Artigos

4.6.6E: Modelos Exponenciais e Logarítmicos (Exercícios) - Matemática


Seção 4.6 Exercício

1. Você vai ao médico e ele injeta 13 miligramas de corante radioativo em você. Após 12 minutos, 4,75 miligramas de corante permanecem em seu sistema. Para sair do consultório médico, você deve passar por um detector de radiação sem soar o alarme. Se o detector soar o alarme sempre que mais de 2 miligramas do corante estiverem em seu sistema, quanto tempo levará sua consulta ao médico, presumindo que você recebeu o corante assim que chegou e a quantidade de corante decai exponencialmente?

2. Você toma 200 miligramas de um remédio para dor de cabeça e, após 4 horas, 120 miligramas permanecem em seu sistema. Se os efeitos do medicamento passarem quando restarem menos de 80 miligramas, quando você precisará tomar uma segunda dose, presumindo que a quantidade de medicamento em seu sistema decaia exponencialmente?

3. A meia-vida do Rádio-226 é de 1590 anos. Se uma amostra contém inicialmente 200 mg, quantos miligramas restarão após 1000 anos?

4. A meia-vida do Fermium-253 é de 3 dias. Se uma amostra contém inicialmente 100 mg, quantos miligramas restarão após 1 semana?

5. A meia-vida do Erbium-165 é de 10,4 horas. Após 24 horas, a amostra ainda contém 2 mg. Qual foi a massa inicial da amostra e quanto permanecerá após mais 3 dias?

6. A meia-vida do Nobelium-259 é de 58 minutos. Após 3 horas, a amostra ainda contém 10 mg. Qual foi a massa inicial da amostra e quanto permanecerá após outras 8 horas?

7. Um cientista começa com 250 gramas de uma substância radioativa. Após 225 minutos, a amostra decaiu para 32 gramas. Encontre a meia-vida desta substância.

8. Um cientista começa com 20 gramas de uma substância radioativa. Após 7 dias, a amostra decaiu para 17 gramas. Encontre a meia-vida desta substância.

9. Um artefato de madeira de uma escavação arqueológica contém 60 por cento do carbono-14 que está presente nas árvores vivas. Há quanto tempo o artefato foi feito? (A meia-vida do carbono-14 é 5730 anos.)

10. Um artefato de madeira de uma escavação arqueológica contém 15% do carbono-14 que está presente nas árvores vivas. Há quanto tempo o artefato foi feito? (A meia-vida do carbono-14 é 5730 anos.)

11. Uma cultura de bactérias contém inicialmente 1.500 bactérias e dobra de tamanho a cada meia hora. Encontre o tamanho da população após: a) 2 horas b) 100 minutos

12. Uma cultura de bactérias contém inicialmente 2.000 bactérias e dobra de tamanho a cada meia hora. Encontre o tamanho da população após: a) 3 horas b) 80 minutos

13. A contagem de bactérias em uma cultura foi de 800 após 10 minutos e 1800 após 40 minutos.

uma. Qual foi o tamanho inicial da cultura?
b. Encontre o tempo de duplicação.
c. Encontre a população após 105 minutos.
d. Quando a população chegará a 11.000?

14. A contagem de bactérias em uma cultura foi de 600 após 20 minutos e 2.000 após 35 minutos.

uma. Encontre a população após 170 minutos.
d. Quando a população chegará a 12.000?

15. Encontre o tempo necessário para um investimento dobrar de valor se investido em uma conta que paga 3% compostos trimestralmente.

16. Encontre o tempo necessário para um investimento dobrar de valor se investido em uma conta que paga 4% composta mensalmente

17. O número de cristais que se formaram após t horas é dado por (n left (t right) = 20e ^ {0.013t} ). Quanto tempo leva para o número de cristais dobrar?

18. O número de licenças de construção em Pasco t anos após 1992 seguiram aproximadamente a equação (n left (t right) = 400e ^ {0,143t} ). Qual é o tempo de duplicação?

19. Um peru é retirado do forno quando a temperatura interna é de (165 ^ { circ} ) Fahrenheit e pode esfriar em uma sala (75 ^ { circ} ). Se a temperatura do peru for (145 ^ { circ} ) após meia hora,

uma. Qual será a temperatura após 50 minutos?
b. Quanto tempo leva para o peru esfriar até 110 ( mathrm {{} ^ circ} )?

20. Uma xícara de café é servida a (190 ^ { circ} ) Fahrenheit e pode esfriar em uma sala (70 ^ { circ} ). Se a temperatura do café for (170 ^ { circ} ) após meia hora,

uma. Qual estará a temperatura após 70 minutos?
b. Quanto tempo o café leva para esfriar até (120 ^ { circ} ) )?

21. A população de peixes em um lago com estoque de fazenda após t anos podem ser modelados pela equação (P left (t right) = dfrac {1000} {1 + 9e ^ {- 0,6t}} ).

uma. Esboce um gráfico desta equação.
b. Qual é a população inicial de peixes?
c. Qual será a população após 2 anos?
d. Quanto tempo vai demorar para a população chegar a 900?

22. O número de pessoas em uma cidade que ouviram um boato após t os dias podem ser modelados pela equação (N left (t right) = dfrac {500} {1 + 49e ^ {- 0.7t}} ).

uma. Quantas pessoas começaram o boato?
c. Quantas pessoas ouviram o boato após 3 dias?
d. Quanto tempo vai demorar até que 300 pessoas tenham ouvido o boato?

Encontre o valor do número mostrado em cada escala logarítmica

23. 24.

25. 26.

Trace cada conjunto de valores aproximados em uma escala logarítmica.

27. Intensidade de sons: Sussurro: (10 ​​^ {- 10} W / m ^ {2} ), Vácuo: (10 ​​^ {- 4} W / m ^ {2} ), Jet: ( 10 ^ {2} W / m ^ {2} )

28. Missa: Amoeba: (10 ​​^ {- 5} g ), Humano: (10 ​​^ {5} g ), Estátua da Liberdade: (10 ​​^ {8} g )

29. O terremoto de 1906 em San Francisco teve uma magnitude de 7,9 na escala MMS. Mais tarde, houve um terremoto de magnitude 4,7 que causou apenas pequenos danos. Quantas vezes mais intenso foi o terremoto de São Francisco do que o segundo?

30. Mais tarde, houve um terremoto de magnitude 6,5 que causou menos danos. Quantas vezes mais intenso foi o terremoto de São Francisco do que o segundo?

31. Um terremoto tem magnitude 3,9 na escala MMS. Se um segundo terremoto tem 750 vezes mais energia que o primeiro, encontre a magnitude do segundo terremoto.

32. Um terremoto tem magnitude 4,8 na escala MMS. Se um segundo terremoto tem 1.200 vezes mais energia que o primeiro, encontre a magnitude do segundo terremoto.

33. Estima-se que uma colônia de células de levedura contenha 10 ({} ^ {6} ) células no tempo (t = 0 ). Depois de coletar dados experimentais no laboratório, você decide que a população total de células no tempo (t ) horas é dada pela função (f left (t right) = 10 ^ {6} e ^ {0,495105t } ). [UW]

uma. Quantas células estão presentes após uma hora?

b. Quanto tempo leva para a população dobrar ?.

c. Cherie, outro membro do seu laboratório, olha para o seu caderno e diz: “Essa fórmula está errada, meus cálculos preveem que a fórmula para o número de células de levedura é dada pela função. (f left (t right) = 10 ^ {6} left (2.042727 right) ^ {0.693147t} ). ” Você deveria se preocupar com a observação de Cherie?

d. Anja, um terceiro membro de seu laboratório que trabalha com as mesmas células de levedura, fez estas duas medições: (7,246 vezes 10 ^ {6} ) células após 4 horas; (16,504 vezes 10 ^ {6} ) células após 6 horas. Você deveria se preocupar com os resultados de Anja? Se as medições de Anja estiverem corretas, seu modelo superestima ou subestima o número de células de levedura no tempo (t )?

34. À medida que a luz da superfície penetra na água, sua intensidade diminui. Nas águas cristalinas do Caribe, a intensidade diminui em 15% a cada 3 metros de profundidade. Assim, a intensidade terá a forma de uma função exponencial geral. Se a intensidade da luz na superfície da água é (I_ {0} ), encontre uma fórmula para (I (d) ), a intensidade da luz a uma profundidade de (d ) metros. Sua fórmula deve depender de (I_ {0} ) e (d ).
b. Em que profundidade a intensidade da luz será reduzida para 1% de sua intensidade de superfície?

35. Mioglobina e hemoglobina são moléculas transportadoras de oxigênio no corpo humano. A hemoglobina é encontrada dentro dos glóbulos vermelhos, que fluem dos pulmões para os músculos através da corrente sanguínea. A mioglobina é encontrada nas células musculares. A função (Y = M left (p right) = dfrac {p} {1 + p} ) calcula a fração de mioglobina saturada com oxigênio a uma dada pressão (p ) Torrs. Por exemplo, a uma pressão de 1 Torr, (M (1) = 0,5 ), o que significa que metade da mioglobina (isto é, 50%) está saturada de oxigênio. (Observação: mais precisamente, você precisa usar algo chamado de “pressão parcial”, mas a distinção não é importante para este problema.) Da mesma forma, a função (Y = H left (p right) = dfrac {p ^ {2.8}} {26 ^ {2.8} + p ^ {2.8}} ) calcula a fração de hemoglobina saturada com oxigênio a uma determinada pressão (p ). Os gráficos de (M (p) ) e (H (p) ) são dados aqui no domínio (0 le p le 100 ); qual e qual?
b. Se a pressão nos pulmões é de 100 Torrs, qual é o nível de saturação de oxigênio da hemoglobina nos pulmões?
c. A pressão em um músculo ativo é de 20 Torrs. Qual é o nível de saturação de oxigênio da mioglobina em um músculo ativo? Qual é o nível de hemoglobina em um músculo ativo?
d. Defina a eficiência do transporte de oxigênio a uma dada pressão (p ) como sendo (M (p) - H (p) ). Qual é a eficiência do transporte de oxigênio em 20 Torrs? Aos 40 Torrs? Aos 60 Torrs? Esboce o gráfico de (M (p) - H (p) ); Existem condições sob as quais a eficiência do transporte é maximizada (explicar)?

36. O comprimento de alguns peixes é modelado por uma função de crescimento de von Bertalanffy. Para o alabote do Pacífico, esta função tem a forma (L left (t right) = 200 left (1-0.957e ^ {- 0.18t} right) ) onde (L (t) ) é o comprimento (em centímetros) de um peixe t anos. Qual é o comprimento de um halibute recém-nascido ao nascer?
b. Use a fórmula para estimar o comprimento de um alabote de 6 anos.
c. Com que idade você esperaria que o alabote tivesse 120 cm de comprimento?
d. Qual é o significado prático (físico) do número 200 na fórmula para (L (t) )?

37. Uma célula cancerosa não tem regulação do crescimento biológico normal e pode se dividir continuamente. Suponha que uma única célula da pele de camundongo seja cancerosa e seu ciclo celular mitótico (o tempo para a célula se dividir uma vez) seja de 20 horas. O número de células no tempo (t ) cresce de acordo com um modelo exponencial. Encontre uma fórmula (C (t) ) para o número de células cancerosas da pele após (t ) horas.
b. Suponha que uma célula de pele de rato típica seja esférica de raio (50 vezes 10 ^ {- 4} ) cm. Encontre o volume combinado de todas as células cancerosas da pele após (t ) horas. Quando o volume das células cancerosas será de 1 cm ({} ^ {3} )?

38. Um navio embarcou em uma longa viagem. No início da viagem, havia 500 formigas no porão do navio. Uma semana de viagem, havia 800 formigas. Suponha que a população de formigas seja uma função exponencial do tempo. Quanto tempo levou para a população dobrar?
b. Quanto tempo levou para a população triplicar?
c. Quando havia 10.000 formigas a bordo?
d. Também havia um crescimento exponencial da população de tamanduás a bordo. No início da viagem, havia 17 tamanduás e a população de tamanduás dobrou a cada 2,8 semanas. Há quanto tempo na viagem havia 200 formigas por tamanduá?

39. As populações de cupins e aranhas em uma determinada casa estão crescendo exponencialmente. A casa contém 100 cupins no dia da mudança. Após 4 dias, a casa contém 200 cupins. Três dias após a mudança, há duas vezes mais cupins do que aranhas. Oito dias após a mudança, havia quatro vezes mais cupins do que aranhas. Quanto tempo (em dias) a população de aranhas leva para triplicar? [UW]

Responder

1. (f (t) = 13 (0,9195) ^ t ). 2 mg permanecerão após 22,3098 minutos

3. (f (t) = 200 (0,999564) ^ t ). (f (1000) = 129,3311 ) mg

5. (r = -0,06448 ). Massa inicial: 9,9018 mg. Após 3 dias: 0,01648 mg

7. (f (t) = 250 (0,9999) ^ t ). Meia-vida = 75,8653 minutos

9. (f (t) = a (0,999879) ^ t ). 60% (0,60 (a )) permaneceria após 4222,813 anos

11. (P (t) = 1500 (1,02337) ^ t ) ( (t ) em minutos).
Após 2 horas = 24.000.
Após 100 minutos = 15119

13. a) 610.5143 (cerca de 611)
b) 25. 6427 minutos
c) 10431,21
d). 106.9642 minutos

15. 23.1914 anos

17. 53.319 horas

19. (T (t) =. 90 (0,99166) ^ t + 75 ).
uma). 134,212 graus
b). 112,743 minutos

21. a).
b). 100
c). 269,487
d). 7,324 anos

23. ( text {log} (x) = -0,5. X = 0,3162 )

25. ( text {log} (x). = 1,5. X = 31,623 )

27.

29. 63095,7 vezes mais intenso

31. MMS magnitude 5,817

33. a). cerca de 1640671
b). 1,4 horas
c). Não, porque ((2,042727) ^ {0,693147} approx e ^ {0,495104} )
d). Os dados de Anja prevêem uma taxa de crescimento contínuo de 0,4116, que é muito menor do que a taxa de 0,495105 que você calculou. Nosso modelo superestimaria o número de células.

35. a) A curva que aumenta rapidamente no início é (M (p) )
b) (H (100) = 0,9775 )
c) Mioglobina: (M (20) = 0,9524 ). Hemoglobina: (H (20) = 0,3242 )
d) A 20 torrs: 0,6282. A 40 torrs: 0,2060. A 60 torrs: 0,0714
A eficiência parece ser maximizada em cerca de 8 torr

37. a) (C (t) = 1,03526 ^ t ), ou (C (t) = e ^ {0,03466t} )
b) Volume de uma célula: ( dfrac {4} {3} pi (50 vezes 10 ^ {- 4}) ^ 3 aproximadamente 5,236 vezes 10 ^ {- 7} text {cm} ^ 3 ), então precisará de cerca de (1,9099 vezes 10 ^ {6} ) células para um volume de 1 ( text {cm} ^ 3 ). (C (t) = 1,9099 vezes 10 ^ 6 ) após 417,3 horas

39. 31.699 dias


4.6.6E: Modelos Exponenciais e Logarítmicos (Exercícios) - Matemática

1. A população de um grupo de golfinhos nariz de garrafa é modelada pela função [latex] A left (t right) = 8 < left (1.17 right)> ^ [/ latex], onde t é dado em anos. Para o número inteiro mais próximo, qual será a população de vagens após 3 anos?

2. Encontre uma equação exponencial que passe pelos pontos (0, 4) e (2, 9).

3. Drew quer economizar $ 2.500 para ir à próxima Copa do Mundo. Para o dólar mais próximo, quanto ele precisa investir em uma conta agora com 6,25% TAE, capitalizando diariamente, para atingir sua meta em 4 anos?

4. Uma conta de investimento foi aberta com um depósito inicial de $ 9.600 e rende 7,4% de juros, compostos continuamente. Quanto valerá a conta após 15 anos?

5. Represente graficamente a função [latex] f left (x right) = 5 < left (0.5 right)> ^ <-x> [/ latex] e seu reflexo através do y-eixo nos mesmos eixos, e dar o y-interceptar.

6. O gráfico mostra as transformações do gráfico de [latex] f left (x right) = < left ( frac <1> <2> right)> ^[/látex]. Qual é a equação para a transformação?

7. Reescrever [latex] < mathrm> _ <8.5> left (614,125 right) = a [/ latex] como uma equação exponencial equivalente.

8. Reescrever [látex]^ < frac <1> <2>> = m [/ latex] como uma equação logarítmica equivalente.

9. Resolva para x convertendo a equação logarítmica [latex] log _ < frac <1> <7>> left (x right) = 2 [/ latex] para a forma exponencial.

10. Avalie [latex] mathrm left ( text <10.000.000> right) [/ latex] sem usar uma calculadora.

11. Avalie [latex] mathrm left (0.716 right) [/ latex] usando uma calculadora. Arredonde para o milésimo mais próximo.

12. Represente graficamente a função [latex] g left (x right) = mathrm left (12 - 6x right) +3 [/ latex].

13. Enuncie o domínio, a assíntota vertical e o comportamento final da função [latex] f left (x right) = < mathrm> _ <5> left (39 - 13x right) +7 [/ latex].

14. Reescrever [latex] mathrm left (17a cdot 2b right) [/ latex] como uma soma.

15. Reescrever [latex] < mathrm>_ left (96 right) - < mathrm>_ left (8 right) [/ latex] em formato compacto.

17. Use propriedades de logaritmo para expandir [latex] mathrmdeixou(^<3>^ <2> cdot sqrt [3] right) [/ latex].

18. Condense a expressão [latex] 4 mathrm left (c right) + mathrm left (d right) + frac < mathrm left (a right)> <3> + frac < mathrm left (b + 3 right)> <3> [/ latex] para um único logaritmo.

19. Reescreva [latex] <16> ^ <3x - 5> = 1000 [/ latex] como um logaritmo. Em seguida, aplique a mudança da fórmula base para resolver para [latex] x [/ latex] usando o log natural. Arredonde para o milésimo mais próximo.

20. Resolva [latex] < left ( frac <1> <81> right)> ^ cdot frac <1> <243> = < left ( frac <1> <9> right)> ^ <- 3x - 1> [/ latex] reescrevendo cada lado com uma base comum.

21. Use logaritmos para encontrar a solução exata para [látex] -9^ <10a - 8> -5 = -41 [/ latex]. Se não houver solução, escreva nenhuma solução.

22. Encontre a solução exata para [látex] 10^ <4x + 2> + 5 = 56 [/ latex]. Se não houver solução, escreva nenhuma solução.

23. Encontre a solução exata para [látex] -5^ <- 4x - 1> -4 = 64 [/ latex]. Se não houver solução, escreva nenhuma solução.

24. Encontre a solução exata para [latex] <2> ^= <6> ^ <2x - 1> [/ latex]. Se não houver solução, escreva nenhuma solução.

25. Encontre a solução exata para [látex]^ <2x> -^-72 = 0 [/ latex]. Se não houver solução, escreva nenhuma solução.

26. Use a definição de um logaritmo para encontrar a solução exata para [latex] 4 mathrm left (2n right) -7 = -11 [/ latex]

27. Use a propriedade um-para-um dos logaritmos para encontrar uma solução exata para [latex] mathrm left (4^ <2> -10 right) + mathrm left (3 right) = mathrm left (51 right) [/ latex] Se não houver solução, escreva nenhuma solução.

28. A fórmula para medir a intensidade do som em decibéis D é definido pela equação [latex] D = 10 mathrm left ( frac<_ <0>> right) [/ latex], onde eu é a intensidade do som em watts por metro quadrado e [látex]_ <0> = <10> ^ <-12> [/ latex] é o nível de som mais baixo que uma pessoa comum pode ouvir. Quantos decibéis são emitidos de um show de rock com uma intensidade de som de [látex] 4,7 cdot <10> ^ <-1> [/ latex] watts por metro quadrado?

29. Um oficial de segurança de radiação está trabalhando com 112 gramas de uma substância radioativa. Após 17 dias, a amostra decaiu para 80 gramas. Arredondando para cinco dígitos significativos, escreva uma equação exponencial representando esta situação. Até o dia seguinte, qual é a meia-vida dessa substância?

30. Escreva a fórmula encontrada no exercício anterior como uma equação equivalente com base [látex] e [/ látex]. Expresse o expoente com cinco dígitos significativos.

31. Uma garrafa de refrigerante com temperatura de 71º Fahrenheit foi retirada de uma prateleira e colocada em uma geladeira com temperatura interna de 35º F. Após dez minutos, a temperatura interna do refrigerante era de 63º F. Use a Lei de Resfriamento de Newton para escreva uma fórmula que modele essa situação. No grau mais próximo, qual será a temperatura do refrigerante após uma hora?

32. A população de um habitat de vida selvagem é modelada pela equação [latex] P left (t right) = frac <360> <1 + 6.2^ <- 0,35t >> [/ latex], onde t é dado em anos. Quantos animais foram originalmente transportados para o habitat? Quantos anos serão necessários para que o habitat alcance a metade de sua capacidade?

33. Insira os dados da tabela abaixo em uma calculadora gráfica e represente graficamente o gráfico de dispersão resultante. Determine se os dados da tabela provavelmente representariam uma função linear, exponencial ou logarítmica.

x f (x)
1 3
2 8.55
3 11.79
4 14.09
5 15.88
6 17.33
7 18.57
8 19.64
9 20.58
10 21.42

34. A população de um lago de peixes é modelada pela equação logística [látex] P left (t right) = frac <16,120> <1 + 25^ <- 0,75t >> [/ latex], onde t é o tempo em anos. Para o centésimo mais próximo, quantos anos o lago levará para atingir 80% de sua capacidade de carga?

Para os exercícios a seguir, use um utilitário gráfico para criar um diagrama de dispersão dos dados fornecidos na tabela. Observe a forma do diagrama de dispersão para determinar se os dados são mais bem descritos por um modelo exponencial, logarítmico ou logístico. Em seguida, use o recurso de regressão apropriado para encontrar uma equação que modele os dados. Quando necessário, arredonde os valores para cinco casas decimais.


4.6.6E: Modelos Exponenciais e Logarítmicos (Exercícios) - Matemática

Um reator de pesquisa nuclear dentro do Neely Nuclear Research Center no campus do Georgia Institute of Technology (crédito: Georgia Tech Research Institute)

Já exploramos algumas aplicações básicas de funções exponenciais e logarítmicas. Nesta seção, exploramos algumas aplicações importantes com mais profundidade, incluindo isótopos radioativos e a Lei de Resfriamento de Newton e # 8217s.

Modelagem de crescimento exponencial e decadência

Em aplicativos do mundo real, precisamos modelar o comportamento de uma função. Na modelagem matemática, escolhemos uma função geral familiar com propriedades que sugerem que ela modelará o fenômeno do mundo real que desejamos analisar. No caso de crescimento rápido, podemos escolher a função de crescimento exponencial:

Em nossa escolha de uma função para servir como um modelo matemático, frequentemente usamos pontos de dados reunidos por observação e medição cuidadosas para construir pontos em um gráfico e esperamos poder reconhecer a forma do gráfico. Os gráficos de crescimento exponencial e decaimento têm uma forma distinta, como podemos ver em [link] e [link]. É importante lembrar que, embora partes de cada um dos dois gráficos pareçam estar no x-eixo, eles estão realmente a uma pequena distância acima do x-eixo.

Um gráfico que mostra o crescimento exponencial. A equação é y = 2 e 3 x. y = 2 e 3 x. Um gráfico que mostra o declínio exponencial. A equação é y = 3 e & # 8722 2 x. y = 3 e & # 8722 2 x.

O crescimento exponencial e a diminuição geralmente envolvem números muito grandes ou muito pequenos. Para descrever esses números, costumamos usar ordens de magnitude. A ordem de magnitude é a potência de dez, quando o número é expresso em notação científica, com um dígito à esquerda da casa decimal. Por exemplo, a distância até a estrela mais próxima, Proxima Centauri, medida em quilômetros, é de 40.113.497.200.000 quilômetros. Expresso em notação científica, é 4.01134972 & # 8201 & # 215 & # 8201 10 13. 4.01134972 & # 8201 & # 215 & # 8201 10 13. Portanto, poderíamos descrever esse número como tendo uma ordem de magnitude 10 13. 10 13.

Uma função exponencial com a forma y = A 0 e k t y = A 0 e k t tem as seguintes características:

Uma população de bactérias dobra a cada hora. Se a cultura começou com 10 bactérias, represente graficamente a população em função do tempo.

O gráfico de y = 10 e (ln 2) t y = 10 e (ln 2) t

Meia-vida

Agora nos voltamos para a decadência exponencial. Um dos termos comuns associados à redução exponencial, conforme declarado acima, é meia-vida, o tempo que uma quantidade em decomposição exponencial leva para diminuir à metade de sua quantidade original. Todo isótopo radioativo tem meia-vida, e o processo que descreve o decaimento exponencial de um isótopo é chamado decaimento radioativo.

Para encontrar a meia-vida de uma função que descreve o decaimento exponencial, resolva a seguinte equação:

Descobrimos que a meia-vida depende apenas da constante k k e não da quantidade inicial A 0. A 0.

A fórmula é derivada da seguinte forma

Dada a meia-vida, encontre a taxa de deterioração.

Observação: Também é possível encontrar a taxa de decaimento usando k = & # 8722 ln (2) t. k = & # 8722 ln (2) t.

A meia-vida do carbono 14 é de 5.730 anos. Expresse a quantidade de carbono-14 restante em função do tempo, t. t.

Esta fórmula é derivada da seguinte maneira.

A meia-vida do plutônio-244 é de 80 milhões de anos. A função Find fornece a quantidade de carbono-14 restante em função do tempo, medida em anos.

Datação por radiocarbono

A fórmula para o decaimento radioativo é importante na datação por radiocarbono, que é usada para calcular a data aproximada em que uma planta ou animal morreu. A datação por radiocarbono foi descoberta em 1949 por Willard Libby, que ganhou o Prêmio Nobel por sua descoberta. Ele compara a diferença entre a proporção de dois isótopos de carbono em um artefato orgânico ou fóssil com a proporção desses dois isótopos no ar. Acredita-se que ele seja preciso em cerca de 1% de erro para plantas ou animais que morreram nos últimos 60.000 anos.

O carbono-14 é um isótopo radioativo de carbono com meia-vida de 5.730 anos. Ocorre em pequenas quantidades no dióxido de carbono do ar que respiramos. A maior parte do carbono da Terra é carbono-12, que tem peso atômico 12 e não é radioativo. Os cientistas determinaram a proporção de carbono 14 para carbono 12 no ar nos últimos 60.000 anos, usando anéis de árvores e outras amostras orgânicas de datas conhecidas & # 8212, embora a proporção tenha mudado ligeiramente ao longo dos séculos.

Enquanto uma planta ou animal está vivo, a proporção dos dois isótopos de carbono em seu corpo é próxima à proporção na atmosfera. Quando morre, o carbono-14 em seu corpo se decompõe e não é substituído. Ao comparar a proporção de carbono-14 com carbono-12 em uma amostra em decomposição com a proporção conhecida na atmosfera, a data em que a planta ou animal morreu pode ser aproximada.

Uma vez que a meia-vida do carbono-14 é de 5.730 anos, a fórmula para a quantidade de carbono-14 remanescente após t t anos é

Esta fórmula é derivada da seguinte forma:

Para encontrar a idade de um objeto, resolvemos esta equação para t: t:

Dada a porcentagem de carbono-14 em um objeto, determine sua idade.

Foi encontrado um fragmento de osso que contém 20% de seu carbono-14 original. Até o ano mais próximo, quantos anos tem o osso?

O fragmento ósseo tem cerca de 13.301 anos.

Os instrumentos que medem a porcentagem de carbono-14 são extremamente sensíveis e, como mencionamos acima, um cientista precisará fazer muito mais trabalho do que nós para ficar satisfeito. Mesmo assim, a datação por carbono tem uma precisão de apenas cerca de 1%, então essa idade deve ser dada como & # 8201 13.301 & # 160years & # 177 1% & # 160ou & # 16013.301 & # 160years & # 177 133 & # 160years. & # 8201 13,301 & # 160years & # 177 1% & # 160ou & # 16013,301 & # 160years & # 177 133 & # 160years.

O césio-137 tem meia-vida de cerca de 30 anos. Se começarmos com 200 mg de césio-137, levará mais ou menos de 230 anos até que reste apenas 1 miligrama?

menos de 230 anos, 229,3157 para ser exato

Calculando o tempo de duplicação

Para quantidades em decomposição, determinamos quanto tempo levava para metade de uma substância se decompor. Para quantidades crescentes, podemos querer descobrir quanto tempo leva para uma quantidade dobrar. Como mencionamos acima, o tempo que uma quantidade leva para dobrar é chamado de tempo de duplicação.

A fórmula é derivada da seguinte forma:

Assim, o tempo de duplicação é

De acordo com a Lei de Moore & # 8217, o tempo para dobrar o número de transistores que podem ser colocados em um chip de computador é de aproximadamente dois anos. Dê uma função que descreva esse comportamento.

A fórmula é derivada da seguinte forma:

A função é & # 8201 A = A 0 e ln 2 2 t. & # 8201 A = A 0 e ln 2 2 t.

Dados recentes sugerem que, a partir de 2013, a taxa de crescimento prevista pela Lei de Moore & # 8217 não se mantém mais. O crescimento desacelerou para um período de duplicação de aproximadamente três anos. Encontre a nova função que leva em consideração esse tempo de duplicação mais longo.

Usando a Lei de Resfriamento de Newton e # 8217s

O decaimento exponencial também pode ser aplicado à temperatura. Quando um objeto quente é deixado no ar circundante que está a uma temperatura mais baixa, a temperatura do objeto diminui exponencialmente, nivelando à medida que se aproxima da temperatura do ar circundante. Em um gráfico da função de temperatura, o nivelamento corresponderá a uma assíntota horizontal na temperatura do ar circundante. A menos que a temperatura ambiente seja zero, isso corresponderá a um deslocamento vertical da função de decaimento exponencial genérico. Esta tradução leva à Lei do Resfriamento de Newton & # 8217, a fórmula científica para a temperatura em função do tempo como um objeto & # 8217s a temperatura é igualada com a temperatura ambiente

Esta fórmula é derivada da seguinte forma:

Dado um conjunto de condições, aplique a Lei de Resfriamento de Newton & # 8217s.

Como a temperatura do ar ao redor na geladeira é de 35 graus, a temperatura do cheesecake & # 8217s cairá exponencialmente em direção aos 35 graus, seguindo a equação

Sabemos que a temperatura inicial era de 165, então & # 8201 T (0) = 1 6 5. & # 8201 T (0) = 1 6 5.

Isso nos dá a equação para o resfriamento do cheesecake: & # 8201 T (t) = 1 3 0 e & # 8211 0. 0 1 2 3 t + 3 5. & # 8201 T (t) = 1 3 0 e & # 8211 0. 0 1 2 3 t + 3 5.

Agora podemos calcular o tempo que a temperatura levará para esfriar até 70 graus.

Levará cerca de 107 minutos, ou uma hora e 47 minutos, para o cheesecake esfriar até & # 8201 70 & # 176F. & # 8201 70 & # 176F.

Um jarro de água a 40 graus Fahrenheit é colocado em uma sala de 70 graus. Uma hora depois, a temperatura subiu para 45 graus. Quanto tempo levará para a temperatura subir para 60 graus?

Usando Modelos de Crescimento Logístico

O crescimento exponencial não pode continuar para sempre. Os modelos exponenciais, embora possam ser úteis no curto prazo, tendem a desmoronar quanto mais tempo duram. Considere uma aspirante a escritora que escreve uma única linha no primeiro dia e planeja dobrar o número de linhas que escreve a cada dia durante um mês. No final do mês, ela deve escrever mais de 17 bilhões de linhas, ou meio bilhão de páginas. É impraticável, senão impossível, alguém escrever tanto em tão curto período de tempo. Eventualmente, um modelo exponencial deve começar a se aproximar de algum valor limite e, então, o crescimento é forçado a desacelerar. Por esse motivo, geralmente é melhor usar um modelo com um limite superior em vez de um modelo de crescimento exponencial, embora o modelo de crescimento exponencial ainda seja útil a curto prazo, antes de se aproximar do valor limite.

O modelo de crescimento logístico é aproximadamente exponencial no início, mas tem uma taxa de crescimento reduzida à medida que a produção se aproxima do limite superior do modelo, chamado de capacidade de suporte. Para as constantes a, b, a, b e c, c, o crescimento logístico de uma população ao longo do tempo & # 8201 x & # 8201 & # 8201 x & # 8201 é representado pelo modelo

O gráfico em [link] mostra como a taxa de crescimento muda ao longo do tempo. O gráfico aumenta da esquerda para a direita, mas a taxa de crescimento só aumenta até atingir seu ponto de taxa máxima de crescimento, ponto no qual a taxa de aumento diminui.

O modelo de crescimento logístico é

Uma epidemia de influenza se espalha pela população rapidamente, a uma taxa que depende de dois fatores: quanto mais pessoas estiverem com a gripe, mais rapidamente ela se espalhará; e também quanto mais pessoas não infectadas houver, mais rapidamente se espalhará. Esses dois fatores tornam o modelo logístico um bom modelo para estudar a propagação de doenças transmissíveis. E, claro, há um valor máximo para o número de pessoas infectadas: toda a população.

Substituímos os dados fornecidos no modelo de crescimento logístico

Lembre-se que, por se tratar de um vírus, não podemos prever com certeza o número de pessoas infectadas. O modelo apenas aproxima o número de pessoas infectadas e não fornece valores exatos ou reais.

O gráfico em [link] dá uma boa imagem de como esse modelo se ajusta aos dados.

O gráfico de & # 8201 f (x) = 1000 1 + 999 e & # 8722 0,6030 x & # 8201 f (x) = 1000 1 + 999 e & # 8722 0,6030 x

Usando o modelo em [link], estime o número de casos de gripe no dia 15.

Escolhendo um modelo apropriado para dados

Agora que discutimos vários modelos matemáticos, precisamos aprender como escolher o modelo apropriado para os dados brutos que temos. Muitos fatores influenciam a escolha de um modelo matemático, entre os quais estão a experiência, as leis científicas e os padrões dos próprios dados. Nem todos os dados podem ser descritos por funções elementares. Às vezes, é escolhida uma função que aproxima os dados em um determinado intervalo. Por exemplo, suponha que os dados foram coletados sobre o número de casas compradas nos Estados Unidos entre os anos de 1960 a 2013. Depois de representar esses dados em um gráfico de dispersão, notamos que a forma dos dados dos anos de 2000 a 2013 segue um logarítmico curva. Poderíamos restringir o intervalo de 2000 a 2010, aplicar a análise de regressão usando um modelo logarítmico e usá-lo para prever o número de compradores de casas para o ano de 2015.

Três tipos de funções frequentemente úteis em modelos matemáticos são funções lineares, funções exponenciais e funções logarítmicas. Se os dados estiverem em uma linha reta ou parecerem estar aproximadamente ao longo de uma linha reta, um modelo linear pode ser melhor. Se os dados forem não lineares, geralmente consideramos um modelo exponencial ou logarítmico, embora outros modelos, como modelos quadráticos, também possam ser considerados.

Ao escolher entre um modelo exponencial e um modelo logarítmico, observamos a forma como as curvas de dados. Isso é chamado de concavidade. Se desenharmos uma linha entre dois pontos de dados e todos (ou a maioria) dos dados entre esses dois pontos ficarem acima dessa linha, diremos que a curva é côncava para baixo. Podemos pensar nisso como uma tigela que se curva para baixo e, portanto, não pode reter água. If all (or most) of the data between those two points lies below the line, we say the curve is concave up. In this case, we can think of a bowl that bends upward and can therefore hold water. An exponential curve, whether rising or falling, whether representing growth or decay, is always concave up away from its horizontal asymptote. A logarithmic curve is always concave away from its vertical asymptote. In the case of positive data, which is the most common case, an exponential curve is always concave up, and a logarithmic curve always concave down.

A logistic curve changes concavity. It starts out concave up and then changes to concave down beyond a certain point, called a point of inflection.

After using the graph to help us choose a type of function to use as a model, we substitute points, and solve to find the parameters. We reduce round-off error by choosing points as far apart as possible.

Does a linear, exponential, logarithmic, or logistic model best fit the values listed in [link]? Find the model, and use a graph to check your choice.

First, plot the data on a graph as in [link]. For the purpose of graphing, round the data to two significant digits.

To check the accuracy of the model, we graph the function together with the given points as in [link].

We can conclude that the model is a good fit to the data.

Does a linear, exponential, or logarithmic model best fit the data in [link]? Find the model.


Exponential and Logarithmic Functions

•Definition of function composition and associated notation
•Finding function compositions
•Finding the domain of a function composition
•Finding the components of a composite function

One-to-one functions inverse functions

•Definition of the inverse of a function
•Definition of a one-to-one function
•Horizontal line test
•One-to-one functions and increasing or decreasing behavior
•Definition of an inverse function and associated notation
•Domain of f (x) equals range of and range of f (x) equals domain of
• and
•The graph of a function and its inverse are symmetric over the line y =x
•Procedure for finding the inverse of a one-to-one function

• Laws of exponents
•Definition of exponential function
•Graphing exponential functions
• Properties of exponential function
o Domain = all reals range = all positive reals
o No x- intercepts y-intercept = 1
o x-axis is a horizontal asymptote
o Is a one-to-one function
o For a>1, is an increasing function
o For 0<a<1, is a decreasing function
o Graph is smooth and continuous
•Definition of the number e
•Definition of the natural exponential function
• Solving exponential equations by making bases the same

•Definition of the logarithmic function to the base a,
• if and only if
• Converting from log form equation to exponential form equation, or vice versa
•Finding exact values of log expressions
•Graphing log functions
•Properties of log function
o Domain = all positive reals range = all reals
o No y- intercepts x-intercept = 1
o y-axis is a vertical asymptote
o Is a one-to-one function
o For a>1, is an increasing function
o For 0<a<1, is a decreasing function
o Graph is smooth and continuous
•Definition of and notation for the natural log function,
•Definition of and notation for the common log function,
•Solving log equations by converting to exponential form
•Using logs to solve exponential equations


•Properties of logs: For M, N > 0,

• Expanding single logs using properties of logs
• Combining log expressions into a single log using properties of logs
•Change-of- base formula
•Approximating logs using the change -of-base formula and a calculator

Logarithmic and exponential equations

•Solving log equations – convert to exponential form
•Exponential equations – take the log of both sides

Exponential growth & decay Newton’s Law logistic growth and decay models

•Exponential growth and decay models
•Population growth (bacteria, country populations, etc.)
•Radioactive decay (half-life, carbon-14 dating, etc.)
•Newton’s Law of Cooling
•Logistic growth models

Exercícios de revisão
Chapter 5 Review Exercises: p. 336-9, 1-89, 93-97 odd


4.6.6E: Exponential and Logarithmic Models (Exercises) - Mathematics

For problems 1 – 12 find all the solutions to the given equation. If there is no solution to the equation clearly explain why.

  1. (12 - 4<<f>^<7 + 3,x>> = 7) Solution
  2. (1 = 10 - 3<<f>^<> - 2,z>>) Solution
  3. (2t - t<<f>^<6,t - 1>> = 0) Solution
  4. (4x + 1 = left( <12x + 3> ight)<<f>^ <- 2>>) Solution
  5. (2<<f>^<3,y + 8>> - 11<<f>^<5 - 10,y>> = 0) Solution
  6. (14<<f>^<6 - x>> + <<f>^<12x - 7>> = 0) Solution
  7. (displaystyle 1 - 8ln left( ><7>> ight) = 14) Solution
  8. (ln left( ight) = 1 + ln left( <3y + 2> ight)) Solution
  9. (log left( w ight) + log left( ight) = 2) Solution
  10. (2log left( z ight) - log left( <7z - 1> ight) = 0) Solution
  11. (16 = <17^> + 11) Solution
  12. (<2^<3 - 8w>> - 7 = 11) Solution

Compound Interest. If we put (P) dollars into an account that earns interest at a rate of (r) (written as a decimal as opposed to the standard percent) for (t) years then,

    if interest is compounded (m) times per year we will have, [A = P> ight)^>]

  1. We have $10,000 to invest for 44 months. How much money will we have if we put the money into an account that has an annual interest rate of 5.5% and interest is compounded
    1. quarterly
    2. monthly
    3. continuously
    1. quarterly
    2. monthly
    3. continuously

    Exponential Growth/Decay. Many quantities in the world can be modeled (at least for a short time) by the exponential growth/decay equation.

    If (k) is positive we will get exponential growth and if (k) is negative we will get exponential decay.


    Exponential functions and Logarithms - A level AS Mathematics

    Eu ensino a matemática da sexta série, então a maioria dos meus recursos é voltada para matemática de nível A. Recentemente, atualizei meus recursos para cobrir o novo plano de estudos de matemática do nível A e produzi PowerPoints que cobrem totalmente todos os novos cursos de matemática do nível A. Eu também uso uma grande quantidade de apresentações do Notebook porque são mais flexíveis que o PowerPoint. Eu coloquei um recurso gratuito para você tentar mostrar como as apresentações funcionam, você pode abri-lo online usando o site SMART Notebook Express.

    Compartilhar isso

    pptx, 851.82 KB pptx, 735.55 KB docx, 41.93 KB

    Esses PowerPoints formam lições completas de trabalho que, juntos, abrangem o novo curso de matemática de nível A para todas as bancas de exames. Juntos, todos os PowerPoints incluem
    Um conjunto completo de notas para os alunos
    Exemplos de modelos
    Perguntas de sondagem para testar a compreensão
    Perguntas de classe incluindo respostas
    Trabalho individual no quadro branco
    Links para exercícios em ‘The Textbook by CGP’ podem ser facilmente editados para seu livro didático
    Os PowerPoints podem ser usados ​​na aula e também dados a alunos que perderam uma aula
    Eu adicionei ‘AS nível matemática 13 - Círculos’ para download gratuito

    Exponential functions and logarithms covers

    • Know and use the function a^x and its graph, where a is positive
    • Know and use the function e^x and its graph
    • Know that the gradient of e^kx is equal to ke^kx and hence understand why the exponential model is suitable in many applications
    • Know and use the definition of logax as the inverse of a^x where a is positive and x≥0
    • Know and use the function ln x and its graph
    • Know and use ln x as the inverse function of e^x
    • Understand and use the laws of logarithms
    • Solve equations of the form a^x=b
    • Use logarithmic graphs to estimate parameters in relationships of the form y=ax^n and y=kb^x , given data for x and y
    • Understand and use exponential growth and decay
    • Use in modelling (examples may include the use of e in continuous compound interest, radioactive decay, drug concentration decay, exponential growth as a model for population growth)
    • Consideration of limitations and refinements of exponential models

    Obtenha este recurso como parte de um pacote e economize até 26%

    A bundle is a package of resources grouped together to teach a particular topic, or a series of lessons, in one place.

    A level AS Mathematics All Pure Content

    Esses PowerPoints formam lições completas de trabalho que, juntos, abrangem o novo curso de matemática de nível A para todas as bancas de exames. Together all the PowerPoints include • A complete set of notes for students • Model examples • Probing questions to test understanding • Class questions including answers • Individual whiteboard work • Links to exercises in ‘The Textbook by CGP’ these can easily be edited for your textbook The PowerPoints can be used in the lesson and also given to students that have missed a lesson I have added ‘AS level maths 13 – Circles’ for free download


    Algebra - Solving exponential & logarithmic functions

    Exercise 3.1
    25 Continuous Compounding If $8000 is invested for t years at 8% interest compounded continuously, the future value is given by S=8000e0.08t dollars.
    uma. Graph this function for 0< t < 15.
    b. Use the graph to estimate when the future value will be $20,000.

    27. Radioactive Decay The amount of radioactive isotope thorium-234 present at time t is given by A (t) =500e¯0.02828t grams, where t is the time in years that the isotope decays. The initial amount present is 500 grams.
    uma. How many grams remain after 10 years?
    b. Graph this function for 0< t < 100.
    c. If the half-life is the time it takes for half of the initial amount to decay, use graphical method to estimate the half-life of this isotope.

    35. Population The population is a certain city was 53,000 in 2000, and it future size is predicted to be P (t) =53,000e0.015t people, where t is the number of years after 2000.
    uma. Does this model indicate that the population is increasing or decreasing?
    b. Use this function to estimate the population of the city 2005.
    c. Use this function to predict the population of the city in 2010.
    d. What is the average rate of growth between 2000 and 2010?

    37. Carbon-14 Dating An exponential decay function can be used to model the number of grams of a radioactive material that remain after a period of time. Carbon-14 decays over time, with the amount remaining after t years given by y=100e¯0.00012378t if 100 grams is the original amount.
    uma. How much remains after 1000 years?
    b. Use graphical methods to estimate the number of years until 10 grams of carbon-14 remain.

    39. Normal Curve The 'curve' on which many students like to be graded is the bell-shaped normal curve. The equation y=1__ e - (x-50)²/2 describe the normal curve for a standardized
    V¯2П¯
    test, where x is the test score before curving.
    uma. Graph this function for x between 47 and 53 and for y between 0 and 0.5.
    b. The average score for the test is the score that gives the largest output y. use the graph to find the average score.

    Exercise 3.2
    43. Life Span On the basic of data for the years 1910 through 1998, the expected life span of people in the United State can be described by the function f(x)=12.734 In x+17.875 years, where x is the number of years from 1900 to the person's birth year.
    uma. What does this model estimate the life span to be for people born in 1925? In 1996? (Give each answer to the nearest year.)
    b. Explain why these number are so different.

    51. Suppose the weekly cost for the production of x units of a product is given by
    C(x) =3452 + 50 In(x+1) dollars. Use graphical methods to estimate the number of units produced if the total cost is $3556.

    Exercise 3.3
    53. Snapple Beverage Revenues Prior to the November 1994$1.7 billion takeover proposal by Quaker Oats. Snapple Beverage Corporation's revenues were given by the function
    B (t) =1.337e0.718t million dollars, where t is the number of years after 1985.
    uma. According to the model, what was Snapple's 1995 revenue?
    b. If the revenue continued to increase as described by this model, when did it reach $3599 millions?

    55. Purchasing Power The purchasing power (real value of money) decreases if inflation is present in the economy. For example, the purchasing power of $40,000 after t year of 5% inflation is given by the model.

    How long will it take value of a $40,000 pension to have a purchasing power of $20,000 under 5% inflation?

    61. Doubling Time The number of quarters needed to double an investment when a lump sum is invested at 8% compounded quarters is given by n=log1.02 2.
    uma. Use the change of base formula to find n.
    b. In how many years will the investment double?

    67. Radioactive Decay The amount of radioactive isotope thorium-234 percent in a certain sample at time t is given by A(t)=500e¯0.02828t grams, where t years is the time since the initial amount was measured.
    uma. Find the initial amount of the isotope that percent in the sample.
    b. Find the half-life of this isotope. That is, find the number of years until half of the original amount of the isotope remains.

    Exercise3.4
    17. World Population The following table gives the world population for selected years from 1650 to 2001.
    uma. Create an exponential function that models these data, with x representing the years after 1600 and y the population in millions. Round the model to four-decimal-place accuracy.
    b. Graph the data and the exponential function that model the data on the same axes with window [0,402] by [0, 6500].

    Year Population(millions) Year Population(millions)
    1650 503 1950 2406
    1750 711 1996 5771
    1800 913 1999 6000
    1850 1131 2001 6200
    1900 1590

    23. Life Span The table below gives the life expectancy for the people in the United State for the birth years 1910-1998.
    uma. Find the logarithmic function that models these data, with x equal to 0 in 1900.
    b. Find the quadratic function that is the best fit for the date. Round the quadratic coefficient to five decimal places.
    c. Graph each of these functions on the same axes with the data points to determine visually which function is the best model for the data for the years 1910-1998.
    d. Evaluate both models for the birth year 2010. Which model is better for prediction of life span after 2010?

    25. Sexually Active Girls The percent of girls age x or younger who have been sexually active is given in the table below.
    uma. Create a logarithmic function that models the data, using an input equal to the age of the girls.
    b. Use the model to estimate the percent for the girls age 17 or younger who have been sexually active.
    c. Find the quadratic function that is the best fit for the data.
    d. Graph each of these functions on the same axes with data points to determine which function is the better model for the data.

    Age Cumulative percent Sexually Active Girls Cumulative percent Sexually Active Boys
    15 5.4 16.6
    16 12.6 28.7
    17 27.1 47.9
    18 44.0 64.0
    19 62.9 77.6
    20 73.6 83.0

    Exercise 3.5
    15. Future Value If $8800 is invested for x years at 8% interest compounded annually, find the future value that result in
    uma. 8 years
    b. 30 years

    29. Doubling time Use a spreadsheet, a table, or a graph to estimate how long it takes for an investment to double if it is invested at 10% interest.
    uma. Compounded annually.
    b. Compounded continuously.

    35. Doubling Time If the money is invested at 10% interest compounded quarterly, the future value of the investment doubles approximately every 7 years.
    uma. Use this information to complete the table below for an investment of $1000 at 10% interest compounded quarterly.
    b. Create an exponential function, around to three decimal places, that models the discrete function defined by the table.
    c. Because the interest is compounded quarterly, this model must be interpreted discretely. Use the rounded function to find the value of the investment in 5 years and in 10½ years after the money was invested.
    Year 0 7 14 21 28
    Future Value($) 1000

    Exercise 3.6
    9. College Tuition New parent want to put a lump sum into a money market fund to provide $300,000 in 18 years, to help pay for college tuition for their child. If the fund average 10% per year compounded monthly, how many should they invest?

    17. Business Sale A man can sell his Thrifty Electronics business for $800,000 cash or for $100,000 plus $122,000 at the end of each year for 9 years.
    uma. Find the present value of the annuity that is offered if money is worth 10% compounded annually.
    b. If he takes the $800,000, spends $100,000 of it, and invests the rest in a 9-year annuity at 10% compounded annually, what size annuity payment will he receive at the end of each year?
    c. Which is better, taking the $100,000 and the annuity of taking the cash settlement? Discuss the advantage of your choice.

    21. Loan Repayment A loan of $10,000 is to be amortized with quarterly payments over 4 years. If the interest on the loan is 8% per year, paid on the unpaid balance,
    uma. What is the interest rate charged each quarter on the unpaid balance?
    b. How many payments are made to repay the loan?
    c. What payment is required each quarterly to amortize the loan?

    23. Home Mortgage A couple who wants to purchase a home with a price of $350,000 has $100,000 for a down payment. If they can get a 30-year mortgage at 6% per year on the unpaid balance,
    uma. What will be their monthly payment?
    b. What is the total amount they will pay before they own the house outright?
    c. How much interest will they pay over the life of the loan?

    Esercise3.7
    11. Sexually Active Boys The percent of boys between ages 15 and 20 that been sexually active at some time (the cumulative percent) can be modeled by the logistic function

    Y = 89.786_______
    1 + 4.6531e - 0.8256x

    Where t is the number of years after age 15.
    uma. Graph this function for 0 < x < 5.
    b. What does the model estimate the cumulative percent to be for boys whose age is 16?
    c. What cumulative percent does the model estimate for boys of age 21, if it is valid after age 20?
    d. What is the limiting value implied by this model?

    23. Spread of Disease An employee brings a contagious disease to an office with 150 employees. The number of employees infected by the disease t days after the employees are first exposed to it is given by

    Use graphical or numerical methods to find the number of days until 99 employees have been infected.

    © BrainMass Inc. brainmass.com March 4, 2021, 9:43 pm ad1c9bdddf
    https://brainmass.com/math/basic-algebra/algebra-solving-exponential-logarithmic-functions-267226

    Attachments

    Solution Preview

    Exercise 3.5
    15. Future Value If $8800 is invested for x years at 8% interest compounded annually, find the future value that result in
    uma. 8 years
    b. 30 years

    (a) FV = PV * (1 + r/100n)^(nt)
    FV = 8800 (1 + 8/100 * 1)^(1 * 8) = $16288.19
    (b) FV = 8800 (1 + 8/100 * 1)^(1 * 30) = $88551.38

    29. Doubling time Use a spreadsheet, a table, or a graph to estimate how long it takes for an investment to double if it is invested at 10% interest.
    uma. Compounded .

    Solution Summary

    The expert solves exponential and logarithmic functions. A complete, neat and step-by-step solutions are provided in the attached file.


    Exponential and Logarithmic Functions

    The exponential models describe the population of the indicated country, A, in millions, t years after 2003. Use these models to solve 2,4 and 6.

    2. What was the population of Iraq in 2003?

    4. Which country has a decreasing population? By what
    percentage is the population of that country decreasing
    each year?

    6. When will India's population be 1416 million?

    About the size of New Jersey, Israel has seen its population soar to
    more than 6 million since it was established. With the help of US.
    aid, the country now has a diversified economy rivaling those of
    other developed Western nations. By contrast, the Palestinians, living
    under Israeli occupation and a corrupt regime, endure bleak condi-
    tions. The graphs show that by 2050, Palestinians in the West Bank,
    Gaza Strip, and East Jerusalem will outnumber Israelis. Exercícios
    7?8, involve the projected growth of these two populations.

    8. a. In 2000, the population of the Palestinians in the West
    Bank, Gaza Strip, and East Jerusalem was approximately
    3.2 million and by 2050 it is projected to grow to 12 mil-
    lion. Use the exponential growth model A = A0ekt, in
    which t is the number of years after 2000, to find the expo-
    nential growth function that models the data.

    b. In which year will the Palestinian population be 9 million?

    An artifact originally had 16 grams of carbon-14 present. The decay model A = 16e ^-0.000121t describes the amount of carbon-14 present after t years. Use this model to solve 10.

    10. How many grams of carbon-14 will be present in 11,430 years?

    12. The half-life of the radioactive element plutonium-239 is
    25,000 years. If 16 grams of plutonium-239 are initially
    present, how many grams are present after 25,000 years?
    50,000 years? 75,000 years? 100,000 years? 125,000 years?

    Use the exponential decay mode/for carbon-14, A = A 0 e^ -0.000121t
    to solve Exercises 13?14.

    14. Skeletons were found at a construction site in San Francisco
    in 1989. The skeletons contained 88% of the expected
    amount of carbon-14 found in a living person. In 1989 how
    old were the skeletons?

    16. A bird species in danger of extinction has a population that is
    decreasing exponentially (A = Aoekt). Five years ago the
    population was at 1400 and today only 1000 of the birds are
    alive. Once the population drops below 100, the situation will
    be irreversible. When will this happen?

    18. Use the exponential growth model, A = Aoekt, to show that
    the time it takes a population to triple (to grow from A= Aoe^kt) is given by t = In 3
    k

    Use the formula t = In 2 that gives the time for a population with
    k
    a growth rate k to double to solve Exercises 19?20. Express each
    answer to the nearest whole year.

    20. The growth model A = lO4.9e^0.017t describes Mexico's population, A, in millions, t years after 2003.
    uma. What is Mexico's growth rate?
    b. How long will it take Mexico to double its population?


    The natural log of values of looking at the graphs of exponential to form

    The form is worth pointing out that you do questions, but it measures the file name of forms. Write a dashed line and sketching its graph of forms of intersections with javascript enabled there. Please use the questions directly join your quizzes or function can be freely distributed under the teams with no updates. The logarithm of forms of positive real numbers having common and determine the nearest hundredth where the form and the formula to exponential relationships? Thank you want to exponential forms are equal, exponentiation can be raised to find what do. When interest rate is called taking the richter scale should agree that the x increases or debian mantainers? This form can use a calculator, exponentiation occurs when the middle to let us to convert exponentials and determine the given. In the inverse function is that compound growth in the graph such equations involving exponents, or why or the exponent k to. To exponential forms and exponentials and we have obtained on, exponentiation result of composing these transistors, it with google classroom account to. If we cannot change the form. What resource for exponential and exponentials using a password was used much clearer on sliding scales. Your team can we have joined yet learned as you control and one function in this set has certain that should you? Check this on the experimental scatter should be assigned: the custom themes and useful in the reverse. Mathway site and graph is the development of forms? If you how did you can be deleted your own pace, exponentiation is by? Note the exponential equation in years after you can be isolated on google search is an exact answer the previous version if you have made by? Our change in magnitude on to be able to. Original figure out yourself first write a particle moving on linear axes below so thank you can convert exponentials and practice solving equations to both. In the form to me first game was stolen from external sources are more complicated exponential forms which it is not necessarily unwieldy. Convert this option but it necessary or asynchronously with that number. Calculate how high accuracy of exponentiation result in damages be found from graphs of flu virus can apply for? What form by exponential forms are you sure you can use a new strain of exponentiation is negative. The initial conditions result. The form to teachers for a logarithmic forms are included in! In the ideal gas law constant amount to solve each unit on the number is available in on one to write the game from your new eu regulations. Identify and logarithmic form is unpublished changes by them in le they contain any logarithm definition and simplify the exponentiation can we use. In which case, affordable learning solutions can we are two seemingly more than a calculator to find density and growth model based on a question? The analysis of forms are marked as many of the graph represents the function of functions and exponentials using logarithmic equation! How long will also serve another. It is exponential function and exponentials and the ratio between the following exercises, it will stop working with similarly, such that involves a bone tool to. These forms in exponential form is a product rule is widely credited for? Expand logarithms to exponential forms. Remove any base of form of the previous version if this is displayed in the values for calculating interest more on the variable. This session has been deleted from applying a different ways to approximate the exact and graphs of birth of logarithms to ga if you. It is these values in some of this section could not. These are you may be prompted to an exponential function. Round to exponential forms in the next month, on the inverse of a game has expired due to the exponentiation occurs in order to. The laws of times to be sure you sure you convert from exponential increase will be even some of logarithms also remove this skill. Solve some groups for disease control the game or function here are the current active element in the same process is these logarithms and powers using an invalid. This is not a single person to graph of forms are a logarithmic function, and exponentials and the use lessons to end the logarithm depends on some times more. Emphasise that logarithms will stop working. This video and add quiz below to an exponential function to its equivalent logarithmic form and then? How we explore the result of the base of base is very large range of the values of each of a desktop. In a scale that true statement is how to play another way go back to share it is correct option and exponentials and procedures as you? They are really useful strategy to exponential forms, my game code will you want to access and exponentials and wishes to. Its inverse properties of logarithms of situation in your results, you temporary access to determine which case, at their account. Any number can now use logarithmic functions. Then approximate our chart, selecting a graphing method for teachers for more steps for your own pace, we were made while duplicating! This form of logarithms to in which is evaluated without players currently selected notes will automatically renew each equation, also include the quizizz! Students log of exponential relationships being multiplied by class and exponentials using a loading icon on mobile phones. What form can be able to exponential forms. Each exponential form to prevent this table lists common logarithms and exponentials in some times can. It is exponential function, logarithms are equal to delete this online resource for additional instruction and exponentials and reports are at least one uses the material. In logarithmic form from the logarithm of earthquakes, y is a linear relationship between density versus temperature from exponential form to use a power. Using a few quick illustrations on a valid? Students to obtain the natural logarithm, we follow very hard to solve the number for that, you sure you find or convenient to. John napier is exponential form of logarithms follow along that you? Apply for an equation is not covered in order to form can click it may be? We have joined yet proved that you want to a variable we begin by itself, skip to liquids? We are no players out of forms, or with some of an equation with themselves? No players to the variables which the answer makes a number of questions are you see logarithms? You have to go to double check is currently selected item to use a mathematical section.

    If you can. The logarithm of an exponential functions on a school or not that explains it will be noted that is a log form. We will it takes in our adaptive quizzes, by identifying the resulting from logarithmic scales because they have to take to. When solving exponential form an example to exponential form exercises, not always guaranteed to. These forms are you see what form an exponential and exponentials in! The real numbers allows us solve a limited number of a game is always possible to write expressions with a contract to participants take common. To form is that base and with logarithmic forms are marked as. Students are not in exponential form and exponentials using a very handy in. It is correct answer this game has been a quiz for the exponentiation is the natural logarithmic laws. The common logarithm when you could have any value, our website so, this page if we ask them to each month. The exponential forms? Take this collection to ga if y increases exponentially, to exponential logarithmic form has an algebraic equation. If y that dot plots have the input and determine the inverse function can not a larger base unit is included in the weekly chart. Amy gruen at several equivalent logarithmic function is in addition, no recommended articles and logarithmic price scales tend to right! Try using quizizz uses ads to exponential function does not have javascript enabled on a game is great! Please enter your new york: the logarithmic equation into training content without using a new function between their own pace. Is exponential forms, but scores are either have joined. Emphasise that we will it is: convert between logarithm of forms, it take to determine it forward it! Please wait till they are logarithms and logarithmic form. In analysin infinitorum. Show off to form is to exponential forms, then construct a question: just click here for each exponential function can be equal. Express exponential form in logarithmic scale mentioned at least one logarithm written in. Creating a form. This exponential forms are logarithms? You evaluate logarithms to logarithmic forms are called common logarithm of exponentiation result of the leaderboard and exponentials and sketch the renewal date, check your questions. Try creating a logarithm, progress will drive through the web. The subscription will be approximated using a dashed line test your question or use. Convert them log form a different earthquakes, they are discussed at the two examples and sketch the formulas. So we will you have javascript enabled on a form? They are in exponential function is important to convert this sheet and range is left hand side. The logarithmic to reactivate your students, an account will be expressed in! In exponential function between logarithmic forms are yet learned in several advantages that these has been invited to solve these words, will always try some algebra book? It is all fields, please click on the data will apply the nearest thousandth, what can then? Find the logarithm as correct answers can then so is not support portrait mode. This form of forms in words, what is a draft. Test to exponential to connect google classroom and there is an image! Convert logarithmic form of logarithm tables of scale that we will it. Exponent of logarithms were written in this case that the following example of form to convert to in this game to right, resume my own. This form and exponentials using a result. Why am i got it passes the period is fundamental arithmetic operation cannot continue? Play is exponential form, logarithms are being described here! Apply to exponential forms of exponentiation. Find points or image link copied to form a certain advantages of forms. Use of exponentiation can finish to increase by a linear relationships, a logarithmic form a custom search is called exponential growth. Thus it is not a complex logarithm and exponents, we can be pointed out a relation where appropriate to teachers to download it is difference. So as exponential equations in x is very important to. We take for example shows an exponential form to. Use the properties of negative number when you will be certain advantages of that you want to see how to logarithmic price increases by dividing the others? Checkpoint graph about all real numbers and exponentials and plot points to use cookies to find an equation which can spread out this game start? Please maximize your changes were books full of young children in related, no players have been solved some groups for? Remove custom memes add a range of forms in other words, logarithms is equal opportunity employer and other. Underscore may be composed of form? This on some pages. The form or power will appear in a question. If you want to logarithmic forms? Logarithms to form can solve logarithmic forms and practice with a certain base. To form and performing arts. The quotient rule for example occur often in many of forms of questions, and exponentials in this article should agree that is reversed. When x in exponential form with a single person to teach math without using a single logarithm when move on a certain advantages that gives you. Need a form of exponential equations where your rss feed, which look at least one form? Whenever possible to both graphing method for solving exponential form take on the core concepts that we know the right, but does quizizz! Control and refresh to answer a table as beneficial as an equal to ensure you want to proceed?


    3 respostas 3

    In your sum, you are distinguishing between the same collection of numbers when it occurs in different orders. So you'll have separate summands for $(a_1,a_2,a_3,a_4)=(3,1,2,1)$ , $(2,3,1,1)$ , $(1,1,3,2)$ etc.

    Given a multiset of $k$ numbers adding to $n$ consisting of $t_1$ instances of $b_1$ up to $t_j$ instances of $b_j$ , that contributes $frac$ (a multinomial coefficient) summands to the sum, and so an overall contribution of $frac<1><>cdotcdotscdot t_j!b_j^>$ to the sum. But that $1/n!$ times the number of permutations with cycle structure $b_1^cdotcdotscdots b_j^$. So this identity states that the total number of permutations of $n$ objects is $n!$ .

    In brief, $n!$ times the summand in the sum you write down is equal to the number of permutations on $n$ symbols that decompose into the product of disjoint cycles of lengths $a_1,dots,a_k$ . More precisely, this is true if you combine all of the terms in the sum corresponding to the same multiset $$ .

    See exercises 10.2 and 10.3 of these notes for related material.

    This answer really just consists of remarks on the already given answers, to this question and the related one here:

    Remark 1. Let two functions $f(x)$ , $g(y)$ , $f(0) = 0$ , $g(0) = 0$ be mutually inverse with respect to substitution, that is, $f(g(y)) = y$ , $g(f(x)) = x$ . The chain rule then give $1 = (f(g(y)))' = f'(g(y))g'(y), quad 1 = (g(f(x)))' = g'(f(x))f'(x),$ where in each case prime denotes the derivative denotes the derivative taken with respect to the corresponding argument. Conversely, if two generating functions $f$ and $g$ with vanishing constant terms satisfy these equalities, then they are mutually inverse with respect to substitution.

    In particular, for the exponent and the logarithm, we expect to have two mutually inverse with respect to substitution functions, namely, $f(x) = e^x - 1$ , and $g(y)= log(1 + y)$ (the shift in both cases aims at making the free term vanishing). Note that $f'(x) = e^x$ and $egin (log(1 + y))' & = left(y - <over2> + <over3> - ldots ight)' & = 1 - y + y^2 - y^3 + ldots & = <1over<1 + y>>.end$ Now, check $egin (log(e^x))' & = (log(1 + (e^x - 1)))' & = <1over<1 + (e^x - 1)>>e^x & = 1,end$ as required.

    Remark 2. First, if we are familiar with the combinatorial interpretation of exponential generating functions, especially composition of exponential generating functions, as explained, for example, in Chapter 5 of Richard Stanley's Enumerative Combinatorics: Volume 2 then we do not need to write out the sums over compositions: we can see directly that $exp(log(1/(1-x)))$ counts sets of cycles, which may be viewed as permutations, and that $exp(log(1-x))$ counts sets of cycles where each set of cycles is weighted by $(-1)^<# ext< of cycles>>$ . There is a simple bijection between permutations with an even number of cycles and with an odd number of cycles: just multiply a permutation by any fixed odd permutation.

    For the other way around, the theory of exponential generating functions tells us that $log(e^x) = log(1+ (e^x-1))$ counts cycles of nonempty sets, where the weight of a cycle of $k$ nonempty sets is $(-1)^$. It is easy to see how these cycles of nonempty sets correspond to our surjective functions with $f(1)=1$ , but again, we do not need to write out a sum of compositions. Our bijection can be restated in terms of cycles of nonempty sets in a simple way (though describing this more formally will take longer): If $1$ is in a singleton set, push it back into the preceding set, and if $1$ is not in a singleton set, push it forward into a new singleton set.

    Remark 3. Here are few other ways to look at the inverse relationship between $log(1+x)$ and $e^x -1$ .

    The Möbius function of the lattice of partitions of $<1,ldots, n>$ is $(n-1)!$ . See http://math.mit.edu/

    The duality between Stirling numbers of the first and second kinds. See https://en.wikipedia.org/wiki/Stirling_number (the section "As inverse matrices").

    Brian Drake proved a theorem that explains combinatorially many pairs of inverse exponential generating functions. See An inversion theorem for labeled trees and some limits of areas under lattice paths, Example 1.4.2.


    Assista o vídeo: Função exponencial e logarítmica. Matemática. Prof. Rodrigo Menezes (Outubro 2021).