Artigos

7.3: Identidades de ângulo duplo


Dois casos especiais da soma das identidades dos ângulos surgem com freqüência suficiente para que optemos por declarar essas identidades separadamente.

IDENTIDADES

As identidades de ângulo duplo

[ sin (2 alpha) = 2 sin ( alpha) cos ( alpha) ]

[ begin {array} {ccc} { cos (2 alpha)} & {=} & { cos ^ {2} ( alpha) - sin ^ {2} ( alpha)} { } & {=} & {1-2 sin ^ {2} ( alpha)} {} & {=} & {2 cos ^ {2} ( alpha) -1} end {array} ]

Essas identidades decorrem da soma das identidades dos ângulos.

Prova da identidade senoidal de duplo ângulo

[ sin (2 alpha) nonumber ]
[= sin ( alpha + alpha) nonumber ] Aplicar a soma da identidade dos ângulos
[= sin ( alpha) cos ( alpha) + cos ( alpha) sin ( alpha) nonumber ] Simplifique
[= 2 sin ( alpha) cos ( alpha) nonumber ] Estabelecendo a identidade

Exercício ( PageIndex {1} )

Mostre ( cos (2 alpha) = cos ^ {2} ( alpha) - sin ^ {2} ( alpha) ) usando a soma da identidade dos ângulos para cosseno.

Responder

[ begin {array} {l} { cos left (2 alpha right) = cos ( alpha + alpha)} { cos ( alpha) cos ( alpha) - sin ( alpha) sin ( alpha)} { cos ^ {2} ( alpha) - sin ^ {2} ( alpha)} end {array} nonumber ]

Para a identidade de ângulo duplo do cosseno, existem três formas de identidade declaradas porque a forma básica, ( cos (2 alpha) = cos ^ {2} ( alpha) - sin ^ {2} ( alpha ) ), pode ser reescrito usando a identidade pitagórica. Reorganizar a identidade pitagórica resulta na igualdade ( cos ^ {2} ( alpha) = 1- sin ^ {2} ( alpha) ), e substituindo isso na identidade básica de ângulo duplo, obtemos o segunda forma da identidade de ângulo duplo.

[ cos (2 alpha) = cos ^ {2} ( alpha) - sin ^ {2} ( alpha) nonumber ] Substituindo usando a identidade pitagórica
[ cos (2 alpha) = 1- sin ^ {2} ( alpha) - sin ^ {2} ( alpha) nonumber ] Simplificando
[ cos (2 alpha) = 1-2 sin ^ {2} ( alpha) nonumber ]

Exemplo ( PageIndex {1} )

Se ( sin ( theta) = dfrac {3} {5} ) e ( theta ) estiver no segundo quadrante, encontre os valores exatos para ( sin (2 theta) ) e ( cos (2 theta) ).

Solução

Para avaliar ( cos (2 theta) ), como sabemos o valor de ( sin ( theta) ), podemos usar a versão do ângulo duplo que envolve apenas seno.

[ cos (2 theta) = 1-2 sin ^ {2} ( theta) = 1-2 left ( dfrac {3} {5} right) ^ {2} = 1- dfrac {18} {25} = dfrac {7} {25} não numérico ]

Uma vez que o ângulo duplo para seno envolve seno e cosseno, precisaremos primeiro encontrar ( cos ( theta) ), o que podemos fazer usando a identidade pitagórica.

[ sin ^ {2} ( theta) + cos ^ {2} ( theta) = 1 não numérico ]
[ left ( dfrac {3} {5} right) ^ {2} + cos ^ {2} ( theta) = 1 nonumber ]
[ cos ^ {2} ( theta) = 1- dfrac {9} {25} nonumber ]
[ cos ( theta) = pm sqrt { dfrac {16} {25}} = pm dfrac {4} {5} nonumber ]

Desde ( theta ) está no segundo quadrante, sabemos que cos ( ( theta )) ( mathrm {<} ) 0, então

[ cos ( theta) = - dfrac {4} {5} nonumber ]

Agora podemos avaliar o ângulo duplo do seno

[ sin (2 theta) = 2 sin ( theta) cos ( theta) = 2 left ( dfrac {3} {5} right) left (- dfrac {4} {5 } right) = - dfrac {24} {25} nonumber ]

Exemplo ( PageIndex {2} )

Simplifique as expressões

a) (2 cos ^ {2} left (12 {} ^ circ right) -1 )

b) (8 sin left (3x right) cos left (3x right) )

Solução

a) Observe que a expressão está na mesma forma que uma versão da identidade de ângulo duplo para cosseno: ( cos (2 theta) = 2 cos ^ {2} ( theta) -1 ). Usando isso,

[2 cos ^ {2} left (12 {} ^ circ right) -1 = cos left (2 cdot 12 {} ^ circ right) = cos left (24 {} ^ circ right) nonumber ]

b) Esta expressão é semelhante ao resultado da identidade de ângulo duplo para seno.

[8 sin left (3x right) cos left (3x right) nonumber ] Fatorando um 4 da expressão original
[4 cdot 2 sin left (3x right) cos left (3x right) nonumber ] Aplicando a identidade de ângulo duplo
[4 sin (6x) nonumber ]

Podemos usar as identidades de ângulo duplo para simplificar expressões e provar identidades.

Exemplo ( PageIndex {3} )

Simplifique ( dfrac { cos (2t)} { cos (t) - sin (t)} ).

Solução

Com três opções para reescrever o ângulo duplo, precisamos considerar qual será a mais útil. Para simplificar esta expressão, seria ótimo se o denominador cancelasse com algo no numerador, o que exigiria um fator de ( cos (t) - sin (t) ) no numerador, que é mais provável que ocorrerá se reescrevermos o numerador com uma mistura de seno e cosseno.

[ dfrac { cos (2t)} { cos (t) - sin (t)} nonumber ] Aplicar a identidade de ângulo duplo
[= dfrac { cos ^ {2} (t) - sin ^ {2} (t)} { cos (t) - sin (t)} nonumber ] Fatore o numerador
[= dfrac { left ( cos (t) - sin (t) right) left ( cos (t) + sin (t) right)} { cos (t) - sin (t)} nonumber ] Cancelando o fator comum
[= cos (t) + sin (t) nonumber ] Resultando da forma mais simplificada

Exemplo ( PageIndex {4} )

Prove ( sec (2 alpha) = dfrac { sec ^ {2} ( alpha)} {2- sec ^ {2} ( alpha)} ).

Solução

Como o lado direito parece um pouco mais complicado do que o esquerdo, começamos por aí.

[ dfrac { sec ^ {2} ( alpha)} {2- sec ^ {2} ( alpha)} nonumber ] Reescrever as secantes em termos de cosseno
[= dfrac { dfrac {1} { cos ^ {2} ( alpha)}} {2- dfrac {1} { cos ^ {2} ( alpha)}} nonumber ]

Neste ponto, poderíamos reescrever a parte inferior com denominadores comuns, subtrair os termos, inverter e multiplicar e, em seguida, simplificar. Como alternativa, podemos multiplicar a parte superior e inferior por ( cos ^ {2} ( alpha) ), o denominador comum:

[= dfrac { dfrac {1} { cos ^ {2} ( alpha)} cdot cos ^ {2} ( alpha)} { left (2- dfrac {1} { cos ^ {2} ( alpha)} right) cdot cos ^ {2} ( alpha)} nonumber ] Distribuir na parte inferior
[= dfrac { dfrac { cos ^ {2} ( alpha)} { cos ^ {2} ( alpha)}} {2 cos ^ {2} ( alpha) - dfrac { cos ^ {2} ( alpha)} { cos ^ {2} ( alpha)} cdot} nonumber ] Simplifique
[= dfrac {1} {2 cos ^ {2} ( alpha) -1} nonumber ] Reescreva o denominador como um ângulo duplo
[= dfrac {1} { cos (2 alpha)} nonumber ] Reescrever como secante
[= sec (2 alpha) nonumber ] Estabelecendo a identidade

Exercício ( PageIndex {2} )

Use uma identidade para encontrar o valor exato de ( cos ^ {2} left (75 {} ^ circ right) - sin ^ {2} left (75 {} ^ circ right) ) .

Responder

[ cos ^ {2} left (75 {} ^ circ right) - sin ^ {2} left (75 {} ^ circ right) = cos (2 cdot 75 {} ^ circ) nonumber ] [= cos (150 {} ^ circ) = dfrac {- sqrt {3}} {2} nonumber ]

Tal como acontece com outras identidades, também podemos usar as identidades de ângulo duplo para resolver equações.

Exemplo ( PageIndex {5} )

Resolva ( cos (2t) = cos (t) ) para todas as soluções com (0 le t <2 pi ).

Solução

Em geral, ao resolver equações trigonométricas, as coisas ficam mais complicadas quando temos uma mistura de senos e cossenos e quando temos uma mistura de funções com períodos diferentes. Neste caso, podemos usar uma identidade de ângulo duplo para reescrever o cos (2t) Ao escolher qual forma de identidade de ângulo duplo usar, notamos que temos um cosseno no lado direito da equação. Tentamos limitar nossa equação a uma função trigonométrica, o que podemos fazer escolhendo a versão da fórmula de ângulo duplo para o cosseno que envolve apenas o cosseno.

[ cos (2t) = cos (t) nonumber ] Aplicar a identidade de ângulo duplo
[2 cos ^ {2} (t) -1 = cos (t) nonumber ] Isso é quadrático no cosseno, então faça um lado 0
[2 cos ^ {2} (t) - cos (t) -1 = 0 nonumber ] Fator
[ left (2 cos (t) +1 right) left ( cos (t) -1 right) = 0 nonumber ] Divida isso para resolver cada parte separadamente

[2 cos (t) + 1 = 0 texto {ou} cos (t) -1 = 0 não numérico ]
[ cos (t) = - dfrac {1} {2} text {ou} cos (t) = 1 nonumber ]
[t = dfrac {2 pi} {3} text {ou} t = dfrac {4 pi} {3} text {ou} t = 0 nonumber ]

Olhando para um gráfico de cos (2t) e cos (t) mostradas juntas, podemos verificar que essas três soluções em [0, 2 ( pi )) parecem razoáveis.

Exemplo ( PageIndex {6} )

Uma bala de canhão é disparada com velocidade de 100 metros por segundo. Se for lançado em um ângulo de ( theta ), o componente vertical da velocidade será (100 sin ( theta) ) e o componente horizontal será (100 cos ( theta) ). Ignorando a resistência do vento, a altura da bala de canhão seguirá a equação (h (t) = - 4,9t ^ {2} +100 sin ( theta) t ) e a posição horizontal seguirá a equação (x (t) ) = 100 cos ( theta) t ). Se você quiser acertar um alvo a 900 metros de distância, em que ângulo você deve apontar o canhão?

Solução

Para atingir o alvo a 900 metros de distância, queremos (x (t) = 900 ) no momento em que a bala de canhão atinge o solo, quando (h (t) = 0 ). Para resolver este problema, vamos primeiro resolver o tempo, (t ), quando a bala de canhão atinge o solo. Nossa resposta dependerá do ângulo ( theta ).

[h (t) = 0 não numérico ]
[- 4,9t ^ {2} +100 sin ( theta) t = 0 nonumber ] Fator
[t left (-4.9t + 100 sin ( theta) right) = 0 nonumber ] Divida isso para encontrar duas soluções

[t = 0 text {ou} -4,9t + 100 sin ( theta) = 0 nonumber ] Resolva para (t )
[- 4,9t = -100 sin ( theta) nonumber ]
[t = dfrac {100 sin ( theta)} {4,9} não numérico ]

Isso mostra que a altura é 0 duas vezes, uma vez em (t = 0 ) quando a bala de canhão é disparada e novamente quando a bala de canhão atinge o solo após voar pelo ar. Este segundo valor de (t ) fornece o momento em que a bola atinge o solo em termos do ângulo ( theta ). Queremos que a distância horizontal (x (t) ) seja de 900 quando a bola atingir o solo, ou seja, quando (t = dfrac {100 sin ( theta)} {4.9} ).

Uma vez que o alvo está a 900 m de distância, começamos com

[x (t) = 900 nonumber ] Use a fórmula para (x (t) )
[100 cos ( theta) t = 900 nonumber ] Substitua o tempo desejado, (t ) de cima
[100 cos ( theta) dfrac {100 sin ( theta)} {4,9} = 900 nonumber ] Simplifique
[ dfrac {100 ^ {2}} {4.9} cos ( theta) sin ( theta) = 900 nonumber ] Isole o produto cosseno e seno
[ cos ( theta) sin ( theta) = dfrac {900 (4.9)} {100 ^ {2}} nonumber ]

O lado esquerdo desta equação quase se parece com o resultado da identidade de ângulo duplo para seno: [ sin (2 theta) = 2 sin left ( theta right) cos left ( theta right) enhum número]

Multiplicando ambos os lados da nossa equação por 2,

[2 cos ( theta) sin ( theta) = dfrac {2 (900) (4.9)} {100 ^ {2}} nonumber ] Usando a identidade de ângulo duplo à esquerda
[ sin (2 theta) = dfrac {2 (900) (4.9)} {100 ^ {2}} nonumber ] Use o seno inverso
[2 theta = sin ^ {- 1} left ( dfrac {2 (900) (4.9)} {100 ^ {2}} right) approx 1.080 nonumber ] Divida por 2
[ theta = dfrac {1,080} {2} = 0,540 não numérico ], ou cerca de 30,94 graus

Redução de potência e identidades de meio ângulo

Outro uso das identidades de ângulo duplo do cosseno é usá-las ao contrário para reescrever um seno ou cosseno ao quadrado em termos do ângulo duplo. Começando com uma forma de identidade de ângulo duplo do cosseno:

[ cos (2 alpha) = 2 cos ^ {2} ( alpha) -1 nonumber ] Isole o termo cosseno ao quadrado
[ cos (2 alpha) + 1 = 2 cos ^ {2} ( alpha) nonumber ] Adicionar 1
[ cos ^ {2} ( alpha) = dfrac { cos (2 alpha) +1} {2} nonumber ] Divida por 2
[ cos ^ {2} ( alpha) = dfrac { cos (2 alpha) +1} {2} nonumber ] Isso é chamado de identidade de redução de potência

Exercício ( PageIndex {3} )

Use outra forma de identidade de ângulo duplo do cosseno para provar a identidade ( sin ^ {2} ( alpha) = dfrac {1- cos (2 alpha)} {2} ).

Responder

[ begin {array} {l} { dfrac {1- cos (2 alpha)} {2}} { dfrac {1- left ( cos ^ {2} ( alpha) - sin ^ {2} ( alpha) right)} {2}} { dfrac {1- cos ^ {2} ( alpha) + sin ^ {2} ( alpha)} {2 }} { dfrac { sin ^ {2} ( alpha) + sin ^ {2} ( alpha)} {2}} { dfrac {2 sin ^ {2} ( alpha )} {2} = sin ^ {2} ( alpha)} end {array} nonumber ]

As identidades de ângulo duplo do cosseno também podem ser usadas ao contrário para avaliar ângulos que são metade de um ângulo comum. Construindo a partir de nossa fórmula ( cos ^ {2} ( alpha) = dfrac { cos (2 alpha) +1} {2} ), se deixarmos ( theta = 2 alpha ), então ( alpha = dfrac { theta} {2} ) esta identidade torna-se ( cos ^ {2} left ( dfrac { theta} {2} right) = dfrac { cos ( theta) +1} {2} ). Tomando a raiz quadrada, obtemos

[ cos left ( dfrac { theta} {2} right) = pm sqrt { dfrac { cos ( theta) +1} {2}} nonumber ] onde o sinal é determinado pelo quadrante.

Isso é chamado de identidade de meio ângulo.

Exercício ( PageIndex {4} )

Use os resultados do último Experimente agora para provar a identidade ( sin left ( dfrac { theta} {2} right) = pm sqrt { dfrac {1- cos ( theta)} {2}} ).

Responder

[ begin {array} {l} { sin ^ {2} ( alpha) = dfrac {1- cos (2 alpha)} {2}} { sin ( alpha) = pm sqrt { dfrac {1- cos (2 alpha)} {2}}} { alpha = dfrac { theta} {2}} { sin left ( dfrac { theta} {2} right) = pm sqrt { dfrac {1- cos left (2 left ( dfrac { theta} {2} right) right)} {2}}} { sin left ( dfrac { theta} {2} right) = pm sqrt { dfrac {1- cos ( theta)} {2}}} end {array} nonumber ]

IDENTIDADES

Identidades de meio-ângulo

[ cos left ( dfrac { theta} {2} right) = pm sqrt { dfrac { cos ( theta) +1} {2}} ]

[ sin left ( dfrac { theta} {2} right) = pm sqrt { dfrac {1- cos ( theta)} {2}} ]

Identidades de redução de energia

[ cos ^ {2} ( alpha) = dfrac { cos (2 alpha) +1} {2} ]

[ sin ^ {2} ( alpha) = dfrac {1- cos (2 alpha)} {2} ]

Uma vez que essas identidades são fáceis de derivar das identidades de ângulo duplo, a redução de potência e as identidades de meio ângulo não são aquelas que você precisa memorizar separadamente.

Exemplo ( PageIndex {7} )

Reescreva ( cos ^ {4} (x) ) sem quaisquer poderes.

Solução

[ cos ^ {4} (x) = left ( cos ^ {2} (x) right) ^ {2} nonumber ] Usando a fórmula de redução de potência
[= left ( dfrac { cos (2x) +1} {2} right) ^ {2} nonumber ] Quadrado do numerador e do denominador
[= dfrac { left ( cos (2x) +1 right) ^ {2}} {4} nonumber ] Expanda o numerador
[= dfrac { cos ^ {2} (2x) +2 cos (2x) +1} {4} nonumber ] Divida a fração
[= dfrac { cos ^ {2} (2x)} {4} + dfrac {2 cos (2x)} {4} + dfrac {1} {4} nonumber ] Aplique a fórmula acima para ( cos ^ {2} (2x) )
[ cos ^ {2} (2x) = dfrac { cos (2 cdot 2x) +1} {2} nonumber ]
[= dfrac { left ( dfrac { cos (4x) +1} {2} right)} {4} + dfrac {2 cos (2x)} {4} + dfrac {1} {4} nonumber ] Simplifique
[= dfrac { cos (4x)} {8} + dfrac {1} {8} + dfrac {1} {2} cos (2x) + dfrac {1} {4} nonumber ] Combine as constantes
[= dfrac { cos (4x)} {8} + dfrac {1} {2} cos (2x) + dfrac {3} {8} não numérico ]

Exemplo ( PageIndex {8} )

Encontre um valor exato para ( cos left (15 {} ^ circ right) ).

Solução

Como 15 graus é metade de 30 graus, podemos usar nosso resultado de cima:

[ cos (15 {} ^ circ) = cos left ( dfrac {30 {} ^ circ} {2} right) = pm sqrt { dfrac { cos (30 {} ^ circ) +1} {2}} nonumber ]

Podemos avaliar o cosseno.Como 15 graus está no primeiro quadrante, precisamos do resultado positivo.

[ sqrt { dfrac { cos (30 {} ^ circ) +1} {2}} = sqrt { dfrac { dfrac { sqrt {3}} {2} +1} {2} } enhum número]
[= sqrt { dfrac { sqrt {3}} {4} + dfrac {1} {2}} nonumber ]

Tópicos importantes desta seção

  • Identidade de ângulo duplo
  • Identidade de redução de potência
  • Identidade de meio ângulo
  • Usando identidades
  • Simplifique as equações
  • Provar identidades
  • Resolva equações

Fórmula de ângulo duplo e fórmula de meio ângulo

Nessas lições, aprendemos como usar as fórmulas de ângulo duplo e as fórmulas de meio ângulo para resolver equações trigonométricas e provar identidades trigonométricas. Também provaremos as fórmulas de ângulo duplo e as fórmulas de meio ângulo.

A figura a seguir mostra as Fórmulas de Ângulo Duplo e as Fórmulas de Meio Ângulo. Role a página para baixo para obter mais exemplos e soluções de como usar, derivar e testar as Fórmulas de Ângulo Duplo e Fórmulas de Meio Ângulo.


Exemplo:
Dado, encontre
a) sen 2θ
b)

Solução:
a) sen 2θ = 2 sen θ cos θ

Usando identidades de ângulo duplo para resolver equações

Usando identidades de ângulo duplo para resolver equações, exemplo 1.
Este vídeo usa algumas identidades de ângulo duplo para seno e / ou cosseno para resolver algumas equações.

Exemplo:
cos (4x) - 3cos (2x) = 4

Usando identidades de ângulo duplo para resolver equações, exemplo 2

Exemplo:
sin (2t) = sin (t)

Usando identidades de ângulo duplo para resolver equações, exemplo 3

Exemplo:
sen (2t) + 4sin (t) + 2cos (t) = −4

Prove identidades trigonométricas usando ângulos duplos

Identidades de trigonometria - ângulos duplos (1)

Exemplo:
(1 - cos 2x) / sen 2x = tan x

Identidades de trigonometria - ângulo duplo (2)

Exemplo:
Prove tan x + cos x = 2 cosec 2x

Fórmulas de ângulo duplo

Alguns exemplos que usam fórmulas de ângulo duplo de trigonometria.

  1. Se cos x = 1 / √10 com x no quadrante IV, encontre sen 2x
  2. Gráfico y = 4 - 8 sen 2 x
  3. Verifique sen60 ° = 2sin30 ° cos30 °

Prova das Fórmulas de Ângulo Duplo

Trigonometria - Prova das Fórmulas de Ângulo Duplo das Fórmulas de Adição.

Como derivar as identidades de ângulo duplo para seno e cosseno?

Exemplo:
Se cosθ = -4/5 e sinθ & gt 0, encontre
a) sin2θ
b) cos2θ

Usando fórmulas de meio-ângulo

Fórmulas de meio-ângulo
Alguns problemas envolvendo fórmulas de meio-ângulo em trigonometria.

Exemplo:
Seja sinA = 4/5 com A no quadrante II. Encontrar

Identidades de meio ângulo para avaliar expressões trigonométricas, Exemplo 1

Este vídeo fornece algumas identidades de meio ângulo e mostra como elas podem ser usadas para resolver algumas equações trigonométricas.

Exemplo:
Encontre o valor exato de sin (22,5 °)

Identidades de meio ângulo para avaliar expressões trigonométricas, Exemplo 2

Este vídeo fornece algumas identidades de meio ângulo e mostra como elas podem ser usadas para resolver algumas equações trigonométricas.

Exemplo:
Encontre o valor exato de tan (105 °)

Identidades de meio ângulo para avaliar expressões trigonométricas, Exemplo 3

Este vídeo fornece algumas identidades de meio ângulo e mostra como elas podem ser usadas para resolver algumas equações trigonométricas.

Encontre sin (a / 2) se cos a = 3/5 para 0 ° ≤ a ≤ 90 °

Prova das Fórmulas de Meio-Ângulo

Este vídeo deriva as identidades de trigonometria de meio ângulo para cosseno, seno e tangente.

Experimente a calculadora e solucionador de problemas Mathway grátis abaixo para praticar vários tópicos de matemática. Experimente os exemplos fornecidos ou digite seu próprio problema e verifique sua resposta com as explicações passo a passo.

Agradecemos seus comentários, comentários e perguntas sobre este site ou página. Envie seus comentários ou perguntas por meio de nossa página de comentários.


Soma de ângulos e identidades de diferença | Planilhas de ângulos compostos

As planilhas de soma de ângulo e identidades de diferença em PDF facilitam a determinação do valor exato de um ângulo, escrito como uma soma ou diferença usando valores familiares de seno, cosseno e tangente como 30 & deg, 45 & deg, 60 & deg e 90 & deg e seus múltiplos. Navegue pelos exercícios do ensino médio que podem ser impressos, como encontrar os valores exatos das expressões trigonométricas, avaliar e provar equações trigonométricas usando a fórmula da soma e a fórmula da diferença e uma combinação das duas. Nossas planilhas gratuitas são plataformas de lançamento de prática perfeita!

Equipe-se com o conhecimento da identidade do gráfico de identidade da soma angular. Determine o valor exato observando o ângulo na expressão trigonométrica e divida-o como a soma de dois ângulos conhecidos.

Apresente a identidade da diferença do ângulo com o gráfico de identidade da diferença. Divida o ângulo como uma diferença de dois ângulos conhecidos em termos de sen, cos e tan para encontrar os valores exatos das expressões trigonométricas.

Recapitule a soma dos ângulos e as fórmulas de diferença, empregando essas expressões trigonométricas com medidas de ângulo que podem ser divididas como uma soma ou diferença de dois ângulos conhecidos usando as fórmulas de ângulo compostas.

Esta matriz de planilhas de PDF do ensino médio consiste em expressões trigonométricas a serem simplificadas e expressas como uma única função trigonométrica usando a identidade de soma ou diferença. Reduza as expressões trigonométricas para ângulos conhecidos de sin, cos e tan.

Apresentadas neste conjunto estão as expressões trigonométricas que devem ser avaliadas para calcular o valor exato usando as identidades dos ângulos compostos em combinação com as outras identidades trigonométricas.

Explore as planilhas de proporção trigonométrica imprimíveis, incorporando expressões trigonométricas, encontre seus valores com base no quadrante ou intervalo dado dentro do qual o ângulo está localizado implementando as identidades dos ângulos compostos.


Fórmulas angulares em trigonometria: definição, representação, perguntas e mais

Verifique a definição e as fórmulas para ângulo central, ângulo duplo e múltiplos ângulos. Exemplos resolvidos para mais esclarecimentos sobre as fórmulas também são fornecidos aqui.

Ângulo: A medida da abertura entre duas linhas que se cruzam é ​​chamada de ângulo.

Unidade: A unidade de ângulo é radianos ou graus.

Fórmula do ângulo: Existem diferentes tipos de fórmulas para calcular as medidas de diferentes ângulos. Vamos discutir os principais abaixo:

Fórmula do ângulo central: O ângulo central é o ângulo formado por dois braços com o centro de um círculo como vértice. Os dois braços formam dois raios do círculo que cruzam o arco do círculo em pontos diferentes.

A fórmula do ângulo central é usada para encontrar o ângulo entre dois raios de um círculo.

A Fórmula do Ângulo Central é representada como:

Fórmulas de ângulo duplo:

As fórmulas de ângulo duplo são nomeadas assim porque envolvem funções trigonométricas de ângulos duplos, ou seja, sen2θ, cos2θ e tan2θ.

Existem três fórmulas principais de ângulo duplo, conforme abaixo:

onde θ é o ângulo em um triângulo retângulo.

Fórmulas de múltiplos ângulos:

Vários ângulos são da forma pecadonθ, cosnθ e tannθ. Seno, tangente e cosseno são as funções gerais para a fórmula de múltiplos ângulos.

Alguns exemplos que mostram a aplicação de fórmulas angulares são dados a seguir:

1. Encontre o ângulo de um segmento em um círculo se o comprimento do arco for 7π e o raio for 9 unidades.


Trigonometria Avançada

Conversão de graus / radianos

Radianos e graus são as unidades mais comumente usadas para medir ângulos. Como o PurpleMath.com explica, graus & ldquoexpressam direcionalidade e tamanho do ângulo & rdquo, enquanto radianos servem como expressões numéricas de graus (por exemplo, 360 ° = 2π). Abaixo está uma coleção de conversores:

Conversor de ângulo da CleaveBooks.co.uk - Insira seu ângulo em graus para convertê-lo em radianos e outras unidades. Se você tiver problemas, siga as instruções fornecidas.

Conversão de ângulo do RapidTables.com - Fácil de usar e converte graus em radianos ou radianos em graus, respectivamente. Ambas as ferramentas também fornecem informações tutoriais para ajudá-lo a compreender melhor o conceito:

Conversão de graus em radianos de UnitConversion.org - Rápido e fácil de usar, insira seu ângulo em graus ou radianos e a outra unidade será fornecida instantaneamente.

Conversão angular da CalculatorSoup.com - Saiba mais sobre como as conversões angulares funcionam lendo as informações detalhadas do tutorial fornecidas. Use os menus suspensos para selecionar o tipo de conversão que deseja realizar.

Conversão Angular da Universidade do Texas - Fornecido pelo Bureau de Geologia Econômica da Universidade do Texas e rápido e fácil de usar. Converta graus em radianos e vice-versa.

Conversão de graus em radianos de ConvertUnits.com - Converter graus em radianos e radianos em graus é rápido e fácil. Saiba mais sobre a conversão na seção de informações e definições do tutorial.

Conversão de graus em radianos do CalcuNation.com - siga a fórmula fornecida e o exemplo para entender melhor como converter graus em radianos.

Graus e radianos do Mathinary.com - Rápido e fácil de usar, aprenda mais sobre a conversão de radianos e graus e sua aplicação prática a partir das informações do tutorial fornecidas.

Conversor de graus em radianos do MathPortal.org - Converta graus em radianos e vice-versa. Uma explicação passo a passo é fornecida com seus resultados.

Graus em Radianos do CalculatorPro.com - Este conversor é rápido e fácil de usar.

Conversor de graus e radianos do UnitJuggler.com - Escolha qual conversão você precisa fazer e insira seus valores. Os resultados são claros e fáceis de entender.

Graus / radianos do Had2Know.com - Aprenda mais sobre como converter graus e radianos nas informações detalhadas do tutorial e no gráfico circular.

Radianos e graus de MattDoyle.net - Não há sinos e assobios com este conversor. É rápido e fácil de usar. Selecione qual conversão você precisa fazer e insira seus valores.

Conversor de unidades do TranslatorsCafe.com - Rápido e fácil de usar, selecione a conversão que você precisa fazer e insira seus valores. Seus resultados serão mostrados instantaneamente.

Radianos em graus da TutorVista.com - Use os exemplos passo a passo para aprender mais sobre como fazer essas conversões.

Graus em radianos do PlanetCalc.com - Rápido e fácil de usar, insira seu ângulo em graus e a conversão para radianos será fornecida para você.

Graus e radianos do WolframAlpha.com - Selecione qual conversão você precisa fazer. Ao converter de radianos para graus, uma representação visual do seu ângulo dentro de um círculo será fornecida.

Medição de Ângulo

Os ângulos podem ser medidos em graus ou radianos. Abaixo estão as ferramentas para ajudá-lo a aprender como medir ângulos:

Tamanho angular da 1728.org - Use para resolver o ângulo, distância ou tamanho. Os ângulos são apresentados em graus, minutos ou segundos. Inclui um tutorial sobre tamanho angular e exemplos de usos no mundo real, como medições em astronomia.

Ângulo do VistualTrig.com - Insira o valor do ângulo superior ou o comprimento da base e o triângulo se ajustará de acordo. Ou use o controle deslizante para ajustar o ângulo superior do triângulo para ver como seus outros ângulos se ajustam.

Círculo de Unidade

Como MathIsFun.com explica, um círculo unitário é um círculo & ldquoa com um raio de 1. & rdquo Na trigonometria, ele fornece uma maneira conveniente de aprender sobre comprimentos e ângulos. Saiba mais sobre os círculos de unidade por meio das ferramentas abaixo:

Círculo de unidade de TutorVista.com - Use os exemplos passo a passo fornecidos e o diagrama rotulado para se familiarizar com o trabalho com um círculo de unidade.

Círculo de unidade interativa do MathIsFun.com - Arraste o cursor ao redor do círculo de unidade para ver como os valores de seno, cosseno e tangente se ajustam no gráfico.

Applet de círculo de unidade de AnalyzeMath.com - Escolha uma função, seno, cosseno ou tangente. Em seguida, observe como o círculo unitário corresponde ao gráfico desenhado.

Identidades trigonométricas

Como PurpleMath.com explica, em matemática, & ldquoan identidade é uma equação que é sempre verdadeira. & Rdquo Em trigonometria, você freqüentemente usará várias identidades (cada uma com seções abaixo). Aqui estão dois solucionadores de identidades trigonométricas gerais:

Solver de identidades trigonométricas de SymboLab.com - projetado de forma limpa e fácil de usar, este recurso fornece explicações passo a passo sobre como verificar identidades trigonométricas.

Solucionador de identidades trigonométricas do TutorVista.com - Siga as instruções e exemplos passo a passo para melhorar seu conhecimento sobre identidades trigonométricas. As identidades Soma-para-Produto e Produto-para-Soma podem ser executadas.

Identidades Pitagóricas

RegentsPrep.org explica as identidades pitagóricas. Saiba mais usando a ferramenta abaixo:

Resolvendo identidades pitagóricas do EasyCalculation.com - insira seu ângulo e siga os resultados passo a passo para ver como / por que a identidade foi comprovada.

Angle-Sum e -Difference Identities

MathWords.com apresenta as identidades de soma e diferença. Aprenda a trabalhar com eles usando os recursos abaixo:

Identidades de soma de ângulos de EasyCalculation.com - Esses recursos podem ser usados ​​para adicionar suas respectivas funções trigonométricas. Cada um (exceto para cosseno e cotangente) apresenta a fórmula necessária e um diagrama:

Identidades de diferença angular de EasyCalculation.com Saiba mais sobre como subtrair funções trigonométricas. Cada um (exceto para cotangente) apresenta a fórmula necessária e um diagrama.

Identidades de ângulo duplo

WolframMathworld.com oferece uma visão geral das fórmulas de ângulo duplo. Abaixo está uma coleção de recursos de identidades de ângulo duplo:

Solucionador de identidade de ângulo duplo do EasyCalculation.com - Aprenda a usar a identidade de ângulo duplo para seno, cosseno e tangente. As respectivas fórmulas das funções são fornecidas.

Identidade de ângulo duplo de MeraCalculator.com - Uma explicação da fórmula de identidade de ângulo duplo e um exemplo de problema são fornecidos.

Identidades de meio-ângulo

MathWords.com oferece fórmulas de identidades de meio-ângulo. Abaixo está uma coleção de solucionadores de identidades de meio-ângulo.

Solucionador de identidades de meio-ângulo do EasyCalculation.com - Aprenda como & ldquofind o seno, cosseno ou tangente de meio ângulo determinado com base na fórmula de identidade de trigonometria. & Rdquo

Identidade de meio ângulo de MeraCalculator.com - Informações tutoriais que explicam quando usar a fórmula de meio ângulo e as fórmulas para seno, cosseno e tangente são fornecidas.

Metade-ângulo da cotangente do EasyCalculation.com - Use a fórmula e o diagrama fornecidos para aprender mais sobre como encontrar a metade do ângulo da cotangente com base em seu valor de ângulo conhecido.

Half-Angle of Cosine do EasyCalculation.com - São fornecidos um diagrama rotulado e uma fórmula de meio-ângulo do cosseno.

Identidades de soma

MathWords.com apresenta a Soma para as Fórmulas de Identidades do Produto. Abaixo estão os recursos que ensinam como usá-los:

Soma para identidades de produto do EasyCalculation.com - O site apresenta esses recursos rápidos e fáceis de usar para trabalhar com Soma para identidades de produto.

MathCelebrity.com's Sum to Product e Product to Sum Formulas - Insira a soma do produto ou produto para somar a identidade que você gostaria de simplificar. Os resultados incluem uma explicação passo a passo de como fazer isso.

Identidades do Produto

Visualize o produto para somar as identidades em MathWords.com. Abaixo estão dois recursos para ajudá-lo a aprender a trabalhar com eles:

Produto do EasyCalculation.com para somar identidades - Uma maneira rápida e fácil de & ldquoreescrever e avaliar produtos de seno e / ou cossenos como somas. & Rdquo As fórmulas necessárias são fornecidas.

Produto para somar identidades de Eguruchela.com - Sem sinos e assobios, um recurso rápido para trabalhar com produto para somar identidades.

Identidades de redução de energia

Chegg.com explica as fórmulas de redução de energia. Saiba mais sobre como trabalhar com eles usando os recursos abaixo.

Redução de energia do EasyCalculation.com - familiarize-se com o trabalho com as fórmulas de redução de energia, que são fornecidas como referência.

Identidade de redução de energia de MeraCalculator.com - Saiba mais sobre como trabalhar com a identidade de redução de energia usando as informações do tutorial fornecidas.

Identidades de redução de energia do Eguruchela.com - Um recurso direto e fácil de usar para trabalhar com as identidades de redução de energia.

Equações trigonométricas

Como explica PurpleMath.com, resolver equações trigonométricas requer combinar o que você aprendeu sobre ângulos com suas habilidades algébricas. Abaixo está uma coleção de solucionadores de equações trigonométricas:

Equações trigonométricas de EasyCalculation.com - Rápido e fácil de usar, insira o ângulo e o número inteiro para encontrar x. As fórmulas necessárias são fornecidas como referência.

Equações trigonométricas da Symbolab.com - Com design limpo e fácil de usar, insira sua própria equação ou trabalhe com um dos exemplos para obter uma explicação passo a passo de como resolver a equação. A equação também é mostrada em um gráfico.

Resolvedor de equações trigonométricas de MathPortal.org - Saiba mais sobre equações trigonométricas por meio de exemplos passo a passo.

Simplifique uma expressão trigonométrica do WebMath.com - insira sua expressão. Este recurso usará as identidades trigonométricas para simplificá-lo. Uma explicação passo a passo é fornecida.

Equation Solver da NumberEmpire.com - Use & ldquoExample 2 & rdquo para saber mais sobre como resolver equações trigonométricas. Uma variedade de outras equações também pode ser resolvida.

Vetor ou operações de vetor

Como SparkNotes.com explica, um vetor é & ldquoessencialmente um segmento de linha em uma posição específica, com comprimento e direção, designados por uma seta em sua extremidade. & Rdquo Saiba mais sobre vetores usando os recursos abaixo:

Vector de MathIsFun.com - Insira vetores como magnitude e ângulo ou como coordenadas x, y e veja como eles interagem no gráfico.

Vetor do MathPortal.org - insira suas coordenadas vetoriais em 2D ou 3D e selecione a operação que deseja realizar. Marque a caixa & ldquoMostre-me uma explicação & rdquo para ver passo a passo como o resultado foi encontrado.

Adição de vetores da 1728.org - Um recurso rápido e fácil de usar para adicionar até 10 vetores. Informações tutoriais e um diagrama também são fornecidos.


Membros mais expressivos

C # 6 introduziu membros com corpo de expressão para funções de membro e propriedades somente leitura. C # 7.0 expande os membros permitidos que podem ser implementados como expressões. No C # 7.0, você pode implementar construtores, finalizadores, e obter e definir acessores em propriedades e indexadores. O código a seguir mostra exemplos de cada um:

Este exemplo não precisa de um finalizador, mas é mostrado para demonstrar a sintaxe. Você não deve implementar um finalizador em sua classe, a menos que seja necessário liberar recursos não gerenciados. Você também deve considerar o uso da classe SafeHandle em vez de gerenciar recursos não gerenciados diretamente.

Esses novos locais para membros expressivos representam um marco importante para a linguagem C #: esses recursos foram implementados por membros da comunidade que trabalham no projeto Roslyn de código aberto.

Mudar um método para um membro com corpo de expressão é uma mudança binária compatível.


Q: Se cos u = -2/3 e π / 2 & amplt u & amplt π, encontre: a. sin (2u)

R: Clique para ver a resposta

Q: Resolva cada equação ou soluções no intervalo [0 °, 360 °). Dê soluções até o décimo a mais próximo.

R: Em primeiro lugar, resolvemos a equação dada como equação quadrática

Q: Resolva para todas as soluções dentro de [0,2pi): CosxCotx = Cosx - radiands

R: Clique para ver a resposta

Q: Instruções: Encontre todos os valores de θ no intervalo [0 °, 360 °) e tem o valor de função dado: a.

A: (a) Os valores de θ no intervalo [0 °, 360 °) são:

Q: avalie exatamente cos-1 (-3/2)

R: -3/2 está fora do domínio da função. Portanto, não teremos solução

Q: Encontre o valor exato da expressão. Não use uma calculadora. 5) pecado 5

Q: Simplifique a expressão trigonométrica seguindo a direção indicada. 11) Reescreva por meio de uma comunicação.


Outras Formas da Fórmula Coseno de Duplo Ângulo - Conceito

Norm foi 4º no Campeonato Nacional de Halterofilismo dos EUA em 2004! Ele ainda treina e compete ocasionalmente, apesar de sua agenda lotada.

A fórmula do ângulo duplo do cosseno é cos (2theta) = cos2 (theta) - sen2 (theta). Combinando esta fórmula com a identidade pitagórica, cos2 (theta) + sin2 (theta) = 1, duas outras formas aparecem: cos (2theta) = 2cos2 (theta) -1 e cos (2theta) = 1-2sin2 (theta). Eles podem ser usados ​​para encontrar as fórmulas de redução de potência, que reduzem um segundo grau ou função trigonométrica superior a um primeiro grau. Essas fórmulas são muito úteis no cálculo.

Eu quero falar sobre outras formas de identidades de ângulo duplo do cosseno. Primeiro, vamos relembrar a identidade pitagórica e as duas outras formas dela. Cosseno ao quadrado mais seno ao quadrado é igual a 1 também pode ser escrito cosseno ao quadrado teta é igual a 1 menos seno ao quadrado teta ou seno ao quadrado teta é igual a 1 menos cosseno ao quadrado teta. Agora, a fórmula original do ângulo duplo do cosseno é esta, cosseno de 2 teta é igual a cosseno ao quadrado de teta menos seno ao quadrado de teta, mas posso usar minhas identidades pitagóricas para reescrever isso, então outra forma seria cosseno oops cosseno 2 teta é igual a cosseno de alfa teta I & # 39s substituí-lo por 1 menos seno ao quadrado teta menos seno teta seno ao quadrado teta e que & # 39s 1 menos 2 seno ao quadrado teta de modo que & # 39s a segunda forma cosseno 2 teta seja igual a 1 menos 2 seno ao quadrado teta, mas também podemos fazer cosseno de 2 theta é igual a e a partir daqui posso substituir seno ao quadrado por 1 menos cosseno para obter cosseno ao quadrado teta menos 1 seno ao quadrado de teta e menos distribuir recebo menos 1 I & # 39m desculpe, deve ser cosseno, vamos lá, nosso menos 1 distribuído obtemos menos 1 e menos menos mais cosseno ao quadrado de teta, então cosseno ao quadrado de teta menos 1 mais cosseno ao quadrado de teta é 2 cosseno ao quadrado de teta menos 1 eles são muito semelhantes. Cosseno 2 teta é 1 menos 2 seno ao quadrado teta, cosseno 2 teta é igual a 2 cosseno ao quadrado menos 1.
Para lembrar qual é qual, lembre-se da fórmula original do ângulo duplo do cosseno, o cosseno é aquele em que o seno positivo é aquele que é negativo, então nas outras formas o seno ainda é negativo e o cosseno ainda é positivo.


7.3: Identidades de ângulo duplo

Esta página é uma coleção de informações que coletei ao longo de várias décadas sobre eixos de transmissão e sua configuração e alinhamento. Não sou um especialista no assunto, mas tentei usar apenas informações que parecem fazer sentido. Se você encontrar algo incorreto ou algo que deva ser adicionado, envie por e-mail com referências.

Você notou uma vibração ou ruído estrondoso ao dirigir na rodovia? Se você tem muitos quilômetros em seu caminhão, modificou a suspensão ou o trem de força de alguma forma, pode estar sentindo vibração na linha de transmissão.

Pelo que eu pesquisei, o ideal é que você queira as duas extremidades de um eixo de acionamento da junta universal a 1 & # 176-2 e # 176 uma da outra para vida máxima da junta universal e vibração mínima. Este é realmente o ângulo de operação (sob carga) e não o ângulo do eixo de transmissão em relação às próprias juntas universais (que tem seu próprio limite).

Uma vez que o pinhão traseiro se move para cima sob aceleração (a menos que você tenha controle anti-enrolamento no eixo), o ideal é configurar o ângulo do pinhão estático para 1-2 e # 176 abaixo do ângulo do flange de saída da caixa de transferência. Dessa forma, conforme o pinhão é torcido, ele fica bem alinhado com a caixa de transferência. Normalmente, esta figura não será listada em nenhum manual de serviço, mas encontrei uma referência da Ford que lista um ângulo de diferença estático de 1,7 & # 176.

No meu caso, instalei uma manilha 1,5 ”mais longa e um calço 3” nº 176 para compensar a inclinação extra da manilha. Eu nunca medi os ângulos na época. Mais tarde, fiz medições e descobri que mesmo com 3 & # 176, eu ainda estava 1 & # 176 acima da caixa de transferência e precisava adicionar mais 2-3 & # 176 para passar de zero e entrar no intervalo desejado. Portanto, tenho que concluir que originalmente meu ângulo de pinhão também estava errado com a manilha original. A experiência de dirigir também confirmou isso, eu tinha vibração na linha de transmissão sob carga (pinhão para cima), mas ela iria embora em condições de desaceleração (pinhão para baixo).

Portanto, meu objetivo é medir o que você tem agora e ver se está tudo bem e o quanto isso mudará com uma algema mais longa.

Recentemente instalei um eixo de transmissão traseiro estilo CV e tive que inclinar o pinhão para apontar diretamente para a caixa de transferência, portanto, uma manilha mais longa funciona como uma vantagem. Calculei que precisaria de um calço 8 & # 176 com minha manilha 7 & quot (3,5 & quot maior que o estoque), mas depois de instalar tudo, descobri que meu pinhão tinha cerca de 2 & # 176 de altura, então fiz um calço 5 & # 176 personalizado para colocá-lo 1 & # 176 abaixo da linha da caixa de transferência. Se você precisar de um calço de eixo personalizado, posso ajudá-lo.

Junta cardan única ou junta U:

Articulações duplas de cardan:

EIXO RPM ÂNGULO DE OPERAÇÃO
5000 3.25°
4500 3.67°
4000 4.25°
3500 5.00°
3000 5.83°
2500 7.00°
2000 8.67°
1500 11.5°

Uma pergunta frequente é sobre eixos de transmissão e ângulos e assim por diante, é & quotQuanto calço preciso para X & quot de elevação & quot ou & quotS Y & # 176 calço muito? & Quot. Bem, realmente não há uma resposta geral para essas perguntas gerais, em vez disso, a resposta certa é o que funciona para essa situação particular. Por exemplo, supondo que o eixo de transmissão esteja alinhado corretamente em um veículo com suspensão de estoque, se for levantado com um bloco ou levantamento de mola, então tudo ainda deve estar alinhado, pelo menos com um eixo de transmissão de cardan único. É como um paralelogramo, os ângulos mudam, mas os lados permanecem paralelos. Então, por que alguns fabricantes de kit de levantamento incluem calços em seus kits? (Provavelmente porque eles não sabem em que tipo de veículo o elevador será instalado, então eles fornecem peças que podem ou não ser necessárias em todas as aplicações). Portanto, a resposta correta para quanto calçar um eixo para corrigir os ângulos do eixo de transmissão depende de quão longe o ângulo está para começar.

Então, como você mede as linhas de transmissão e os ângulos, etc.? À primeira vista parece meio difícil, mas tenho algumas técnicas fáceis que tornam o trabalho muito fácil. Como você mede os ângulos depende do tipo de eixo de transmissão que você possui. Além disso, há complicações adicionais quando você tem um eixo de transmissão de 2 peças, ou seja, um com um rolamento de suporte de medição.

A regra número um de cardan único ou juntas U é a soma de todos os ângulos operacionais de todas as juntas U em um eixo deve ser igual a 0 & # 176. Agora, o quão perto de 0 & # 176 você precisa para obter varia, alguns mfgs. digamos 0,5 & # 176, alguns dizem 1 & # 176. Toyota especifica 0,9 & # 176 +/- 1 & # 176. Ao medir o ângulo de operação, esse é o ângulo líquido através da junta.

Para definir o comprimento do eixo de transmissão, meça de flange a flange em repouso. Você deve permitir pelo menos 1,25 ”de compressão no eixo traseiro e talvez um pouco mais na frente (1,5” “2” - assumindo as manilhas de mola na parte traseira) para permitir a compressão da suspensão. Em seguida, certifique-se de ter curso de spline suficiente em inclinação total. Se o comprimento da ranhura existente não for longo o suficiente (às vezes, um problema no eixo de transmissão dianteiro), um eixo estriado de longo curso pode ser necessário.

Uma sugestão muito importante é medir todos os ângulos do eixo e da junta ANTES de modificar seu veículo. Desta forma, você tem um ponto de referência para comparar após levantar ou baixar o veículo. Além disso, você estará familiarizado com o processo de medição e poderá verificar se suas medições pré-modificação & quotfazem sentido & quot. Você deve ser capaz de ver como os ângulos foram configurados na fábrica, presumindo que seu eixo de transmissão estava funcionando perfeitamente quando você fez as medições. Você também deve verificar os comprimentos dos eixos para saber se o comprimento do eixo de transmissão mudou e pode ser necessário algo como um espaçador para aumentá-lo.

Um único cardan ou eixo de junta universal é normalmente o tipo de eixo mais barato e mais fácil de manter. As juntas universais são baratas e fáceis de manter e / ou substituir. Este projeto de eixo tolera bem mudanças na altura do percurso e os elevadores de suspensão com mola ou bloco normalmente não afetam o alinhamento. A principal desvantagem desse tipo de eixo é que quanto mais alto for o ângulo de operação, maior será a probabilidade de o eixo vibrar. Isso irá variar com a velocidade de operação, diâmetro do eixo, comprimento, espessura da parede e material. No meu caminhão com aprox. um eixo longo de 46 ”, quando o ângulo do eixo fosse acima de 12” # 176, ele não funcionaria mais suavemente.

  • Supondo que você tenha um único cardan cardan e deseja verificar se a saída da caixa de transferência e os flanges do pinhão estão próximos do paralelo, apenas meça a distância entre a parte superior e inferior de cada flange.
    • Se as dimensões forem iguais, os dois flanges são paralelos.
    • Se eles não forem iguais, cada diferença de 1/16 & quot (1,5 mm) é igual a 0,9 & # 176 em toda a

    • Agora, se este fosse um único triângulo, seu ângulo de correção seria este total de 0,9 & # 176 por 1/16 & quot polegada. No entanto, neste caso, como há uma junta u envolvida, ela tem um & quotcentro fantasma & quot e, portanto, você está lidando com dois triângulos, um de cada lado do centro da junta u.
    • Como existem dois triângulos, cada alteração feita em um também afetará o outro. Assim, se você diz 1/4 ”(ou 4/16”) de cima para baixo, se você encolher um lado em 2/16 ”, o outro lado crescerá 2/16” e as duas extremidades ficarão paralelas.
    • Portanto, uma maneira de pensar sobre a correção é a metade da diferença nos comprimentos superior e inferior, 4/16 & quot diferença, 2/16 & quot é a metade disso, 2 x 0,9 & # 176 =

    0,5 & # 176 por 1/16 & quot diferença, 4/16 & quot diferença =

    • Se nenhum flange for usado, um localizador de ângulo deve ser empregado para medir os ângulos
    • Se o eixo de transmissão não tiver flanges nas extremidades e, em vez disso, tiver garfos de junta universal, esta técnica pode não funcionar tão bem. Nesse caso, um localizador de ângulo barato resolverá o problema. Você ainda pode precisar ser criativo para encontrar locais que permitem medir os ângulos na extremidade do eixo. Veja se a parte superior ou inferior do diferencial ou caixa de transferência são paralelas às extremidades do eixo ou dos garfos da junta universal.
    • E observe que em nenhuma parte desta discussão o ângulo real do eixo de transmissão foi mencionado. Por quê? Porque basicamente isso não importa. O que importa é que as duas juntas universais em cada extremidade do eixo tenham o mesmo ângulo. Esse ângulo exato, é claro, dependeria do ângulo da própria haste, mas são apenas os ângulos relativos (ou diferença de ângulos) em cada junta universal. Portanto, se você tiver um ângulo do eixo de transmissão 10 & # 176 e 10 & # 176 na junta universal superior e digamos 11 & # 176 na junta universal inferior, você terá uma diferença de 1 & # 176. Agora, digamos que o ângulo do eixo de transmissão foi aumentado para 15 & # 176. Da mesma forma, digamos que o ângulo da junta u superior também aumenta para 15 & # 176 e o ​​inferior para 16 & # 176. A diferença ainda é 1 e # 176, portanto, como você pode ver, o ângulo do eixo de transmissão em si não tem impacto no ângulo de operação da junta universal em si.

    Então, por que os ângulos operacionais da junta universal precisam ser iguais em ambas as extremidades do eixo de transmissão? Para entender esse requisito, você precisa ver como uma junta universal funciona enquanto gira. Para um caso fácil, suponha que nenhum ângulo operacional, ou seja, 0 e # 176, entre dois eixos conectados por uma junta universal. Conforme um eixo gira 360 & # 176, o mesmo acontece com o outro eixo, em uníssono exato, portanto, em 0 & # 176, não há problema.

    • Observe que se você tiver apenas uma junta U no eixo, como em um eixo cardan duplo, ela deve estar em um ângulo operacional de 0 & # 176.

    No entanto, vamos inclinar os dois eixos para dizer 45 & # 176. Agora, olhe para o & quotcruz & quot da junta universal conforme ela gira. Quando o lado motriz da cruz é horizontal, suas extremidades se movem na mesma velocidade que a culatra no eixo motriz. No entanto, o lado acionado da junta em U é 90 e # 176 desviado do lado de acionamento, mas uma vez que a cruz da junta em U é rígida, todas as 4 extremidades se movem com a mesma velocidade angular, ou seja, a do eixo de acionamento. No entanto, uma vez que existe aquele ângulo de 45 e # 176 entre os dois eixos, a cruz também tem um ângulo de 45 e # 176, o que significa que o comprimento efetivo desse lado é igual a sin (45) vezes seu comprimento real ou 71%. Mas, uma vez que está se movendo na mesma velocidade angular, a velocidade da superfície que é igual à velocidade angular vezes o raio (ou comprimento) é agora 71% da velocidade do eixo de acionamento, ou seja, o eixo acionado está girando momentaneamente a 71% do velocidade do eixo de acionamento! Agora, gire o eixo de acionamento 90 & # 176 mais longe em sua rotação. Agora o lado movido da cruz está em 45 & # 176, então seu comprimento efetivo agora é 71% e o lado movido é 100%. Presumindo que a velocidade do eixo acionador seja constante, isso significa que a velocidade do eixo acionado é agora 1,00 / 0,71 ou 1,41 vezes (ou 141%) mais rápida do que o eixo acionado! Portanto, se você tiver o eixo de acionamento girando a, digamos, 1000 RPM, o eixo acionado irá variar de 710 a 1410 RPM conforme gira, com média de 1000 RPM. Isso é o que faz o eixo de transmissão vibrar. Se você quiser ler todos os detalhes sangrentos, esta página da web tem uma explicação muito detalhada.

    Então, como essa configuração pode funcionar no mundo real? Acontece que, se você colocar outra junta em U na outra extremidade do eixo e alinhá-la em fase com a primeira e manter os ângulos idênticos, essas mudanças de velocidade de rotação quase se cancelam. Enquanto a junta em U de acionamento está acelerando o eixo de transmissão, a junta em U acionada na outra extremidade está desacelerando o que está enganchado (geralmente o pinhão no diferencial). E enquanto a junta universal motriz está acelerando o eixo de transmissão, a junta universal acionada está reduzindo a velocidade do pinhão. Tudo isso resulta na extremidade do pinhão do eixo sendo acionada e quase exatamente na mesma velocidade que a extremidade da caixa de transmissão / transferência do eixo.

    Digo & quotalmost & quot porque as duas juntas universais nem mesmo se cancelam perfeitamente (exceto no ângulo de operação 0 & # 176). Quanto menor for o ângulo de operação, melhor será o cancelamento, quanto maior for o ângulo de operação, menor será o cancelamento. Além disso, se os ângulos em ambas as articulações não forem iguais, o cancelamento é menos bom e se as duas articulações não estiverem devidamente faseadas entre si, o cancelamento é ainda pior. Na verdade, se você fosse ao extremo e definisse as juntas universais 90 & # 176 separadas uma da outra, não apenas não haveria cancelamento, mas elas de fato agravariam a vibração rotacional, a primeira junta induziria seu componente , então a segunda junta pegaria isso e multiplicaria por seu próprio fator dependendo do ângulo. Assim, no caso acima de um ângulo de operação de 45 e # 176, a junta acionada estaria funcionando de cerca de 50% a 200% da velocidade da junta de acionamento, ou de 500 RPM a 2.000 RPM para uma entrada de 1000 RPM. Você pode imaginar o que seria a sensação de dirigir na estrada, digamos com uma rotação do motor que deveria dar uma velocidade de 30 MPH, os pneus estariam girando em qualquer lugar de 15 MPH a 60 MPH conforme girassem uma volta! Consulte a seção acima sobre o ângulo de eixo "máximo" com um eixo cardan único.

    E se você não entende o que foi dito acima (ou acredita), dê uma olhada nesta animação e observe o eixo central acelerar e desacelerar enquanto gira. A vantagem desse alinhamento do eixo de transmissão é que ele é essencialmente imune a mudanças de altura de deslocamento com a carga. Você pode pensar no eixo como um paralelogramo, com as juntas universais superior e inferior permanecendo paralelas conforme o eixo se move para mais perto ou mais longe do quadro. A desvantagem dessa configuração é que você obtém os ângulos operacionais mais altos da junta universal (ângulos mais altos = mais vibração) e, especialmente em aplicações de eixo de transmissão curto, o comprimento muda mais para um determinado levantamento do que outros alinhamentos.

    Uma opção alternativa de alinhamento de cardan único, conforme discutido nesta página da web, é tratar as 2 juntas U como uma junta homocinética e o próprio eixo de transmissão como simplesmente a seção central de uma junta homocinética. Para fazer isso, você deve & dividir & quotar o ângulo do eixo de transmissão entre as duas juntas universais. Portanto, se você tiver um ângulo de 10 e # 176 da saída da caixa de transmissão / transferência para o eixo de transmissão, defina o ângulo da junta u superior para 5 & # 176 e o ​​ângulo da junta u inferior para 5 & # 176. Esta configuração tem a vantagem de um menor ângulo de operação nas juntas universais (5 e # 176 vs. 10 e # 176 neste caso). As desvantagens dessa configuração são que ela pode ser mais sensível às mudanças na altura do percurso, uma vez que o ângulo da junta superior mudará conforme a altura do percurso muda, mas o ângulo da junta inferior permanecerá praticamente o mesmo, prejudicando o alinhamento. Além disso, este alinhamento eleva o ângulo do pinhão o mais alto possível. Embora isso possa ser bom no uso off-road, já que o eixo e a junta universal inferior estão para cima e fora do caminho das pedras na trilha, você pode ter problemas de lubrificação com os rolamentos da engrenagem do pinhão. Esses rolamentos são lubrificados apenas por óleo que sai da poça de óleo na carcaça do eixo. Quanto mais alto os rolamentos do pinhão, menos óleo eles podem ver. Freqüentemente, você pode se safar enchendo de óleo demais no eixo. Eu faço isso recuando em rampas para completar o óleo da engrenagem. Outra opção é realocar o orifício de abastecimento de óleo no eixo para um local mais alto.

    Um cardan duplo ou eixo de junta homocinética tem a principal vantagem de operação mais suave em ângulos operacionais mais altos. O cardan duplo ou a junta homocinética ocupa todo o ângulo do eixo e a junta universal na outra extremidade funciona em um ângulo operacional próximo de 0 & # 176. Os principais lados inferiores de um eixo homocinético são: a junta homocinética é mais cara, mais difícil de manter e substituir. Além disso, a configuração do eixo CV é sensível às mudanças de altura do passeio. Você verá algo como uma mudança de ângulo de eixo de 1 & # 176 para cada polegada de mudança de altura de deslocamento, assumindo um eixo longo nominal de 48 pol. Isso significa que os levantamentos da mola e do bloco irão alterar o ângulo do eixo e, assim, afetar o alinhamento. No entanto, as manilhas de mola mais longas normalmente fornecem sustentação, mas também alguma inclinação do ângulo do pinhão e, portanto, são mais tolerantes.

    Ângulo do pinhão: 68 e # 176 Ângulo do eixo de transmissão: 23 e # 176

    • Para um eixo de transmissão de cardan duplo, você realmente precisa trabalhar com ângulos diretamente, ou seja, você precisa saber o ângulo do próprio eixo de transmissão e da junta universal na extremidade oposta à junta homocinética.
    • Como você mede o ângulo do próprio eixo de transmissão?
      • Eu uso um nível de carpinteiro digital Stanley (lê os ângulos mais próximos de 0,1 & # 176), retirando a unidade de detecção da caixa de nível do carpinteiro. Este nível tem um modo de leitura em graus. Primeiro, meça o ângulo do eixo de transmissão no veículo em repouso. Em seguida, remova o eixo de transmissão e coloque o nível nos flanges em que ele estava conectado e obtenha esses ângulos.
        • Dica: se você fizer isso, não precisará usar a técnica da etapa 1 acima.
        • Um ponto a ser observado é que meu eixo de transmissão realmente não funciona a 23 & # 176, as fotos e medições acima foram feitas na minha calçada inclinada, é cerca de 8 & # 176, mas realmente não importa, você não precisa esteja em uma superfície perfeitamente plana e nivelada para fazer essas medições. Qualquer que seja o ângulo da superfície em que você está, você se preocupa apenas com a diferença dos dois ângulos, não com seus valores reais.
        • Portanto, determine o ângulo exato, encontre o ângulo do eixo de transmissão na horizontal e, em seguida, defina o flange do pinhão com o mesmo ângulo na vertical
        • Por exemplo, quando instalei novas molas em meu Toyota 4Runner, decidi usar um eixo de transmissão traseiro estilo CV. Usei 3,5 "mais longo do que as manilhas de mola traseiras padrão para acomodar as molas mais longas, isso me deu cerca de 6 & # 176 de inclinação, mas medi e determinei que precisava de mais 8 & # 176 de ângulo. Depois de instalar o calço 8 e # 176, descobri que o pinhão agora está um pouco mais inclinado para cima do que o eixo de transmissão. Portanto, projetei meu próprio calço de aço em 5 & # 176 para definir o pinhão 1 & # 176-2 e # 176 abaixo do ângulo do eixo de transmissão para corrigir esse problema.
        • O que eu não considerei com a configuração de cardan duplo é que conforme você inclina o pinhão, você está levantando a extremidade do pinhão do eixo de transmissão e, portanto, diminuindo seu ângulo.
        • Achei que isso seria insignificante, mas estava errado.
        • No meu eixo (um eixo de mini-caminhão Toyota, engrenagem de anel 8 & quot), é de aprox. 11 & quot da linha de centro do eixo ao flange do pinhão. Se meu eixo de transmissão tem cerca de 44 pol. De comprimento, então há uma razão inversa dos respectivos comprimentos para a mudança de ângulo. Neste caso, para cada 4 e # 176 de troca do pinhão, há 1 & # 176 de troca do eixo de transmissão.
        • Em outras palavras, se você precisar de uma mudança de ângulo 5 & # 176, mova o pinhão 4 & # 176 para cima e isso irá diminuir o ângulo do eixo de transmissão 1 & # 176.

        Então, por que você deve executar a junta universal em 0 & # 176 com uma junta homocinética na outra extremidade. Veja a discussão acima e perceba que o único momento em que uma única junta universal pode operar suavemente é em um ângulo operacional de 0 e # 176. Em qualquer ângulo diferente de zero, a junta em U irá induzir uma vibração rotacional em tudo o que estiver enganchada. Isso não é desejável, portanto, a junta universal DEVE estar no ângulo de operação 0 e # 176 em um eixo tipo cardan duplo ou CV. Em teoria, 0 & # 176 é ideal no que diz respeito à vibração das coisas, ter uma junta U realmente funcionando exatamente a 0 & # 176 não é bom do ponto de vista mecânico prático. Por que é que? Will, dentro das extremidades da cruz da junta-u estão minúsculos rolamentos de agulha e se você executar a junta em exatamente 0 e # 176 esses rolamentos de agulha nunca se movem e, portanto, a força concentrada dos rolamentos nas pistas fica em um ponto e você pode encontrar & quotbrinelling & quot, que ocorre quando os rolamentos criam amassados ​​nas pistas, criando um efeito semelhante ao de um pneu furado. Portanto, um leve ângulo de operação de 0,5 & # 176 até 1 & # 176 ou mais permitirá que os rolamentos rolem para frente e para trás sobre uma área maior das pistas e também garantirá que a graxa possa ser movida sobre os rolamentos, uma vez que sem movimento relativo , a graxa não fluirá.

        As vantagens de um cardan duplo ou eixo de acionamento CV é que ele pode funcionar mais suavemente em ângulos mais altos do que um eixo cardan único. Ele compartilha uma desvantagem do alinhamento alternativo do eixo cardan único acima, em que é sensível às mudanças de altura do percurso. Por exemplo com um

        Eixo de transmissão longo de 48 ”, cada polegada de mudança de altura de deslocamento causará uma alteração de cerca de 1 & # 176 no ângulo do eixo de transmissão e, portanto, uma mudança de 1 & # 176 no ângulo da junta universal inferior. Portanto, em um veículo que transporta uma quantidade variável de carga, você pode precisar encontrar um meio-termo entre os ângulos do eixo carregado e descarregado. Além disso, o ângulo do pinhão é inclinado para cima mais alto do que com um alinhamento de eixo de junta universal tradicional, mas não tanto quanto com o alinhamento alternativo de junta universal.

        Os eixos de 2 peças estão se tornando populares entre os fabricantes de caminhões leves. Sua principal vantagem é que pode ser mais leve em um determinado comprimento devido ao rolamento de apoio central (CSB) que divide o eixo em 2 seções. Além disso, se configurado corretamente, um eixo de 2 peças pode funcionar sem problemas. Mas a principal desvantagem de um eixo de 2 peças é que eles são afetados negativamente por quase todas as modificações na suspensão. Levante ou abaixe o caminhão e provavelmente haverá vibrações. Algumas pessoas tentam adicionar espaçadores no CSB para aumentá-lo ou abaixá-lo. Mas muitas vezes isso causa mais problemas do que resolve. É importante pensar em um eixo de 2 peças como 2 eixos de transmissão separados. Há a seção da caixa de transmissão / transferência para o CSB. Esta seção do eixo normalmente não é afetada por mudanças na altura do percurso. No entanto, a seção inferior do eixo é afetada. O principal problema é que poucos, se houver, fabricantes de caminhão. tenha especificações sobre como deve ser o alinhamento do eixo ou como o eixo foi configurado na fábrica. Esperançosamente, você mediu todos os ângulos e comprimentos do eixo e das juntas antes de modificar a suspensão. Um problema comum em eixos de 2 peças é que o CSB é puxado para fora de seu alojamento porque o eixo é muito curto e precisa ser alongado. Veja esta página para espaçadores de eixo de transmissão ...

        Abaixo estão duas configurações comuns de eixo de transmissão de 2 peças. Eles são basicamente a mesma configuração geral, pois há 3 juntas universais e o rolamento de suporte central. Mas a diferença está em como os ângulos são distribuídos nas 3 juntas. Com 2 juntas universais, como vimos acima, 2 juntas universais opostas precisam funcionar e o mesmo ângulo de operação para vibração mínima. Com 3 juntas universais, geralmente você tem a mesma configuração, 2 das 3 estão no mesmo ângulo. E então a junta universal remanescente deve estar funcionando a 0 graus para que também funcione suavemente. Outra opção é ter todas as 3 juntas U no mesmo ângulo de operação.

        O que varia em quais 2 juntas U estão no mesmo ângulo e qual está a 0 graus. A chave para diagnosticar problemas de vibração nesses tipos de eixo é determinar com qual configuração você está lidando. Temos diagramas de 4 configurações comuns mostrados abaixo. Existem outras configurações possíveis também. Por exemplo, a junta universal central pode ser substituída por uma junta homocinética ou cardan duplo.

        Se rotularmos os ângulos operacionais da junta u com A como superior, B como o meio e C como inferior, qualquer uma das 4 relações a seguir funcionará:

        1. A = 0, B = C
        2. A = C, B = 0
        3. A + B + C = 0, A = B = C ou A-B = B-C, dependendo da fonte
        4. A = B, C = 0

        O Estilo 1 tem a vantagem de ser insensível às variações de altura de deslocamento, seja devido à carga ou suspensão por mola ou bloco, uma vez que as 2 juntas u inferiores ficarão alinhadas conforme o eixo se move para mais perto ou mais longe do quadro.

        O Estilo 2 define o ângulo médio para 0 e transforma funcionalmente o eixo de 2 peças em um eixo de 1 peça.

        O Estilo 3 envolve o "malabarismo" dos ângulos operacionais das 3 juntas em U para obter um total zero. Esta é uma opção se você não conseguir obter nenhuma junta universal próxima o suficiente para 0 & # 176 para & quoteliminar & quotá-la. Isso também pode ser configurado com todos os ângulos sendo & quotequal & quot em magnitude, mas opostos a & quotsign & quot.

        O Estilo 4 é um pouco como um eixo do tipo CV ou cardan duplo. Todo o ângulo do eixo é controlado pelo par superior de juntas universais.

        Os estilos 2, 3 e 4 serão sensíveis às variações da altura do percurso, pois a junta universal inferior e o ângulo do eixo podem mudar conforme a posição do eixo muda.

        Como você pode ver, cada estilo tem vantagens e desvantagens. Seu veículo pode ter sido configurado em um estilo e após uma mudança de altura da suspensão, você pode ter problemas de vibração. Você precisará ver qual estilo de configuração é o mais fácil de definir à medida que coloca tudo de volta no alinhamento. Esse pode ser o estilo original ou pode ser mais fácil configurar as coisas em outro estilo.

        1: Eixo de 2 peças com junta universal superior de ângulo 0

        Nesse caso, você deseja manter a frente do ângulo da junta em U da frente & quotodd & quot em 0 graus e apenas ajustar o ângulo de operação da junta em U do eixo e do pinhão para corresponder ao da junta em U do meio.

        2: Eixo de 2 peças com juntas universais superior e inferior paralelas

        Nesse caso, você está tentando obter os ângulos da junta u superior e inferior paralelos um ao outro. Observe que o esboço é um pouco enganador, pois pode ser necessário ter a junta em U do meio em um ângulo de operação de 0 grau.

        3: Eixo de 2 peças com diferentes seções de ângulo do eixo

        Neste caso, você basicamente está dividindo o ângulo geral do eixo entre a transmissão e o eixo. Isso dá a você dois eixos mais curtos conectados de ponta a ponta e cada um é configurado com diferentes ângulos de operação em cada junta universal. Com este tipo de configuração, pode ser necessário ajustar o ângulo do pinhão no eixo e também o ângulo / altura do rolamento de suporte central. Isso provavelmente levará um processo por peça, ajustando o ângulo do pinhão, medindo e ajustando o rolamento de suporte central, etc. Um exemplo pode ser definir o ângulo da junta superior para 2 & # 176 para baixo e, em seguida, a junta central para 2 & # 176 + 2 & # 176 = 4 & # 176 abaixo do ângulo do eixo superior. Em seguida, defina o ângulo inferior para 2 e # 176 para cima. Isso resultaria em uma soma de 0 & # 176 dos ângulos operacionais. No entanto, uma vez que o cancelamento da velocidade da junta u não é linear com as mudanças de ângulo, você provavelmente precisará modificar um pouco, digamos, o ângulo da junta inferior para compensar. Os ângulos e alinhamentos da junta-U são mais bem aproximados com o cosseno do ângulo operacional. Se você se lembra das identidades trigonométricas do ensino médio, em relação à adição do cos do ângulo & quota & quot e do cosseno do ângulo & quotb & quot, você obtém cos (a) + cos (b) = 1/2 x (cos (ab) + cos (a + b) ) Portanto, 2 + 2 pode não ser exatamente igual a 4, provavelmente muito próximo em ângulos menores, mas à medida que os ângulos aumentam, a diferença aumenta.

        Outra maneira de ver isso é que os ângulos A e B praticamente se cancelam e os ângulos B e C fazem o mesmo. Isso pode acontecer se o ângulo B for duas vezes o ângulo A (em termos absolutos ou é o mesmo que A em relação a A). Em seguida, o ângulo C é configurado para cancelar o ângulo B na parte inferior do eixo. Assim, a diferença entre os ângulos A e B é a mesma que a diferença entre B e C.

        4: Eixo de 2 peças com ângulo 0 na junta universal inferior

        Neste caso, as 2 juntas u superiores estão no mesmo ângulo de operação e a junta u inferior no eixo está a 0 graus. Não é mostrada a junta em U superior (à esquerda) e o CSB que ficaria à esquerda da junta central. Com este tipo de configuração, pode ser necessário ajustar o ângulo do pinhão no eixo e também o ângulo / altura do rolamento de suporte central. Isso provavelmente levará um processo por peça, ajustando o ângulo do pinhão, medindo e ajustando o rolamento de suporte central, etc. Observe que você provavelmente terá a junta superior e a seção do eixo inclinada para baixo em algum ângulo. Em seguida, a junta central será inclinada para baixo na mesma quantidade, de modo que a seção inferior do eixo tenha o dobro do ângulo da seção superior do eixo. Por exemplo, junta superior e eixo inclinado para baixo 2 & # 176, junta central inclinada para baixo 2 & # 176 abaixo disso e a seção inferior do eixo inclinado para baixo 4 & # 176.

        Aqui está um artigo sobre como configurar os ângulos em um Toyota Tacoma com CSB, onde as juntas em U da seção superior do eixo estão em ângulos iguais e a junta em U do pinhão está a 0 graus:

        Faseamento é um termo que descreve o alinhamento das juntas de cardan único nas extremidades opostas do eixo de transmissão. Como discutido acima, uma junta de cardan único (ou u-) não gira a uma velocidade constante se o ângulo de operação for diferente de zero. O eixo de transmissão acelera e desacelera ligeiramente conforme gira devido à natureza da junta. Uma maneira de reduzir isso é garantir que as juntas em cada extremidade do eixo de transmissão estejam alinhadas corretamente. Se os garfos em cada extremidade do eixo se alinharem, conforme indicado pela linha azul clara na figura abaixo:

        Então, o efeito será que as duas articulações tenderão a cancelar as variações de velocidade uma da outra. Na maioria das aplicações 4x4, o eixo de transmissão terá um garfo deslizante no meio para permitir mudanças no comprimento. Se o eixo for desmontado, é importante realinhá-lo corretamente quando for remontado. Uma maneira de fazer isso é marcar os dois lados do garfo deslizante. No entanto, você deve verificar se as juntas realmente estão alinhadas corretamente, não pense que estão. A razão para o faseamento é que a variação da velocidade da junta está relacionada ao seu ângulo de operação e seu ângulo de rotação. Para obter o cancelamento mais eficaz, os garfos de junta * devem * estar alinhados exatamente entre si e os ângulos de operação devem ser idênticos. Qualquer variação em qualquer ângulo aparecerá como vibração não cancelada. Enquanto ângulos operacionais desiguais resultam em uma vibração que aumenta com a RPM do eixo, problemas de fase podem ser sentidos em RPMs mais baixos e cargas mais altas, como ao acelerar de uma parada.

        A maioria dos eixos de transmissão terá algum tipo de marca de alinhamento estampada ou pintada para indicar a orientação adequada do garfo deslizante. Se não houver nenhum, eles tentam alinhar as tampas das juntas em U o mais próximo possível. Um truque que às vezes pode ajudar com o faseamento é girar metade do eixo de transmissão 180 e # 176 antes de reinstalá-lo para ver se isso faz alguma diferença. Freqüentemente, uma orientação pode se equilibrar melhor do que a outra. Depois de encontrar o alinhamento adequado, pinte uma marca em ambos os lados do garfo deslizante para que você possa juntá-lo corretamente na próxima vez.

        Para um eixo cardan duplo, a fase não é um problema, embora você possa tentar alinhar as capas dos mancais de qualquer maneira.

        Provavelmente, se você leu até aqui (ou mesmo procurou por esta página), você pode ter um problema com vibração ou ruído da linha de transmissão. A regra fundamental dos eixos de transmissão é que eles vibram a menos que algumas condições básicas se apliquem, como eles funcionam em um ângulo plano morto e são perfeitamente equilibrados e de diâmetro e espessura de parede suficientes para evitar chicotadas em alta velocidade.

        O primeiro passo é caracterizar a vibração, descobrir quando ela acontece, quando fica melhor e pior, etc.

          Vibrações em velocidade relativamente baixa (abaixo

        • Faseamento
        • Alinhamento
        • Retidão, seja devido a um novo eixo não ser construído reto ou um eixo usado sendo dobrado.
          • Você precisaria de um relógio comparador para medir tal batimento radial e isso provavelmente seria melhor feito em uma loja de linha de transmissão, porque após o endireitamento, o eixo provavelmente também precisará ser equilibrado.
          • Também pode ser devido a uma junta universal não estar instalada corretamente ou a um flange do eixo de transmissão não se encaixar corretamente, fazendo com que o eixo não se alinhe com o eixo de saída ou a engrenagem do pinhão.
          • E perceba que os eixos de transmissão normalmente são endireitados pelo uso de calor e frio. A oficina de linha de transmissão usará uma tocha para aquecer um lado do eixo, expandindo o aço nesse lado, enquanto resfria o lado oposto com um pano úmido para encolher o aço e puxar o eixo de volta à retidão. Dito isso, qualquer aplicação de calor suficientemente alto pode fazer com que o eixo perca a retidão.
          • Essas vibrações podem ir e vir à medida que a velocidade aumenta à medida que você entra e sai das frequências de ressonância do eixo de transmissão.
          • Um garfo deslizante normalmente consiste em uma seção estriada macho e fêmea que permite que o comprimento do eixo mude conforme o movimento da suspensão.
          • Quanto mais os splnes forem separados, mais frouxo será o ajuste. Em algum ponto, isso pode permitir que as vibrações "escapem" do eixo.
          • O alongamento do eixo é uma solução ou pode ser possível adicionar um espaçador do eixo de transmissão para estender o eixo.
          • Se for pior em aclives / aceleração, o ângulo da junta u inferior pode estar se movendo muito alto, pois o eixo e o pinhão se inclinam sob a carga, se sim, incline o ângulo do pinhão estático para baixo um pouco mais baixo do que está agora.
          • Se for pior em declive / desaceleração, o ângulo da junta u inferior pode estar se movendo muito baixo, já que o eixo e o pinhão se inclinam para baixo com a carga diminuída, em caso afirmativo, incline o ângulo do pinhão estático um pouco mais alto do que está agora.
          • Neste caso, apenas um novo projeto de eixo de transmissão ajudará, alterando o material, o diâmetro do tubo ou a espessura da parede, etc.
          • Esses tipos de limites de RPM geralmente ficam na faixa de 8.000 a 10.000 RPM, normalmente vistos apenas em veículos de corrida.

          Se você suspeitar de vibração no eixo de transmissão traseiro, uma maneira de isolar a causa do problema é remover o eixo traseiro, travar os cubos dianteiros e testar a unidade em 4H (basicamente tração dianteira), supondo que sua caixa de transferência e sistema 4WD permitam este modo de operação. Se as vibrações permanecerem, você acabou de eliminar o eixo traseiro como a causa do problema, é provável que seja um rolamento ruim, eixo torto, roda / pneu desalinhado (ou equilibrado) ou algo no motor ou na transmissão. Se as vibrações desaparecerem com a remoção do eixo traseiro, então é algo no sistema de transmissão traseiro que é a causa, a saída da caixa de transferência, o eixo traseiro (e bering central se houver), as juntas cardan simples e / ou duplas, o rolamento do pinhão e o diferencial traseiro pode ser a causa.

          Em caso afirmativo, você provavelmente deseja consertá-lo. Como consertar isso depende um pouco do que levou ao problema em primeiro lugar.

          • Se o eixo de transmissão foi danificado fora da estrada (dobrado ou amassado), isso também pode causar vibração; um problema comum é que os pequenos pesos de equilíbrio no eixo podem ser raspados em um obstáculo).
            • Se o eixo estiver danificado, deve ser consertado. O custo típico para endireitar / equilibrar é de cerca de US $ 60.
            • Para juntas levemente soltas, tente engraxar bem a junta e veja se isso (temporariamente) conserta a folga e a vibração.
            • Para um garfo deslizante frouxo, você pode tentar injetar graxa na graxeira, mas observe onde a conexão está em relação às estrias do garfo.
              • Se você achar que a conexão não vai engraxar a área das estrias do eixo, marque o alinhamento do eixo, separe o garfo deslizante e use um pincel para pintar a graxa nas estrias macho e, em seguida, reinstale-a, alinhando as marcas de fase.
              • Se engraxar o garfo deslizante temporariamente ajudar com a vibração, isso é uma pista de que você está no caminho certo. Pode ser que o eixo de transmissão tenha sido simplesmente esticado por muito tempo e as ranhuras não estejam encaixando totalmente ou se ele funcionou por muito tempo nessa posição, as ranhuras podem ter se desgastado naquela posição.
                • Em ambos os casos, ao alterar o comprimento do eixo de transmissão, com um espaçador ou re-tubagem, você pode obter mais engate de estrias ou uma nova seção de estrias macho e fêmea engatadas que podem apertar.
                • Se isso não ajudar, um novo garfo deslizante pode ser necessário.
                • Se puderem ser movidos de um lado para o outro, talvez seja necessário reapertá-los ou seus rolamentos podem estar danificados.
                • E não se esqueça de verificar as proteções contra poeira que são pressionadas na parte de trás dos flanges. Às vezes, eles podem se soltar e vibrar / fazer barulho e fazer com que você pense que tem um problema de vibração & quotreal & quot, mas pode não ser.

                Portanto, presumindo que não haja danos físicos ou peças gastas e você simplesmente tenha um problema de angularidade, há várias maneiras de consertá-lo. Basicamente, você deseja corrigir os ângulos. Como você faz isso depende de vários fatores:

                1. Como os ângulos surgiram em primeiro lugar
                2. Quão ruins são os ângulos, especialmente se o ângulo operacional for maior que 10 & # 176
                3. O tipo de eixo de transmissão que você tem atualmente
                4. Que tipo de suspensão você tem
                5. Quanto trabalho você deseja fazer para corrigir o problema :-)

                Se você tiver uma suspensão multi-link, talvez com molas helicoidais, existem algumas opções. Se os links forem ajustáveis, você deve ser capaz de corrigir os ângulos com os ajustes. Se nenhum ajuste for fornecido, você terá que obter um link ajustável ou reposicionar os suportes de suspensão no eixo.

                Se você tiver uma suspensão com molas de lâmina, há mais opções disponíveis. Entre as opções estão calços, poleiros de mola girados, manilhas de mola mais longas ou mais curtas ou mudanças na linha de transmissão. Abaixo está uma tabela de elevações comuns e efeitos da linha de transmissão:

                A elevação afeta a direção da linha de transmissão para inclinar o pinhão para corrigir os ângulos
                Tipo de elevação /
                Eixo de transmissão e amp
                Localização
                solteiro
                Cardan
                Traseira
                solteiro
                Cardan
                Frnt / Fwd (1)
                solteiro
                Cardan
                Frnt / Rev (2)
                Dobro
                Cardan
                Traseira
                Dobro
                Cardan
                Frnt / Fwd (1)
                Dobro
                Cardan
                Frnt / Rev (2)
                Primavera Nenhum Nenhum Nenhum Incline PARA CIMA Incline PARA CIMA Incline PARA CIMA
                Quadra Nenhum Nenhum Nenhum Incline PARA CIMA Incline PARA CIMA Incline PARA CIMA
                Manilha Inclinar para baixo Inclinar para baixo Incline PARA CIMA Nenhum (3) Nenhum (3) Incline PARA CIMA

                1. Eixo dianteiro com manilhas para frente
                2. Eixo dianteiro com manilhas invertidas
                3. O efeito varia com o comprimento da mola, manilha e comprimento do eixo de transmissão

                Instalar um calço entre o eixo e a mola é a maneira mais fácil de corrigir o ângulo do eixo de transmissão (aqui está uma fonte on-line conveniente para calços de eixo feitos sob medida). Mas de que forma o calço entra para corrigir o problema? Depende da configuração da mola e do eixo, ou seja, Spring-Over-Axle (SOA) ou Spring-Under-Axle (SUA). A tabela a seguir resume a direção da inclinação do pinhão vs. configuração do eixo. e para que lado fica a & quot extremidade gorda & quot do calço:

                Configuração da inclinação do pinhão vs. mola
                Inclinar / configurar Frente / SUA Front / SOA Traseira / SUA Traseira / SOA
                PRA CIMA Para trás Avançar Avançar Para trás
                BAIXA Avançar Para trás Para trás Avançar

                É melhor visualizar a mola como uma superfície plana e fixa sob o veículo. Em seguida, o calço ficará entre a mola (superior ou inferior) e o eixo, que deve girar para cima ou para baixo para alinhar a posição da mola do eixo com o ângulo do calço.

                Conclusão:

                E um pensamento final sobre a vibração da linha de transmissão é que você precisa pensar em toda a linha de transmissão como um sistema. Não é apenas um único ângulo ou peça única de tubo ou uma única junta universal, etc. Você tem o próprio eixo, 2 ou mais juntas (cardan simples ou duplo), talvez um rolamento de suporte central e, em seguida, algum tipo de estria de saída ou flange que conduz o eixo da caixa de transmissão ou transferência e um flange semelhante na engrenagem do pinhão no diferencial. Você pode descobrir que um ângulo está errado, conserte-o e descubra que a vibração ainda está presente. É provável que, com o ângulo desligado, essa vibração induzida no eixo que levou ao desgaste da (s) junta (s). Então, você substitui a (s) junta (s) em U e descobre que a vibração ainda está lá. Pode ser o caso em que o flange do eixo do pinhão foi afrouxado pela vibração do desalinhamento e / ou junta em U desgastada, etc. Portanto, a questão é que você precisa corrigir / fixar toda a linha de transmissão ao mesmo tempo hora de fazê-lo funcionar sem problemas como um sistema. Portanto, não desanime se você encontrar um problema, corrija-o e descubra que o problema ainda está lá. Você pode ter corrigido a causa raiz do problema, mas agora tem outros problemas secundários (como juntas universais gastas ou flanges soltas) que também precisam ser substituídos / apertados.


                A tentativa de uma solução

                Você não poderia simplesmente escrever:

                2 sinx.cosx = B / 2. Eqn 1 e
                1 - 2. (sinx) ^ 2 = A-C. Eqn 2.

                Você não poderia simplesmente escrever:

                2 sinx.cosx = B / 2. Eqn 1 e
                1 - 2. (sinx) ^ 2 = A-C. Eqn 2.

                ## tan (2x) ## e ## tan (x) ## estão relacionados. Assim como ## cos (2x) ## e ## cos (x) ## e ## sin (2x) ## e ## sin (x) ##.

                Na verdade, todas essas funções trigonométricas estão relacionadas umas às outras.

                Muito bem - no exemplo, você dá, em vez de resolver:

                2 sinx.cosx = 4 / √41. Eqn 1 e
                1 - 2. (sinx) ^ 2 = 5 / √41. Eq. 2.

                2 sinx.cosx = -4 / √41. Eqn 1 e
                1 - 2. (sinx) ^ 2 = -5 / √41. Eq. 2.

                Os sinais de cos e seno na resposta dependem do ângulo x. Neste exemplo, se 2x ∈ [090) então x ∈ [045), caso em que senx e cosx são ambos +.
                Mas se 2x ∈ [180270) então x ∈ [90 135) em cujo caso senx é + e cosx -.

                Sinceras desculpas pelo erro elementar - espero que trabalhar com um exemplo numérico como este forneça ao OP alguns insights sobre o problema algébrico.

                ## tan (2x) ## e ## tan (x) ## estão relacionados. Assim como ## cos (2x) ## e ## cos (x) ## e ## sin (2x) ## e ## sin (x) ##.

                Na verdade, todas essas funções trigonométricas estão relacionadas umas às outras.

                Resolvi algebricamente para sin (2x) usando a relação acima e obtive o lado direito da expressão que escrevi no post original, mas isso era para sin (x) não sin (2x)

                Resolvi algebricamente para sin (2x) usando a relação acima e obtive o lado direito da expressão que escrevi no post original, mas isso era para sin (x) não sin (2x)

                Ainda não tenho certeza do que você está tentando fazer. Eu deixaria:

                ## tan (2x) = frac = D ##, então expresse ## cos (x), sin (x) ## em termos de ## D ##.

                Preciso resolver x estritamente em termos de constantes. O que você descreve é ​​válido para sin (2x) e cos (2x),


                O = B / 2
                A = A-C
                H = sqrt ((B / 2) ^ 2 + (A-C) ^ 2)

                O que eu quero são as expressões para senx e cosx

                Preciso resolver x estritamente em termos de constantes. O que você descreve é ​​válido para sin (2x) e cos (2x),


                O = B / 2
                A = A-C
                H = sqrt ((B / 2) ^ 2 + (A-C) ^ 2)

                O que eu quero são as expressões para senx e cosx

                Bem, você tem que começar a pensar nas funções trigonométricas como algo mais geral do que a proporção dos lados de um triângulo. Embora, para ## x & lt frac < pi> <4> ##, você possa usar uma abordagem geométrica. Isso seria interessante.

                Você pode ver que deve haver alguma relação entre ## sin (x) ## e ## tan (2x) ##? Você deve ser capaz de derivar isso usando identidades trigonométricas comuns. Lembre-se de que ## sin ^ 2 (x) + cos ^ 2 (x) = 1 ##.

                Eu usaria o valor intermediário ## D ## como acima. Na verdade, isso é o que Ray mostrou a você na postagem # 4, onde ele usou ## R ## em vez de ## D ##.