] beta = dfrac <2 pi> <3> + 2 pi k. coterminal : : angle s $

(17.) Determine todas as soluções de $ cos (2 alpha) + 14 sin ^ 2 alpha = 10 $ no intervalo $ [0, 2 pi) $

Isso não é simples. Ele tem duas funções - a função cosseno e a função seno.
Como o expressamos em termos de apenas uma função?
Vamos aplicar as fórmulas de soma e diferença primeiro

$ cos (2 alpha) + 14 sin ^ 2 alpha = 10 [3ex] cos (2 alpha) = 1 - 2 sin ^ 2 alpha. Ângulo duplo : : Fórmula [3ex] rightarrow 1 - 2 sin ^ 2 alpha + 14 sin ^ 2 alpha = 10 [3ex] 1 + 12 sin ^ 2 alpha = 10 [3ex] 12 sin ^ 2 alpha = 10 - 1 [3ex] 12 sin ^ 2 alpha = 9 [3ex] sin ^ 2 alpha = dfrac <9> <12> = dfrac <3> <4> [5ex] sin alpha = pm sqrt < dfrac <3> <4>> = pm dfrac < sqrt <3>> <2> [5ex] alpha = sin ^ <-1> left ( dfrac < sqrt <3>> <2> right) : : OR : : alpha = sin ^ <-1> left (- dfrac < sqrt <3>> <2> right) [5ex] alpha = 60, 120 : : OR : : alpha = 240, 300 [3ex] alpha = 60 ^ circ, 120 ^ circ, 240 ^ circ, 300 ^ circ. Unidade : : Círculo : : Trig [3ex] $ Verificar

$ underline [3ex] cos (2 alpha) + 14 sin ^ 2 alpha [3ex] alpha = 60 ^ circ [3ex] 2 alpha = 2 * 60 = 120 [3ex ] cos2 alpha = cos 120 = - dfrac <1> <2> [5ex] sin ^ 2 alpha = ( sin 60) ^ 2 = left ( dfrac < sqrt <3> > <2> right) ^ 2 = dfrac <( sqrt <3>) ^ 2> <2 ^ 2> = dfrac <3> <4> [5ex] 14 sin ^ 2 alpha = 14 left ( dfrac <3> <4> right) = 7 left ( dfrac <3> <2> right) = dfrac <21> <2> [5ex] = - dfrac < 1> <2> + dfrac <21> <2> [5ex] = dfrac <-1 + 21> <2> [5ex] = dfrac <20> <2> [5ex] = 10 [3ex] SIM [3ex] $ $ alpha = 120 ^ circ [3ex] 2 alpha = 2 * 120 = 240 [3ex] cos2 alpha = cos 240 = - dfrac <1> <2> [5ex] sin ^ 2 alpha = ( sin 120) ^ 2 = left ( dfrac < sqrt <3>> <2> right) ^ 2 = dfrac <( sqrt <3>) ^ 2> <2 ^ 2> = dfrac <3> <4> [5ex] 14 sin ^ 2 alpha = 14 left ( dfrac <3> < 4> direita) = 7 esquerda ( dfrac <3> <2> direita) = dfrac <21> <2> [5ex] = - dfrac <1> <2> + dfrac <21 > <2> [5ex] = dfrac <-1 + 21> <2> [5ex] = dfrac <20> <2> [5ex] = 10 [3ex] SIM [3ex] $ $ alpha = 240 ^ circ [3ex] 2 alpha = 2 * 240 = 480 [3ex] cos2 alpha = cos 480 [3ex] coterminal : : ângulo : : de : : 480 = 480 - 360 = 120 [3ex] cos2 alpha = cos 480 = cos 120 = - dfrac <1> <2> [5ex] sin ^ 2 alpha = ( sin 480) ^ 2 = ( sin 120) ^ 2 = left ( dfrac < sqrt <3>> <2 > right) ^ 2 = dfrac <( sqrt <3>) ^ 2> <2 ^ 2> = dfrac <3> <4> [5ex] 14 sin ^ 2 alpha = 14 left ( dfrac <3> <4> right) = 7 left ( dfrac <3> <2> right) = dfrac <21> <2> [5ex] = - dfrac <1> < 2> + dfrac <21> <2> [5ex] = dfrac <-1 + 21> <2> [5ex] = dfrac <20> <2> [5ex] = 10 [3ex] SIM [3ex] $ $ alpha = 300 ^ circ [3ex] 2 alpha = 2 * 300 = 600 [3ex] cos2 alpha = cos 600 [3ex] ] coterminal : : ângulo : : de : : 600 = 600 - 360 = 240 [3ex] cos2 alpha = cos 600 = cos 240 = - dfrac <1> <2 > [5ex] sin ^ 2 alpha = ( sin 600) ^ 2 = ( sin 240) ^ 2 = left ( dfrac < sqrt <3>> <2> right) ^ 2 = dfrac <( sqrt <3>) ^ 2> <2 ^ 2> = dfrac <3> <4> [5ex] 14 sin ^ 2 alpha = 14 left ( dfrac <3> < 4> direita) = 7 esquerda ( dfrac <3> <2> direita) = dfrac <21> <2> [5ex] = - dfrac <1> <2> + dfrac <21 > <2> [5ex] = dfrac <-1 + 21> <2> [5ex] = dfrac <20> <2> [5ex] = 10 [3ex] SIM $ $ underline [3ex] 10 $

$ underline [3ex] alpha = 60 ^ circ = 60 * dfrac < pi> <180> = dfrac < pi> <3> [5ex] alpha = 120 ^ circ = 120 * dfrac < pi> <180> = dfrac <2 pi> <3> [5ex] alpha = 240 ^ circ = 240 * dfrac < pi> <180> = dfrac <4 pi > <3> [5ex] alpha = 300 ^ circ = 300 * dfrac < pi> <180> = dfrac <5 pi> <3> [5ex] underline [3ex] alpha = dfrac < pi> <3> + 2 pi k. coterminal : : angle s [5ex] alpha = dfrac <2 pi> <3> + 2 pi k. coterminal : : angle s [5ex] alpha = dfrac <4 pi> <3> + 2 pi k. coterminal : : angle s [5ex] alpha = dfrac <5 pi> <3> + 2 pi k. coterminal : : angle s $

(18.) Determine todas as soluções de $ 3 tan alpha sin alpha - 3 tan alpha = 0 $ no intervalo $ [0, 2 pi) $

Isso não é simples. Tem duas funções: a função tangente e a função cossecante.
Como o expressamos em termos de apenas uma função?
Se não podemos expressá-lo em termos de apenas uma função, podemos fatorar por GCF?

$ 3 tan alpha sin alpha - 3 tan alpha = 0 [3ex] GCF = 3 tan alpha [3ex] Fator : : por : : GCF [3ex] ] 3 tan alpha ( sin alpha - 1) = 0 [3ex] 3 tan alpha = 0 : : OR : : sin alpha - 1 = 0 [3ex] tan alpha = dfrac <0> <3> : : OR : : sin alpha = 1 [3ex] tan alpha = 0 : : OR : : sin alpha = 1 [3ex] alpha = tan ^ <-1> (0) : : OR : : alpha = sin ^ <-1> (1) [3ex] alpha = 0, 180 : : OR : : alpha = 90 [3ex] alpha = 0 ^ circ, 90 ^ circ, 180 ^ circ. Unidade : : Círculo : : Trig [3ex] $ Verificar

$ underline [3ex] 3 tan alpha sin alpha - 3 tan alpha [3ex] alpha = 0 ^ circ [5ex] tan alpha = tan 0 = 0 [ 3ex] sin alpha = sin 0 = 0 [3ex] = 3 * 0 * 0 - 3 * 0 [3ex] = 0 - 0 [3ex] = 0 [3ex] SIM [3ex] $ $ alpha = 90 ^ circ [5ex] tan alpha = tan 90 : : é : : indefinido [3ex] PARAR [3ex] NÃO [3ex] $ $ alpha = 180 ^ circ [5ex] tan alpha = tan 180 = 0 [3ex] sin alpha = sin 180 = 0 [3ex] = 3 * 0 * 0 - 3 * 0 [3ex] = 0 - 0 [3ex] = 0 [3ex] SIM $ $ underline [3ex] 0 $

$ underline [3ex] alpha = 0 ^ circ = 0 * dfrac < pi> <180> = 0 [5ex] alpha = 180 ^ circ = 180 * dfrac < pi> <180> = pi [5ex] underline [3ex] alpha = 0 + 2 pi k = 2 pi k. coterminal : : ângulo s [3ex] alpha = pi + 2 pi k. coterminal : : angle s $


Soluções NCERT para a aula de matemática 11 Capítulo-3 Funções trigonométricas

Q3: uma roda faz 360 rotações em um minuto. Por quantos radianos ele gira em um segundo?
Responder :
Número de revoluções feitas pela roda em 1 minuto = 360
∴ Número de revoluções feitas pela roda em 1 segundo =
Em uma volta completa, a roda gira em um ângulo de 2π radianos.
Portanto, em 6 revoluções completas, ele girará um ângulo de 6 × 2π radianos, ou seja,
12 π radianos
Assim, em um segundo, a roda gira em um ângulo de 12π radianos.

Q4: Encontre a medida em grau do ângulo subtendido no centro de um círculo de raio de 100 cm por um arco de comprimento de 22 cm.
Responder :
Sabemos que em um círculo de raio r unidade, se um arco de comprimento l unidade subtende um ângulo θ radiano no centro, então
Portanto, forr = 100 cm, l = 22 cm, temos

Assim, o ângulo necessário é de 12 ° 36 “².

Q5: Em um círculo de 40 cm de diâmetro, o comprimento de uma corda é de 20 cm. Encontre o comprimento do arco menor do acorde.
Responder :
Diâmetro do círculo = 40 cm
∴Rádio (r) do círculo =
Seja AB uma corda (comprimento = 20 cm) do círculo.

Em ΔOAB, OA = OB = Raio do círculo = 20 cm
Além disso, AB = 20 cm
Assim, ΔOAB é um triângulo equilátero.
∴θ = 60 ° =
Sabemos que em um círculo de raio r unidade, se um arco de comprimento l unidade subtende um ângulo θ radiano no centro, então
Assim, o comprimento do arco menor do acorde é

Q6: Se em dois círculos, arcos de mesmo comprimento subentendem ângulos de 60 ° e 75 ° no centro, encontre a proporção de seus raios.
Responder :
Sejam os raios dos dois círculos e. Deixe um arco de comprimento l subtender um ângulo de 60 ° no centro do círculo de raio r1, embora deixe um arco de comprimento l subtender um ângulo de 75 ° no centro do círculo de raio r2.
Agora, 60 ° = e 75 ° =
Sabemos que em um círculo de raio r unidade, se um arco de comprimento l unidade subtende um ângulo θ radiano no centro, então

Assim, a proporção dos raios é 5: 4.

Q7: Encontre o ângulo em radianos através do qual um pêndulo oscila se seu comprimento é 75 cm e a ponta descreve um arco de comprimento
(i) 10 cm (ii) 15 cm (iii) 21 cm
Responder :
Sabemos que em um círculo de raio r unidade, se um arco de comprimento l unidade subtende um ângulo θ radiano no centro, então
É dado que r = 75 cm
(eu) Aqui, l = 10 cm

(ii) Aqui, l = 15 cm

(iii) Aqui, l = 21 cm

Exercício 3.2: Soluções de perguntas no número da página: 63
Q1: Encontre os valores de outras cinco funções trigonométricas se, x estiver no terceiro quadrante.
Responder :

Como x está no terceiro quadrante, o valor de sin x será negativo.

Q2: Encontre os valores de outras cinco funções trigonométricas se, x estiver no segundo quadrante.
Responder :

Uma vez que x está no segundo quadrante, o valor do cos x será negativo

Q3: Encontre os valores de outras cinco funções trigonométricas se, x está no terceiro quadrante.
Responder :

Como x está no terceiro quadrante, o valor de sec x será negativo.

Q4: Encontre os valores de outras cinco funções trigonométricas se, x estiver no quarto quadrante.
Responder :

Como x está no 4º quadrante, o valor de sin x será negativo.

Q5: Encontre os valores de outras cinco funções trigonométricas se, x estiver no segundo quadrante.
Responder :

Como x está no segundo quadrante, o valor de sec x será negativo.
∴sec x =

Q6: Encontre o valor da função trigonométrica sen 765 °
Responder :
Sabe-se que os valores de sen x se repetem após um intervalo de 2π ou 360 °.

Q7: Encontre o valor da função trigonométrica cosec (-1410 °)
Responder :
Sabe-se que os valores de cossec x se repetem após um intervalo de 2π ou 360 °.

Q8: Encontre o valor da função trigonométrica
Responder :
Sabe-se que os valores de tan x se repetem após um intervalo de π ou 180 °.

Q9: Encontre o valor da função trigonométrica
Responder :
Sabe-se que os valores de sen x se repetem após um intervalo de 2π ou 360 °.

Q10: Encontre o valor da função trigonométrica
Responder :
Sabe-se que os valores de cot x se repetem após um intervalo de π ou 180 °.

Exercício 3.3: Soluções de perguntas no número da página: 73
Q1:
Responder :
L.H.S. =

P2: Prove que
Responder :
L.H.S. =

Q3: Prove que
Responder :
L.H.S. =

Q4: Prove que
Responder :
L.H.S =

Q5: Encontre o valor de:
(i) sen 75 °
(ii) tan 15 °
Responder :
(eu) sen 75 ° = sen (45 ° + 30 °)
= sen 45 ° cos 30 ° + cos 45 ° sen 30 °
[sin (x + y) = sin x cos y + cos x sin y]

(ii) tan 15 ° = tan (45 ° e # 8211 30 °)

Q6: Prove que:
Responder :

Q7: Prove que:
Responder :
Sabe-se que
∴L.H.S. =

Q8: Prove que
Responder :

Q9:
Responder :
L.H.S. =

Q10: Prove que sin (n + 1) x sin (n + 2) x + cos (n + 1) x cos (n + 2) x = cos x
Responder :
L.H.S. = sin (n + 1) x sin (n + 2) x + cos (n + 1) x cos (n + 2) x
4

Q11: Prove que
Responder :
Sabe-se que
∴L.H.S. =

Q12: Prove que pecado 2 6x & # 8211 pecado2 4x = pecado 2x sen 10x
Responder :
Sabe-se que
∴L.H.S. = sin 2 6x & # 8211 sin 2 4x
= (sin 6x + sin 4x) (sin 6x & # 8211 sin 4x)
= (2 sen 5x cos x) (2 cos 5x sen x)
= (2 sen 5x cos 5x) (2 sen x cos x)
= sen 10x sen 2x
= R.H.S.

Q13: Prove que cos 2 2x & # 8211 cos 2 6x = sin 4x sen 8x
Responder :
Sabe-se que
∴L.H.S. = cos 2 2x & # 8211 cos 2 6x
= (cos 2x + cos 6x) (cos 2x & # 8211 6x)

= [2 cos 4x cos 2x] [-2 sen 4x (-sin 2x)]
= (2 sen 4x cos 4x) (2 sen 2x cos 2x)
= sin 8x sin 4x
= R.H.S.

Q14: Prove que sin 2x + 2sin 4x + sin 6x = 4cos 2 x sin 4x
Responder :
L.H.S. = sen 2x + 2 sen 4x + sen 6x
= [sen 2x + sen 6x] + 2 sen 4x

= 2 sen 4x cos (- 2x) + 2 sen 4x
= 2 sen 4x cos 2x + 2 sen 4x
= 2 sen 4x (cos 2x + 1)
= 2 sen 4x (2 cos 2 x & # 8211 1 + 1)
= 2 sen 4x (2 cos 2 x)
= 4cos 2 x sen 4x
= R.H.S.

Q15: Prove que cot 4x (sin 5x + sin 3x) = cot x (sin 5x & # 8211 sin 3x)
Responder :
L.H.S = cot 4x (sen 5x + sen 3x)

= 2 cos 4x cos x
R.H.S. = cot x (sen 5x & # 8211 sen 3x)

Q16: Prove que
Responder :
Sabe-se que
∴L.H.S =

Q17: Prove que
Responder :
Sabe-se que
∴L.H.S. =

Q18: Prove que
Responder :
Sabe-se que
∴L.H.S. =

Q19: Prove que
Responder :
Sabe-se que
∴L.H.S. =

Q20: Prove que
Responder :
Sabe-se que
∴L.H.S. =

Q21: Prove que
Responder :
L.H.S. =

Q22: Prove que berço x berço 2x & # 8211 berço 2x berço 3x & # 8211 berço 3x berço x = 1
Responder :
L.H.S. = berço x berço 2x & # 8211 berço 2x berço 3x & # 8211 berço 3x berço x
= berço x berço 2x & # 8211 berço 3x (berço 2x + berço x)
= berço x berço 2x & # 8211 berço (2x + x) (berço 2x + berço x)

= berço x berço 2x & # 8211 (berço 2x berço x & # 8211 1)
= 1 = R.H.S.

Q23: Prove que
Responder :
Sabe-se que
∴L.H.S. = tan 4x = tan 2 (2x)

Q24: Prove que cos 4x = 1 & # 8211 8sin 2 x cos 2 x
Responder :
L.H.S. = cos 4x
= cos 2 (2x)
= 1 & # 8211 2 sin 2 2x [cos 2A = 1 & # 8211 2 sin 2 A]
= 1 & # 8211 2 (2 sen x cos x) 2 [sin2A = 2sin A cosA]
= 1 & # 8211 8 sen 2 x cos 2 x
= R.H.S.

Q25: Prove que: cos 6x = 32 cos 6 x & # 8211 48 cos 4 x + 18 cos 2 x & # 8211 1
Responder :
L.H.S. = cos 6 x
= cos 3 (2x)
= 4 cos 3 2x & # 8211 3 cos 2x [cos 3A = 4 cos 3 A & # 8211 3 cos A]
= 4 [(2 cos 2 x & # 8211 1) 3 & # 8211 3 (2 cos 2 x & # 8211 1) [cos 2x = 2 cos 2 x & # 8211 1]
= 4 [(2 cos 2 x) 3 & # 8211 (1) 3 & # 8211 3 (2 cos 2 x) 2 + 3 (2 cos 2 x)] & # 8211 6cos 2 x + 3
= 4 [8cos 6 x & # 8211 1 & # 8211 12 cos 4 x + 6 cos 2 x] & # 8211 6 cos 2 x + 3
= 32 cos 6 x & # 8211 4 & # 8211 48 cos 4 x + 24 cos 2 x & # 8211 6 cos 2 x + 3
= 32 cos 6 x & # 8211 48 cos 4 x + 18 cos 2 x & # 8211 1
= R.H.S

Exercício 3.4: Soluções de perguntas no número da página: 78
Q1: Encontre as soluções principais e gerais da equação
Responder :

Portanto, as principais soluções são x = e

Portanto, a solução geral é

Q2: Encontre as soluções principais e gerais da equação
Responder :

Portanto, as principais soluções são x = e
Portanto, a solução geral é, onde n ∈ Z

Q3: Encontre as soluções principais e gerais da equação
Responder :

Portanto, as principais soluções são x = e
Portanto, a solução geral é

Q4: Encontre a solução geral de cosec x = -2
Responder :
cosec x = -2

Portanto, as principais soluções são x =
Portanto, a solução geral é

Q5: Encontre a solução geral da equação cos 4x = cos 2x
Responder :

Q6: Encontre a solução geral da equação cos 3x + cos x & # 8211 cos 2x = 0
Responder :
cos 3x + cos x & # 8211 cos 2x = 0

Q7: Encontre a solução geral da equação sen 2x + cos x = 0
Responder :
sen 2x + cos x = 0

Portanto, a solução geral é

Q8: Encontre a solução geral da equação sec 2 2x = 1 & # 8211 tan 2x
Responder :
sec2 2x = 1 & # 8211 tan 2x

Portanto, a solução geral é

Q9: Encontre a solução geral da equação sin x + sin 3x + sin 5x = 0
Responder :
sen x + sen 3x + sen 5x = 0


Portanto, a solução geral é

Exercício Diversos: Soluções de perguntas no número da página: 81
Q1: Prove que:
Responder :

Q2: Prove que: (sin 3x + sin x) sin x + (cos 3x & # 8211 cos x) cos x = 0
Responder :
L.H.S. = (sin 3x + sin x) sin x + (cos 3x & # 8211 cos x) cos x
= RH.S.

Q3: Prove que:
Responder :
L.H.S. =

Q4: Prove que:
Responder :
L.H.S. =

Q5: Prove que:
Responder :
Sabe-se que
∴L.H.S. =

Q6: Prove que:
Responder :
Sabe-se que
L.H.S. =
= tan 6x
= R.H.S.

Q7: Prove que:
Responder :
L.H.S. =

Q8:, x no quadrante II
Responder :
Aqui, x está no quadrante II.
ou seja,

Portanto, são todos positivos.

Como x está no quadrante II, cosx é negativo.


Assim, os respectivos valores de são

Q9: Encontre para, x no quadrante III
Responder :
Aqui, x está no quadrante III.

Portanto, e são negativos, onde como é positivo.

Assim, os respectivos valores de são

Q10: Encontre para, x no quadrante II
Responder :
Aqui, x está no quadrante II.


Identidades trigonométricas

Identidade pitagórica A seguinte identidade é comumente usada:

Identidades trigonométricas inversas As seguintes identidades são comumente usadas:

Fórmulas de adição As seguintes identidades são comumente usadas:

Nome Fórmula
Adição de cosseno $ cos (a + b) = cos (a) cos (b) - sin (a) sin (b) $
Adição seno $ sin (a + b) = sin (a) cos (b) + sin (b) cos (a) $
Adição tangente $ displaystyle tan (a + b) = frac < tan (a) + tan (b)> <1- tan (a) tan (b)> $

Identidades do produto para soma e soma para produto As seguintes identidades são comumente usadas:

Nome Fórmula
Somatório do produto $ displaystyle cos (a) cos (b) = frac <1> <2> ( cos (a-b) + cos (a + b)) $
$ displaystyle sin (a) sin (b) = frac <1> <2> ( cos (a-b) - cos (a + b)) $
$ displaystyle sin (a) cos (b) = frac <1> <2> ( sin (a + b) + sin (a-b)) $
$ displaystyle cos (a) sin (b) = frac <1> <2> ( sin (a + b) - sin (a-b)) $
$ displaystyle tan (a) tan (b) = frac < cos (a-b) - cos (a + b)> < cos (a-b) + cos (a + b)> $
Soma para produto $ displaystyle cos (a) + cos (b) = 2 cos left ( frac<2> right) cos left ( frac<2> right) $
$ displaystyle cos (a) - cos (b) = - 2 sin left ( frac<2> right) sin left ( frac<2> right) $
$ displaystyle sin (a) + sin (b) = 2 sin left ( frac<2> right) cos left ( frac<2> right) $
$ displaystyle sin (a) - sin (b) = 2 sin left ( frac<2> right) cos left ( frac<2> right) $

Identidades de simetria As seguintes identidades são comumente usadas:

Por $ alpha = 0 $ Por $ alpha = frac < pi> <4> $ Por $ alpha = frac < pi> <2> $
$ displaystyle cos left (- theta right) = cos ( theta) $ $ displaystyle cos left ( frac < pi> <2> - theta right) = sin ( theta) $ $ displaystyle cos left ( pi- theta right) = - cos ( theta) $
$ displaystyle sin left (- theta right) = - sin ( theta) $ $ displaystyle sin left ( frac < pi> <2> - theta right) = cos ( theta) $ $ displaystyle sin left ( pi- theta right) = sin ( theta) $
$ displaystyle tan left (- theta right) = - tan ( theta) $ $ displaystyle tan left ( frac < pi> <2> - theta right) = frac <1> < tan ( theta)> $ $ displaystyle tan left ( pi- theta right) = - tan ( theta) $

Identidades de deslocamento As seguintes identidades são comumente usadas:

Por $ frac < pi> <2> $ Por $ pi $
$ displaystyle cos left ( theta + frac < pi> <2> right) = - sin ( theta) $ $ displaystyle cos left ( theta + pi right) = - cos ( theta) $
$ displaystyle sin left ( theta + frac < pi> <2> right) = cos ( theta) $ $ displaystyle sin left ( theta + pi right) = - sin ( theta) $
$ displaystyle tan left ( theta + frac < pi> <2> right) = - frac <1> < tan ( theta)> $ $ displaystyle tan left ( theta + pi right) = tan ( theta) $

Introdução às seis funções trigonométricas (proporções)

Na trigonometria do triângulo retângulo, existem seis razões (funções) possíveis. Uma proporção é uma comparação de dois números (ou lados de um triângulo) por divisão. A letra grega, & # 952, será usada para representar o ângulo de referência no triângulo retângulo.

Oposto refere-se ao lado do triângulo que é oposto ao ângulo de referência

Adjacente se refere ao lado do triângulo que é adjacente ao ângulo de referência (o lado adjacente sempre formará um lado do ângulo de referência.

A hipotenusa é o lado do triângulo que está sempre oposto ao ângulo reto.

Essas seis proporções representam todas as maneiras de comparar dois lados de um triângulo retângulo. Observe que cossecante é a recíproca de seno, secante é a recíproca de cosseno e cotangente é a recíproca de tangente. A hipotenusa nunca variará em sua localização, entretanto, o lado oposto e o lado adjacente serão determinados pelo ângulo de referência.

Para ligar a este Introdução às seis funções trigonométricas (proporções) página, copie o seguinte código para o seu site:


Instruções: Usando os inteiros de -9 a 9, no máximo uma vez cada, preencha o & hellip

3 comentários

Não tenho certeza se este é um lugar apropriado para as respostas corretas, mas aqui estão algumas outras combinações que meus alunos encontraram, começando do espaço em branco à esquerda e trabalhando para o espaço em branco à direita:

9, 4, 6, 3, 2 ,7
5, 4, 6, 7, 2, 3
5, 1, 2, 9, 8, 4
5, 3, 4, 9, 7, 2
5, 3, 4, 8, 6, 2
6, 1, 2, 4, 3, 5
6, 1, 2, 8, 7, 5
6, 1, 2, 9, 8, 5
4, 3, 2, 9, 8, 1

3, 1, 2, 8, 9, 4
9, 4, 2, 8, 7, 5
5, 4, 6, 2, 1, 3
9, 1, 2, 4, 3, 8
4, 2, 6, 8, 7, 3
3, 1, 6, 8, 5, 2
9, 4, 2, 7, 6, 5
7, 1, 2, 9, 8, 6
7, 3, 2, 9, 8, 4
9, 6, 2, 5, 4, 3
5, 4, 6, 7, 2, 3

3, 4, 6, 9, 8, 1
4, 3, 6, 9, 8, 3
9, 8, 6, 7, 2, 5
8, 2, 4, 5, 3, 6
8, 2, 6, 5, 4, 7
3, 2, 6, 7, 4, 1
4, 2, 6, 3, 8, 5


Assista o vídeo: Sistemas de equações do primeiro grau Primeiro ano. - Vídeo (Outubro 2021).