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7.R: Identidades e equações trigonométricas (revisão) - Matemática


7.1: Resolvendo Equações Trigonométricas com Identidades

Para os exercícios 1-6, encontre todas as soluções exatamente que existem no intervalo ([0,2 pi) ).

1) ( csc ^ 2 t = 3 )

Responder

( sin ^ {- 1} left ( dfrac { sqrt {3}} {3} right), pi - sin ^ {- 1} left ( dfrac { sqrt {3}} {3} right), pi + sin ^ {- 1} left ( dfrac { sqrt {3}} {3} right), 2 pi - sin ^ {- 1} left ( dfrac { sqrt {3}} {3} right) )

2) ( cos ^ 2 x = dfrac {1} {4} )

3) (2 sin theta = -1 )

Responder

( dfrac {7 pi} {6}, dfrac {11 pi} {6} )

4) ( tan x sin x + sin (-x) = 0 )

5) (9 sin omega -2 = 4 sin ^ 2 omega )

Responder

( sin ^ {- 1} left ( dfrac {1} {4} right), pi - sin ^ {- 1} left ( dfrac {1} {4} right) )

6) (1-2 tan ( omega) = tan ^ 2 ( omega) )

Para os exercícios de 7 a 8, use identidades básicas para simplificar a expressão.

7) ( sec x cos x + cos x- dfrac {1} { sec x} )

Responder

(1)

8) ( sin ^ 3 x + cos ^ 2 x sin x )

Para os exercícios de 9 a 10, determine se as identidades fornecidas são equivalentes.

9) ( sin ^ 2 x + sec ^ 2 x -1 = dfrac {(1- cos ^ 2 x) (1+ cos ^ 2 x)} { cos ^ 2 x} )

Responder

sim

10) ( tan ^ 3 x csc ^ 2 x cot ^ 2 x cos x sin x = 1 )

7.2: Identidades de Soma e Diferença

Para os exercícios 1-4, encontre o valor exato.

1) ( tan left ( dfrac {7 pi} {12} right) )

Responder

(- 2- sqrt {3} )

2) ( cos left ( dfrac {25 pi} {12} right) )

3) ( sin (70 ^ { circ}) cos (25 ^ { circ}) - cos (70 ^ { circ}) sin (25 ^ { circ}) )

Responder

( dfrac { sqrt {2}} {2} )

4) ( cos (83 ^ { circ}) cos (23 ^ { circ}) + sin (83 ^ { circ}) sin (23 ^ { circ}) )

Para os exercícios 5-6, comprove a identidade.

5) ( cos (4x) - cos (3x) cos x = sin ^ 2 x-4 cos ^ 2 x sin ^ 2 x )

Responder

( begin {align *}
cos (4x) - cos (3x) cos x & = cos (2x + 2x) - cos (x + 2x) cos x
& = cos (2x) cos (2x) - sin (2x) sin (2x) - cos x cos (2x) cos x + sin x sin (2x) cos x
& = ( cos ^ 2 x- sin ^ 2 x) ^ 2-4 cos ^ 2 x sin ^ 2 x- cos ^ 2 x ( cos ^ 2
x- sin ^ 2 x) + sin x (2) sin x cos x cos x
& = ( cos ^ 2 x- sin ^ 2 x) ^ 2-4 cos ^ 2 x sin ^ 2 x- cos ^ 2 x ( cos ^ 2 x- sin ^ 2 x) +2 sin ^ 2 x cos ^ 2 x
& = cos ^ 4x-2 cos ^ 2x sin ^ 2x + sin ^ 4- cos ^ 2x sin ^ 2x- cos ^ 4x + cos ^ 2x sin ^ 2x + 2 sin ^ 2x cos ^ 2x
& = sin ^ 4x-4 cos ^ 2x sin ^ 2x + cos ^ 2x sin ^ 2x
& = sin ^ 2x ( sin ^ 2x + cos ^ 2x) -4 cos ^ 2x sin ^ 2x
& = sin ^ 2 x-4 cos ^ 2 x sin ^ 2 x
end {align *} )

6) ( cos (3x) - cos ^ 3x = - cos x sin ^ 2x- sin x sin (2x) )

Para o exercício 7, simplifique a expressão.

7) ( dfrac { tan left ( tfrac {1} {2} x right) + tan left ( tfrac {1} {8} x right)} {1- tan left ( tfrac {1} {8} x right) tan left ( tfrac {1} {2} x right)} )

Responder

( tan left ( dfrac {5} {8} x right) )

Para os exercícios 8-9, encontre o valor exato.

8) ( cos left ( sin ^ {- 1} (0) - cos ^ {- 1} left ( dfrac {1} {2} right) right) )

9) ( tan left ( sin ^ {- 1} (0) - sin ^ {- 1} left ( dfrac {1} {2} right) right) )

Responder

( dfrac { sqrt {3}} {3} )

7.3: Fórmulas de Ângulo Duplo, Meio Ângulo e Redução

Para os exercícios 1-4, encontre o valor exato.

1) Encontre ( sin (2 theta) ), ( cos (2 theta) ), e ( tan (2 theta) ) dado ( cos theta = - dfrac {1} {3} ) e ( theta ) está no intervalo ( left [ dfrac { pi} {2}, pi right] ).

2) Encontre ( sin (2 theta) ), ( cos (2 theta) ) e ( tan (2 theta) ) dado ( sec theta = - dfrac {5} {3} ) e ( theta ) está no intervalo ( left [ dfrac { pi} {2}, pi right] ).

Responder

(- dfrac {24} {25}, - dfrac {7} {25}, dfrac {24} {7} )

3) ( sin left ( dfrac {7 pi} {8} right) )

4) ( sec left ( dfrac {3 pi} {8} right) )

Responder

( sqrt {2 (2+ sqrt {2})} )

Para os exercícios 5-6, use a Figura abaixo para encontrar as quantidades desejadas.

5) ( sin (2 beta), cos (2 beta), tan (2 beta), sin (2 alpha), cos (2 alpha), tan (2 alpha) ) )

6) ( sin left ( frac { beta} {2} right), cos left ( frac { beta} {2} right), tan left ( frac { beta } {2} right), sin left ( frac { alpha} {2} right), cos left ( frac { alpha} {2} right), tan left ( frac { alpha} {2} right) )

Responder

( dfrac { sqrt {2}} {10}, dfrac {7 sqrt {2}} {10}, dfrac {1} {7}, dfrac {3} {5}, dfrac { 4} {5}, dfrac {3} {4} )

Para os exercícios de 7 a 8, comprove a identidade.

7) ( dfrac {2 cos (2x)} { sin (2x)} = cot x- tan x )

8) ( cot x cos (2x) = - sin (2x) + cot x )

Responder

( begin {align *} cot x cos (2x) & = cot x (1-2 sin ^ 2 x) & = cot x- dfrac { cos x} { sin x } (2) sin ^ 2 x & = -2 sin x cos & = - sin (2x) + cot x end {alinhar *} )

Para os exercícios de 9 a 10, reescreva a expressão sem poderes.

9) ( cos ^ 2 x sin ^ 4 (2x) )

10) ( tan ^ 2 x sin ^ 3 x )

Responder

( dfrac {10 sin x-5 sin (3x) + sin (5x)} {8 ( cos (2x) +1)} )

7.4: Fórmulas de Soma para Produto e de Produto para Soma

Para os exercícios 1-3, avalie o produto para a expressão dada usando uma soma ou diferença de duas funções. Escreva a resposta exata.

1) ( cos left ( dfrac { pi} {3} right) sin left ( dfrac { pi} {4} right) )

2) (2 sin left ( dfrac {2 pi} {3} right) sin left ( dfrac {5 pi} {6} right) )

Responder

( dfrac { sqrt {3}} {2} )

3) (2 cos left ( dfrac { pi} {5} right) cos left ( dfrac { pi} {3} right) )

Para os exercícios 4-5, avalie a soma usando uma fórmula de produto. Escreva a resposta exata.

4) ( sin left ( dfrac { pi} {12} right) - sin left ( dfrac {7 pi} {12} right) )

Responder

(- dfrac { sqrt {2}} {2} )

5) ( cos left ( dfrac {5 pi} {12} right) + cos left ( dfrac {7 pi} {12} right) )

Para os exercícios 6-9, mude as funções de um produto para uma soma ou de uma soma para um produto.

6) ( sin (9x) cos (3x) )

Responder

( dfrac {1} {2} ( sin (6x) + sin (12x)) )

7) ( cos (7x) cos (12x) )

8) ( sin (11x) + sin (2x) )

Responder

(2 sin left ( dfrac {13} {2} x right) cos left ( dfrac {9} {2} x right) )

9) ( cos (6x) + cos (5x) )

7.5: Resolvendo Equações Trigonométricas

Para os exercícios 1-2, encontre todas as soluções exatas no intervalo ([0,2 pi) ).

1) ( tan x + 1 = 0 )

Responder

( dfrac {3 pi} {4}, dfrac {7 pi} {4} )

2) (2 sin (2x) + sqrt {2} = 0 )

Para os exercícios 3-7, encontre todas as soluções exatas no intervalo ([0,2 pi) ).

3) (2 sin ^ 2 x- sin x = 0 )

Responder

(0, dfrac { pi} {6}, dfrac {5 pi} {6}, pi )

4) ( cos ^ 2 x- cos x -1 = 0 )

5) (2 sin ^ 2 x + 5 sin x + 3 = 0 )

Responder

( dfrac {3 pi} {2} )

6) ( cos x - 5 sin (2x) = 0 )

7) ( dfrac {1} { sec ^ 2 x} +2+ sin ^ 2 x + 4 cos ^ 2 x = 0 )

Responder

Sem solução.

Para os exercícios 8-9, simplifique a equação algebricamente tanto quanto possível. Em seguida, use uma calculadora para encontrar as soluções no intervalo ([0,2 pi) ).Arredonde para quatro casas decimais.

8) ( sqrt {3} cot ^ 2 x + cot x = 1 )

9) ( csc ^ 2 x-3 csc x-4 = 0 )

Responder

(0.2527,2.8889,4.7124)

Para os exercícios 10-11, represente graficamente cada lado da equação para encontrar os zeros no intervalo ([0,2 pi) ).

10) (20 cos ^ 2x + 21 cos x + 1 = 0 )

11) ( sec ^ 2x-2 sec x = 15 )

Responder

(1.3694, 1.9106, 4.3726, 4.9137)

7.6: Modelagem com Equações Trigonométricas

Para os exercícios 1-3, represente graficamente os pontos e encontre uma fórmula possível para os valores trigonométricos na tabela fornecida.

1)

(x )
(y )

2)

(x )
Responder

(3 sin left ( dfrac {x pi} {2} right) -2 )

3)

(x )
(3 + 2 sqrt {2} )
(2 sqrt {2} -1 )
(3-2 sqrt {2} )
(- 1-2 sqrt {2} )

4) Um homem com os olhos no nível de (6 ) pés acima do solo está de pé (3 ) pés de distância da base de uma escada vertical de (15 ) pés. Se ele olhar para o topo da escada, em que ângulo acima da horizontal ele está olhando?

Responder

(71,6 ^ { circ} )

5) Usando a escada do exercício anterior, se um trabalhador da construção civil com (6 ) de altura em pé no topo da escada olhar para os pés do homem de pé na parte inferior, que ângulo da horizontal ele está Procurando?

Para os exercícios 6 a 7, construa funções que modelem o comportamento descrito.

6) A população de lemingues varia com uma baixa anual de (500 ) em março. Se a população anual média de lemingues for (950 ), escreva uma função que modele a população em relação a (t ), o mês.

Responder

(P (t) = 950-450 sin left ( dfrac { pi} {6} t right) )

7) As temperaturas diárias no deserto podem ser muito extremas. Se a temperatura variar de (90 ^ { circ} ) F a (30 ^ { circ} ) F e a temperatura média diária ocorrer primeiro às 10h, escreva uma função que modele esse comportamento.

Para os exercícios 8-9, encontre a amplitude, a frequência e o período das equações fornecidas.

8) (y = 3 cos (x pi) )

Responder

Amplitude: (3 ), período: (2 ), frequência: ( dfrac {1} {2} ) Hz

9) (y = -2 sin (16x pi) )

Para os exercícios 10-11, modele o comportamento descrito e encontre os valores solicitados.

10) Uma espécie invasora de carpa é introduzida no Lago de Água Doce. Inicialmente, existem (100 ) carpas no lago e a população varia de (20 ) peixes sazonalmente. Se por ano (5 ), houver (625 ) carpas, encontre uma função que modele a população de carpas em relação a (t ), o número de anos a partir de agora.

Responder

(C (t) = 20 sin (2 pi t) +100 (1,4427) ^ t )

11) A população de peixes nativos do lago de água doce tem média de (2500 ) peixes, variando em (100 ) peixes sazonalmente. Devido à competição por recursos da carpa invasora, a população de peixes nativos deverá diminuir em (5 \% ) a cada ano. Encontre uma função que modele a população de peixes nativos em relação a (t ), o número de anos a partir de agora. Também determine quantos anos a carpa levará para ultrapassar a população de peixes nativos.

Teste prático

Para os exercícios 1-2, simplifique a expressão fornecida.

1) ( cos (-x) sin x cot x + sin ^ 2x )

Responder

(1)

2) ( sin (-x) cos (-2x) - sin (-x) cos (-2x) )

Para os exercícios 3-6, encontre o valor exato.

3) ( cos left ( dfrac {7 pi} {12} right) )

Responder

( dfrac { sqrt {2} - sqrt {6}} {4} )

4) ( tan left ( dfrac {3 pi} {8} right) )

5) ( tan left ( sin ^ {- 1} left ( dfrac { sqrt {2}} {2} right) + tan ^ {- 1} sqrt {3} right) )

Responder

(- sqrt {2} - sqrt {3} )

6) (2 sin left ( dfrac { pi} {4} right) sin left ( dfrac { pi} {6} right) )

Para os exercícios 7-16, encontre todas as soluções exatas para a equação em ([0,2 pi) ).

7) ( cos ^ 2x- sin ^ 2x-1 = 0 )

Responder

(0, pi )

8) ( cos ^ 2x = cos x )

Responder

( sin ^ {- 1} left ( dfrac {1} {4} left ( sqrt {13} -1 right) right), pi - sin ^ {- 1} left ( dfrac {1} {4} left ( sqrt {13} -1 right) right) )

9) ( cos (2x) + sin ^ 2 x = 0 )

10) (2 sin ^ 2 x - sin x = 0 )

Responder

(0, dfrac { pi} {6}, dfrac {5 pi} {6}, pi )

11) Reescreva a expressão como um produto em vez de uma soma: ( cos (2x) + cos (-8x) )

12) Encontre todas as soluções de ( tan (x) - sqrt {3} = 0 ).

Responder

( dfrac { pi} {3} + k pi )

13) Encontre as soluções de ( sec ^ 2x -2 sec x = 15 ) no intervalo ([0,2 pi) ) algebricamente; em seguida, represente graficamente os dois lados da equação para determinar a resposta.

14) Encontre ( sin (2 theta) ), ( cos (2 theta) ) e ( tan (2 theta) ) dado ( cot theta = - dfrac {3} {4} ) e ( theta ) está no intervalo ( left [ dfrac { pi} {2}, pi right] ).

Responder

(- dfrac {24} {25}, - dfrac {7} {25}, dfrac {24} {7} )

15) Encontre ( sin left ( dfrac { theta} {2} right) ), ( cos left ( dfrac { theta} {2} right) ), e ( tan left ( dfrac { theta} {2} right) ) dado ( cos theta = - dfrac {7} {25} ) e ( theta ) está no quadrante ( mathrm {IV} ).

16) Reescreva a expressão ( sin ^ 4 x ) sem potências maiores que (1 ).

Responder

( dfrac {1} {8} (3+ cos (4x) -4 cos (2x)) )

Para os exercícios 17-19, comprove a identidade.

17) ( tan ^ 3x- tan x sec ^ 2x = tan (-x) )

18) ( sin (3x) - cos x sin (2x) = cos ^ 2x sin x- sin ^ 3x )

Responder

( begin {align *} sin (3x) - cos x sin (2x) & = sin (x + 2x) - cos x (2 sin x cos x) & = sin x cos (2x) + sin (2x) cos x -2 sin x cos ^ 2x & = sin x ( cos ^ 2x - sin ^ 2x) +2 sin x cos x cos x - 2 sin x cos ^ 2x & = sin x cos ^ 2x - sin ^ 3x +0 & = cos ^ 2x sin x - sin ^ 3x & = cos ^ 2x sin x- sin ^ 3x end {alinhar *} )

19) ( dfrac { sin (2x)} { sin x} - dfrac { cos (2x)} { cos x} = sec x )

20) Trace os pontos e encontre uma função da forma (y = A cos (Bx + C) + D ) que se ajusta aos dados fornecidos.

(x )
(y )
Responder

(y = 2 cos ( pi x + pi) )

21) O deslocamento (h (t) ) em centímetros de uma massa suspensa por uma mola é modelado pela função (h (t) = dfrac {1} {4} sin (120 pi t) ), onde (t ) é medido em segundos. Encontre a amplitude, período e frequência desse deslocamento.

22) Uma mulher está de pé a (300 ) pés de um prédio de (2000 ) pés. Se ela olhar para o topo do edifício, em que ângulo acima da horizontal ela está olhando? Um trabalhador entediado olha para ela dos 15º chão ( (1500 ) pés acima dela). De que ângulo ele está olhando para ela? Arredonde para o décimo de grau mais próximo.

Responder

(81,5 ^ { circ}, 78,7 ^ { circ} )

23) Duas frequências de som são tocadas em um instrumento regido pela equação (n (t) = 8 cos (20 pi t) cos (1000 pi t) ).Qual é o período e a frequência das oscilações “rápida” e “lenta”? Qual é a amplitude?

24) A queda de neve média mensal em uma pequena vila no Himalaia é de (6 ) polegadas, com a baixa de (1 ) polegada ocorrendo em julho. Construa uma função que modele esse comportamento. Durante qual período há mais de 30 centímetros de queda de neve?

Responder

(6 + 5 cos left ( dfrac { pi} {6} (1-x) right) ). De 23 de novembro a 6 de fevereiro.

25) Uma mola presa a um teto é puxada para baixo (20 ) cm. Após (3 ) segundos, onde completa (6 ) períodos completos, a amplitude é de apenas (15 ) cm. Encontre a função que modela a posição da mola (t ) segundos após ser liberada. A que horas a primavera vai parar? Neste caso, use a amplitude de (1 ) cm como repouso.

26) Os níveis de água próximos a uma geleira estão atualmente em média de (9 ) pés, variando sazonalmente em (2 ) polegadas acima e abaixo da média e atingindo seu ponto mais alto em janeiro. Devido ao aquecimento global, a geleira começou a derreter mais rápido do que o normal. Todos os anos, os níveis da água aumentam em cerca de 3 polegadas. Encontre uma função que modele a profundidade da água daqui a (t ) meses. Se as docas estão (2 ) pés acima dos níveis atuais da água, em que ponto a água vai subir primeiro acima das docas?

Responder

(D (t) = 2 cos left ( dfrac { pi} {6} t right) +108+ dfrac {1} {4} t ), (93,5855 ) meses (ou (7,8 ) anos) a partir de agora


7.R: Identidades e equações trigonométricas (revisão) - Matemática

& # 149 Ch 1 Funções e transformações
& # 149 Ch 2 Sequências e Séries
& # 149 Ch 3 Trigonometria e Círculos de Unidade
& # 149 Ch 4 Funções trigonométricas
& # 149 Ch 5 Identidades trigonométricas
& # 149 Capítulo 6 Princípios de contagem
& # 149 Ch 7 Probabilidade
& # 149 Ch 8 Estatísticas
& # 149 Ch 9 Relações

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& # 149 Ch 1 Sequência e Série
& # 149 Ch 2 Teste prático em trigonometria
& # 149 Ch 3 Funções Polinomiais
& # 149 Ch 4 Funções Racionais
& # 149 Ch 5 Sistemas de Equações
& # 149 Ch 6 Lógica e Raciocínio
& # 149 Ch 7 Propriedades do Círculo
& # 149 Ch 8 Círculo Geometria
& # 149 Revisão do exame final # 1
& # 149 Revisão do exame final # 2
& # 149 Revisão do exame final # 3

& # 149 Ch 0 Introdução às funções
& # 149 Ch 1 Funções Quadráticas
& # 149 Ch 2 Sequência e Série
& # 149 Ch 3 Funções trigonométricas e identidades de amp
& # 149 Ch 4 Funções Polinomiais
& # 149 Ch 5 Funções Racionais e Equações
& # 149 Ch 6 Funções e Transformações
& # 149 Ch 7 Relações Gráficas
& # 149 Ch 8 Estatísticas
& # 149 Revisão do exame final

Pré-cálculo e fundamentos 10

Soluções para revisão de pacotes matemáticos

& # 149 Ch 1 Medição
& # 149 Ch 2 Teste de trigonometria
& # 149 Ch 3 Fatores e produtos
& # 149 Capítulo 4 - Raízes e poderes
& # 149 Capítulo 5 Relações e funções
& # 149 Ch 6 Funções Lineares
& # 149 Ch 7 Sistemas de Equações Lineares

Aprendizagem e local de trabalho 10

& # 149 Capítulo 1 Finanças
& # 149 Ch 2 Equações quadráticas
& # 149 Ch 3 Polinômios
& # 149 Ch 4 Funções Racionais
& # 149 Ch 5 Sistemas de Equações
& # 149 Capítulo 6 Raciocínio e lógica
& # 149 Ch 7 Propriedades do Círculo
& # 149 Ch 8 Círculo Geometria
& # 149 Ch 9 Coordenadas de geometria

& # 149 Capítulo 1 Finanças
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& # 149 Ch 3 Polinômios
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& # 149 Capítulo 6 Raciocínio e lógica
& # 149 Ch 7 Propriedades do Círculo
& # 149 Ch 8 Círculo Geometria
& # 149 Ch 9 Coordenadas de geometria

& # 149 Ch 1 Áreas de superfície e raízes quadradas
& # 149 Ch 2 Poderes e Leis de Expoentes
& # 149 Ch 3 Linhas e Planos Coorindate
& # 149 Ch 4 Polinômios
& # 149 Ch 5 Desigualdades
& # 149 Ch 6 Funções trigonométricas básicas
& # 149 Ch 7 Círculo Geometria
& # 149 Ch 8 Introdução às funções
& # 149 Revisão do exame final


Funções trigonométricas, identidades e equações # 038

2. , Sec theta = dfrac <1> < cos theta> & # 36



2. , Cot theta = dfrac < cos theta> < sin theta>1. , Sin ^ 2 < theta> + cos ^ 2 < theta> = 12. , Sec ^ 2 < theta> = 1 + tan ^ 2 < theta> 3. , texto^ 2 < theta> = 1 + cot ^ 2 < theta>1. , Sin (A pm B) = sin A cos B pm cos A sin B2. , Cos (A pm B) = cos A cos B mp sin A sin B3. , tan (A pm B) = dfrac < tan A pm tan B> <1 mp tan A tan B>1. , Sin 2A = 2 sin A cos A2. , Cos2A = cos ^ 2A & # 8211 sin ^ 2A = 2 cos ^ 2A -1 = 1 & # 8211 2 sin ^ 2A3 . , tan 2A = dfrac <2 tan A> <1- tan ^ 2A>a> 0, b> 0, 0 ^ circ & lt alpha & lt 90 ^ circ1. , A sin theta pm b cos theta = R sin ( theta pm alpha) 2. , A cos theta pm b sin theta = R cos ( theta mp alpha)R = sqrt, tan alpha = dfrac$.

7.R: Identidades e equações trigonométricas (revisão) - Matemática

Nesta seção, daremos uma olhada na solução de equações trigonométricas. Isso é algo que você deverá fazer regularmente em muitas aulas.

Vamos pular para os exemplos e ver como resolver equações trigonométricas.

Não há realmente muito o que fazer para resolver este tipo de equação trigonométrica. Primeiro, precisamos colocar a função trigonométrica sozinha em um lado. Para fazer isso, tudo o que precisamos fazer é dividir os dois lados por 2.

[começar2 cos left (t right) & = sqrt 3 cos left (t right) & = frac << sqrt 3 >> <2> end]

Estamos procurando todos os valores de (t ) para os quais o cosseno terá o valor de ( frac << sqrt 3 >> <2> ). Então, vamos dar uma olhada no seguinte círculo unitário.

Por uma rápida inspeção, podemos ver que (t = frac < pi> <6> ) é uma solução. No entanto, como mostramos no círculo unitário, há outro ângulo que também será uma solução. Precisamos determinar qual é esse ângulo. Quando procuramos por esses ângulos, normalmente queremos positivo ângulos que se encontram entre 0 e (2 pi ). Esse ângulo não será a única possibilidade, é claro, mas normalmente procuramos ângulos que atendam a essas condições.

Para encontrar este ângulo para este problema, tudo o que precisamos fazer é usar um pouco de geometria. O ângulo no primeiro quadrante forma um ângulo de ( frac < pi> <6> ) com o eixo (x ) positivo, então o mesmo deve ocorrer com o ângulo no quarto quadrante. Portanto, temos duas opções. Poderíamos usar (- frac < pi> <6> ), mas, novamente, é mais comum usar ângulos positivos. Para obter um ângulo positivo, tudo o que precisamos fazer é usar o fato de que o ângulo é ( frac < pi> <6> ) com o eixo (x ) positivo (conforme observado acima) e um ângulo positivo será (t = 2 pi - frac < pi> <6> = frac << 11 pi >> <6> ).

Uma maneira de lembrar como obter a forma positiva do segundo ângulo é pensar em fazer uma revolução completa a partir do eixo (x ) positivo (ou seja, (2 pi )) e, em seguida, recuando (ou seja, subtraindo) ( frac < pi> <6> ).

Não terminamos com este problema. Como a discussão sobre como encontrar o segundo ângulo mostrou, há muitas maneiras de escrever qualquer ângulo dado no círculo unitário. Às vezes, será (- frac < pi> <6> ) que queremos para a solução e às vezes queremos ambos (ou nenhum) dos ângulos listados. Portanto, uma vez que não há nada neste problema (contraste com o próximo problema) para nos dizer qual é a solução correta, precisaremos listar TODAS as soluções possíveis.

Isso é muito fácil de fazer. Lembre-se da seção anterior e você verá que usamos

[ frac < pi> <6> + 2 pi , n ,, n = 0, , pm 1, , pm 2, , pm 3, , ldots ]

para representar todos os ângulos possíveis que podem terminar no mesmo local no círculo unitário, ou seja, ângulos que terminam em ( frac < pi> <6> ). Lembre-se de que tudo o que isso diz é que começamos em ( frac < pi> <6> ) e giramos no sentido anti-horário ( (n ) é positivo) ou no sentido horário ( (n ) é negativo) para (n ) rotações completas. A mesma coisa pode ser feita para a segunda solução.

Então, todos juntos, a solução completa para este problema é

Como pensamento final, observe que podemos obter (- frac < pi> <6> ) usando (n = - 1 ) na segunda solução.

Agora, em uma aula de cálculo, esta não é uma equação trigonométrica típica que seremos solicitados a resolver. Um exemplo mais típico é o próximo.

Em uma aula de cálculo, geralmente estamos mais interessados ​​apenas nas soluções para uma equação trigonométrica que caem em um determinado intervalo. O primeiro passo neste tipo de problema é encontrar todas as soluções possíveis. Fizemos isso no exemplo anterior.

Agora, para encontrar as soluções no intervalo, tudo o que precisamos fazer é começar a escolher os valores de (n ), conectá-los e obter as soluções que cairão no intervalo que nos foi dado.

Agora, observe que se tomarmos qualquer valor positivo de (n ) estaremos adicionando múltiplos positivos de (2 pi ) em uma quantidade positiva e isso nos levará além do limite superior de nosso intervalo, então não não é necessário aceitar nenhum valor positivo de (n ).

No entanto, só porque não vamos assumir nenhum valor positivo de (n ), não significa que não devemos também olhar para valores negativos de (n ).

Ambos são maiores do que (- 2 pi ) e também as soluções, mas se subtrairmos outro (2 pi ) de (ou seja use (n = - 2 )) estaremos mais uma vez fora do intervalo, então encontramos todas as soluções possíveis que estão dentro do intervalo ([- 2 pi, 2 pi] ).

Então, vamos ver se você entendeu tudo isso.

Este problema é muito semelhante aos outros problemas desta seção, com uma diferença muito importante. Começaremos este problema exatamente da mesma maneira que fizemos no primeiro exemplo. Então, primeiro pegue o seno de um lado sozinho.

Estamos procurando ângulos que resultarão em (- frac << sqrt 3 >> <2> ) fora da função seno. Vamos novamente para o nosso círculo de unidade confiável.

Agora, não há ângulos no primeiro quadrante para os quais seno tem um valor de (- frac << sqrt 3 >> <2> ). No entanto, existem dois ângulos na metade inferior do círculo unitário para os quais o seno terá um valor de (- frac << sqrt 3 >> <2> ). Então, quais são esses ângulos?

Observe que ( sin left (< frac < pi> <3>> right) = frac << sqrt 3 >> <2> ). Dado isso, agora sabemos que o ângulo no terceiro quadrante será ( frac < pi> <3> ) abaixo do negativo (x ) - eixo ou ( pi + frac < pi> <3> = frac << 4 pi >> <3> ). Uma maneira fácil de lembrar disso é notar que giraremos meia volta do eixo positivo (x ) para chegar ao eixo negativo (x ) e, em seguida, adicionaremos ( frac < pi> <3> ) para alcançar o ângulo que procuramos.

Da mesma forma, o ângulo no quarto quadrante será ( frac < pi> <3> ) abaixo do positivo (x ) - eixo. Portanto, poderíamos usar (- frac < pi> <3> ) ou (2 pi - frac < pi> <3> = frac << 5 pi >> <3> ) . Lembre-se de que normalmente procuramos ângulos positivos entre 0 e (2 pi ), então usaremos o ângulo positivo. Uma maneira fácil de lembrar como chegar ao ângulo positivo aqui é girar uma volta completa a partir do eixo positivo (x ) (ou seja, (2 pi )) e, em seguida, recuando (ou seja, subtraindo) ( frac < pi> <3> ).

Agora chegamos à diferença muito importante entre esse problema e os problemas anteriores desta seção. A solução é NÃO

[começarx & = frac << 4 pi >> <3> + 2 pi n, quad n = 0, pm 1, pm 2, ldots x & = frac << 5 pi> > <3> + 2 pi n, quad n = 0, pm 1, pm 2, ldots end]

Este não é o conjunto de soluções porque NÃO estamos procurando por valores de (x ) para os quais ( sin left (x right) = - frac << sqrt 3 >> <2> ), mas, em vez disso, estamos procurando por valores de (x ) para os quais ( sin left (<5x> right) = - frac << sqrt 3 >> <2> ). Observe a diferença nos argumentos da função seno! Um é (x ) e o outro é (5x ). Isso faz toda a diferença do mundo para encontrar a solução! Portanto, o conjunto de soluções é

[começar5x & = frac << 4 pi >> <3> + 2 pi n, quad n = 0, pm 1, pm 2, ldots 5x & = frac << 5 pi> > <3> + 2 pi n, quad n = 0, pm 1, pm 2, ldots end]

Bem, na verdade, essa não é bem a solução. Estamos procurando por valores de (x ) então divida tudo por 5 para obter.

[começarx & = frac << 4 pi >> <<15>> + frac << 2 pi n >> <5>, quad n = 0, pm 1, pm 2, ldots x & = frac < pi> <3> + frac << 2 pi n >> <5>, quad n = 0, pm 1, pm 2, ldots end]

Observe que também dividimos o (2 pi n ) por 5! Isso é importante! Se não fizermos isso, você VAI faltar soluções. Por exemplo, pegue (n = 1 ).

Deixaremos que você verifique nosso trabalho mostrando que são soluções. No entanto, isso mostra o que quero dizer. Se você não dividisse o (2 pi n ) por 5, você teria perdido essas soluções!

Ok, agora que obtivemos todas as soluções possíveis, é hora de encontrar as soluções no intervalo determinado. Faremos isso como fizemos no problema anterior. Escolha valores de (n ) e obtenha as soluções.

Ok, então finalmente ultrapassamos o ponto final certo do nosso intervalo, então não precisamos de mais dados n. Agora vamos dar uma olhada no negativo (n ) e ver o que temos.

E agora ultrapassamos o ponto final esquerdo do intervalo. Às vezes, haverá muitas soluções como neste exemplo. Juntar tudo isso dá o seguinte conjunto de soluções que se encontram no intervalo dado.

Vamos trabalhar outro exemplo.

Este problema é um pouco diferente dos anteriores. Primeiro, precisamos fazer alguns rearranjos e simplificações.

Portanto, resolver ( sin (2x) = - cos (2x) ) é o mesmo que resolver ( tan (2x) = - 1 ). Com sorte, você se lembrará de que o menor ângulo positivo onde a tangente é -1 é ( frac << 3 pi >> <4> ) e este ângulo está no 2º quadrante.

Há também um segundo ângulo para o qual a tangente será -1 e podemos usar o círculo unitário para ilustrar esse segundo ângulo. Vamos dar uma olhada no seguinte círculo unitário.

Conforme mostrado neste círculo unitário, se adicionarmos ( pi ) ao nosso primeiro ângulo, obtemos ( frac << 3 pi >> <4> + pi = frac << 7 pi >> <4 > ) e obtemos um ângulo que está no quarto quadrante e tem as mesmas coordenadas, exceto para sinais opostos. Isso significa que a tangente também terá um valor -1 aqui e, portanto, é um segundo ângulo.

Isso sempre será verdade ao resolver equações tangentes. Uma vez que temos um ângulo que resolverá a equação, um segundo ângulo sempre será ( pi ) mais o primeiro ângulo.

Todos os ângulos possíveis são, então,

[começar2x & = frac << 3 pi >> <4> + 2 pi n, quad n = 0, pm 1, pm 2, ldots 2x & = frac << 7 pi> > <4> + 2 pi n, quad n = 0, pm 1, pm 2, ldots end]

Ou, ao dividir por 2, obtemos todas as soluções possíveis.

[começarx & = frac << 3 pi >> <8> + pi n, quad n = 0, pm 1, pm 2, ldots x & = frac << 7 pi >> <8> + pi n, quad n = 0, pm 1, pm 2, ldots end]

Agora, vamos determinar as soluções que se encontram no intervalo determinado.

Ao contrário do exemplo anterior, apenas um deles estará no intervalo. Isso acontecerá ocasionalmente, então nem sempre espere que as duas respostas de um determinado (n ) funcionem. Além disso, devemos agora verificar (n = 2 ) para ver se estará dentro ou fora do intervalo. Vou deixar para você verificar se está fora do intervalo.

Agora, vamos verificar o negativo (n ).

Novamente, apenas um funcionará aqui. Vou deixar para você verificar que (n = –3 ) dará duas respostas que estão fora do intervalo.

A lista completa de soluções é, então,

Antes de prosseguir, precisamos abordar uma questão sobre o exemplo anterior. O método de solução usado não é o método de solução “padrão”. Como o segundo ângulo é apenas ( pi ) mais o primeiro e se adicionarmos ( pi ) no segundo ângulo, estaremos de volta à linha que representa o primeiro ângulo, o método de solução mais padrão é apenas adicionar ( pi n ) no primeiro ângulo para obter,

[2x = frac << 3 pi >> <4> + pi n, quad n = 0, pm 1, pm 2, ldots ]

Em seguida, dividindo por 2 para obter o conjunto completo de soluções,

[x = frac << 3 pi >> <8> + frac << pi n >> <2>, quad n = 0, pm 1, pm 2, ldots ]

Este conjunto de soluções é idêntico ao conjunto de soluções que obtivemos no exemplo (deixaremos para você conectar alguns (n ) 'se verificar isso). Então, por que não usamos o método do exemplo anterior? Simples. O método no exemplo anterior espelha mais de perto o método de solução para cosseno e seno (ou seja, ambos, geralmente, fornecem dois conjuntos de ângulos) e, portanto, para os alunos que não se sentem confortáveis ​​com a resolução de equações trigonométricas, isso fornece um método de solução "consistente".

Vamos trabalhar mais um exemplo para que possamos fazer um ponto que precisa ser entendido ao resolver algumas equações trigonométricas.

Este exemplo foi desenvolvido para lembrar você de certas propriedades sobre seno e cosseno. Lembre-se de que (- 1 le cos left ( theta right) le 1 ) e (- 1 le sin left ( theta right) le 1 ). Portanto, uma vez que o cosseno nunca será maior que 1, definitivamente não pode ser 2. Então NÃO HÁ SOLUÇÕES a esta equação!

É importante lembrar que nem todas as equações trigonométricas terão soluções.

Nesta seção, resolvemos algumas equações trigonométricas simples. Existem equações trigonométricas mais complicadas que podemos resolver, então não saia desta seção com a sensação de que não há nada mais difícil de resolver no mundo. Na verdade, veremos pelo menos um dos problemas mais complicados na próxima seção. Além disso, cada um desses problemas se resumia a soluções envolvendo um dos ângulos “comuns” ou “padrão”. A maioria das equações trigonométricas não se resumem a uma dessas e na verdade precisam de uma calculadora para resolver. A próxima seção é dedicada a esse tipo de problema.


Recursos

  • Cada pergunta se vincula à seção correspondente de um relatório completo e interativo e-book.
  • Todas as questões têm feedback socrático disponível quando o aluno responde incorretamente à questão.
  • Perguntas tutoriais estão disponíveis para todos os principais conceitos e orientam os alunos passo a passo na solução de um problema.
  • Selecione o link de perguntas para videos de um problema semelhante sendo resolvido e são ideais para alunos visuais.
  • Aprenda pelo Exemplo As perguntas mostram soluções totalmente elaboradas do problema, disponíveis para os alunos revisarem quando necessário.

Equações trigonométricas e identidades - A nível AS Matemática

Eu ensino a matemática da sexta série, então a maioria dos meus recursos é voltada para matemática de nível A. Recentemente, atualizei meus recursos para cobrir o novo plano de estudos de matemática do nível A e produzi PowerPoints que cobrem totalmente todos os novos cursos de matemática do nível A. Eu também uso uma grande quantidade de apresentações do Notebook porque são mais flexíveis que o PowerPoint. Eu coloquei um recurso gratuito para você tentar mostrar como as apresentações funcionam, você pode abri-lo online usando o site SMART Notebook Express.

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Esses PowerPoints formam lições completas de trabalho que, juntos, abrangem o novo curso de matemática de nível A para todas as bancas de exames. Juntos, todos os PowerPoints incluem
Um conjunto completo de notas para os alunos
Exemplos de modelos
Perguntas de sondagem para testar a compreensão
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Trabalho individual no quadro branco
Links para exercícios em ‘The Textbook by CGP’ podem ser facilmente editados para seu livro didático
Os PowerPoints podem ser usados ​​na aula e também dados a alunos que perderam uma aula
Eu adicionei ‘AS nível matemática 13 - Círculos’ para download gratuito

Equações trigonométricas e capas de identidades

  • Entenda e use tanθ = sinθ / cosθ
  • Entenda e use sen²θ + cos²θ = 1
  • Resolva equações trigonométricas simples em um determinado intervalo, incluindo equações quadráticas em sen, cos e tan e equações envolvendo múltiplos do ângulo desconhecido

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A level AS Mathematics All Pure Content

These PowerPoints form full lessons of work that together cover the new A level Maths course for all exam boards. Together all the PowerPoints include • A complete set of notes for students • Model examples • Probing questions to test understanding • Class questions including answers • Individual whiteboard work • Links to exercises in ‘The Textbook by CGP’ these can easily be edited for your textbook The PowerPoints can be used in the lesson and also given to students that have missed a lesson I have added ‘AS level maths 13 – Circles’ for free download


Connection between trigonometric identities and secant/tangent lines

Assuming the relationship I am asking about is obvious to most students, I hope this post is an opportunity for some to have fun exploring a basic question. What I'm wondering about is the relationship to the trigonometric identities I learned about in PreCalculus and the secant/tangent lines that are used to estimate a rate of change at the start of Differential Calculus (or Calc I).

While I am can solve problems using the secant identity, $sec=frac$ , and I understand what it is (the inverse of cosine), I am having trouble connecting the relationship this identity has with the line I draw between two points on a curve, $m_=frac$ , also known as the difference quotient.

The same question comes up when I find the slope of a tangent line using the secant line. What is the relationship between the tangent I know from Trigonometry, $tan = frac$ , and the slope of the tangent line that I find in Calc I, $m_ = lim_ frac$ ?

I'm having trouble finding resources that address my questions directly online. So, any help would be greatly appreciated! I'll put in the time if you can point me in the right direction. Thank you!


7.R: Trigonometric Identities and Equations (Review) - Mathematics

Trigonometric Equations

Here's a very quick outline of what's been introduced in this tutorial :

  • Trigonometric Equations are the equations that require to solve for the value (or values) of the angle for which the given trigonometric expressions holds the particular value. The general form is: Expression = value, where expression consists of (most generally) trigonometric ratios.

Exemplo: Consider the equation :

  • The fact that x can have a lot of values leads to the concept of a general solution and particular solutions. When x is constrained to lie in a certain range, then we get particular solutions, if not, then we get general solutions.

For solving these equations, we need to be familiar with the solutions of equations:

  • Solution of sin x = 0
    From the study of trigonometric functions, we know that sin x = 0 when x=0,π,2π,-π,-2π and so on. Thus the solution is x=nπ, where nεZ (the set of Integers)
    Solution of cos x=0.
    From the study of trigonometric equations, we know that cos x becomes 0 when x=π/2,3π/2,5π/2,-π/2,-3π/2,-5π/2,…
    Thus, the solution is x=(2n+1)π/2
    Solution of tan x=0 is the same as that of sin x=0 (because there is no such value of x for which both sine and cosine become 0 simultaneously).

sin x=sin y
=>sin x-sin y=0
=>2sin(x-y)/2 cos(x+y)/2=0
=>sin (x-y)/2=0 or cos(x+y)/2=0
=>x-y=2nπ or x+y=(2m+1)π, m, nεZ
=>x=2nπ+y or x=(2m+1)π
=>x=(even multiple of π)+y or (odd multiple of π)-y
=>x=nπ+(-1)ny, nεZ
The solutions of cosec x= cosec y are also the same.

Following the similar procedure, we get
-2sin(x+y)/2 sin (x-y)/2=0.
=>x+y=2nπ or x-y=2mπ
=>x=2nπ±y, nεZ
sec x=sec y has the same solution.

tan x=tan y
=>sin x cos y=sinycosx
=>sin(x-y)=0
=>x-y=nπ
=>x=nπ+y , nεZ
cot x=cot y has the same solution

  • Solutions of sin 2 x=sin 2 y,cos 2 x=cos 2 y, tan 2 x=tan 2 y are x=nπ±y
  • This can be obtained by using trigonometric identities, and using one of the basic equations. One of these is solved in the questions.
  • While solving, avoid squaring, and if you do square both sides of equations, check that roots obtained actually satisfy the original equation.

Here are the kind of questions which have been solved in this tutorial :

Solve sec x = 0.25.
Solve sin5x=0 x is in the range of 0 to π
Solve sin x+ sin 3x+sin 5x=0
Solve sin nx +cos mx=0.
Solve sin3x+cos2x=0Solve cot2x+3/sinx+3=0
Solve sin2x=sin2y, and tan2x=tan2y
Solve √3cosx+sinx=√2
Solve for general x, y sin (x – y) = 2 sin x sin y, where x and y are two acute angles of right angle triangle.
Solve the equation sin4 x + cos4 x = 7/2 sinx cosx


Courses in Mathematics

(MA 0003 is a developmental course designed to prepare a student for university mathematics courses at the level of MA 1313 College Algebra: credit received for this course will not be applicable toward a degree). Three hours lecture. Real numbers fractions, decimal fractions, percent, algebraic expressions, factoring, algebraic fractions, linear equations/inequalities, integral exponents, quadratic equations.

MA 0103. Intermediate Algebra. (3)

(MA 0103 is designed to prepare a student for MA 1313 College Algebra) Two hours lecture. Two hours laboratory. Real numbers, algebraic expressions, factoring, algebraic fractions, linear equations/inequalities, quadratic equations, Pythagorean Theorem. Does not count toward any degree.

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(Students with credit in MA 1713 will not receive credit for this course. Prerequisite: ACT Math sub-score 19, or grade of C or better in MA 0103). Two hours lecture. Two hours laboratory. Review of fundamentals linear and quadratic equations inequalities functions simultaneous equations topics in the theory of equations. For college algebra placement exam go to: www.math.msstate.edu/capt/.

MA 1323. Trigonometry. (3)

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MA 1413. Structure of the Real Number System. (3)

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(Prerequisites: a C or better in both MA 1413 and MA 1423). Three hours lecture. Measurements and informal geometry. (Course is meant primarily for Elementary and Special Education majors).

MA 1453. Precalculus with Graphing Calculators. (3)

(Prerequisites: Math ACT 24 or C or better in MA 1323 or score of at least 70 on the Precalculus Qualifying Exam). Three hours lecture. Properties, applications, and graphs of linear, quadratic, polynomial, exponential, logarithmic, and trigonometric functions trigonometric identities, equations and inverses inequalities. (Degree credit will not be granted for MA 1453 and either MA 1313 or MA 1323. This course is intended to prepare students to take MA 1713 Calculus I).

MA 1463. Finite Mathematics and Introduction to Calculus.

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MA 1623. Calculus for Business and Life Sciences II. (3)

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MA 1713. Calculus I. (3)

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MA 4633/6633. Advanced Calculus I. (3)

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(Prerequisites: MA 3113). Three hours lecture. Theory and application of linear programming simplex algorithm, revised simplex algorithm, duality and sensitivity analysis, transportation and assignment problem algorithms, integer and goal programming. (Same as IE 4733/6733).

MA 4753/6753. Applied Complex Variables. (3)

(Prerequisite: MA 2743). Three hours lecture. Analytic functions: Taylor and Laurent expansions Cauchy theorems and integrals residues contour integration introduction to conformal mapping.

MA 4933/6933. Mathematical Analysis I. (3)

(Prerequisite: MA 4633/6633 or equivalent). Three hours lecture. Metric and topological spaces functions of bounded variation and differentiability in normed spaces.

MA 4943/6943. Mathematical Analysis II. (3)

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MA 4953/6953. Elementary Topology. (3)

(Prerequisite: MA 4633/6633). Three hours lecture. Definition of a topological space, metric space, continuity in metric spaces and topological spaces sequences accumulation points.

MA 6990 Special Topics in Mathematics. (1-9)

Credit and title to be arranged. This course is to be used on a limited basis to offer developing subject matter areas not covered in existing courses. (Courses limited to two offerings under one title within two academic years.)

MA 7000 Directed Individual Study in Mathematics. (1-6)

Hours and credits to be arranged.

MA 8000 Thesis Research/ Thesis in Mathematics: (1-13)

Hours and credits to be arranged.

MA 8113. Modern Higher Algebra I. (3)

(Prerequisite: MA 4163/6163). Three hours lecture. A study of the basic mathematical systems with emphasis on rings, fields, and vector spaces.

MA 8123. Modern Higher Algebra II. (3)

(Prerequisite: MA 8113). Three hours lecture. A continuation of the topics introduced in MA 8113.

MA 8203. Foundations of Applied Mathematics I. (3)

(Prerequisites: MA 3113, MA 3253 or consent of instructor.) Three hours lecture. Principles of applied mathematics including topics from perturbation theory, calculus of variations, and partial differential equations. Emphasis of applications from heat transfer, mechanics, fluids.

MA 8213. Foundations of Applied Mathematics II. (3)

(Prerequisite: MA 8203). Three hours lecture. A continuation of MA 8203 including topics from wave propagation, stability, and similarity methods.

MA 8253. Operational Mathematics. (3)

(Prerequisite: MA 4753/6753). Three hours lecture. Theory and applications of Laplace, Fourier, and other integral transformations: introduction to the theory of generalized functions.

*Courses numbered MA 8273, 8283, 8293 and 8313 have as prerequisites at least one of the courses MA 4633/6633, MA 4153/6153, 4753/6753.

MA 8273. Special Functions. (3)

Three hours lecture. Infinite products: asymptotic series origin and properties of the special functions of mathematical physics.

MA 8283. Calculus of Variations. (3)

Three hours lecture. Functionals: weak and strong extrema necessary conditions for extrema sufficient conditions for extrema constrained extrema direct methods applications.

MA 8293. Integral Equations. (3)

Three hours lecture. Equations of Fredholm type: symmetric kernels Hilbert-Schmidt theory singular integral equations applications selected topics.

MA 8313. Ordinary Differential Equations I. (3)

Three hours lecture. Linear systems of differential equations existence and uniqueness second order systems systems with constant coefficients periodic systems matrix comparison theorems applications and selected topics.

MA 8323. Ordinary Differential Equations II. (3)

(Prerequisite: MA 8313). Three hours lecture. Existence, uniqueness, continuation of solutions of nonlinear systems properties of solutions of linear and nonlinear equations including boundedness, oscillation, asymptotic behavior, stability, and periodicity application.

MA 8333. Partial Differential Equations I. (3)

(Prerequisite: MA 4373/6373 or consent of instructor). Three hours lecture. Solution techniques existence and uniqueness of solutions to elliptic, parabolic, and hyperbolic equations Green’s functions.

MA 8343. Partial Differential Equations II. (3)

(Prerequisite: MA 8333). Three hours lecture. A continuation of the topics introduced in MA 8333.

MA 8363. Numerical Solution of Systems of Nonlinear Equations. (3)

(Prerequisites: MA 4313/6313 and MA 4323/6323). Three hours lecture. Basic concepts in the numerical solution of systems of nonlinear equations with applications to unconstrained optimization.

MA 8383. Numerical Solution of Ordinary Differential Equations I. (3)

(Prerequisites: MA 4313/6313 and MA 4323/6323). Three hours lecture. General single-step, multistep, multivalue, and extrapolation methods for systems of nonlinear equations convergence error bounds error estimates stability methods for stiff systems current literature.

MA 8443. Numerical Solution of Partial Differential Equations I. (3)

(Prerequisites: MA 4313/6313, MA 4323/6323, and MA 4373/6373 or consent of instructor). Three hours lecture. Basic concepts in the fi nite difference and fi nite element methods methods for parabolic, hyperbolic and elliptic equations analysis of stability and convergence.

MA 8453. Numerical Solution of Partial Differential Equations II. (3)

(Prerequisite: MA 8443). Three hours lecture. Methods for elliptic equations iterative procedures integral equation methods methods for hyperbolic equations stability dissipation and dispersion.

MA 8463. Numerical Linear Algebra. (3)

(Prerequisite: MA 4323/6323). Three hours lecture. Basic concepts of numerical linear algebra.

MA 8633. Real Analysis I. (3)

(Prerequisite: MA 4943/6943). Three hours lecture. Lebesgue measure and Lebesgue integrals convergence theorems, differentiation and L spaces.

MA 8643. Real Analysis II. (3)

(Prerequisite: MA 8633). Three hours lecture. General measures the Radon-Nikodym theorem and other topics.

MA 8663. Functional Analysis I. (3)

(Prerequisite: MA 8643). Three hours lecture. Hilbert spaces Banach spaces locally convex spaces Hahn-Banach and closed graph theorems principle of uniform boundedness weak topologies.

MA 8673. Functional Analysis II. (3)

(Prerequisite: MA 8663). Three hours lecture. Continuation of topics introduced in MA 8663.

MA 8713. Complex Analysis I. (3)

(Prerequisite MA 4943/6943 or consent of instructor). Three hours lecture. Complex numbers: functions of a complex variable continuity differentiation and integration of complex functions transformations in the complex plane.

MA 8723. Complex Analysis II. (3)

(Prerequisite: MA 8713). Three hours lecture. Series analytic continuation Riemann surfaces theory of residues.

MA 8913. Introduction to Topology I. (3)

(Prerequisite: MA 4643/6643 or MA 4953/6953). Three hours lecture. Basic general topology introduction of homotopy and homology groups.

MA 8923. Introduction to Topology II. (3)

(Prerequisite: MA 8913). Three hours lecture. Continuation of topics introduced in MA 8913.

MA 8981. Teaching Seminar. (1)

One hour lecture. Preparation for service as instructors in mathematics and statistics courses includes practice lectures and exam preparation. (May be taken for credit more than once.)

MA 8990 Special Topics in Mathematics: (1-9)

Credit and title to be arranged. This course is to be used on a limited basis to offer developing subject matter areas not covered in existing courses. (Courses limited to two offerings under one title within two academic years.)

MA 9000 Dissertation Research /Dissertation in Mathematics. (1-13)

Hours and credits to be arranged.

MA 9313. Selected Topics in Ordinary Differential Equations. (3)

(Prerequisite: MA 8313 and consent of instructor). (May be taken for credit more than once). Three hours lecture. Topics to be chosen from such areas as Bifurcation Theory, Biological Modeling, Control Theory, Dynamical Systems, Functional Differential Equations, Nonlinear Oscillations, and Quantitative Behavior.

MA 9333. Selected Topics in Partial Differential Equations. (3)

(Prerequisite: MA 8333 and consent of instructor). (May be taken for credit more than once). Three hours lecture. Topics to be chosen from such areas as Bifurcation Theory, Boundary Integral Methods, Evolution Equations, Maximum and Variational Principles, and Spectral Methods.

MA 9413. Selected Topics in Numerical Analysis. (3)

(Prerequisite: Consent of instructor). (May be taken for credit more than once). Three hours lecture. Current topics in Numerical Analysis. The subject matter may vary from year to year.

MA 9633. Selected Topics in Analysis. (3)

(Prerequisite: MA 8643 and consent of instructor). (May be taken for credit more than once). Three hours lecture. Topics will be chosen from areas of analysis of current interest.


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