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5.4: Tópicos adicionais em funções (exercícios) - matemática


5.1: Composição da Função

subsection {Exercícios}

Em Exercises ref {funccompeval1first} - ref {funccompeval1last}, use o par de funções fornecido para encontrar os seguintes valores, se eles existirem.

begin {multicols} {3}

begin {itemize}

item $ (g circ f) (0) $

item $ (f circ g) (- 1) $

item $ (f circ f) (2) $

end {itemize}

end {multicols}

begin {multicols} {3}

begin {itemize}

item $ (g circ f) (- 3) $

item $ (f circ g) left ( frac {1} {2} right) $

item $ (f circ f) (- 2) $

end {itemize}

end {multicols}

begin {multicols} {2}

begin {enumerate}

item $ f (x) = x ^ 2 $, $ g (x) = 2x + 1 $ label {funccompeval1first}

item $ f (x) = 4-x $, $ g (x) = 1-x ^ 2 $

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerar}

end {multicols}

begin {multicols} {2}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ f (x) = 4-3x $, $ g (x) = | x | $

item $ f (x) = | x-1 | $, $ g (x) = x ^ 2-5 $

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerar}

end {multicols}

begin {multicols} {2}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ f (x) = 4x + 5 $, $ g (x) = sqrt {x} $

item $ f (x) = sqrt {3-x} $, $ g (x) = x ^ 2 + 1 $

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerar}

end {multicols}

begin {multicols} {2}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ f (x) = 6-x-x ^ 2 $, $ g (x) = x sqrt {x + 10} $

item $ f (x) = sqrt [3] {x + 1} $, $ g (x) = 4x ^ 2-x $

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerar}

end {multicols}

begin {multicols} {2}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ f (x) = dfrac {3} {1-x} $, $ g (x) = dfrac {4x} {x ^ 2 + 1} $

item $ f (x) = dfrac {x} {x + 5} $, $ g (x) = dfrac {2} {7-x ^ 2} $

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerar}

end {multicols}

begin {multicols} {2}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ f (x) = dfrac {2x} {5-x ^ 2} $, $ g (x) = sqrt {4x + 1} $

item $ f (x) = sqrt {2x + 5} $, $ g (x) = dfrac {10x} {x ^ 2 + 1} $ label {funccompeval1last}

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerar}

end {multicols}

Em Exercises ref {funccompexp1first} - ref {funccompexp1last}, use o par de funções fornecido para encontrar e simplificar expressões para as seguintes funções e declarar o domínio de cada uma usando a notação de intervalo.

begin {multicols} {3}

begin {itemize}

item $ (g circ f) (x) $

item $ (f circ g) (x) $

item $ (f circ f) (x) $

end {itemize}

end {multicols}

begin {multicols} {2}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ f (x) = 2x + 3 $, $ g (x) = x ^ 2-9 $ label {funccompexp1first}

item $ f (x) = x ^ 2 -x + 1 $, $ g (x) = 3x-5 $

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerar}

end {multicols}

begin {multicols} {2}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ f (x) = x ^ 2-4 $, $ g (x) = | x | $

item $ f (x) = 3x-5 $, $ g (x) = sqrt {x} $

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerar}

end {multicols}

begin {multicols} {2}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ f (x) = | x + 1 | $, $ g (x) = sqrt {x} $

item $ f (x) = 3-x ^ 2 $, $ g (x) = sqrt {x + 1} $

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerar}

end {multicols}

begin {multicols} {2}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ f (x) = | x | $, $ g (x) = sqrt {4-x} $

item $ f (x) = x ^ 2-x-1 $, $ g (x) = sqrt {x-5} $

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerar}

end {multicols}

begin {multicols} {2}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ f (x) = 3x-1 $, $ g (x) = dfrac {1} {x + 3} $

item $ f (x) = dfrac {3x} {x-1} $, $ g (x) = dfrac {x} {x-3} $

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerar}

end {multicols}

begin {multicols} {2}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ f (x) = dfrac {x} {2x + 1} $, $ g (x) = dfrac {2x + 1} {x} $

item $ f (x) = dfrac {2x} {x ^ 2-4} $, $ g (x) = sqrt {1-x} $

label {funccompexp1last}

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerar}

end {multicols}

quebra de página

Nos exercícios ref {threefunccompfirst} - ref {threefunccomplast}, use $ f (x) = -2x $, $ g (x) = sqrt {x} $ e $ h (x) = | x | $ para encontrar e simplificar expressões para as funções a seguir e declarar o domínio de cada uma usando a notação de intervalo.

begin {multicols} {3}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ (h circ g circ f) (x) $ label {threefunccompfirst}

item $ (h circ f circ g) (x) $

item $ (g circ f circ h) (x) $

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerar}

end {multicols}

begin {multicols} {3}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ (g circ h circ f) (x) $

item $ (f circ h circ g) (x) $

item $ (f circ g circ h) (x) $ label {threefunccomplast}

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerar}

end {multicols}

Nos Exercícios ref {breakdowncompexfirst} - ref {breakdownxomexlast}, escreva a função dada como uma composição de duas ou mais funções de não identidade. (Existem várias respostas corretas, portanto, verifique sua resposta usando a composição de funções.)

begin {multicols} {2}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ p (x) = (2x + 3) ^ 3 $ label {breakdowncompexfirst}

item $ P (x) = left (x ^ 2-x + 1 right) ^ 5 $

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerar}

end {multicols}

begin {multicols} {2}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ h (x) = sqrt {2x-1} $

item $ H (x) = | 7-3x | $

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerar}

end {multicols}

begin {multicols} {2}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ r (x) = dfrac {2} {5x + 1} $

item $ R (x) = dfrac {7} {x ^ 2-1} $

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerar}

end {multicols}

begin {multicols} {2}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ q (x) = dfrac {| x | +1} {| x | -1} $

item $ Q (x) = dfrac {2x ^ 3 + 1} {x ^ 3-1} $

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerar}

end {multicols}

begin {multicols} {2}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ v (x) = dfrac {2x + 1} {3-4x} $

item $ w (x) = dfrac {x ^ 2} {x ^ 4 + 1} $ label {breakdownxomexlast}

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerar}

end {multicols}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item Escreva a função $ F (x) = sqrt { dfrac {x ^ {3} + 6} {x ^ {3} - 9}} $ como uma composição de três ou mais funções de não identidade.

item Seja $ g (x) = -x, , h (x) = x + 2, , j (x) = 3x $ e $ k (x) = x - 4 $. Em que ordem essas funções devem ser compostas com $ f (x) = sqrt {x} $ para criar $ F (x) = 3 sqrt {-x + 2} - 4 $?

item Quais funções lineares podem ser usadas para transformar $ f (x) = x ^ {3} $ em $ F (x) = - frac {1} {2} (2x - 7) ^ {3} + 1 $ ? Qual é a ordem adequada de composição?

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerar}

Nos exercícios ref {pointcompexfirst} - ref {pointcompexlast}, seja $ f $ a função definida por [f = {(- 3, 4), (-2, 2), (-1, 0), (0, 1), (1, 3), (2, 4), (3, -1) } ] e seja $ g $ a função definida [g = {(- 3, -2) , (-2, 0), (-1, -4), (0, 0), (1, -3), (2, 1), (3, 2) } ]. Encontre o valor, se ele existir.

begin {multicols} {3}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ (f circ g) (3) $ label {pointcompexfirst}

item $ f (g (-1)) $

item $ (f circ f) (0) $

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerar}

end {multicols}

begin {multicols} {3}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ (f circ g) (- 3) $

item $ (g circ f) (3) $

item $ g (f (-3)) $

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerar}

end {multicols}

begin {multicols} {3}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ (g circ g) (- 2) $

item $ (g circ f) (- 2) $

item $ g (f (g (0))) $

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerar}

end {multicols}

begin {multicols} {3}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ f (f (f (-1))) $

item $ f (f (f (f (f (1)))))) $

item $ underbrace {(g circ g circ cdots circ g)} _ { mbox {$ n $ times}} (0) $ label {pointcompexlast}

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerar}

end {multicols}

%quebra de página

Nos exercícios ref {twofuncgraphcompfirst} - ref {twofuncgraphcomplast}, use os gráficos de $ y = f (x) $ e $ y = g (x) $ abaixo para encontrar o valor da função.

begin {center}

begin {tabular} {cc}

begin {mfpic} [20] {- 1} {5} {- 1} {5}

eixos

tlabel [cc] (5, -0,5) { scriptsize $ x $}

tlabel [cc] (0,5,5) { scriptsize $ y $}

xmarks {1,2,3,4}

ymarks {1,2,3,4}

tlpointsep {5pt}

scriptsize

axislabels {x} {{$ 1 $} 1, {$ 2 $} 2, {$ 3 $} 3, {$ 4 $} 4}

axislabels {y} {{$ 1 $} 1, {$ 2 $} 2, {$ 3 $} 3, {$ 4 $} 4}

polyline {(0,4), (1,2), (2,3), (3,3), (4,0)}

point [3pt] {(0,4), (1,2), (2,3), (3,3), (4,0)}

amanho normal

tcaption {$ y = f (x) $}

end {mfpic}

&

hspace {1in}

begin {mfpic} [20] {- 1} {5} {- 1} {5}

eixos

tlabel [cc] (5, -0,5) { scriptsize $ x $}

tlabel [cc] (0,5,5) { scriptsize $ y $}

xmarks {1,2,3,4}

ymarks {1,2,3,4}

tlpointsep {5pt}

scriptsize

axislabels {x} {{$ 1 $} 1, {$ 2 $} 2, {$ 3 $} 3, {$ 4 $} 4}

axislabels {y} {{$ 1 $} 1, {$ 2 $} 2, {$ 3 $} 3, {$ 4 $} 4}

polyline {(0,0), (1,3), (2,3), (3,0), (4,4)}

point [3pt] {(0,0), (1,3), (2,3), (3,0), (4,4)}

amanho normal

tcaption {$ y = g (x) $}

end {mfpic}

end {tabular}

end {center}

begin {multicols} {3}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ (g circ f) (1) $ label {twofuncgraphcompfirst}

item $ (f circ g) (3) $

item $ (g circ f) (2) $

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerar}

end {multicols}

begin {multicols} {3}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ (f circ g) (0) $

item $ (f circ f) (1) $

item $ (g circ g) (1) $ label {twofuncgraphcomplast}

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerar}

end {multicols}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item O volume $ V $ de um cubo é uma função de seu comprimento lateral $ x $. Vamos supor que $ x = t + 1 $ também é uma função do tempo $ t $, onde $ x $ é medido em polegadas e $ t $ é medido em minutos. Encontre uma fórmula para $ V $ em função de $ t $.

item Suponha que um vendedor local cobra $ $ 2 $ por cachorro-quente e que o número de cachorros-quentes vendidos por hora $ x $ é dado por $ x (t) = -4t ^ 2 + 20t + 92 $, onde $ t $ é o número de horas desde $ 10 $ AM, $ 0 leq t leq 4 $.

begin {enumerate}

item Encontre uma expressão para a receita por hora $ R $ em função de $ x $.

item Encontre e simplifique $ left (R circ x right) (t) $. O que isso representa?

item Qual é a receita por hora ao meio-dia?

end {enumerar}

item Discuta com seus colegas de classe como os processos do 'mundo real', como preencher formulários de imposto de renda federal ou calcular a nota final do curso, podem ser vistos como um uso de composição de funções. Encontre um processo para o qual a composição com ele mesmo (iteração) faça sentido.

end {enumerar}

ova página

subsection {Respostas}

begin {enumerate}

item Para $ f (x) = x ^ 2 $ e $ g (x) = 2x + 1 $,

begin {multicols} {3}

begin {itemize}

item $ (g circ f) (0) = 1 $

item $ (f circ g) (- 1) = 1 $

item $ (f circ f) (2) = 16 $

end {itemize}

end {multicols}

begin {multicols} {3}

begin {itemize}

item $ (g circ f) (- 3) = 19 $

item $ (f circ g) left ( frac {1} {2} right) = 4 $

item $ (f circ f) (- 2) = 16 $

end {itemize}

end {multicols}

item Para $ f (x) = 4-x $ e $ g (x) = 1-x ^ 2 $,

begin {multicols} {3}

begin {itemize}

item $ (g circ f) (0) = -15 $

item $ (f circ g) (- 1) = 4 $

item $ (f circ f) (2) = 2 $

end {itemize}

end {multicols}

begin {multicols} {3}

begin {itemize}

item $ (g circ f) (- 3) = -48 $

item $ (f circ g) left ( frac {1} {2} right) = frac {13} {4} $

item $ (f circ f) (- 2) = -2 $

end {itemize}

end {multicols}

item Para $ f (x) = 4-3x $ e $ g (x) = | x | $,

begin {multicols} {3}

begin {itemize}

item $ (g circ f) (0) = 4 $

item $ (f circ g) (- 1) = 1 $

item $ (f circ f) (2) = 10 $

end {itemize}

end {multicols}

begin {multicols} {3}

begin {itemize}

item $ (g circ f) (- 3) = 13 $

item $ (f circ g) left ( frac {1} {2} right) = frac {5} {2} $

item $ (f circ f) (- 2) = -26 $

end {itemize}

end {multicols}

item Para $ f (x) = | x-1 | $ e $ g (x) = x ^ 2-5 $,

begin {multicols} {3}

begin {itemize}

item $ (g circ f) (0) = -4 $

item $ (f circ g) (- 1) = 5 $

item $ (f circ f) (2) = 0 $

end {itemize}

end {multicols}

begin {multicols} {3}

begin {itemize}

item $ (g circ f) (- 3) = 11 $

item $ (f circ g) left ( frac {1} {2} right) = frac {23} {4} $

item $ (f circ f) (- 2) = 2 $

end {itemize}

end {multicols}

item Para $ f (x) = 4x + 5 $ e $ g (x) = sqrt {x} $,

begin {multicols} {3}

begin {itemize}

item $ (g circ f) (0) = sqrt {5} $

item $ (f circ g) (- 1) $ não é real

item $ (f circ f) (2) = 57 $

end {itemize}

end {multicols}

begin {multicols} {3}

begin {itemize}

item $ (g circ f) (- 3) $ não é real

item $ (f circ g) left ( frac {1} {2} right) = 5 + 2 sqrt {2} $

item $ (f circ f) (- 2) = -7 $

end {itemize}

end {multicols}

item Para $ f (x) = sqrt {3-x} $ e $ g (x) = x ^ 2 + 1 $,

begin {multicols} {3}

begin {itemize}

item $ (g circ f) (0) = 4 $

item $ (f circ g) (- 1) = 1 $

item $ (f circ f) (2) = sqrt {2} $

end {itemize}

end {multicols}

begin {multicols} {3}

begin {itemize}

item $ (g circ f) (- 3) = 7 $

item $ (f circ g) left ( frac {1} {2} right) = frac { sqrt {7}} {2} $

item $ (f circ f) (- 2) = sqrt {3 - sqrt {5}} $

end {itemize}

end {multicols}

quebra de página

item Para $ f (x) = 6-x-x ^ 2 $ e $ g (x) = x sqrt {x + 10} $,

begin {multicols} {3}

begin {itemize}

item $ (g circ f) (0) = 24 $

item $ (f circ g) (- 1) = 0 $

item $ (f circ f) (2) = 6 $

end {itemize}

end {multicols}

begin {multicols} {3}

begin {itemize}

item $ (g circ f) (- 3) = 0 $

item $ (f circ g) left ( frac {1} {2} right) = frac {27-2 sqrt {42}} {8} $

item $ (f circ f) (- 2) = -14 $

end {itemize}

end {multicols}

item Para $ f (x) = sqrt [3] {x + 1} $ e $ g (x) = 4x ^ 2-x $,

begin {multicols} {3}

begin {itemize}

item $ (g circ f) (0) = 3 $

item $ (f circ g) (- 1) = sqrt [3] {6} $

item $ (f circ f) (2) = sqrt [3] { sqrt [3] {3} +1} $

end {itemize}

end {multicols}

begin {multicols} {3}

begin {itemize}

item $ (g circ f) (- 3) = 4 sqrt [3] {4} + sqrt [3] {2} $

item $ (f circ g) left ( frac {1} {2} right) = frac { sqrt [3] {12}} {2} $

item $ (f circ f) (- 2) = 0 $

end {itemize}

end {multicols}

item Para $ f (x) = frac {3} {1-x} $ e $ g (x) = frac {4x} {x ^ 2 + 1} $,

begin {multicols} {3}

begin {itemize}

item $ (g circ f) (0) = frac {6} {5} $

item $ (f circ g) (- 1) = 1 $

item $ (f circ f) (2) = frac {3} {4} $

end {itemize}

end {multicols}

begin {multicols} {3}

begin {itemize}

item $ (g circ f) (- 3) = frac {48} {25} $

item $ (f circ g) left ( frac {1} {2} right) = -5 $

item $ (f circ f) (- 2) $ é indefinido

end {itemize}

end {multicols}

item Para $ f (x) = frac {x} {x + 5} $ e $ g (x) = frac {2} {7-x ^ 2} $,

begin {multicols} {3}

begin {itemize}

item $ (g circ f) (0) = frac {2} {7} $

item $ (f circ g) (- 1) = frac {1} {16} $

item $ (f circ f) (2) = frac {2} {37} $

end {itemize}

end {multicols}

begin {multicols} {3}

begin {itemize}

item $ (g circ f) (- 3) = frac {8} {19} $

item $ (f circ g) left ( frac {1} {2} right) = frac {8} {143} $

item $ (f circ f) (- 2) = - frac {2} {13} $

end {itemize}

end {multicols}

item Para $ f (x) = frac {2x} {5-x ^ 2} $ e $ g (x) = sqrt {4x + 1} $,

begin {multicols} {3}

begin {itemize}

item $ (g circ f) (0) = 1 $

item $ (f circ g) (- 1) $ não é real

item $ (f circ f) (2) = - frac {8} {11} $

end {itemize}

end {multicols}

begin {multicols} {3}

begin {itemize}

item $ (g circ f) (- 3) = sqrt {7} $

item $ (f circ g) left ( frac {1} {2} right) = sqrt {3} $

item $ (f circ f) (- 2) = frac {8} {11} $

end {itemize}

end {multicols}

item Para $ f (x) = sqrt {2x + 5} $ e $ g (x) = frac {10x} {x ^ 2 + 1} $,

begin {multicols} {3}

begin {itemize}

item $ (g circ f) (0) = frac {5 sqrt {5}} {3} $

item $ (f circ g) (- 1) $ não é real

item $ (f circ f) (2) = sqrt {11} $

end {itemize}

end {multicols}

begin {multicols} {3}

begin {itemize}

item $ (g circ f) (- 3) $ não é real

item $ (f circ g) left ( frac {1} {2} right) = sqrt {13} $

item $ (f circ f) (- 2) = sqrt {7} $

end {itemize}

end {multicols}

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerar}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item Para $ f (x) = 2x + 3 $ e $ g (x) = x ^ 2-9 $

begin {itemize}

item $ (g circ f) (x) = 4x ^ 2 + 12x $, domínio: $ (- infty, infty) $

item $ (f circ g) (x) = 2x ^ 2-15 $, domínio: $ (- infty, infty) $

item $ (f circ f) (x) = 4x + 9 $, domínio: $ (- infty, infty) $

end {itemize}

quebra de página

item Para $ f (x) = x ^ 2 -x + 1 $ e $ g (x) = 3x-5 $

begin {itemize}

item $ (g circ f) (x) = 3x ^ 2-3x-2 $, domínio: $ (- infty, infty) $

item $ (f circ g) (x) = 9x ^ 2-33x + 31 $, domínio: $ (- infty, infty) $

item $ (f circ f) (x) = x ^ 4-2x ^ 3 + 2x ^ 2-x + 1 $, domínio: $ (- infty, infty) $

end {itemize}

item Para $ f (x) = x ^ 2-4 $ e $ g (x) = | x | $

begin {itemize}

item $ (g circ f) (x) = | x ^ 2-4 | $, domínio: $ (- infty, infty) $

item $ (f circ g) (x) = | x | ^ 2-4 = x ^ 2-4 $, domínio: $ (- infty, infty) $

item $ (f circ f) (x) = x ^ 4-8x ^ 2 + 12 $, domínio: $ (- infty, infty) $

end {itemize}

item Para $ f (x) = 3x-5 $ e $ g (x) = sqrt {x} $

begin {itemize}

item $ (g circ f) (x) = sqrt {3x-5} $, domínio: $ left [ frac {5} {3}, infty right) $

item $ (f circ g) (x) = 3 sqrt {x} -5 $, domínio: $ [0, infty) $

item $ (f circ f) (x) = 9x-20 $, domínio: $ (- infty, infty) $

end {itemize}

item Para $ f (x) = | x + 1 | $ e $ g (x) = sqrt {x} $

begin {itemize}

item $ (g circ f) (x) = sqrt {| x + 1 |} $, domínio: $ (- infty, infty) $

item $ (f circ g) (x) = | sqrt {x} +1 | = sqrt {x} + 1 $, domínio: $ [0, infty) $

item $ (f circ f) (x) = || x + 1 | +1 | = | x + 1 | + 1 $, domínio: $ (- infty, infty) $

end {itemize}

item Para $ f (x) = 3-x ^ 2 $ e $ g (x) = sqrt {x + 1} $

begin {itemize}

item $ (g circ f) (x) = sqrt {4-x ^ 2} $, domínio: $ [- 2,2] $

item $ (f circ g) (x) = 2-x $, domínio: $ [- 1, infty) $

item $ (f circ f) (x) = -x ^ 4 + 6x ^ 2-6 $, domínio: $ (- infty, infty) $

end {itemize}

item Para $ f (x) = | x | $ e $ g (x) = sqrt {4-x} $

begin {itemize}

item $ (g circ f) (x) = sqrt {4- | x |} $, domínio: $ [- 4,4] $

item $ (f circ g) (x) = | sqrt {4-x} | = sqrt {4-x} $, domínio: $ (- infty, 4] $

item $ (f circ f) (x) = | | x | | = | x | $, domínio: $ (- infty, infty) $

end {itemize}

quebra de página

item Para $ f (x) = x ^ 2-x-1 $ e $ g (x) = sqrt {x-5} $

begin {itemize}

item $ (g circ f) (x) = sqrt {x ^ 2-x-6} $, domínio: $ (- infty, -2] cup [3, infty) $

item $ (f circ g) (x) = x-6- sqrt {x-5} $, domínio: $ [5, infty) $

item $ (f circ f) (x) = x ^ 4-2x ^ 3-2x ^ 2 + 3x + 1 $, domínio: $ (- infty, infty) $

end {itemize}

item Para $ f (x) = 3x-1 $ e $ g (x) = frac {1} {x + 3} $

begin {itemize}

item $ (g circ f) (x) = frac {1} {3x + 2} $, domínio: $ left (- infty, - frac {2} {3} right) cup esquerda (- frac {2} {3}, infty direita) $

item $ (f circ g) (x) = - frac {x} {x + 3} $, domínio: $ left (- infty, -3 right) cup left (-3, infty right) $

item $ (f circ f) (x) = 9x-4 $, domínio: $ (- infty, infty) $

end {itemize}

item Para $ f (x) = frac {3x} {x-1} $ e $ g (x) = frac {x} {x-3} $

begin {itemize}

item $ (g circ f) (x) = x $, domínio: $ left (- infty, 1 right) cup (1, infty) $

item $ (f circ g) (x) = x $, domínio: $ left (- infty, 3 right) cup (3, infty) $

item $ (f circ f) (x) = frac {9x} {2x + 1} $, domínio: $ left (- infty, - frac {1} {2} right) cup esquerda (- frac {1} {2}, 1 direita) xícara esquerda (1, infty direita) $

end {itemize}

item Para $ f (x) = frac {x} {2x + 1} $ e $ g (x) = frac {2x + 1} {x} $

begin {itemize}

item $ (g circ f) (x) = frac {4x + 1} {x} $, domínio: $ left (- infty, - frac {1} {2} right) cup left (- frac {1} {2}, 0), cup (0, infty right) $

item $ (f circ g) (x) = frac {2x + 1} {5x + 2} $, domínio: $ left (- infty, - frac {2} {5} right) xícara left (- frac {2} {5}, 0 right) xícara (0, infty) $

item $ (f circ f) (x) = frac {x} {4x + 1} $, domínio: $ left (- infty, - frac {1} {2} right) cup left (- frac {1} {2}, - frac {1} {4} right) cup left (- frac {1} {4}, infty right) $

end {itemize}

item Para $ f (x) = frac {2x} {x ^ 2-4} $ e $ g (x) = sqrt {1-x} $

begin {itemize}

item $ (g circ f) (x) = sqrt { frac {x ^ 2-2x-4} {x ^ 2-4}} $, domínio: $ left (- infty, -2 direita) cup left [1- sqrt {5}, 2 right) cup left [1+ sqrt {5}, infty right) $

item $ (f circ g) (x) = - frac {2 sqrt {1-x}} {x + 3} $, domínio: $ left (- infty, -3 right) cup left (-3, 1 right] $

item $ (f circ f) (x) = frac {4x-x ^ 3} {x ^ 4-9x ^ 2 + 16} $, domínio: $ left (- infty, - frac {1 + sqrt {17}} {2} right) cup left (- frac {1+ sqrt {17}} {2}, -2 right) cup left (-2, frac { 1- sqrt {17}} {2} right) cup left ( frac {1- sqrt {17}} {2}, frac {-1+ sqrt {17}} {2} direita) cup left ( frac {-1+ sqrt {17}} {2}, 2 right) cup left (2, frac {1+ sqrt {17}} {2} right ) cup left ( frac {1+ sqrt {17}} {2}, infty right) $

end {itemize}

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerar}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ (h circ g circ f) (x) = | sqrt {-2x} | = sqrt {-2x} $, domínio: $ (- infty, 0] $

item $ (h circ f circ g) (x) = | -2 sqrt {x} | = 2 sqrt {x} $, domínio: $ [0, infty) $

item $ (g circ f circ h) (x) = sqrt {-2 | x |} $, domínio: $ {0 } $

item $ (g circ h circ f) (x) = sqrt {| -2x |} = sqrt {2 | x |} $, domínio: $ (- infty, infty) $

item $ (f circ h circ g) (x) = -2 | sqrt {x} | = -2 sqrt {x} $, domínio: $ [0, infty) $

item $ (f circ g circ h) (x) = -2 sqrt {| x |} $,, domínio: $ (- infty, infty) $

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerar}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item Seja $ f (x) = 2x + 3 $ e $ g (x) = x ^ 3 $, então $ p (x) = (g circ f) (x) $.

item Seja $ f (x) = x ^ 2-x + 1 $ e $ g (x) = x ^ 5 $, $ P (x) = (g circ f) (x) $.

item Seja $ f (x) = 2x-1 $ e $ g (x) = sqrt {x} $, então $ h (x) = (g circ f) (x) $.

item Seja $ f (x) = 7-3x $ e $ g (x) = | x | $, então $ H (x) = (g circ f) (x) $.

item Seja $ f (x) = 5x + 1 $ e $ g (x) = frac {2} {x} $, então $ r (x) = (g circ f) (x) $.

item Seja $ f (x) = x ^ 2-1 $ e $ g (x) = frac {7} {x} $, então $ R (x) = (g circ f) (x) $.

item Seja $ f (x) = | x | $ e $ g (x) = frac {x + 1} {x-1} $, então $ q (x) = (g circ f) (x) $.

item Seja $ f (x) = x ^ 3 $ e $ g (x) = frac {2x + 1} {x-1} $, então $ Q (x) = (g circ f) (x) $.

item Seja $ f (x) = 2x $ e $ g (x) = frac {x + 1} {3-2x} $, então $ v (x) = (g circ f) (x) $.

item Seja $ f (x) = x ^ 2 $ e $ g (x) = frac {x} {x ^ 2 + 1} $, então $ w (x) = (g circ f) (x) $.

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerar}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ F (x) = sqrt { frac {x ^ {3} + 6} {x ^ {3} - 9}} = (h (g (f (x))) $ onde $ f (x ) = x ^ {3}, , g (x) = frac {x + 6} {x - 9} $ e $ h (x) = sqrt {x} $.

item $ F (x) = 3 sqrt {-x + 2} - 4 = k (j (f (h (g (x))))) $

item Uma solução possível é $ F (x) = - frac {1} {2} (2x - 7) ^ {3} + 1 = k (j (f (h (g (x)))))) $ onde $ g (x) = 2x, , h (x) = x - 7, , j (x) = - frac {1} {2} x $ e $ k (x) = x + 1 $. Você também pode ter $ F (x) = H (f (G (x))) $ onde $ G (x) = 2x - 7 $ e $ H (x) = - frac {1} {2} x + 1 $.

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerar}

begin {multicols} {2}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ (f circ g) (3) = f (g (3)) = f (2) = 4 $

item $ f (g (-1)) = f (-4) $ que é indefinido

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerar}

end {multicols}

begin {multicols} {2}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ (f circ f) (0) = f (f (0)) = f (1) = 3 $

item $ (f circ g) (- 3) = f (g (-3)) = f (-2) = 2 $

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerar}

end {multicols}

begin {multicols} {2}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ (g circ f) (3) = g (f (3)) = g (-1) = -4 $

item $ g (f (-3)) = g (4) $ que é indefinido

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerar}

end {multicols}

begin {multicols} {2}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ (g circ g) (- 2) = g (g (-2)) = g (0) = 0 $

item $ (g circ f) (- 2) = g (f (-2)) = g (2) = 1 $

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerar}

end {multicols}

begin {multicols} {2}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ g (f (g (0))) = g (f (0)) = g (1) = -3 $

item $ f (f (f (-1))) = f (f (0)) = f (1) = 3 $

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerar}

end {multicols}

begin {multicols} {2}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ f (f (f (f (f (1))))) = f (f (f (f (3))))) = f (f (f (-1))) = f ( f (0)) = f (1) = 3 $

item $ underbrace {(g circ g circ cdots circ g)} _ { mbox {$ n $ times}} (0) = 0 $

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerar}

end {multicols}

quebra de página

begin {multicols} {3}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ (g circ f) (1) = 3 $

item $ (f circ g) (3) = 4 $

item $ (g circ f) (2) = 0 $

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerar}

end {multicols}

begin {multicols} {3}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ (f circ g) (0) = 4 $

item $ (f circ f) (1) = 3 $

item $ (g circ g) (1) = 0 $

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerar}

end {multicols}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ V (x) = x ^ {3} $ então $ V (x (t)) = (t + 1) ^ {3} $

item begin {enumerar}

item $ R (x) = 2x $

item $ left (R circ x right) (t) = -8t ^ 2 + 40t + 184 $, $ 0 leq t leq 4 $. Isso dá a receita por hora em função do tempo.

item Meio-dia corresponde a $ t = 2 $, então $ left (R circ x right) (2) = 232 $. A receita por hora ao meio-dia é de $ $ 232 $ por hora.

end {enumerar}

end {enumerar}

closegraphsfile

5.2: Funções Inversas

subsection {Exercícios}

Nos exercícios ref {inversehwfirst} - ref {inversehwlast}, mostre que a função dada é um-para-um e encontre seu inverso. Verifique suas respostas algebricamente e graficamente. Verifique se o intervalo de $ f $ é o domínio de $ f ^ {- 1} $ e vice-versa.

begin {multicols} {2}

begin {enumerate}

item $ f (x) = 6x - 2 $ label {inversehwfirst}

item $ f (x) = 42-x $

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerar}

end {multicols}

begin {multicols} {2}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ f (x) = dfrac {x-2} {3} + 4 $

item $ f (x) = 1 - dfrac {4 + 3x} {5} $

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerar}

end {multicols}

begin {multicols} {2}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ f (x) = sqrt {3x-1} + 5 $

item $ f (x) = 2- sqrt {x - 5} $

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerar}

end {multicols}

begin {multicols} {2}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ f (x) = 3 sqrt {x-1} -4 $

item $ f (x) = 1 - 2 sqrt {2x + 5} $

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerar}

end {multicols}

begin {multicols} {2}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ f (x) = sqrt [5] {3x-1} $

item $ f (x) = 3- sqrt [3] {x-2} $

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerar}

end {multicols}

begin {multicols} {2}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ f (x) = x ^ 2 - 10x $, $ x geq 5 $

item $ f (x) = 3 (x + 4) ^ {2} - 5, ; x leq -4 $

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerar}

end {multicols}

begin {multicols} {2}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ f (x) = x ^ 2-6x + 5, ; x leq 3 $

item $ f (x) = 4x ^ 2 + 4x + 1 $, $ x <-1 $

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerar}

end {multicols}

begin {multicols} {2}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ f (x) = dfrac {3} {4-x} $

item $ f (x) = dfrac {x} {1-3x} $

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerar}

end {multicols}

begin {multicols} {2}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ f (x) = dfrac {2x-1} {3x + 4} $

item $ f (x) = dfrac {4x + 2} {3x - 6} $

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerar}

end {multicols}

begin {multicols} {2}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ f (x) = dfrac {-3x - 2} {x + 3} $

item $ f (x) = dfrac {x-2} {2x-1} $ label {inversehwlast}

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerar}

end {multicols}

Com a ajuda de seus colegas de classe, encontre as inversas das funções nos Exercícios ref {genericinversefirst} - ref {genericinverselast}.

begin {multicols} {2}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ f (x) = ax + b, ; a neq 0 $ label {genericinversefirst}

item $ f (x) = a sqrt {x - h} + k, ; a neq 0, x geq h $

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerar}

end {multicols}

begin {multicols} {2}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ f (x) = ax ^ {2} + bx + c $ onde $ a neq 0, , x geq - dfrac {b} {2a} $.

item $ f (x) = dfrac {ax + b} {cx + d}, ; $ (Veja o exercício ref {quais as condições} abaixo.) label {genericinverselast}

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerar}

end {multicols}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item No Exemplo ref {costrevenueprofitex1}, o preço de um reprodutor de mídia dOpi, em dólares por dOpi, é dado em função das vendas semanais $ x $ de acordo com a fórmula $ p (x) = 450-15x $ para $ 0 leq x leq 30 $.

begin {enumerate}

item Encontre $ p ^ {- 1} (x) $ e indique seu domínio.

item Encontre e interprete $ p ^ {- 1} (105) $.

item No Exemplo ref {costrevenueprofitex1}, determinamos que o lucro (em dólares) obtido com a produção e venda de $ x $ dOpis por semana é $ P (x) = -15x ^ 2 + 350x-2000 $, por $ 0 leq x leq 30 $. Encontre $ left (P circ p ^ {- 1} right) (x) $ e determine qual preço por dOpi produziria o lucro máximo. Qual é o lucro máximo? Quantos dOpis precisam ser produzidos e vendidos para atingir o lucro máximo?

end {enumerar}

item Mostra que a função de conversão de Fahrenheit para Celsius encontrada no Exercício ref {celsiustofahr} na Seção ref {LinearFunctions} é invertível e que seu inverso é a função de conversão de Celsius para Fahrenheit.

item Mostre analiticamente que a função $ f (x) = x ^ 3 + 3x + 1 $ é um-para-um. Visto que encontrar uma fórmula para seu inverso está além do escopo deste livro, use o Teorema ref {inversefunctionprops} para ajudá-lo a calcular $ f ^ {- 1} (1), ; f ^ {- 1} (5), ; $ e $ f ^ {- 1} (- 3) $.

item Seja $ f (x) = frac {2x} {x ^ 2-1} $. Usando as técnicas da Seção ref {RationalGraphs}, represente graficamente $ y = f (x) $. Verifique se $ f $ é um para um no intervalo $ (- 1,1) $. Use o procedimento descrito em Page pageref {inverseprocedure} e em sua calculadora gráfica para encontrar a fórmula para $ f ^ {- 1} (x) $. Observe que, como $ f (0) = 0 $, deve ser o caso de $ f ^ {- 1} (0) = 0 $. O que dá errado quando você tenta substituir $ x = 0 $ em $ f ^ {- 1} (x) $? Discuta com seus colegas como esse problema surgiu e as soluções possíveis.

item Com a ajuda de seus colegas, explique por que uma função que está estritamente aumentando ou diminuindo estritamente em todo o seu domínio teria que ser um-para-um, portanto, invertível.

item Se $ f $ é ímpar e invertível, prove que $ f ^ {- 1} $ também é ímpar.

item label {fcircginverse} Sejam $ f $ e $ g $ funções invertíveis. Com a ajuda de seus colegas de classe, mostre que $ (f circ g) $ é um para um, portanto invertível, e que $ (f circ g) ^ {- 1} (x) = (g ^ {- 1 } circ f ^ {- 1}) (x) $.

item Que característica gráfica uma função $ f $ deve possuir para ser seu próprio inverso?

item label {whatconditions} Quais condições você deve colocar nos valores de $ a, b, c $ e $ d $ no Exercício ref {genericinverselast} para garantir que a função é invertível?

end {enumerar}

ova página

subsection {Respostas}

begin {multicols} {2}

begin {enumerate}

item $ f ^ {- 1} (x) = dfrac {x + 2} {6} $

item $ f ^ {- 1} (x) = 42-x $

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerar}

end {multicols}

begin {multicols} {2}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ f ^ {- 1} (x) = 3x-10 $

item $ f ^ {- 1} (x) = - frac {5} {3} x + frac {1} {3} $

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerar}

end {multicols}

begin {multicols} {2}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ f ^ {- 1} (x) = frac {1} {3} (x-5) ^ 2 + frac {1} {3} $, $ x geq 5 $

item $ f ^ {- 1} (x) = (x - 2) ^ {2} + 5, ; x leq 2 $

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerar}

end {multicols}

begin {multicols} {2}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ f ^ {- 1} (x) = frac {1} {9} (x + 4) ^ 2 + 1 $, $ x geq -4 $

item $ f ^ {- 1} (x) = frac {1} {8} (x-1) ^ 2- frac {5} {2} $, $ x leq 1 $

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerar}

end {multicols}

begin {multicols} {2}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ f ^ {- 1} (x) = frac {1} {3} x ^ {5} + frac {1} {3} $

item $ f ^ {- 1} (x) = - (x-3) ^ 3 + 2 $

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerar}

end {multicols}

begin {multicols} {2}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ f ^ {- 1} (x) = 5 + sqrt {x + 25} $

item $ f ^ {- 1} (x) = - sqrt { frac {x + 5} {3}} - 4 $

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerar}

end {multicols}

begin {multicols} {2}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ f ^ {- 1} (x) = 3 - sqrt {x + 4} $

item $ f ^ {- 1} (x) = - frac { sqrt {x} +1} {2} $, $ x> 1 $

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerar}

end {multicols}

begin {multicols} {2}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ f ^ {- 1} (x) = dfrac {4x-3} {x} $

item $ f ^ {- 1} (x) = dfrac {x} {3x + 1} $

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerar}

end {multicols}

begin {multicols} {2}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ f ^ {- 1} (x) = dfrac {4x + 1} {2-3x} $

item $ f ^ {- 1} (x) = dfrac {6x + 2} {3x - 4} $

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerar}

end {multicols}

begin {multicols} {2}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ f ^ {- 1} (x) = dfrac {-3x - 2} {x + 3} $

item $ f ^ {- 1} (x) = dfrac {x-2} {2x-1} $

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerar}

end {multicols}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

addtocounter {enumi} {4}

item

begin {enumerate}

item $ p ^ {- 1} (x) = frac {450-x} {15} $. O domínio de $ p ^ {- 1} $ está na faixa de $ p $, que é $ [0,450] $

item $ p ^ {- 1} (105) = 23 $. Isso significa que se o preço for definido como $ $ 105 $, então $ 23 $ dOpis serão vendidos.

item $ left (P circ p ^ {- 1} right) (x) = - frac {1} {15} x ^ 2 + frac {110} {3} x - 5000 $, $ 0 leq x leq 450 $. O gráfico de $ y = left (P circ p ^ {- 1} right) (x) $ é uma parábola abrindo para baixo com o vértice $ left (275, frac {125} {3} right) aproximadamente (275, 41,67) $. Isso significa que o lucro máximo é de $ $ 41,67 $ quando o preço por dOpi é definido como $ $ 275 $. A este preço, podemos produzir e vender $ p ^ {- 1} (275) = 11. overline {6} $ dOpis. Como não podemos vender parte de um sistema, precisamos ajustar o preço para vender $ 11 $ dOpis ou $ 12 $ dOpis. Encontramos $ p (11) = 285 $ e $ p (12) = 270 $, o que significa que definimos o preço por dOpi em $ $ 285 $ ou $ $ 270 $, respectivamente. Os lucros a esses preços são $ left (P circ p ^ {- 1} right) (285) = 35 $ e $ left (P circ p ^ {- 1} right) (270) = 40 $, então parece que o lucro máximo é $ $ 40 $ e é obtido pela produção e venda de $ 12 $ dOpis por semana a um preço de $ $ 270 $ por dOpi.

end {enumerar}

addtocounter {enumi} {1}

item Dado que $ f (0) = 1 $, temos $ f ^ {- 1} (1) = 0 $. Da mesma forma $ f ^ {- 1} (5) = 1 $ e $ f ^ {- 1} (- 3) = -1 $

end {enumerar}

closegraphsfile

5.3: Outras funções algébricas

subsection {Exercícios}

Para cada função nos Exercícios ref {algfcngraphexfirst} - ref {algfcngraphexlast} abaixo

begin {itemize}

item Encontre seu domínio.

item Crie um diagrama de sinais.

item Use sua calculadora para ajudá-lo a esboçar seu gráfico e identificar quaisquer assíntotas verticais ou horizontais, 'inclinações incomuns' ou cúspides.

end {itemize}

begin {multicols} {2}

begin {enumerate}

item $ f (x) = sqrt {1 - x ^ {2}} $ label {algfcngraphexfirst}

item $ f (x) = sqrt {x ^ 2-1} $

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerar}

end {multicols}

begin {multicols} {2}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ f (x) = x sqrt {1-x ^ 2} $

item $ f (x) = x sqrt {x ^ 2-1} $

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerar}

end {multicols}

begin {multicols} {2}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ f (x) = sqrt [4] { dfrac {16x} {x ^ {2} - 9}} $

item $ f (x) = dfrac {5x} { sqrt [3] {x ^ {3} + 8}} $

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerar}

end {multicols}

begin {multicols} {2}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ f (x) = x ^ { frac {2} {3}} (x - 7) ^ { frac {1} {3}} $

item $ f (x) = x ^ { frac {3} {2}} (x - 7) ^ { frac {1} {3}} $

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerar}

end {multicols}

begin {multicols} {2}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ f (x) = sqrt {x (x + 5) (x - 4)} $

item $ f (x) = sqrt [3] {x ^ {3} + 3x ^ {2} - 6x - 8} $ label {algfcngraphexlast}

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerar}

end {multicols}

Nos exercícios ref {radicalgraphexfirst} - ref {radicalgraphexlast}, esboce o gráfico de $ y = g (x) $ começando com o gráfico de $ y = f (x) $ e usando as transformações apresentadas na Seção ref { Transformações}.

begin {multicols} {2}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ f (x) = sqrt [3] {x} $, $ g (x) = sqrt [3] {x-1} -2 $ label {radicalgraphexfirst}

item $ f (x) = sqrt [3] {x} $, $ g (x) = -2 sqrt [3] {x + 1} + 4 $

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerar}

end {multicols}

begin {multicols} {2}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ f (x) = sqrt [4] {x} $, $ g (x) = sqrt [4] {x-1} -2 $

item $ f (x) = sqrt [4] {x} $, $ g (x) = 3 sqrt [4] {x - 7} - 1 $

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerar}

end {multicols}

begin {multicols} {2}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ f (x) = sqrt [5] {x} $, $ g (x) = sqrt [5] {x + 2} + 3 $

item $ f (x) = sqrt [8] {x} $, $ g (x) = sqrt [8] {- x} - 2 $ label {radicalgraphexlast}

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerar}

end {multicols}

phantomsection

label {furtherequineqexercises}

Nos exercícios ref {algineqexfirst} - ref {algineqexlast}, resolva a equação ou desigualdade.

begin {multicols} {2}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ x + 1 = sqrt {3x + 7} $ label {algineqexfirst}

item $ 2x + 1 = sqrt {3-3x} $

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerar}

end {multicols}

begin {multicols} {2}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ x + sqrt {3x + 10} = -2 $

item $ 3x + sqrt {6-9x} = 2 $

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerar}

end {multicols}

begin {multicols} {2}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ 2x - 1 = sqrt {x + 3} $

item $ x ^ { frac {3} {2}} = 8 $

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerar}

end {multicols}

begin {multicols} {2}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ x ^ { frac {2} {3}} = 4 $

item $ sqrt {x - 2} + sqrt {x - 5} = 3 $

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerar}

end {multicols}

begin {multicols} {2}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ sqrt {2x + 1} = 3 + sqrt {4-x} $

item $ 5 - (4-2x) ^ { frac {2} {3}} = 1 $

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerar}

end {multicols}

begin {multicols} {2}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ 10- sqrt {x-2} leq 11 $

item $ sqrt [3] {x} leq x $

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerar}

end {multicols}

begin {multicols} {2}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ 2 (x-2) ^ {- frac {1} {3}} - frac {2} {3} x (x-2) ^ {- frac {4} {3}} leq 0 $

item $ - frac {4} {3} (x-2) ^ {- frac {4} {3}} + frac {8} {9} x (x-2) ^ {- frac { 7} {3}} geq 0 $

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerar}

end {multicols}

begin {multicols} {2}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ 2x ^ {- frac {1} {3}} (x-3) ^ { frac {1} {3}} + x ^ { frac {2} {3}} (x-3) ^ {- frac {2} {3}} geq 0 $

item $ sqrt [3] {x ^ {3} + 3x ^ {2} - 6x - 8}> x + 1 $

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerar}

end {multicols}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ frac {1} {3} x ^ { frac {3} {4}} (x - 3) ^ {- frac {2} {3}} + frac {3} {4} x ^ {- frac {1} {4}} (x - 3) ^ { frac {1} {3}} <0 $

item $ x ^ {- frac {1} {3}} (x-3) ^ {- frac {2} {3}} - x ^ {- frac {4} {3}} (x- 3) ^ {- frac {5} {3}} (x ^ 2-3x + 2) geq 0 $

item $ frac {2} {3} (x + 4) ^ { frac {3} {5}} (x - 2) ^ {- frac {1} {3}} + frac {3} {5} (x + 4) ^ {- frac {2} {5}} (x - 2) ^ { frac {2} {3}} geq 0 $ label {algineqexlast}

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerar}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item Exemplo de retrabalho ref {SasquatchCable} para que o posto avançado esteja a 10 milhas da Rota 117 e a caixa de junção mais próxima esteja a 30 milhas da estrada para o posto.

item O volume $ V $ de um cone cilíndrico direito depende do raio de sua base $ r $ e de sua altura $ h $ e é dado pela fórmula $ V = frac {1} {3} pi r ^ 2 h $. A área de superfície $ S $ de um cone cilíndrico direito também depende de $ r $ e $ h $ de acordo com a fórmula $ S = pi r sqrt {r ^ 2 + h ^ 2} $. Suponha que um cone tenha um volume de 100 centímetros cúbicos.

begin {enumerate}

item label {heightintermsofr} Use a fórmula do volume para encontrar a altura $ h $ em função de $ r $.

item Use a fórmula para área de superfície e sua resposta para ref {heightintermsofr} para encontrar a área de superfície $ S $ como uma função de $ r $.

item Use sua calculadora para encontrar os valores de $ r $ e $ h $ que minimizam a área da superfície. Qual é a área de superfície mínima? Arredonde suas respostas para duas casas decimais.

end {enumerar}

item label {WindChillTemperature} O href {www.nws.noaa.gov/om/windchill ... rline {Serviço Meteorológico Nacional}} usa a seguinte fórmula para calcular a sensação térmica: [W = 35,74 + 0,6215 , T_ {a} - 35,75 , V ^ {0,16} + 0,4275 , T_ {a} , V ^ {0,16} ] onde $ W $ é a temperatura da sensação térmica em $ ^ { circ} $ F, $ T_ {a} $ é a temperatura do ar em $ ^ { circ} $ F, e $ V $ é a velocidade do vento em milhas por hora. Observe que $ W $ é definido apenas para temperaturas do ar iguais ou inferiores a $ 50 ^ { circ} $ F e velocidades do vento acima de $ 3 $ milhas por hora.

begin {enumerate}

item Suponha que a temperatura do ar seja $ 42 ^ { circ} $ e a velocidade do vento seja $ 7 $ milhas por hora. Encontre a temperatura da sensação térmica. Arredonde sua resposta para duas casas decimais.

item Suponha que a temperatura do ar seja $ 37 ^ { circ} $ F e a temperatura da sensação térmica seja $ 30 ^ { circ} $ F. Encontre a velocidade do vento. Arredonde sua resposta para duas casas decimais.

end {enumerar}

item Como seguimento do Exercício ref {WindChillTemperature}, suponha que a temperatura do ar seja $ 28 ^ { circ} $ F.

begin {enumerate}

item Use a fórmula do Exercício ref {WindChillTemperature} para encontrar uma expressão para a temperatura da sensação térmica em função da velocidade do vento, $ W (V) $.

item label {WindChill0} Resolva $ W (V) = 0 $, arredonde sua resposta para duas casas decimais e interprete.

item Represente graficamente a função $ W $ usando sua calculadora e verifique sua resposta à parte ref {WindChill0}.

end {enumerar}

item label {pendulumproblem} O período de um pêndulo em segundos é dado por [T = 2 pi sqrt { dfrac {L} {g}} ] (para pequenos deslocamentos) onde $ L $ é o comprimento do pêndulo em metros e $ g = 9,8 $ metros por segundo por segundo é a aceleração da gravidade. Meu relógio antigo de escola Seth-Thomas precisa de $ T = frac {1} {2} $ segundos e posso ajustar o comprimento do pêndulo por meio de um pequeno mostrador na parte inferior do pêndulo. Com que comprimento devo definir o pêndulo?

item O modelo de produção Cobb-Douglas afirma que o valor anual total em dólar da produção $ P $ em uma economia é uma função do trabalho $ x $ (o número total de horas trabalhadas em um ano) e do capital $ y $ ( o valor total em dólares de todas as coisas compradas para fazer as coisas). Especificamente, $ P = ax ^ {b} y ^ {1 - b} $. Fixando $ P $, criamos o que é conhecido como `isoquanta 'e podemos resolver $ y $ como uma função de $ x $. Vamos supor que o modelo de produção da Cobb-Douglas para o país de Sasquatchia seja $ P = 1,23x ^ {0,4} y ^ {0,6} $.

begin {enumerate}

item Seja $ P = 300 $ e resolva para $ y $ em termos de $ x $. Se $ x = 100 $, o que é $ y $?

item Represente graficamente a isoquanta $ 300 = 1,23x ^ {0,4} y ^ {0,6} $. Que informação um par ordenado $ (x, y) $ que faz $ P = 300 $ lhe dá? Com a ajuda de seus colegas de classe, encontre várias combinações diferentes de trabalho e capital, todas gerando $ P = 300 $. Discuta quaisquer padrões que você possa ver.

end {enumerar}

item De acordo com a Teoria da Relatividade Especial de Einstein, a massa observada $ m $ de um objeto é uma função de quão rápido o objeto está viajando. Especificamente, [m (x) = dfrac {m_ {r}} { sqrt {1 - dfrac {x ^ {2}} {c ^ {2}}}} ] onde $ m (0) = m_ {r} $ é a massa do objeto em repouso, $ x $ é a velocidade do objeto e $ c $ é a velocidade da luz.

begin {enumerate}

item Encontre o domínio aplicado da função.

item Calcule $ m (.1c), , m (.5c), , m (.9c) $ e $ m (.999c) $.

item Como $ x rightarrow c ^ {-} $, o que acontece com $ m (x) $?

item Quão lentamente o objeto deve estar viajando para que a massa observada não seja maior que 100 vezes sua massa em repouso?

end {enumerar}

item Encontre o inverso de $ k (x) = dfrac {2x} { sqrt {x ^ {2} - 1}} $.

quebra de página

item label {askuitfurther} Suponha que Fritzy the Fox, posicionado em um ponto $ (x, y) $ no primeiro quadrante, localize Chewbacca the Bunny em $ (0,0) $. Chewbacca começa a correr ao longo de uma cerca (o eixo $ y $ positivo) em direção ao seu warren. Fritzy, é claro, sai em perseguição e constantemente ajusta sua direção para que esteja sempre correndo diretamente para Chewbacca. Se a velocidade de Chewbacca for $ v _ { mbox { tiny $ 1 $}} $ e a velocidade de Fritzy for $ v _ { mbox { tiny $ 2 $}} $, o caminho que Fritzy seguirá para interceptar Chewbacca, fornecido $ v _ { mbox { tiny $ 2 $}} $ é diretamente proporcional, mas não igual a, $ v _ { mbox { tiny $ 1 $}} $ é modelado por

[y = dfrac {1} {2} left ( dfrac {x ^ {1+ v_ {1} / v_ {2}}} {1 + v _ { mbox { tiny $ 1 $}} / v_ { mbox { tiny $ 2 $}}} - dfrac {x ^ {1-v _ { mbox { tiny $ 1 $}} / v _ { mbox { tiny $ 2 $}}}} {1-v_ { mbox { tiny $ 1 $}} / v _ { mbox { tiny $ 2 $}}} right) + dfrac {v _ { mbox { tiny $ 1 $}} v _ { mbox { tiny $ 2 $} }} {v _ { mbox { tiny $ 2 $}} ^ 2-v _ { mbox { tiny $ 1 $}} ^ 2} ]

begin {enumerate}

item Determine o caminho que Fritzy tomará se ele correr exatamente duas vezes mais rápido que Chewbacca; ou seja, $ v _ { mbox { tiny $ 2 $}} = 2v _ { mbox { tiny $ 1 $}} $. Use sua calculadora para representar graficamente este caminho para $ x geq 0 $. Qual é o significado do intercepto $ y $ do gráfico?

item Determine o caminho que Fritzy tomará se Chewbacca correr exatamente duas vezes mais rápido do que ele; ou seja, $ v _ { mbox { tiny $ 1 $}} = 2v _ { mbox { tiny $ 2 $}} $. Use sua calculadora para representar graficamente este caminho para $ x> 0 $. Descreva o comportamento de $ y $ como $ x rightarrow 0 ^ {+} $ e interprete isso fisicamente.

item Com a ajuda de seus colegas de classe, generalize as partes (a) e (b) para dois casos: $ v _ { mbox { tiny $ 2 $}}> v _ { mbox { tiny $ 1 $}} $ e $ v_ { mbox { tiny $ 2 $}}

end {enumerar}

item Verifique a Regra do Quociente para Radicais no Teorema ref {radicalprops}.

item Mostre que $ left (x ^ { frac {3} {2}} right) ^ { frac {2} {3}} = x $ para todos $ x geq 0 $.

item Mostre que $ sqrt [3] {2} $ é um número irracional mostrando primeiro que é um zero de $ p (x) = x ^ {3} - 2 $ e então mostrando $ p $ não tem racional zeros. (Você precisará do Teorema dos Zeros Racionais, Teorema ref {RZT}, para mostrar esta última parte.) Label {nthrootsareirrational}

item Com a ajuda de seus colegas, generalize o Exercício ref {nthrootsareirrational} para mostrar que $ sqrt [n] {c} $ é um número irracional para quaisquer números naturais $ c geq 2 $ e $ n geq 2 $ desde que $ c neq p ^ {n} $ para algum número natural $ p $.

end {enumerar}

ova página

subsection {Respostas}

begin {enumerate}

item begin {multicols} {2}

$ f (x) = sqrt {1 - x ^ 2} $

Domínio: $ [- 1, 1] $

begin {mfpic} [20] [10] {0} {4} {- 1,5} {1,5}

polyline {(0,0), (4,0)}

xmarks {0,4}

tlabel [cc] (0, -1) {$ - 1 hspace {7pt} $}

tlabel [cc] (2,1) {$ (+) $}

tlabel [cc] (0,1) {$ 0 $}

tlabel [cc] (4,1) {$ 0 $}

tlabel [cc] (4, -1) {$ 1 $}

end {mfpic}

Sem assíntotas

Inclinação incomum em $ x = -1 $ e $ x = 1 $

Sem cúspides

vfill

columnbreak

begin {mfpic} [50] {- 1,5} {1,5} {- 0,15} {1,5}

point [3pt] {(0,1), (-1,0), (1,0)}

parafcn {0,3.14159,0.1} {(cos (t), sin (t))}

eixos

tlabel [cc] (1.5, -0.15) { scriptsize $ x $}

tlabel [cc] (0.25,1.5) { scriptsize $ y $}

xmarks {-1,1}

ymarks {1}

tlpointsep {4pt}

scriptsize

axislabels {x} {{$ - 1 hspace {6pt} $} -1, {$ 1 $} 1}

axislabels {y} {{$ 1 $} 1}

amanho normal

end {mfpic}

end {multicols}

item begin {multicols} {2}

$ f (x) = sqrt {x ^ 2-1} $

Domínio: $ (- infty, -1] cup [1, infty) $

begin {mfpic} [20] [10] {0} {4} {- 1,5} {1,5}

arrow polyline {(2,0), (0,0)}

arrow polyline {(3,0), (5,0)}

xmarks {2,3}

tlabel [cc] (2, -1) {$ - 1 hspace {7pt} $}

tlabel [cc] (1,1) {$ (+) $}

tlabel [cc] (4,1) {$ (+) $}

tlabel [cc] (2,1) {$ 0 $}

tlabel [cc] (3,1) {$ 0 $}

tlabel [cc] (3, -1) {$ 1 $}

end {mfpic}

Sem assíntotas

Inclinação incomum em $ x = -1 $ e $ x = 1 $

Sem cúspides

vfill

columnbreak

begin {mfpic} [20] {- 4} {4} {- 1} {4}

point [3pt] {(- 1,0), (1,0)}

arrow parafcn {0,2,0.1} {(cosh (t), sinh (t))}

arrow parafcn {0,2,0.1} {(- cosh (t), sinh (t))}

eixos

tlabel [cc] (4, -0,25) { scriptsize $ x $}

tlabel [cc] (0.25,4) { scriptsize $ y $}

xmarks {-3, -2, -1,1,2,3}

ymarks {1,2,3}

tlpointsep {4pt}

scriptsize

axislabels {x} {{$ - 3 hspace {6pt} $} -3, {$ - 2 hspace {6pt} $} -2, {$ - 1 hspace {6pt} $} -1, {$ 1 $} 1, {$ 2 $} 2, {$ 3 $} 3}

axislabels {y} {{$ 1 $} 1, {$ 2 $} 2, {$ 3 $} 3}

amanho normal

end {mfpic}

end {multicols}

item begin {multicols} {2}

$ f (x) = x sqrt {1-x ^ 2} $

Domínio: $ [- 1,1] $

begin {mfpic} [20] [10] {0} {4} {- 1,5} {1,5}

polyline {(0,0), (5,0)}

xmarks {0,2.5,5}

tlabel [cc] (0, -1) {$ - 1 hspace {7pt} $}

tlabel [cc] (0,1) {$ 0 $}

tlabel [cc] (1.25,1) {$ (-) $}

tlabel [cc] (2,5, -1) {$ 0 $}

tlabel [cc] (3.75,1) {$ (+) $}

tlabel [cc] (2.5,1) {$ 0 $}

tlabel [cc] (5, -1) {$ 1 $}

tlabel [cc] (5,1) {$ 0 $}

end {mfpic}

Sem assíntotas

Inclinação incomum em $ x = -1 $ e $ x = 1 $

Sem cúspides

vfill

columnbreak

begin {mfpic} [50] [40] {- 1,5} {1,5} {- 1} {1,5}

point [3pt] {(- 1,0), (1,0), (0,0)}

parafcn {0,3.14159,0.1} {(cos (t), cos (t) * sin (t))}

eixos

tlabel [cc] (1.5, -0.15) { scriptsize $ x $}

tlabel [cc] (0.25,1.5) { scriptsize $ y $}

xmarks {-1,1}

ymarks {-1,1}

tlpointsep {4pt}

scriptsize

axislabels {x} {{$ - 1 hspace {6pt} $} -1, {$ 1 $} 1}

axislabels {y} {{$ 1 $} 1, {$ - 1 $} -1}

amanho normal

end {mfpic}

end {multicols}

item begin {multicols} {2}

$ f (x) = x sqrt {x ^ 2-1} $

Domínio: $ (- infty, -1] cup [1, infty) $

begin {mfpic} [20] [10] {0} {4} {- 1,5} {1,5}

arrow polyline {(2,0), (0,0)}

arrow polyline {(3,0), (5,0)}

xmarks {2,3}

tlabel [cc] (2, -1) {$ - 1 hspace {7pt} $}

tlabel [cc] (1,1) {$ (-) $}

tlabel [cc] (4,1) {$ (+) $}

tlabel [cc] (2,1) {$ 0 $}

tlabel [cc] (3,1) {$ 0 $}

tlabel [cc] (3, -1) {$ 1 $}

end {mfpic}

Sem assíntotas

Inclinação incomum em $ x = -1 $ e $ x = 1 $

Sem cúspides

vfill

columnbreak

begin {mfpic} [20] [15] {- 4} {4} {- 4} {4}

point [3pt] {(- 1,0), (1,0)}

arrow parafcn {0,2,0.1} {(cosh (t), sinh (t))}

arrow parafcn {0,2,0.1} {(- cosh (t), - sinh (t))}

eixos

tlabel [cc] (4, -0,25) { scriptsize $ x $}

tlabel [cc] (0.25,4) { scriptsize $ y $}

xmarks {-3, -2, -1,1,2,3}

ymarks {-3, -2, -1,1,2,3}

tlpointsep {4pt}

scriptsize

axislabels {x} {{$ - 3 hspace {6pt} $} -3, {$ - 2 hspace {6pt} $} -2, {$ - 1 hspace {6pt} $} -1, {$ 1 $} 1, {$ 2 $} 2, {$ 3 $} 3}

axislabels {y} {{$ - 3 $} -3, {$ - 2 $} -2, {$ - 1 $} -1, {$ 1 $} 1, {$ 2 $} 2, {$ 3 $} 3 }

amanho normal

end {mfpic}

end {multicols}

quebra de página

item begin {multicols} {2}

$ f (x) = sqrt [4] { dfrac {16x} {x ^ 2 - 9}} $

Domínio: $ (- 3, 0] cup (3, infty) $

begin {mfpic} [15] {- 3} {6} {- 1} {1}

polyline {(- 3,0), (0,0)}

arrow polyline {(3,0), (6,0)}

xmarks {-3,0,3}

tlabel [cc] (- 1,5,0,75) {$ (+) $}

tlabel [cc] (- 3, -0,75) {$ - 3 hspace {7pt} $}

tlabel [cc] (- 3,0,75) { textinterrobang}

tlabel [cc] (0, -0,75) {$ 0 $}

tlabel [cc] (0,0.75) {$ 0 $}

tlabel [cc] (3,0.75) { textinterrobang}

tlabel [cc] (3, -0,75) {$ 3 $}

tlabel [cc] (4.5,0.75) {$ (+) $}

end {mfpic}

Assíntotas verticais: $ x = -3 $ e $ x = 3 $

Assíntota horizontal: $ y = 0 $

Inclinação incomum em $ x = 0 $

Sem cúspides

vfill

columnbreak

begin {mfpic} [15] {- 3,5} {9} {- 1} {6}

point [3pt] {(0,0)}

dashed polyline {(- 3, -1), (-3,6)}

dashed polyline {(3, -1), (3,6)}

arrow reverse function {-2.93,0,0.1} {((16 * x) / ((x ** 2) - 9)) ** (0,25)}

arrow reverse arrow function {3.05,9,0.1} {((16 * x) / ((x ** 2) - 9)) ** (0,25)}

eixos

tlabel [cc] (9, -0,5) { scriptsize $ x $}

tlabel [cc] (0.5,6) { scriptsize $ y $}

xmarks {-3 etapa 1 a 8}

ymarks {1,2,3,4,5}

tlpointsep {4pt}

scriptsize

axislabels {x} {{$ - 3 hspace {6pt} $} -3, {$ -2 hspace {6pt} $} -2, {$ -1 hspace {6pt} $} -1, {$ 1 $} 1, {$ 2 $} 2, {$ 3 $} 3, {$ 4 $} 4, {$ 5 $} 5, {$ 6 $} 6, {$ 7 $} 7, {$ 8 $} 8}

axislabels {y} {{$ 1 $} 1, {$ 2 $} 2, {$ 3 $} 3, {$ 4 $} 4, {$ 5 $} 5}

amanho normal

end {mfpic}

end {multicols}

item begin {multicols} {2}

$ f (x) = x ^ { frac {2} {3}} (x - 7) ^ { frac {1} {3}} $

Domínio: $ (- infty, infty) $

begin {mfpic} [10] {- 3} {10} {- 2} {2}

arrow reverse arrow polyline {(- 3,0), (10,0)}

xmarks {0,7}

tlabel [cc] (- 1.5,1) {$ (-) $}

tlabel [cc] (0, -1) {$ 0 $}

tlabel [cc] (0,1) {$ 0 $}

tlabel [cc] (3.5,1) {$ (-) $}

tlabel [cc] (7, -1) {$ 7 $}

tlabel [cc] (7,1) {$ 0 $}

tlabel [cc] (8.5,1) {$ (+) $}

end {mfpic}

Sem assíntotas verticais ou horizontais footnote {Usando Cálculo, pode-se mostrar que $ y = x - frac {7} {3} $ é uma assíntota inclinada deste gráfico.}

Inclinação incomum em $ x = 7 $

Cúspide em $ x = 0 $

vfill

columnbreak

begin {mfpic} [10] {- 4} {10} {- 5} {5.5}

point [3pt] {(0,0), (7,0)}

arrow reverse function {-3,0,0.1} {- ((x ** 2) ** (1/3)) * ((7 - x) ** (1/3))}

function {0,7,0.1} {- ((x ** 2) ** (1/3)) * ((7 - x) ** (1/3))}

arrow function {7,9,0.1} {((x ** 2) ** (1/3)) * ((x - 7) ** (1/3))}

eixos

tlabel [cc] (10, -0,5) { scriptsize $ x $}

tlabel [cc] (0.5,5.5) { scriptsize $ y $}

xmarks {-3 etapa 1 a 9}

ymarks {-4 etapa 1 a 5}

tlpointsep {4pt}

pequeno

axislabels {x} {{$ - 3 hspace {6pt} $} -3, {$ -2 hspace {6pt} $} -2, {$ -1 hspace {6pt} $} -1, {$ 1 $} 1, {$ 2 $} 2, {$ 3 $} 3, {$ 4 $} 4, {$ 5 $} 5, {$ 6 $} 6, {$ 7 $} 7, {$ 8 $} 8, {$ 9 $} 9}

axislabels {y} {{$ - 4 $} -4, {$ -3 $} -3, {$ -2 $} -2, {$ -1 $} -1, {$ 1 $} 1, {$ 2 $} 2, {$ 3 $} 3, {$ 4 $} 4, {$ 5 $} 5}

amanho normal

end {mfpic}

end {multicols}

item begin {multicols} {2}

$ f (x) = dfrac {5x} { sqrt [3] {x ^ {3} + 8}} $

Domínio: $ (- infty, -2) cup (-2, infty) $

begin {mfpic} [20] {- 4} {2} {- 1} {1}

arrow reverse arrow polyline {(- 4,0), (2,0)}

xmarks {-2,0}

tlabel [cc] (- 3, 0,5) {$ (+) $}

tlabel [cc] (- 2, -0,5) {$ - 2 hspace {7pt} $}

tlabel [cc] (- 2,0.5) { textinterrobang}

tlabel [cc] (- 1,0,5) {$ (-) $}

tlabel [cc] (0, -0,5) {$ 0 $}

tlabel [cc] (0,0.5) {$ 0 $}

tlabel [cc] (1,0.5) {$ (+) $}

end {mfpic}

Assíntota vertical $ x = -2 $

Assíntota horizontal $ y = 5 $

Sem inclinações ou cúspides incomuns

vfill

columnbreak

begin {mfpic} [10] [8] {- 5} {5} {- 7} {9}

point [3pt] {(0,0)}

dashed polyline {(- 5,5), (5,5)}

dashed polyline {(- 2, -7), (-2,9)}

arrow reverse arrow function {-5, -2.2,0.1} {(- 5 * x) / ((- (x ** 3) - 8) ** (1/3))}

arrow reverse arrow function {-1.8,5,0.1} {(5 * x) / (((x ** 3) + 8) ** (1/3))}

eixos

tlabel [cc] (5, -0,5) { scriptsize $ x $}

tlabel [cc] (0,5,9) { scriptsize $ y $}

xmarks {-4 passo 1 a 4}

ymarks {-6 etapa 1 a 8}

tlpointsep {4pt}

pequeno

axislabels {x} {{$ - 4 hspace {6pt} $} -4, {$ -3 hspace {6pt} $} -3, {$ -2 hspace {6pt} $} -2, {$ -1 hspace {6pt} $} -1, {$ 1 $} 1, {$ 2 $} 2, {$ 3 $} 3, {$ 4 $} 4}

axislabels {y} {{$ - 6 $} -6, {$ -5 $} -5, {$ -4 $} -4, {$ -3 $} -3, {$ -2 $} -2 , {$ -1 $} -1, {$ 1 $} 1, {$ 2 $} 2, {$ 3 $} 3, {$ 4 $} 4, {$ 5 $} 5, {$ 6 $} 6, {$ 7 $} 7, {$ 8 $} 8}

amanho normal

end {mfpic}

end {multicols}

item begin {multicols} {2}

$ f (x) = x ^ { frac {3} {2}} (x - 7) ^ { frac {1} {3}} $

Domínio: $ [0, infty) $

begin {mfpic} [15] {0} {10} {- 1} {1}

reverse arrow polyline {(0,0), (10,0)}

xmarks {0, 7}

tlabel [cc] (0, -0,5) {$ 0 $}

tlabel [cc] (0,0.5) {$ 0 $}

tlabel [cc] (3,5, 0,5) {$ (-) $}

tlabel [cc] (7, -0,5) {$ 7 $}

tlabel [cc] (7,0.5) {$ 0 $}

tlabel [cc] (8, 0,5) {$ (+) $}

end {mfpic}

Sem assíntotas

Inclinação incomum em $ x = 7 $

Sem cúspides

vfill

columnbreak

begin {mfpic} [15] [3] {- 1} {8.5} {- 20} {30}

point [3pt] {(0,0), (7,0)}

function {0,7,0.1} {- (x ** 1,5) * ((7 - x) ** (1/3))}

arrow function {7,8.5,0.1} {(x ** 1,5) * ((x - 7) ** (1/3))}

eixos

tlabel [cc] (8.5, -3) { scriptsize $ x $}

tlabel [cc] (0,5,30) { scriptsize $ y $}

xmarks {1 etapa 1 a 8}

ymarks {-15 etapa 5 a 25}

tlpointsep {4pt}

scriptsize

axislabels {x} {{$ 1 $} 1, {$ 2 $} 2, {$ 3 $} 3, {$ 4 $} 4, {$ 5 $} 5, {$ 6 $} 6, {$ 7 $} 7, {$ 8 $} 8}

axislabels {y} {{$ - 15 $} -15, {$ -10 $} -10, {$ -5 $} -5, {$ 5 $} 5, {$ 10 $} 10, {$ 15 $} 15 , {$ 20 $} 20, {$ 25 $} 25}

amanho normal

end {mfpic}

end {multicols}

item begin {multicols} {2}

$ f (x) = sqrt {x (x + 5) (x - 4)} $

Domínio: $ [- 5, 0] cup [4, infty) $

begin {mfpic} [10] {- 5} {8} {- 1} {1}

polyline {(- 5,0), (0,0)}

arrow polyline {(4,0), (8,0)}

xmarks {-5,0,4}

tlabel [cc] (- 5, -1) {$ - 5 hspace {7pt} $}

tlabel [cc] (- 5,1) {$ 0 $}

tlabel [cc] (- 2.5,1) {$ (+) $}

tlabel [cc] (0, -1) {$ 0 $}

tlabel [cc] (0,1) {$ 0 $}

tlabel [cc] (4, -1) {$ 4 $}

tlabel [cc] (4,1) {$ 0 $}

tlabel [cc] (6,1) {$ (+) $}

end {mfpic}

Sem assíntotas

Inclinação incomum em $ x = -5, x = 0 $ e $ x = 4 $

Sem cúspides

vfill

columnbreak

begin {mfpic} [10] {- 6} {6} {- 1} {10}

point [3pt] {(- 5,0), (0,0), (4,0)}

function {-5,0,0.1} {sqrt ((x ** 3) + (x ** 2) - (20 * x))}

arrow function {4,5.5,0.1} {sqrt ((x ** 3) + (x ** 2) - (20 * x))}

eixos

tlabel [cc] (6, -0.5) { scriptsize $ x $}

tlabel [cc] (0,5,10) { scriptsize $ y $}

xmarks {-5 etapa 1 a 5}

ymarks {1 etapa 1 a 9}

tlpointsep {4pt}

pequeno

axislabels {x} {{$ - 5 hspace {6pt} $} -5, {$ -4 hspace {6pt} $} -4, {$ -3 hspace {6pt} $} -3, {$ -2 hspace {6pt} $} -2, {$ -1 hspace {6pt} $} -1, {$ 1 $} 1, {$ 2 $} 2, {$ 3 $} 3, {$ 4 $} 4, {$ 5 $} 5}

axislabels {y} {{$ 1 $} 1, {$ 2 $} 2, {$ 3 $} 3, {$ 4 $} 4, {$ 5 $} 5, {$ 6 $} 6, {$ 7 $} 7, {$ 8 $} 8, {$ 9 $} 9}

amanho normal

end {mfpic}

end {multicols}

item begin {multicols} {2}

$ f (x) = sqrt [3] {x ^ {3} + 3x ^ {2} - 6x - 8} $

Domínio: $ (- infty, infty) $

begin {mfpic} [10] {- 8} {6} {- 1} {1}

arrow reverse arrow polyline {(- 8,0), (6,0)}

xmarks {-4, -1,2}

tlabel [cc] (- 6,1) {$ (-) $}

tlabel [cc] (- 4, -1) {$ - 4 hspace {7pt} $}

tlabel [cc] (- 4,1) {$ 0 $}

tlabel [cc] (- 2.5,1) {$ (+) $}

tlabel [cc] (- 1, -1) {$ - 1 hspace {7pt} $}

tlabel [cc] (- 1,1) {$ 0 $}

tlabel [cc] (0,5,1) {$ (-) $}

tlabel [cc] (2, -1) {$ 2 $}

tlabel [cc] (2,1) {$ 0 $}

tlabel [cc] (4,1) {$ (+) $}

end {mfpic}

Sem assíntotas verticais ou horizontais footnote {Usando Cálculo, pode-se mostrar que $ y = x + 1 $ é uma assíntota inclinada deste gráfico.}

Inclinação incomum em $ x = -4, x = -1 $ e $ x = 2 $

Sem cúspides

vfill

columnbreak

begin {mfpic} [10] {- 6} {6} {- 5} {7}

point [3pt] {(- 4,0), (- 1,0), (2,0)}

arrow reverse function {-6, -4,0.1} {- ((- ((x ** 3) + (3 * (x ** 2)) - (6 * x) - 8)) ** (1/3))}

function {-4, -1,0.1} {((x ** 3) + (3 * (x ** 2)) - (6 * x) - 8) ** (1/3)}

function {-1,2,0.1} {- ((- ((x ** 3) + (3 * (x ** 2)) - (6 * x) - 8)) ** (1/3) )}

arrow function {2,6,0.1} {((x ** 3) + (3 * (x ** 2)) - (6 * x) - 8) ** (1/3)}

eixos

tlabel [cc] (6, -0.5) { scriptsize $ x $}

tlabel [cc] (0,5,7) { scriptsize $ y $}

xmarks {-5 etapa 1 a 5}

ymarks {-4 etapa 1 a 6}

tlpointsep {4pt}

pequeno

axislabels {x} {{$ - 5 hspace {6pt} $} -5, {$ -4 hspace {6pt} $} -4, {$ -3 hspace {6pt} $} -3, {$ -2 hspace {6pt} $} -2, {$ -1 hspace {6pt} $} -1, {$ 1 $} 1, {$ 2 $} 2, {$ 3 $} 3, {$ 4 $} 4, {$ 5 $} 5}

axislabels {y} {{$ - 4 $} -4, {$ -3 $} -3, {$ -2 $} -2, {$ -1 $} -1, {$ 1 $} 1, {$ 2 $} 2, {$ 3 $} 3, {$ 4 $} 4, {$ 5 $} 5, {$ 6 $} 6}

amanho normal

end {mfpic}

end {multicols}

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerar}

begin {multicols} {2}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ g (x) = sqrt [3] {x-1} -2 $

begin {mfpic} [8] [13] {- 10} {12} {- 5} {1}

arrow reverse arrow parafcn {-4.2,0.2,0.1} {(((t + 2) ** 3) + 1, t)}

eixos

tlabel [cc] (12, -0,5) { scriptsize $ x $}

tlabel [cc] (0.75,1) { scriptsize $ y $}

point [3pt] {(- 7, -4), (0, -3), (1, -2), (2, -1), (9,0)}

ymarks {-4, -3, -2, -1}

xmarks {-9 etapa 1 a 11}

pequeno

tlpointsep {4pt}

axislabels {y} {{$ - 4 $} -4, {$ -3 $} -3, {$ -2 $} -2, {$ -1 $} -1}

axislabels {x} {{$ - 9 hspace {6pt} $} -9, {$ -7 hspace {6pt} $} -7, {$ -5 hspace {6pt} $} -5, {$ -3 hspace {6pt} $} -3, {$ -1 hspace {6pt} $} -1, {$ 1 $} 1, {$ 3 $} 3, {$ 5 $} 5, {$ 7 $} 7, {$ 9 $} 9, {$ 11 $} 11}

amanho normal

end {mfpic}

vfill

columnbreak

item $ g (x) = -2 sqrt [3] {x + 1} + 4 $

begin {mfpic} [10] [9] {- 7} {9} {- 1} {8}

point [3pt] {(- 2,6), (- 1,4), (0,2), (7,0)}

arrow reverse function {-7, -1,0.1} {2 * ((- x - 1) ** (1/3)) + 4}

arrow function {-1,8.5,0.1} {- 2 * ((x + 1) ** (1/3)) + 4}

eixos

tlabel [cc] (9, -0,5) { scriptsize $ x $}

tlabel [cc] (0,5,8) { scriptsize $ y $}

xmarks {-6 etapa 1 a 8}

ymarks {1 etapa 1 a 7}

tlpointsep {4pt}

pequeno

axislabels {x} {{$ -5 hspace {6pt} $} -5, {$ -3 hspace {6pt} $} -3, {$ -1 hspace {6pt} $} -1, {$ 1 $} 1, {$ 3 $} 3, {$ 5 $} 5, {$ 7 $} 7}

axislabels {y} {{$ 1 $} 1, {$ 2 $} 2, {$ 3 $} 3, {$ 4 $} 4, {$ 5 $} 5, {$ 6 $} 6, {$ 7 $} 7}

amanho normal

end {mfpic}

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerar}

end {multicols}

begin {multicols} {2}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ g (x) = sqrt [4] {x-1} -2 $

begin {mfpic} [8] [25] {- 1} {22} {- 3} {1}

arrow parafcn {-2,0.12,0.1} {(((t + 2) ** 4) + 1, t)}

eixos

tlabel [cc] (22, -0,75) { scriptsize $ x $}

tlabel [cc] (0.5,1) { scriptsize $ y $}

point [3pt] {(1, -2), (2, -1), (17,0)}

ymarks {-2, -1}

xmarks {1 etapa 1 a 21}

pequeno

tlpointsep {4pt}

axislabels {y} {{$ - 2 $} -2, {$ -1 $} -1}

axislabels {x} {{$ 1 $} 1, {$ 3 $} 3, {$ 5 $} 5, {$ 7 $} 7, {$ 9 $} 9, {$ 11 $} 11, {$ 13 $} 13, {$ 15 $} 15, {$ 17 $} 17, {$ 19 $} 19, {$ 21 $} 21}

amanho normal

end {mfpic}

vfill

columnbreak

item $ g (x) = 3 sqrt [4] {x - 7} - 1 $

begin {mfpic} [5] [13] {- 1} {25} {- 2} {6}

point [3pt] {(7, -1), (8,2), (23,5)}

arrow function {7,25,0.1} {3 * ((x - 7) ** (0,25)) - 1}

eixos

tlabel [cc] (25, -0,5) { scriptsize $ x $}

tlabel [cc] (0.5,6) { scriptsize $ y $}

xmarks {1 etapa 1 até 23}

ymarks {-1 etapa 1 a 5}

tlpointsep {4pt}

pequeno

axislabels {x} {{$ 7 $} 7, {$ 8 $} 8, {$ 23 $} 23}

axislabels {y} {{$ - 1 $} -1, {$ 1 $} 1, {$ 2 $} 2, {$ 3 $} 3, {$ 4 $} 4, {$ 5 $} 5}

amanho normal

end {mfpic}

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerar}

end {multicols}

begin {multicols} {2}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ g (x) = sqrt [5] {x + 2} + 3 $

begin {mfpic} [2] [10] {- 37} {33} {- 1} {6}

point [2pt] {(- 34,1), (- 3,2), (- 2,3), (- 1,4), (30,5)}

arrow function {-2,33,0.1} {((x + 2) ** (0,20)) + 3}

arrow reverse function {-37, -2,0.1} {(- ((- x - 2) ** (0,20))) + 3}

eixos

tlabel [cc] (33, -0.5) { scriptsize $ x $}

tlabel [cc] (2,6) { scriptsize $ y $}

xmarks {-34, -2,30}

ymarks {1 etapa 1 a 5}

tlpointsep {4pt}

pequeno

axislabels {x} {{$ - 34 hspace {5pt} $} -34, {$ -2 hspace {5pt} $} -2, {$ 30 $} 30}

axislabels {y} {{$ 1 $} 1, {$ 2 $} 2, {$ 3 $} 3, {$ 4 $} 4, {$ 5 $} 5}

amanho normal

end {mfpic}

item $ g (x) = sqrt [8] {- x} - 2 $

begin {mfpic} [3] [15] {- 45} {5} {- 3} {1}

point [2pt] {(0, -2), (- 1, -1)}

arrow reverse function {-45,0,0.1} {((- x) ** 0,125) - 2}

eixos

tlabel [cc] (5, -0,5) { scriptsize $ x $}

tlabel [cc] (1.5,1) { scriptsize $ y $}

xmarks {-40, -30, -20, -10}

ymarks {-2, -1}

tlpointsep {4pt}

pequeno

axislabels {x} {{$ - 40 hspace {5pt} $} -40, {$ -30 hspace {5pt} $} -30, {$ -20 hspace {5pt} $} -20, {$ -10 hspace {5pt} $} -10}

axislabels {y} {{$ - 2 $} -2, {$ -1 $} -1}

amanho normal

end {mfpic}

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerar}

end {multicols}

begin {multicols} {3}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ x = 3 $

item $ x = frac {1} {4} $

item $ x = -3 $

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerar}

end {multicols}

begin {multicols} {3}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ x = - frac {1} {3}, ; frac {2} {3} $

item $ x = frac {5 + sqrt {57}} {8} $

item $ x = 4 $

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerar}

end {multicols}

begin {multicols} {3}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ x = pm 8 $

item $ x = 6 $

item $ x = 4 $

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerar}

end {multicols}

begin {multicols} {3}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ x = -2, 6 $

item $ [2, infty) $

item $ [- 1, 0] xícara [1, infty) $

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerar}

end {multicols}

begin {multicols} {3}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ (- infty, 2) xícara (2,3] $

item $ (2,6] $

item $ (- infty, 0) cup [2,3) cup (3, infty) $

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerar}

end {multicols}

begin {multicols} {3}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ (- infty, -1) $

item $ left (0, frac {27} {13} right) $

item $ (- infty, 0) xícara (0,3) $

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerar}

end {multicols}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ (- infty, -4) cup left (-4, - frac {22} {19} right] cup (2, infty) $

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerar}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ C (x) = 15x + 20 sqrt {100+ (30-x) ^ 2} $, $ 0 leq x leq 30 $. A calculadora fornece o mínimo absoluto de $ approx (18,66, 582,29) $. Isso significa para minimizar o custo, aproximadamente 18,66 milhas de cabo devem ser executados ao longo da Rota 117 antes de sair da estrada e seguir em direção ao posto avançado. O custo mínimo para instalar o cabo é de aproximadamente $ $ 582,29 $.

item

begin {enumerate}

item $ h (r) = frac {300} { pi r ^ 2} $, $ r> 0 $.

item $ S (r) = pi r sqrt {r ^ 2 + left ( frac {300} { pi r ^ 2} right) ^ 2} = frac { sqrt { pi ^ 2 r ^ 6 + 90000}} {r} $, $ r> 0 $

item A calculadora fornece o mínimo absoluto no ponto $ approx (4,07, 90,23) $. Isso significa que o raio deve ser (aproximadamente) 4,07 centímetros e a altura deve ser 5,76 centímetros para dar uma área de superfície mínima de 90,23 centímetros quadrados.

end {enumerar}

item

begin {enumerate}

item $ W approx 37,55 ^ { circ} $ F.

item $ V aproximadamente 9,84 $ milhas por hora.

end {enumerar}

item

begin {enumerate}

item $ W (V) = 53,142 - 23,78 V ^ {0,16} $. Uma vez que nos foi dito no Exercício ref {WindChillTemperature} que a sensação térmica só tem efeito para velocidades do vento de mais de 3 milhas por hora, restringimos o domínio a $ V> 3 $.

item $ W (V) = 0 $ quando $ V approx 152,29 $. Isso significa que, de acordo com o modelo, para a temperatura do vento ser de $ 0 ^ { circ} $ F, a velocidade do vento precisa ser de $ 152,29 $ milhas por hora.

item O gráfico está abaixo.

centerline { includegraphics [width = 1.75in] {./ FurtherGraphics / WINDCHILL.jpg}}

end {enumerar}

item $ 9,8 left ( dfrac {1} {4 pi} right) ^ {2} aproximadamente 0,062 $ metros ou $ 6,2 $ centímetros

item begin {enumerar}

item Primeiro reescreva o modelo como $ P = 1,23x ^ { frac {2} {5}} y ^ { frac {3} {5}} $. Então $ 300 = 1,23x ^ { frac {2} {5}} y ^ { frac {3} {5}} $ produz $ y = left ( dfrac {300} {1,23x ^ { frac {2 } {5}}} right) ^ { frac {5} {3}} $. Se $ x = 100 $, então $ y aproximadamente 441,93687 $.

end {enumerar}

item begin {enumerar}

item $ [0, c) $

item $ ~ $

begin {tabular} {ll}

$ m (.1c) = dfrac {m_ {r}} { sqrt {.99}} approx 1.005m_ {r} $ & $ m (.5c) = dfrac {m_ {r}} { sqrt {.75}} aprox. 1.155m_ {r} $ smallskip

$ m (.9c) = dfrac {m_ {r}} { sqrt {.19}} aprox. 2.294m_ {r} $ & $ m (.999c) = dfrac {m_ {r}} { sqrt {.0.001999}} aproximadamente 22.366m_ {r} $ end {tabular}

item As $ x rightarrow c ^ {-}, , m (x) rightarrow infty $

item Se o objeto estiver viajando não mais rápido que aproximadamente $ 0,99995 $ vezes a velocidade da luz, então sua massa observada não será maior que $ 100m_ {r} $.

end {enumerar}

item $ k ^ {- 1} (x) = dfrac {x} { sqrt {x ^ {2} - 4}} $

item begin {enumerar}

item $ y = frac {1} {3} x ^ {3/2} - sqrt {x} + frac {2} {3} $. O ponto $ left (0, frac {2} {3} right) $ é quando o caminho de Fritzy cruza o caminho de Chewbacca - em outras palavras, onde Fritzy alcança Chewbacca.

item $ y = frac {1} {6} x ^ 3 + frac {1} {2x} - frac {2} {3} $. Usando as técnicas do Capítulo ref {Racionais}, encontramos como $ x rightarrow 0 ^ {+} $, $ y rightarrow infty $ o que significa, neste caso, a busca de Fritzy nunca termina; ele nunca pega Chewbacca. Isso faz sentido, pois Chewbacca está na frente e está mais rápido do que Fritzy.

begin {center}

begin {tabular} {cc}

includegraphics [largura = 2in] {./ FurtherGraphics / PURSUIT01.jpg} & hspace {1in} includegraphics [largura = 2in] {./ FurtherGraphics / PURSUIT02.jpg}

$ y = frac {1} {3} x ^ {3/2} - sqrt {x} + frac {2} {3} $ & hspace {1in} $ y = frac {1} {6 } x ^ 3 + frac {1} {2x} - frac {2} {3} $

end {tabular}

end {center}

end {enumerar}

end {enumerar}

closegraphsfile


5.4: Tópicos adicionais em funções (exercícios) - matemática

(1) Complete a seguinte prova de que se $ m $ é um paralelo limitante de $ ell $, então $ ell $ é um paralelo limitante de $ m $: Pegue um ponto $ P_1 $ em $ ell $. Seja $ Q $ o ponto em $ m $ tal que $ overline perp m $. Seja $ P_2 $ o ponto em $ ell $ tal que $ overline perp ell $. Use um argumento de continuidade para mostrar que existe um ponto $ P $ entre $ P_1 $ e $ P_2 $ tal que o segmento $ overline$ faz ângulos iguais com $ ell $ e $ m $. Em seguida, considere a bissetriz perpendicular de $ overline$ e use um argumento de simetria. (Eu acho que uma prova nesse sentido é mais simples do que a prova do livro.)

(2) Mostre que existe uma isometria $ f $ do modelo Poincar & eacute (em outras palavras, uma função do disco unitário aberto para si mesmo que preserva a distância hiperbólica) e uma linha $ ell $ no modelo tal que $ ell $ é (representado por) um segmento de linha euclidiana e $ f [ ell] $ é (representado por) um arco euclidiano. A questão é que a propriedade de parecer "retas" ou "curvas" não é uma propriedade intrínseca das linhas hiperbólicas; depende de como as modelamos no espaço euclidiano. Dica: nosso trabalho com reflexões não depende do postulado paralelo, por isso ainda é válido na geoemtria hiperbólica.

(3) Exercício 7.3.3. Não sei o que significa a dica "usar as propriedades de paralelismo de reflexos", mas de qualquer forma não deve ser difícil mostrar que se $ m $ é um paralelo limitante de $ ell $, então $ r_ ell [m] $ é uma limitação paralela a $ ell $ no mesmo lado. A parte sobre os pontos ômega acaba sendo trivial quando você desembaraça as definições (incluindo o que significa para uma isometria fixar um ponto ômega), então direi que você pode pular esta parte, mas você deve pensar por um minuto sobre o que meios.

(4) Exercício 7.3.4. Dica: Seja $ ell '$ uma linha que é não limite à direita paralelo a $ ell $, o que significa que ele tem um ponto ômega diferente no lado direito (o mesmo argumento funcionará para o lado esquerdo.) Queremos mostrar que este ponto ômega direito de $ ell '$ é não fixado pelo reflexo $ r_ ell $. Em outras palavras, queremos mostrar que a linha $ ell '$ é não paralelo de limitação à direita para seu próprio reflexo $ r_ ell [ ell '] $. Considere dois casos: (a) $ ell '$ intersects $ ell $ (b) $ ell' $ é paralelo a $ ell $, mas não é o limite à direita paralelo a $ ell $.


Estudantes da Malásia

Observe que os primeiros oito tópicos (Artigo 1) de Matemática T e Matemática S são iguais. Além disso, Maths T e Maths S são mutuamente exclusivos. Em outras palavras, um candidato a STPM não pode cursar as duas disciplinas ao mesmo tempo. Maths T é feito pela maioria dos estudantes de ciências, enquanto Maths S é feito por alguns alunos de artes. Enquanto isso, Matemática Adicional é considerada a quinta disciplina opcional por alguns alunos do curso de ciências.

    Números e Conjuntos
    Numeros reais
    Expoentes e logaritmos
    Números complexos
    Jogos

65 comentários:

Olá, você pode mudar o template, eu prefiro o formato anterior. É mais difícil ler sua postagem com este novo visual

Olá anônimo, você é um leitor regular deste blog? Ou você é um dos contribuidores? Importa-se de deixar seus dados de contato, como endereço de e-mail ou url do blog?

Obrigado por suas sugestões. No entanto, acho que o modelo atual é mais limpo e as fontes são maiores do que o modelo anterior. Além disso, gostaria de manter o frescor do blog, alterando o modelo uma vez a cada dois meses. Você pode notar que é o terceiro modelo usado no blog dos Estudantes da Malásia se você já visitou este blog desde março deste ano.

Além disso, fiquei sabendo que neste mês a média de páginas visualizadas por um leitor aumentou cerca de 23% em relação ao mês anterior. Eu acredito que o template do blog é um fator para esta melhoria.

Concordo que este modelo também tem seus pontos negativos! Acho que quando você disse "É mais difícil ler seu post com esse novo visual", você se refere ao texto (fontes) certo? Por favor, seja paciente enquanto eu descubro como mudar as fontes.

Obrigado pelo seu comentário construtivo, você sempre pode entrar em contato conosco, deixando seu comentário na página Fale Conosco.

Atualização: as fontes neste blog foram alteradas para as fontes usadas no modelo de blog anterior.


Conjuntos, funções e lógica: uma introdução à matemática abstrata, terceira edição

Keith Devlin. Você o conhece. Você leu suas colunas no MAA Online, ouviu-o no rádio e viu seus populares livros de matemática. Entre todas essas atividades e sua própria pesquisa, ele tem trabalhado arduamente revisando Sets, Functions and Logic, seu texto de definição de padrões que suavizou o caminho para a matemática pura para legiões de alunos de graduação.

Agora em sua terceira edição, Devlin reformulou totalmente o livro para refletir uma nova geração. A narrativa é mais animada e menos semelhante a um livro didático. Comentários e comentários ligam os tópicos apresentados ao mundo real da experiência dos alunos. O capítulo sobre números complexos e a discussão da lógica simbólica formal se foi em favor de mais exercícios e um novo capítulo introdutório sobre a natureza da matemática - que motiva os leitores e prepara o terreno para os desafios que temos pela frente.

Os alunos que cruzam a ponte do cálculo para a matemática avançada precisam e merecem toda a ajuda que puderem obter. Conjuntos, funções e lógica, terceira edição é um livrinho acessível que todos os seus alunos do curso de transição não apenas podem pagar, mas realmente lerão. e aproveitar. e aprender com.

Dr. Keith Devlin é Diretor Executivo do Centro de Estudos de Linguagem e Informação da Universidade de Stanford e Professor Consultor de Matemática em Stanford. Ele escreveu 23 livros, um livro interativo em CD-ROM e mais de 70 artigos de pesquisa publicados. Ele é membro da Associação Americana para o Avanço da Ciência, bolsista do Fórum Econômico Mundial e ex-membro do Conselho de Educação em Ciências Matemáticas da Academia Nacional de Ciências.

O Dr. Devlin também é um dos principais divulgadores da matemática no mundo. Conhecido como "The Math Guy" na edição de fim de semana da NPR, ele é um colaborador frequente de outros programas de rádio e TV locais e nacionais nos Estados Unidos e na Grã-Bretanha, escreve uma coluna mensal para o jornal da Web MAA Online e escreve regularmente sobre matemática e computadores para o jornal britânico The Guardian.


5.4 Trigonometria do Triângulo Direito

Definimos anteriormente o seno e o cosseno de um ângulo em termos das coordenadas de um ponto no círculo unitário interceptado pelo lado terminal do ângulo:

Nesta seção, veremos outra maneira de definir funções trigonométricas usando propriedades de triângulos retângulos.

Usando triângulos retos para avaliar funções trigonométricas

Nas seções anteriores, usamos um círculo unitário para definir as funções trigonométricas. Nesta seção, estenderemos essas definições para que possamos aplicá-las aos triângulos retângulos. O valor da função seno ou cosseno de t t é seu valor em t t radianos. Primeiro, precisamos criar nosso triângulo retângulo. A Figura 1 mostra um ponto em um círculo unitário de raio 1. Se soltarmos um segmento de linha vertical do ponto (x, y) (x, y) para o x-eixo, temos um triângulo retângulo cujo lado vertical tem comprimento y y e cujo lado horizontal tem comprimento x. x. Podemos usar este triângulo retângulo para redefinir seno, cosseno e outras funções trigonométricas como proporções dos lados de um triângulo retângulo.

Compreendendo os relacionamentos do triângulo correto

Dado um triângulo retângulo com um ângulo agudo de t, t,

Um mnemônico comum para lembrar essas relações é SohCahToa, formado a partir das primeiras letras de “Sine é obem hypotenuse, COsine é umaadjacente hypotenuse, TAngent é obem umaadjacente. ”

Como

Dados os comprimentos laterais de um triângulo retângulo e um dos ângulos agudos, encontre o seno, o cosseno e a tangente desse ângulo.

  1. Encontre o seno como a razão entre o lado oposto e a hipotenusa.
  2. Encontre o cosseno como a razão entre o lado adjacente e a hipotenusa.
  3. Encontre a tangente como a relação entre o lado oposto e o lado adjacente.

Exemplo 1

Avaliando uma função trigonométrica de um triângulo direito

Dado o triângulo mostrado na Figura 3, encontre o valor de cos α. cos α.

Solução

O lado adjacente ao ângulo é 15 e a hipotenusa do triângulo é 17, então:

Experimente # 1

Dado o triângulo mostrado na Figura 4, encontre o valor de sen t. sin t.

Relacionando Ângulos e Suas Funções

Ao trabalhar com triângulos retângulos, as mesmas regras se aplicam independentemente da orientação do triângulo. Na verdade, podemos avaliar as seis funções trigonométricas de qualquer um dos dois ângulos agudos do triângulo da Figura 5. O lado oposto a um ângulo agudo é o lado adjacente ao outro ângulo agudo e vice-versa.

Seremos solicitados a encontrar todas as seis funções trigonométricas para um determinado ângulo em um triângulo. Nossa estratégia é encontrar primeiro o seno, o cosseno e a tangente dos ângulos. Então, podemos encontrar as outras funções trigonométricas facilmente porque sabemos que o recíproco do seno é cossecante, o recíproco do cosseno é secante e o recíproco da tangente é cotangente.

Como

Dados os comprimentos laterais de um triângulo retângulo, avalie as seis funções trigonométricas de um dos ângulos agudos.

  1. Se necessário, desenhe o triângulo retângulo e identifique o ângulo fornecido.
  2. Identifique o ângulo, o lado adjacente, o lado oposto ao ângulo e a hipotenusa do triângulo retângulo.
  3. Encontre a função necessária:
    • seno como a razão do lado oposto à hipotenusa
    • cosseno como a razão do lado adjacente à hipotenusa
    • tangente como a proporção do lado oposto ao lado adjacente
    • secante como a razão da hipotenusa para o lado adjacente
    • cossecante como a razão da hipotenusa para o lado oposto
    • cotangente como a proporção do lado adjacente para o lado oposto

Exemplo 2

Avaliação de funções trigonométricas de ângulos fora da posição padrão

Solução

Experimente # 2

Encontrar funções trigonométricas de ângulos especiais usando comprimentos laterais

Já discutimos as funções trigonométricas no que se refere aos ângulos especiais no círculo unitário. Agora, podemos usar essas relações para avaliar triângulos que contêm esses ângulos especiais. Fazemos isso porque, quando avaliamos os ângulos especiais em funções trigonométricas, eles têm valores relativamente amigáveis, valores que contêm nenhuma ou apenas uma raiz quadrada na proporção. Portanto, esses são os ângulos frequentemente usados ​​em problemas de matemática e ciências. Usaremos múltiplos de 30 °, 30 °, 60 °, 60 ° e 45 °, 45 °, porém, lembre-se que ao lidar com triângulos retângulos, estamos limitados a ângulos entre 0 ° e 90 °. 0 ° e 90 °.

Podemos então usar as proporções dos comprimentos laterais para avaliar as funções trigonométricas de ângulos especiais.

Como

Dadas as funções trigonométricas de um ângulo especial, avalie usando comprimentos laterais.

  1. Use os comprimentos laterais mostrados na Figura 8 para o ângulo especial que você deseja avaliar.
  2. Use a proporção dos comprimentos laterais apropriados para a função que você deseja avaliar.

Exemplo 3

Avaliação de funções trigonométricas de ângulos especiais usando comprimentos laterais

Encontre o valor exato das funções trigonométricas de π 3, π 3, usando os comprimentos laterais.

Solução

Experimente # 3

Encontre o valor exato das funções trigonométricas de π 4, π 4, usando os comprimentos laterais.

Usando Cofunção Igual de Complementos

Se observarmos mais de perto a relação entre o seno e o cosseno dos ângulos especiais relativos ao círculo unitário, notaremos um padrão. Em um triângulo retângulo com ângulos de π 6 π 6 e π 3, π 3, vemos que o seno de π 3, π 3, ou seja, 3 2, 3 2, é também o cosseno de π 6, π 6, enquanto o seno de π 6, π 6, ou seja, 1 2, 1 2, é também o cosseno de π 3. π 3.

Identidades de cofunção

As identidades de cofunção em radianos estão listadas na Tabela 1.

Como

Dados o seno e cosseno de um ângulo, encontre o seno ou cosseno de seu complemento.

  1. Para encontrar o seno do ângulo complementar, encontre o cosseno do ângulo original.
  2. Para encontrar o cosseno do ângulo complementar, encontre o seno do ângulo original.

Exemplo 4

Usando Identidades de Cofunção

Solução

De acordo com as identidades de cofunção para seno e cosseno,

Experimente # 4

Usando funções trigonométricas

Nos exemplos anteriores, avaliamos o seno e o cosseno em triângulos onde conhecíamos todos os três lados. Mas o verdadeiro poder da trigonometria do triângulo retângulo emerge quando olhamos para triângulos nos quais conhecemos um ângulo, mas não conhecemos todos os lados.

Como

Dado um triângulo retângulo, o comprimento de um lado e a medida de um ângulo agudo, encontre os lados restantes.

  1. Para cada lado, selecione a função trigonométrica que tem o lado desconhecido como numerador ou denominador. O lado conhecido será, por sua vez, o denominador ou numerador.
  2. Escreva uma equação definindo o valor da função do ângulo conhecido igual à proporção dos lados correspondentes.
  3. Usando o valor da função trigonométrica e o comprimento do lado conhecido, resolva o comprimento do lado ausente.

Exemplo 5

Encontrando Comprimentos de Lado Faltando Usando Razões Trigonométricas

Encontre os lados desconhecidos do triângulo na Figura 11.

Solução

Conhecemos o ângulo e o lado oposto, portanto, podemos usar a tangente para encontrar o lado adjacente.

Nós reorganizamos para resolver para a. uma .

Podemos usar o seno para encontrar a hipotenusa.

Novamente, nós reorganizamos para resolver para c. c.

Experimente # 5

Usando a trigonometria do triângulo direito para resolver problemas aplicados

A trigonometria do triângulo retângulo tem muitas aplicações práticas. Por exemplo, a capacidade de calcular os comprimentos dos lados de um triângulo torna possível encontrar a altura de um objeto alto sem subir até o topo ou ter que estender uma fita métrica ao longo de sua altura. Fazemos isso medindo uma distância da base do objeto a um ponto no solo a alguma distância, onde podemos olhar para o topo do objeto alto em um ângulo. O ângulo de elevação de um objeto acima de um observador em relação ao observador é o ângulo entre a horizontal e a linha do objeto até o olho do observador. O triângulo retângulo criado por essa posição tem lados que representam a altura desconhecida, a distância medida da base e a linha de visão angular do solo até o topo do objeto. Conhecendo a distância medida até a base do objeto e o ângulo da linha de visão, podemos usar funções trigonométricas para calcular a altura desconhecida. Da mesma forma, podemos formar um triângulo do topo de um objeto alto olhando para baixo. O ângulo de depressão de um objeto abaixo de um observador em relação ao observador é o ângulo entre a horizontal e a linha do objeto até o olho do observador. Veja a Figura 12.

Como

Dado um objeto alto, meça sua altura indiretamente.

  1. Faça um esboço da situação do problema para manter o controle de informações conhecidas e desconhecidas.
  2. Defina uma distância medida da base do objeto até um ponto onde o topo do objeto seja claramente visível.
  3. Na outra extremidade da distância medida, olhe para o topo do objeto. Meça o ângulo que a linha de visão faz com a horizontal.
  4. Escreva uma equação relacionando a altura desconhecida, a distância medida e a tangente do ângulo da linha de visão.
  5. Resolva a equação para a altura desconhecida.

Exemplo 6

Medindo uma distância indiretamente

Para saber a altura de uma árvore, uma pessoa anda até um ponto a 30 pés da base da árvore. Ela mede um ângulo de 57 ° 57 ° entre uma linha de visão até o topo da árvore e o solo, conforme mostrado na Figura 13. Encontre a altura da árvore.

Solução

A função trigonométrica que relaciona o lado oposto a um ângulo e o lado adjacente ao ângulo é a tangente. Portanto, declararemos nossas informações em termos da tangente de 57 °, 57 °, sendo h h a altura desconhecida.

A árvore tem aproximadamente 46 pés de altura.

Experimente # 6

Quanto tempo uma escada é necessária para alcançar o peitoril de uma janela 50 pés acima do solo se a escada estiver encostada na construção, formando um ângulo de 5 π 12 5 π 12 com o solo? Arredonde até o pé mais próximo.

Meios de comunicação

Acesse esses recursos online para obter instruções adicionais e prática com trigonometria do triângulo retângulo.

5.4 Exercícios de Seção

Verbal

Para o triângulo retângulo fornecido, identifique o lado adjacente, o lado oposto e a hipotenusa para o ângulo indicado.

Quando um triângulo retângulo com uma hipotenusa de 1 é colocado no círculo unitário, quais lados do triângulo correspondem ao x- e y-coordenadas?

A tangente de um ângulo compara quais lados do triângulo retângulo?

Qual é a relação entre os dois ângulos agudos em um triângulo retângulo?


Perguntas e respostas do exame de matemática avançada e geral da 11ª série e 12ª série

O conteúdo de matemática ensinado no 11º e 12º ano nas escolas regulares e nos modos de ensino à distância são semelhantes. Não há muita diferença. Os alunos podem usar o passado Perguntas e respostas do exame de matemática avançada e geral como questões de revisão.

Veja abaixo como você pode obter as questões anteriores do exame de matemática.

Os alunos que desejam obter perguntas e respostas práticas de matemática podem baixá-las aqui. Obtenha o livreto de perguntas: Testes anteriores da 12ª série e do GM, PDF. Embora os papéis sejam de escolas regulares, eles também são as melhores perguntas para praticar no seu exame de matemática.

Nós encorajamos você a baixá-los e praticá-los em seu próprio tempo. Deixe um comentário abaixo se precisar de ajuda.

O & # 8216 mais recente & # 8217 testes de matemática da 12ª série são protegidos por senha. Iremos liberar sua senha antes do exame de matemática da 12ª série. Verifique-os.


Descrição

Recursos

  • Abordar todos os aspectos do novo DP Matemática: análise e abordagens do currículo do SL por meio de um Pacote de livros de cursos online aprimorado - composto de um livro colorido impresso e um livro online, incluindo anotações extensas do professor
  • Certifique-se de que os alunos estejam prontos para lidar com cada tópico com planilhas direcionadas de 'Conhecimento prévio', vinculadas a resumos e exercícios 'Antes de começar' no início de cada capítulo
  • Ofereça cobertura aprofundada de todos os tópicos por meio de explicações claras e soluções trabalhadas, exemplos trabalhados animados, exercícios e planilhas diferenciadas, com respostas fornecidas
  • Adote uma abordagem baseada em conceito com lentes conceituais e microconceitos entrelaçados em cada capítulo, além de investigações ricas que integram questões factuais e conceituais - levando a uma compreensão conceitual significativa e específica do conteúdo
  • Aprofunde a compreensão matemática por meio de tarefas baseadas em investigação que se relacionam com o conteúdo de cada capítulo, recursos de 'mentalidade internacional', links regulares para a Teoria do Conhecimento e atividades que visam habilidades ATL
  • Apoie o desenvolvimento de um conjunto de ferramentas matemáticas pelos alunos, conforme exigido pelo novo plano de estudos, com atividades de modelagem e investigação apresentadas em cada capítulo, incluindo solicitações para reflexão e sugestões para estudos posteriores
  • Prepare exaustivamente os alunos para a avaliação do IB por meio de uma cobertura aprofundada do conteúdo do curso, visões gerais de todos os requisitos, questões práticas em estilo de exame e papéis, e um capítulo completo de suporte à nova exploração matemática (IA)
  • Inclui suporte para os modelos mais populares de Calculadora de Display Gráfico
  • Este Livro do Curso Online estará disponível na Oxford Education Bookshelf até 2029. O acesso é facilitado através de um código único, que é enviado pelo correio. O código deve estar vinculado a um endereço de e-mail, criando uma conta de usuário.
  • O acesso pode ser transferido uma vez para um novo usuário, uma vez que o usuário inicial não requer mais acesso. Você precisará entrar em contato com seu Consultor Educacional local para providenciar isso.

Guia do professor de matemática da 12ª série etíope

O estudo da matemática na 12ª série visa principalmente expor os alunos a conhecimentos e competências matemáticas superiores, necessários para capacitá-los a se aprofundar em sua educação superior. A primeira parte, que é comum para estudantes de ciências naturais e ciências sociais, é uma introdução ao cálculo, onde os conceitos básicos de cálculo diferencial e integral são introduzidos com explicações intuitivas e exemplos seguidos por definições formais.

Número de Períodos

  • 1.1 Sequências
  • 1.2 Sequências aritméticas e sequências geométricas
  • 1.3 A notação sigma e somas parciais
  • 1.4 Série Infinities
  • 1.5 Aplicações de progressões aritméticas e progressões geométricas
  • 2.1 Limites de sequências de números
  • 2.2 Limites de funções
  • 2.3 Continuidade de uma função
  • 2.4 Exercícios de aplicação de limites
  • 12
  • 6
  • 5
  • 3
  • 2
  • 3.1 Introdução aos Derivados
     compreensão das taxas de mudança
     Definição gráfica da derivada
     Definição formal (Diferenciabilidade em um ponto)
     Diferenciabilidade ao longo de um intervalo
  • 3.2 Derivados de funções diferentes.
     Diferenciação de potência, trigonométrica simples, exponencial
    e funções logarítmicas.
  • 3.3 Derivados de combinações e composições de funções
  • 3.4 Exercícios diversos
  • 10
  • 4.1 Valores extremos de funções
  • 4.2 Problemas de minimização e maximização
  • 4.3 Taxa de mudança
  • 13
  • 6
  • 6
  • 5.1 Integração como processo inverso de diferenciação
     Integral de:
    & # 8211 Constante
    & # 8211 Poder
    & # 8211 Trigonométrica
    & # 8211 Funções exponenciais e logarítmicas
  • 5.2 Técnicas de integração
     Substituição elementar
     Frações parciais
     Integração por partes
  • 5.3 Integrais definidos, área e teorema fundamental do cálculo
  • 7
  • 6.1 Coordenar eixos e coordenar planos no espaço
  • 6.2 Coordenadas de um ponto no espaço
  • 6.3 Distância entre dois pontos no espaço
  • 6.4 Ponto médio de um segmento de linha no espaço
  • 6.5 Equação da esfera
  • 6.6 Vetores no espaço
  • 2
  • 2
  • 2
  • 1
  • 2
  • 8
  • 7.1 Revisão da lógica
  • 7.2 Diferentes tipos de provas
  • 7.3 Princípio e aplicação da indução matemática
  • 5
  • 4
  • 4
  • 2
  • 8.1 Técnicas de amostragem
  • 8.2 Representação de dados
  • 8.3 Construção de gráficos e interpretação
  • 8.4 Medidas de tendência central e variação de um conjunto de dados,
    incluindo dados agrupados. (Média, Mediana, Modo, Intervalo, Inter
    intervalo quartil e desvio padrão dos dados em si ou
    de dados totais)
  • 8.5 Análise de distribuições de frequência com médias iguais, mas
    variâncias diferentes (coeficientes de variação).
  • 8.6 Uso do gráfico de frequência cumulativa para estimar
  • 3
  • 2
  • 6
  • 5
  • 9.1 Aplicativos para compras
  • 9.2 Aumento percentual e diminuição percentual
  • 9.3 Despesas imobiliárias
  • 9,4 Salários
  • 3
  • 4
  • 4
  • 4

Baixe o PDF do Guia do Professor de Matemática da 12ª série

As unidades 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 da 11ª série e as unidades 1, 2, 3, 4 e 5 da 12ª série são comuns aos alunos de ciências naturais e sociais, enquanto as unidades 7 e 8 das séries 11 e as unidades 6 e 7 da 12ª série devem ser oferecidas apenas para alunos do curso de ciências naturais e as unidades 9 e 10 da 11ª série e unidades 8 e 9 da 12ª série são apenas para alunos do curso de ciências sociais.


Métodos de dois pontos

2.5 Métodos multiponto de Kung-Traub

Um artigo fundamental e um dos mais influentes no tópico de métodos multiponto para resolver equações não lineares é certamente o artigo de Kung-Traub (Kung e Traub, 1974). Além da famosa conjectura sobre o limite superior da ordem de convergência dos métodos multiponto com número fixo de F.E. (ver Seção 1.3), este artigo apresenta duas famílias multiponto ótimas de métodos iterativos de ordem arbitrária. Essas famílias gerais serão estudadas em capítulos posteriores, juntamente com sua análise de convergência. No entanto, o uso frequente e a citação dessas famílias, chamadas de família K-T para abreviar, impõe sua breve introdução. Apresentamos as famílias de Kung-Traub na forma dada em Kung e Traub (1974).

K-T (2.109) : Para qualquer m , defina a função de iteração p j (f) (j = 0, ..., m) da seguinte forma: p 0 (f) (x) = x e para m & gt 0,

para j = 1, ..., m - 1, onde R j (y) é o polinômio de interpolação inversa de grau no máximo j de tal modo que

Notemos que a família K-T (2.109) não requer avaliação de derivados de f. A ordem de convergência da família K-T (2.109), consistindo em m - 1 passos, é 2 m - 1 (m ⩾ 2).

K-T (2.110) : Para qualquer m, defina a função de iteração q j (f) (j = 1, ..., m) da seguinte forma: q 1 (f) (x) = x, e para m & gt 1,

para j = 2, ..., m - 1, onde S j (y) é o polinômio de interpolação inversa de grau no máximo j de tal modo que

A ordem de convergência da família K-T (2.110), consistindo em m - 1 passos, é 2 m - 1 (m ⩾ 2).

p 1 em (2.109) eq 1 em (2.110) são apenas etapas de inicialização e não fazem a primeira etapa das iterações descritas.

Neste capítulo estudamos métodos de dois pontos, de modo que é de interesse apresentar métodos de dois pontos obtidos como casos especiais das famílias Kung-Traub (2.109) e (2.110). Primeiro, para m = 3, obtemos de (2.109) o método derivado de dois pontos livres

O método de dois pontos (2.111) é de quarta ordem e requer três F.E. para que pertença à classe Ψ 4 de métodos ótimos.

O esquema iterativo (2.111) pode ser reescrito na forma

onde t k = f (y k) / f (x k) esk = f (y k) / f (x k + γ f (x k)). Comparando (2.112) a (2.91) com h dado por (2.98), observamos que a família (2.91) é uma generalização do método de dois pontos de Kung-Traub (2.111).

Tomando m = 3 em (2.110), obtemos o método de dois pontos de Kung-Traub de quarta ordem,

Observe que a família (2.74) é uma generalização do método de Kung-Traub (2.113), que segue desta família tomando r = - 2 em (2.80) ou a = 1 em (2.83).

Aplicamos alguns dos métodos de dois pontos apresentados de quarta ordem à função

Tabela 2.3. Exemplo 2.6 - f (x) = (x - 2) (x 10 + x + 1) e - x - 1, α = 2

Métodos de dois pontos | x 1 - α | | x 2 - α | | x 3 - α | | x 4 - α |
MI de Ostrowski (2.47) 1.72(−3)3.13(−10)3.49(−37)5.43(−145)
MI de Maheshwari (2,85) 5.27(−3)1.59(−7)1.45(−25)9.97(−98)
(2,91) h = 1 + s + t, γ = 0,01 1.01(−3)7.84(−11)2.93(-39)5.68(−153)
(2,91) h = 1 + s 1 - t, γ = 0,01 3.29(−4)3.66(−13)5.59(−49)3.04(−192)
IM de Ren-Wu-Bi (2.104), uma = 02.66(−2)2.09(−3)1.26(−6)2.53(−19)
IM de Kung-Traub (2.112) γ = 0,01 7.56(−3)6.80(−7)4.88(−23)1.29(−87)
MI de Kung-Traub (2.113) 3.45(−3)1.36(−8)3.38(−30)1.31(−116)

5.4: Tópicos adicionais em funções (exercícios) - matemática

Os autores da Everyday Mathematics respondem às perguntas frequentes sobre o CCSS e o EM.

Matemática cotidiana e os padrões estaduais de núcleo comum para a prática matemática

Andy Isaacs, diretor de revisões EM, discute a edição CCSSM de Everyday Mathematics. Saber mais

Comunidade de Aprendizagem Virtual de Matemática Diária

Junte-se à comunidade de aprendizagem virtual para acessar vídeos de aulas de EM em salas de aula reais, compartilhar recursos, discutir tópicos de EM com outros educadores e muito mais.

Informações de nível de série

Acesse recursos específicos de série para professores, como guias de ritmo, listas de literatura e jogos.

Desenvolvimento profissional

O UChicago STEM Education oferece serviços de planejamento estratégico para escolas que desejam fortalecer seus programas de matemática pré-escolar e ndash6.

No site do editor

O site da McGraw-Hill Education oferece materiais complementares, jogos, ferramentas de avaliação e planejamento, suporte técnico e muito mais.


Assista o vídeo: Diskret Matte - Funksjoner 1 - Hva er en funksjon? (Outubro 2021).