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3.1: Identidades Recíprocas e Pitagóricas - Matemática


Os dois tipos mais básicos de identidades trigonométricas são as identidades recíprocas e as identidades pitagóricas. As identidades recíprocas são simplesmente definições dos recíprocos das três razões trigonométricas padrão:
[ sec theta = frac {1} { cos theta} quad csc theta = frac {1} { sin theta} quad cot theta = frac {1} { tan theta}
]

Além disso, lembre-se das definições das três razões trigonométricas padrão (seno, cosseno e tangente):
[ begin {array} {l}
sin theta = frac {o p p} {h y p}
cos theta = frac {a d j} {h y p}
tan theta = frac {o p p} {a d y}
end {array}
]

Se observarmos mais de perto as relações entre o seno, cosseno e tangente, notaremos que ( frac { sin theta} { cos theta} = tan theta )
[ frac { sin theta} { cos theta} = frac { left ( frac {opp} {hyp} right)} { left ( frac {adj} {hyp} right) } = frac {opp} {hyp} * frac {hyp} {adj} = frac {opp} {adj} = tan theta
]

Identidades Pitagóricas
As identidades pitagóricas são, é claro, baseadas no teorema de Pitágoras. Se nos lembrarmos de um diagrama que foi apresentado no Capítulo (2, ), podemos construir essas identidades a partir dos relacionamentos no diagrama:

Usando o Teorema de Pitágoras neste diagrama, vemos que (x ^ {2} + y ^ {2} = 1 ^ {2}, ) então (x ^ {2} + y ^ {2} = 1. ) Mas, lembre-se também de que, no círculo unitário, (x = cos theta ) e (y = sin theta )

Substituir essa igualdade nos dá a primeira identidade pitagórica:
[x ^ {2} + y ^ {2} = 1
]ou
[ cos ^ {2} theta + sin ^ {2} theta = 1
] Essa identidade geralmente é declarada na forma:
[ sin ^ {2} theta + cos ^ {2} theta = 1
]

Se pegarmos essa identidade e dividirmos em ambos os lados por ( cos ^ {2} theta, ), isso resultará na primeira de duas identidades pitagóricas adicionais:
[ frac { sin ^ {2} theta} { cos ^ {2} theta} + frac { cos ^ {2} theta} { cos ^ {2} theta} = frac {1} { cos ^ {2} theta}
]ou
[ tan ^ {2} theta + 1 = sec ^ {2} theta
]

Dividindo por ( sin ^ {2} theta ) nos dá o segundo:
[ frac { sin ^ {2} theta} { sin ^ {2} theta} + frac { cos ^ {2} theta} { sin ^ {2} theta} = frac {1} { sin ^ {2} theta}
]ou
[1+ cot ^ {2} theta = csc ^ {2} theta
] Então, as três identidades pitagóricas que usaremos são:
[ begin {array} {l}
sin ^ {2} theta + cos ^ {2} theta = 1
tan ^ {2} theta + 1 = sec ^ {2} theta
1+ cot ^ {2} theta = csc ^ {2} theta
end {array}
]

Essas identidades pitagóricas costumam ser expressas em outros termos, como:
[ begin {array} {l}
sin ^ {2} theta = 1- cos ^ {2} theta
cos ^ {2} theta = 1- sin ^ {2} theta
tan ^ {2} theta = sec ^ {2} theta-1
cot ^ {2} theta = csc ^ {2} theta-1
end {array}
]

No início deste capítulo, discutimos a verificação de identidades trigonométricas. Agora que temos algumas identidades básicas com as quais trabalhar, vamos usá-las para verificar a igualdade de algumas instruções mais complicadas. O processo de verificação de identidades trigonométricas envolve a mudança de um lado da expressão dada para o outro lado. uma vez que essas não são realmente equações, não as trataremos da maneira como tratamos as equações. Ou seja, não adicionaremos ou subtrairemos nada em ambos os lados da declaração (ou multiplicaremos ou dividiremos por qualquer coisa em ambos os lados).

Outra razão para não tratar uma identidade trigonométrica como uma equação é que, na prática, esse processo normalmente envolve apenas um lado da afirmação. Na solução de problemas, os matemáticos normalmente usam identidades trigonométricas para alterar a aparência de um problema sem alterar seu valor. Nesse processo, uma expressão trigonométrica é transformada em outra expressão trigonométrica, em vez de mostrar que duas expressões trigonométricas são iguais, que é o que estaremos fazendo.

Exemplo 1
Verifique a identidade (( sin theta) ( cot theta) = cos theta )
Essa é uma identidade muito direta e pode ser resolvida usando uma das abordagens fundamentais para trabalhar com identidades trigonométricas. Essa é a abordagem de escrever tudo em termos de senos e cossenos.

Começando com a declaração original:
[( sin theta) ( cot theta) = cos theta
] Substitua ( cot theta ) por ( frac { cos theta} { sin theta} )
[( sin theta) frac { cos theta} { sin theta} = cos theta
] Em seguida, cancelando o ( sin theta: )
[ cos theta = cos theta
]

Existem quatro abordagens fundamentais para verificar as identidades trigonométricas:
1. escreva tudo em termos de senos e cossenos
2. faça um denominador comum e adicione frações
3. dividir uma fração
4. fatorar e cancelar
Nem todos eles podem ser usados ​​em todos os problemas e alguns problemas usarão combinações dessas estratégias. Aqui está outro exemplo.

Exemplo 2
Verifique a identidade ( tan theta + cot theta = sec theta csc theta )
Primeiro, escreveremos tudo em termos de senos e cossenos:
[ begin {array} {l}
tan theta + cot theta = sec theta csc theta
frac { sin theta} { cos theta} + frac { cos theta} { sin theta} = frac {1} { cos theta} cdot frac {1} { sin theta}
end {array}
]

A seguir, no lado esquerdo, podemos somar as duas frações criando um denominador comum de ( cos theta sin theta )
begin {alinhado}
frac { sin theta} { cos theta} + frac { cos theta} { sin theta} & = frac {1} { cos theta} cdot frac {1} { sin theta}
frac { sin theta} { sin theta} cdot frac { sin theta} { cos theta} + frac { cos theta} { sin theta} cdot frac { cos theta} { cos theta} & = frac {1} { cos theta} cdot frac {1} { sin theta}
frac { sin ^ {2} theta} { sin theta cos theta} + frac { cos ^ {2} theta} { sin theta cos theta} & = frac { 1} { cos theta} cdot frac {1} { sin theta}
frac { sin ^ {2} theta + cos ^ {2} theta} { sin theta cos theta} & = frac {1} { cos theta} cdot frac {1} { sin theta}
frac {1} { sin theta cos theta} & = frac {1} { sin theta cos theta}
end {alinhado}

Neste exemplo, você pode ver que primeiro escrevemos tudo em termos de senos e cossenos, depois criamos denominadores comuns e adicionamos as frações do lado esquerdo. Depois de fazer isso, podemos substituir a expressão ( sin ^ {2} theta + cos ^ {2} theta ) por (1, ) uma vez que esta é a identidade pitagórica fundamental.

Exemplo 3
Verifique a identidade ( frac { tan theta- cot theta} { sin theta cos theta} = sec ^ {2} theta- csc ^ {2} theta )
Começaremos este problema dividindo a fração sobre o denominador. Isso pode ser útil em problemas em que não há adição ou subtração no denominador. A ideia aqui é que desde ( frac {a} {x} + frac {b} {x} = frac {a + b} {x}, ) então podemos reverter este processo e dizer que ( frac {a + b} {x} = frac {a} {x} + frac {b} {x} )
No problema acima, diremos que:

[ frac { tan theta- cot theta} { sin theta cos theta} = sec ^ {2} theta- csc ^ {2} theta ] [ frac { tan theta} { sin theta cos theta} - frac { cot theta} { sin theta cos theta} = sec ^ {2} theta- csc ^ {2} theta ] [ frac { frac { sin theta} { cos theta}} { sin theta cos theta} - frac { frac { cos theta} { sin theta}} { sin theta cos theta} = sec ^ {2} theta- csc ^ {2} theta ] [ frac { sin theta} { cos theta} cdot frac {1} { sin theta cos theta} - frac { cos theta} { sin theta} cdot frac {1} { sin theta cos theta} = sec ^ {2} theta- csc ^ {2} theta ] [ frac { cancel { sin theta}} { cos theta} cdot frac {1} { cancel { sen theta} cos theta} - frac { cancel { cos theta}} { sin theta} cdot frac {1} { sin theta cancel { cos theta}} = sec ^ {2} theta- csc ^ {2} theta ] [ frac {1} { cos ^ {2} theta} - frac {1} { sin ^ {2} theta} = sec ^ {2} theta- csc ^ {2} theta ] [ sec ^ {2} theta- csc ^ {2} theta = sec ^ {2} theta - csc ^ {2} theta
]

Exemplo 4
Verifique a identidade ( frac { tan ^ {2} theta- cos ^ {2} theta} {1- cos ^ {2} theta} = sec ^ {2} theta- cot ^ {2} theta )
No lado esquerdo, observe a expressão (1- cos ^ {2} theta ) no denominador. Podemos substituir isso por ( sin ^ {2} theta, ) que é uma expressão mais simples. Geralmente é útil ter uma expressão mais simples no denominador, em vez de uma expressão mais complicada.

[ begin {array} {l}
frac { tan ^ {2} theta- cos ^ {2} theta} {1- cos ^ {2} theta} = sec ^ {2} theta- cot ^ {2} theta
frac { tan ^ {2} theta- cos ^ {2} theta} { sin ^ {2} theta} = sec ^ {2} theta- cot ^ {2} theta
end {array}
] Em seguida, podemos dividir a fração sobre o denominador de ( sin ^ {2} theta )
[ frac { tan ^ {2} theta- cos ^ {2} theta} { sin ^ {2} theta} = sec ^ {2} theta- cot ^ {2} theta
] [ frac { tan ^ {2} theta} { sin ^ {2} theta} - frac { cos ^ {2} theta} { sin ^ {2} theta} = sec ^ {2} theta- cot ^ {2} theta
]

Podemos ver no lado esquerdo que a expressão ( frac { cos ^ {2} theta} { sin ^ {2} theta} ) é equivalente a ( cot ^ {2} theta ), mas a primeira peça do lado esquerdo precisa ser um pouco mais simplificada. Nós reescreveremos ( tan ^ {2} theta ) como ( frac { sin ^ {2} theta} { cos ^ {2} theta} ) e então simplificaremos a fração complexa.
[ begin {array} {c}
frac { tan ^ {2} theta} { sin ^ {2} theta} - frac { cos ^ {2} theta} { sin ^ {2} theta} = sec ^ { 2} theta- cot ^ {2} theta
frac { frac { sin ^ {2} theta} { cos ^ {2} theta}} { sin ^ {2} theta} - cot ^ {2} theta = sec ^ { 2} theta- cot ^ {2} theta

frac { sin ^ {2} theta} { cos ^ {2} theta} cdot frac {1} { sin ^ {2} theta} - cot ^ {2} theta = seg ^ {2} theta- cot ^ {2} theta
frac { cancel { sin ^ {2} theta}} { cos ^ {2} theta} cdot frac {1} { cancel { sin ^ {2} theta}} - cot ^ {2} theta = sec ^ {2} theta- cot ^ {2} theta
end {array}
]

Depois de cancelar o ( sin ^ {2} theta, ) estamos quase terminando:
[ begin {alinhado}
frac { cancel { sin ^ {2} theta}} { cos ^ {2} theta} cdot frac {1} { cancel { sin ^ {2} theta}} - cot ^ {2} theta & = sec ^ {2} theta- cot ^ {2} theta
& frac {1} { cos ^ {2} theta} - cot ^ {2} theta = sec ^ {2} theta- cot ^ {2} theta
& sec ^ {2} theta- cot ^ {2} theta = sec ^ {2} theta- cot ^ {2} theta
end {alinhado}
] As identidades trigonométricas que discutimos nesta seção estão resumidas abaixo:

Nos exemplos acima e nos exercícios, a forma sin ( theta ) ou ( cos theta ) é normalmente usada, no entanto, qualquer letra pode ser usada para representar o ângulo em questão, desde que seja o MESMO letra em todas as expressões. Por exemplo, podemos dizer que:
[ sin ^ {2} theta + cos ^ {2} theta = 1
] ou podemos dizer que

[ sin ^ {2} x + cos ^ {2} x = 1
]no entanto:
[ sin ^ {2} theta + cos ^ {2} x neq 1
] porque ( theta ) e (x ) podem ter ângulos diferentes!

Exercícios 3.1
Em cada problema, verifique a identificação trigonométrica fornecida.
1. ( cos theta ( sec theta- cos theta) - sin ^ {2} theta )
2. ( tan theta ( cot theta + tan theta) - sec ^ {2} theta )
3. ( tan theta ( csc theta + cot theta) - sec theta + 1 )
4. ( cot theta ( sec theta + tan theta) - csc theta + 1 )
5. ( tan ^ {2} theta csc ^ {2} theta- tan ^ {2} theta-1 )
6. ( sin ^ {2} theta cot ^ {2} theta + sin ^ {2} theta-1 )
7. ( frac { sin theta tan theta + sin theta} { tan theta + tan ^ {2} theta} - cos theta )

8. ( frac { cos theta cot theta + cos theta} { cot theta + cot ^ {2} theta} - sin theta )
9. ( frac {( sin theta + cos theta) ^ {2}} { cos theta} - sec theta + 2 sin theta )

10. ( sin theta + cos theta) ^ {2} + ( sin theta- cos theta) ^ {2} -2 )
11. ( cos theta ( tan theta + cot theta) - csc theta )
12. ( sin theta ( cot theta + tan theta) - sec theta )
13. ( frac { cos theta} { tan theta} - csc theta- sin theta )

14. ( frac { sin theta} { cot theta} - sec theta- cos theta )
15. ( frac { csc theta} { cos theta} - frac { cos theta} { csc theta} - frac { cot ^ {2} theta + sin ^ {2 } theta} { cot theta} )

16. ( frac { sec theta + csc theta} { tan theta + cot theta} - sin theta + cos theta )
17. ( frac { sin theta} {1+ sin theta} - frac { sin theta} {1- sin theta} - 2 tan ^ {2} theta )

18. ( frac { cos theta} {1+ cos theta} - frac { cos theta} {1- cos theta} - 2 cot ^ {2} theta )
19. ( frac { cot theta} {1+ csc theta} - frac { cot theta} {1- csc theta} -2 sec theta )

20. ( frac { tan theta} {1+ sec theta} - frac { tan theta} {1- sec theta} -2 csc theta )
21. ( frac { sec ^ {2} theta} {1+ cot ^ {2} theta} - tan ^ {2} theta )

22. ( frac { csc ^ {2} theta} {1+ tan ^ {2} theta} - cot ^ {2} theta )
23. ( sec ^ {4} theta- sec ^ {2} theta- tan ^ {4} theta + tan ^ {2} theta )
24. ( csc ^ {4} theta- csc ^ {2} theta- cot ^ {4} theta + cot ^ {2} theta )
25. (1- frac { cos ^ {2} theta} {1+ sin theta} - sin theta )
26. (1- frac { sin ^ {2} theta} {1+ cos theta} - cos theta )
27. ( frac { sec theta} { csc theta} + frac { sin theta} { cos theta} -2 tan theta )
28. ( frac {1- sin theta} { cos theta} + frac { cos theta} {1- sin theta} -2 sec theta )
29. ( frac { cos theta} {1+ sin theta} + frac {1+ sin theta} { cos theta} -2 sec theta )

30. ( frac { tan theta- cot theta} { tan theta + cot theta} - sin ^ {2} theta- cos ^ {2} theta )
31. ( frac { sec theta- cos theta} { sec theta + cos theta} - frac { sin ^ {2} theta} {1+ cos ^ {2} theta} )

32. ( frac { sec theta + tan theta} { cot theta + cos theta} - tan theta sec theta )


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