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7.3.3E: Identidades de Ângulo Duplo (Exercícios) - Matemática


Seção 7.3 Exercícios

1. Se ( sin left (x right) = dfrac {1} {8} ) e (x ) está no quadrante I, encontre os valores exatos para (sem resolver para (x ) ):

uma. ( sin left (2x right) )
b. ( cos left (2x right) )
c. ( tan left (2x right) )

2. Se ( cos left (x right) = dfrac {2} {3} ) e (x ) está no quadrante I, encontre os valores exatos para (sem resolver para (x ) ):

uma. ( tan left (2x right) )

Simplifique cada expressão.

3. ( cos ^ {2} left (28 {} ^ circ right) - sin ^ {2} (28 {} ^ circ) )

4. (2 cos ^ {2} left (37 {} ^ circ right) -1 )

5. (1-2 sin ^ {2} (17 {} ^ circ) )

6. ( cos ^ {2} left (37 {} ^ circ right) - sin ^ {2} (37 {} ^ circ) )

7. ( cos ^ {2} left (9x right) - sin ^ {2} (9x) )

8. ( cos ^ {2} left (6x right) - sin ^ {2} (6x) )

9. (4 sin left (8x right) { rm cos} (8x) )

10. (6 sin left (5x right) { rm cos} (5x) )

Resolva para todas as soluções no intervalo ([0, 2 pi) ).

11. (6 sin left (2t right) +9 sin left (t right) = 0 )

12. (2 sin left (2t right) +3 cos left (t right) = 0 )

13. (9 cos left (2 theta right) = 9 cos ^ {2} left ( theta right) -4 )

14. (8 cos left (2 alpha right) = 8 cos ^ {2} left ( alpha right) -1 )

15. ( sin left (2t right) = cos left (t right) )

16. ( cos left (2t right) = sin left (t right) )

17. ( cos left (6x right) - cos left (3x right) = 0 )

18. ( sin left (4x right) - sin left (2x right) = 0 )

Use um ângulo duplo, meio ângulo ou fórmula de redução de potência para reescrever sem expoentes.

19. ( cos ^ {2} (5x) )

20. ( cos ^ {2} (6x) )

21. ( sin ^ {4} (8x) )

22. ( sin ^ {4} left (3x right) )

23. ( cos ^ {2} x sin ^ {4} x )

24. ( cos ^ {4} x sin ^ {2} x )

25. Se ( csc left (x right) = 7 ) e (90 {} ^ circ

uma. ( sin left ( dfrac {x} {2} right) )
b. ( cos left ( dfrac {x} {2} right) )
c. ( tan left ( dfrac {x} {2} right) )

26. Se ( sec left (x right) = 4 ) e (270 {} ^ circ

uma. ( tan left ( dfrac {x} {2} right) )

Prove a identidade.

27. ( left ( sin t- cos t right) ^ {2} = 1- sin left (2t right) )

28. ( left ( sin ^ {2} x-1 right) ^ {2} = cos left (2x right) + sin ^ {4} x )

29. ( sin left (2x right) = dfrac {2 tan left (x right)} {1+ tan ^ {2} left (x right)} )

30. ( tan left (2x right) = dfrac {2 sin left (x right) cos left (x right)} {2 cos ^ {2} left (x direita) -1} )

31. ( cot left (x right) - tan left (x right) = 2 cot left (2x right) )

32. ( dfrac { sin left (2 theta right)} {1+ cos left (2 theta right)} = tan left ( theta right) )

33. ( cos left (2 alpha right) = dfrac {1- tan ^ {2} left ( alpha right)} {1+ tan ^ {2} left ( alpha certo)})

34. ( dfrac {1+ cos left (2t right)} { sin left (2t right) - cos left (t right)} = dfrac {2 cos left ( t direita)} {2 sin esquerda (t direita) -1} )

35. ( sin left (3x right) = 3 sin left (x right) cos ^ {2} left (x right) - sin ^ {3} (x) )

36. ( cos left (3x right) = cos ^ {3} (x) -3 sin ^ {2} (x) cos left (x right) )

Responder

1. a. ( dfrac {3 sqrt {7}} {32} )
b. ( dfrac {31} {32} )
c. ( dfrac {3 sqrt {7}} {31} )

3. ( cos (56 ^ { circ}) )

5. ( cos (34 ^ { circ}) )

7. ( cos (18x) )

9. (2 sin (16x) )

11. 0, ( pi ), 2,4189,3,8643

13. 0.7297, 2.4119, 3.8713, 5.5535

15. ( dfrac { pi} {6} ), ( dfrac { pi} {2} ), ( dfrac {5 pi} {6} ), ( dfrac { 3 pi} {2} )

17. ( dfrac {2 pi} {9} ), ( dfrac {4 pi} {9} ), ( dfrac {8 pi} {9} ), ( dfrac {10 pi} {9} ), ( dfrac {14 pi} {9} ), ( dfrac {16 pi} {9} ), 0, ( dfrac {2 pi} {3} ), ( dfrac {4 pi} {3} )

19. ( dfrac {1 + cos (10x)} {2} )

21. ( dfrac {3} {8} - dfrac {1} {2} cos (16x) + dfrac {1} {8} cos (32x) )

23. ( dfrac {1} {16} - dfrac {1} {16} cos (2x) + dfrac {1} {16} cos (4x) - dfrac {1} {16} cos (2x) cos (4x) )

25. ( sqrt { dfrac {1} {2} + dfrac {2 + sqrt {7}} {7}} )
b. ( sqrt { dfrac {1} {2} - dfrac {2 + sqrt {7}} {7}} )
c. ( dfrac {1} {7 - 4 sqrt {3}} )


Math Comic # 186 - & quotThe Tan Gent & quot (4-17-15)

Há uma diferença significativa entre sin2x e 2sinx.

Esta página oferece notas sobre identidades de ângulo duplo, bem como fórmulas, explicações e exercícios práticos (com soluções).

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7.3 Fórmulas de duplo ângulo, meio ângulo e redução

Na seção anterior, usamos fórmulas de adição e subtração para funções trigonométricas. Agora, vamos dar uma outra olhada nessas mesmas fórmulas. As fórmulas de ângulo duplo são um caso especial das fórmulas de soma, onde α = β. α = β. Derivar a fórmula de ângulo duplo para seno começa com a fórmula da soma,

Derivar o ângulo duplo para o cosseno nos dá três opções. Primeiro, partindo da fórmula da soma, cos (α + β) = cos α cos β - sen α sin β, cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β, e deixando α = β = θ, α = β = θ, temos

Usando as propriedades pitagóricas, podemos expandir esta fórmula de ângulo duplo para cosseno e obter mais duas interpretações. O primeiro é:

A segunda interpretação é:

Da mesma forma, para derivar a fórmula de ângulo duplo para tangente, substituindo α = β = θ α = β = θ na fórmula de soma dá

Fórmulas de ângulo duplo

As fórmulas de ângulo duplo são resumidas da seguinte forma:

Como

Dada a tangente de um ângulo e o quadrante no qual ele está localizado, use as fórmulas de ângulo duplo para encontrar o valor exato.

  1. Desenhe um triângulo para refletir as informações fornecidas.
  2. Determine a fórmula correta do ângulo duplo.
  3. Substitua os valores na fórmula com base no triângulo.
  4. Simplificar.

Exemplo 1

Usando uma fórmula de ângulo duplo para encontrar o valor exato envolvendo a tangente

Solução

Agora podemos desenhar um triângulo semelhante ao mostrado na Figura 2.

Novamente, substitua os valores do seno e cosseno na equação e simplifique.

Nesta fórmula, precisamos da tangente, que nos foi dada como tan θ = - 3 4. tan θ = - 3 4. Substitua esse valor na equação e simplifique.

Exemplo 2

Usando a fórmula de ângulo duplo para cosseno sem valores exatos

Use a fórmula de ângulo duplo para cosseno para escrever cos (6 x) cos (6 x) em termos de cos (3 x). cos (3 x).

Solução

Análise

Este exemplo ilustra que podemos usar a fórmula de ângulo duplo sem ter valores exatos. Ele enfatiza que o padrão é o que precisamos lembrar e que as identidades são verdadeiras para todos os valores no domínio da função trigonométrica.

Usando Fórmulas de Ângulo Duplo para Verificar Identidades

O estabelecimento de identidades usando as fórmulas de ângulo duplo é executado usando as mesmas etapas que usamos para derivar as fórmulas de soma e diferença. Escolha o lado mais complicado da equação e reescreva-o até que corresponda ao outro lado.

Exemplo 3

Usando as Fórmulas de Ângulo Duplo para Estabelecer uma Identidade

Estabeleça a seguinte identidade usando fórmulas de ângulo duplo:

Solução

Trabalharemos no lado direito do sinal de igual e reescreveremos a expressão até que corresponda ao lado esquerdo.

Análise

Este processo não é complicado, contanto que nos lembremos da fórmula do quadrado perfeito da álgebra:

Estabeleça a identidade: cos 4 θ - sen 4 θ = cos (2 θ). cos 4 θ - sen 4 θ = cos (2 θ).

Exemplo 4

Verificando uma Identidade de Ângulo Duplo para Tangente

Solução

Nesse caso, trabalharemos com o lado esquerdo da equação e simplificaremos ou reescreveremos até que se iguale ao lado direito da equação.

Análise

Aqui está um caso em que o lado mais complicado da equação inicial apareceu à direita, mas optamos por trabalhar o lado esquerdo. No entanto, se tivéssemos escolhido o lado esquerdo para reescrever, estaríamos trabalhando ao contrário para chegar à equivalência. Por exemplo, suponha que queremos mostrar

Vamos trabalhar do lado direito.

Ao usar as identidades para simplificar uma expressão trigonométrica ou resolver uma equação trigonométrica, geralmente existem vários caminhos para um resultado desejado. Não existe uma regra definida sobre qual lado deve ser manipulado. No entanto, devemos começar com as diretrizes estabelecidas anteriormente.

Verifique a identidade: cos (2 θ) cos θ = cos 3 θ - cos θ sen 2 θ. cos (2 θ) cos θ = cos 3 θ - cos θ sen 2 θ.

Use fórmulas de redução para simplificar uma expressão

As fórmulas de ângulo duplo podem ser usadas para derivar as fórmulas de redução, que são fórmulas que podemos usar para reduzir a potência de uma dada expressão envolvendo potências pares de seno ou cosseno. Eles nos permitem reescrever as potências pares de seno ou cosseno em termos da primeira potência do cosseno. Essas fórmulas são especialmente importantes em cursos de matemática de nível superior, cálculo em particular. Também chamadas de fórmulas de redução de energia, três identidades são incluídas e são facilmente derivadas das fórmulas de ângulo duplo.

Podemos usar duas das três fórmulas de ângulo duplo para cosseno para derivar as fórmulas de redução para seno e cosseno. Vamos começar com cos (2 θ) = 1 - 2 sen 2 θ. cos (2 θ) = 1 - 2 sen 2 θ. Resolva para sin 2 θ: sin 2 θ:

Em seguida, usamos a fórmula cos (2 θ) = 2 cos 2 θ - 1. cos (2 θ) = 2 cos 2 θ - 1. Resolva para cos 2 θ: cos 2 θ:

A última fórmula de redução é derivada escrevendo tangente em termos de seno e cosseno:


Exemplo trabalhado 8: Identidades de ângulo duplo

Para quais valores de ( theta ) a identidade não é válida?

Considere as expressões fornecidas

O lado direito (RHS) da identidade não pode ser simplificado, portanto, simplificamos o lado esquerdo (LHS). Notamos também que a função trigonométrica no RHS não tem uma dependência (2 theta ), portanto, precisaremos usar as fórmulas de ângulo duplo para simplificar ( sin2 theta ) e ( cos2 theta ) no LHS.

Prove que o lado esquerdo é igual ao lado direito

Identifique os valores restritos de ( theta )

Sabemos que ( tan theta ) é indefinido para ( theta = text <90> & # 176 + k cdot text <180> & # 176, k in mathbb).

Observe que a divisão por zero no LHS não é permitida, portanto, a identidade também será indefinida para:

começar 1 + cos theta + cos2 theta & amp = 0 cos theta left (1 + 2 cos theta right) & amp = 0 portanto cos theta = 0 & amp text < ou> 1 + 2 cos theta = 0 & amp text cos theta = 0, quad theta & amp = text <90> & # 176 + k cdot text <180> & # 176 & amp text 1 + 2 cos theta = 0, quad cos theta & amp = - frac <1> <2> portanto theta & amp = text <120> & # 176 + k cdot text < 360> & # 176 text theta & amp = text <240> & # 176 + k cdot text <360> & # 176 end


Identidades de ângulo duplo



Exemplos, soluções, vídeos, planilhas, jogos e atividades para ajudar os alunos do PreCalculus a aprender sobre as identidades de ângulo duplo.

O diagrama a seguir fornece as identidades de ângulo duplo. Role a página para baixo para mais exemplos e soluções.

O que são identidades de ângulo duplo ou fórmulas de ângulo duplo?
sen (2x) = 2sin (x) cos (x)
cos (2x) = cos 2 (x) - sen 2 (x) = 1 - 2sin 2 (x) = 2cos 2 (x) - 1

Como usar as identidades de ângulo duplo ou fórmulas de ângulo duplo?
Fórmulas de ângulo duplo
Alguns exemplos que usam fórmulas de ângulo duplo de trigonometria.

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9.3 Fórmulas de ângulo duplo, meio ângulo e redução

Na seção anterior, usamos fórmulas de adição e subtração para funções trigonométricas. Agora, vamos dar uma outra olhada nessas mesmas fórmulas. As fórmulas de ângulo duplo são um caso especial das fórmulas de soma, onde α = β. α = β. Derivar a fórmula de ângulo duplo para seno começa com a fórmula da soma,

Derivar o ângulo duplo para o cosseno nos dá três opções. Primeiro, partindo da fórmula da soma, cos (α + β) = cos α cos β - sen α sin β, cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β, e deixando α = β = θ, α = β = θ, temos

Usando as propriedades pitagóricas, podemos expandir esta fórmula de ângulo duplo para cosseno e obter mais duas variações. A primeira variação é:

Da mesma forma, para derivar a fórmula de ângulo duplo para tangente, substituindo α = β = θ α = β = θ na fórmula de soma dá

Fórmulas de ângulo duplo

As fórmulas de ângulo duplo são resumidas da seguinte forma:

Dada a tangente de um ângulo e o quadrante no qual ele está localizado, use as fórmulas de ângulo duplo para encontrar o valor exato.

  1. Desenhe um triângulo para refletir as informações fornecidas.
  2. Determine a fórmula correta do ângulo duplo.
  3. Substitua os valores na fórmula com base no triângulo.
  4. Simplificar.

Exemplo 1

Usando uma fórmula de ângulo duplo para encontrar o valor exato envolvendo a tangente

Solução

Agora podemos desenhar um triângulo semelhante ao mostrado na Figura 2.

Novamente, substitua os valores do seno e cosseno na equação e simplifique.

Nesta fórmula, precisamos da tangente, que nos foi dada como tan θ = - 3 4. tan θ = - 3 4. Substitua esse valor na equação e simplifique.

Exemplo 2

Usando a fórmula de ângulo duplo para cosseno sem valores exatos

Use a fórmula de ângulo duplo para cosseno para escrever cos (6 x) cos (6 x) em termos de cos (3 x). cos (3 x).

Solução

Análise

Este exemplo ilustra que podemos usar a fórmula de ângulo duplo sem ter valores exatos. Ele enfatiza que o padrão é o que precisamos lembrar e que as identidades são verdadeiras para todos os valores no domínio da função trigonométrica.

Usando Fórmulas de Ângulo Duplo para Verificar Identidades

O estabelecimento de identidades usando as fórmulas de ângulo duplo é executado usando as mesmas etapas que usamos para derivar as fórmulas de soma e diferença. Escolha o lado mais complicado da equação e reescreva-o até que corresponda ao outro lado.

Exemplo 3

Usando as Fórmulas de Ângulo Duplo para Verificar uma Identidade

Verifique a seguinte identidade usando fórmulas de ângulo duplo:

Solução

Vamos trabalhar no lado direito do sinal de igual e reescrever a expressão até que corresponda ao lado esquerdo.

Análise

Este processo não é complicado, contanto que nos lembremos da fórmula do quadrado perfeito da álgebra:

Verifique a identidade: cos 4 θ - sen 4 θ = cos (2 θ). cos 4 θ - sen 4 θ = cos (2 θ).

Exemplo 4

Verificando uma Identidade de Ângulo Duplo para Tangente

Solução

Nesse caso, trabalharemos com o lado esquerdo da equação e simplificaremos ou reescreveremos até que se iguale ao lado direito da equação.

Análise

Aqui está um caso em que o lado mais complicado da equação inicial apareceu à direita, mas optamos por trabalhar o lado esquerdo. No entanto, se tivéssemos escolhido o lado esquerdo para reescrever, estaríamos trabalhando ao contrário para chegar à equivalência. Por exemplo, suponha que queremos mostrar

Vamos trabalhar do lado direito.

Ao usar as identidades para simplificar uma expressão trigonométrica ou resolver uma equação trigonométrica, geralmente existem vários caminhos para um resultado desejado. Não existe uma regra definida sobre qual lado deve ser manipulado. No entanto, devemos começar com as diretrizes estabelecidas anteriormente.

Verifique a identidade: cos (2 θ) cos θ = cos 3 θ - cos θ sen 2 θ. cos (2 θ) cos θ = cos 3 θ - cos θ sen 2 θ.

Use fórmulas de redução para simplificar uma expressão

As fórmulas de ângulo duplo podem ser usadas para derivar as fórmulas de redução, que são fórmulas que podemos usar para reduzir a potência de uma dada expressão envolvendo potências pares de seno ou cosseno. Eles nos permitem reescrever as potências pares de seno ou cosseno em termos da primeira potência do cosseno. Essas fórmulas são especialmente importantes em cursos de matemática de nível superior, cálculo em particular. Também chamadas de fórmulas de redução de energia, três identidades são incluídas e são facilmente derivadas das fórmulas de ângulo duplo.

Podemos usar duas das três fórmulas de ângulo duplo para cosseno para derivar as fórmulas de redução para seno e cosseno. Vamos começar com cos (2 θ) = 1 - 2 sen 2 θ. cos (2 θ) = 1 - 2 sen 2 θ. Resolva para sin 2 θ: sin 2 θ:

Em seguida, usamos a fórmula cos (2 θ) = 2 cos 2 θ - 1. cos (2 θ) = 2 cos 2 θ - 1. Resolva para cos 2 θ: cos 2 θ:

A última fórmula de redução é derivada escrevendo tangente em termos de seno e cosseno:


7.3.3E: Identidades de Ângulo Duplo (Exercícios) - Matemática

As fórmulas de ângulo duplo e meio ângulo são muito úteis. Por exemplo, funções racionais de seno e cosseno serão muito difíceis de integrar sem essas fórmulas. São como seguem

Exemplo. Verifique as identidades

Responder. Vamos verificar o primeiro. o segundo é deixado ao leitor como um exercício. Nós temos

Muitas funções envolvendo potências de seno e cosseno são difíceis de integrar. O uso de fórmulas de ângulo duplo ajuda a reduzir o grau de dificuldade.

Exemplo. Escreva como uma expressão envolvendo as funções trigonométricas com sua primeira potência.

Exemplo. Verifique a identidade

Usando as fórmulas de ângulo duplo, obtemos

Juntando as coisas, nós obtemos

A partir das fórmulas de duplo ângulo, pode-se gerar facilmente as fórmulas de meio ângulo

Exemplo. Use as fórmulas do meio-ângulo para encontrar

Usando as fórmulas acima, obtemos

Uma vez que, então, é um número positivo. Portanto, temos

Exemplo. Verifique as identidades

que cai da identidade. Portanto, precisamos verificar apenas uma identidade. Por exemplo, vamos verificar se


Explore as planilhas de trigonometria em detalhes

Compreenda e retenha conceitos trigonométricos com facilidade empregando estes gráficos visualmente atraentes para quadrantes e ângulos, gráfico de razão trigonométrica de triângulo retângulo, tabelas de razão trigonométrica, ângulos aliados e gráficos de círculo unitário, para mencionar alguns.

Identifique o quadrante que abrange o lado terminal do ângulo com este conjunto de planilhas de quadrantes e ângulos. Desenhe o ângulo indicado no plano de coordenadas, meça os ângulos no quadrante e represente como graus e radianos e muito mais.

Apresente as duas maneiras de medir um ângulo, ou seja, graus e radianos, com este conjunto de planilhas. Planilhas adequadas são fornecidas para auxiliar na prática de conversões imediatas de graus em radianos e vice-versa.

Para medir de forma específica e precisa o tamanho de um ângulo em graus, ele é subdividido em graus, minutos e segundos. Esta pilha de planilhas consiste em amplos exercícios para praticar a conversão entre graus, minutos e segundos.

Determine os ângulos de referência em graus e radianos, encontre os ângulos coterminais para os ângulos indicados e os ângulos coterminais positivos e negativos com este conjunto de planilhas de ângulos coterminais e de referência.

Comece seu aprendizado com essas planilhas de proporção de trigonometria. Identifique as pernas, os lados e os ângulos, apresente as seis relações trigonométricas, tanto as relações trigonométricas primárias quanto as recíprocas e muito mais com essas planilhas de relações trigonométricas.

Estão incluídas aqui identidades fundamentais como identidades quociente, recíproca, co-função e pitagórica, identidades de soma e diferença, soma para produto, produto para soma, identidades de ângulo duplo e meio ângulo e ampla expressão trigonométrica a ser simplificada, comprovada e verificada usando as fórmulas trigonométricas.

Empacotados nessas planilhas de círculo unitário estão exercícios para encontrar as coordenadas de um ponto no círculo unitário, determinar a medida do ângulo correspondente, usar o círculo unitário para encontrar as seis razões trigonométricas e muito mais.

As planilhas de ângulos aliados aqui incluem exercícios como encontrar o valor exato da razão trigonométrica oferecendo medidas de ângulo em graus ou radianos, avaliando razões trigonométricas de ângulos aliados e provando as declarações trigonométricas, para citar apenas alguns.

Essas planilhas descrevem o conceito de avaliação de expressões trigonométricas envolvendo razões trigonométricas primárias, recíprocas e fundamentais, avaliação de expressões usando uma calculadora, avaliação usando ângulos aliados e muito mais!

Com este conjunto de planilhas de avaliação de funções trigonométricas à sua disposição, você não precisa de exercícios práticos. Comece substituindo os valores x especificados em funções trigonométricas e resolva f (x).

Utilize este fornecimento adequado de planilhas de relação trigonométrica inversa para encontrar o valor exato das relações trigonométricas inversas usando gráficos e calculadoras, encontre a medida dos ângulos, resolva as equações, aprenda a avaliar o inverso e a composição das funções trigonométricas e muito mais.

Navegue por essas planilhas da lei dos senos que abrangem uma série de tópicos como encontrar o lado ausente e os ângulos desconhecidos, resolver triângulos, um caso ambíguo em um triângulo, encontrar a área do triângulo SAS e muito mais.

Incorpore planilhas da lei dos cossenos para elevar sua compreensão do conceito e prática para encontrar os lados ausentes de um triângulo, encontrar os ângulos desconhecidos (SAS e SSS), resolver triângulos e muito mais.

Acesse esta enorme coleção de planilhas de solução de triângulos para compreender os tópicos como resolver triângulos, encontrar a área do triângulo, resolver o triângulo usando a área dada e muito mais planilhas estão incluídas.

Reforce o conceito de soluções principais de equações trigonométricas com este fornecimento adequado de planilhas como resolução de equações trigonométricas lineares, resolução de equações trigonométricas na forma quadrática e muito mais.

Empregue esta variedade de soluções gerais de planilhas de equações trigonométricas que apresentam uma ampla variedade de exercícios para aprimorar suas habilidades na resolução de diferentes tipos de equações trigonométricas para obter as soluções gerais.


Esta seção cobre fórmulas de ângulo composto e fórmulas de ângulo duplo.

pecado (A + B) NÃO igual senA + senB. Em vez disso, você deve expandir essas expressões usando as fórmulas abaixo.

A seguir estão as relações trigonométricas importantes:

sin (A + B) = sinAcosB + cosAsinB
cos (A + B) = cosAcosB - sinAsinB
tan (A + B) = tanA + tanB
1 - tanAtanB

Para encontrar sin (A - B), cos (A - B) e tan (A - B), basta alterar os sinais + nas identidades acima para - sinais e vice-versa:

sin (A - B) = sinAcosB - cosAsinB
cos (A - B) = cosAcosB + sinAsinB
tan (A - B) = tanA - tanB
1 + tanAtanB

forma rcos (q + a)

Quando temos uma expressão na forma: acos q + bsin q, às vezes é melhor reescrever na forma rcos (q + a), especialmente ao resolver equações trigonométricas.

Para calcular o que r e a são, observe que rcos (q + a) = r cos q cos a - r sen q sin q a = r cos a cos q - r sen um sen q pela identidade acima.

Portanto, precisamos definir rcos a = a e -rsin a = b para tornar isso igual a acos q + bsin q.

Podemos encontrar a dividindo (2) por (1):
sen a / cos a = -b / a, portanto tan a = -b / a que podemos resolver.

Podemos encontrar r elevando ao quadrado e adicionando (1) e (2):

r 2 cos 2 a + r 2 sen 2 a = a 2 + b 2
portanto, r 2 = a 2 + b 2 (uma vez que cos 2 a + sen 2 a = 1)

De maneira semelhante, podemos escrever expressões da forma acos q + bsin q como rsin (q + a).

Fórmulas de ângulo duplo

sin (A + B) = sinAcosB + cosAsinB
Substituir B por A na fórmula acima torna-se:
sin (2A) = sinAcosA + cosAsinA

similarmente:
cos2A = cos 2 A - sen 2 A

Substituindo cos 2 A por 1 - sen 2 A na fórmula acima resulta:
cos2A = 1 - 2sin 2 A

Substituindo sin 2 A por 1 - cos 2 A resulta:
cos2A = 2cos 2 A - 1

Também pode ser demonstrado que:
tan2A = 2tanA
1 - tan 2 A

Produto para fórmulas de soma

Às vezes, é útil ser capaz de escrever um produto de funções trigonométricas como uma soma de funções trigonométricas mais simples (isso pode tornar a integração mais fácil, por exemplo).

Agora, cos (A + B) = cosAcosB - sinAsinB
e cos (A - B) = cosAcosB + sinAsinB

Adicionando estes dois:
cos (A + B) + cos (A - B) = 2cosAcosB

Subtraindo um do outro:
cos (A - B) - cos (A + B) = 2sinAsinB


Sobre o livro

Os precursores do que estudamos hoje como trigonometria tiveram sua origem na antiga Mesopotâmia, Grécia e Índia. Essas culturas usaram os conceitos de ângulos e comprimentos como uma ajuda para compreender os movimentos dos corpos celestes no céu noturno. A trigonometria antiga normalmente usava ângulos e triângulos embutidos em círculos, de modo que muitos dos cálculos usados ​​eram baseados no comprimento dos acordes dentro de um círculo. As relações entre os comprimentos das cordas e outras linhas traçadas dentro de um círculo e a medida do ângulo central correspondente representam a base da trigonometria - a relação entre ângulos e distâncias.