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1.4.4E: Composição de Funções


SEÇÃO 1.4 EXERCÍCIO

Dado cada par de funções, calcule (f (g (0)) ) e (g (f (0)) ).

1. (f (x) = 4x + 8, g (x) = 7 - x ^ {2} )

2. (f (x) = 5x + 7, g (x) = 4 - 2x ^ {2} )

3. (f (x) = sqrt {x + 4}, g (x) = 12 - x ^ {3} )

4. (f (x) = dfrac {1} {x + 2}, g (x) = 4x + 3 )

Use a tabela de valores para avaliar cada expressão

5. (f (g (8)) )

6. (f (g (5)) )

7. (g (f (5)) )

8. (g (f (3)) )

9. (f (f (4)) )

10. (f (f (1)) )

11. (g (g (2)) )

12. (g (g (6)) )

Use os gráficos para avaliar as expressões abaixo.

13. (f (g (3)) )

14. (f (g (1)) )

15. (g (f (1)) )

16. (g (f (0)) )

17. (f (f (5)) )

18. (f (f (4)) )

19. (g (g (2)) )

20. (g (g (0)) )

Para cada par de funções, encontre (f (g (x)) ) e (g (f (x)) ). Simplifique suas respostas.

21. (f (x) = dfrac {1} {x - 6}, g (x) = dfrac {7} {x} + 6 )

22. (f (x) = dfrac {1} {x-4}, g (x) = dfrac {2} {x} + 4 )

23. (f (x) = x ^ {2} + 1, g (x) = sqrt {x + 2} )

24. (f (x) = sqrt {x} +2, g (x) = x ^ {2} +3 )

25. (f (x) = | x |, g (x) = 5x + 1 )

26. (f (x) = sqrt [{3}] {x}, g (x) = dfrac {x + 1} {x ^ {3}} )

27. Se (f (x) = x ^ {4} +6 ), (g (x) = x - 6 ) e (h (x) = sqrt {x} ), encontre (f (g (h (x))) )

28. Se (f (x) = x ^ {2} +1 ), (g (x) = dfrac {1} {x} ) e (h (x) = x + 3 ) , encontre (f (g (h (x)))) )

29. A função (D (p) ) fornece o número de itens que serão demandados quando o preço for (p ). O custo de produção, (C (x) ) é o custo de produção de (x ) itens. Para determinar o custo de produção quando o preço é $ 6, você faria qual das seguintes opções:

uma. Avalie (D (C (6)) )
b. Avalie (C (D (6)) )
c. Resolva (D (C (x)) = 6 )
d. Resolva (C (D (p)) = 6 )

20. A função (A (d) ) fornece o nível de dor em uma escala de 0-10 experimentado por um paciente com (d ) miligramas de um medicamento para redução da dor em seu sistema. Os miligramas de droga no sistema do paciente após t minutos é modelado por (m (t) ). Para determinar quando o paciente estará em um nível de dor de 4, você precisará:

uma. Avalie (A (m (4)) )
b. Avalie (m (A (4)) )
c. Resolva (A (m (t) = 4 )
d. Resolva (m (A (d)) = 4 )

31. O raio (r ), em polegadas, de um balão esférico está relacionado ao volume, (V ), por (r (V) = sqrt [{3}] { dfrac {3V} {4 pi}} ). O ar é bombeado para dentro do balão, então o volume após (t ) segundos é dado por (V (t) = 10 + 20t ).

uma. Encontre a função composta (r (V (t)) )

b. Encontre o raio após 20 segundos

32. O número de bactérias em um produto alimentício refrigerado é dado por (N (T) = 23T ^ {2} - 56T + 1 ), (3 t é o tempo em horas.

uma. Encontre a função composta (N left (T left (t right) right) )
b. Encontre a contagem de bactérias após 4 horas

33. Dado (p (x) = dfrac {1} { sqrt {x}} ) e (m (x) = x ^ {2} -4 ), encontre o domínio de (m ( p (x) ).

34. Dado (p (x) = dfrac {1} { sqrt {x}} ) e (m (x) = 9 - x ^ {2} ), encontre o domínio de (m ( p (x)) ).

35. Dado (f (x) = dfrac {1} {x + 3} ) e (g (x) = dfrac {2} {x - 1} ), encontre o domínio de (f (g (x)) ).

36. Dado (f (x) = dfrac {x} {x + 1} ) e (g (x) = dfrac {4} {x} ), encontre o domínio de (f (g (x)) ).

37. Dado (f (x) = sqrt {x-2} ) e (g (x) = dfrac {2} {x ^ {2} -3} ), encontre o domínio de ( g (f (x)) ).

38. Dado (f (x) = sqrt {4-x} ) e (g (x) = dfrac {1} {x ^ {2} -2} ), encontre o domínio de ( g (f (x)) ).

Encontre as funções (f (x) ) e (g (x) ) para que a função dada possa ser expressa como (h (x) = f (g (x)) ).

39. (h (x) = (x + 2) ^ {2} )

40. ((x) = (x-5) ^ {3} )

41. ((x) = dfrac {3} {x-5} )

42. (h (x) = dfrac {4} {(x + 2) ^ {2}} )

43. (h (x) = 3 + sqrt {x-2} )

44. (h (x) = 4 + sqrt [{3}] {x} )

45. Seja (f (x) ) uma função linear, com forma (f (x) = ax + b ) para constantes (a ) e (b ). [UW]

uma. Mostre que (f left (f left (x right) right) ) é uma função linear
b. Encontre uma função (g (x) ) tal que (g left (g left (x right) right) = 6x-8 )

46. ​​Seja (f (x) = dfrac {1} {2} x + 3 ) [UW]

uma. Esboce os gráficos de (f (x) ), (f (f (x)) ), (f (f (f (x)))) ) no intervalo (- 2 le x le 10 )
b. Todos os seus gráficos devem se cruzar no ponto (6, 6). O valor x = 6 é chamado de ponto fixo da função (f (x) ) uma vez que (f (6) = 6 ); ou seja, 6 é fixo - não se move quando (f ) é aplicado a ele. Explique por que 6 é um ponto fixo para qualquer função (f (f (f (... f (x) ...))) ).
c. Funções lineares (com exceção de (f (x) = x )) podem ter no máximo um ponto fixo. As funções quadráticas podem ter no máximo duas. Encontre os pontos fixos da função (g (x) = x ^ {2} -2 ).
d. Forneça uma função quadrática cujos pontos fixos são (x = -2 ) e (x = 3 ).

47. Um carro sai de Seattle em direção ao leste. A velocidade do carro em mph após (m ) minutos é dada pela função (C (m) = dfrac {70m ^ {2}} {10 + m ^ {2}} ). Encontre uma função (m = f (s) ) que converte segundos (s ) em minutos (m ). Escreva a fórmula para a nova função (C (f (s)) ); o que esta função calcula?
b. Encontre uma função (m = g (h )) que converte horas (h ) em minutos (m ). Escreva a fórmula para a nova função (C (g (h)) ); o que esta função calcula?
c. Encontre uma função (z = v (s) ) que converte mph (s ) em ft / s (z ). Escreva a fórmula para a nova função (v (C (m) ); o que essa função calcula?

Responder

1. (f (g (0)) = 36 ). (g (f (0)) = -57 )

3. (f (g (0)) = 4 ). (g (f (0)) = 4 )

5. 4

7. 9

11. 7

13. 0

15. 4

17. 3

19. 2

21. (f (g (x)) = dfrac {x} {7} ) (g (f (x)) = 7x - 36 )

23. (f (g (x)) = x + 3 ) (g (f (x)) = sqrt {x ^ 2 + 3} )

25. (f (g (x)) = | 5x + 1 | ) (g (f (x)) = 5 | x | + 1 )

27. (f (g (h (x))) = ( sqrt {x} - 6) ^ 4 + 6 )

29. b

31. a. (r (V (t)) = sqrt [3] { dfrac {3 (10 + 20t)} {4 pi}} )
b. 4,609 pol

33. ((0, infty) )

35. ((- infty, dfrac {1} {3}) cup ( dfrac {1} {3}, 1) cup (1, infty) )

37. ([2, 5) cup (5, infty) )

39. (g (x) = x + 2 ), (f (x) = x ^ 2 )

41. (f (x) = dfrac {3} {x} ), (g (x) = x - 5 )

43. (f (x) = 3 + sqrt {x} ), (g (x) = x - 2 ), ou (f (x) = 3 + x ), (g ( x) = sqrt {x - 2} )

45. (f (f (x)) = a (ax + b) + b = (a ^ 2) x + (ab + b) )
b. (g (x) = sqrt {6} x - dfrac {8} { sqrt {6} + 1} ) ou (g (x) = - sqrt {6} x - dfrac {8 } {1 - sqrt {6}} )

47. (C (f (s)) = dfrac {70 ( dfrac {s} {60}) ^ 2} {10 + ( dfrac {s} {60}) ^ 2} )
b. (C (g (h)) = dfrac {70 (60h) ^ 2} {10 + (60h) ^ 2} )
c. (v (C (m)) = dfrac {5280} {3600} ( dfrac {70m ^ 2} {10 + m ^ 2}) )


Suavidade

Na análise matemática, o Suavidade de uma função é uma propriedade medida pelo número de derivadas contínuas que possui sobre algum domínio. [1] [2] No mínimo, uma função pode ser considerada suave se for diferenciável em todos os lugares (portanto, contínua). [3] Na outra extremidade, ele também pode possuir derivados de todas as ordens em seu domínio, caso em que é dito que é infinitamente diferenciável e referido como um Função C-infinito (ou função C ∞ < displaystyle C ^ < infty >>). [4]


Combinando funções usando operações algébricas

A composição de funções é apenas uma maneira de combinar funções existentes. Outra forma é realizar as operações algébricas usuais em funções, como adição, subtração, multiplicação e divisão. Fazemos isso executando as operações com as saídas da função, definindo o resultado como a saída de nossa nova função.

Suponha que precisemos adicionar duas colunas de números que representam as rendas anuais separadas de um marido e mulher ao longo de um período de anos, com o resultado sendo a renda familiar total. Queremos fazer isso a cada ano, adicionando apenas as receitas daquele ano e, em seguida, coletando todos os dados em uma nova coluna. Se [latex] w left (y right) [/ latex] é a renda da esposa e [latex] h left (y right) [/ latex] é a renda do marido no ano [latex] y [/ latex] , e queremos que [latex] T [/ latex] represente a receita total, então podemos definir uma nova função.

Se isso for verdade para todos os anos, então podemos nos concentrar na relação entre as funções sem referência a um ano e escrever

Assim como para esta soma de duas funções, podemos definir funções de diferença, produto e razão para qualquer par de funções que tenham os mesmos tipos de entradas (não necessariamente números) e também os mesmos tipos de saídas (que precisam ser números de modo que as operações usuais de álgebra podem ser aplicadas a eles, e que também devem ter as mesmas unidades ou nenhuma unidade quando adicionamos e subtraímos). Dessa forma, podemos pensar em adicionar, subtrair, multiplicar e dividir funções.

Para duas funções [latex] f left (x right) [/ latex] e [latex] g left (x right) [/ latex] com saídas de número real, definimos novas funções [latex] f + g, fg, fg [/ latex] e [latex] frac[/ latex] pelas relações

Exemplo 1: realizando operações algébricas em funções

Encontre e simplifique as funções [latex] left (g-f right) left (x right) [/ latex] e [latex] left ( frac right) left (x right) [/ latex], dado [latex] f left (x right) = x - 1 [/ latex] e [latex] g left (x right) =^ <2> -1 [/ latex]. Eles têm a mesma função?

Comece escrevendo a forma geral e, em seguida, substitua as funções fornecidas.

Não, as funções não são as mesmas.

Nota: Para [latex] left ( frac right) left (x right) [/ latex], a condição [latex] x ne 1 [/ latex] é necessária porque quando [latex] x = 1 [/ latex], o denominador é igual a 0, o que torna a função indefinida.

Tente

Encontre e simplifique as funções [latex] left (fg right) left (x right) [/ latex] e [latex] left (f-g right) left (x right) [/ latex].

Eles têm a mesma função?

[latex] left (fg right) left (x right) = f left (x right) cdot g left (x right) = left (x - 1 right) left (^ <2> -1 right) =^<3>-^ <2> -x + 1 [4mm] left (fg right) left (x right) = f left (x right) -g left (x right) = left (x - 1 direita) - esquerda (^ <2> -1 right) = x-^ <2> [/ latex]

Não, as funções não são as mesmas.


25 Composição de Funções

Suponha que desejamos calcular quanto custa para aquecer uma casa em um determinado dia do ano. O custo para aquecer uma casa dependerá da temperatura média diária e, por sua vez, a temperatura média diária depende de um determinado dia do ano. Observe como acabamos de definir duas relações: o custo depende da temperatura e a temperatura depende do dia.

Usando variáveis ​​descritivas, podemos notar essas duas funções. A funçãodá o custode aquecer uma casa para uma determinada temperatura média diária emgraus Celsius. A funçãodá a temperatura média diária no diaDo ano. Para qualquer dia,significa que o custo depende da temperatura, que por sua vez depende do dia do ano. Assim, podemos avaliar a função de custo na temperaturaPor exemplo, podemos avaliarpara determinar a temperatura média diária no 5º dia do ano. Então, poderíamos avaliar a função de custo naquela temperatura. Nós escreveríamos

Combinando esses dois relacionamentos em uma função, executamos a composição da função, que é o foco desta seção.

Combinando funções usando operações algébricas

A composição de funções é apenas uma maneira de combinar funções existentes. Outra forma é realizar as operações algébricas usuais em funções, como adição, subtração, multiplicação e divisão. Fazemos isso executando as operações com as saídas da função, definindo o resultado como a saída de nossa nova função.

Suponha que precisemos adicionar duas colunas de números que representam as rendas anuais separadas de um marido e mulher ao longo de um período de anos, com o resultado sendo sua renda familiar total. Queremos fazer isso a cada ano, adicionando apenas as receitas desse ano e, em seguida, coletando todos os dados em uma nova coluna. Seé a renda da esposa eé a renda do marido no anoe nós queremospara representar a receita total, podemos definir uma nova função.

Se isso for verdade para todos os anos, então podemos nos concentrar na relação entre as funções sem referência a um ano e escrever

Assim como para esta soma de duas funções, podemos definir funções de diferença, produto e razão para qualquer par de funções que tenham os mesmos tipos de entradas (não necessariamente números) e também os mesmos tipos de saídas (que precisam ser números de modo que as operações usuais de álgebra podem ser aplicadas a eles, e que também devem ter as mesmas unidades ou nenhuma unidade quando adicionamos e subtraímos). Dessa forma, podemos pensar em adicionar, subtrair, multiplicar e dividir funções.

Para duas funçõesecom saídas de número real, definimos novas funçõesepelas relações

Encontre e simplifique as funçõesedadoeEles têm a mesma função?

Comece escrevendo a forma geral e, em seguida, substitua as funções fornecidas.

Não, as funções não são as mesmas.

Nota: paraa condiçãoé necessário porque quandoo denominador é igual a 0, o que torna a função indefinida.

Encontre e simplifique as funçõese

Eles têm a mesma função?

Não, as funções não são as mesmas.

Crie uma função por composição de funções

A execução de operações algébricas em funções as combina em uma nova função, mas também podemos criar funções compondo funções. Quando queríamos calcular o custo de aquecimento de um dia do ano, criamos uma nova função que pega um dia como entrada e produz um custo como saída. O processo de combinação de funções para que a saída de uma função se torne a entrada de outra é conhecido como uma composição de funções . A função resultante é conhecida como função composta. Representamos essa combinação pela seguinte notação:

Lemos o lado esquerdo comocomposto comno e o lado direito comododoOs dois lados da equação têm o mesmo significado matemático e são iguais. O símbolo do círculo abertoé chamado de operador de composição. Usamos esse operador principalmente quando desejamos enfatizar a relação entre as próprias funções, sem nos referir a nenhum valor de entrada específico. Composição é uma operação binária que recebe duas funções e forma uma nova função, da mesma forma que a adição ou multiplicação pega dois números e dá um novo número. No entanto, é importante não confundir composição de função com multiplicação porque, como aprendemos acima, na maioria dos casos

Também é importante compreender a ordem das operações na avaliação de uma função composta. Seguimos a convenção usual com parênteses, começando com os parênteses mais internos primeiro e, em seguida, trabalhando para o exterior. Na equação acima, a funçãopega a entradaprimeiro e produz uma saídaEntão a funçãolevacomo entrada e produz uma saída

Em geral,esão funções diferentes. Em outras palavras, em muitos casospara todosVeremos também que às vezes duas funções podem ser compostas apenas em uma ordem específica.

Por exemplo, seeentão

Essas expressões não são iguais para todos os valores deentão as duas funções não são iguais. É irrelevante que as expressões sejam iguais para o único valor de entrada

Observe que o intervalo da função interna (a primeira função a ser avaliada) precisa estar dentro do domínio da função externa. Menos formalmente, a composição deve fazer sentido em termos de entradas e saídas.

Quando a saída de uma função é usada como entrada de outra, chamamos toda a operação de composição de funções. Para qualquer entradae funçõeseesta ação define uma função composta, que escrevemos comode tal modo que

O domínio da função compostaé tudode tal modo queestá no domínio deeestá no domínio de

É importante perceber que o produto das funçõesnão é o mesmo que a composição da funçãoporque, em geral,

Usando as funções fornecidas, encontreeDetermine se a composição das funções é comutativa.

Vamos começar substituindopara dentro

Agora podemos substituirpara dentro

Nós encontramos issoportanto, a operação de composição da função não é comutativa.

A funçãodá o número de calorias queimadas completandoabdominais edá o número de abdominais que uma pessoa pode fazer emminutos. Interpretar

A expressão interna na composição éPorque a entrada para o s-função é o tempo,representa 3 minutos, eé o número de abdominais concluídos em 3 minutos.

Usandocomo entrada para a funçãonos dá o número de calorias queimadas durante o número de abdominais que podem ser concluídos em 3 minutos, ou simplesmente o número de calorias queimadas em 3 minutos (fazendo abdominais).

Suponhadá milhas que podem ser dirigidas emhoras edá os galões de gasolina usados ​​na direçãomilhas. Qual dessas expressões é significativa:ou

A funçãoé uma função cuja saída é o número de milhas rodadas correspondente ao número de horas rodadas.

A funçãoé uma função cuja saída é o número de galões usados ​​correspondendo ao número de milhas percorridas. Isso significa:

A expressãoleva milhas como entrada e vários galões como saída. A funçãorequer um número de horas como entrada. Tentar inserir uma quantidade de galões não faz sentido. A expressãonão tem sentido.

A expressãoleva horas como entrada e um número de milhas dirigidas como saída. A funçãorequer um número de milhas como entrada. Usando(milhas conduzidas) como um valor de entrada paraonde os galões de gasolina dependem das milhas percorridas, faz sentido. A expressãofaz sentido e renderá o número de galões de gás usados,dirigindo um certo número de milhas,emhoras.

Existem situações ondeeseriam ambas expressões significativas ou úteis?

sim. Para muitas funções matemáticas puras, ambas as composições fazem sentido, embora geralmente produzam novas funções diferentes. Em problemas do mundo real, funções cujas entradas e saídas têm as mesmas unidades também podem fornecer composições que são significativas em qualquer ordem.

A força gravitacional em um planeta à distância r do sol é dado pela função A aceleração de um planeta sujeito a qualquer força é dado pela função Forme uma composição significativa dessas duas funções e explique o que isso significa.

Uma força gravitacional ainda é uma força, então faz sentido como a aceleração de um planeta à distância r do Sol (devido à gravidade), mas não faz sentido.

Avaliação de funções compostas

Depois de compor uma nova função a partir de duas funções existentes, precisamos ser capazes de avaliá-la para qualquer entrada em seu domínio. Faremos isso com entradas numéricas específicas para funções expressas como tabelas, gráficos e fórmulas e com variáveis ​​como entradas para funções expressas como fórmulas. Em cada caso, avaliamos a função interna usando a entrada inicial e, em seguida, usamos a saída da função interna como entrada para a função externa.

Avaliação de funções compostas usando tabelas

Ao trabalhar com funções fornecidas como tabelas, lemos os valores de entrada e saída das entradas da tabela e sempre trabalhamos de dentro para fora. Avaliamos a função interna primeiro e, em seguida, usamos a saída da função interna como entrada para a função externa.

Usando (Figura), avaliee

1 6 3
2 8 5
3 3 2
4 1 7

Avaliarcomeçamos de dentro com o valor de entrada 3. Em seguida, avaliamos a expressão internausando a tabela que define a funçãoPodemos então usar esse resultado como entrada para a funçãoassimé substituído por 2 e obtemosEntão, usando a tabela que define a funçãonós encontramos isso

Avaliarprimeiro avaliamos a expressão internausando a primeira tabela:Então, usando a mesa paranós podemos avaliar

(Figura) mostra as funções compostasecomo tabelas.

3 2 8 3 2

Usando (Figura), avaliee

e

Avaliação de funções compostas usando gráficos

Quando temos funções individuais como gráficos, o procedimento para avaliar funções compostas é semelhante ao processo que usamos para avaliar tabelas. Lemos os valores de entrada e saída, mas desta vez, a partir do e eixos dos gráficos.

Dada uma função composta e gráficos de suas funções individuais, avalie-a usando as informações fornecidas pelos gráficos.

  1. Localize a entrada fornecida para a função interna noeixo de seu gráfico.
  2. Leia a saída da função interna doeixo de seu gráfico.
  3. Localize a saída da função interna noeixo do gráfico da função externa.
  4. Leia a saída da função externa doeixo de seu gráfico. Este é o resultado da função composta.

Usando (Figura), avalie

Avaliarcomeçamos com a avaliação interna. Veja a figura).

Nós avaliamosusando o gráfico deencontrando a entrada de 1 noeixo e encontrar o valor de saída do gráfico nessa entrada. Aqui,Usamos este valor como entrada para a função

Podemos então avaliar a função composta olhando para o gráfico deencontrando a entrada de 3 no eixo e lendo o valor de saída do gráfico nesta entrada. Aqui,assim

(Figura) mostra como podemos marcar os gráficos com setas para traçar o caminho do valor de entrada ao valor de saída.

Usando (Figura), avalie

Avaliação de funções compostas usando fórmulas

Ao avaliar uma função composta na qual criamos ou recebemos fórmulas, a regra de trabalhar de dentro para fora permanece a mesma. O valor de entrada para a função externa será a saída da função interna, que pode ser um valor numérico, um nome de variável ou uma expressão mais complicada.

Embora possamos compor as funções para cada valor de entrada individual, às vezes é útil encontrar uma única fórmula que irá calcular o resultado de uma composiçãoPara fazer isso, vamos estender nossa ideia de avaliação de funções. Lembre-se disso, quando avaliamos uma função comosubstituímos o valor entre parênteses na fórmula sempre que vemos a variável de entrada.

Dada uma fórmula para uma função composta, avalie a função.

  1. Avalie a função interna usando o valor de entrada ou variável fornecida.
  2. Use a saída resultante como entrada para a função externa.

DadoeAvalie

Porque a expressão interna écomeçamos avaliando em 1.

Entãoentão avaliamoscom uma entrada de 5.

Não faz diferença quais são as variáveis ​​de entradaeforam chamados neste problema porque avaliamos para valores numéricos específicos.

DadoeAvalie

Encontrando o domínio de uma função composta

Como discutimos anteriormente, o domínio de uma função composta, comodepende do domínio dee o domínio deÉ importante saber quando podemos aplicar uma função composta e quando não podemos, ou seja, saber o domínio de uma função comoVamos supor que conhecemos os domínios das funçõeseseparadamente. Se escrevermos a função composta para uma entradaComopodemos ver imediatamente quedeve ser um membro do domínio depara que a expressão seja significativa, caso contrário, não poderemos concluir a avaliação da função interna. No entanto, também vemos quedeve ser um membro do domínio decaso contrário, a avaliação da segunda função emnão pode ser concluído e a expressão ainda está indefinida. Assim, o domínio deconsiste apenas nas entradas no domínio deque produzem resultados depertencente ao domínio deObserve que o domínio decomposto comé o conjunto de todosde tal modo queestá no domínio deeestá no domínio de

O domínio de uma função compostaé o conjunto dessas entradasno domínio depara qualestá no domínio de

Dada uma composição de funçãodeterminar seu domínio.

  1. Encontre o domínio de
  2. Encontre o domínio de
  3. Encontre essas entradasno domínio depara qualestá no domínio deOu seja, exclua essas entradasdo domínio depara qualnão está no domínio deO conjunto resultante é o domínio de

O domínio deconsiste em todos os números reais, excetouma vez que esse valor de entrada nos faria dividir por 0. Da mesma forma, o domínio deconsiste em todos os números reais, exceto 1. Portanto, precisamos excluir do domínio deaquele valor depara qual

Portanto, o domínio deé o conjunto de todos os números reais, excetoeIsso significa que

Podemos escrever isso em notação de intervalo como

Porque não podemos tirar a raiz quadrada de um número negativo, o domínio deéAgora vamos verificar o domínio da função composta

Para já que o radical de uma raiz quadrada deve ser positivo. Como as raízes quadradas são positivas, ou, o que dá um domínio de .

Este exemplo mostra que o conhecimento da gama de funções (especificamente a função interna) também pode ser útil para encontrar o domínio de uma função composta. Também mostra que o domínio depode conter valores que não estão no domínio deembora devam estar no domínio de

Decompondo uma função composta em suas funções de componente

Em alguns casos, é necessário decompor uma função complicada. Em outras palavras, podemos escrevê-lo como uma composição de duas funções mais simples. Pode haver mais de uma maneira de decompor uma função composta, portanto, podemos escolher a decomposição que parece ser mais conveniente.

Escrevacomo a composição de duas funções.

Estamos procurando duas funções,eassimPara fazer isso, procuramos uma função dentro de uma função na fórmula paraComo uma possibilidade, podemos notar que a expressãoé o interior da raiz quadrada. Podemos então decompor a função como

Podemos verificar nossa resposta recompondo as funções.

Escrevacomo a composição de duas funções.

Acesse esses recursos online para obter instruções e práticas adicionais com funções compostas.

Equação Chave

Função composta

Conceitos chave

  • Podemos realizar operações algébricas em funções. Veja a figura).
  • Quando as funções são combinadas, a saída da primeira função (interna) torna-se a entrada da segunda função (externa).
  • A função produzida pela combinação de duas funções é uma função composta. Veja (Figura) e (Figura).
  • A ordem de composição da função deve ser considerada ao interpretar o significado das funções compostas. Veja a figura).
  • Uma função composta pode ser avaliada avaliando a função interna usando o valor de entrada fornecido e, em seguida, avaliando a função externa tomando como sua entrada a saída da função interna.
  • Uma função composta pode ser avaliada a partir de uma tabela. Veja a figura).
  • Uma função composta pode ser avaliada a partir de um gráfico. Veja a figura).
  • Uma função composta pode ser avaliada a partir de uma fórmula. Veja a figura).
  • O domínio de uma função composta consiste naquelas entradas no domínio da função interna que correspondem às saídas da função interna que estão no domínio da função externa. Veja (Figura) e (Figura).
  • Assim como as funções podem ser combinadas para formar uma função composta, as funções compostas podem ser decompostas em funções mais simples.
  • Freqüentemente, as funções podem ser decompostas de mais de uma maneira. Veja a figura).

Exercícios de seção

Verbal

Como encontrar o domínio do quociente de duas funções,

Encontre os números que fazem a função no denominadorigual a zero e verifique se há outras restrições de domínio emecomo uma raiz indexada par ou zeros no denominador.

Qual é a composição de duas funções,

Se a ordem for invertida ao compor duas funções, o resultado pode ser o mesmo que a resposta na ordem original da composição? Se sim, dê um exemplo. Se não, explique por que não.

sim. Exemplo de resposta: DeixeEntãoeEntão

Como você encontra o domínio para a composição de duas funções,

Algébrico

Para os exercícios a seguir, determine o domínio de cada função na notação de intervalo.

Dadoeencontrare

domínio:

domínio:

domínio:

domínio:

Dadoeencontrare

Dadoeencontrare

domínio:

domínio:

domínio:

domínio:

Dadoeencontrare

Dado eencontrare

domínio:

domínio:

domínio:

domínio:

Dadoeencontrar

Para o seguinte exercício, encontre a função indicada fornecidae

uma. 3 b.c.d.e.

Para os exercícios a seguir, use cada par de funções para encontrareSimplifique suas respostas.

Para os exercícios a seguir, use cada conjunto de funções para encontrarSimplifique suas respostas.

e

e

Dadoeencontre o seguinte:

  1. o domínio deem notação de intervalo
  2. o domínio de

Dadoeencontre o seguinte:

  1. o domínio deem notação de intervalo

uma.b.

Dadas as funçõesencontre o seguinte:

Funções dadaseindique o domínio de cada uma das seguintes funções usando a notação de intervalo:

uma.b.c.

Funções dadaseindique o domínio de cada uma das funções a seguir usando a notação de intervalo.

Paraeescreva o domínio deem notação de intervalo.

Para os exercícios a seguir, encontre funçõeseentão a função dada pode ser expressa como

amostra:

amostra:

amostra:

amostra:

amostra:

amostra:

amostra:

amostra:

Gráfico

Para os exercícios a seguir, use os gráficos demostrado na (Figura), emostrado na (Figura), para avaliar as expressões.

Para os exercícios a seguir, use gráficos demostrado na (Figura),mostrado na (Figura), emostrado na (Figura), para avaliar as expressões.

Numérico

Para os exercícios a seguir, use os valores da função paramostrado na (Figura) para avaliar cada expressão.

0 7 9
1 6 5
2 5 6
3 8 2
4 4 1
5 0 8
6 2 7
7 1 3
8 9 4
9 3 0

Para os exercícios a seguir, use os valores da função paramostrado na (Figura) para avaliar as expressões.


1.4.4E: Composição de Funções

As funções são como caixas ou máquinas que recebem alguma entrada, fazem algum processamento nela e descartam a saída. Normalmente, eles recebem a entrada em algum formato numérico e fornecem uma saída. As funções são muito importantes e são usadas com muita frequência no campo da matemática. Eles nos permitem definir algum processamento matemático em uma caixa e então usar essa caixa onde quisermos, sem pensar sobre os cálculos repetidamente. Desta forma, eles simplificam nosso processo de cálculo e pensamento para construir coisas complexas.

Funções

A função pode ser definida como uma regra que opera em algum número matemático para nos dar uma saída. No entanto, não é necessário que toda regra que opera em alguns números para dar alguma saída possa ser colocada na categoria de funções. Existem certas condições que a regra deve satisfazer para ser chamada de função.

Uma função é uma regra que mapeia um número de entrada para outro número que é chamado de saída da função.

Por exemplo, f (x) = x + 3 pode ser considerado uma função, recebe uma entrada, incrementa-a em 3 e fornece a saída. O número & # 8220x & # 8221 é chamado de argumento da função. Quando o argumento é escolhido como x = 2, a função fornece uma saída de 5.

Parece que qualquer número pode ser escolhido como argumento, mas não é o caso. Vamos nos concentrar nesse caso mais tarde.

Gráfico de uma função

O gráfico da função pode ser traçado tomando diferentes valores de entrada e encontrando a saída da função sobre eles. Vamos considerar uma função

f (-2) = 4, f (-1) = 1, f (0) = 0, f (1) = 1 e f (2) = 4. Agora, deixe & # 8217s plotar esses valores no gráfico.

Domínio e intervalo de uma função

Uma função não pode ter um valor de entrada fornecendo duas saídas. Isso viola a definição de uma função. Existem certos valores que podem ser dados como entrada para a função e a função fornece saídas correspondentes. Ao decidir quais valores são válidos como entrada, precisamos ter em mente que em qualquer uma das entradas, a função não deve se tornar indefinida ou fornecer números imaginários na saída.

Domínio: Conjunto de todas as entradas possíveis para a função.

Alcance: Conjunto de saídas correspondentes pela função.


Por exemplo, vamos & # 8217s considerar a função f (x) =

Agora sabe-se que as raízes quadradas não podem receber zero como entrada. Assim, o domínio da função são todos os valores reais, exceto zero, ou seja R & # 8211. A saída da função pode ser qualquer coisa, portanto, o intervalo é todos os números reais, ou seja R.

Composição de Funções

Funções complicadas podem ser construídas a partir de funções aparentemente simples, usando o processo de composição. Nesse processo, a saída de uma função é fornecida como entrada para outra função. Considere duas funções, f e g. Uma composição dessas duas funções pode ser,

Isso significa que a entrada é dada para f (x) e sua saída é dada como entrada para g (x). Outra forma de composição pode ser,

No caso, f (x) = x 2 e g (x) = x + 3. A composição g (f (x)) será,

Da mesma forma, f (g (x)) = f (x + 3) = (x + 3) 2

Observe que g (f (x)) não é igual af (g (x)). A composição da função também é chamada de função de uma função.

Domínio e gama de composição de funções

Não é possível compor quaisquer duas funções, algumas funções não podem ser compostas juntas, por exemplo, vamos & # 8217s dizer f (x) = ln (x) e g (x) = -x 2. Se tentarmos compor f (g (x)), não é possível, pois a função logarítmica não pode assumir valores de entrada negativos, portanto f (g (x)) não é possível. Portanto, há certas coisas que devem ser mantidas em mente ao decidir sobre a composição da função.

Em outro caso, vamos & # 8217s dizer f (x) = √x e g (x) = log (x). Nesse caso, o domínio de f (x) são números reais positivos. Portanto, no caso, f (g (x)), precisamos nos certificar de que log (x) não forneça valores negativos como saídas. Portanto, o intervalo de f (x) deve estar dentro do domínio de g (x).

  1. No caso de f (g (x)), o intervalo de g (x) deve estar dentro do domínio de f (x).
  2. O domínio de g (x) deve ser modificado de forma que o intervalo de g (x) fique dentro do domínio de f (x).

Vejamos alguns problemas com esses conceitos.

Problemas de amostra

Questão 1: Para as funções fornecidas f (x) = e x e g (x) = x 2 + 1. Descubra os valores de f (g (x) e g (f (x)).

O domínio de ambas as funções são números reais, portanto, não há necessidade de modificar o domínio para a primeira função em qualquer caso.

névoa (x)

f (g (x))



⇒ f (x 2 + 1)

gof (x)

g (f (x))

⇒g (e x)

⇒ (e x) 2 + 1

⇒ e 2x + 1

Questão 2: para as funções fornecidas f (x) = x 3 e g (x) = x 2 + 1. Descubra os valores de f (g (x) e g (f (x)).

O domínio de ambas as funções são números reais, portanto, não há necessidade de modificar o domínio para a primeira função em qualquer caso.

névoa (x)

f (g (x))

⇒ f (x 2 + 1)

⇒ (x 2 +1) 3

gof (x)

g (f (x))

⇒g (x 3)

⇒ (x 3) 2 + 1

⇒ x 6 + 1

Pergunta 3: para as funções fornecidas f (x) = 2x e g (x) = x 2 + 1. Descubra os valores de f (g (x) e g (f (x)) em x = 2.

O domínio de ambas as funções são números reais, portanto, não há necessidade de modificar o domínio para a primeira função em qualquer caso.

névoa (x)

f (g (x))

⇒ f (x 2 + 1)

⇒ 2 (x 2 + 1)

Em x = 2

f (g (x)) = 2 (4 + 1)

⇒f (g (x)) = 10

gof (x)



g (f (x))

⇒g (2x)

⇒ (2x) 2 + 1

⇒ 4x 4 + 1

Em x = 2

⇒ 4(2 4 ) + 1

⇒ 4(16) + 1

⇒ 65

Pergunta 4: para as funções fornecidas f (x) = sin (x) e g (x) = x 2. Descubra o domínio e o alcance de fog (x) e gof (x).

f (x) tem domínio como todos os números reais e intervalo [-1,1]. Enquanto g (x) tem domínio de todos os números reais e intervalo R +.

névoa (x)

O domínio contém todos os números reais, o intervalo também inclui todos os números reais

gof (x).

O domínio é composto de todos os números reais, o intervalo está entre 0 e 1.

Questão 5: para as funções fornecidas f (x) = √x e g (x) = 3x. Descubra o domínio e o alcance de fog (x) e gof (x).

f (x) tem domínio, pois todos os números positivos reais e o intervalo são todos números reais. Enquanto g (x) tem domínio de todos os números reais e intervalo R +.

névoa (x)

O domínio é de números reais positivos porque a saída de g (x) não deve ser negativa. O intervalo é todos os números reais

gof (x).

O domínio são todos os números reais, a faixa é todos os números reais.

Questão 6: para as funções fornecidas f (x) = log (x) e g (x) = x + 1.Descubra os valores de f (g (x) e g (f (x)).

O domínio de ambos f (x) são todos números positivos, ou seja, R + e o intervalo são todos números reais. O domínio e o intervalo de g (x) são todos números reais.

f (g (x))

Ao fazer isso, o domínio de f (x) deve ser mantido em mente. A saída de g (x) deve ser sempre positiva.

x + 1> 0

⇒ x> -1. Então, o domínio é (-1, ∞)

f (g (x))

⇒ f (x + 1)

⇒ log (x + 1)

O intervalo é composto por todos os números reais.

gof (x)

g (f (x))

⇒g (log (x))

⇒log (x) + 1

O domínio é R + e o intervalo é composto por todos os números reais.


Funções compostas

Aulas com vídeos, exemplos e soluções olhando para a composição de funções ou funções compostas.

O que é uma função composta?

Uma função composta é uma função que depende de outra função. Uma função composta é criada quando uma função é substituída por outra função.

Por exemplo, f (g (x)) é a função composta que é formada quando g (x) é substituído por x em f (x).
f (g (x)) é lido como "f de g de x”.
f (g (x)) também pode ser escrito como (f ∘ g) (x) ou fg (x),
Na composição (f ∘ g) (x), o domínio de f se torna g (x).

O diagrama a seguir mostra alguns exemplos de funções compostas. Role a página para baixo para obter mais exemplos e soluções.

Funções compostas

Esta lição explica o conceito de funções compostas. Um exemplo é dado demonstrando como trabalhar algebricamente com funções compostas e outro exemplo envolve um aplicativo que usa a composição de funções.

  1. Se f (x) = x + 5 e g (x) = 3x 2 encontre
    (a) (f ∘ g) (x)
    (b) (f ∘ g) (2)
    (c) g (f (x))
  2. Uma empresa jornalística cria rotas com 50 assinantes (n) para cada entregador (d). Há um (s) supervisor (es) para cada 10 entregadores.
    (a) Escreva d como uma função de n.
    (b) Escreva s como uma função de d.
    (c) Substitua para escrever s como uma função de n.

Como determinar o valor de uma função composta e como determinar uma função composta com duas funções?

  1. Dadas as funções, determine o valor de cada função composta.
    f (x) = 2x - 1, g (x) = x 3 - 5, h (x) = 5 - x 2
    (a) (f ∘ g) (3)
    (b) (g ∘ f) (3)
    (c) (h ∘ g) (- 1)
  2. Dadas as funções, determine o valor de cada função composta.
    f (x) = 4x + 1, g (x) = x 2 - x + 5
    (a) (f ∘ g) (x)
    (b) (g ∘ f) (x)

Como encontrar a composição das funções?

Exemplo:
f (x) = x 2 + x e g (x) = 4 - x
Encontrar
(a) (f ∘ g) (x)
(b) (g ∘ f) (x)

Qual é a composição de duas funções?

Exemplo:
f (x) = 2x 4 + x 4 + 1, g (x) = √x
Encontre f (g (x))

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A composição de funções é um método para combinar funções existentes. Outro método é realizar as operações algébricas usuais nas funções, incluindo adição, subtração, multiplicação e divisão.

Fazemos isso executando as operações com as saídas da função, definindo o resultado como a saída de nossa nova função.

Por exemplo, quando precisamos adicionar 2 colunas de números que representam os salários anuais separados do pai e da mãe ao longo de um período de anos, com o resultado sendo sua renda familiar total.

Queremos fazer isso a cada ano, adicionando apenas os salários daquele ano e, em seguida, coletando todos os dados em uma nova coluna.

Se F (x) é o salário do pai e M (x) é o salário da mãe no ano x, e queremos que A represente a renda total, então podemos definir uma nova função.

Se isso for verdade para todos os anos, então podemos nos concentrar na relação entre as funções sem referência a um ano e escrever

Assim como para essa soma de 2 funções, podemos definir funções de produto, diferença e razão de amp para qualquer par de funções que tenham os mesmos tipos de entradas (nem sempre números) e os mesmos tipos de saídas. Desta forma, podemos pensar em adicionar, subtrair, multiplicar e dividir funções.

& # 8220Function Composition & # 8221 está aplicando uma função aos resultados de outra:

f(x) → g(x) →

O resultado de f () é enviado através de g ()

x& # 8221 é apenas um espaço reservado. Para evitar confusão, vamos & # 8217s apenas chamá-lo de & # 8220input & # 8221:

Primeiro nós aplicamos f, então aplique g para aquele resultado:

E se invertermos a ordem de f e g?

Primeiro nós aplicamos g, então aplique f para aquele resultado:

Quando invertemos a ordem, o resultado raramente é o mesmo.

Tenha cuidado com a função que vem primeiro.


Composição, estrutura e função do estroma corneano

Nenhum outro tecido do corpo depende mais da composição e organização da matriz extracelular (ECM) para a estrutura e função normais do que o estroma corneano. A disposição e orientação precisas das fibrilas de colágeno, lamelas e ceratócitos que ocorrem durante o desenvolvimento e são necessárias em adultos para manter a função do estroma depende da interação regulada de vários componentes da MEC que contribuem para atingir as propriedades únicas da córnea: transparência, forma, resistência mecânica e avascularidade. Esta revisão resume a contribuição dos diferentes componentes da MEC, sua estrutura, regulação e função na modulação das propriedades do estroma corneano. Colágenos formadores de fibrila (I, III, V), colágenos associados a fibrilas com hélices triplas interrompidas (XII e XIV), colágenos formadores de rede (IV, VI e VIII), bem como pequenos proteoglicanos ricos em leucina (SLRP) expressos no estroma: decorin, biglycan, lumican, keratocan e fibromodulin são alguns dos componentes da ECM revisados ​​neste manuscrito. Existem diferenças espaciais e temporais na expressão desses componentes da MEC, bem como interações entre eles que contribuem para a função estromal. Regiões únicas dentro do estroma, como a camada de Bowman e a camada de Descemet, são discutidas. Definir a complexidade da composição e estrutura do estroma corneano, bem como a relação com a função, é uma tarefa difícil. Nosso conhecimento está se expandindo e esperamos que esta revisão forneça uma visão geral abrangente do conhecimento atual, definição de lacunas e sugira direções de pesquisas futuras.

Palavras-chave: Fibras de colágeno Composição dos Colágenos Córnea Proteoglicanos Estrutura do Estroma.

Copyright © 2020 os autores. Publicado pela Elsevier Ltd .. Todos os direitos reservados.


Perguntas sobre funções compostas com soluções

Perguntas sobre a composição de funções são apresentadas e suas soluções detalhadas discutidas. Essas perguntas foram elaboradas para ajudá-lo a aprofundar sua compreensão do conceito de funções compostas, bem como para desenvolver as habilidades computacionais necessárias ao resolver questões relacionadas a essas funções.

Questão 1

Solução para a pergunta 1:

Questão 2

Solução para a pergunta 2:

  • Use a definição da função composta para escrever
    (f o g) (3) = f (g (3))
  • Substitua g (3) por seu valor dado 2 e avalie f (2)
    (f o g) (3) = f (2) = 3

Questão 3

Solução para a pergunta 3:

  • Use a definição da função composta para escrever
    (g o f) (x) = g (f (x))
    = ln (1 - f (x) 2)
    = ln (1 - & # 8730 (x + 2) 2)
    = ln (1 - (x + 2))
    = ln (- x - 1)
  • O domínio de g o f é o conjunto de todos os valores de x de modo que a) x está no domínio de f e b) f (x) está no domínio de g
    condição a) é escrita da seguinte forma: x + 2 & # 8805 0
    ou x & # 8805 -2 ou na forma de intervalo [-2, + & # 8734)
    condição b) é escrita da seguinte forma: 1 - f (x) 2> 0
    ou -x - 1> 0
    ou x & lt -1 ou na forma de intervalo (- & # 8734, -1)
  • O domínio de g o f é dado pela interseção dos conjuntos [-2, + & # 8734) e (- & # 8734, -1) e é dado por
    [-2 , -1)

Questão 4

Solução para a pergunta 4:

    Use a definição da função composta para encontrar

Questão 5

Solução para a pergunta 5:

  • A função composta F (x) é dada por
    F (x) = ln (ln (x))
  • Seja u (x) = ln (x) de modo que F (x) seja escrito
    F (x) = ln (u (x))
  • Agora usamos a regra da cadeia para diferenciar F (x)
    F '(x) = [d ln (u) / du] * du / dx = [1 / u] * [1 / x]
    = 1 / [x ln (x)]

Questão 6

Solução para a pergunta 6:

  • Uma possibilidade é escrever f e g da seguinte forma
    f (x) = | x | e g (x) = 4 x 2 + 2x - 5
  • de modo a
    F (x) = f (g (x)) = (f o g) (x)

Questão 7

Solução para a pergunta 7:

  • Se g (x) = 1 / x e F (x) = (1 / x) / (1 + x) e
    f (x) = x / (1 + 1 / x)
  • Então F (x) pode ser escrito como a função composta
    F (x) = f (g (x)) = (f o g) (x)

Questão 8

Solução para a pergunta 8:

  • Para x & lt 0, temos
    g (f (x)) = & # 8730x e não é um número real.
  • Para x & # 8805 0
    g (f (x)) = & # 8730 (x 2) = | x | = x
  • Portanto, g (f (x)) é definido como segue
    g (f (x)) = x para x & # 8805 0

Questão 9

Solução para a pergunta 9:

  • Falso. Experimente f (x) = x + 1 e g (x) = x 2
    f (g (x)) = x 2 + 1
    g (f (x)) = (x + 1) 2
  • Em geral, f (g (x)) e g (f (x)) não são iguais.

Questão 10

Solução para a pergunta 10:

  • Primeiro encontramos h (1)
    h (1) = - 1
  • Agora encontramos g (-1)
    g (-1) = -2
  • Finalmente f (-2) é indefinido, pois a divisão por zero não é permitida. Portanto, f (g (h (1))) é indefinido e x = 1 não está no domínio de f (g (h (x)))

Exercícios

  1. Avalie f (g (3)) dado que
    f (x) = | x - 6 | + x 2 - 1 e g (x) = 2x
  2. Encontre f (x) e g (x) se a função composta
    f (g (x)) = 2 seg (2x + 1)
  3. Encontre o domínio da função composta
    g o f se f (x) = & # 8730x e g (x) = 1 / x.
  4. Encontre o intervalo da função composta f (g (x)) dado que
    f (x) = x + 4 e g (x) = x 2 + 2
  5. Encontre a função composta (f o g) (x) dado que
    f = <(3,6), (5,7), (9,0)> e g = <(2,3), (4,5), (6,7)>
  6. Encontre a função composta (f o g) (x) dado que
    f = <(1,6), (4,7), (5,0)> e g =

Respostas aos exercícios acima:

  1. 35
  2. Uma possibilidade: f (x) = 2 seg (x) e g (x) = 2x + 1.
  3. [0, 4) U (4, + & # 8734)
  4. [6 , + ∞)
  5. f o g) = <(2, 6), (4, 7)>
  6. f o g =

10 Código dos EUA § 8062 - Marinha dos Estados Unidos: funções de composição

2016 — Subsec. (e). Bar. L. 114–328 subsec. (e).

2006 — Subsec. (b). Bar. L. 109-364 substituiu “11” por “12”.

Bar. L. 109–163, § 126 (a) (2), subseção adicionada. (b). Antigo subsec. (b) redesignado (c).

Subsecs. (CD). Bar. L. 109-163, § 126 (a) (1), subseções redesignadas. (b) e (c) como (c) e (d), respectivamente.

Subsec. (uma). Bar. L. 99-433, § 511 (b) (4) (A), substituído "atribuído e, de acordo com planos de mobilização conjunta integrada, para a expansão dos componentes em tempo de paz da Marinha para atender às necessidades de guerra" por " designado e é geralmente responsável pelo reconhecimento naval, guerra anti-submarino e proteção da navegação ”.

Subsec. (d). Bar. L. 99-433, § 511 (b) (4) (B), eliminado subsec. (d) que se relacionava com a responsabilidade pela expansão dos componentes navais em tempos de paz para atender às necessidades da guerra.

Alteração do Pub. L. 115–232 em vigor em 1º de fevereiro de 2019, com disposição para a coordenação de emendas e regra especial para certas reformulações, consulte a seção 800 da Pub. L. 115–232, apresentado como uma nota antes da seção 3001 deste título.


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