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3.1: Identidades trigonométricas básicas


Até agora sabemos algumas relações entre as funções trigonométricas. Por exemplo, conhecemos as relações recíprocas:

  1. ( csc ; theta ~ = ~ dfrac {1} { sin ; theta} qquad ) quando ( sin ; theta ne 0 )
  2. ( sec ; theta ~ = ~ dfrac {1} { cos ; theta} qquad ) quando ( cos ; theta ne 0 )
  3. ( cot ; theta ~ = ~ dfrac {1} { tan ; theta} qquad ) quando ( tan ; theta ) é definido e não (0 )
  4. ( sin ; theta ~ = ~ dfrac {1} { csc ; theta} qquad ) quando ( csc ; theta ) é definido e não (0 )
  5. ( cos ; theta ~ = ~ dfrac {1} { sec ; theta} qquad ) quando ( sec ; theta ) é definido e não (0 )
  6. ( tan ; theta ~ = ~ dfrac {1} { cot ; theta} qquad ) quando ( cot ; theta ) é definido e não (0 )

Observe que cada uma dessas equações é verdadeira para tudo ângulos ( theta ) para os quais ambos os lados da equação são definidos. Essas equações são chamadas identidades, e nesta seção discutiremos vários identidades trigonométricas, isto é, identidades envolvendo as funções trigonométricas. Essas identidades são freqüentemente usadas para simplificar expressões ou equações complicadas. Por exemplo, uma das identidades trigonométricas mais úteis é a seguinte:

[ tan ; theta ~ = ~ frac { sin ; theta} { cos ; theta} qquad text {quando} cos ; theta ne 0 label {3.1} ]

Para provar essa identidade, escolha um ponto ((x, y) ) no lado terminal de ( theta ) uma distância (r> 0 ) da origem e suponha que ( cos ; theta ne 0 ). Então (x ne 0 ) (uma vez que ( cos ; theta = frac {x} {r} )), então por definição

[ enhum número
frac { sin ; theta} { cos ; theta} ~ = ~ dfrac {~ dfrac {y} {r} ~} {~ dfrac {x} {r} ~} ~ = ~ frac {y} {x} ~ = ~
tan ; theta ~.
]

Observe como provamos a identidade expandindo um de seus lados ( ( frac { sin ; theta} { cos ; theta} )) até obtermos uma expressão que fosse igual ao outro lado ( ( tan ; theta )). Esta é provavelmente a técnica mais comum para provar identidades. Tomar recíprocos na identidade acima dá:

[ cot ; theta ~ = ~ frac { cos ; theta} { sin ; theta} qquad text {quando} sin ; theta ne 0 label {3.2} ]

Iremos agora derivar uma das identidades trigonométricas mais importantes. Seja ( theta ) qualquer ângulo com um ponto ((x, y) ) em seu lado terminal a uma distância (r> 0 ) da origem. Pelo teorema de Pitágoras, (r ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 ) (e portanto (r = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} )). Por exemplo, se ( theta ) está em QIII como na Figura 3.1.1, então as pernas do triângulo retângulo formado pelo ângulo de referência têm comprimentos (| x | ) e (| y | ) ( usamos valores absolutos porque (x ) e (y ) são negativos em QIII). O mesmo argumento é válido se ( theta ) estiver nos outros quadrantes ou em qualquer um dos eixos. Desse modo,

[ enhum número
r ^ 2 ~ = ~ | {x} | ^ 2 ~ + ~ | {y} | ^ 2 ~ = ~ x ^ 2 ~ + ~ y ^ 2 ~,
]
então, dividindo ambos os lados da equação por (r ^ 2 ) (o que podemos fazer uma vez que (r> 0 )) dá

[ enhum número
frac {r ^ 2} {r ^ 2} ~ = ~ frac {x ^ 2 ~ + ~ y ^ 2} {r ^ 2} ~ = ~ frac {x ^ 2} {r ^ 2} ~ + ~ frac {y ^ 2} {r ^ 2} ~ = ~
left ( frac {x} {r} right) ^ 2 ~ + ~ left ( frac {y} {r} right) ^ 2 ~.
]

Dado que ( frac {r ^ 2} {r ^ 2} = 1 ), ( frac {x} {r} = cos ; theta ), e ( frac {y} {r } = sin ; theta ), podemos reescrever isso como:

[ cos ^ 2 ; theta ~ + ~ sin ^ 2 ; theta ~ = ~ 1 rótulo {3.3} ]

Você pode pensar nisso como uma espécie de variante trigonométrica do Teorema de Pitágoras. Observe que usamos a notação ( sin ^ 2 ; theta ) para significar (( sin ; theta) ^ 2 ), da mesma forma para cosseno e outras funções trigonométricas. Usaremos a mesma notação para outras potências além de (2 ).

Da identidade acima, podemos derivar mais identidades. Por exemplo:

[ sin ^ 2 ; theta ~ = ~ 1 ~ - ~ cos ^ 2 ; theta label {3.4} ]
[ cos ^ 2 ; theta ~ = ~ 1 ~ - ~ sin ^ 2 ; theta label {3.5} ]

do qual obtemos (depois de tirar raízes quadradas):

[ sin ; theta ~ = ~ pm , sqrt {1 ~ - ~ cos ^ 2 ; theta} label {3.6} ]
[ cos ; theta ~ = ~ pm , sqrt {1 ~ - ~ sin ^ 2 ; theta} label {3.7} ]

Além disso, a partir das desigualdades (0 le sin ^ 2 ; theta = 1 ~ - ~ cos ^ 2 ; theta le 1 ) e (0 le cos ^ 2 ; theta = 1 ~ - ~ sin ^ 2 ; theta le 1 ), obter raízes quadradas nos dá os seguintes limites no seno e cosseno:

[-1 ~ le ~ sin ; theta ~ le ~ 1 label {3.8} ]
[- 1 ~ le ~ cos ; theta ~ le ~ 1 label {3.9} ]

As desigualdades acima não são identidades (visto que não são equações), mas fornecem verificações úteis sobre os cálculos. Lembre-se de que derivamos essas desigualdades das definições de seno e cosseno na Seção 1.4.

Na Equação ref {3.3}, dividindo ambos os lados da identidade por ( cos ^ 2 ; theta ) dá

[ enhum número
frac { cos ^ 2 ; theta} { cos ^ 2 ; theta} ~ + ~ frac { sin ^ 2 ; theta} { cos ^ 2 ; theta} ~ = ~
frac {1} { cos ^ 2 ; theta} ~~,
]

portanto, uma vez que ( tan ; theta = frac { sin ; theta} { cos ; theta} ) e ( sec ; theta = frac {1} { cos ; theta} ), obtemos:

[1 ~ + ~ tan ^ 2 ; theta ~ = ~ sec ^ 2 ; theta label {3.10} ]

Da mesma forma, dividindo ambos os lados da Equação ref {3.3} por ( sin ^ 2 ; theta ) dá

[ enhum número
frac { cos ^ 2 ; theta} { sin ^ 2 ; theta} ~ + ~ frac { sin ^ 2 ; theta} { sin ^ 2 ; theta} ~ = ~
frac {1} { sin ^ 2 ; theta} ~~,
]

portanto, uma vez que ( cot ; theta = frac { cos ; theta} { sin ; theta} ) e ( csc ; theta = frac {1} { sin ; theta} ), obtemos:

[ cot ^ 2 ; theta ~ + ~ 1 ~ = ~ csc ^ 2 ; theta label {3.11} ]

Exemplo 3.1

Simplifique (; cos ^ 2 ; theta ~ tan ^ 2 ; theta ; ).

Solução

Podemos usar a Equação ref {3.5} para simplificar:

[ nonumber begin {align *}
cos ^ 2 ; theta ~ tan ^ 2 ; theta ~ & = ~ cos ^ 2 ; theta ~ cdot ~
frac { sin ^ 2 ; theta} { cos ^ 2 ; theta} nonumber
& = ~ sin ^ 2 ; theta
end {align *} ]

Exemplo 3.2

Simplifique (; 5 sin ^ 2 ; theta ~ + ~ 4 cos ^ 2 ; theta ; ).

Solução

Podemos usar a Equação ref {3.1} para simplificar:
[ nonumber begin {align *}
5 sin ^ 2 ; theta ~ + ~ 4 cos ^ 2 ; theta ~ & = ~ 5 sin ^ 2 ; theta ~ + ~
4 left (1 ~ - ~ sin ^ 2 ; theta right) nonumber
& = ~ 5 sin ^ 2 ; theta ~ + ~ 4 ~ - ~ 4 sin ^ 2 ; theta nonumber
& = ~ sin ^ 2 ; theta ~ + ~ 4
end {align *} ]

Exemplo 3.3

Prove que (; tan ; theta ~ + ~ cot ; theta ~ = ~ sec ; theta ~ csc ; theta ; ).

Solução

Vamos expandir o lado esquerdo e mostrar que é igual ao lado direito:

[ nonumber begin {alignat *} {3}
tan ; theta + cot ; theta ~ & = ~ frac { sin ; theta} { cos ; theta} ~ + ~
frac { cos ; theta} { sin ; theta} & {} qquad & text {(por ref {3.1} e
ref {3.2})} nonumber
& = ~ frac { sin ; theta} { cos ; theta} ; cdot ; frac { sin ; theta} { sin ; theta} ~ + ~
frac { cos ; theta} { sin ; theta} ; cdot ; frac { cos ; theta} { cos ; theta}
& {} qquad & text {(multiplique ambas as frações por (1 ))} nonumber
& = ~ frac { sin ^ 2 ; theta ~ + ~ cos ^ 2 ; theta} { cos ; theta ~ sin ; theta} & {} qquad
& text {(após obter um denominador comum)} nonumber
& = ~ frac {1} { cos ; theta ~ sin ; theta} & {} qquad & text {(por ref {3.3})} nonumber
& = ~ frac {1} { cos ; theta} ~ cdot ~ frac {1} { sin ; theta} nonumber
& = ~ sec ; theta ~ csc ; theta
end {alignat *} ]

No exemplo acima, como sabíamos expandir o lado esquerdo em vez do lado direito? Em geral, embora essa técnica nem sempre funcione, o lado mais complicado da identidade provavelmente será mais fácil de expandir. A razão é que, por sua complexidade, haverá mais coisas que você pode fazer com essa expressão. Por exemplo, se você fosse solicitado a provar que

[ enhum número
sec ; theta ~ - ~ sin ; theta ~ tan ; theta ~ = ~ cos ; theta ~,
]

não haveria muito que você pudesse fazer com o lado direito dessa identidade; consiste em um único termo ( ( cos ; theta )) que não oferece nenhum meio óbvio de expansão.

Exemplo 3.4

Prove que (; dfrac {1 ~ + ~ cot ^ 2 ; theta} { sec ; theta} ~ = ~ csc ; theta ~ cot ; theta ; ) .

Solução

Dos dois lados, o lado esquerdo parece mais complicado, então vamos expandir isso:

[ nonumber begin {alignat *} {3}
frac {1 ~ + ~ cot ^ 2 ; theta} { sec ; theta} ~ & = ~ frac { csc ^ 2 ; theta} { sec ; theta}
& {} qquad & text {(por ref {3.11})} nonumber
& = ~ dfrac { csc ; theta ~ cdot ~ dfrac {1} { sin ; theta}} { dfrac {1} { cos ; theta}} & {}
& {} [2mm] não numérico
& = ~ csc ; theta ~ cdot ~ frac { cos ; theta} { sin ; theta} & {} & {} nonumber
& = ~ csc ; theta ~ cot ; theta & {} qquad & text {(por ref {3.2})}
end {alignat *} ]

Ao tentar provar uma identidade onde pelo menos um lado é uma proporção de expressões, multiplicação cruzada pode ser uma técnica eficaz:

[ enhum número
frac {a} {b} ~ = ~ frac {c} {d} quad text {se e somente se} quad ad ~ = ~ bc
]

Exemplo 3.6

Prove que (; dfrac {1 ~ + ~ sin ; theta} { cos ; theta} ~ = ~ dfrac { cos ; theta} {1 ~ - ~ sin ; theta} ; ).

Solução

Multiplique e reduza ambos os lados até que fique claro que eles são iguais:

[ nonumber begin {align *}
(1 ~ + ~ sin ; theta) (1 ~ - ~ sin ; theta) ~ & = ~ cos ; theta ~ cdot ~ cos ; theta nonumber
1 ~ - ~ sin ^ 2 ; theta ~ & = ~ cos ^ 2 ; theta
end {align *} ]

Por ref {3.5} ambos os lados da última equação são de fato iguais. Assim, a identidade original se mantém.

Exemplo 3.7

Suponha que (; a , cos ; theta = b ; ) e (; c , sin ; theta = d ; ) para algum ângulo ( theta ) e algumas constantes (a ), (b ), (c ) e (d ). Mostre que (; a ^ 2 c ^ 2 = b ^ 2 c ^ 2 + a ^ 2 d ^ 2 ).

Solução

Multiplique ambos os lados da primeira equação por (c ) e a segunda equação por (a ):
[ nonumber begin {align *}
ac , cos ; theta ~ & = ~ bc nonumber
ac , sin ; theta ~ & = ~ ad
end {align *} ]

Agora eleve ao quadrado cada uma das equações acima e some-as para obter:

[ nonumber begin {align *}
(ac , cos ; theta) ^ 2 ~ + ~ (ac , sin ; theta) ^ 2 ~ & = ~ (bc) ^ 2 ~ + ~ (ad) ^ 2 nonumber
(ac) ^ 2 left ( cos ^ 2 ; theta ~ + ~ sin ^ 2 ; theta right) ~ & = ~ b ^ 2 c ^ 2 ~ + ~ a ^ 2 d ^ 2 enhum número
a ^ 2 c ^ 2 ~ & = ~ b ^ 2 c ^ 2 ~ + ~ a ^ 2 d ^ 2 qquad text {(por ref {3.3})}
end {align *} ]

Observe como ( theta ) não aparece em nosso resultado final. O truque era obter um coeficiente comum ( (ac )) para (; cos ; theta ; ) e (; sin ; theta ; ) para que pudéssemos usar (; cos ^ 2 ; theta + sin ^ 2 ; theta = 1 ). Esta é uma técnica comum para eliminar funções trigonométricas de sistemas de equações.


Você recebe as seguintes informações sobre theta

O que são ( cos theta ) e ( tan theta )?

Identidades trigonométricas

Você pode usar as identidades pitagórica, tangente e recíproca para encontrar todos os seis valores trigonométricos para determinados ângulos. Vamos examinar alguns problemas para que você entenda como fazer isso.

Vamos resolver os problemas a seguir usando identidades trigonométricas.

Use a identidade pitagórica para encontrar sin theta.

Como ( theta ) está no primeiro quadrante, sabemos que o seno será positivo. ( sin theta = dfrac <4>

Use a identidade tangente para encontrar ( tan theta ).

Para encontrar secante, cossecante e cotangente, use as identidades recíprocas.

Anteriormente, você foi solicitado a encontrar ( cos theta ) e ( tan theta ) de ( sin theta = dfrac <2> <3> ), ( dfrac < pi > <2> & lt theta & lt pi ).

Primeiro, use a identidade pitagórica para encontrar ( cos theta ).

No entanto, como ( theta ) está restrito ao segundo quadrante, o cosseno deve ser negativo. Portanto, ( cos theta = & minus dfrac < sqrt <5>> <3> ).

Agora use a identidade tangente para encontrar tan theta.

Encontre os valores das outras cinco funções trigonométricas.

Primeiro, sabemos que theta está no segundo quadrante, tornando o seno positivo e o cosseno negativo. Para este problema, usaremos a Identidade Pitagórica (1+ tan ^ 2 theta = sec ^ 2 theta ) para encontrar a secante.

Se ( sec theta = & minus dfrac <13> <12> ), então ( cos theta = & minus dfrac <12> <13> ). ( sin theta = dfrac <5> <13> ) porque o valor do numerador da tangente é o seno e tem o mesmo valor do denominador do cosseno. ( csc theta = dfrac <13> <5> ) e ( cot theta = & minus dfrac <12> <5> ) das identidades recíprocas.

theta está no terceiro quadrante, portanto, seno e cosseno são negativos. O recíproco de ( csc theta = & minus8 ), nos dará ( sin theta = & minus dfrac <1> <8> ). Agora, use a identidade pitagórica (sin ^ 2 theta + cos ^ 2 theta = 1 ) para encontrar o cosseno.


Exercício 6.1: identidades trigonométricas


(ii)


6. Prove as seguintes identidades.



7. (i) Se sin θ + cos θ = √3, então prove que tan θ + cot θ = 1.

(ii) Se √3sinθ - cosθ = 0, então mostre que tan 3θ = (3 tan θ - tan 3 θ) / (1 - 3 tan 2 θ)


8. (i) Se , então prove que ( m 2 + n 2) cos 2 β = n 2

(ii) Se cot θ + tan θ = x e sec θ - cos θ = y , então prove que (x 2 y) 2/3 – (xy 2 ) 2/3 = 1


9. (i) Se sin θ + cos θ = p e sec θ + cosec θ = q, então prove que q ( p 2 − 1) = 2p

(ii) Se sin θ (1 + sin 2 θ) = cos 2 θ, então prove que cos 6 θ - 4 cos 4 θ + 8 cos 2 θ = 4


Identidades trigonométricas

Se θ for qualquer ângulo, então - θ, 90 ± θ, 180 ± θ, 270 ± θ, 360 ± θ etc. são chamados de ângulos aliados.

  • sin (- θ) = - sin θ cos (- θ) = cos θ
  • sin (90 ° - θ) = cos θ cos (90 ° - θ) = sin θ
  • sin (90 ° + θ) = cos θ cos (90 ° + θ) = - sen θ
  • sin (180 ° - θ) = sin θ cos (180 ° - θ) = - cos θ
  • sin (180 ° + θ) = - sen θ cos (180 ° + θ) = - cos θ
  • sin (270 ° - θ) = - cos θ cos (270 ° - θ) = - sin θ
  • sin (270 ° + θ) = - cos θ cos (270 ° + θ) = sin θ

Funções trigonométricas de soma ou diferença de dois ângulos | Trigonometria

  • sen (A ± B) = senA cosB ± cosA senB
  • cos (A ± B) = cosA cosB ∓ senA senB
  • sin²A - sin²B = cos²B - cos²A = sin (A + B). pecado (A− B)
  • cos²A - sen²B = cos²B - sen²A = cos (A + B). cos (A - B)
  • ( tan ( mathrm pm mathrm) = frac < tan mathrm pm tan mathrm> <1 mp tan mathrm tan mathrm> [/ latexl]
  • [latex] cot ( mathrm pm mathrm) = frac < cot mathrm cot mathrm mp 1> < cot mathrm pm cot mathrm> )

Fatoração da soma ou diferença de dois senos ou cossenos | Identidades trigonométricas

  • ( sin C + sin D = 2 sin frac<2> cos frac<2>)
  • ( sin C- sin D = 2 cos frac<2> sin frac<2>)
  • ( cos C + cos D = 2 cos frac<2> cos frac<2>)
  • ( cos C- cos D = -2 sin frac<2> sin frac<2>)

Transformação de produtos em soma ou diferença de senos e cossenos | Identidades trigonométricas

  • 2 senA cosB = sen (A + B) + sen (A − B)
  • 2 cosA sinB = sin (A + B) - sin (A − B)
  • 2 cosA cosB = cos (A + B) + cos (A − B)
  • 2 sinA sinB = cos (A − B) - cos (A + B)

Vários ângulos e meios ângulos | Identidades trigonométricas

  • sin 2A = 2 sinA cosA ( sin theta = 2 sin frac < theta> <2> cos frac < theta> <2> )
  • cos2A = cos²A - sen²A = 2cos²A - 1 = 1 - 2 sen²A
    ( cos theta = cos ^ <2>frac< heta> <2> - sin ^ <2>frac< heta> <2> = 2 cos ^ <2> frac < theta> <2> -1 = 1-2 sin ^ <2>frac< heta> <2> )
    2 cos²A = 1 + cos 2A, 2sin²A = 1 - cos 2A ( tan ^ <2> A = frac <1- cos 2 A> <1+ cos 2 A> )
    (2 cos ^ <2>frac< heta> <2> = 1 + cos theta, 2 sin ^ <2>frac< heta> <2> = 1- cos theta )
  • ( tan 2 mathrm = frac <2 tan mathrm> <1- tan ^ <2> mathrm> quad quad tan theta = frac <2 tan ( theta / 2) > <1- tan ^ <2> ( theta / 2)> )
  • ( sin 2 A = frac <2 tan A> <1+ tan ^ <2> A>, quad cos 2 A = frac <1- tan ^ <2> A> <1+ tan ^ <2> A> )
  • sin 3A = 3 sinA - 4 sin 3 A
  • cos 3A = 4 cos 3 A - 3 cosA
  • ( tan 3 A = frac <3 tan A- tan ^ <3> A> <1-3 tan ^ <2> A> )

Três ângulos | Identidades trigonométricas

  • A + B + C = π então tanA + tanB + tanC = tanA tanB tanC
  • A + B + C = ( frac <2> ) então tanA tanB + tanB tanC + tanC tanA = 1
  • sen2A + sen2B + sen2C = 4 senA senB senC
  • sinA + sinB + sinC = 4 cos ( frac <2> ) cos ( frac <2> ) cos ( frac <2>)

Valores máximos e mínimos de funções trigonométricas

  • Min. valor de a 2 tan 2 θ + b 2 cot 2 θ = 2ab onde θ ∈ R
  • Máx. e mín. valor de acosθ + bsinθ são ( sqrt+ b ^ <2>> text - sqrt+ b ^ <2>> )
  • Se f (θ) = acos (α + θ) + bcos (β + θ) onde a, b, α e β são quantidades conhecidas, então -
    ( sqrt+ b ^ <2> +2 a b cos ( alpha- beta)> leq f ( theta) leq sqrt+ b ^ <2> +2 a b cos ( alpha- beta)> )
  • Se α, β ∈ (0, ( frac <2> )) e α + β = σ (constante), então os valores máximos da expressão cosα cosβ, cosα + cosβ, sinα + sinβ e sinα sinβ ocorre quando α = β = σ / 2.
  • Se α, β ∈ (0, ( frac <2> )) e α + β = σ (constante), então ocorrem os valores mínimos da expressão secα + secβ, tanα + tanβ, cosecα + cosecβ quando α = β = σ / 2.
  • Se A, B, C são os ângulos de um triângulo, então o valor máximo de sinA + sinB + sinC e sinA sinB sinC ocorre quando A = B = C = 600
  • No caso de um quadrático em sen θ ou cos θ ser dado, os valores máximo ou mínimo podem ser interpretados fazendo um quadrado perfeito.

Soma de senos ou cossenos de n ângulos,

(começar < sin alpha + sin ( alpha + beta) + sin ( alpha + 2 beta) + ldots ldots + sin ( alpha + overline beta) = frac < sin frac<2>> < sin frac < beta> <2>> sin left ( alpha + frac <2> beta right)> < cos alpha + cos ( alpha + beta) + cos ( alpha + 2 beta) + ldots ldots + cos ( alpha + overline beta) = frac < sin frac<2>> < sin frac < beta> < frac < beta> <2> >> cos left ( alpha + frac <2> beta right)> end)


Matemática Pré-cálculo Matemática em Nebraska

Nesta seção, apresentaremos o conceito de identidades trigonométricas e trabalharemos com várias identidades para provar que são verdadeiras.

Subseção Identidades trigonométricas

A é uma equação trigonométrica verdadeira para todos os valores possíveis da variável de entrada na qual está definida.

As identidades são geralmente algo que pode ser derivado de definições e relacionamentos que já conhecemos. Uma identidade com a qual já estamos familiarizados é a, que derivamos das definições de seno e cosseno. Lembre-se de que a identidade pitagórica afirma que, para qualquer ângulo ( theta text <,> )

Em alguns casos, podemos usar identidades trigonométricas para simplificar uma expressão. Para fazer isso, podemos utilizar as definições e identidades que já estabelecemos.

Exemplo 96

Simplifique a expressão ( displaystyle frac < sec ( theta)> < tan ( theta)> text <.> )

Começamos escrevendo secante e tangente em termos de seno e cosseno. Isso produz

Às vezes, uma pergunta pode pedir que você "prove a identidade" ou "estabeleça a identidade". Esta é a mesma ideia de quando você é solicitado a mostrar que ((x-1) ^ 2 = x ^ 2-2x + 1 text <.> ) Neste tipo de questão, devemos mostrar as manipulações algébricas que demonstrar que os lados esquerdo e direito da equação são de fato iguais. Você pode pensar em um problema de "provar a identidade" como um problema de simplificação onde você saber a resposta: você sabe qual deve ser o objetivo final da simplificação e só precisa mostrar os passos para chegar lá.

Na maioria dos casos, para provar uma identidade, você começará com a expressão de um lado da identidade e a manipulará usando álgebra e identidades trigonométricas até simplificá-la para a expressão do outro lado da equação. Observe que tratamos a identidade como uma equação a ser resolvida - não é! Em vez disso, estamos tentando provar E se as duas expressões são iguais, portanto, devemos ter o cuidado de trabalhar com um lado de cada vez, em vez de aplicar uma operação simultaneamente a ambos os lados da equação.

Exemplo 97

Prove a identidade ( displaystyle frac <1+ cot ( theta)> < csc ( theta)> = sin ( theta) + cos ( theta) text <.> )

Começamos com o lado esquerdo da identidade desejada e tentamos manipulá-la para que se pareça com o lado direito. Ao escrever cotangente e cossecante em termos de seno e cosseno, temos

Também podemos usar identidades que aprendemos anteriormente, como a identidade pitagórica, enquanto simplificamos ou comprovamos identidades.

Exemplo 98

Estabeleça a identidade ( displaystyle frac < cos ^ 2 ( theta)> <1+ sin ( theta)> = 1- sin ( theta) text <.> )

Para estabelecer essa identidade, vamos manipular os dois lados da identidade dada até encontrarmos uma identidade que sabemos ser verdadeira. Começar com

Vamos multiplicar ambos os lados por (1+ sin ( theta) text <,> ) que dá

Em seguida, multiplicamos o lado direito, o que dá

Cancelando os termos semelhantes do lado direito, temos

Sabemos que a última linha é verdadeira devido à identidade pitagórica, ( cos ^ 2 ( theta) + sin ^ 2 ( theta) = 1 text <.> ) Portanto, a identidade inicial também deve ser verdadeiro.

Também podemos construir novas identidades a partir de identidades previamente estabelecidas. Por exemplo, podemos chegar a outra identidade se dividirmos os dois lados da identidade pitagórica pelo cosseno ao quadrado (o que é permitido, pois já mostramos que a identidade é verdadeira).

Exercício 99

Use uma abordagem semelhante para estabelecer que ( cot ^ 2 ( theta) + 1 = csc ^ 2 ( theta) text <.> )

Formas alternativas da identidade pitagórica

Subseção Resolvendo Equações Trigonométricas com Identidades

No último capítulo, resolvemos equações trigonométricas básicas. Usando identidades, podemos agora explorar diferentes técnicas para resolver equações trigonométricas mais complicadas. Construir a partir do que já sabemos torna essa tarefa muito mais fácil.

Considere a função (f (x) = 2x ^ 2 + x text <.> ) Se você fosse solicitado a resolver (f (x) = 0 text <,> ), você poderia usar a álgebra para chegar a duas soluções.

Primeiro, definimos ( 2x ^ 2 + x = 0 ) e fator, o que nos dá

Agora, como os termos ( x ) e ( 2x + 1 ) se multiplicam juntos para ser igual a 0, sabemos que ( x = 0 ) ou ( 2x + 1 = 0 text <.> ) Portanto, temos as duas soluções

Seguindo os mesmos passos, podemos resolver a equação (f ( theta) = 0 ) onde (f ( theta) = 2 sin ^ 2 ( theta) + sin ( theta) text <. > ) Nós entendemos

Como antes, temos dois termos que se multiplicam para obter 0. Portanto, sabemos que também

Devemos agora resolver cada uma dessas equações para obter um conjunto completo de soluções.

Resolver a equação ( sin ( theta) = 0 ) nos dá as soluções (. - pi, 0, pi, 2 pi. ) Que podem ser representadas como o conjunto de solução

Resolvendo a equação ( 2 sin ( theta) + 1 = 0 ), obtemos ( displaystyle sin ( theta) = - frac <1> <2> text <,> ) que dá nós o conjunto de soluções

Portanto, as soluções para a equação original ( 2 sin ^ 2 ( theta) + sin ( theta) = 0 ) são

Exemplo 100

Resolva ( 3 sec ^ 2 ( theta) - 5 sec ( theta) = 2 ) para todas as soluções com (0 leq theta lt 2 pi text <.> )

Considere a função (f (x) = 3x ^ 2-5x text <.> ) Se você fosse solicitado a encontrar todas as soluções para (f (x) = 2 text <,> ), você poderia usar álgebra para chegar a duas soluções:

Portanto, temos as duas soluções

Seguindo essas etapas como acima com ( sec ( theta) ) em vez de (x text <,> ), sabemos que também

Não há soluções para a equação ( cos ( theta) = - 3 text <.> ) Resolvendo a equação ( cos ( theta) = frac <1> <2> text <,> ) temos dois conjuntos de soluções. Primeiro,

O outro conjunto de soluções para ( cos ( theta) = frac <1> <2> ) tem ângulo de base (- arccos left ( frac <1> <2> right) text <, > ) o que dá

Finalmente, precisamos determinar quais soluções estão no intervalo (0 le theta le 2 pi text <.> ) Isso acontece para (k = 0 ) no primeiro conjunto de solução e para ( k = 1 ) no segundo conjunto de soluções. Portanto, as soluções para a equação original (3 sec ^ 2 ( theta) - 5 sec ( theta) = 2 ) no intervalo ([0,2 pi] ) são

Exercício 101

Resolva ( 2 sin ^ 2 ( theta) +3 sin ( theta) = -1 ) para todas as soluções com (0 leq theta lt 2 pi text <.> )


Instruções: Use seu conhecimento de identidades trigonométricas para responder às seguintes perguntas. Em seguida, verifique suas respostas na próxima seção.

O triângulo XYZ acima é um triângulo de 30-60-90 graus.

O ângulo X mede 60 graus.

O lado XY é uma unidade de comprimento.

O lado YZ tem um comprimento de & radic 3 unidades.

O lado XZ tem 2 unidades de comprimento.

Questão 1: A cossecante do ângulo X é 2 / & radical 3. Qual é o seno?

Questão 2: A secante do ângulo X é 2. Qual é o cosseno?

Questão 3: A cotangente do ângulo X é 1 / & radical 3. Qual é a tangente?

Questão 4: Se tan 2 X = 3, o que é segundo 2?

Questão 5: Prove que sen X × csc X = 1

Identidades de Trig e # 8211 Respostas

Então, se a cossecante do ângulo X é 2 / & radical 3, o seno é & radical 3/2.

Portanto, se a secante do ângulo X for 2, o cosseno será 1/2.

Então, se a cotangente do ângulo X é 1 / & radic 3, a tangente é & radic 3.

Se tan 2 X = 3, o que é segundo 2?

Prove que sen X × csc X = 1

Aqui, temos um triângulo de 30-60-90 graus e os comprimentos relativos dos lados são fornecidos nos fatos do problema.

O seno de X é, portanto, & radic 3/2 e a cossecante é 2 / & radic 3.

Identidades de trigonometria e abreviações # 8211

As seguintes abreviações são comumente usadas ao discutir identidades trigonométricas:

  • sin = seno
  • cos = cosseno
  • tan = tangente
  • csc = cossecante
  • sec = secante
  • cot = cotangente

A abreviatura também pode ser usada com a identidade do ângulo ao qual se refere, como csc α ou cot λ.

Identidades recíprocas & # 8211 definidas

A secante é o reverso do cosseno.

Cosecant é o reverso do seno.

Cotangente é o reverso da tangente.

Podemos expressar essas identidades como frações que contêm 1 no numerador, conforme mostrado abaixo:


Problemas resolvidos

Clique ou toque em um problema para ver a solução.

Exemplo 1

Exemplo 2

Exemplo 3

Exemplo 4

Exemplo 5

Exemplo 6

Exemplo 7

Exemplo 8

Exemplo 9

Exemplo 10

Exemplo 11

Exemplo 12

Exemplo 1.

Usando a identidade (< sin ^ 2> alpha + < cos ^ 2> alpha = 1, ) calculamos a função cosseno:

A função tangente é a proporção do seno e cosseno:

A cotangente é a recíproca da tangente:

A secante e a cossecante são os recíprocos do cosseno e do seno, respectivamente:

Exemplo 2.

Por definição, ( sec alpha = large < frac <1> << cos alpha >>> tamanho normal. ) Portanto,

Usando a identidade (< sin ^ 2> alpha + < cos ^ 2> alpha = 1, ) encontramos ( sin alpha: )

A função tangente pode ser expressa em termos de seno e cosseno:

A cotangente é a recíproca da tangente:

Finalmente, calculamos o valor da cossecante:

Exemplo 3.

Exemplo 4.

Denotamos esta expressão por (A. )

Usando a identidade (1 + < tan ^ 2> alpha = < sec ^ 2> alpha, ), temos

Por definição, (< sec ^ 2> alpha = large < frac <1> <<<< cos> ^ 2> alpha >>> tamanho normal. ) Portanto,

Exemplo 5.

Exemplo 6.

Usamos as identidades pitagóricas

Em seguida, escrevemos a identidade inicial no formulário

Exemplo 7.

Como ( tan alpha ) é uma quantidade finita, então ( cos alpha ne 0. ) Portanto, podemos dividir o numerador e o denominador da expressão por ( cos alpha: )

Exemplo 8.

Ao elevar os dois lados da equação ao quadrado ( tan alpha + cot alpha = n, ) obtemos

Exemplo 9.

Usando o teorema de Pitágoras, primeiro encontramos o comprimento da outra perna (b ), adjacente a ( alpha: )

O seno e o cosseno do ângulo ( alpha ) são dados por

Determine a tangente e cotangente de ( alpha: )

Calcule os valores da secante e cossecante:

Exemplo 10.

Fatoramos a soma de dois cubos:

Como (< sin ^ 2> alpha + < cos ^ 2> alpha = 1, ) representamos a última expressão na forma

Agora, para encontrar o produto ( sin alpha cos alpha, ) elevamos ao quadrado ambos os lados da equação ( sin alpha + cos alpha = k: )

Exemplo 11.

Equacionamos os dois lados da identidade trigonométrica pitagórica:

Agora encontramos ( sin alpha cos alpha. ) Por condição, ( sin alpha + cos alpha = m. ) Então,

Exemplo 12.

Usando a identidade (< sin ^ 2> alpha + < cos ^ 2> alpha = 1, ) temos

Dada a função tangente, encontre o cosseno ao quadrado:

[<< tan ^ 2> alpha + 1 = < sec ^ 2> alpha,> Rightarrow << sec ^ 2> alpha = frac <1> <<<< cos> ^ 2> alpha >> = 3 + 1 = 4,> Rightarrow << cos ^ 2> alpha = frac <1> <4>.> ]


Identidades trigonométricas básicas

As identidades trigonométricas são equações que envolvem as funções trigonométricas que são verdadeiras para todos os valores das variáveis ​​envolvidas.

Algumas das identidades trigonométricas mais comumente usadas são derivadas do Teorema de Pitágoras, como o seguinte:

sen 2 (x) + cos 2 (x) = 1 1 + tan 2 (x) = seg 2 (x) 1 + cot 2 (x) = csc 2 (x)

Simplifique a expressão usando identidades trigonométricas.

Use a identidade pitagórica fundamental, obtemos

As identidades recíprocas

sin (x) = 1 csc (x) cos (x) = 1 seg (x) tan (x) = 1 cot (x) csc (x) = 1 sin (x) sec (x) = 1 cos (x) cot (x) = 1 tan (x)

Mostre que sec 2 (& theta) + csc 2 (& theta) = sec 2 (& theta) & sdot csc 2 (& theta).

As Identidades Quocientes

tan (u) = sin (u) cos (u) cot (u) = cos (u) sin (u)

Verifique a identidade, cos (& theta) + sin (& theta) tan (& theta) = sec (& theta)

Considere a expressão do lado esquerdo da equação.

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Pontos para lembrar

1. sen 2 θ é a notação comumente usada para (sin θ) 2, da mesma forma para outras razões trigonométricas.

2. & # Xa0 seg 2 θ & # xa0- tan 2 θ & # xa0 = & # xa0 & # xa0 1 não tem sentido quando & # xa0 θ & # xa0 = & # xa0 90 °. & # Xa0 Mas ainda é uma identidade e true para todos os valores de θ para os quais sec θ e tan θ são definidos. Assim, uma identidade é uma equação verdadeira para todos os valores de seus valores de domínio.

entendemos que a expressão é válida para todos os valores de θ & # xa0 para os quais (1 + cos θ) & # xa0 & # xa0 ≠ & # xa0 0


Exemplos

Sin (x) cos (x)

começar int_a ^ b sin cdot cos D & amp = int_a ^ b frac <>- e ^ <-ix>> <2i> cdot frac <>+ e ^ <-ix>> <2> D nonumber & amp = frac <1> <2> cdot int_a ^ b frac cancel <-1> cancel <+1> - e ^ <-i2x>> <2i> D nonumber & amp = frac <1> <2> cdot int_a ^ b sin < left (2x right)> D nonumber [2ex] & amp = left. - frac < cos < left (2x right) >> <4> right | _a ^ b end

Sin 3 (x) cos (x)

começar int_a ^ b & amp sin ^ 3 cdot cos D = int_a ^ b left ( frac <>- e ^ <-ix>> <2i> right) ^ 3 cdot frac <>+ e ^ <-ix>> <2> D nonumber & amp = - frac <1> <16i> cdot int_a ^ b left (e ^ - 3e ^ + 3e ^ <-ix> + e ^ <-i3x> right) cdot left (e ^ + e ^ <-ix> direito) D nonumber & amp = - frac <1> <16i> cdot int_a ^ b e ^ - 3e ^ cancel <+3> - e ^ <-i2x> + e ^ - 3 + 3 e ^ <-i2x> - e ^ <-i4x> D nonumber & amp = - frac <1> <8> cdot int_a ^ b underbrace < frac - e ^ <-i4x>> <2i>> _ < sin <(4x) >> - 2 cdot underbrace < frac - e ^ <-i2x>> <2i>> _ < sin <(2x) >> D nonumber & amp = frac <1> <8> cdot int_a ^ b 2 cdot sin < left (2x right)> - sin < left (4x right)> D nonumber [2ex] & amp = left. frac <1> <8> cdot left [- cos <(2x)> + frac < cos <(4x) >> <4> right] right | _a ^ b end

Sin (x) cos 2 (x)

começar int_a ^ b & amp sin cdot cos ^ 2 D = int_a ^ b frac - e ^ <-ix>> <2i> cdot left ( frac + e ^ <-ix>> <2> right) ^ 2 D nonumber & amp = frac <1> <8i> cdot int_a ^ b left (e ^ - e ^ <-ix> right) cdot left (e ^ + 2 + e ^ <-i2x> direita) D nonumber & amp = frac <1> <8i> cdot int_a ^ b e ^ + 2 e ^ + e ^ <-ix> - e ^ - 2 e ^ <-ix> - e ^ <-i3x> D nonumber & amp = frac <1> <4> cdot int_a ^ b underbrace < frac<>- e ^ <-i3x>> <2i>> _ < sin <(3x) >> + underbrace < frac - e ^ <-ix>> <2i>> _ < sin <(x) >> D nonumber & amp = frac <1> <4> cdot int_a ^ b sin < left (3x right)> + sin D nonumber [2ex] & amp = left. - frac <1> <4> cdot left [ frac < cos <(3x) >> <3> + cos right] right | _a ^ b end


Assista o vídeo: Trygonometria - stosowanie podstawowych wzorów (Outubro 2021).