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5.1: O Sistema Numérico Complexo


Questões de foco

As perguntas a seguir destinam-se a orientar nosso estudo do material desta seção. Depois de estudar esta seção, devemos entender os conceitos motivados por essas perguntas e ser capazes de escrever respostas precisas e coerentes a elas.

  • O que é um número complexo?
  • O que significa dois números complexos serem iguais?
  • Como adicionamos dois números complexos?
  • Como multiplicamos dois números complexos juntos?
  • Qual é o conjugado de um número complexo?
  • Qual é o módulo de um número complexo?
  • Como o conjugado e o módulo de um número complexo estão relacionados?
  • Como dividimos um número complexo por outro?

A fórmula quadrática (x = dfrac {-b pm sqrt {b ^ {2} - 4ac}} {2a} ) nos permite encontrar soluções para a equação quadrática (ax ^ 2 + bx + c = 0 ). Por exemplo, as soluções para a equação (x ^ {2} + x + 1 = 0 ) são

[x = dfrac {-1 pm sqrt {1 - 4}} {2} = dfrac {-1 pm sqrt {-3}} {2}. enhum número]

Um problema surge imediatamente com esta solução, uma vez que não existe um número real (t ) com a propriedade que (t ^ {2} = -3 ) ou (t = sqrt {-3} ). Para dar sentido a soluções como esta, apresentamos números complexos. Embora os números complexos surjam naturalmente ao resolver equações quadráticas, sua introdução na matemática surgiu do problema de resolver equações cúbicas.

Se usarmos a fórmula quadrática para resolver uma equação como (x ^ {2} + x + 1 = 0 ),

obtemos as soluções (x = dfrac {-1 + sqrt {-3}} {2} ) e (x = dfrac {-1 - sqrt {-3}} {2} ). Esses números são números complexos e temos um formulário especial para escrever esses números. Nós os escrevemos de uma forma que isola a raiz quadrada de (- 1 ). Para ilustrar, o número

[ dfrac {-1 + sqrt {-3}} {2} nonumber ]

pode ser escrito da seguinte forma:

[ dfrac {-1 + sqrt {-3}} {2} = - dfrac {1} {2} + dfrac { sqrt {-3}} {2} = - dfrac {1} { 2} + dfrac { sqrt {3} sqrt {-1}} {2} = - dfrac {1} {2} + dfrac { sqrt {3}} {2} sqrt {-1} enhum número]

Visto que não há número real (t ) satisfazendo (t ^ {2} = -1 ), o número ( sqrt {-1} ) não é um número real. Chamamos ( sqrt {-1} ) um número imaginário e dê a ele um rótulo especial (i ). Assim, (i = sqrt {-1} ) ou (i ^ {2} = -1 ). Com isso em mente, podemos escrever

[ dfrac {-1 + sqrt {-3}} {2} = - dfrac {1} {2} + dfrac { sqrt {3}} {2} i não numérico ]

e todo número complexo tem essa forma especial.

Definição: Números Complexos

UMA número complexo é um objeto do formulário

[a + bi ]

onde (a ) e (b ) são números reais e (i ^ {2} = -1 ).

A forma (a + bi ), onde aeb são números reais é chamada de forma padrão para um número complexo. Quando temos um número complexo da forma (z = a + bi ), o número (a ) é chamado de parte real do número complexo (z ) e o número (b ) é chamado de parte imaginária de (z ). Como i não é um número real, dois números complexos (a + bi ) e (c + di ) são iguais se e somente se (a = c ) e (b = d ).

Existe uma aritmética de números complexos que é determinada pela adição e multiplicação de números complexos. Adicionar e subtrair números complexos é natural:

[(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d) i ]

[(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d) i ]

Ou seja, para adicionar (ou subtrair) dois números complexos, adicionamos (subtraímos) suas partes reais e adicionamos (subtraímos) suas partes imaginárias. A multiplicação também é feita de maneira natural - para multiplicar dois números complexos, simplesmente expandimos o produto como de costume e exploramos o fato de que (i ^ {2} = -1 ). Portanto, o produto de dois números complexos é

[ begin {align *} (a + bi) + (c + di) & = ac + (ad) i + (bc) i + (bd) i ^ {2} [4pt] & = (ac - bd) + (ad + bc) i end {align *} ]

Propriedades de número complexo

Pode-se mostrar que os números complexos satisfazem muitas propriedades úteis e familiares, que são semelhantes às propriedades dos números reais. Se (u ), (w ) e (z ), são números complexos, então

  1. (w + z = z + w )
  2. (u + (w + z) = (u + w) + z )
  3. O número complexo (0 = 0 + 0i ) é uma identidade aditiva, ou seja, (z + 0 = z ).
  4. Se (z = a + bi ), então o inverso aditivo de (z ) é (- z = (-a) + (-b) i ). Ou seja, (z + (-z) = 0 ).
  5. (wz = zw )
  6. (u (wz) = (uw) z )
  7. (u (w + z) = uw + uz )
  8. Se (wz = 0 ), então (w = 0 ) ou (z = 0 ).

Usaremos essas propriedades conforme necessário. Por exemplo, para escrever o produto complexo ((1 + i) i ) na forma (a + bi ) com (a ) e (b ) números reais, distribuímos a multiplicação sobre a adição e usamos o fato de que (i ^ {2} = -1 ) para ver que

[(1 + i) i = i + i ^ {2} = i + (-1) = (-1) + i. ]

Para outro exemplo, se (w = 2 + i ) e (z = 3 - 2i ), podemos usar essas propriedades para escrever (wz ) na forma padrão (a + bi ) como segue :

[wz = (2 + i) z = 2z + iz = 2 (3 - 2i) + i (3 - 2i) = (6 - 4i) + (3i - 2i ^ {2}) = 6 - 4i + 3i - 2 (-1) = 8 - i ]

Exercício ( PageIndex {1A} )

Escreva cada uma das somas ou produtos como um número complexo no formulário padrão.

  1. ((2 + 3i) + (7 - 4i) )
  2. ((4 - 2i) (3 + i) )
  3. ((2 + i) i - (3 + 4i) )
Responder

(a) ((2 + 3i) + (7 - 4i) = 9 - i )

(b) ((4 - 2i) (3 + i) = (4 - 2i) 3 + (4 - 2i) i = 14 - 2i )

(c) ((2 + i) i - (3 + 4i) = (2i - 1) - 3 - 4i = -4 - 2i )

Exercício ( PageIndex {1B} )

Use a fórmula quadrática para escrever as duas soluções para a equação quadrática (x ^ {2} - x +2 = 0 ) como números complexos da forma (r + si ) e (u + vi ) para alguns números reais (r ), (s ), (u ) e (v ).

(Dica: Lembre-se: (i = sqrt {-1} ). Portanto, podemos reescrever algo como ( sqrt {-4} ) como ( sqrt {-4} = sqrt {4} sqrt {-1} = 2i ).)

Responder

Usamos a fórmula quadrática para resolver a equação e obter [x = dfrac {1 pm sqrt {-7}} {2}. ]

Podemos então escrever ( sqrt {-7} = i sqrt {7} ). Portanto, as duas soluções da equação quadrática são:

[ begin {align *} x & = dfrac {1 pm i sqrt {7}} {2} [4pt] & = dfrac {1} {2} pm dfrac { sqrt { 7}} {2} i [4pt] end {alinhar *} ]

Divisão de Números Complexos

Podemos adicionar, subtrair e multiplicar números complexos, por isso é natural perguntar se podemos dividir números complexos. Ilustramos com um exemplo.

Exemplo ( PageIndex {2} ): Dividindo por um número complexo

Escreva o quociente ( dfrac {2 + i} {3 + i} ) como um número complexo na forma (a + bi ).

Solução

Este problema está racionalizando um denominador, pois (i = sqrt {-1} ). Portanto, neste caso, precisamos “remover” a parte imaginária do denominador. Lembre-se de que o produto de um número complexo com seu conjugado é um número real, então, se multiplicarmos o numerador e o denominador de ( dfrac {2 + i} {3 + i} ) pelo conjugado complexo do denominador, nós pode reescrever o denominador como um número real. As etapas são as seguintes. Multiplicando o numerador e denominador pelo conjugado (3 - i ) ou (3 + i ) nos dá

[ dfrac {2 + i} {3 + i} = left ( dfrac {2 + i} {3 + i} right) left ( dfrac {3 - i} {3 - i} right ) = dfrac {(2 + i) (3 - i)} {(3 + i) (3 - i)} = dfrac {(6 - i ^ {2}) + (-2 + 3) i} {9 - i ^ {2}} = dfrac {7 + i} {10} não número ]

Agora podemos escrever o resultado final na forma padrão como

[ dfrac {7 + i} {10} = dfrac {7} {10} + dfrac {1} {10} i. enhum número]

Exemplo ( PageIndex {2} ) ilustra o processo geral para dividir um número complexo por outro. Em geral, podemos escrever o quociente ( dfrac {a + bi} {c + di} ) na forma (r + si ) multiplicando o numerador e o denominador de nossa fração pelo conjugado (c - di ) de (c + di ) para ver que

[ dfrac {a + bi} {c + di} = left ( dfrac {a + bi} {c + di} right) left ( dfrac {c - di} {c - di} right ) = dfrac {(ac + bd) + (bc - ad) i} {c ^ {2} + d ^ {2}} = dfrac {ac + bd} {c ^ {2} + d ^ {2 }} + dfrac {bc - ad} {c ^ {2} + d ^ {2}} i ]

Portanto, temos a fórmula para o quociente de dois números complexos.

Definição: Quociente de Números Complexos

O quociente ( dfrac {a + bi} {c + di} ) dos números complexos (a + bi ) e (c + di ) é o número complexo

[ dfrac {a + bi} {c + di} = dfrac {ac + bd} {c ^ {2} + d ^ {2}} + dfrac {bc - ad} {c ^ {2} + d ^ {2}} i ]

fornecido (c + di neq 0 ).

Exercício ( PageIndex {3} )

Seja (z = 3 + 4i ) e (w = 5 - i ).

  1. Escreva ( dfrac {w} {z} = dfrac {5 - i} {3 + 4i} ) como um número complexo na forma (r + si ) onde (r ) e (s ) são alguns números reais. Verifique o resultado multiplicando o quociente por (3 + 4i ). Este produto é igual a (5 - i )?
  2. Encontre a solução para a equação ((3 + 4i) x = 5 - i ) como um número complexo na forma (x = u + vi ) onde (u ) e (v ) são alguns numeros reais.
Responder
  1. Usando nossa fórmula com (a = 5, b = -1, c = 3 ) e (d = 4 ) nos dá [ dfrac {5 - i} {3 + 4i} = dfrac {15 - 4} {15} + dfrac {-3 -20} {25} i = dfrac {11} {25} - dfrac {23} {25} i ] Como verificação, vemos que [ left ( dfrac {11} {25} - dfrac {23} {25} i direita) esquerda (3 + 4i direita) = esquerda ( dfrac {33} {25} - dfrac {69} { 25} i right) + dfrac {44} {25} i - dfrac {92} {25} i ^ {2} = left ( dfrac {33} {25} + dfrac {92} {25 } direita) + esquerda (- dfrac {69} {25} i + dfrac {44} {25} i direita) = 5 - i ]
  2. Podemos resolver para (x ) dividindo ambos os lados da equação por (3 + 4i ) para ver que [x = dfrac {5 - i} {3 + 4i} = dfrac {11} { 25} - dfrac {23} {25} i ]

Representações geométricas de números complexos

Cada par ordenado ((a, b) ) de números reais determina:

  • Um ponto no plano de coordenadas com coordenadas ((a, b) ).
  • Um número complexo (a + bi )
  • Um vetor (a textbf {i} + b textbf {j} = (a, b) )

Isso significa que podemos representar geometricamente o número complexo (a + bi ) com um vetor na posição padrão com ponto terminal ((a, b) ). Portanto, podemos fazer desenhos de números complexos no plano. Quando fazemos isso, o eixo horizontal é chamado o eixo real, e o eixo vertical é chamado o eixo imaginário. Além disso, o plano de coordenadas é então referido como o plano complexo. Ou seja, se (z = a + bi ), podemos pensar em (z ) como um segmento de reta direcionado da origem ao ponto (a, b), onde o ponto terminal do segmento é ( a ) unidades do eixo imaginário e (b ) unidades do eixo real. Por exemplo, os números complexos (3 + 4i ) e (- 8 + 3i ) são mostrados na Figura 5.1.

Figura ( PageIndex {1} ): Dois números complexos.

Além disso, a soma de dois números complexos pode ser representada geometricamente usando as formas vetoriais dos números complexos. Desenhe o paralelogramo definido por (w = a + bi ) e (z = c + di ). A soma de (w ) e (z ) é o número complexo representado pelo vetor da origem ao vértice no paralelogramo oposto à origem, conforme ilustrado com os vetores (w = 3 + 4i ) e (z = -8 + 3i ) na Figura ( PageIndex {2} ).

Exercício ( PageIndex {4} )

Seja (w = 2 + 3i ) e (z = -1 + 5i ).

  1. Escreva a soma complexa (w + z ) na forma padrão.
  2. Faça um desenho para ilustrar a soma usando vetores para representar (w ) e (z ).
Responder

1. A soma é (w + z = (2 - 1) + (3 + 5) i = 1 + 8i ).

2. Uma representação da soma complexa usando vetores é mostrada na figura abaixo.

Agora estendemos nosso uso da representação de um número complexo como um vetor na posição padrão para incluir a noção do comprimento de um vetor. Lembre-se da Seção 3.6 que o comprimento de um vetor ( textbf {v} = a textbf {i} + b textbf {j} ) é (| textbf {v} | = sqrt {a ^ { 2} + b ^ {2}} ).

Figura ( PageIndex {2} ): A soma de dois números complexos.

Quando usamos essa ideia com números complexos, chamamos de norma ou módulo do número complexo.

Definição: Norma

O norma (ou módulo) do número complexo (z = a + bi ) é a distância da origem ao ponto ((a, b) ) e é denotado por (| z | ). Nós vemos

que [| z | = | a + bi | = sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}. ]

Existe outro conceito relacionado ao número complexo que se baseia na seguinte parte da álgebra.

[(a + bi) (a -bi) = a ^ {2} - (bi) ^ {2} = a ^ {2} - b ^ {2} i ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} ]

O número complexo (a - bi ) é chamado de conjugado complexo de (a + bi ). Se deixarmos (z = a + bi ), denotamos o conjugado complexo de (z ) como ( bar {z} ). Portanto, [ bar {z} = overline {a + bi} = a - bi. ]

Também notamos que

[z bar {z} = (a + bi) (a - bi) = a ^ {2} + b ^ {2}, ]

e assim o produto de um número complexo com seu conjugado é um número real. Na verdade,

[z bar {z} = a ^ {2} + b ^ {2} = | z | ^ {2}, ], e assim [| z | = sqrt {z bar {z}} ]

Exercício ( PageIndex {5} )

Seja (w = 2 + 3i ) e (z = -1 + 5i )

  1. Encontre ( bar {w} ) e ( bar {z} ).
  2. Calcule (| w | ) e (| z | ).
  3. Calcule (w bar {w} ) e (z bar {z} ).
  4. O que é ( bar {z} ) se (z ) é um número real?
Responder

1. Usando a definição do conjugado de um número complexo, descobrimos que ( bar {w} = 2 - 3i ) e ( bar {z} = -1 - 5i ).
2. Usando a definição da norma de um número complexo, descobrimos que (| w | = sqrt {2 ^ {2} + 3 ^ {2}} = sqrt {13} ) e (| z | = sqrt {(- 1) ^ {2} + 5 ^ {2}} = sqrt {26} ).
3. Usando a definição do produto de números complexos, descobrimos que

[w bar {w} = (2 + 3i) (2 - 3i) = 4 + 9 = 13 ]

[z bar {z} = (-1 + 5i) (- 1 - 5i) = 1 + 25 = 26 ]

4. Seja (z = a + 0i ) para algum (a in mathbb {R} ). Então ( bar {z} = a - 0i ). Assim, ( bar {z} = z ) quando (z in mathbb {R} ).

Resumo

Nesta seção, estudamos os seguintes conceitos e ideias importantes:

  • UMA número complexo é um objeto da forma (a + bi ), onde (a ) e (b ) são números reais e (i ^ {2} = -1 ). Quando temos um número complexo da forma (z = a + bi ), o número (a ) é chamado de parte real do número complexo (z ) e o número (b ) é chamado de parte imaginária de (z ).
  • Podemos adicionar, subtrair, multiplicar e dividir números complexos da seguinte maneira:

[(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d) i não numérico ]

[(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d) i não numérico ]

[(a + bi) (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc) i não numérico ]

[ dfrac {a + bi} {c + di} = dfrac {ac + bd} {c ^ {2} + d ^ {2}} + dfrac {bc - ad} {c ^ {2} + d ^ {2}} i nonumber ] fornecido (c + di neq 0 )

  • Um número complexo (a + bi ) pode ser representado geometricamente com um vetor na posição padrão com ponto terminal ((a, b) ). Quando fazemos isso, o eixo horizontal é chamado o eixo real, e o eixo vertical é chamado o eixo imaginário. Ou seja, se (z = a + bi ) podemos pensar em (z ) como um segmento de linha direcionado da origem ao ponto ((a, b) ), onde o ponto terminal do segmento é uma unidade do eixo imaginário e (b ) unidades do eixo real.
  • O norma (ou módulo) do número complexo (z = a + bi ) é a distância da origem ao ponto ((a, b) ) e é denotado por (| z | ). Vemos que [| z | = | a + bi | = sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}} não numérico ]
  • O número complexo (a - bi ) é chamado de conjugado complexo de (a + bi ). Observe que [(a + bi) (a - bi) = a ^ {2} + b ^ {2} = | a + bi | ^ {2} nonumber ]


Assista o vídeo: O que são Números Complexos - Extensivo Matemática. Descomplica (Outubro 2021).